De HSG ( de 4)

TRƯỜNG THCS
CAO BÁ QUÁT
KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI
Bài 1: (3,0 điểm)
a. Cho:
2
2
1 2 2 4
2 7 10 5
x x x
A
x x x x
− − −
= + −
− − + −
- Rút gọn A.
- Tìm x nguyên để A nguyên.
b. Chứng minh: a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + ac + bc với mọi số a, b, c.
Bài 2: (2,0 điểm)
Giải phương trình:
6

4212
4
208
8
7216
2
64
2222
+
++
+
+
++
=
+
++
+
+
++
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
Bài 3: (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME góc với AB
và MF vuông góc với AD.

a. Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM
b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.
c. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất
Bài 4:(1,0 điểm) Cho hai điểm A và B cố định. Điểm M di động sao cho
∆
MAB
có 3 góc nhọn . Gọi H là trực tâm của
∆
MAB, K là chân đường cao vẽ từ M xuống
cạnh AB của
∆
MAB . Tìm vị trí của M để giá trị KM . KH lớn nhất.
Bài 5: (1,0 điểm)
Tìm các số x, y, z biết :
x
2
+ y
2
+ z
2
= xy + yz + zx
và
2011201020102010
3=++ zyx
Giáo viên coi thi không giải thích gì thêm
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG MÔN TOÁN 8
Bài 1: (3,0 điểm)
Câu a: 2,0 điểm
5
42

)2)(5(
2
2
1
2
−
−
−
−−
−−
+
−
=
x
x
xx
xx
x
A
Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2
)2)(5(
158
)2)(5(
2)(42(25
22
−−
−+−
=
−−
−−−−−+−

=
xx
xx
xx
xxxxx
A
2
3
2)(5(
)3)(5(
−
+−
=
−−
−−−
=
x
x
xx
xx
A
( 2) 1 1
1
2 2
x
A
x x
− − +
= = − +
− −

A nguyên khi và chỉ khi
1
2x −
nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1
⇒ x=3, hoặc x=1.
Câu b : 1,0 điểm
⇔
2 (a
2
+ b
2
+ c
2
) ≥ 2(ab + ac + bc)
⇔
2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
- 2ab-2ac-2bc ≥ 0
⇔
(a-b)
2
+ (a-c)
2
+ (b-c)
2
≥ 0

Bất đẳng thức luôn đúng, nên có đpcm
Bài 2: (2,0 điểm)
⇔
6
6)6(
4
4)4(
8
8)8(
2
2)2(
2222
+
++
+
+
++
=
+
++
+
+
++
x
x
x
x
x
x
x

x
(đk:x
)6,4,8,2 −≠−≠−≠−≠ xxx
⇔
6
6
6
4
4
4
8
8
8
2
2
2
+
+++
+
++=
+
+++
+
++
x
x
x
x
x
x

x
x
⇔
6
6
4
4
8
8
2
2
+
+
+
=
+
+
+ xxxx
⇔
6
3
4
2
8
4
2
1
+
+
+

=
+
+
+ xxxx
⇔
)6)(4(
245
)8)(2(
165
++
+
=
++
+
xx
x
xx
x
⇔ (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
⇔ (5x+16)(x
2
+10x + 24) = (5x+24)( x
2
+10x + 16)
⇔ 5x
3
+ 50x
2
+ 120x + 16x
2

+ 160x + 16.24
= 5x
3
+ 50x
2
+ 80x + 24x
2
+ 240x + 24.16
⇔ 8x
2
+ 40x = 0
⇔ 8x(x + 5) = 0
x = 0; x = -5
Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm
Bài 3: (3,0 điểm)
Câu a: 1,0 điểm
A B
C
D
M
E
F
Cõu b: 1,0 im
MCF =FED (c.c.c)

MCF =

FED
T

MCF =

FED chng minh c CM EF
Tng t a) c CE BF
ED, FB v CM trựng vi ba ng cao ca FEC nờn chỳng ng qui.
Cõu c: 1,0 im
ME + MF = FA + FD l s khụng i.
ME.MF ln nht khi ME = MF
Lỳc ú M l trung im ca BD
B i 4( 1,0 im)
+)

AKH ~

MKB
+) KM.KH = KB.KA
+)
2
2
KA KB AB
KA.KB
2 4
+

=
ữ

+) Vậy KM.KH lớn nhất bằng
2
AB

4
khi
K là t.rung điểm của BC
+.M nằm trên đờng trung trực của AB
cách K ( K là TĐ của AB) một khoảng
lớn hơn
AB
2
để
V
MAB nhọn
Bi 5 : 1,0 im
x
2
+ y
2
+ z
2
= xy + yz + zx

2x
2
+2y
2
+ 2z
2
2xy 2yz 2zx = 0

(x-y)
2

+ (y-z)
2
+ (z-x)
2
= 0
x y 0
y z 0
z x 0
=


=


=


x y z = =


x
2011
= y
2011
= z
2011
Thay vo iu kin (2) ta cú 3.z
2010
= 3
2011

z
2010
= 3
2010


z = 3 Vy x = y = z = 3
H
A
B
M
K