CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Bài tập tứ giác nội tiếp
1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm E và vẽ (K) đường kính EC cắt BC tại M, tia
BE cắt (K) tại D, AD cắt (K) tại S. CMR:
a) Các tứ giác ABCD, ABME nội tiếp
b) CA là tia phận giác của góc BCS và MS //AB c)
EMAESA
ˆ
ˆ
=
d) 4 điểm A, M, K, D cùng thuộc 1 đường tròn
2. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), đường cao AH, tia phân giác góc BAC cắt (O) tại M và BC tại I.
Kẻ CKvuông góc AM, KH cắt AB tại E. CMR:
a) OM đi qua trung điểm của BC và tứ giác AHKC nội tiếp
b) AM là tia phân giác của góc HAO c) 4 điểm A, E, H, I cùng thuộc 1 đường tròn
3. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), Cho tam giác ABC nội tiếp (O), M là trung điểm của cung BC
không chứa A, E là giao điểm của AM và BC, trên AC lấy AD= AB.
a) CM: AM là phân giác của góc BAC. b) CM: DCME nội tiếp.
c) MD cắt (O) tại N, BN cắt AM tại K. CM: 4 điểm A, N, D, K cùng thuộc 1 đường tròn .
d) CM: ED //BN.
4. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có AB<BC, hai đường cao BM và CN giao nhau tại H. Tia CN cắt
(O) tại E.
a) CM: Các tứ giác ANHM, BNMC nội tiếp , xác đònh tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ
giác BNMC.
b) CM: MN vuông góc với tiếp tuyến xy tại A của (O).
c) CM: E và H đối xứng với nhau qua AB
d) Gọi I là trung điểm MN. Chứng minh OA // IK
e) Gọi D là giao điểm của BE và KN. Chứng minh 4 điểm B, D, M, K cùng thuộc 1 đường
tròn.
5. Cho tam giác ABC nội tiếp (O,R). AH, BE và CK là 3 đường cao của tam giác ABC giao nhau tại
I, tia BI cắt (O) tại M.
a) CM: BKEC nội tiếp. b) CM: CI=CM. c) CM: OA vuông góc KE.

d) Gọi p là nửa chu vi tam giác HKE. CM: S
ABC
= R.p
6. Cho AB, AC là 2 tiếp tuyến của (O) , lấy I thuộc BC, đường thẳng vuông góc OI tại I cắt AB và
AC tại M và N.
a) CM: ABOC, OINC, OMBI nội tiếp.
b) CM: OM=ON.
c) CM: A, M, O, N cùng thuộc 1 đường tròn.
d) Lấy E thuộc AB sao cho
CBANIE
ˆˆ
=
. CM: BE.CN=BI.IC
7. Cho AB và CD là 2 đường kính của (O) vuông góc nhau. Lấy điểm E thuộc cung nhỏ BC. Tiếp
tuyến tại E cắt AB tại M, Tia CE cắt AB tại K. Gọi I là giao điểm của ED và AB.
a) CM: EA là phân giác của góc CED.
b) CM: Tứ giác OEKD nội tiếp được 1 đường tròn mà ta xác đònh được tâm.
c) Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OEKD. CM: 4 điểm O, E, M, H cùng thuộc 1
đường tròn.
d) CM: EB là tia phân giác của
KEI
ˆ
rồi suy ra AI.BK=IK.IB
8. Cho AB, AC là 2 tiếp tuyến của (O,4cm), vẽ cát tuyến AMN với (O).
a) CM: ABOC nội tiếp và OA vuông góc BC tại H.
b) CM: AB
2
= AM.AN.
c) CM: O, H, M,N cùng thuộc 1 đường tròn.
d) Giả sử AM = 5cm và góc BOC= 120

0
,.Tính độ dài AM và S
AON
.
9. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R), hai đường cao BE và CF
cắt nhau tại H.
a/ Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp được đường tròn có tâm là M. Xác đònh vò trí của M
b/ Tia AH cắt BC tại D. Chứng minh: EB là tia phân giác của
FED
ˆ
c/ Đường thẳng EF cắt (O) tại M và N (điểm F nằm giữa N và E). Chứng minh tam giác
AMN cân.
d/ Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD
10. Cho (O,R), OP = 2R. Vẽ cát tuyến PAB, từ a và B vẽ 2tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại
M. Gọi H là hình chiếu của M trên OP.
a/ Chứng minh OM vuông góc với AB tại I và tứ giác MIHP nội tiếp.
b/ Chứng minh OH . OP = OI . OM
c/ Chứng minh độ dài OH luôn không đổi khi cát tuyến PAB quay quanh P
d/ Cho OI=
3
R
. Tính diện tích tam giác AHP theo R
câu c: OH =
2
R
câu d: S
AHP
=
( )
24

2235
2
−R
đvS