đề ôn thi học kỳ 2 trường thpt chuyên HN-AMSTERDAM năm học 2010-2011

Trng THPT chuyờn H Ni Amsterdam, 2011 Ngun ti liu: .

1

TRNG THPT CHUYấN H NI AMSTERDAM
CNG HC K II MễN TON LP 12 NM HC 2010 2011

S 1.
Bi 1. Cho hm s
4 2
8 1.
y x x
= - -

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th
(
)
C
ca hm s.
2) Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi
(
)
,
C
cỏc ng
1, 2
x x
= - =
v trc honh.
Bi 2. Gii h phng trỡnh v bt phng trỡnh sau:
1)

3 1 2 3
2
2 2 3.2
.
3 1 1
x y y x
x xy x
+ - +
ỡ
+ =
ù
ớ
+ + = +
ù
ợ
2)
2
4 2 1
log .
2 2
x
x
x
ổ ử
-

ỗ ữ
ỗ ữ
-
ố ứ

Bi 3.
1) Tỡm nguyờn hm
2
1
.
3
I dx
x
=
-
ũ
2) Tớnh tớch phõn
1
4
1
.
1 2
x
x
I dx
-
=
+
ũ

Bi 4. Trong khụng gian vi trc ta
,
Oxyz
hóy lp phng trỡnh mt phng

(
)
P
trong cỏc
trng hp sau:
1)
(
)
P
cha hai ng thng
( )
1
1 1
:
1 1 1
x y z
+ +
D = = v
( )
2
2 2
:
2 3 1
x y z
+ -
D = =
- -
ct nhau.
2)
(

)
P
cha
( )
1
1 1
:
1 1 1
x y z
+ +
D = = v tip xỳc vi
(
)
2 2 2
: 8 2 4 7 0.
S x y z x y z
+ + - + + + =

3)
(
)
P
cha
( )
3
2 1 3
:
2 3 1
x y z
+ - -

D = =
-
v ct
(
)
2 2 2
: 8 2 4 7 0
S x y z x y z
+ + - + + + =
theo
mt ng trũn cú bỏn kớnh ln nht.
Bi 5. Tỡm phn thc v phn o ca s phc
,
z
bit rng
1)
z
tha món biu thc
( ) ( ) ( )
2
1 2 8 1 2 .
i i z i i z
+ - = + + +
2)
z
tha món biu thc
2 1 3
.
1 2
i i

z
i i
+ - +
=
- +

HT
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 Nguồn tài liệu: .

2

ĐỀ SỐ 2.
Bài 1. Cho hàm số
3 2
1
2 3 .
3
y x x x
= - +

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(
)
C
của hàm số.
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
(
)
C
và trục hoành.

Bài 2.
1) Giải hệ phương trình:
(
)
(
)
( ) ( )
2 2
1 1
1 1
log 1 2 log 1 2 4
.
log 1 2 log 1 2 2
x y
x y
y y x x
y x
+ -
+ -
ì
- + + + + =
ï
í
+ + + =
ï
î

2) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm đúng
x
"

:

(
)
2
log 4 1 0.
a
x x a
- + + >

Bài 3.
1) Tìm nguyên hàm
.
cos
dx
I
x
=
ò
2) Tính tích phân
( )
2
3
0
4sin
.
sin cos
x
I dx
x x

p
=
+
ò

Bài 4.
1) Lập phương trình mặt phẳng
(
)
P
chứa đường thẳng
d
là giao tuyến của hai mặt phẳng
(
)
(
)
:2 1 0; : 1 0
x y z
a b
- - = - =
và khoảng cách từ điểm
(
)
1;2;3
A - đến
(
)
P
bằng 3.

2) Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
với
(
)
(
)
(
)
(
)
0;0;0 , 1;0;0 , 0;1;0 , ' 0;0;1 .
A B D A Viết phương trình mặt phẳng
(
)
P
chứa
'
A C

và tạo với mặt phẳng
(
)
Oxy
một góc
a

sao cho
6
cos .
6
a
=
3) Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho điểm
(
)
2;3;5
A và đường thẳng
1 2
: .
2 1 2
x y z
d
- -
= = Viết phương trình mặt phẳng
(
)
P
chứa d sao cho khoảng cách từ A
đến
(
)
P
là lớn nhất.

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ
,
Oxy
cho ba điểm
, ,
A B C
lần lượt biểu diễn các số phức
( )( )
1 2 3
4 2 6
; 1 1 2 ; .
1 3
i i
z z i i z
i i
+
= = - + =
- -

1) Chứng minh rằng tam giác
ABC
là tam giác vuông.
2) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm
D
sao cho
ABCD
là hình vuông.
HẾT
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 Nguồn tài liệu: .

3

ĐỀ SỐ 3.
Bài 1. Cho hàm số
3 2
1 1
2 2 .
3 3
y x mx x m
= + - - -

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(
)
C
của hàm số trên ứng với
1
.
2
m
=

2) Tìm
5
0;
6
m
æ ö
Î
ç ÷

è ø
sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số đã cho và các đường
0, 2, 0
x x y
= = =
có diện tích bằng 4.
Bài 2. Giải hệ phương trình và bất phương trình sau:
1)
(
)
(
)
2 2 2 2
2 2
2 2
log 1 log 1
.
4 5.2 6
x y x y
x y y x
+ +
ì
+ - + = -
ï
í
+ =
ï
î
2)
(

)
3
1 1
3 3
1
log log 1 1 .
2
x x
< + -

Bài 3.
1) Tìm nguyên hàm
( )
2001
1002
2
.
1
x
I dx
x
=
+
ò
2) Tính tích phân
2
0
1 sin
.
1 cos

x
x
I e dx
x
p
+
=
+
ò

Bài 4.
1) Viết phươn trình mặt phẳng
(
)
P
đi qua điểm
(
)
2; 1;3
B - và cách điểm
(
)
1;3;5
A - một
khoảng lớn nhất.
2) Cho ba điểm
(
)
(
)

(
)
1;1;1 , 2;1;0 , 2;0;2 .
A B C Viết phương trình mặt phẳng
(
)
P
đi qua hai
điểm
,
B C
và cách A một khoảng lớn nhất. Đáp số:
5 2 8 0.
x y z
- + + + =

3) Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
cho mặt phẳng
(
)
(
)
: 1 0
P m x y mz
- + + =
và điểm
(
)

1;1;2 .
A Tìm m để khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất.
Bài 5. Tìm tất cả số phức
z
trong các trường hợp sau:
1)
2
0.
z z
+ =
2)
2 10
z i- - = và
. 25.
z z =
HẾT
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 Nguồn tài liệu: .

4

ĐỀ SỐ 4.
Bài 1. Cho hàm số
4 2
6 4.
y x x
= - +

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(
)

C
của hàm số.
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
(
)
C
và parabol
(
)
2
: .
P y x
= -

Bài 2.
1) Giải hệ phương trình:
(
)
( )
2 2
log log log 1 13
.
log log . log 7
x x
y
x y y
xy x y
ì
- + =
ï

í
= -
ï
î

2) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:
(
)
(
)
2 2
1 5
log 5 1 .log 6 log 3 0.
a
a
x ax x ax
+ + + + + + ³

Bài 3. Tính các tích phân sau:
1)
2
2
cos
.
1
x
x
I dx
e
p

p
-
=
+
ò
2)
2
0
sin
.
sin cos
x
I dx
x x
p
=
+
ò

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
viết phương trình đường thẳng
D
trong những trường
hợp sau:
1)
D
qua
(

)
1;2;3 ,
A vuông góc với
1
2 2 3
:
2 1 1
x y z
d
- + -
= =
-
và cắt
2
1 1 1
: .
1 2 1
x y z
d
- - +
= =
-

2)
D
nằm trong
(
)
: 2 3 4 0,
P x y z

+ - + =
cắt và vuông góc
2 2
: .
1 1 1
x y z
d
+ -
= =
-

3)
D
vuông góc với
(
)
:7 4 0
P x y z
+ - =
và cắt cả
1 2
1 2
1 2
: ; : 1 .
2 1 1
3
x t
x y z
d d y t
z

= - +
ì
- +
ï
= = = +
í
-
ï
=
î

Bài 5. Tìm các số phức
z
thỏa mãn:
1)
4
1.
z i
z i
+
æ ö
=
ç ÷
-
è ø
2)
1
1
z
z i

-
=
-
và
3
1.
z i
z i
-
=
+

HẾT
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 Nguồn tài liệu: .

5

ĐỀ SỐ 5.
Bài 1. Cho hàm số
3 2
2 .
y x x x
= - +

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(
)
C
.
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

(
)
C
và đường thẳng
: 4 .
d y x
=

Bài 2. Giải hệ phương trình và bất phương trình sau:
1)
2 3
2 3
log 3 5 log 5
.
3 log 1 log 1
x y
x y
ì
+ - =
ï
í
- - = -
ï
î
2)
( ) ( )
2
2
1 log 2 log
1,25 0,64 .

x
x x
- +
<
Bài 3. Tích các tích phân sau:
1)
2
3
3
sin cos
.
sin cos
x x
I dx
x x
p
p
+
=
-
ò
2)
( )
4
0
sin
4
.
sin 2 2 1 sin cos
x dx

I
x x x
p
p
æ ö
-
ç ÷
è ø
=
+ + +
ò

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ
,
Oxyz
lập phương trình đường thẳng
D
trong những
trường hợp sau:
1)
D
đi qua
(
)
1;2; 1 ,
H
-
cắt
3 3
:

1 3 2
x y z
d
- -
= =
và song song với
(
)
: 3 0.
P x y z
+ - + =

2)
D
qua
(
)
2; 1;1
M - đồng thời vuông góc với cả
1 2
1 0 2 1 0
: , : .
2 0 0
x y x y
d d
x z z
+ + = + - =
ì ì
í í
- = =

î î

3)
D
nằm trong
(
)
: 2 0
P y z
+ =
đồng thời cắt cả
1 2
1 2
: ; : 4 2 .
4 1
x t x t
d y t d y t
z t z
= - = -
ì ì
ï ï
= = +
í í
ï ï
= =
î î

Bài 5. Tìm tập hợp các điểm
(
)

;
M x y
trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức
z x yi
= +
nếu như
thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
1)
2 2 .
z i z z i
- = - + 2)
4 4 10.
z i z i- + + =
HẾT
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 Nguồn tài liệu: .

6

ĐỀ SỐ 6.
Bài 1. Cho hàm số
2
.
1
x
y
x
-
=
+

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(
)
C
của hàm số.
2) Tìm giá trị của
k
biết rằng thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi
(
)
C
và trục
Oy
khi quay
quanh
Oy
là
.
k
p

Bài 2.
1) Giải hệ phương trình:
4 3 0
.
log log 0
y x
x y
x y
ì - + =

ï
í
- =
ï
î

2) Giải bất phương trình:
( ) ( )
3
4 2 2
2 1 2 1
2
2 2
32
log log 9.log 4.log .
8
x
x x
x
æ ö
æ ö
- + <
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø

Bài 3.
1) Tìm nguyên hàm
(

)
( )
3
2
3 2
.
2 1
x x dx
I
x x x
- +
=
+ +
ò

4) Tính tích phân
2
2 2
0
3sin 4cos
.
3sin 4cos
x x
I dx
x x
p
+
=
+
ò

Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ
,
Oxyz
lập phương trình đường thẳng
D
trong những
trường hợp sau:
1)
D
vuông góc với
1 3 3
: ,
1 2 1
x y z
d
- + -
= =
-
nằm trong
(
)
:2 2 9 0
P x y z
+ - + =
và đi qua giao
của
d
và
(

)
.
P

2)
D
song song với
1 5
:
3 1 1
x y z
d
- -
= =
-
và cắt cả
1 2
1 2 2 4 7
: ; : .
1 4 3 5 9 1
x y z x y z
d d
- + - + +
= = = =

3)
D
là đường vuông góc chung của
1
1 2

:
2 1 1
x y z
d
- +
= = và
2
d
là giao tuyến của
(
)
: 2 3 0
P x y
- + =
và
(
)
: 3 0.
Q z
- =

Bài 5. Giải các phương trình sau:
1)
(
)
(
)
2
2 3 4 3 1 0.
i z i z i

- + - + - =
2)
(
)
(
)
2
1 2 1 2 4 0.
i z i z
- - + - =

HẾT
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 Nguồn tài liệu: .

7

ĐỀ SỐ 7.
Bài 1. Cho hàm số
1
.
1
x
y
x
-
=
+

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(

)
C
của hàm số.
2) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh
Ox
của hình phẳng giới hạn bởi các đường
(
)
,
C
trục hoành và trục tung.
Bài 2.
1) Giải hệ phương trình:
( )
3
3 4
1 1 3
.
log 1
y
x
x
x
y x
ì
-
+ - =
ï
í
ï

+ =
î

2) Giải bất phương trình:
(
)
(
)
2 3
log 2 1 log 4 2 2.
x x
+ + + £

Bài 3.
1) Tìm nguyên hàm
( )( )
2
2 2
1
.
5 1 3 1
x
I dx
x x x x
-
=
+ + - +
ò

3) Tính tích phân

2
2 2
0
4 .
I x x dx
= -
ò

Bài 4. Giải bài toán bằng phương pháp tọa độ: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình thoi tâm
O
cạnh
,
a
góc
60 ,
o
BAD SO
= vuông góc với
(
)
ABCD
và
3
.
4
a
SO = Gọi
,

E F
lần lượt
là trung điểm
,
BC BE
.
1) Tính khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
(
)
.
SBC

2) Tính góc giữa hai đường thẳng
AE
và
.
SF

3) Gọi
(
)
a
là mặt phẳng chứa
AD
và vuông góc với
(
)
SBC

, cắt hình chóp .
S ABCD
theo
một thiết diện. Hãy dựng và tính diện tích thiết diện đó.
Bài 5.
1) Giải phương trình
2
4 3
1 0
2
z
z z z
- + + + =
trên tập số phức.
2) Giải hệ phương hai ẩn
1 2
,
z z
sau đây trên tập số phức:
1 2
2 2
1 2
4
.
5 2
z z i
z z i
+ = +
ì
í

+ = -
î

HẾT
Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, 2011 Nguồn tài liệu: .

8

ĐỀ SỐ 8.
Bài 1. Cho hàm số
2
1
.
x x
y
x
- +
=
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(
)
C
của hàm số.
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
(
)
,
C
tiếp tuyến của
(

)
C
qua
(
)
1;0 ,
A tiệm
cận xiên của
(
)
C
và đường thẳng
2.
x
=

Bài 2.
1) Giải hệ phương trình:
(
)
(
)
2 2
2 2
log log 1
.
1
x y
e e y x xy
x y

ì
- = - +
ï
í
+ =
ï
î

2) Tìm m để bất phương trình sau sau đúng với
:
x R
" Î

(
)
(
)
2 2
5 5
1 log 1 log 4 .
x mx x m
+ + ³ + +
Bài 3. Tính các tích phân sau:
1)
3
2
4
tan
.
cos 1 os

x
I dx
x c x
p
p
=
+
ò
2)
( )
3
2
1
3 ln
.
1
x
I dx
x
+
=
+
ò

Bài 4. Giải bài toán sau bằng phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D

cạnh bằng
.

a
Các điểm
,
I J
thuộc
',
AD BD
sao cho
(
)
0 2 .
AI DJ m m a= = < <
1) Tính theo a khoảng cách giữa
'
A B
và
' .
B D
Đs:
.
6
a

2) Chứng minh rằng
IJ
luôn song song với mặt phẳng
(
)
' '
A BCD

khi
m
thay đổi.
3) Tìm
m
để đoạn thẳng
IJ
nhỏ nhất. Khi đó hãy chứng tỏ
IJ
là đường vuông góc chung
của
'
AD
và
.
BD

Bài 5.
1) Tìm một acgumen của số phức
1 sin cos
z i
j j
= - +
với
0 .
2
p
j
< <

2) Trong các số phức
z
thỏa mãn điều kiện
2 2 2 1,
z i
- - =
hãy tìm số phức có
acgumen dương và nhỏ nhất.
HẾT