Đề&ĐA Toán tự luyện thi ĐHCĐ số 14

Trn S Tựng
Trng THPT Chuyờn LNG VN CHNH
PH YấN
s 14
THI TH I HC V CAO NG NM 2010
Mụn thi: TON Khi A
Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian phỏt )

I. PHN CHUNG (7 im)
Cõu I (2 im): Cho hm s
x
y
x
2
2
=
+
.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C), bit rng khong cỏch t tõm i xng ca (C) n tip tuyn l ln
nht.
Cõu II (2 im):
1) Gii phng trỡnh:
x
xx
xx
2
4cos2
tan2.tan2
44tancot
pp

ổửổử
-+=
ỗữỗữ
-
ốứốứ

2) Gii h phng trỡnh:
y
x
xy
x
xy
y
22
22
3
21
1
422
ỡ
+=
ù
ù
+-
ớ
ù
++=
ù
ợ

Cõu III (1 im): Tớnh tớch phõn: I =
x
Idx
x
8
3
ln
1
=
+
ũ

Cõu IV (1 im): Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú di cnh ỏy bng a, mt bờn to vi mt ỏy gúc 60
0
. Mt
phng (P) cha AB v i qua trng tõm tam giỏc SAC ct SC, SD ln lt ti M, N. Tớnh th tớch hỡnh chúp
S.ABMN theo a.
Cõu V (1 im): Cho cỏc s thc a, b, c tha món :
abc
01;01;01
<Ê<Ê<Ê
. Chng minh rng:

( )
abc
abcabc
1111
13
ổử
++++++

ỗữ
ốứ

II. PHN T CHN (3 im)
1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a (2 im):
1) Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú
(
)
A
3;6
- , trc tõm
(
)
H
2;1
, trng tõm
G
47
;
33
ổử
ỗữ
ốứ
.
Xỏc nh to cỏc nh B v C.
2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt cu
()
Sxyzxyz
222

:24840
++-+ =
v mt phng
(
)
xyz
:2230
a
-+-=
. Xột v trớ tng i ca mt cu (S) v mt phng
(
)
a
. Vit phng trỡnh mt cu (SÂ)
i xng vi mt cu (S) qua mt phng
(
)
a
.
Cõu VII.a (1 im): Mt i d tuyn búng bn cú 10 n, 7 nam, trong ú cú danh th nam l V Mnh Cng v danh
th n l Ngụ Thu Thy. Ngi ta cn lp mt i tuyn búng bn quc gia t i d tuyn núi trờn. i tuyn quc
gia bao gm 3 n v 4 nam. Hi cú bao nhiờu cỏch lp i tuyn quc gia sao cho trong i tuyn cú mt ch mt
trong hai danh th trờn.
2. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VI.b (2 im):
1) Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh A thuc ng thng d: x 4y 2 = 0, cnh BC
song song vi d, phng trỡnh ng cao BH: x + y + 3 = 0 v trung im ca cnh AC l M(1; 1). Tỡm to cỏc
nh A, B, C.
2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh thang cõn ABCD vi
(

)
(
)
(
)
ABC
3;1;2,1;5;1,2;3;3
, trong
ú AB l ỏy ln, CD l ỏy nh. Tỡm to im D.
Cõu VII.b (1 im): Gii h phng trỡnh:
xyyx
xxyx
3123
2
223.2
311
+-+
ỡ
+=
ù
ớ
++=+
ù
ợ

============================



Trn S Tựng

Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2) Tip tuyn ca th (C) ti im M cú honh
a
2
ạ-
thuc th (C) cú phng trỡnh:

( )
( ) ( ) ()
a
yxaxayad
a
a
2
2
2
42
4220
2
2
=-+-++=
+
+

Tõm i xng
(
)
I
2;2

- . Ta cú
( )
( ) ( )
aaa
dId
a
aa
42
828282
,22
222
1622.4.2
+++
=Ê==
+
+++


(
)
dId
,
ln nht
( )
a
a
a
2
0
24

4
ộ
=
+=
ờ
=-
ở

T ú suy ra cú hai tip tuyn
yx
=
v
yx
8
=+
.
Cõu II: 1) iu kin
()
xx
xxx
cos20;cos20
*
44
sin20;tancot0
pp
ỡ
ổửổử
-ạ+ạ
ù
ỗữỗữ

ớ
ốứốứ
ù
ạ-ạ
ợ

ý rng:
xxxxxx
tan2.tan2tan2.tan2cot2.tan21
444444
pppppp
ổửổửổửổửổửổử
-+= +=-++=-
ỗữỗữỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứốứốứ

Khi ú PT tr thnh:
x
xxx
xx
2
2
4cos2
1cottan4cos2
tancot
-=-=
-


( )

x
x
xx
xx
2
2
22
1tan124
4tan210
tantan2
1tan21tan2
-
==-=
++


( )
xxmxkktan212
482
ppp
p
==+=+ẻ
Z
: Khụng tho iu kin (*).
Vy phng trỡnh ó cho vụ nghim.
2) iu kin: xyxy
22
0,0,10
ạạ+-ạ

t
x
uxyv
y
22
1;
=+-=
. H PT tr thnh:
uvuv
uvuv
3232
11(1)
1422214(2)
ỡỡ
ùù
+=+=

ớớ
ùù
++==-
ợợ

Thay (2) vo (1) ta c:
v
vv
v
vv
2
3
32

1213210
7
214
2
ộ
=
ờ
+=-+=
=
ờ
-
ở

ã Nu v = 3 thỡ u = 9, ta cú H PT:
xy
xx
xy
x
yy
xy
y
22
22
19
33
10
11
3
3
ỡ

+-=
ỡ
ù
ỡỡ
==-
+=

ớớớớ
==-
=
=
ợợ
ợ
ù
ợ

ã Nu v
7
2
=
thỡ u = 7, ta cú H PT:
yy
xy
xy
x
xy
y
xx
22
22

22
44
17
8
5353
7
7
22
2
1414
2
5353
ỡỡ
ỡ
ỡ
==-
+-=
ùù
+=
ùùùù

ớớớớ
=
=
ùùùù
==-
ợ
ợ
ùù
ợợ

So sỏnh iu kin ta c 4 nghim ca H PT.
Cõu III: t
ux
dx
du
dx
x
dv
vx
x
ln
21
1
ỡ
ỡ=
=
ùù
ị
ớớ
=
ùù
=+
+
ợ
ợ
( )
x
IxxdxJ
x

8
8
3
3
1
21.ln26ln84ln32
+
ị=+-=
ũ

ã Tớnh
x
Jdx
x
8
3
1
+
=
ũ
. t
tt
txJtdtdtdt
tt
tt
333
2
22
222
11

1.222
11
11
ổử
=+ị===+-
ỗữ
-+

ốứ
ũũũ


t
t
t
8
3
1
2ln2ln3ln2
1
ổử
-
=+=+-
ỗữ
+
ốứ

Trn S Tựng
T ú
I

20ln26ln34
=
.
Cõu IV: K SO ^ (ABCD) thỡ O l giao im ca AC v BD. Gi I, J ln lt l trung im ca AB v CD; G l trng
tõm
D
SAC .
Gúc gia mt bờn (SCD) v ỏy (ABCD) l
ả
SJI
0
60
=
ị DSIJ u cnh a ị G cng l trng tõm DSIJ.
IG ct SJ ti K l trung im ca SJ; M, N l trung im ca SC, SD.

ABMN
aa
IKSABMNIK
2
3133
;()
228
==+=;
a
SKABMNSK();
2
^=

Suy ra:

ABMN
a
VSSK
3
13
.
316
==.
Cõu V: Vỡ
ab
01,01
<Ê<Ê
nờn
(
)
(
)
ababab
11010
ị +

abab
1
ị+-
abab
111
1(1)
ị+-
Tng t :
bcbccaca

111111
1(2),1(3)
+-+-
Cng cỏc BT (1), (2), (3) v theo v ta c:
abbccaabc
111111
23(4)
ổử
++++-
ỗữ
ốứ

S dng BT (4) v BT Cụsi ta cú:

( )
abcabcabc
abcabbccaabc
1111111
123
ổửổử
+++=++++++++++-
ỗữỗữ
ốứốứ


( )
abc
abcabc
111111
23

ổử
+++++++-
ỗữ
ốứ

Cng theo BT Cụsi ta cú :
( )
abc
abc
111
9
ổử
++++
ỗữ
ốứ

Do ú:
( )
abc
abcabcabc
1111111
1633
ổử
++++++-=+++
ỗữ
ốứ
(pcm)
Du "=" xy ra a = b = c = 1.
II. PHN T CHN
1. Theo chng trỡnh chun

Cõu VI.a: 1) Gi I l trung im ca BC. Ta cú
AGAII
271
;
322
ổử
=ị
ỗữ
ốứ
uuuruur

ng thng BC qua I vuụng gúc vi AH cú phng trỡnh:
xy
30
=

Vỡ
I
71
;
22
ổử
ỗữ
ốứ
l trung im ca BC nờn gi s
(
)
BB
Bxy
; thỡ

(
)
BB
Cxy
7;1 v
BB
xy
30
=

H l trc tõm ca tam giỏc ABC nờn
CHAB
^
;
(
)
(
)
BBBB
CHxyABxy
5;,3;6
=-+=+-
uuuruuur


( )( ) ( )
BB
BB
BBB
BB

xy
xx
CHAB
xxy
yy
3
16
.0
5360
23
ỡ
-=
ỡỡ
==
ù
=
ớớớ
-++-=
=-=
ù
ợợ
ợ
uuuruuur

Vy
(
)
(
)
BC

1;2,6;3
- hoc
(
)
(
)
BC
6;3,1;2
-

2)
( )
( )
( )
Sxyz
222
():12425
-+++-=
cú tõm
(
)
I
1;2;4
- v R = 5.
Khong cỏch t I n (a) l:
(
)
dIR
,()3
a

=<
ị (a) v mt cu (S) ct nhau.
Gi J l im i xng ca I qua (a). Phng trỡnh ng thng IJ :
xt
yt
zt
12
2
42
ỡ
=+
ù
=
ớ
ù
=+
ợ

To giao im H ca IJ v (a) tho
( )
xtt
ytx
H
zty
xyzz
121
21
1;1;2
421
22302

ỡỡ
=+=-
ùù
ùù
= =-
ị
ớớ
=+=-
ùù
-+-==
ùù
ợợ

Trn S Tựng
Vỡ H l trung im ca IJ nờn
(
)
J
3;0;0
- .
Mt cu (SÂ) cú tõm J bỏn kớnh RÂ = R = 5 nờn cú phng trỡnh:
( )
Sxyz
2
22
():325
Â
+++=

Cõu VII.a: Cú 2 trng hp xy ra:

ã Trng hp 1: i tuyn cú V Mnh Cng, khụng cú Ngụ Thu Thu
S cỏch chn 3 nam cũn li l
C
3
6
.
S cỏch chn 3 n khụng cú Ngụ Thu Thu l
C
3
9
.
Suy ra s cỏch chn trong trng hp ny l CC
33
69
.1680
= (cỏch)
ã Trng hp 2: i tuyn cú Ngụ Thu Thu, khụng cú V Mnh Cng
S cỏch chn 4 nam khụng cú V Mnh Cng l
C
4
6

S cỏch chn 2 n cũn li l
C
2
9

Suy ra s cỏch chn trong trng hp ny l CC
42
69

.540
= (cỏch)
Vy s cỏch chn i tuyn búng bn Quc gia l: 1680 + 540 = 2220 (cỏch)
2. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VI.b: 1) Ta cú AC vuụng gúc vi BH v i qua M(1; 1) nờn cú phng trỡnh:
y x
=
.
To nh A l nghim ca h :
x
xy
A
yx
y
2
22
420
3
;
2
33
3
ỡ
=-
ù
ổử
ỡ
=
ị
ớớ

ỗữ
=
ợ
ốứ
ù
=-
ợ

Vỡ M l trung im ca AC nờn
C
88
;
33
ổử
ỗữ
ốứ

Vỡ BC i qua C v song song vi d nờn BC cú phng trỡnh:
x
y
2
4
=+


( )
xy
x
BHBCBB
x

y
y
30
4
:4;1
1
2
4
ỡ
++=
ù
ỡ
=-
ầ=ị-
ớớ
=
=+
ợ
ù
ợ

2) Do ABCD l hỡnh thang cõn nờn AD = BC = 3.
Gi
D
l ng thng qua C v song song vi AB, (S) l mt cu tõm A bỏn kớnh R = 3. im D cn tỡm l giao
im ca
D
v (S).
ng thng
D

cú vect ch phng
(
)
AB
2;6;3
=-
uuur
nờn cú phng trỡnh:
xt
yt
zt
22
36
33
ỡ
=-
ù
=+
ớ
ù
=+
ợ

Phng trỡnh mt cu
()( ) ( ) ( )
Sxyz
222
:3129
-++++=

To im D tho H PT:
( ) ( ) ( )
xt
t
yt
tt
zt
t
xyz
2
222
22
1
36
4982330
33
33
49
3129
ỡ
=-
ộ
ù =-
=+
ù
ờ
ị++=
ớ
=+
=-

ờ
ù
ở
-++++=
ù
ợ

ã Vi t = 1, thỡ D(4; 3; 0) : khụng tho vỡ AB = CD = 7
ã Vi
tD
331645148
;;
49494949
ổử
=-ị-
ỗữ
ốứ
(nhn)
Cõu VII.b:
xyyx

xxyx
3123
2
223.2(1)
311(2)
+-+
ỡ
+=
ù

ớ
++=+
ù
ợ

Ta cú:
()
( )
x
x
x
xxy
xyx
xxyx
2
1
10
1
2
310
013
311
ỡ
-ỡ
+
ỡ
-

ớớớ
+-=

==-
++=+
ợ
ợ
ợ

Trn S Tựng
ã Vi x = 0 thay vo (1) ta c:
yyyyy
y
2
2
88
223.28212.22log
1111
-
+=+===
ã Vi
x
yx
1
13
ỡ
-
ớ
=-
ợ
thay
yx
13

=
vo (1) ta c :
xx3131
223.2(3)
+
+=
t
x
t
31
2
+
=
, vỡ
x
1
-
nờn t
1
4
-
. Khi ú: (3) :
tloaùi
ttt
t
tthoaỷ
2
1
322()
6610

322()
ộ
=-
+=-+=
ờ
=+
ở

Suy ra:
( )
x
x
31
2
1
2322log3221
3
+
ộự
=+=+-
ởỷ
;
(
)
yx
2
132log322
=-=-+
Vy H PT ó cho cú 2 nghim
x

y
2
0
8
log
11
ỡ
=
ù
ớ
=
ù
ợ
v
( )
( )
x
y
2
2
1
log3221
3
2log322
ỡ
ộự
=+-
ù
ởỷ
ớ

ù
=-+
ợ

=====================