Đề&ĐA Toán tự luyện thi ĐHCĐ số 17

Trần Sĩ Tùng
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP
HÀ NỘI
Đề số 17
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số
yxmxmx
322
29121
=+++
(m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại x
CĐ
, cực tiểu tại x
CT
thỏa mãn:
CÑCT
xx
2
= .
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình:
xxx
2
1 143
++=+

2) Giải hệ phương trình: xx
5
5cos24sin–9
36
pp
æöæö
+=-
ç÷ç÷
èøèø

Câu III (1 điểm): Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
xxx
fx
x
23
2
ln(1)
()
1
++
=
+

Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có SA = x và tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng a. Chứng minh rằng đường
thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tìm x theo a để thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
6
2
3
a
.

Câu V (1 điểm): Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng: abbaab
22
3311
2 2
4422
æöæöæöæö
++++³++
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø

II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: dxy
1
:2–30
+=
, dxy
2
:3450
++=
,
dxy
3
:4320
++=
. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d
1
và tiếp xúc với d
2

và d
3
.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2; –1), đường thẳng (D):
22
132
xyz
-+
== và mặt phẳng
(P):
xyz
210
+-+=
. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt đường thẳng (D) và song song với (P).
Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không
có mặt chữ số 1?
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng
()
d
:
2120
xmy
++-=
và đường tròn có phương
trình
22
():2440
+-+-=

Cxyxy . Gọi I là tâm đường tròn
()
C
. Tìm m sao cho
()
d
cắt
()
C
tại hai điểm
phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm S(0;0;1), A(1;1;0). Hai điểm M(m; 0; 0), N(0; n; 0) thay đổi
sao cho
mn
1
+=
và m > 0, n > 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN). Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN)
tiếp xúc với một mặt cầu cố định.
Câu VII.b (1 điểm): Giải bất phương trình:
( )
x
xx
x
x
1
2
2
4–2.2–3
.log–344
+

>-
============================













Trn S Tựng
Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2)
yxmxmxmxm
2222
618126(32)
Â
=++=++
Hm s cú C v CT y
0
Â
=
cú 2 nghim phõn bit
xx

12
,
D =
m
2
> 0
m
0
ạ

Khi ú:
( ) ( )
xmmxmm
12
11
3,3
22
= =-+ . Da vo bng xột du y suy ra
CẹCT
xxxx
12
,
==

Do ú:
CẹCT
xx
2
=
mmmm

2
33
22
ổử
+
=
ỗữ
ốứ

m
2
=-

Cõu II: 1) iu kin
x
0

. PT xxx
2
41310
-+-+=

x
xx
xx
21
(21)(21)0
31
-
+-+=

++

xx
xx
1
(21)210
31
ổử
-++=
ỗữ
++
ốứ

x
210
-=
x
1
2
=
.
2) PT xx
2
10sin4sin140
66
pp
ổửổử
+++-=
ỗữỗữ
ốứốứ

x
sin1
6
p
ổử
+=
ỗữ
ốứ

xk
2
3
p
p
=+ .
Cõu III: Ta cú:
xxxxxxxx
fxx
xxxx
222
2222
ln(1)(1)ln(1)
()
1111
++-+
=+=+-
++++

ị Fxfxdxxdxxdxdx
222

11
()()ln(1)(1)ln(1)
22
==+++-+
ũũũũ

=
xxxC
2222
111
ln(1)ln(1)
422
++-++
.
Cõu IV: Do B v D cỏch u S, A, C nờn BD ^ (SAC). Gi O l tõm ca ỏy ABCD. Cỏc tam giỏc ABD, BCD, SBD l
cỏc tam giỏc cõn bng nhau v cú ỏy BD chung nờn OA = OC = OS. Do ú DASC vuụng ti S.
Ta cú:
SABCDSABC
VVBOSASCaxABOA
22

11
22
63
===- =
ax
ax
axaax
22
22

2
1
3
46
1
3
+
=
Do ú:
SABCD
aa
axaxV
33
22
.
212
3
666
=-=
xa
xa
2
ộ
=
ờ
=
ở
.
Cõu V: Ta cú: aabababaaba
2

22
1111
2222
31
44
ổử
=-+++++
ỗữ
ốứ
++=-++++
Tng t: baab
2
1
2
3
4
++++
.
Ta s chng minh abab
2
111
2(2
222
ổửổửổử
++++
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
(*)
Tht vy, (*) ababababab
22

11
4
44
2
++++++++
ab
2
0
()

- .
Du "=" xy ra ab
1
2
==
.
II. PHN T CHN
1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a: 1) Gi tõm ng trũn l
Itt
(;32)
-
ẻ d
1
.
Khi ú:
dId
dId
23
)(,)

(,
=
tt
tt
34(32)5
5
43(32)2
5
+-+
=
+-+

t
t
2
4
ộ
ờ
ở
=
=

Vy cú 2 ng trũn tho món: xy
22
49
25
(2)(1)
=
-++ v xy
22

9
(4)(5)
25
-++=
.
2) (D) :
2
22
3
132
22
xt
xyz
yt
zt
=+
ỡ
-+
ù
===
ớ
ù
=-+
ợ
. (P) cú VTPT
n
(2;1;1)
=-
r
.

Trần Sĩ Tùng
Gọi I là giao điểm của (D) và đường thẳng d cần tìm
Þ

Ittt
(2;3;22)
+-+


(1,32,12)
AIttt
Þ=+ +
uur
là VTCP của d.
Do d song song mặt phẳng (P)
.0
AIn
Û=
uurr
( )
ttAI
1
31032;9;5
3
Û+=Û=-Þ=
uur
.
Vậy phương trình đường thẳng d là:
121
295

xyz
+
==

.
Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: x=
123456
=
xaaaaaa
.
Vì không có mặt chữ số 1 nên còn 9 chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 để thành lập số cần tìm.
Vì phải có mặt chữ số 0 và
1
0
a
¹
nên số cách xếp cho chữ số 0 là 5 cách.
Số cách xếp cho 5 vị trí còn lại là :
5
8
A
.
Vậy số các số cần tìm là: 5.
5
8
A
= 33.600 (số)
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1)
()

C
có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3.
(d) cắt
()
C
tại 2 điểm phân biệt A, B (,)
Û<
dIdR

2
221232Û-+-<+
mm


222
14418954170
Û-+<+Û++>ÛÎ
mmmmmmR

Ta có:
·
119
.sin.
222
=£=
SIAIBAIBIAIB
IAB

Vậy: S
IAB

lớn nhất là
9
2
khi
·
0
90
=AIB

Û
AB =
232
=R

Û
32
(,)
2
=dId

Û

32
2
122
2
mm
-=+
222
161643618216320

Û-+=+Û++=
mmmmm

4
Û=-
m

2) Ta có:
(;0;1),(0;;1)
=-=-
SMmSNn
uuuruuur
Þ VTPT của (SMN) là
(;;)
=
nnmmn
r

Phương trình mặt phẳng (SMN):
0
nxmymnzmn
++-=

Ta có: d(A,(SMN))
2222
nmmn
nmmn
+-
=
++

1.
1
1
1
22
12
mn
mn
mn
mnmn
-
-
===
-
-+

Suy ra (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố định.
Câu VII.b: BPT Û
xxxx
x
1
2
(42.23).log324
+
>-
Û
xx
x
2
(42.23).(log1)0

+>

Û
xx
xx
x
x
2
2
2
2
2
2
2.230
log10
2.230
log10
é
ì
ê
í
î
ê
ê
ì
ê
í
ê
î
ë

>
+>
<
+<
Û
x
x
x
x
2
2
23
log1
23
log1
é
ì
>
ê
í
>-
î
ê
ê
ì
<
ê
í
<-
ê

î
ë
Û
x
x
x
x
2
2
log3
1
2
log3
1
0
2
é
ì
>
ï
ê
í
ê
>
ï
êî
ê
ì
<
ï

ê
í
ê
<<
ï
ê
î
ë
Û
x
x
2
log3
1
0
2
é
>
ê
ê
<<
ë

=====================