Đề&ĐA Toán tự luyện thi ĐHCĐ số 18

Trần Sĩ Tùng
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP
HÀ NỘI
Đề số 18
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số
x
y
x
21
1
-
=
-
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại các điểm A và
B thỏa mãn OA = 4OB.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình:
xx
xx
xx
sincos
2tan2cos20
sincos
+

++=
-

2) Giải hệ phương trình:
ï
î
ï
í
ì
=-++++
=-++++
011)1(
030)2()1(
22
3223
yyyxyx
xyyyxyyx

Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I =
ò
+
+
1
0
1
1
dx
x
x

Câu IV (1 điểm): Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên AA¢ =
a
2
. M là điểm trên AA¢ sao cho
AMAA
1
'
3
=
uuuruuur
. Tính thể tích của khối tứ diện MA¢BC¢.
Câu V (1 điểm): Cho các số thực dương a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn
abc
1
++=
. Chứng minh rằng:
.2
222
³
+
+
+
+
+
+
+
+
b
a
ac

a
c
cb
c
b
ba

II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm E(–1; 0) và đường tròn (C): xyxy
22
–8–4–160
+=
. Viết
phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt (C) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng (P):
xyz
250
+-+=
. Lập
phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng
5
6
.
Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt
đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần?
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt

là:
xy
2–50
+=
và
xy
3–70
+=
. Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm
F
(1;3)
-
.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng D:
xyz
11
212
+-
==
-
.
Tìm toạ độ điểm M trên D sao cho DMAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu VII.b (1 điểm): Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
x
ax
55
log(25–log)
=

============================

Trn S Tựng
Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2) Gi s tip tuyn d ca (C) ti
Mxy
00
(;)
ct Ox ti A v Oy ti B sao cho OA = 4OB.
Do DOAB vuụng ti O nờn:
OB
A
OA
1
tan
4
==
ị H s gúc ca d bng
1
4

hoc
1
4
-
.
H s gúc ca d ti M l: yx
x
0
2
0
1
()0
(1)
Â
=-<
-
ị yx
0
1
()
4
Â
=-

x
2
0
11
4
(1)

-=-
-

xy
xy
00
00
3
1
2
5
3
2
ộ
ổử
=-=
ỗữ
ờ
ốứ
ờ
ổử
ờ
==
ỗữ
ờ
ốứ
ở

Vy cú hai tip tuyn tho món l: yx
13

(1)
42
=-++
hoc yx
15
(3)
42
= +

Cõu II: 1) iu kin:
x
cos20
ạ
. PT xxxx
22
(sincos)2sin2cos20
-+++=

xx
2
sin2sin20
-=


x
xloaùi
sin20
sin21()
ộ
=

ờ
=
ở

xk
2
p
= .
2) H PT
xyxyxyxy
xyxyxyxy
222
()()30
()11
ỡ
+++=
ớ
++++=
ợ

xyxyxyxy
xyxyxyxy
()()30
()11
ỡ
+++=
ớ
++++=
ợ

t
xyu
xyv
ỡ
+=
ớ
=
ợ
. H tr thnh
uvuv
uvuv
()30
11
ỡ
+=
ớ
++=
ợ

uvuv
uvuv
(11)30(1)
11(2)
ỡ
-=
ớ
++=
ợ
. T (1) ị
uv

uv
5
6
ộ
=
ờ
=
ở

ã Vi uv = 5 ị
uv
6
+=
. Gii ra ta c cỏc nghim (x; y) l:
521521
;
22
ổử
-+
ỗữ
ốứ
v
521521
;
22
ổử
+-
ỗữ
ốứ

ã Vi uv = 6 ị
uv
5
+=
. Gii ra ta c cỏc nghim (x; y) l:
(1;2)
v
(2;1)

Kt lun: H PT cú 4 nghim:
(1;2)
,
(2;1)
,
521521
;
22
ổử
-+
ỗữ
ốứ
,
521521
;
22
ổử
+-
ỗữ
ốứ
.

Cõu III: t
tx
= ị
dxtdt
2.
=
. I =
tt
dt
t
1
3
0
2
1
+
+
ũ
=
ttdt
t
1
2
0
2
22
1
ổử
-+-
ỗữ

+
ốứ
ũ
=
11
4ln2
3
- .
Cõu IV: T gi thit suy ra DABC vuụng cõn ti B. Gi H l trung im ca AC thỡ BH ^ AC v BH ^ (ACCÂAÂ).
Do ú BH l ng cao ca hỡnh chúp B.MAÂCÂ ị BH =
a
2
2
. T gi thit ị MAÂ =
a
22
3
, AÂCÂ =
a
2
.
Do ú:
BMACMAC
a
VBHSBHMAAC
3
.''''
112

369

ÂÂÂ
===.
Cõu V: Ta cú:
ababcbab
a
bcbcbc
2
(1)+ ++
==-
+++
.
Tng t, BT trt thnh:
abbcca
abc
bccaab
2
+++
-+-+-
+++

abbcca
bccaab
3
+++
++
+++

Theo BT Cụsi ta cú:
abbccaabbcca
bccaabbccaab

3
3 3
++++++
++=
++++++
. Du "=" xy ra abc
1
3
===
.
II. PHN T CHN
1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a: 1) (C) cú tõm I(4; 2) v bỏn kớnh R = 6. Ta cú IE =
29
< 6 = R ị E nm trong hỡnh trũn (C).
Gi s ng thng D i qua E ct (C) ti M v N. K IH ^ D. Ta cú IH = d(I, D) IE.
Nh vy MN ngn nht thỡ IH di nht H E D i qua E v vuụng gúc vi IE
Khi ú phng trỡnh ng thng D l:
xy
5(1)20
++=

xy
5250
++=
.
2) Gi s (S): xyzaxbyczd
222
2220
++ +=

.
ã T O, A, B ẻ (S) suy ra:
a
c
d
1
2
0
ỡ
=
ù
=
ớ
ù
=
ợ
ị
Ib
(1;;2)
. ã
dIP
5
(,())
6
=

b
55
66
+

=
b
b
0
10
ộ
=
ờ
=-
ở

Vy (S): xyzxz
222
240
++ =
hoc (S): xyzxyz
222
22040
++-+-=

Cõu VII.a: Gi s cn tỡm l:
1234567
=
xaaaaaaa
(a
1
ạ 0).
Trn S Tựng
ã Gi s
1

a
cú th bng 0:
+ S cỏch xp v trớ cho hai ch s 2 l:
2
7
C

+ S cỏch xp v trớ cho ba ch s 3 l:
3
5
C

+ S cỏch xp cho 2 v trớ cũn li l: 2!
2
8
C

ã Bõy gi ta xột
1
a
= 0:
+ S cỏch xp v trớ cho hai ch s 2 l:
2
6
C

+ S cỏch xp v trớ cho ba ch s 3 l:
3
4
C

+ S cỏch xp cho 1 v trớ cũn li l: 7
Vy s cỏc s cn tỡm l:
23223
75864
2! 711340
-=CCCCC (s).
2. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VI.b: 1) Gi VTPT ca AB l n
1
(1;2)
=
r
, ca BC l n
2
(3;1)
=-
r
, ca AC l
nab
3
(;)
=
r
vi
ab
22
0
+ạ
.

Do DABC cõn ti A nờn cỏc gúc B v C u nhn v bng nhau.
Suy ra:
BC
coscos
=
ị
nnnn
nnnn
1232
1232


=
rrrr
rrrr

ab
ab
22
13
5
-
=
+

abab
22
222150
+-=

ab
ab
2
112
ộ
=
ờ
=
ở

ã Vi
ab
2
=
, ta cú th chn
ab
1,2
==
ị n
3
(1;2)
=
r
ị AC // AB ị khụng tho món.
ã Vi
ab
112
=
, ta cú th chn
ab

2,11
==
ị n
3
(2;11)
=
r

Khi ú phng trỡnh AC l:
xy
2(1)11(3)0
-++=

xy
211310
++=
.
2) PTTS ca D:
xt
yt
zt
12
1
2
ỡ
=-+
ù
=-
ớ
ù

=
ợ
. Gi
Mttt
(12;1;2)
-+-
ẻ D.
Din tớch DMAB l SAMABtt
2
1
,1836216
2
ộự
==-+
ởỷ
uuuruuur
= t
2
18(1)198
-+
198

Vy Min S =
198
khi
t
1
=
hay M(1; 0; 2).
Cõu VII.b: PT

xx
a
5
25log5
-=

xx
a
2
5
55log0
=

x
tt
tta
2
5
5,0
log0(*)
ỡ
=>ù
ớ
=
ù
ợ

PT ó cho cú nghim duy nht (*) cú ỳng 1 nghim dng
tta
2

5
log
-= cú ỳng 1 nghim dng.
Xột hm s
fttt
2
()
=-
vi t ẻ [0; +). Ta cú:
ftt
()21
Â
=-
ị ftt
1
()0
2
Â
==
. f
11
24
ổử
=-
ỗữ
ốứ
,
f
(0)0
=

.
Da vo BBT ta suy ra phng trỡnh
fta
5
()log
= cú ỳng 1 nghim dng
a
a
5
5
log0
1
log
4
ộ

ờ
ờ
=-
ở

a
a
4
1
1
5
ộ

ờ

=
ờ
ờ
ở
.
=====================