Trường fermion trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
TRÀN QUANG HOÀN
TRƯỜNG FERMION TRONG LỶ THUYẾT TƯƠNG
ĐỐI TỔNG QUÁT NHIÈU CHIÈU
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
HÀ NỘI, 2013
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH. Đào Vọng
Đức, người đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tôi nhũng kiến thức nền tảng, trục
tiếp đế tôi hoàn thành bài luận văn này. Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng
tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng
thầy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tói các thầy, các cô ở phòng Sau Đại Học, trong Khoa Vật Lí
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt
cho tôi những kiến thức quí báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cún khoa học
trong thời gian qua.
Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn
bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn
thiện luận văn này.
Hà Nội, ngày 25 tháng 06 năm 2013
rri f •
Tác già
Trần Quang Hoàn
Tên tôi là: Trần Quang Hoàn, học viên cao học khóa 2011 - 2013 chuyên nghành Vật lí
lý thuyết & vật lí toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan đề tài: “Trường Fermion trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều
chiều”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài
là trung thực, không trùng với các tác giả khác. Neu có gì không trung thực trong luận văn tôi
xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học.
Hà Nội, ngày 26 tháng 06 năm 2013
rrĩ f
Tác giả

Trần Quang Hoàn
MỤC LỤC
Biến đổi tensor trong lí thuyết tương đối rộng
Biến đổi tống quát không thời gian - Tenson Rieman
Metric rienmain và liên thông affine
Tensor độ cong
Tác dụng bất biến tương đối rộng
LỜI CẢM ƠN
Phương trình Einstein
Trường spinor hiệp biến tổng quát
Metric và vierbein
Vierbein
Vierbein và metric
Biểu thức của vierbein
Ma trận Dirac
Ma trận Dirac trong không - thời gian D > 4 chiều
Tương tác trường spỉnor - gause và hấp dẫn
Lagiangian tương tác
Tương tác spinor và trường gause U(l)
Tương tác trong mô hình Kluza-klein
Kết luận
Tàỉ liệu tham khảo
MỞ ĐÀU
1. Lý do chọn đề tài
Các hạt cơ bản nhất cấu tạo nên các hạt mọi thể loại là các Fermion thực hiện các biểu
diễn cơ sở của nhóm đối xứng nội tại. Chắng hạn, đó là các quark và lepton ba thế hệ.
(u, d); (c, s) ; (t, b)
(v
e
, e") ; (v

M
, ụ ) ; (v
t
, X“)
Lagrangian mô tả hệ các hạt Fermion và các phương trình chuyên động tương ứng đã
được nghiên cứu nhiều trong khuôn khổ lý thuyết tương đối hẹp và cũng đã được xét đến trong
khuôn khổ lý thuyết tương đối tổng quát trong không - thời gian 4 chiều thông thường, sử dụng
hình thức luận Vierbein.
Trường Fermion có ý nghĩa đặc biệt khi xây dựng các mô hình lý thuyết Đại thống nhất
tương tác trên cơ sở mở rộng lý thuyết tương đối tổng quát trong không - thời gian có các chiều
phụ trội. Lúc này các Vierbein tương ứng với các chiều phụ trội được gắn với các trường gauge
dẫn xuất tương tác.
Vì vậy tôi chọn đề tài ‘ Trường Fermion trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều
chiều ”
2. Mục đích nghiên cửu
LỜI CAM ĐOAN
Mục đích của luận văn là tìm hiểu nghiên cứu về trường Spinor trong lý thuyết tương đối
tổng quát nhiều chiều (D > 4), sử dụng hình thức luận Vierbein, chú trọng đặc biệt đến tương
tác giữa trường này với trường gauge.
3. Nhiệm vụ nghiên c ử a
- Tống quan những nguyên lí cơ bản của lý thuyết tương đối tống quát, metric Riemann,
liên thông affine và tensor độ cong.
- Triến khai các tính toán về hình thức luận Vierbein cho trường Spinor, ma trận Dirac -
Sommerfeld cho không - thời gian nhiều chiều.
- Nghiên cứu về tương tác giữa trường Spinor với trường Gauge trong không - thời
gian với chiều phụ trội.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên eứu
Trường Fermion trong lý thuyết tương đối tống quát nhiều chiều
5. Phương pháp nghiên cửu
Sử dụng phương pháp vật lí lý thuyết và vật lí toán để khai triến tính toán.

6. Cấu trúc luận văn.
Chương 1: Biến đổi tensor trong lý thuyết tương đối rộng Chương 2: Trường spinor
hiệp biến tổng quát Chương 3: Tương tác trường spinor - gauge và hấp dẫn
NỘI DUNG CHƯƠNG 1
BIẾN ĐỐI TENSOR TRONG LÝ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG
1.1. Biến đổi tổng quát không thòi gian- Tenson Rieman
Nguyên lí bất biến tương đối rộng khẳng định rằng mọi quá trình đều điễn ra như nhau
trong mọi hệ quy chiếu. Có nghĩa là mọi hệ quy chiếu đều bình đẳng, mọi phương trình phải
bất biến đối với phép biến đổi tổng quát:
x
M
->x
41
=f
ỉl
(x) (1.1)
f ^ (x) là hàm thực bất kì.
Biến đổi Lorentz chỉ là một trường họp đặc biệt của (1.1) khi:
P(x) = A>
v
+ a"
Với phép biến đổi (1.1) ta định nghĩa:
Tensor đối biến hạng r là tập họp các thành phần T^
2 Mr
(x) biến đổi theo quy luật:
LỜI CẢM ƠN
Với vector đối biến ta có:
T'^x’) = ^yr(x) (1.6)
ỡx
Với vector hiệp biến ta có:

^ V
Í7X
TV(x')~T
v
(x) (1.7)
Công thức biến đổi ngược với (1.4)
dx '
a
' dx '°
2
dx
,ơf
, , ,
W2-^s (

x

\

=


o x

o x

o x

Eù
x

_ (

x

( ]
Q\
v,v
2
v
r
w
ỡx
*
(
’ổx*
2
'”dx'
x
* ’ dx
v
' * dx
v
> dx
v
' ■
1 2
"-
r
Công thức được suy ra từ tính bình đắng giữa X và x’, hoặc sử dụng các hệ thức có dạng
Õx

x
Õx'
ụ
_gX. ổx* ổx^
1
ỡx'
M
ổx
ơ R
’ ỡx^ ổx^
Chú ý rằng:
1. X
u
không phải là vector vì:
rW
,|a
!|X ,
v
x
*i^
x
’
Nhung dx^
1
là vector vì:
ổx
dx“=— .dx' ổx
c V
2. Metric minkowski TỊ ,TỊ không phải là tensor, nhưng 0* là tensor, vì:
Là (s+p,r+q) - tensor

1. Với 2 tensor (r,s), (s,r), Có thể lập được đại lượng bất biến như sau: S(x) = A“(x).B^
r
(x)
(1.10)
1.2. Metric Riemann và liên thông affine
Xét các vecter F^
}
và G
(
t
x)
, đạo hàm bình thưÒTLg được viết:
5
v
F^(x) = ^^- và Ổ
V
G (x) = —— khôngbiến đổi theo quy luâtcủa
ỡx
F
ổx
v
LỜI CAM ĐOAN
một vecter tức là chưa phải là các tensor. Đe tạo lêncáctensor từ chúng, ta
phải lập các đạo hàm hiệp biến V
v
, với p (x) ta đặt
V
v
F (X) - õỵ (x) + r^(x)F(x) (1.11)
trong đó rjj

ơ
(x) được gọi là liên thông affine, được chọn sao cho V
v
P là tensor, tức là
, , , _ ,______ ,______, , f)Y ^
V:F'(X )^a^(x ) + C(x )F°(x ) = “ “ V,F(X) (1.12)
ơx ơx
từ đó cho thấy liên thông affine biến đổi theo quy luật
'-,_dx
v
õ\ dx
p

rơ
, 8V* ôx' dx
p
ô x ° ' õ x
v
' ô x '
H
ổx\ax
p
'ổx'
v
'ổx''
cũng với quy luật biến đổi (1.13) ta có:
V
v
G
,,(

X
) =
0
v
G
„(
X
)
_r
v
(
,(
X
)
G
a(
X
) (1-14)
Tổng quát hóa (1.11) và (1.14) đạo hàm hiệp biến của tensor hỗn họp hạng (s,r) có dạng
w,
1
:? (X)=dXĩỉ£ 00+
pn
2
rp^,a n pi
s
T^2-
ơ
_r
ơ

/1
per VjV, V
r
••• po V|V, V
r
pVị CTV, V
r
_pơ rpH|H
2
H
s
_ _ Y
a
•T
,
M-lJ
J
'2—M-s pv% VJCT V •*"
p\'
r
V|V
2
CĨ
LỜI CẢM ƠN
Quy luật (1.13) chưa xác định liên thông affine một cách đơn trị. Đặc biệt nếu r^(x) và
r^
)M
(x) là hai liên thông affine thì
r:
T

(x)=C
1
r^(x)+C
2
r[f(x), c,+c
2
=l (1.16)
cũng thỏa mãn điều kiện (1.13) và do đó cũng là một liên thông affine.
Trong mục này ta tính liên thông affine khi thỏa mãn các điều kiện:
1. Điều kiện đối xứng rj!
T
(x) = P
T
L
V
(x) (1.17)
2. Điều kiện tương thích metric V g =0 (1.18)
Từ quy luật biến đổi (1.13) ta thấy rằng đại lượng
Tv< = rs, - r:
v
(1.19)
là một tensor hạng (1,2). Tensor này được gọi là tensor độ xoắn. Trong trường hợp liên thông
affine là đối xứng (1.17) thì = 0 và ta nói rằng không - thời gian không xoắn.
Từ (1.18) ta cũng suy ra V
p
g
MV
=0 (1.20)
Bây giờ ta tính liên thông affine thỏa mãn điều kiện không xoắn (1.17) và điều kiện
tương thích metric (1.18).

Viết 3 phương trình điều kiện tương thích metric với các chỉ số (|i, V, p) hoán vị vòng như
sau:
V
„gvp = ổ^gvp - r;
gop
- r;
gvơ
= 0 (1.21)
v
„gp„ = ổ
v
g
p
„ - r;^, - r;,g
po
= 0 (1.22)
V
pg„v=
ỡ
pg„v -
r
p„g„v -
r
pvg„„ = 0 (1.23)
Cộng (1.21) với (1.22) và trừ (1.23) vế với vế đồng thời sử dụng tính đối xứng của metric
ta có:
dụgvọ +
d
vẽ
№

-
ỡ
pg„v - 2r^-gap = 0 0 -
24
)
LỜI CAM ĐOAN
tức là
g<,p-
r
^=^(ổ„g
V
p+ổ
v
g
p(
,-ổ
p
g
MV
) (1.25)r = —2^(5 g +ổ g -ở g )
Ị.1V ~ o V |[èpv vfepfl popv /
Điều kiện tương thích metric (1.18) và (1.20) dẫn đến một hệ quả trực tiếp là phép lấy
đạo hàm hiệp biến và phép nâng hạ chỉ số là giao hoán với nhau.
1.3. Tensor độ cong
Khác với đạo hàm bình thường, đạo hàm hiệp biến không giao hoán với
nhau, tức là [V
M
,V
v
] = V

M
V
v
- V
v
V
M
* 0 Ta tính giao hoán
tủ’ này khi tác dụng lên G
?
[v,, V
v
] G, (X) = V„V
v
G
x
(X) - V
v
V
M
G, (x)
Ta có:
v„ (V
v
G,) = ổ„ (V
v
G
x
) - r; (V
0

G,_) - r"
x
(V
v
G
0
)
= ô, (Ỡ„G, - r^G„) - r;, (ỡ
a
G, - r^Gp) - r’. (a
v
G„ - r
w
G
p
) = 3,3,0, - ổ,r^G
0
- n^G
ơ
-
r^„G, + r;r>,G
p
-r^S
>
G
0
+ r^re
B
G
p

Từ đây suy ra:
[v,,V
v
]G,.(X) = (-3/:, + 0
v
r”, )G„ + )G
P
(1.27)
(1.28)
Trong đó R%.V
M
- ổ
v
r; - ỡ
M
r ^ + r ; - r^r được gọi là tensor độ cong
Riemann.
Có thể thử trực tiếp các tính chất đối xứng của R
ơ
.
Xv
p r
ơ
MP
Ị?
ơ
— -R
ơ
'Xvịi *>.|ÌV
R\

w
+ RVv + R",, =0
LỜI CẢM ƠN
(1.26)
nhân 2 vế (1.25) với g'"
p
ta có:
= R\v,G
c
(1.29)
(1.30)
Bên cạnh R%
vụ
cũng thường dùng R
p
-_
V
,
M
liên hệ với nhau bởi metric tensor
(1.31)
(1.32)
Công thức (1.27) viết cho covariant vector, với contravariant vector ta có:
[V
(l
,V
v
]p=[V
M
,V

v
](g^)
được gọi là độ cong vô hướng.
1.4. Tác dụng bất biến tương đối rộng
Trong lý thuyết tương đối hẹp, khi Lagrangian bất biến L(x) thì tác
dụng định nghĩa bởi A = Jd
4
xL(x) cũng bất biến.
Trong lý thuyết tương đối tổng quát thì không như vậy. Đe xây dựng tác dụng bất biến
thay vì d
4
x ta phải tìm phần tử bất biến tương ứng.
Từ quy luật biến đổi của metric g^v (x)
(1.36)
LỜI CAM ĐOAN
(1.33)
(1.34)
(1.35)
Từ R%
up
lập đại lượng R
iv
= R\„ = g
op
R
p)
.
vo
được gọi
là Ricci tensor.

Có thể thử trực tiếp tính chất đối xứng R,
v
= R
v
, Từ
Ricci tensor R
(1V
lập đại lượng R = g'
lv
R
uv
=
ta tìm quy luật biến đổi của định thức
Kí hiệu: (g) ma trận có phần tử hàng |LI cột V là g
Mặt khác ta có: d
4
x = D| A .d
4
x = J.d
4
x =
4
/—d
4
x
V
x
)
tức là -v/-gd
4

x = sf-g d
4
x
Vậy tò Lagrangian bất biến L ta có thể lập tác dụng bất
biến dạng
S=|d
4
x/^L(x)
Lagrangian bất biến của hệ trường vật chất cp(x) và
trường hấp dẫn (thể hiện trong metric tensor g^vCx))
Einstein đã chọn là
L(x) = L(<p,g) = R+L(<p,V
(l
(p)
trong đó L(cp,v cp) mô tả hệ trường vật chất (p tương tác
với trường hấp dẫn thu được tò Lagrangian tự do của
trường (p như trong lý thuyết bất biến Lorentz trước đây
với sự thay thế ổ (p(x) bang V <p(x).
ổx
v
ma trận có phần tử hàng ịi cột V là
r
e x ' ) õ x
N
'
T
\ Ô \ J
ta viết lại (1.36) thành (g ) =
í d x ^ ị
từ đây suy ra g = det

vỡx Ị
trong đó J = det
ô x )
d x
'dì'
v
ổx'y
= J
2
-g
■g.det
(1.38)
ởx
(1.39)
1.5. Phương trình Einstein
Phương trình trường hấp dẫn thu được từ nguyên lí
tác dụng tối thiểu áp dụng cho tác
dụng (1.40) và (1.41)
(1.42)
s* - Jd
4
x,/-gL(q>,V^(p)
Sg mô tả bản thân trường hấp dẫn, s mô tả trường vật chất
tương tác
với trường hấp dẫn.
Phương trình chuyển động thu được từ nguyên lí
biến phân đối vói tác dụng (1.42): 5S = ÔS
g
+ ôS
cp

= 0
Tính lần lượt 6S„ và ÔS
Ọ
. Ta có:
5S
g
= Jd
4
x ô .g^, + JR„
V
+
V=Ig
,,v
(1.43)
Tính các biến phân ở vế phải, ta có:
8g
Đê tính
—
—

t
a
v
i
ê
t
g
d
ư
ớ

i
ÔS = 0
d
a
n
g
:
S
g
„
v
Từ dó suy ra:
Thay vào đâyvà sử dụng các đồng nhất thức
^ ễ|ixểvpểÂvễp8 ^Xpy8
-
ể
ta có: dg = g.g
m
dg
và từ đây suy ra: = g.g
uv
Sg^v
Kết quả là:
s 7=g =-^g.g“
v
Sg
llv
=-^g
MV
ôg^

Đẻ tính ôR
JiV
ta dùng hệ quy chiếu quán tính định
xứ, tại đó liên thông Affine rj)
ơ
= 0. Lúc này ta có:
ôR
(lvS
ỏRV=ô ổ
v
r;-a
ơ
r; =
(
1.45) 4 V r -V r = V ôr
G
-V ôr
ơ
V ơfl ơ Vịl ơ Ơ|J.
VJL1
Do cấu trúc tensor nên hệ thức cuối cùng này đúng cho
mọi hệ quy chiếu.
Vậy ta có:
Jd
4
x/^SR
|lv
= |d
4
xV=^f V

v
sr; -v„
sr;
(1.46)
Lại chú ý rằng trong hệ quy chiếu quán tính:
V
í
.g‘'
v
-Ổ,g-
+
r^g
n
''
+
rLg- = 0
nên v,g"
v
= 0 trong mọi hệ quy chiếu (do cấu trúc
tensor), và do đó ở vế phải
dg
M
„ =dg
0
„.g
llt
g'
0
của (1.46) ta có thể đưa g
ụv

vào trong V và viết:
Jd
4
x^-gg
,lv
SR
llv
= |d
4
x
%
/-g V
v
g>"’5r; -v„
g^sr;
(1.47)
Tiếp tục biến đổi vế phải.
Xét V
v
F
v
với F
v
= g^ôr", hoặc g^sr“,,.
acr
r
v
H
=^g
VƠ Ổ

vga
H
+
^ểav-
Ổ
agv
H
=
=
= ^
l
(ing)=^a
fl
in(-g)=-^a
|J
(7
I
g)
2g OgvCT
2 2
v-g
V
v
.F' = -jLd
v
^Ịf
và từ đây: Jd
4
x
%

/-gV
v
F
v
= |d
4
xổ
v
^/-gF
v
= 0
và tai măt biên ỗr° = 0
ЦУ
Ket quả là phưong trình (1.43) sẽ thành:
ÕS
g
= Jd
4
x/^-ig
tlv
R + R,
v
jôg‘
U
'
Chuyển sang tính ỖS,
P
. Ta có:
ss
„ = J

d4x8
-y-gL
như vậy (1.49) sẽ thành:
6S
f
= 8ity.Jd
4
x/ÌT
(
,
r.8g^
trong đó:
Do
Ta CÓ: V F
v
= ô „F' + r.P
vu
nën
(1.48)
ô J - g L — §т
.ỗg^
v
+ 5 av
iv
g Ị. tv с?V
оо>
'MYUV
о
ỗ dY
v

fd
4
xJ=i
0L
M
„ 5 ô
a
f = fd^J^g
5L
||V
ySg’"'
ô ổ
a
g
= jd
4
xa
a
/Ì—ỄỈỊ-Sg-
5 0V
v
ÔL
= - Jd
4
xổ
c
5 ổ
r
y
а Ị.IV

(1.49)
Та biến đối số hạng cuối như sau:
5L
ÔL
- jd
4
xổ
a
v=í
(■IV
•Sg
а ЦУ
s 3“g
|AV
8g
8 ổ“g
(1.50)
8
<
-3
a
ô V
-
Ỗ
L
ồg-' 6 ỔV
V
được gọi là tensor năng xung lượng của trường (p, Y là
hằng số hấp dẫn vũ trụ y = 6,67.10"
8

cm
2
.sec"
2
.g
_1
.
Kết hợp (1.48) và (1.50), nguyên lí biến phân ỖS = 0 cho
ta phương trình:
^vR-R^STiy.TT
được gọi là phương trình Einstein cho
trường hấp dẫn. Từ (1.52) ta có: R =
87iy.g
MV
T
f
;;
p)
= 87iyT
((p)
thay ngược lại vào (1.52), ta có:
T(<P) _ _J_D
'
lv
8TUỴ ^
Trong chân không Tyy
}
= 0, và phương trình
(1.54) cho R = 0
|1V

Các kết quả này dẫn đến kết luận sau:
Tính chất hình học của không - thời gian được
quyết định bởi trường vật chất ở trong đó. Ta cũng nhận
xét rằng vế trái phương trình Einstein (1.52) là phạm trù
hình học, còn vế phải là phạm trù vật lí. Trong tinh thần
đó người ta diễn tả một cách hình ảnh phương trình
Einstein là:
HÌNH HOC = VÂT LÍ.
rp(ip) = 1

j_

8rcy 7g
(1.51)
(1.52)
M
v
(1.53)
g,vT
№)
(1.54)
' ị i
v
CHƯƠNG 2 TRƯỜNG SPINOR HIỆP BIÉN TỐNG
QUÁT
Hệ thức (2.1) cho ta hiểu rằng V
a
(x) là những vector trực
giao với nhau
trong một không - thời gian phang, không - thời gian

phang này được chọn là không - thời gian tiếp tuyến với
không - thời gian cong đang xét tại điểm M(x).
Cùng với các vierbein V
a
(x) ta cũng đưa vào vierbein v
(
.
}
(x) thỏa mãn điều
kiện: V,,“ (x) v?
b)
(x) = 5
Các chỉ số a, b được gọi là các chỉ số vierbein. Chú ý
rằng vì là vector nên v^
a
(x) và vj
l
a)
(x) biến đổi theo quy
luật:
2.1. Metric và vierbein
2.1.1. Vierbein
Vierbein (còn gọi là Tetrad) là bộ 4 vector độc lập tuyến
tính, được đánh số bởi các chữ a, b, c, =0, 1, 2, 3,
thường được kí hiệu bởi V
a
(x), với các thành nhân V
a
("xì
thỏa mãn điêu kiên:

(2.2)
dưới tác dụng của phép biến đối tọa độ tống quát.
(2.3)
Nhân hai vế phương trình (2.2) với v|'
a)
(x) ta có:
Như vậy các chỉ số vierbein có thể đưa lên xuống bằng
metric Minkowski.
2.1.2. Vierbein và metric
Ý nghĩa chính của vierbein là ở chỗ metric tensor có thể
biểu diễn qua chúng, nhân hai vế (2.5) với g
pv
(x) ta có:
v (
x
)
v
<a>p(
x
) = n* V,,“ (x) v
p
b
(x) =
g
№
(x) (2.10)
Dùng (2.10), ta viết lại biểu thức của khoảng ds qua
vierbein như
sau:
ds

2
= g
llv
(x)dx’
J
dx
v
=r
1ab
v<“
)
(x)vt
b,
(x).dx'
1
dx'’ =
T
ìal)
dx
(a)
dx
(W
(2.11)
trong đó ta định nghĩa dx
(a)
là thành phần vierbein của
dx
M
.
dx

,a)
= vỊ^dx»
(2.12)
nhân hai vế với v|
a)
và sù dụng (2.5) ta có hệ thức ngược
lại:
dx
M
= vj
a)
dx
(a>
(2.13)
Tương tự nhu (2.12), ta định nghĩa thành phần vierbein
của vector A
11
như sau: A
,a,
= v‘
a,
A
M
(2.14)
và A
(a)
-T!
ab
A
<b)

= ri^’A“ = A„
(2.15)
Một cách tổng quát các thành phần vierbein của một
tensor (n, m) là:
T,b'ib
2
wbV(x)- v‘
a|,
v‘
a2,
v‘
a
"
)
.vr' y.? v'!" .Xv
2
"^
(2.16)
(b|)(b
2
) (b
n
) V /n, ụ
2
(
b
l)(dj) (t>
n
)
v

l
v
2-
v
n
v
Rõ ràng rằng là bất biến đối vói phép biến
đổi tọa độ tổng quát.
Kí hiệu (g) là ma trận 4x4 với phần tử hàng p, cột V là g ,
(V) là ma trận 4x4 với phần tử hàng a cột ịi là v^
a)
, (rị) là
ma trận 4x4 với phần tử hàng a cột b là r|
ab
, ta viết lại hệ
thức (2.10) như sau:
(g) = (v)
T
(r|)(v)
(2.17)
và tù’đó ta có: g = -v
2
(2.18)
trong đóg = det(g), V= det(v)
ổ
Ta hãy định nghĩa “đạo hàm dọc theo phương a” s —— F
là:
ỡx
ổ
(2.19)

ổ
x'
a) (a)
ổx“ Từ
(2.13) và (2.19) ta
có:
ỔF

dx
u»
=
ỔF
dx
<.)
ổx
(a)
5x
,w
2.1.3. Biếu thức của vierbein
Đe tìm biểu thức tường minh của vierbein, ta xuất
phát tù’ hệ thức
(2.10) liên hệ vierbein với metric: g
MV
(x) = TỊ
ab
v^
a
(x) V
v
b

(x)
Ta minh họa qua ví dụ cụ thể sau:
Xét metric dạng:
ds
2
= e
2a(r,t)
dt
2
- r
2
d9
2
+ sin
2
0.dọ
2
-e
2p(r,t)
dr
2
(2.21)
(tổng quát hóa metric Schwarzschild)
Ta đặt dx
(a)
= Y^dx^
1
sao cho ds
2
SE T|

ab
dx
(a)
dx
(b)
có dạng (2.21)
Rõ ràng để được như vậy, ta có thể đặt
dx
(ü)
= e
a
dt, dx
(l)
= rdö, dx
í2)
= fsinOdọ, dx
(3)
= ê^dr
Tiếp theo ta diễn tả dt,d0,d(p,dr qua dx
4
=
dt,dx,dy,dz , ta tính như sau: dt = dx° = dt
dr = —d(r
2
) = — d X
2
+ y
2
+ z
2

= - xdx + ydy + zdz
(2.25)
2r 2r r
= sin9.cos(p.dx'
+ sin0.sincp.dx
2
+ cosG.dx
3

Với sự đồng nhất:
x° = t , x'=x, X
2
= y , x
3
= z, X ° = t , X
1
= 0, X
2
— (p , x
3
= r
Đe diễn tả rd0 ta dùng hệ thức z = rcos0 dz =
dr.cosO - r sinG.dG
rd0 =
COS
^ dr !—dz= cos0.coscp.dx
1
+
cosô.sincp.dx
2

- sinG.dx
3
sin0 sin0
Đe diễn tả rsinOxkp ta dùng hệ thức X — rsinO.cosọ
dx = dr.sinG.cosọ + d0.rcos0.cosọ - dọ.r sin
0.sin Ф
.
л
, sinö.coscp , rcosö.coscp 1
г sin 0.dọ = —
1
dr + ——-dO
dx
sincp sincp sincp
=
-sin(p.dx
1
4-
cos.dx
2
Thay các
kết quả (2.25) vào
(2.24) ta có: dx
(0)
=
e
a
dx°
dx
(1)

= cosO.coscp.dx'
+ cos0.sin(p.dx
2
-
sinB.dx
3
dx
(2)
=
-siiup.dx
1
+ cosọ.dx
2
dx
(3)
= e
,}
sin9.coscp.dx
1
+ sin9.sinọ.dx
2
+ cosB.dx
3
(2.26) Từ (2.22) và (2.26) suy ra:
vỊ
3)
= e
p
sin0.cos(p,V2
3)

= e
p
sin0.sinq),V3
3)
=
e
p
cos0 Dưới dạng ma trận ta có:
Vo 0 0
0 cos0cos(pcosO.sincp -sin 9
0 - sincpcoscp 0
0 e
p
sin0.cos(p e
p
sin0.sin(p e
p
cos0
Nhận xét rằng
vj
0)
= 0, = 0, v|
3)
=e
1
*—,i =
1,2,3
r
Để tìm vj
l

a)
ta sử dụng hệ thức dx
M
= vỊ'
íl)
dx
(a)
Tính tương tự như trên, ta có:
dx° = dt = e~
a
dx
(0)
dx
1
= d rsinO.cosọ = sin0.cos(pdr +
rcos0.cos(pd0 - rsin9.sin(pd(p =
cos9.coscp.dx
(l)
- sin(p.dx
(2)
+ sin0.cos(p.e
-
í>
dx
(3)
v
(0)
= e
a
jY

(0)
= v
^
= v
tu,
= 0
ị = 0
vỊ
1}
= COS0.COSỌ
y
(
2
}
= cosG.sincp vỊị
0
=
-sin0
r(2) _
v
(
0
2)
= 0,vỊ
/;
= -sincp, v
l
2
/;
= coscp, V3

/J
= 0
,(0) _ „(0) _
V n ' = 0
(2.27)
r(2) _
,<2) -
,(
3
)
0
v
(a)
=
ụ
(2.28)
dx
2
= d 1' sin o.sincp = sin o.sincpdr +
rcos0.sin(pd9 + r sin 9.CO s (pdcp =
cos0.sincpdx
(1)
+ cos(p.dx
(2)
+ sin0.sincp.e
-
p
dx
(3)
dx

3
= d(rcos0) = cosG.dr- rsin9.d9 = -sin.dx
(1)
+
e
_p
cos0.dx
(3)
Từ đây ta suy ra
v
?
0
)
-a 0 0
=
e
>
V
íu =
V
(2,
V
ỉ
o)
= 0
v
ỉ
.)
= COS0.COS(p
V

Ỉ
2)
= -sincp
V
Ỉ
3)
= e
-13
sinG.coscp
v
(
2
0
)
= 0
V
(
2
.)
= cos0.sin(p
v
(
2
2)
= coscp
v
(
2
3)
= e

-p
sin 0. sin
(p
V
f
o)
= 0
3
v
(
l)
= -sin0
y
3
(
= 0
3
v
(
3)
= e
-(ỉ
cos0
Dưới dạng ma trận ta có:
V
a
0 0 0 '
u
0 COS0COSCP -sincp sinG.cosọ
V(

a)
= „
(2.31)
0 cosB.sincp cos(p e sin 0. sin (p
v
0 -sin0 0 e
_|ỉ
cos0 J
Nhận xét rằng
v;
0,
= 0,v;
o)
= 0, vị,, = 6-^,1 = !,2,3
CÓ thể kiểm tra trực tiếp rằng các các ma trận (2.28) và
(2.31) thỏa mãn điều kiện (2.2): (v; ) (v?
b)
) = (ô
a
b
) và
(2.5) (v?.,) (v^) = (Sĩ)
Sử dụng các biểu thức (2.28) của có thể dễ dàng tính ra
tensor
metric g
ụv
(x) trong tọa độ Decartes theo công thức: g
MV
=
Tl

ab
vJ
l
a)
vJ,
b)