Ứng dụng định lý BaBuska-Brezzi đối với một số bài toán biên elliptic

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người đã
định hướng chọn đồ tài và tận tình hướng dẫn đổ tôi có thổ hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy
chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ,
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành
luận văn.
Hà Nội, tháng 08 năm 2013 Tác giả
Linh Thi Thanh Loan
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân
tôi, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng. Luận văn là sự tổng
hợp các kết qủa trong các tài liệu tham khảo xoay quanh chủ đề ứng
dụng của Định lý Babuska-Brezzi đối với một số bài toán biên elliptic.
Hà Nội, tháng 08 năm 2013 Tác giả
Linh Thị Thanh Loan
Mục lục
Mở đầu
Danh
mục
kí
hiệu
> ?
Kiên thức chuân bị
Hàm suy
rộng
Hàm thử và
phân bố
Một số pliép

toán với phân bố
Biến đổi Fourier
và không gian
Schwartz
Hàm suy rộng tăng chậm
Không gian
Sobolev
ĐỊnli nghĩa và các tính
chất cơ bản
14

19
Xấp xỉ bởi các hàm trơn
Các định lý thác triển
Các định lý nhúng
Các định lý nhúng
compact
Không gian đối ngẫu,
không gian bậc pliân số và
không gian vết
Lý thuyết vết
Định lý
Babuska —
Brezzi và
ứng dụng
Bài toán biến phân
và định lý Babuska
3
5
6

6
7
9
1
2
1
3
1
4
Chương 1.
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.2.
1.2.1.
1.2.2
.
1.2.3.
1.2.
4.
1.2.5.
1.2.3.
1
.
2
.
7
.

22
24
25
24
2
8
33
33
33
37
40
40
45
Chương

2.
2.1.
- Brczzi
Bài toán biến phân
Định lý Babuska - Brezzi
ứng dụng đối với
một số bài toán biên
elliptic
Phương trình song điều
hòa
Hệ đàn hồi
4
2.1.1.
2.1.2.
2.2.

2.2.1.
2.2.2.
2.2.3. Hệ St.okcs
Kết luận
Tài liệu tham
khảo
48
53
54
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Các bài toán biến phân đã xuất hiện từ rất lâu, thu hút được sự quan
tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trong các thế kỷ XVII - XIX và có
ảnh hưởng rất lớn đối với sự phát triển của Giải tích toán học. Nhưng
phải đến thế kỷ XX bài toán biến phân mới được hình thành với tư cách
là một lý thuyết toán học độc lập, với nhiều hướng nghiên cứu khác
nhau. Cho tới ngày nay, nghiên cứu các bài toán biến phân chủ yếu
được tập trung vào ba vấn đề chính:
- Nghiên cứu định tính (điều kiộn cần và đủ đổ có nghiệm, các định
lý đối ngẫu, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm, );
- Nghiên cứu định lượng (xây dựng các thuật toán tìm nghiệm thỏa
mãn các tiêu chuẩn cho trước, xác định tập nghiệm. );
- ứng dụng' (giải quyết các bài toán vồ kinh té, bất đẳng thức biến
phân, bài toán cân bằng, phương trình đạo hàm riêng,
Một trong những vấn đề quan trọng của bài toán biến phân là nghiên
cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Không phải tính chất định tính nào
cũng được sử dụng trong nghiên cứu định lượng, nhưng các kết quả
nghiên cứu định tính thường giúp ta có cái nhìn sâu hơn vào lớp bài
toán được xét và hiểu nó ngày một đầy đủ hơn. Đã có rất nhiều các
công trình toán học nghiên cứu về vấn đề này, trong đó phải kể đến hai

nhà toán học Ivo Babuska và Franco Brezzi với định lý Babuska-
Brezzi, cho ta một điều kiện để xác định bài toán biến phân có nghiệm
duy nhất. Kết quả này được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán
học khác nhau như tối ưu hóa, phương trình vi phân và phương trinh
đạo hàm riêng.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của định lý Babuska-
Brczzi, dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng, tôi mạnh
dạn chọn đề tài “ ứng dụng định lý Babuễka-Brezzỉ đối với một số bài
toán biên ellỉptic
Luận văn được cấu trúc thành 2 chương. Chương 1 được dành đổ
đưa, ra một số kiến thức căn bản về lý thuyết hàm suy rộng và không
gian Sobolev. Chương 2 trình bày tổng quan về định lý Babuska-Brezzi
và ứng dụng của nó đối với một số bài toán biên Elliptic.
Danh mục kí hiệu
11
Au —
:
toán tử Laplace của u.
i-1
a
'
v,t
- (fe7> è)
:
s
raclierit của u
-
M
7
ị — Ịx — (x

r
,:r
7ỉ
) b R
n _ 1
X R" |ic
n
> 0|.
c (Q) : không gian các hàm liên tục trên c : không
gian các hàm liên tục trên ũ.
c
k
{n) - {uí.C{n)\D
a
utC{n)
y
V\a\ ^ k}. c
k
(íỉ) — {?/, ĩ=
c
k
\D
a
u liên tục đều trên fỉ|.
c™ (fì) - Hơ* C'*> m - n c
k
(ft)-
Ả —0 k- 0
ư — {/ — đo được, lũy thừa bậcpkhả tích trên 17}
với chuẩn

l/l - l/l - y I/ ,p > 1
V (Q) : không gian các C'**- hàm với giá compact trong íì. D
r
(íĩ) :
không gian các hàm suy rộng trên íì. s : không gian Schwartz của
các hàm giảm nhanh trong R
n
. s
r
: không gian các hàm suy rộng tăng
chậm trên R
n
. w
m,p
(0) : không gian Sobolev với 1 ^ p ^ x>. w™'
p

(íí) : bao đóng của D (Í2) trong w
m
'
p
.
W
mS t
(íĩ) - H
m
(Q); w™-
2
(Q) - H™ (Q).
w°'

p
[Q) - ư (fi); w°'
2
{ũ) - ữ (fi).
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Nội dung của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu
ỈU-Í5Ị.
1.1. Hàm suy rộng
Khi nghicn cứu phương trình đạo hàm riêng, theo nghĩa cổ điển -
nghiệm phải là hàm có số lần khả vi bằng cấp của phương' trình và thỏa
mãn phương trình mọi nơi trong không gian và thời gian. Tuy nhiên,
quan niệm như vậy rất hạn chế và một số phương trình mà nó mô tả
hiện tượng vật lý sẽ không có nghiệm, nên sẽ cản trở việc nghiên cứu
toán học từ các trạng thái vật lý đó. Do vậy việc IĨ1Ở rộng khái niệm
nghiộm của phương trình đạo hàm riêng là cần thiết, tức là cần thiết mở
rộng khái niệm hàm khả vi. Nói cách khác, ta sẽ nghiên cứu lớp rộng
hơn gồm các đối tượng được gọi là phân bố (hay hàm suy rộng)- trên
đó ta có thể định nghĩa đạo hàm (suy rộng) sao cho các quy tắc tính
toán thông thường vẫn đúng. Ngoài ra, đối với các hàm trơn, khái niệm
đạo hàm mới phải trùng với đạo hàm thông thường.
Cho / i= L
2
(R) - không gian các hàm bình phương khả tích trôn R.
Có thể chỉ ra rằng không gian D -các hàm khả vi vô hạn với giá
compact trong R là trù mật trong L
2
(R) (giá của hàm ậ : M —► M
(hoặc C) là tập
K - (xĩ=R\ộ{x) 7^0}). (1.1.1)
Khi đó, vì L

2
(R) là không gian Hilbcrt ncn / sẽ hoàn toàn xác định
khi biếttích vô hướng của nó với mỗi phần tử của D,
nghĩa là,khi biết
tất cả các số J fộ,ộ cr V. Lúc này giả sử f là khả vi liên tục, với đạo
n
hàm f. Tích phân từng phần, ta có
ị f ệ - - ị f ệ
r
. (1.1.2)
R R
Lưu ý rằng vế phải của (1.1.2) không liên quan tới đạo hàm của /. Hơn
nữa các ánh xạ ộ —> \ fộ và ậ —► — y fộ
r
là tuyến tính trên D. Do đó
M ả
nếu ta có thể xác định một tôpô tương thích trên D làm cho các ánh xạ
đó liên tục, thì ta có thể định nghĩa / như một phiếm hàm tuyến tính
liên tục trên T> và định nghĩa f thông qua vế phải của (1.1.2) ngay cả
khi f không khả vi, miễn là tích phân có nghĩa.
1.1.1. Hàm thử và phân bố
Cho ậ là hàm liên tục giá trị thực (hoặc phức) xác định trên tập mở
trong R
n
. Giá của 0, được viốt là supp [ộ) là bao đóng (trong R
n
) của
tập, trên đó ộ 7^ 0 (xem (1.1.1)). Nếu tập đóng này là compact, thì ộ
được gọi là cố giá com.pacẦ.
Tập tất cả các hàm khả vi vô hạn trên M

n
với giá compact là một không
gian vectơ và được ký hiệu bởi V ^R
n
) hoặc đơn giản là D và được gọi
là không gian các hàm thử.
Định lý 1.1.1. (C
JJ
- phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương)
Cho íì s_ M
n
ìà một tập mở vầ Q — ỊJ ííị, £li - mở. Khi đó, tồn tại
1=7
cấc hầm ậị
r
± C'
v
[tì) São cho (i) supp [ệi) íìị,
(ü) {supp^ội)}^^ hữu hạn địa phương,
[iii) 0 ^ ậi (x) ^ 1, Vz ỉr /,
O) ỵ,ệi = í.
Hệ quả 1.1.1. CỈ
10
K c_ R
n
là một tập compact. Khi đó, úệ b D (K
n
) sao
CÌ20 0 = 1 trcn K.
Hàm ệ được xây dựng ở trên được gọi là hàm cắt theo tập compact

K.
Nếu íì là một tập mở trong R
n
, thì không gian các c
x
' - hàm với giá
compact và chứa trong 0. sẽ được ký hiộu bỏi D (n).
Định nghĩa 1.1.1. Một dãy hàm {ậ
m
\ c_ D [Í2) được gọi là hội tụ tới 0
nếu tồn tại tập compact cố định K íì sao cho supp (íp
m
) í- K với mọi m
và ỷ
m
và tất cả các đạo hàm của nó hội tụ đều tới Ü trên K.
Như đã chỉ ra ở phần đầu, ta sẽ khái quát khái niệm hàm bằng cách
xct các phiếm hàm tuyến tính trôn *D (íí) liôn tục đối với tôpô đã đề
cập ở trên.
Định nghĩa 1.1.2. Phiếm hàm tuyến tính T trên D (Í2) được gọi là một
phân bố trên Q nếu với mọi ậ
m
—> Ü trên D (_íĩ) ta có T [ỷm) Ü.
Như vậy, không gian các phân bố là đối ngẫu của không gian các
hàm
thử, được ký hiệu bởi D
r
(íì). Trường hợp íì — R
n
, ta viết đơn giản là

v
r
.
Nhận xét 1.1.1. Từ định nghĩã ta thấy rằng:
i, Hầm khả tích địa phương lầ phấn bố.
ii, Độ đo lầ phẫn bố.
Ta kết thúc mục này với khái niệm cấp của phân bố.
Định lý 1.1.2. Cho Í2 W R
n
là tập mở. Khi đó các khẳng định sau lầ
tương đương:
(i) TĩV
r
{n).
[ii) Với mỗi tập compact к íì, tồn tại hằng số с — с Iк) > о và số
nguyên N — N (К) sao cho
(1.1.3)
với Чф ^ D (Í2) mà supp{ậ) c_ к, trong đó \ậ\
N
ỉầ giấ trị tuyệt đối lớn
nhất trôn íỉ củ а Ф và tất cả cấc đạo hàm củ ã nó có cấpkhông quấ N.
Nếu có một số nguyên N thỏa mãn đối với УК thì T gọilàcó cấp
hữu hạn và số N nhỏ nhất được gọi là cấp của T. Nếu không thì T được
gọi là có cẤp vô hạn.
1.1.2. Một số phép toán với phân bố
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu một số phép toán quen thuộc của
Giải tích được áp dụng đối với phân bố.
Cho X t R
n
với tọa độ (xi, ,£

n
). Một đo, chỉ số là n - bộ
а - {a
u
,a
n
), ữị ^ 0, OLị - nguyên.
Liên kết với đa chỉ số a
ì
ta có các kí hiệu sau
|q| — a . ị -|- a
n
a! —
ơ.i\ a
n
\ x
a
xí=R
n
Ta nói rằng hai đa chỉ số a và Ị3 có mối liên hệ a ^ p nếu aị ^
Pi với VI ^ i ^ n. Cuối cùng ta đặt
d
ịnị
D
a
_ n
a
> n°» _ í
1
• " dxĩ' dxĩ"

Như vậy, chẳng hạn, nếu n — 2 và a — (2,1) thì
<?
3
D
a
- —
dx\dx
2
Phép toán quan trọng đầu tiên trên các phân bố là, phép lấy vi phân.
Cho T - T)
r
(R). Nếu T — Tf với / là hàm khả vi cấp 1 thì f khả tích địa
phương. Vì vậy với ộ b D (R)
Tf lệ) - 1 fệ - - 1 fệ' - -TỊ ự) .
R M
Tổng quát hóa điều này, ta định nghĩa với bất kỳ T b D
r
(M),
T
r
(ỷ) Tự), ỷcD(l).
(1.1.6)
Nói chung, nếu T cf ĩ)
r
, Q R
n
là một tập mỏ, thì với đa chỉ số a bất kỳ,
ta định nghĩa phân bố D
a
T bởi

(1.1.7)
Một phép toán quan trọng khác trên các phân bố là phép nhân với C
J
^ -
hàm. Cho w R
n
là tập mỏ và (ậ
m
ị là một dãy trong V (rỉ) hội
(1.1.4
)
tụ về 0. Khi đó theo công thức Leibniz cổ điển với hàm trơn, dễ dàng
thấy rằng ффт —► 0 trong D (Í2). Do đó đối với bất kỳ phân bố T, ta
có T [ĩpộ
m
) —» 0. Vì vậy ánh xạ được xác định bởi Ф —> T [ĩpệ) 1 Ф W
T> [yi) với Ф cố định thuộc C'** (íí) và T b ĩ)
r
xác định một phân bố.
Ta ký hiệu là фТ. Như vậy
{фТ) {Ф) - T {фф), фьТ>{ Ũ) (1.1.8)
Nếu T là một hàm, tức là T — TỊ thì ĩpT — T-ệf. Vì vậy phép nhân với
một C
Xf
- hàm của một phân bố là sự mỏ rộng của khái niộm phcp nhân
của hai hàm. Các quy tắc quen thuộc của giải tích vẫn đúng. Ví dụ, cho
ф ь c
x
’ (M) và T ь v
r

(R). Lấy ф ь V (R). Khi đó
ị
(
mw íýT)(g) Tự£)
- Л т М '
т
Ы
Như vậy ta có quy tắc đạo hàm của tích:
d , . , (ỈT dĩb _ .
~т~ [фТ) — V’j + ~г~т. 1.1.9)
ах ах ах
Điều này có thể dễ dàng được khái quát như sau:
Định lý 1.1.3. (Công thức Leibniz)
Cho Ũ IR
n
lầ một tập mở, Ф (íí), TbD
r
(íì). Khi đó, với đa CỈ1Ỉ số Q
bất kỳ,
°" m - ỵ,
ĩĩ
^r
W
,‘>'*
D
""
T
-
Cuối cùng ta xét dãy các phân bố. Trên không gian các phân bố D
r

[í]), ta xét tôpô yếu*; tức là ta nói rằng một dãy các phân bố [T
m
ị hội tụ
tới phân bố T nếu với mỗi ệ CT D (n),
T
m
(ệ) —fT{ệ).
Định lý 1.1.4. CỈ
10
T
m
—> T trong v
r
^n). Khi đó với đã CỈ1Ỉ số a bất kỳ,
tã có D
a
T
m
D
a
T trong v
r
[Q).
1.1.3. Biến đổi Fourier và không gian Schwartz
Định nghĩa 1.1.3. Clio f L
1
(R
n
). Biến đổi Fourier của /, ký hiệu bởi /, là
một hàm xác định trên R

n
bằng công thức
f
(0
- I e
-2
"
x<
7 (x) dx, ì - V-l, (1.1.10)
R"
n
trong đó xị — Xjịj là tích vô hướng trong M
n
. j-1
Vì / t L
l
(R
n
) ncn trực tiếp thấy rằng / (_£) là xác định với mỗi ị br
Ta có
/ Cí)| ^ (1-1-11)
Không gian Schwartz là không gian con của L
l
(M
n
), và bất biến qua
biến đổi Fourier, gồm các (7
X>
- hàm có tính chất, nó cùng với tất cả các
đạo hàm giảm nhanh ở vô hạn, nghĩa là giảm tới 0 tại x> nhanh hơn lũy

thừa bất kỳ của |x|
-1
. Chính xác hơn
Định nghĩa 1.1.4. Không gian Schwartz, hay không gian các hàm giảm
nhanh, <s, được cho bởi
lim \x^D
a
f (x)| — 0, V đa chỉ số a, > (1.1.12)
a-Ị-KX> J
s -\fz ơ
:x>
(R
n
)
Nhận xét 1.1.2. Với hai đa chỉ số a,ß bất kỳ, tã có
D
a
ĩiO - (-27nỷ‘\x
u
f{x)r{0 (1.1.13)
Và
(2niO
ß
ĩÍO - [D
ß
/Г (0 ■ (1.1.14)
Dẫy ỉằ cấc tínlìchất quan trọng của hiến đổi Fourier. Nó biến đổi
phép
lấy vỉ phẫn thành tích đại số vớì dã thức và ngược lại.
Định lý 1.1.5. (Công thức Fourier ngược)

Giả sử g ьs. Khi đó
g{x) - j e
2
”
ixi
g(OdÇ. (1.1.15)
R"
Hệ quả 1.1.2. Cho f ь s. Khi đó
ị L L K )
Hệ quả này dẫn đến mở rộng đầu tiên của biến đổi Fourier tới một
lớp các hàm rộng hơn.
Định lý 1.1.6. (Plancherel)
Tồn tại duy nhất phép đẳng cự lên у : L
2
(R
n
) —» L
2
(M
n
) São cho
y (/) - /, với ™ỗi / fc s.
1.1.4. Hàm suy rộng tăng chậm
Cho Ф ъ (R
n
) với ф = 1 trên hình cầu đơn vị trong K". Đặt ф
т
(x) —
Ф (—). Lúc này có thể kiếm tra được ậ
m

f —*■ f trong s. Vì vậy ta có
T> s và phcp nhúng là trừ mật.
Do đó đối ngẫu của <s, được ký hiệu là s
r
, có thể được đồng nhất
với không gian con của v
r
(R
n
).
Định nghĩa 1.1.5. Không gian các hàm suy rộng s
r
được gội là không
gian các hàm suy rộng tăng chậm.
Định lý 1.1.7. Cho T t s
r
vầ a lầ đã chỉ số. Khi đó
D
n
T - (-27T?;)
l
“
l
(x"T)
A
[D
a
T)' - (27ri)
| a|
r'T-

1.2. Không gian Sobolev
1.2.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu một vài tính chất quan trọng của
không gian Sobolev - cần thiết để nghiên cứu phương trình đạo hàm
riêng ở chương sau. Từ nay trỏ về sau Q là một tập mở trong w
n
và dũ
là biên của nó.
Định nghĩa 1.2.1. Cho rri > 0 là một số nguyên và 1 ^ p ^ 30. Không
gian Sobolcv w
m
'
p
(íì) được định nghĩa bởi
w
m
'
p
ựì) - b ư {n) I D
a
u z ư (n), V |a| ^ m,ị. (1.2.1)
Nói cách khác, W
ĨUĩP
là tập hợp tất cả các hàm thuộc ư (n) sao cho
các đạo hàm suy rộng lên tới cấp 771 cũng thuộc L
p
[íì). Rõ ràng w
m , p
(Q) là không gian vcctơ. Ta trang bị cho nó với chuẩn
(1.2.2)

(1.1.17
)
(1.1.18
)
hay tương đương, với 1 < 'P < x>,
/ \ !/p
Sau này ta sẽ không phân biệt giữa
hai chuẩn này mặc dù chúng chỉ
tương đương và không bằng nhau.
Ta sẽ sử dụng ký hiệu giống nhau
cho cả hai và đổ ý trong bất kỳ
tính toán nào ta sẽ chỉ dừng một
trong hai công thức.
Ký hiệu
i, Trường hợp p — 2 :
w
771,2
ựì) - H
m
(fi) và với
u b H
rn
(Q), ta ký hiệu
chuẩn của nó bởi I?/, |,
ọ, tức là
\
u
\ m,n
—
l

w
lm,2,fi-
11,
trong đó |.|
mpíỊ
là nửa chuẩn của
w
m
'
p
(Q) bao gồm ư- chuẩn của
đạo hàm cấp cao nhất.
Nếu » — 2:1.1 9o— l-l o-
l/
p
|P
a
u\
p
D“u
L K n )
m,p,ũ
Vi
Vỉ
tt
$7«
tt
(1.2.3)
(1.2.4)
(1.2.5)

\u u
L1>'ẠĨ
)
m,p,íì
(1.2.6)
1
I Im,2,ỉ 2 I \rn,íỉ
iii, Không gian ư (Í2) được xét
như là trường hợp đặc biệt
của lớp Sobolcv ứng với m
— 0. Đặc biột, ký hiộu ư-
chuẩn của hàm bởi \-\
0p
Q
(vì trong trường hợp này
nửa chuẩn và chuẩn giống
nhau).
Với L
2
(íí)- chuẩn sẽ được ký hiệu
bởi \.\
Qn
.
Không gian H
m
(n) có tích vô
hướng được định nghĩa bởi
(«. ")»J1 - li I
D
°

u Da
V’ «.«
- w •
|a 1^771 Q
Tích vô hướng này sinh ra chuẩn
được xác định bởi công thức (1.2.3)
khi p — 2.
Trường hợp Q — R
7i
, không gian
H
m
(R
n
) cũng có thể được định nghĩa
theo biến đổi Fourier. Giả sử u ^ H
m
(R
n
). Khi đó theo định nghĩa, D
n
u w
L
2
(R
n
), với V |a| ^ 771. Do đó biến
đổi Fourier của D
n
u là xác định và ta

có
{
— (27riy
a
^
n
u,
và vì vậy £
a
u (ị) b L
2
(M
n
), V \a\ ^ m.
Ngược lại, nếu u b L
2
(R
n
) sao cho
ị
a
ũ{ị) b L
2
(M
7Ỉ
), V |a| ^ ra, ta có D
a
u
=r L
2

(R
n
), V |a| ^ ra và vì vậy 7/, e
H
m
(R
n
). Sử dụng bổ đồ đại số sau ta
có thể biểu thị điều này dưới dạng
tốt hơn.
Bổ đề 1.2.1. Tồn tại hằng số cỉương
Mi và M
-2
chỉ phụ thuộc vào m vầ n
sao cho
A/,(l +- |£|
2
)'" ặ XI irl
2
^ M
2
(l +
lỉl
2
)“, fc R".
I a l^íĩl
Tlioo Bổ đò IrGn, la có Lliổ xác
định kliồng gian H
m
(R

n
) như sau:
H
m
(K") - Ị li b L
2
(R
n
) (l + |£|
2
)
m/2
»7(0 L
2
(R") Ị .
Hơn nữa, từ Định lý Plancherel suy
ra chuẩn |. |
m RTÍ
trên H
m
(R
n
) tương
đương với chuẩn
1/2
- Ị (* +■ líl
2
) R?)|
2
rf£

(1.2.10)
ưu thế của định nghĩa này có thể khái quát với Vs ^ 0. Nếu s ^ 0 ta định
nghĩa H
s
(R
n
) bởi
H
s
(K") - Ịw, t L
2
(ir) (n-|£|
2
ỵ
/
2
M(£)t£
2
(R")j
(1.2.11)
là một phép đẳng c,ự của w
1,p
(rỉ) vào [L
p
(í7))
nH_1
nếu ta trang bị
không gian cuối với chuẩn
71 “t~ 1
M - Ỵi Ho,,,!!

ho
^
C
M - [ MVp.íi
i-l \i-1
với u — [Uị) [L
p
[Q))
n+l
, tùy thuộc vào việc ta sử dụng công thức
(1.2.2) hoặc (1.2.3) cho chuẩn trên w
í , p
(íí).
Định lý 1.2.1. Với 1 ^ p ^ X-, w
l , p
(íỉ) là không giãn Bãimch. w
l
'
v
(íí) ỉầ phản
xạ nếu 1 < p < X', và tấch được nếu 1 ^ p < Đặc biệt, H
1
(Q) iả không gian
Hilbert tắch được.
Nhận xét 1.2.1. i, Các kết quả của Định lý
cũng đúng đối với
w
m
'
p

(Q) với mọi số nguyên m ^ 0. Sau này, trừ khi thực sự cần thiết,
tã sẽ chỉ thiết lập cấc định lý cho không giãn w
l
'
p
(fì). Mở rộng đến không gian
cấp cao hơn sẽ lầ hiển nhiên.
1/2
(1.2.12)
71-|
-1
(1.2.13)
íơng ưng
Mw M’(iHíl
2
) Kí)l
2
áej
gian

w
m , p
ííì). Ánh xa
Trở lại không gian

w
m , p
(íì). Anh xạ
vu
với chuẩn tương ứng

u fc

w
l
* [íì) - [ u,

p-) fc

{ư (í!))

V C?X1 c?x
n
/
\
Ịp
77,
+•!
1.2.
1
ii, Nếu u
m
—u trong L
p
(Q) và
thì u b W
liP
(Q) và pr — Vị.
trong Ư (Q) với 1 ^ ỉ ^ n,
dx,
'ớx

t
Định lý 1.2.2. Cho I c_ R lầ một khoẳng mở vằ u w
l,p
ự). Khi đó, u liên tục tuyệt
đối.
Ta có thể kết luận một tính chất quan trọng của w
l , p
ự) từ định lý trước, khi
I là một khoảng mỏ bị chặn. Chẳng hạn, I — (0,1). Khi đó nếu II ỉr w
l,p
(/), ta có
thể viết
X
u
(x)
— u
(0)
+
J
ú [t) dt.
0
Theo bất đẳng thức Hõlder, nếu q là số mũ liên hợp của p, tức là p
1
+ q~
l
— 1 thì
ta có
|w(0)| ^ \u{x)\ -h \u\
w
\x\

l/q
.
Như vậy nhờ lấy tích phân hai vế ta có
|u (0)1 $ c ộ
tí
|
0p /
+ K|
0iPiÍ
) -C\u\
lpi
trong đó c > 0 là hằng số không phụ thuộc vào u. Lúc này sử dụng
(1.2.14) và (1.2.15) ta cũng kết luận rằng: với bất kỳ X c /,
Iu (_x)| ^ c ịu |j
7
, c > 0, độc lập với u.
Gọi B là hình cầu đơn vị trong w
l , p
ự). Khi đó
B - {« (I) I |«|
w
^l}. (1.2.17)
Nếu i : w
l
-
p
ự) —> c (/) là phép nhúng (được thiết lập trong Định lý và liên
tục theo (Ịl.2.16)) thì B — i{B) là tập bị chặn đều trong
1.2.2
c ự). Hơn nữa, nếu x,y

r
- I thì từ (1.2.14), ta có
(1.2.14
)
(1.2.15)
(1.2.16
)
Từ đây suy ra rằng B là liên tục đồng bậc trong c Ụ). Theo Định lý Ascoli -
Arzela suy ra B là compact tương đối trong cự); nói cách khác, ánh xạ i : w
1 , p
ự) —► c ự) là toán tử compact. Đây là một tính chất quan trọng của không
gian Sobolev.
Cuối cùng, ta phải nhắc đến không gian con quan trọng của w
m , p
(n). Nếu 1
^ p < X-, ta biết rằng D [íì) trù mật trong L
p
(íí). Hơn nữa, nếu ộ b D (Q) thì
rriọi đạo hàm của ộ cũng thuộc T> (Q) nên D [Q) w w
m,p
(íí), đối với bất kỳ m,
và p. Nếu 1 ^ p < 00, ta định nghĩa không gian w™'
p
(íí) như là bao đóng của V
(Q) trong w
m,p
(Q). Như vậy Wq
1
'
p

(0) là một không gian con đóng của w
m,p
(_Q)
và các phần tử của nó có thể được lấy xấp xỉ theo chuẩn trong w
m , p
(Í2) bởi các
(7
:x>
- hàm với giá compact. Nói chung đây là một không gian con thực sự của
w
m,p
(fì), ngoại trừ khi Q — R
n
như được chỉ ra dưới đây.
Định lý 1.2.3. Cho 1 ^ p < x\ Khi đó với m, ^ 0 nguyên bất kỳ,
W
m , p ị ỵ n ) _
w
m , p ị ỵ n )
Thông thường, khi ‘ P —

2 ta viết H™ (p) thay cho w ™ '

2

(íì) và vì vậy
H™ {R") - H
m
{W
l

).
1.2.2. Xấp xỉ bởi các hàm trơn
Trong mục này ta sẽ xem xét một số kết quả trù mật đã biết và một vài hộ
quả đơn giản của chúng.
Định lý 1.2.4. (Frỉedrichs)
(1.2.19
)
(1.2.20
)
Cho 1 ^ p < X) và и ь W
Lp
[ũ). Khi đó d {u
m
} í- D (M") sao CỈ
10
u
m
—* и trong ư (fỉ) và—>• Ệr , trong L
p
[ừ) với VI ^ i ^ n và
ừ Q (tức là íT compact tương đối trong íì).
Định nghĩa 1.2.2. Cho íĩ R
n
là tập mở. Một toán tử thác triển p đối với W
l,p
(П),
là toán tử tuyến tính bị chặn
p : W
1
* -> w

h p
(R
n
)
sao cho Pu |n — и với mỗi и b w
l,p
(fỉ).
Do p là toán tử tuyến tính bị chặn nên
\ ^
u
\ i , p , R
n
(1.2.21)
trong đó С > 0 là hằng số, mà nói chung SC chỉ phụ thuộc vào íì và p. Vì vậy
nếu Í2 là tập sao cho tồn tại toán tử thác triển p thì ta có thể xét w
l
'
v
như là
không gian các thu hẹp trên Q của các hàm thuộc w
ỉ,p
(R
n
). Một điều kiộn đủ đổ
tồn tại thác triển p là tính trơn của bien
дп.
Định lý 1.2.5. Nếu $ì lầ tập mở trong R
n
sao cho có toấn tử thác triển
p : w

1 , p
[íì) —> w
l
'
p
(R
n
), thì với mỗi и Z ц
п
'
р
(£1), d(w
m
} í- ъ (R
n
) sao
cho u
m
152 и trong w
í,p
(fì).
Như vậy định lý trên nói rằng: nếu Q, thừa nhận một toán tử thác triển thì
các phần tử của w
1,p
(Q) có thổ được xấp xỉ bởi các hàm trong C
X)
- là hạn chế
của các hàm trong D (M
n
). Tuy nhiên, một định lý khác của Meyers và Serrin

nói rằng tập tất cả các hàm trong