Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến trong không gian euclide

Tác giả xin được bày tở lòng biết ơn chân thành tới T.s Khuất Văn Ninh,
người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận
văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy
Khuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý
thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các thầy cô
giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp
đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cún và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, thảng 6 năm 2013 Học viên
Nguyễn ngọc Bình
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cún của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của T.s Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từngđược
công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Học viên
Nguyễn ngọc Bình
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
Mỏ Đầu
1. Lý do chon đề tài
Bài toán giải phương trình toán tử đã có nhiều nhà khoa học đề cập đến.
Phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình toán tử rộng lớn và có hiệu lực
mạnh mẽ. Nhưng trong thực tiễn những yếu tố của bài toán do nhiều nguyên
nhân chỉ có tính chất gần đúng, do đó có rất nhiều công trình tập trung nghiên
cứu các phương trình toán tủ' theo quan điểm xấp xỉ
Các phương pháp để nghiên cứu xấp xỉ của phương trình toán tử rất phong
phú đa dạng. Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình loại hai
với toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz là một trong những phương pháp có

ứng dụng rộng rãi.
Phương pháp này đã sử dụng quá trình lặp thông qua một số hữu hạn bước
theo tham số và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co. Phương
pháp thác triển tham số úng dụng nhiều để giải các phương trình toán tử phi
tuyến trong các không gian định chuẩn khác nhau và giải hệ phương trình phi
tuyến nhiều biến trong không gian Euclide là một trong nhũng úng của phương
pháp này.
Bởi vậy tôi đã chọn đề tài:
“Phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình phi tuyến
nhiều biến trong không gian Euclide”.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn trình bày những nghiên cứu lí thuyết của phương pháp thác triển
theo tham số để giải hệ phương trình toán tủ’ phi tuyến nhiều biến trong không
gian Euclide
3. Nhiệm vụ nghiên cún
Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:
- Phương pháp thác triển theo tham số.
3
- ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải hệ phương trình toán
tử phi tuyến.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cún
Nghiên cún ứng dụng của phương pháp nói trên để giải hệ phương trình
phi tuyến nhiều biến trong không gian Euclide.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống nhũng
vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập.
6. Đóng góp mới của luận văn
- Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp thác triến theo tham
số.
Giải hệ phương trình tuyến tính và phi tuyến trên máy

tính điện tử.
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian Banach
1.1.1. Không gian định chuẩn
Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K thực hay phức. Hàm
thực p trên X gọi là một chuẩn trên X nếu:
/) /?(*)>0 \/XGX; P(X) = 0<^>X = 0.
iĩ) /?(Ẳx) = |>l|jơ(jt) V/lEK VxeX.
ỉiỉ) p(x + y)<p(x) +p{y)
Không gian vectơ X cùng với một chuẩn trên nó được gọi là không gian
định chuẩn.
Sau này ta luôn dùng ký hiệu ||.II để chỉ một chuẩn trên không gian định
chuẩn X.
Không gian định chuấn X là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn:
4
d(x, j) = ||x-y||.
1.1.2. Không gian Banach
Không gian định chuẩn X là không gian mêtric đầy với mêtric sinh bởi
chuẩn được gọi là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.1
Cho không gian Cị ^. Với x(r),y(í) eCj
h
yk e M, ta định nghĩa:
/)(*+ ;y)(í) = *(/) + V/e[a,&].
/z)(Ấ2t)(/) = &.*(/), Vre[ữ,&].
Như vậy với hai phép toán trên, không gian là một không gian vectơ trên
trường số R .
Với if/)eCr ,1, đặt llxll = maxlxiril lúc đó ta có ||.|| là một chuẩn trên
V ) M’ • I I II V ỉI IN I
Cị

b
-ị, hơn nữa Cị
a b
-ị cùng với ||.|| trên là một không gian Banach.
Ví dụ 1.1.2
Xét không gian /
2
=|x = (x
1
,x
2
, ,x
/
, )lx
/
. eM,V/ eN*,y]x
y
|
2
<+oo|.
Với X = (), y = (y.) e /
2
, \ỉk e M, ta định nghĩa:
0(* + y); = Xị + y
n
V/ e N*.
//)(£*). = k.Xị, V/ e N*.
Khi đó, /
2
là một không gian vectơ trên trường số M .

\_
f ” ,2 V
Với xe/
2
, đặt 11*1 = 2JX;! , lúc đó ta có ||.|| là một chuân trên /
2
, và /
2
V i=1 )
cùng với chuấn đó là một không gian Banach.
1.2. Nguyên lý ánh xạ co
Banach Định nghĩa 1.2.1
5
Cho hai không gian metric Mị =(X,d
]
),M
2
=(Y,d
2
) . Ánh xạ A: M, —» M
2

được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại 0 < 6 < 1 sao cho: d
2
(A(x),A(y)^<ỡdị(x,ỵ), Vx,y
G X .
Định lý 1.2.1
Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M =(x,d ) vào chính nó đều
có điểm bất động X duy nhất, nghĩa ìầ X eX thỏa mãn hệ thức Ax =x.
Giả sử X là không gian metric đủ và ánh xạ A: X —» X thỏa mãn điều kiện

: d (Ax, Aỵ) < ỡd (x, ỵ) với hằng số 0 < 1 và Vx, ỵ eX .
6
Khi đó tồn tạo duy nhất phần tử X* sao cho X* = Ax*, hơn nữa với mọi
x
ữ
eX thì dãy Ị* Ị xác định bởi x
k+]
=Ax
hĩ
VkeN là hội tụ đều ,đồng
thời ta có ước lượng:
(1.1)
Áp dụng những dạng khác nhau của phương pháp xấp xỉ liên tiếp ta giải
gần đúng các phương trình đó.
Giả sử X là không gian Banach. Kí hiệu (s(i;
0
,r)) là hình cầu trong X với
tâm X
Q
và bán kính r .S(jc
0
,r) = Ị;ce X;||jc-jt
0
||< rỊ.
Giả sử toán tư phi tuyến A tác động trong X, nghĩa là A(x) G X với XGX .
Ta nói rằng toán tử A thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu:
Trong đó a=const > 0.
Neu giả thiết thêm rằng a<l thì ta nói rằng toán tử A là toán tử co trong X.
Định lí 1.3.1
Giả sử toán tử A tác động trong X và là toán tủ’ co . Khi đó phương trình

(1.1) có nghiệm duy nhất trong X và nghiệm đó là giới hạn của dãy lặp đơn
n = 1,2,
7
(1.2)
Trong đó x
0
là phần tử tùy ý trong X. Hơn nữa tốc độ hội tụ được xác
định bởi một trong các công thức
<-^llx
0
-A(x
0
)ll,
1-a
trong đó X* là nghiệm của phương trình (1.1)
Chủng minh. Trước hết ta chứng minh rằng dãy {x } là dãy cơ bản từ đó
suy ra sự hội tụ của nó.
Ta có
Ik
+
I - N H*») -
A{
-
x
»~' )|| -
a
k -
X
«-1 II’
k

+
i-*Jp
a
Fi-*0
Từ đó
k
+
* MP Ihu ~
x
n*k-íII+IKu-1 “Vt-2||+—+I-Vi
<(a"
+
*-' +a"
+
*'
2
+ + a")||x, -x
0
||
a"
1
Fi-*o
1-a
Từ đó suy ra dãy {x
n
} là dãy cơ bản vì a < 1.
Ta chứng minh rằng giới hạn X* của dãy {*„} là nghiệm của phương
trình (1.1). Rõ ràng là
II* - y\\ = ||^w - ^(y)|| ^ «Ik - y\\ ■
Từ đó ta có lim A(x

n
_
x
) = A(x).
n—>oc
Cho nên Jt*=i4(/).
Điều này có nghĩa là X* là nghiệm của phương trình (1.1).
8
<a
n
(1.3)-X x
0
-x
(1.4)
X., -X
(1.5)
Ta chứng minh rằng nghiệm của phương trình (1.1) là duy nhất. Kí hiệu X,
y là nghiệm của phương trình (1.1).
Khi đó
II* " >1
=
ll
A
W - ^(y)|| ^ a||* - y||
Vì a < 1 nên x = ỵ.
Có thể nhận được bất đẳng thức (1.4) bằng cách cho k —>00 trong công
thức (1.5). Còn công thức(l .3) nhận được từ bất đẳng thức sau:
*
x„—
<a

n
*
1 —X
n
n-1
Định lí 1.3.2
Giả sử toán tủ’ A tác động trong s(x
0
, r) và toán tò co trong hình cầu đó.
Khi đó phương trình (1.1) có một nghiệm duy nhất trong s, nghiệm đó là giói hạn
của dãy (1.2). Tốc độ hội tụ được xác lập bởi công thức (1.3) hoặc (1.4). Định lí
1.3.3
Giả sử A là toán tử co trong s(-Ỉ0,
r
) và
\\A(x
0
)-x
0
\\<ạ-a)r.
Khi đó các kết luận của định lí 1.3.1 vẫn đúng.
Từ giả thiết của định lí này suy ra A là toán tủ’ tác động trong s.
Thật vậy với XGS ta có
II A(x) - í
0
|| < I A(x) - A(ỉ
0
)|| + |ẩ(ẵ
0
) - i

0
|| <
<a||x-x
0
|| + (l -a)r
Áp dụng đinh lí 1.3.2 ta có điều phải chứng minh.
Định lí 1.3.4
Giả sử A là một toán tử tác động trong không gian Banach X, và một lũy
thừa nào đó A
k
của toán tử A là một toán tử co trong X. Khi đó phương
9
trình (1.1) có một nghiệm duy nhất và nghiệm đó là giới hạn của dãy (1.2). Tốc
độ hội tụ được xác định bằng công thức
n>k;
Trong đó a < 1 là hệ số co của toán tò A
k
.
Chứng minh.
Theo định lí 1.3.1, X* là điểm bất động của toán tủ’ A
x=A
k
{x)
Khi đó A*[A(jc*)] = A[A*(jt*)] = A(jc*),
Nghĩa là /4(x*)là điểm bất động của toán tử A
k
. Do đó tính chất duy nhất
của điểm bất động của toán tử A
k
, ta suy ra

X = A(x).
Như vậy ta đã chứng minh được rằng phương trình (1.1) có nghiệm. Tính
duy nhất nghiệm của phương trình (1.1) được suy ra từ tính duy nhất nghiệm của
phương trình X = A
k
(x).
Bây giờ ta chứng minh rằng các xấp xỉ liên tiếp (1.2) hội tụ đến nghiệm
của phương trình (1.1).
Với n > k ta có
x„=A
k
(.x
n
_
k
).
Ta đưa vào kí hiệu 8. = Xị - X* . Khi đó
e
„^
as
„-í •
Nếu đặt n = k + j thì
Ẽ
t
+
j^
aẼ
j 0’ = 0,1,2, )
Từ đó dễ dàng thu được bất đẳng thức
1

0
u = 0,1,2, ) .
£
mk
<a
m
'e* (m = 0,1,2, )
Hay là
B„<(ịỊãy
n
-
m
£
t
, (n>k)
Cho n tiến đến vô hạn ta được
limx„ = X*.
/ỉ—>00
Định lí được chúng minh.
Định lí 1.3.5
Giả sử X là một không gian Banach, toán tử F ( x , ỵ ) tác động từ X x X
vào X và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
||F(x, j)-F(x)-F(ỹ)||<a||x-x|| + p||j-ỹ|| trong đó a + p<l.
Khi đó phương trình X = F(x,x) có nghiệm duy nhất và nghiệm này là
giới hạn của dãy
x
n
=F(x
n
,x

n
_
x
) n = l,2, ,x
0
eX. (1.6)
Tốc độ hội tụ được xác định bởi công thức
JC_ -X
Chứng minh.
Ta chứng minh toán tử A(x) = F(x,x) là toán tử co. Giả sử x,ỵ (EX , khi
đó
I A{x) - AOOll = \\F(x,x) - F(y, y)|| < (a + p)||* - y\\.
Như vậy A(x) là toán tử co. Cho nên từ định lí 1.3.2 suy ra phương
trình (1.6) có nghiệm duy nhất.
Ta có
1
1
1-a
+p
< a
X., -X
~
x
*
X -X
=
n
Định lí được chứng minh.
1.4. Toán tử đơn điệu trong không gian Banach và không gian Hilbert
và

phưoìig trình toán tử
1.4.1. Khái nỉệm toán tử đơn điệu
Giả sử X là không gian định chuấn thực, X* ỉà không gian liên hợp của
X . Toán tử Ấ: D(/4)<= X -»X* được gọi là toán tử đơn điệu trên D(Á)
nếu:
(1.7)
Trong đó (A,x) = A^x)(Gỉả trị của phiếm hàm A tạỉx).
Nếu Vxj€ỡ(x) ta có (a(x) - A(y),x- Ỷ)
>
0 thì toán tử A được gọi là đơn
điệu thật sự (nghiêm ngặt).
Ví dụ 1.4.1. Cho không gian Hilbert H. Khi đó ta có H* =H, xét toán tử Ta có
(A(x)-A(y),x-y} = (A(x)-A(y),x-y).
LÚC đó A là toán tử đơn điệu trong không gian H khi và chỉ khi
(A(x)-A(;y),.x- y)>0, Vx,yeH.
1.4.2. Toán tử d-đon điệu
Cho không gian định chuắn X, toán tử A:X —> X* gọi là d-đơn điệu
nếu:
(Au - AV,U - v) >(a(||w||) —a(||v||))(||w|| —||v||).
Với a là hàm sổ tăng thật sự trên [0,+oo).
(1.8
)
1.4.3. Toán tử đơn điệu đều
Cho không gian định chuan X, toán tử A: X —> X* gọi là đơn điệu đều
nếu :
(1.9)
1.4.4. Toán tử đơn điệu mạnh
Cho không gian định chuân X, toán tử A: X —» X* gọi là đơn điệu
mạnh nếu tồn tại hang số m > 0 sao cho:
(1.10)

* Nhận xét:
i) Neu toán tử A đơn điệu mạnh thì A là toán tử đơn điệu đều với yơ(s) = ms
2
.
ii) Neu toán tử A đơn điệu mạnh thì A là toán tử d-đơn điệu đều với = ms.
iii) Neu toán tử A đơn điệu đều thì toán tử A đơn điệu nghiêm ngặt.
iv) Neu toán tủ' A là d-đơn điệu và X là không gian lồi ngặt thì A là toán tử đơn
điệu nghiêm ngặt.
1.4.5. Toán tử coercive
Toán tử A :X —»X* (X là không gian định chuẩn) gọi là toán tử
coercive (toán tử bức) nếu tồn tại xác định trên [0;+oo) sao cho:
* Nhận xét:
Theo định nghĩa ta có :
1.4.6.
1.4.6. Phương trình toán tử
Cho X là không gian Banach và toán tử A: X —» X. Xét phương
trình: x = Ax + j\ /eX,
phương trình (ỉ. 7) được gọi là phương trình toán tử loại 2.
Ví dụ 1.4.2
Cho không gian Banach X =Cị
ab
^ hàm số Kịt.s) liên tục theo hai
biến
t,s trên [a,b] X [a,b]. Ta có phương trình toán tử
b
xịt) = ÃỊK(t,.f)xịs)ds + /(/), / (í) e
a
Phương trình trên gọi là phương trình tích phân Fredholm loại 2.
1.5. Một số khái niệm liên tục

1.5.1. Toán tử đêmi liên tục
Giả sử X,Y là hai không gian định chuẩn và ánh
xạ A:X —»y.
Ảnh xạ A được gọi ỉà đêmỉ liên tục tại i
0
eD(A)cX nếu với mọi dãy {x^l c=
D mà ||jc
n
— JC
0
II —> 0 khi n —»00thì hội tụ yếu về G(x
0
).
1.5.2. Toán tử hêmi liên tục
Giả sử X , Y là hai không gian định chuân và ảnh
xạ A:X —>Y.
Ảnh xạ A được gọi là hêmi liên tục tại x
()
E Dị^À) d X nếu A(x
0
+Df) —»
A(x
0
) khỉ t —y0.
lim
|H||
—»
CO
= +00.
Như vậy nêu A là toán tử coercive thì: lim

1.5.3. Toán tử rađian liên tục
Cho không gian định chuấn X, toán tử A: X —» X* gọi ỉà rađian liền
tục nếu V«,ve X thì hàm số <p(s) = i^Aịu + sv), liên tục trên [0,1].
1.5.4. Toán tử liên tục Lipschitz
Giả sử X là không gian định chuân, X* là không gian liên hợp của X.
Toán tử A: X —> X* được gọi là liên tục Lipschitz nếu 3L = const >0sao
cho
(1.12)
1.5.5. Toán tử liên tục Lipschitz bị chặn
Giả sử X là không gian định chuân, X* là không gian liên hợp của
X . Toán tử A: X —» X* được gọi là liên tục Lipschỉtz bị chặn nếu tồn tại
hàm số ỊẤ đơn điệu tăng trên [0,+oo) sao cho Vw,v E X :
II Au - AvII < JLỈ(R), R = max(||w||,||v||).
Chưong 2
Phượng pháp thác triển theo tham số đối với phượng trình loại hai
vói toán tử đon điệu và liên tục Lipschitz
2.1 Phương pháp thác triển theo tham số
2.1.1. Sự tồn tạỉ nghiệm
Xét họ một tham biến các phương trình toán tử
0
Khi đó phương trình X + £
{)
Ax = f xác định một toán tử co £
0
A Thật
vậy
\ / X ị , x
2
e X :II^qAxị — £
,

0
Ax
2
Ị| = £o||A
x
i “ Ax
2
II Do A thỏa
mãn điều kiên Lipschitz nên
^oIỊAXị - Ax
2
|| < £
0
L ị x ị — x
2
ị AXj -^
0
Ax
2
||<£-
0
L||x, - X
2
\ \
Mà 0 < S
0
L < 1 suy ra £
0
A là toán tử co.
Giả sử nghiệm của phương trình (2.1) là x(£)và giả sử x(s

0
) tìm được.
Như vậy ta đã trượt một bước £
0
theo tham biến £ từ phần tử x(0) = / theo
hướng đến phần tử x(l) = u
Thực hiện các bước tiếp theo như vậy theo tham biến £ sẽ đến nghiệm của
phương trình (2.2) sau một số hữu hạn bước.
Xét phương trình loại hai:
X + sAx = / (2.3)
Trong đó A là toán tử tác dụng từ không gian Banach X vào X, f là phần tử cho
trước.
Giả thiết A(0)=0 Định lý 2.1.1
Giả sử ánh xạ A tác dụng trong khong gian Banach X là liên tục Lipschitz và
đơn điệu. Khi đó phương trình (2.3) có nghiệm duy nhất với phần tử tùy ý
f e x .
Chứng minh
Giả sử ánh xạ A thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số L
Ta cố định một số tự nhiên N sao cho N>L và đặt £
n
= — .
N
Ta viết phương trình (2.3) dưới dạng sau:
y = X + £QAX = Fjx
z = y + ^0
AF_,
}
;Ee/7
2>’
C ử = u + £

0
A F ~
]
F
2
' \ . . F ~ \ _
2
u = F
n
_
]
u Hay x + Ax = x + £
ữ
Ax+
£
ữ
Ax+ + £
Q
AiX = f Thực hiện N-l phép thay
biến: y = x + £
0
Ax = F,x z = y + s
ữ
AF-'y = F
2
y
. (2.4)
® = 1> + £
0
AF, 'F

2
', F '
N
^U = F
N
^V
Sau các phép thay biến trên phương trình (2.3) có dạng:
ứ)+e
0
AF
{
-
ì
F
2
-
ì
F-
ì
N
_
l
ứỉ=F
N
ũ) = f (2.5)
Ta sẽ chứng minh ánh xạ £
0
AFj
N
_

x
(ữ là ánh xạ co với hệ số co q = s
a
L<\
Thật vậy:
Do S
0
A là toán tử co do đó với y tùy ý thuộc X phương trình FịX = X +£
( )
AX
= ỵ có nghiệm duy nhất.
Vì vậy toán tử F~' và F
2
xác định tại tất cả các điểm của không gian X.
Toán tử F~
]
thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hệ số L=1 vì:
x
m
=yAx
ffl
-^Ax
A
.+f, m=0,l,2, ; k=0,l,2 Vy^ỵ
2
eX,
đặt F~
ỉ
y
ỉ

= *, ,F;'ỵ
2
=x
2
Từ tính đơn điệu của A ta có:
ỊF ~
Ì
Z
Ị
“УгН*!
+f
0
Ax
i -
X
2-
£
0
A X
2\\ = \\
X
Ì-X
2
+£
0
(AX
Ì
-Ax
2
)||

< II*! -x
2
+ 2f
0
(AXj - AX
2
)||
= ||(x
l
ч-б^Ах,)-^ + £
0
AX
2
) + f
0
Ax, -£
,
0
Ax
2
||
= \\у\ - У2+£(>
AF
T' У\ - у2 II
—
^1 )
—
(^2 -^2)!
= ll^ï — z
2

||
Một cách tương tự ta có thể chứng minh rằng tất cả các toán tử F
k
~' (k =
ì,2,-,Nđược xác định trên toàn không gian và liên tục Lipschitz với hệ số L= 1.
Do đó ánh xạ foAFj-'F^
1
^
-1
là ánh xạ co với hệ số co q = SQL < 1.
Vì vậy do nguyên tắc ánh xạ co phương trình (2.5) với f tùy ý có nghiệm duy
nhất Cữ
Như vậy phương trình xuất phát (2.3) tương đương với phương trình (2.5) cũng
giải được duy nhất với phần tử tùy ý f.
Cụ thể đối với phương trình:
X + A X = /
Trong đó A là toán tử tác dụng từ không gian Banach X vào X, f là phần tử cho
trước. Giả thiết A(0) = 0.
Giả sử hằng số Lipschitz là L và — < 1.
Trong trường hợp này có thể lấy số N= 2.
Khi đó
Mỗi lần muốn tìm F,"
1
(y
/I
) ta cần giải phương trình
x + — Ax = y
n
(2.10)
Nghiệm xấp xỉ X của (2.10) có thể tìm bằng phép lặp

x,„ = - 2
Ax
»
+ y
"'
x
»
cho tùy
ý’
m
=
2
-
Dưới dạng tống quát có thế viết quá trình lặp như sau:
*
m+l
=yAx,„ -^Ax+f, m=0,l,2, ; k=0,l,2, (2.11)
Ta có thế hiếu cách viết (2.11) như sau.
Ta lấy xấp xỉ không J
0
= X và dựng quá trình lặp
*™
+
i= 2
Ax
™ 2
A
*
+f
’

x
°
=
*’
m=0
’
1
’
2
’- Giả sử dãy này hội tụ đến phần
tử JC. Ta tiếp tục dựng quá trình lặp
=-^-
Ax
m
-2
A
^
+f
’
x
0=*’ m=0,l,2,„.
Trong trường hợp £
0
=— (N bước theo tham biến s) ta đi đến quá trình lặp có
dạng:
-1 1 1 *„
+
i
=
M

Ax
»‘ - 2
Ax
»' - -^
Ax
f
+f ; m
>
n
’ (2-12)
2.1.2. Ước lượng tốc độ hội tụ
Xét tốc độ hội tụ của phương pháp thác triển theo tham biến một cách tự nhiên là
trong các tính toán thực tế ta luôn cần đến một số hữu hạn phép lặp. Ta sẽ ước lượng
sai số của phương pháp nêu trên với điều kiện là trong mỗi quá trình lặp chỉ sử dụng
n phép lặp. Ta giả thiết toán tử trong định lý (2.1) thỏa mãn điều kiện A(0) = 0.
Định lý 2.1.2
Giả sử ánh xạ A tác động trong không gian Banach X là đơn điệu và liên tục
Lipschitz với hằng số Lipschitz L. Khi đó dãy nghiệm xấp xỉ{x(n,N)Ị, N>L,
n=l,2, được dựng trong quá trình lặp (2.12), hội tụ đến nghiệm đúng X của phương
trình (2.3), theo chuẩn của không gian X, hơn nữa ta có ước lượng
Trong đó {i(n) = -f^\\fịn = \,2,:. K =ị-, n = 1,2,
\-q N
Chứng minh:
Ta thiết lập ước lượng Bài toán 1 (một bước theo tham biến £)
Xét phương trình X + £
0
Ax=f
Vì toán tử £
0
A là toán tử co vói hệ số co q = €

Q
L = — < 1, nên phương
trình trên với phần tô tùy ý f gX có nghiệm duy nhất x(s
Q
) = X*. Giá trị xấp
xỉ của phần tử dễ dàng thu được nhờ quá trình lặp thông thường
x
„ = ~
s
0Ax*-ỉ + f
,Xo = f,n = 1,2
Quá trình lặp này có ước lượng về tốc độ hội tụ là :
Ta kí hiệu
Bài toán 2 (hai bước theo tham biến s)
Xét phương trình X + 2Ố*
0
AX = /
Nói chung toán tủ’ 2s
0
A không phải là toán tử co. Đe sử dụng nguyên tắc ánh
xạ co khi giải phương trình này ta thực hiện thay biến (2.4).
Sau đó phương trình trên sẽ có dạng
y + sAV;'y = f
n—1
(2.13)
Như đã chứng minh, trong phương trình này toán tử £QAF\
1
là toán tử co do đó
nhờ nguyên lỹ ánh xạ co phương trình (2.13) có nghiệm y. Giá trị xấp xỉ của phần tử
y thu được nhờ quá trình lặp

y
n
=-£
0
AF-'+f (2.14)
Với sai số ju(n). Vì toán tử e
ữ
A co với hệ số co q = s
ữ
L<\ nên sai số ju(n) cho
đối số của toán tử s
ữ
A tương đương với sai số qju(n) cho vế phải của phương trình
y + s
0
AF
i
"'y = f.
Vì ánh xạ F
2
~' liên tục Lipschitz với hàng số L=l, nên mang sai số qju(n) vào vế
phải của phương trình y + £
0
AF,
-1
y
=
/ sẽ gây ra trong nghiệm tương ứng sai số
không quá qụịrỉ).
Sai số ju(n) sau một số hữu hạn n phép lặp khi giải phương trình y + £

0
AFj
_1
;y =
/, đối với nghiệm xấp xỉ y
n
, ta sẽ thu được.
I y
n
- >il -
ô
2 (”) - wW+M(
n
)=
C
A ( n)+M(n)
Mặt khác vói phép thay đổi biến ngược, nghĩa là nếu chuyển từ biến y về bien X
cũng sẽ có sai số ju(n). Như vậy sai số của nghiệm xấp xỉ x
n
thu được sau khi thực hiện
n phép lặp trong mỗi quá trình lặp đã sử dụng sẽ là ịx
n
-x(2£
0
)| = À
2
(n) < qju{n) +
2ju(rì) = ổ
2
(n) + ổị(n)

Lý luận tương tự với bài toán k:
X + ksAx = / , /■ e [1,7V] ta thu được ước lượng
lk-x(ks
ữ
)\\ = A
k
(n)<ổ
k
(n) + S
l
(n), (2.15)
ổịin) <q[ổ
i
_
Ị
(rì) + + ổ
]
(n)'ị + ju(n), \<ỉ <k (2.16)
Trong đó n là số các phép lặp thực hiện trong mỗi quá trình lặp đã sử dụng. Viết bất
đẳng thức (2.16) dưới dạng khác
s
k
< jUexp[q(k — l)], k =2,3,4, , (2.17)
Do đó có thê viêt ước lượng sai sô (2.16) đới với bài toán K dưới dạng sau đây
nếu lưu ý đến ước lượng (2.16)
\x
n
- X(K£
0
)\\ -

A
k (
n
) ^
/=1
< //^exp[<7(/ -1)] = //
exp(A
^ ~
1
,=1 exp(í?)-l
Ta kí hiệu nghiệm xấp xỉ của bài toán (2.3) được dựng với quá trình lặp (2.13) là
x(n,N), trong đó N là số các bước theo tham biến €, n là số phép lặp được thục hiện
trong mỗi quá trình lặp đã sử dụng.
Ta thu được:
11 11
(l-g)[exp(g)-l]
Định lý được chứng minh.
2.2 Phương pháp thác triến theo tham số giải hệ phương trình tuyến tính
trong R”
Trong không gian R
n
xét hệ phương trình tuyến tính
Ax =b , Ae w
im
là ma trận nXn, b G M” , (2.18)
X e R
n
là vectơ nghiệm cần tìm.
Ta đã biết ràng chuẩn của ma trận A G M"
x

" tương thích với chuẩn của vectơ
trong R
n
được xác định bởi hệ thức:
\\A\\ = sup^yl = sup|| Ax||.
Trong không gian R
n
, chúng ta thường dùng một trong 3 công thức sau:
HI =max|x|;
II Iioo I 'I
1 [n ì /2
14=(*'*) =||>/
2
j •
Khi đó các chuẩn tương ứng thích của ma trận A sẽ là:
n
MI. = m a x V ứ ;
11 1,00
!<*<« “1
J
H
n
11^11, = max V \a
114 = /max /l
i
(Á
ĩ
A).
V i</<«
Trong đó Ả(A

T
Á) là các giá trị riêng của ma trận đối xứng và xác định
không âm của A
T
A.
Ta biến đối phương trình (2.18) về dạng
x + Bx = f (2.19)
Điều kiện tồn tại nghiệm của phương pháp lặp đơn là ||z?|| <1, khi đó mọi
dãy lặp x
k+[
= Bx
k
+ g (k > 0), trong đó x
0
e M” bất kì cho trước đều hội tụ
tới nghiệm duy nhất X* của phương trình (2.19)
Hơn nữa ta có đánh giá
II II*
2.2.1. Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình (2.19) sử dụng phương
pháp thác triển theo tham số.
Định lý
Giả sử \\B\\ <L và B là ma trận của dạng toàn phương xác định dương. Thì
phương trình (2.19) có nghiệm duy nhất.
<
*l-*0
<
x
k
-x
Hl

ổ
l
1*1
1-
llổl
Chứng minh:
Ta có
V
(Bx-Bỵ,x-y) = (B(x-ỵ\x-y)
Đặt z = x-y.
Khi đó (Bx-Bỵ,x-ỵ} = (Bz,z)>0 ( do B là ma trận của dạng toàn phương xác
định dương).
Do đó B là toán tử đơn điệu trong R
n
.
Mặt khác ta có :
II Bx - 5>j| = \\B(x - y)|| < II Bị II* - y\\
Suy ra toán tò B thỏa mãn điều kiện Lipschitz.
B thỏa mãn điều kiện đơn điệu và liên tục Lipschitz do đó phương trình
(2.19) có nghiệm duy nhất.
2.2.2. Giải hệ phưoìig trình tuyến tính bằng phưoìig pháp thác triển
theo tham số
Xét phương trình:
x = Bx + f.
Trong đó
' a
n
.

a

u
B
=
•••
a
nn
,
x = ,
f =
J«
s
Ta biến đổi phương trình
Thực hiện N-l phép thay biến
y = x + — Bx = F.x (2.20)
N
z = y + — BF~'y = F
2
y (2.21)