Luận văn thạc sỹ toán học: nghiên cứu thuật giải lặp và khai triển tiệm cận nghiệm của hệ phương trình phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CẦN THƠ



NGUYỄN HỮU CHƯỜNG






NGHIÊN CỨU THUẬT GIẢI LẶP
VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM PHI TUYẾN





LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60. 46. 01

THÀNH PHỐ CẦN THƠ
2005



BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC CẦN THƠ




NGHIÊN CỨU THUẬT GIẢI LẶP
VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM PHI TUYẾN





Luận văn Thạc sỹ Toán học
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60. 46. 01

Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Nhân
Đại học Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh
Học viên cao học: Nguyễn Hữu Chường











THÀNH PHỐ CẦN THƠ
2005




Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Cần Thơ




Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Nhân
Khoa Thống kê- Toán,
Đại học Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh

Người nhận xét 1: PGS. TS. Đặng Đức Trọng
Khoa Toán - tin học,
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh


Người nhận xét 2: PGS. TS. Đinh Ngọc Thanh
Khoa Toán - tin học,
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh


Học viên cao học: Nguyễn Hữu Chường




Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án tại Trường
Đại học Cần Thơ, vào lúc 8 giờ, ngày 26 tháng 11 năm 2005


Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường
Đại học Cần Thơ


THÀNH PHỐ CẦN THƠ
2005

MỤC LỤC


Chương 1: Phần tổng quan trang 01
Chương 2: Các công cụ chuẩn bò trang 05
Chương 3: Sự tồn tại và duy nhất nghiệm trang 07
Chương 4: Thuật giải lặp cấp hai trang 12
Chương 5: Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé trang 20
Chương 6: Ví dụ về một hệ phương trình hàm cụ thể trang 28
Phần kết luận trang 38
Tài liệu tham khảo trang 40







LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn Thầy hướng dẫn tôi là Tiến sỹ
Nguyễn Văn Nhân, Thầy đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng
như trong quá trính hoàn thành luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Đặng Đức Trọng, PGS. TS. Đinh Ngọc
Thanh, TS. Nguyễn Thành Long, TS. Nguyễn Công Tâm đã đọc qua luận văn
và cho những nhận xét quý báu.
Xin trân trọng cảm ơn các Thầy, Cô thuộc khoa Toán – Tin học Trường

Đại học Khoa học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy
cho tôi trong thời gian học tập.
Xin trân trọng cảm ơn Phòng quản lý khoa học – Đào tạo sau đại học
Trường Đại học Cần Thơ, Ban Giám Hiệu Trường THPT Bán Công Thạnh An
đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn tất chương trình học.
Xin chân thành cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, các bạn học lớp Cao học
khoá 10 đã luôn động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trính học tập.

Nguyễn Hữu Chường
1
Chương 1
TỔNG QUAN
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm sau đây:

() ()
()()
()
()
()
∑∑∑∑
====
++Φ=
m
k
n
j
iijkjijk
m
k
ijkj

n
j
ijki
xgxSfbxRfaxf
1111
,
ε
(1.1)
,, ,;
n
i
x
1=Ω∈∀
trong đó
[
]
b
a
,
=
Ω
hoặc
Ω
là một khoảng không bò chận của
ijkijk
b
a
I
R
,, là các hằng số thực cho trước;

Ω
→Ω→
Ω
:,,:
ijkijki
S
R
I
R
g
và
ijkijk
b
a
I
R
I
R
,,: →Φ

là các hàm số liên tục cho trước thoả một số điều kiện nào đó
mà ta sẽ chỉ rõ sau đó. Các hàm
I
R
f
i
→
Ω
: là các ẩn hàm,
ε

là một tham số bé.
Trong trường hợp riêng
(
)
,,
ijkijk
SRyy
==Φ
2
hệ (1.1) được nghiên cứu bởi
các tác giả Long, Diễm [6]; Vân [11].
Trong [12], các tác giả Wu, Xuan và Zhu đã nghiên cứu hệ (1.1) sau đây
ứng với
[]
ijkijk
S
v
à
a
n
m
b
b
02
=
==−=Ω ,,, là nhò thức bậc nhất.

() ( )
(
)

()()
() ( ) ( )
()()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+++
+++=
+++
+++=
,
,
xgcxbfa
cxbfacxbfaxf
xgcxbfa
c
x
b
f
a
c
x
b
f
a
x

f
22323223
222222221211212
11313113
121221211111111
(1.2)
với mọi
[]
,,
b
b
x
−=Ω∈ trong đó, các hằng số
b
c
b
a
ijijij
,,,
cho trước thoả các điều
kiện:
,max,max,
,
1
1
1
3
1
<
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
≥<
∑
=
j
ij
i
ij
ij
ji
ij
a
b
c
bb

(1.3)
các hàm số
21
g
g
,
liên tục cho trước và
21
f
f
,
là các ẩn hàm. Nghiệm của hệ (1.2)
lúc này cũng được xấp xỉ bởi một dãy quy nạp hội tụ đều và ổn đònh đối với các
i
g
.
Trong [9], các tác giả Nghóa, Khôi đã xét hệ phương trình hàm cụ thể sau
đây để làm kiểm tra một thuật toán số.
2

()
()
()
()
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
=
,
,
xg
x
f
x
f
x
f
x
fxf
xg
x
f
x
f
x
f
x
fxf
22
2112
12
2111
4

3
4200
1
2100
1
3
1
2200
1
4100
1
4
1
3100
1
4
1
4100
1
2
1
3200
1
2100
1
(1.4)
[]
,,11−∈∀
x
trong đó

21
g
g
,
được chọn sao cho hệ (1.4) có nghiệm chính xác biết
trước.
Trong [3], các tác giả Long, Nghóa, Ruy, Khôi đã nghiên cứu một trường
hợp riêng của (1.1) với
0
=
ijk
a
và
[
]
b
b
,
−
=
Ω
hay
Ω
là khoảng không bò chận
của IR.
Bằng cách sử dụng đònh lý điểm bất động Banach, các tác giả trong [2] đã
thu được kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn đònh nghiệm của hệ (1.1) đối
với các hàm
i
g

.
Trong trường hợp
0
=
ijk
a
và
ijk
S
là các nhò thức bậc nhất,
(
)
nr
IRCg
,Ω∈ và
[]
b
b
,−=Ω các tác giả trong [3] đã thu được một khai triển Maclaurin của nghiệm
của hệ (1.1) cho đến cấp r. Hơn nữa, nếu
i
g
là các đa thức bậc r, thì nghiệm của
hệ (1.1) cũng là đa thức bậc r. Sau đó, nếu
i
g
là các hàm liên tục, nghiệm
f
của
(1.1) được xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Sau đó, các kết quả trên

đây đã được nới rộng bởi các tác giả Long, Nghóa [4] cho miền
p
IR
⊂Ω
nhiều
chiều và
ijk
S
là các hàm affine. Hơn nữa, trong [3] cũng tìm được một điều kiện
đủ để cho một thuật giải cấp hai là hội tụ [3]. Một số kết quả liên quan đến khai
triển tiệm cận của nghiệm cho hệ (1.1) theo một tham số bé
ε
cũng được xem
xét trong bài báo của Long, Diễm [6].
Gần đây, Long, Danh và Khôi [5] đã nghiên cứu hệ phương trình tích phân
– hàm
3
()
()
() ( )
[]
∑
∫
=
+
−∈=+
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
++=
2
1
0
21
j
i
x
jijijijjiji
bbxixgdttfcxbfaxf
ijij
.,,,,
γβ
α
(1.7)
Sau đó Danh, Dung và Long [1] đã xét hệ
()
()
() ( )
,
∑∑
∫
==
+
+
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
m
k
n
j
i
x
jijkijkijkjijki
xgdttfcxbfaxf
ijkijk
11
0
γβ
α
(1.8)
[]
,,, ,,,
b
b
x
n
i
−=Ω∈= 21

trong đó
I
R
g
i
→
Ω
:
là các hàm liên tục cho trước,
R
c
b
a
ijkijkijkijkijkijk
∈
γ
β
α
,,,,, là các hằng số thực cho trước thoả thêm một số điều
kiện phụ. Các tác giả trong [1, 5, 7] đã thiết lập nghiệm
()
n
f
f
f
,
1
=
bởi một
dãy các đa thức hội tụ đều.

Luận văn này được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối cùng
là phần tài liệu tham khảo.
Trong chương 1, là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, một số kết
quả đã có trước đó và nội dung cần trình bày trong các chương của luận văn.
Trong chương 2, chúng tôi tóm tắt công cụ chủ yếu để sử dụng cho các
chương sau.
Trong chương 3, dựa vào đònh lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng
minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1).
Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được thuật
giải lặp hội tụ cấp hai cho hệ (1.1). Điều này cho phép gia tăng tốc độ hội tụ của
thuật giải lặp so với thuật giải xấp xỉ liên tiếp của ánh xạ co.
Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bò nhiễu
bởi một tham số bé
.
ε
Chúng tôi thu được trong chương này một khai triển tiệm
cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp N +1 theo
ε
thu được, với
ε
đủ nhỏ theo nghóa

[]
()
∑
=
+
+=
N
r

Nrr
Off
0
1
εε
ε

tức là
4

()
[]
()
∑∑
=
+
=
Ω∈
≤−
n
i
N
r
i
N
r
r
i
x
Cxfxf

1
1
0
εε
sup

trong đó C là một hằng số độc lập với
.
ε

Trong chương 6, chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ hệ phương trình hàm
cụ thể với thuộc dạng (1.1) ứng với
[
]
()
,,,,,, 21121 ≥=Φ−=Ω==
pyynm
p
ở đó
chúng tôi sẽ khảo sát một thuật giải hội tụ cấp hai và chỉ ra các thành phần trong
khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ.
Phần kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận văn và một số
chú ý kèm theo. Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo.
5
Chương 2
CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi giới thiệu qua về các ký hiệu, các không gian
hàm và một số công cụ cần dùng trong luận văn.
2.1. Các ký hiệu
Ta ký hiệu

[]
b
a
,=Ω
hay
Ω
là khoảng không bò chặn trong
.
I
R

Với
[]
b
a
,=Ω
ta ký hiệu
(
)
n
IRCX
;Ω=
là không gian Banach của các hàm số
()
n
n
IRfff
→Ω= : ,,
1
liên tục trên

Ω
đối với chuẩn

()
.sup
∑
=
Ω∈
=
n
i
i
x
X
xff
1
(2.1)
Khi
Ω là khoảng không bò chặn, ta ký hiệu
(
)
n
b
IRCX
;Ω=
là không gian
Banach của các hàm số
n
IRf
→Ω: liên tục, bò chận trên

Ω
đối với chuẩn (2.1).
Tương tự, với số nguyên không âm m, ta đặt
(
)
()
(
)
(
)
(
)
{
}
.,,;:; ,,;
nimkIRCfIRCfffIRC
k
i
n
n
nm
≤≤≤≤Ω∈Ω∈==Ω 10
1

Với
Ω là khoảng không bò chặn, ta ký hiệu

(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
{
}
nimkIRCfIRCfffIRC
b
k
i
n
bn
nm
b
≤≤≤≤Ω∈Ω∈==Ω 10
1
,,;:; ,,;

Mặt khác,
(
)
(
)
nm
b
nm
IRCvàIRC

;; ΩΩ cũng là các không gian Banach đối với chuẩn

()
()
.supmax
∑
=
Ω∈
≤≤
=
n
i
k
i
x
mk
m
xff
1
1
(2.2)
2.2. Đònh lý điểm bất động Banach
Đònh lý sau đây được dùng nhiều trong các chương sau.
Đònh lý 2.1. (Đònh lý điểm bất động Banach)
Cho X là không gian Banach với
chuẩn
X
K
⊂⋅ ,
là tập đóng. Cho

K
K
T
→:
là ánh xạ sao cho tồn tại số thực
10 <≤
σ
σ
,
sao cho
.,,
KgfgfTgTf
∈∀−≤−
σ
(2.3)
Khi đó ta có
6
(i) tồn tại duy nhất
.
T
f
f
ch
o
sa
o
K
f
=
∈

(ii) Với mỗi
(
)
,
Kf
∈
0
xét dãy
(
)
{
}
v
f
cho bởi
(
)
, ,, 21
1
==
−
vTff
vv

ta có

(a)
(
)

,lim 0=−
∞→
ff
v
v

(b)
() () ()
, ,, 21
1
00
=
−
−≤−
vTffff
v
v
σ
σ

(c)
() () ( )
, ,, 21
1
1
=−
−
≤−
−
vffff

vvv
σ
σ

Chứng minh đònh lý 2.1 có thể tìm thấy trong nhiều cuốn sách về nhập môn giải
tích.
7
Chương 3
SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM
Trong chương này, dựa vào đònh lý điểm bất động Banach, chúng ta chứng
minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1).
Ta viết hệ (1.1) theo dạng của một phương trình toán tử trong
(
)
n
IRCX
;Ω≡
(hoặc trong
(
)
);
n
b
IRCX
Ω=
như sau

g
B
f

A
f
f
+
+
=
ε
(3.1)
trong đó

()
() ()()
() ()()
,, ,
,, ,
,, ,
n
n
n
BfBfBf
AfAfAf
f
f
f
1
1
1
=
=
=

với

()() ()
()()
()() ()
()
()
.,
,
Ω∈∀≤≤=
Φ=
∑∑
∑∑
==
==
xnixSfbxBf
xRfaxAf
m
k
ijkj
n
j
ijki
m
k
n
j
ijkjijk
i

11
11
1

Ta ký hiệu:
[]
∑∑
==
≤≤
=
n
i
ijk
m
k
nj
ijk
bb
11
1
.max
Đầu tiên, ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 3.1.
Giả sử
[]
Ω→Ω< :
ijkijk
Svàb
1
liên tục. Khi đó :

i)
[]
.
XffbBf
X
ijk
X
∈∀≤
ii)
Toán tử tuyến tính

X
X
B
I
→
−
:
là khả đảo và

()
[]
.
ijk
b
BI
−
≤−
−
1

1
1

Chứng minh
i) Ta có

()() ()
()
∑∑∑∑
====
Ω∈Ω∈
≤=
n
i
n
i
m
k
n
j
ijkjijk
x
i
x
X
xSfbxBfBf
1111
supsup

()
()
∑∑∑
===
Ω∈
≤
n
i
m
k
n
j
ijkjijk
x
xSfb
111
sup

8

()
()
[]
.supmax
∑∑ ∑
== =
Ω∈
≤≤
≤≤
n

i
m
k
n
j
X
ijkijkj
x
ijk
nj
fbxSfb
11 1
1

ii) Trước hết, ta nghiệm lại rằng
.1<
B
Thật vậy, do (i) và
[]
,1<
ijk
b
ta chú ý rằng

[]
,sup 1
0
<≤=
∈≠
ijk

X
X
Xf
b
f
B
f
B
do đó
., 1<
B

Tiếp theo, ta chứng minh rằng
B
I
−
khả đảo, tức là, với mỗi
X
g
∈ , phương trình
g
B
f
f
+= có nghiệm duy nhất .
X
f
∈
Thật vậy, xét ánh xạ

X
X
→:
δ


g
B
f
f
f
+
=
δ
a
Khi đó,
δ
là ánh xạ co.
Ta có:

XXXX
gfBgBff
+≤+= hay
.
B
g
f
X
X
−

≤
1

Vì

()
gBIf
1−
−= nên
()
.
B
g
gBI
X
X
−
≤−
−
1
1

Vậy

()
()
[]
,sup
ijk
X

X
Xg
B
Bg
gBI
BI
−
≤
−
≤
−
=−
−
∈≠
−
1
1
1
1
1
0
1

và bổ đề 3.1 được chứng minh.
Do bổ đề 1, ta viết lại hệ (3.1) như sau:

()
(
)
.

1
TfgAfBIf ≡+−=
−
ε
(3.2)
Ta thành lập các giả thiết sau:
()
Ω→Ω:,
ijkijk
S
R
H
1
liên tục;

()
R
R
H
→Φ :
4
thoả điều kiện
() ()
(
)
(
)
[
]
.,,:,

MMzyzyMCzyMCM
−∈∀−≤Φ−Φ>∃>∀
11
00
() ( )
()
[]
,
; ,,
1
3
12
<
∈=
ijk
n
bH
X
g
g
g
H
9
()
[]
ijk
X
b
g
MH

−
>
1
2
5
và
[
]
(
)
() ()
()
[]
.
ijk
ijk
anMMC
BM
02
1
0
1
0
Φ+
−
<<
ε

Với mỗi
,0>

M
ta đặt
{
}
.:
MfXfK
X
M
≤∈=
Khi đó ta có bổ đề sau đây.
Bổ đề 3.2.
Giả sử

()()
41
H
H
−

đúng. Khi đó ta có
i)
[]
(
)
(
)
()
,
M
X

ijk
X
KfnfMCaAf
∈∀Φ+≤ 0
1

ii)
(
)
[
]
.
~
,
~~
M
X
ijk
X
KffffaMCfAAf
∈∀−≤−
1

Chứng minh.
() ( )() ()
()()
()
()()
()
()

∑∑∑
∑∑∑
∑ ∑∑∑
==
Ω∈
=
≤≤
==
Ω∈
=
≤≤
====
Φ≤
Φ≤
Φ≤∈∀
n
i
n
j
j
x
m
k
ijk
nj
n
i
n
j
ijkj

x
m
k
ijk
nj
n
i
n
i
m
k
n
j
ijkjijk
i
M
xfa
xRfa
xRfaxAfKfi
111
1
111
1
1111
supmax
supmax
,


() () ()

(
)
[]
() ()
()
.
supmax
0
0
1
11 1
1
1
Φ+≤
Φ+≤
∑∑ ∑
== =
Ω∈
≤≤
nfMCa
xfMCa
X
ijk
n
i
m
k
n
j
j

x
ijk
nj

Vậy

[]
()
(
)
()
.0
1
Φ+≤
nfMCaAf
X
ijk
X

()
,
~
,
M
Kffii
∈∀
ta có
()()
()
() ()

()()
()
()
(
)
()
()()
()
()
()
()
()
()
()
() () ()
()
[]
.
~
~
supmax
~
supmax
~
supmax
~~
X
ijk
n
j

jj
x
ijk
n
i
m
j
nj
n
j
jj
x
ijk
n
i
m
k
nj
n
j
ijkjijkj
x
ijk
n
i
m
k
nj
n
i

n
i
m
k
n
j
ijkjijkjijk
ii
ffaMC
xfxfaMC
xfxfa
xRfxRfa
xRfxRfaxfAxAf
−≤
−≤
Φ−Φ≤
Φ−Φ≤
Φ−Φ≤−
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑ ∑∑∑
=
Ω∈
==
≤≤
=
Ω∈
==
≤≤

=
Ω∈
==
≤≤
====
1
111
1
1
111
1
111
1
1111

Vậy
10

()
[]
.
~~
X
ijk
X
ffaMCfAAf
−≤−
1

Khi đó, ta có đònh lý sau đây.

Đònh lý 3.1.
Giả sử

()
(
)
51
H
H
−

đúng. Khi đó, với mỗi

,
ε

với

,
0
εε
≤

he
ä (3.2)
co
ù
nghiệm duy nhất
.
M

K
f
∈
ε

Chứng minh. Hiển nhiên rằng
,
X
T
f
∈
với mọi
.
X
f
∈
xét
,
~
,
M
Kff
∈
ta dễ dàng
nghiệm lại rằng, do bổ đề 3.1 và 3.2, rằng

()( )
(
)
(

)
[]
[]
() ()
()
[]
,
X
ijk
ijk
XX
X
X
gnMMCa
b
gAfBIgAfBITf
+Φ+
−
≤
+−≤+−=
−−
0
1
1
10
11
ε
εε
(3.3)

()
(
)
(
)
()
[]
[]
.
~
~~~
X
ijk
ijk
X
X
X
ff
b
aMC
fAAfBIfAAfBIfTTf
−
−
≤
−−≤−−=−
−−
1
10
1
0

1
ε
εε
(3.4)
Chú ý rằng, từ
()
5
H
ta có

[]
() ()
()
[
]
(
)
.
ijk
X
ijk
b
M
gnMMCa
−≤+Φ+ 1
2
0
10
ε

Từ đây ta suy ra

[]
()
(
)
()
[]
(
)
[
]
[]
.1
11
0
1010
<
−
≤
−
+Φ+
ijk
ijk
ijk
X
ijk
b
aMC
vàM

b
gnMMCa εε
(3.5)

Ta suy ra từ (3.3), (3.4), (3.5) rằng
MM
K
K
T
→:
là ánh xạ co. Khi đó, sử dụng
đònh lý điểm bất động Banach ta có duy nhất một hàm
M
K
f
∈
ε
sao cho .
εε
T
f
f
=

Chú thích 3.1. Nhờ đònh lý điểm bất động Banach, nghiệm
ε
f
của hệ (3.2) được
xấp xỉ bởi thuật giải sau :

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
gAfBITff
vvv
+−≡=
−
−
− 1
1
1
ε
(3.6)

()
M
Kf
∈
0
cho trước.
Khi đó

(
)
ε
ff
v
→ trong
X
khi
∞
+
→
v
(3.7)
11
và

()
(
)
(
)
,,,, 21
1
00
=∀
−
−
≤−
v
Tff

ff
v
X
X
v
σ
σ
ε
(3.8)
với
()
[]
[]
.1
1
10
<
−
=
ijk
ijk
b
aMC
ε
σ

Chú thích 3.2. Trong trường hợp riêng
(
)
,,

ijkijk
SRyy
==Φ
2
hệ (1.1) được chứng
minh tồn tại và duy nhất nghiệm bởi các tác giả Long, Diễm [6]; Vân [11].


12
Chương 4
THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI
Trong đònh lý 3.1 đã cho một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.6), theo nguyên
tắc ánh xạ co, đó cũng là một thuật giải hội tụ cấp 1. Trong phần này chúng ta
nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1). Một số điều kiện phụ liên quan
đến hệ (1.1) ta sẽ đặt sau.
4.1. Thuật giải lặp cấp hai
Xét hệ phương trình hàm

() ()
()()
()
()
()
∑∑ ∑∑
== ==
++Φ=
m
k
n
j

m
k
n
j
iijkjijkijkjijki
xgxSfbxRfaxf
11 11
,
ε

n
i
x
,,; 1=Ω∈∀
(1.1)
Ta giả sử rằng
()
.;
IRIRC
1
∈Φ Dựa vào xấp xỉ sau đây

()
(
)
()
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)
.
/ 111 −−−
−Φ+Φ≅Φ
v
j
v
j
v
j
v
j
v
j
fffff
(4.1)
Ta thu được thuật giải sau đây cho hệ (1.1)
i) Cho trước
(
)
(
)
(

)
(
)
,,
Xfff
n
∈=
00
1
0

ii) Giả sử biết
(
)
(
)
(
)
(
)
, ,,
Xfff
v
n
vv
∈=
−−− 11
1
1
ta xác đònh

(
)
(
)
(
)
(
)
X
fff
v
n
vv
∈= ,,
1
bởi

()
()
()
()
()
()
∑∑
=
−
=
Φ=
m
k

ijk
v
j
n
j
ijk
v
i
xRfaxf
1
1
1
ε


()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
[
]
∑∑
=

−−
=
−Φ+
m
k
ijk
v
jijk
v
jijk
v
j
n
j
ijk
xRfxRfxRfa
1
11
1
/
ε


()
()
()
()
∑∑
==
=≤≤Ω∈++

m
k
n
j
iijk
v
jijk
vnixxgxSfb
11
211 ,,,,, (4.2)
Ta viết lại (4.2) dưới dạng

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
∑∑ ∑∑
== ==
++=
n
j
m

k
n
j
m
k
v
iijk
v
jijkijk
v
j
v
ijk
v
i
xgxSfbxRfxxf
11 11
,
α

, ,,, 211 =≤≤Ω∈∀
v
n
i
x
(4.3)
trong đó
(
)
(

)
v
i
v
ijk
g
,
α
phụ thuộc vào
(
)
1−
v
f
cho bởi:

()
()
()
(
)
(
)
(
)
,
/
xRfax
ijk
v

jijk
v
ijk
1−
Φ=
εα
(4.4)
13

()
() ()
xgxg
i
v
i
=


()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
[]

∑∑
=
−−−
=
Φ−Φ+
m
k
ijk
v
jijk
v
jijk
v
j
n
j
ijk
xRfxRfxRfa
1
111
1
.
/
ε
(4.5)
Khi đó ta có đònh lý sau:
Đònh lý 4.1.
Giả sử

()()

31
H
H
−
là đúng
.
Nếu

(
)
X
f
v
∈
−1

thoả


()
()
[]
.supmax 1
11
1
<+≡
∑∑
=
Ω∈
=

≤≤
ijk
v
ijk
n
i
x
m
k
nj
v
bxαα
(4.6)
Khi đó tồn tại duy nhất

()
X
f
v
∈
là nghiệm của
(4.3) – (4.5).
Chứng minh.
Hệ (4.3) được viết lại như sau:

(
)
(
)
,

v
v
v
fTf
=
(4.7)
với

()()
()
() ()
()
()
()
()
()
∑∑ ∑∑
== ==
++=
n
j
m
k
n
j
m
k
v
iijkjijkijkj
v

ijk
i
v
xgxSfbxRfxxfT
11 11
,
α

(
)
, ,,,,,
X
f
f
f
v
n
i
x
n
∈
==≤≤Ω∈
1
211 (4.8)
Hiển nhiên rằng
.:
X
X
T
v

→ ta chỉ cần nghiệm lại rằng

.,,
XhfhfhTfT
X
v
X
vv
∈∀−≤−
α
(4.9)
Thật vậy, với
,,
X
h
f
∈
đặt
,
~
hff
−=
ta có

()()()()
∑
=
−
n
i

i
v
i
v
xhTxfT
1


()
() ()
()
()
()
()
() ()
()
()
()
()
() ()
()
()
()
()
()
X
ijk
n
i
m

k
nj
X
v
ijk
x
n
i
m
k
nj
n
i
m
k
n
j
ijkjijk
nj
n
i
m
k
n
j
ijkj
v
ijk
nj
ijkj

n
i
n
j
m
k
n
i
n
j
m
k
ijkijkj
v
ijk
n
i
n
j
m
k
n
j
m
k
ijkjijkijkj
v
ijk
fbfx
xSfbxRfx

xSfbxRfx
xSfbxRfx
~
max
~
supmax
~
max
~
max
~~
~~
∑∑∑∑
∑∑ ∑∑∑ ∑
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑∑ ∑∑
==
≤≤
Ω∈
==
≤≤
== =
≤≤
== =
≤≤
=== ===
=== ==
+≤
+≤
+≤

+=
11
1
11
1
11 1
1
11 1
1
111 111
111 11
α
α
α
α


()
()
[]
.
~
supmax
X
v
x
n
i
m
k

ijk
v
ijk
x
nj
hffbx
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
∑∑
==
Ω∈
≤≤
αα
11
1

14
Vậy
( )() ( )()
∑
=
Ω∈
−≤−≤−
n

i
X
v
i
v
i
v
x
X
vv
hfxhTxfThTfT
1
α
sup

Sử dụng đònh lý điểm bất động Banach, đònh lý 4.1 được chứng minh.
Đònh lý 4.2.
Giả sử

()
(
)
31
H
H
−

đúng. Cho

.

I
R
a
ijk
∈

Khi đó tồn tại hai hằng số

,,
ε
M

sao cho
:
Với

()
M
Kf
∈
0

cho trước, hệ
(4.3) – (4.5)
tồn tại duy nhất nghiệm

(
)
v
f

thoả
điều kiện

(
)
,,,, 210=∀∈
vKf
M
v
(4.10)
Chứng minh. Giả sử
()
M
Kf
∈
0
, với hai hằng số
,,
ε
M
mà ta sẽ chọn sau.
Ta cũng giả sử bằng qui nạp rằng:

(
)
.
M
v
Kf

∈
−1
(4.11)
Ta sẽ chứng minh rằng
()
.
M
v
Kf
∈ . Với mọi
Ω
∈
x
, ta có từ (4.3) rằng:

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()

()
()
()
()
()
()
()
()
()
() ()
()
()
[]
() ()
.supmax
max
supmax
max
max
X
v
X
v
ijk
v
ijk
x
n
i
m

k
nj
X
v
X
v
ijk
n
i
m
k
nj
X
vv
ijk
x
n
i
m
k
nj
n
j
X
v
ijk
v
jijk
n
i

m
k
nj
n
j
ijk
v
j
v
ijk
n
i
m
k
nj
n
i
n
j
m
k
n
i
v
iijk
v
jijk
n
i
n

j
m
k
ijk
v
j
v
ijk
n
i
v
i
gfbx
gfb
fx
gxSfb
xRfx
xgxSfb
xRfxxf
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+≤
++
≤
++

≤
++
≤
Ω∈
==
≤≤
==
≤≤
Ω∈
==
≤≤
===
≤≤
===
≤≤
=== =
====
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑ ∑
∑∑∑∑
α
α
α
α
11
1

11
1
11
1
111
1
111
1
111 1
1111
(4.12)
Do đó

() ()
()
[]
() ()
.supmax
X
v
X
v
ijk
v
ijk
x
n
i
m
k

nj
X
v
gfbxf
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+≤
Ω∈
==
≤≤
∑∑
α
11
1
(4.13)
Mặt khác, với mọi
Ω∈
x
, ta có từ (4.4), (4.11), rằng:

()
()
()
(
)

(
)
()
(
)
,sup
//
ijk
My
ijkijk
v
jijk
v
ijk
aMyaxRfax
1
1
εεεα
≡Φ≤Φ≤
≤
−
(4.14)
15
trong đó
()
.sup
/
yM
My
Φ=

≤
1

Ta suy ra từ (4.14) rằng:

()
()
[]
.supmax
ijk
v
ijk
x
n
j
m
k
nj
aMx
1
11
1
εα
≤
Ω∈
==
≤≤
∑∑
(4.15)
Mặt khác, ta cũng có từ (4.5) rằng:

()
() ()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
[
]
.
/
∑∑
==
−−−
Φ−Φ−=
m
k
n
j
ijk
v
jijk
v

jijk
v
jijki
v
i
xRfxRfxRfaxgxg
11
111
ε

Chú ý rằng số hạng trong dấu móc [ ] được đánh giá như sau

()
()
()
()
(
)
(
)
(
)
()
(
)
(
)
(
)
()

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
.
//
//
/
/
02
0
0
00
1
1
111
1111
111
111
Φ+≤

Φ+Φ+Φ≤
Φ+Φ−Φ=
Φ+Φ−Φ−Φ=
Φ−Φ
−
−−−
−−−−
−−−
−−−
xRfM
xRfxRfxRf
xRfxRfxRfxRf
xRfxRfxRf
xRfxRfxRf
ijk
v
j
ijk
v
jijk
v
jijk
v
j
ijk
v
jijk
v
jijk
v

jijk
v
j
ijk
v
jijk
v
jijk
v
j
ijk
v
jijk
v
jijk
v
j
θ
θ

Do đó ta suy ra từ (4.11) rằng

()
() ()
()
()
()
()
()
()

()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
[]
()
()
.
max
max
/
1
1
1
11
1
11 1
1
1
1
111

111
11
20
20
20
MMnag
fMnag
xRfMag
xRfxRfxRfa
xgxg
ijk
X
X
v
ijk
n
i
m
k
nj
X
n
i
m
k
n
j
ijk
v
jijk

nj
X
ijk
v
jijk
v
jijk
v
j
n
i
m
k
n
j
ijk
n
i
n
i
i
v
i
+Φ+≤
+Φ+≤
+Φ+≤
Φ−Φ+
≤
−
==

≤≤
== =
−
≤≤
−−−
===
==
∑∑
∑∑ ∑
∑∑∑
∑∑
ε
ε
ε
ε

Vậy

()
[]
(
)
(
)
1
20
MMnagg
ijk
X
X

v
+Φ+≤
ε
(4.16)
Từ (4.13), (4.15) và (4.16), ta được:

(
)
[
]
[
]
(
)
(
)
[]
()
()
.
1
1
20
MMnag
fbaMf
ijk
X
X
v
ijkijk

X
v
+Φ++
+≤
ε
ε
(4.17)
hay

[]
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
.
11
201
MMnagfaMb
ijk
X
X
v

ijkijk
+Φ+≤−−
εε

16
Với
0>
M
đã chọn như trong
(
)
,
5
H
ta chọn
ε
sao cho hai điều kiện sau được
thoả:

[] []
,1
1
<+
ijkijk
aMb
ε
(4.18)

[]
(

)
(
)
[
]
(
)
.
MbnMMag
ijkijk
X
−≤Φ++ 103
1
ε
(4.19)
Khi đó, ta suy ra từ (4.17), (4.18) và (4.19) rằng:

()
[]
(
)
(
)
[] []
.
M
aMb
MMnag
f
ijkijk

ijk
X
X
v
≤
−−
+Φ+
≤
1
1
1
20
ε
ε
(4.20)
Điều này khẳng đònh (4.10).
Ta chú ý rằng (4.19) dẫn đến (4.18), bởi vì (4.19) tương đương với:

[]
(
)
()
[
]
[
]
(
)
.
MaMbnMMag

ijkijkijk
X
11
102
εε
−−≤Φ++
(4.21)
Như vậy, ta chỉ cần chọn
ε
thoả (4.19).
Đònh lý 4.2 được chứng minh hoàn tất.
Đònh lý 4.3.
Giả sử

()()
(
)
321
,, HHH
đúng. Cho
.IRa
ijk
∈

Khi đó, tồn tại hai hằng số

,
ε
v
à

M
0>
sao cho
:
(i)
Với

(
)
M
Kf
∈
0

cho trứơc, dãy

(
)
{
}
v
f

xác đònh bởi hệ
(4.3) – (4.5)
là dãy lặp cấp
hai. Chính xác hơn, ta có

() ()
,,, 21

2
1
=∀−≤−
−
vffff
X
v
M
X
v
β
(4.22)
trong đó

[]
[] []
()
,sup,
//
yM
aMb
aM
M
ijkijk
ijk
M
Φ=
−−
=
≤

γ
ε
ε
β
2
1
2
1
2
(4.23)
va
ø
f

là nghiệm của hệ
(1.1).
(ii)
Nếu

()
0
f được chọn đủ gần

f

sao cho


()
,1

0
<−
X
M
ff
β
(4.24)
thì dãy

(
)
{
}
v
f

hội tụ cấp
2
ve
à
f

và thoả một đánh giá sai số

17

() ()
(
)
,,, 21

1
2
0
=∀−≤−
vffff
v
X
M
M
X
v
β
β
(4.25)
Chứng minh.
Ta ước lượng đánh giá:
(
)
X
v
ff
−

i) Ta có:

()
() ()
()
()
()

()()
()
()
()
()
()
()
()
[]
()
()
() ()
()
()
()
()()
()
()
()
()
()
()
()
[]
()
()
()
()
()
()

()
()
()
()
()
()
()
()
[]
()
()
() ()
()()
()
()
()
()
[]
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
==
−
==
−−−
==
−
==
−

Φ−Φ+=
Φ−Φ−
+Φ−Φ=
−++
Φ−Φ=
−=
n
j
m
k
ijk
v
jijkjijk
i
v
n
j
m
k
ijk
v
iijk
v
jijk
v
jijk
i
v
n
j

m
k
ijk
v
jijk
v
jijkjijk
v
ii
i
v
n
j
m
k
ijk
v
iijk
v
jijkjijk
v
ij
v
i
xRfxRfaxBe
xRfxRfxRfa
xBexRfxRfxRfa
xgxgxBe
xRfxRfxRfa
xfxfxe

11
1
11
111
11
1
11
1
ε
ε
ε
ε
/
/
/


()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
[
]
∑∑

==
−−
−Φ+
n
j
m
k
ijk
v
jijk
v
jijk
v
jijk
xRexRexRfa
11
11
.
/
ε
(4.26)
Mặt khác, ta có

()
()
()
()
()
()
()

(
)
()
()
(
)
()
()
(
)
()
()
,
///
2
1111
2
1
yeyhyeyfyfyf
v
j
v
j
v
j
v
j
v
jj
−−−−

Φ+Φ=Φ−Φ
với
()
()
()
()
()
(
)
(
)
.,, 10
11
<<+==
−−
θθ
yeyfyhxRy
v
jj
v
j
v
jijk

Vậy

()
()
()
(

)
()
()
()
()
()
()
()
()
[]
()
()
()
()
()
()
()
∑∑
∑∑
==
−
==
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Φ+

Φ+
=
n
j
m
k
ijk
v
jijk
v
jijk
n
j
m
k
ijk
v
jijk
v
jijk
i
vv
i
xRexRha
xRexRfa
xBexe
11
2
1
11

1
2
.
//
/
ε
ε
(4.27)
Đặt
()
.sup
//
yM
My
Φ=
≤
2

Với mọi
,Ω∈
x
ta có từ (4.27) rằng:
18
()
()
() ()
()
()
()
()

()
[]
() ()
()
()
()
()
∑∑ ∑
∑∑∑
∑∑ ∑
∑∑∑∑
== =
−
Ω∈
≤≤
=
Ω∈
==
≤≤
== =
−
Ω∈
≤≤
====
Ω∈
≤≤
+
+≤
+
+≤

n
i
m
k
n
j
ijk
v
j
x
ijk
nj
n
j
v
j
x
ijk
n
i
m
k
nj
X
v
ijk
n
i
m
k

n
j
ijk
v
j
x
ijk
nj
n
i
n
i
m
k
n
j
ijk
v
j
x
ijk
nj
X
vv
i
xReaM
xeaMeb
xReaM
xReaMBexe
11 1

2
1
1
2
111
1
1
11 1
2
1
1
2
1111
1
1
2
2
]supmax
supmax
]supmax
supmax
ε
ε
ε
ε


[]
()
[]

()
[]
()
.
2
1
21
2
X
v
ijk
X
v
ijk
X
v
ijk
eaMeaMeb
−
++≤
ε
ε
(4.28)
Điều này dẫn đến

[] []
()
()
[]
()

.
2
1
2
1
21
X
v
ijk
X
v
ijkijk
eaMeaMb
−
≤−−
ε
ε

Suy ra

()
[]
[] []
() ()
,
1
2
2
121
1

2
X
v
MX
v
ijkijk
ijk
X
v
ee
aMb
aM
e
−−
≡
−−
≤
β
ε
ε

hay

() ()
, 2,1,
21
=∀−≤−
−
vffff
X

v
M
X
v
β
(4.29)
với
[]
[] []
.
1
2
1
2
ijkijk
ijk
M
aMb
aM
ε
ε
β
−−
=

ii) Từ (4.29) ta suy ra

() () ()
()
()

()
()
()
()
()
()
v
v
X
M
X
v
M
X
v
MM
X
v
M
X
v
MM
X
v
M
X
v
ee
ee
eee

2
0
2 221
2
3
221
2
2
3
21
2
2
21
2
2
2
2
1
12
3
2
2
2

−
++++
−
++
−
+

−
+
−−
≤≤=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤≤
ββ
βββ
βββ


()
() ()
(
)
,
1
2

0
2
0
21
21
vv
v
X
M
M
X
M
ee
β
β
β
==
−
−
(4.30)
19
tức là (4.25) đúng. Bất đẳng thức đánh giá này cho phép ta kết luận dãy
(
)
{
}
v
f

hội tụ cấp 2 đến nghiệm

f của hệ (1.1) nếu
(
)
0
f được chọn thoả (4.24).
Chú thích 4.1. Về việc chọn bước lặp ban đầu
(
)
M
Kf
∈
0
thoả (4.24) ta cần qua
một công đoạn phụ như sau: Trước hết ta lấy
(
)
,
Xz
∈
0
ta xây dựng dãy lặp đơn
()
{
}
η
z
liên kết với ánh xạ co
MM
K
K

T
→: (như trong đònh lý 3.1, chương 3):

()
(
)
(
)
(
)
(
)
,,, 21
1
1
1
=+−≡=
−
−
−
ηε
ηηη
gAzBITzz
(4.31)
Khi đó dãy
()
{
}
η
z

hội tụ trong
X
về nghiệm
f
của (1.1) và ta có một đánh giá sai
số

() () ()
,,, 21
1
00
=∀
−
×−≤−
η
σ
σ
η
η
XX
Tzzzf
(4.32)
với

[]
[]
.1
1
2
<

−
=
ijk
ijk
b
aM
ε
σ
(4.33)
Từ (4.32), (4.33), ta chọn
N
∈
0
η
đủ lớn sao cho:

()
() ()
.1
1
0
0
00
<
−
×−≤−
σ
σ
ββ
η

η
X
M
X
M
Tzzzf
(4.34)
Vậy ta chọn bước lặp ban đầu
(
)
(
)
.
0
0
η
zf
= 


20
Chương 5
KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bò
nhiễu bởi một tham số bé
ε
. Với các giả thiết trên các hàm
g
S
ijk

,
và các số thực
M
b
a
ijkijk
,,,
0
ε
chúng tôi sẽ chứng minh rằng nghiệm của hệ (1.1) có một khai triển
tiệm cận đến cấp
1+
N
theo
ε
thu được, với
ε
đủ nhỏ theo nghóa

[]
()
1
0
+
=
+=
∑
Nr
N
r

r
Off
εε
ε

tức là

[]
,
1
0
+
=
≤−
∑
N
X
r
N
r
r
Cff
εε
ε

trong đó C là một hằng số độc lập với
ε
.
Trong phần này, ta giả sử rằng các hàm
g

S
ijk
,
và các số thực
M
b
a
ijkijk
,,,
0
ε

thoả các giả thiết
()()
,
51
H
H
− lần lượt.
Giả thiết.
() ( )
.;
IRIRCH
N
∈Φ
6

Ta xét hệ bò nhiễu (3.2), trong đó
ε
là một tham số bé, .

0
εε
≤ Đặt .
B
I
L
−
=
Ta hãy xét dãy hàm
[]
{
}
[
]
M
rr
KfNrf
∈= , ,,,, 21 (với hằng số thích hợp 0>
M
) được
xác đònh bởi các hệ sau:

[] []
,
00
PgLf
≡= (5.1)

[] []
[

]
,
011
AfPLf
≡=
(5.2)

[] []
, ,,,,
NrPLf
rr
32== (5.3)
trong đó

[
][][]
[
]
(
)
, ,,,, ,,,
NrPPPP
r
n
rrr
10
21
==

[]

()
[]
()
()
[]
()
()
()
∑∑
==
Φ==
m
k
n
j
ijkjijk
i
i
xRfaxAfxP
11
001
,
(5.4)