dung dao ham giai bai toan don dieu

PHƯƠNGPHÁP:
“DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN ĐƠN ĐIỆU ”
Thầy giáo : Lê Đình Thành

I. Đặt vấn đề.
Vì SGK bỏ định lý đảo về dấu tam thức bậc hai nên khi giải bài toán liên quan đến
tính đơn điệu học sinh gặp nhiều khó khăn. Để tránh định lý đảo về dấu tam thức bậc hai
các em học sinh 12 có thể tham khảo phương pháp sau đây .
II. Phương pháp.
1.Phương pháp 1: Cô lập tham số rồi dùng đạo hàm .
2.Phương pháp 2 :
Vận dụng nếu
hoặc
0)( >
′′
xf 0)(
<
′
′
xf
trên K thì
)(xf
′
đồng biến hoặc luôn luôn
nghịch biến trên K nên
0)(
=
′
xf
nhiều nhất 1 nghiệm trên K suy ra

0)(
=
xf

nhiều nhất 2 nghiệm trên K .
III. Một số bài tập vận dụng.
Bài toán 1. Tìm m để hàm số :
3
2
)2(3)1(
3
1
23
+−+−−= xmxmmxy
đồng biến trên
[

)
+∞;2
Lời giải. Hàm số xác định trên
[
)
+
∞;2
Yêu cầu bài toán thỏa
0, 2yx
′
⇔
≥∀≥
dấu “=”xẩy ra tại hữu hạn điểm trên

[
)
+
∞;2


2
2( 1) 3( 2) 0, 2mx m x m x
⇔
−−+−≥∀≥

2
(23)26, 2mx x x x
⇔
−+≥−+∀≥

2
26
(), 2
23
x
mgxx
x
x
−
+
⇔
≥=∀≥
−+

Ta có bảng xét dấu trên
[
)
+
∞;2
của
()
2
2
2
32
)36(2
)(
+−
+−
=
′
xx
xx
xg
là :
x

2
63 +

+

∞
g

/
(x) - 0 +

g(x)

3
2
0

2
3
m
≥
Từ bảng biến thiên suy ra là giá trị cần tìm.
mx
mxmx
y
−
++−+
=
1)1(2
2
đồng biến
[
)
+
∞;1
Bài toán 2 . Tìm m để hàm số
Lời giải. Hàm số xác định trên
[

)
+
∞;1 với
1
<
m


Ta có
()
2
22
1242
mx
mmmxx
y
−
−−+−
=
′
=
()
2
)(
mx
xg
−

Yêu cầu bài toán thỏa ⇔
() 0, 1

1
gx x
m
≥∀≥
⎧
⎨
<
⎩
Mà
() 4 4gx x m
′
=
−
nên ta có bảng xét dấu :

x m
1 +
∞
g
/
(x)
- 0 + +

g(x)
+
∞


16
2

+− mm

Dựa vào bảng biến thiên trên ta có,
Yêu cầu bài toán thỏa mãn ⇔
2
610
322
1
mm
m
m
−+≥
⎧
⇔≤−
⎨
<
⎩
.
Bài toán 3. Giải phương trình :
113
2
++=++ xxxx
.
Lời giải. Điều kiện
0≥x
Phương trình tương đương với f(x) =
113
2
−−−++ xxxx
= 0 (*)

Xét hàm số f(x) trên
ta có :
[
)
+∞;0
12
132
3
2
1
)( −−
+
+=
′
x
xx
xf


()
0.02
134
9
4
1
)(
33
>∀<−
+
−−=

′′
x
x
x
xf

Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm.
Dễ thấy x = 0 và x = 1 là 2 nghiệm của (*), do đó chúng là tất cả các nghiệm của (*).

IV. Bài tập vận dụng.
Bài 1
. Tìm m để hàm số :
2
26
2
+
++
=
x
xmx
y
nghịch biến
(
)
+
∞;1
Bài 2. Chứng minh rằng phương trình :
)2(82
2
−=−+ xaxx

có 2 nghiệm thực phân biệt với
mọi a > 0 .
Bài 3. Giải phương trình :
(
)
()
12422 =−+ x
x


V. Kết luận
.
Trong khuôn khổ 2 trang cho phép chỉ nêu vài phương pháp cơ bản để các em tham khảo.
Ngoài ra còn nhiều phương pháp khác, học sinh tự tìm tòi trong quá trình học tập để tự bổ
sung đầy đủ - vững chắc vào hành trang kiến thức cần thiết cho các cuộc thi sắp tới. Chúc
các em thành công.