Một số bài toán về điều kiện dãy nguyên tố trên vành Noether, địa phương

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Tính bão hòa nguyên tố 4
1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Tính bo hòa nguyên tố của môđun Artin . . . . . . . . . 5
1.3 Chiều Noether và tính bo hòa nguyên tố . . . . . . . . . 9
1.4 Tính bo hòa nguyên tố của H
d
m
(M) . . . . . . . . . . 11
2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn 15
2.1 Đặc trng tính bo hoà nguyên tố của H
i
m
(M) . . . . . . 16
2.2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn . . . . . . 23
3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay 27
3.1 Một số tính chất của giả giá . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá . . . 30
3.3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay và điều kiện Serre . . . 35
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1
2
Mở đầu
Các bài toán về điều kiện dy nguyên tố đ đợc quan tâm từ những
năm 1930. Bài toán đầu tiên là xét tính catenary của các vành giao hoán.
Nhắc lại rằng một vành gọi là catenary nếu giữa hai iđêan nguyên tố
lồng nhau bất kì luôn tồn tại một dy nguyên tố bo hòa và mọi dy
nguyên tố bo hòa nh thế đều có chung độ dài. Lớp vành catenary đầu
tiên đợc khám phá bởi W. Krull từ năm 1937, ông chỉ ra rằng mọi đại
số hữu hạn sinh trên một trờng là catenary. Những công trình tiếp theo

của W. Krull, M. Nagata, I. S. Cohen, D. Ferand và M. Raynaud, L. J.
Ratliff, R. Heitmann, M. Brodmann về tính catenary đ làm giàu đẹp
lí thuyết này, nó cho thấy sự liên quan chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khác
của Đại số Giao hoán nh vành định chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối
đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết, các phơng pháp đồng điều, các
mở rộng vành siêu việt Phát triển lí thuyết vành catenary là lí thuyết
vành catenary phổ dụng, vành tựa không trộn lẫn và vành không trộn
lẫn. Các lí thuyết này đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong Đại số giao
hoán, nhất là trong lí thuyết vành giao hoán. Cho đến nay, việc nghiên
cứu tính catenary, tính catenary phổ dụng, tính tựa không trộn lẫn, tính
không trộn lẫn và những bài toán liên quan cho các vành vẫn rất đợc
quan tâm bởi nhiều nhà toán học trên thế giới. Đặc biệt, gần đây Nguyễn
Tự Cờng, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn [CDN] đ thông qua
nghiên cứu môđun Artin đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất với giá
cực đại để đặc trng tính catenary cho các vành Noether và giá không
trộn lẫn của các môđun hữu hạn sinh.
Mục đích của đề tài này là phát triển các kết quả trên của Nguyễn Tự
Cờng, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn [CDN] cho những bài toán
3
về điều kiện dy nguyên tố khác nh xét tính catenary phổ dụng, tính tựa
không trộn lẫn, tính không trộn lẫn của các vành Noether địa phơng,
đồng thời xét một số bài toán liên quan nh công thức bội liên kết cho
môđun đối đồng điều địa phơng, tính đóng của các tập giả giá và tính
đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay. Công cụ nghiên cứu của đề
tài là dùng những tính chất đặc thù của tất cả các môđun đối đồng điều
địa phơng với giá cực đại.
Đề tài gồm 3 chơng. Chơng I nói về tính chất bo hòa nguyên tố
của môđun Artin, đặc biệt là môđun đối đồng điều địa phơng với giá
cực đại nhằm phục vụ cho việc trình bày các kết quả cho 2 chơng sau.
Chơng 2 đặc trng tính bo hòa nguyên tố cho các môđun đối đồng

điều địa phơng, từ đó xét tính catenary, catenary phổ dụng, tính không
trộn lẫn của các vành Noether địa phơng. Nh một ứng dụng, trong
Chơng 2 còn trình bày công thức bội liên kết cho các môđun đối đồng
điều địa phơng. Chơng 3 nghiên cứu tính đóng của quỹ tích không
Cohen-Macaulay thông qua các tập giả giá, qua các điều kiện Serre và
tính không trộn lẫn của vành.
Chơng 1
Tính bão hòa nguyên tố
Trong suốt chơng này, cho (R, m) là một vành Noether địa phơng với
iđêan tối đại duy nhất m, cho A là R-môđun Artin và M là R-môđun
hữu hạn sinh. Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu V (I) là tập các iđêan
nguyên tố của R chứa I.
1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin
Trớc hết ta nhắc lại một số kết quả về lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho
các môđun Artin đợc giới thiệu bởi I. G. Macdonad [Mac]. Lí thuyết
này đợc xem nh là đối ngẫu với lí thuyết phân tích nguyên sơ cho
môđun Noether: Nhắc lại rằng, một R-môđun L đợc gọi là thứ cấp nếu
phép nhân bởi r trên L là toàn cấu hoặc lũy linh với mọi r R. Trong
trờng hợp này, tập các phần tử r R sao cho phép nhân bởi r trên L
là lũy linh lập thành một iđêan nguyên tố p của R và ta gọi L là p-thứ
cấp. Macdonald [Mac] đ chỉ ra rằng mỗi môđun Artin A đều có một
biểu diễn thứ cấp A = A
1
+ . . . + A
n
trong đó A
i
là p
i
thứ cấp với mọi

i = 1, . . . , n. Trong trờng hợp các A
i
là không thừa (tức là A =

j=i
A
j
với mọi i = 1, . . . , n) và các iđêan nguyên tố p
i
là phân biệt thì biểu diễn
thứ cấp này đợc gọi là tối thiểu. Khi đó tập {p
1
, . . . , p
n
} không phụ
4
5
thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A và đợc kí hiệu bởi Att
R
A.
Tập Att
R
A đợc gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của A.
1.1.1. Bổ đề. [Mac]. Tập các phần tử tối thiểu của Att
R
A chính là tập
các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa Ann
R
A. Đặc biệt,
Rad(Ann

R
A) =

pAtt
R
A
p.
Ta cũng biết rằng mỗi Rmôđun Artin A có cấu trúc tự nhiên là

Rmôđun, và với cấu trúc này mỗi tập con của A là Rmôđun con
nếu và chỉ nếu nó là

Rmôđun con. Điều này cho thấy các dàn môđun
con của A xét nh Rmôđun và

Rmôđun là nh nhau. Do đó A là

Rmôđun Artin. Quan hệ giữa các tập Att
R
A và Att

R
A đợc cho bởi
công thức sau đây.
1.1.2. Bổ đề. (xem [Sh]). Att
R
A = {

p R :

p Att

R
A}.
1.2 Tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin
Trớc hết ta xét một tính chất cơ sở của các môđun hữu hạn sinh M
nh sau: Giả sử p là iđêan nguyên tố của R chứa Ann
R
M. Khi đó
p Supp M và do đó M
p
= 0. Theo Bổ đề Nakayama ta suy ra
(M/pM)
p
= M
p
/pM
p
= 0.
Vì thế p Supp(M/pM), tức là p Ann
R
(M/pM). Vì vậy ta luôn có
Ann
R
(M/pM) = p với mọi iđêan nguyên tố p Ann
R
M.
Rất tự nhiên, theo suy nghĩ đối ngẫu, N. T. Cuong và L. T. Nhan [CN]
đ xét tính chất sau đối với các môđun Artin A:
Ann

R
(0 :
A
p) = p với mọi iđêan nguyên tố p Ann
R
A. ()
6
Tuy nhiên tính chất (*) lại không đúng cho các môđun Artin A (xem Ví
dụ 1.2.3). Vì thế ta có định nghĩa sau đây.
1.2.1. Định nghĩa. Môđun A đợc gọi là có tính chất bo hòa nguyên
tố nếu nó thỏa mn tính chất (*).
1.2.2. Chú ý. Giả sử R là đầy đủ theo tôpô madic. Khi đó đối ngẫu
Matlis D(A) của A là R-môđun hữu hạn sinh. Chú ý rằng Ann
R
A =
Ann
R
D(A). Vì thế áp dụng tính chất linh hoá tử cho môđun D(A) ta có
Ann
R
(0 :
A
p) = Ann
R
(D(0 :
A
p)) = Ann
R
(D(A)/pD(A)) = p
với mọi iđêan nguyên tố p Ann

R
A = Ann
R
D(A). Do vậy mọi môđun
Artin trên vành địa phơng đầy đủ đều bo hoà nguyên tố.
Với mỗi số nguyên i, môđun đối đồng điều địa phơng thứ i với giá
cực đại H
i
m
(M) của M luôn là R-môđun Artin (xem [BS]).
1.2.3. Ví dụ. [CN, Ví dụ 4.4]. Tồn tại một môđun Artin trên vành
Noether địa phơng không bo hoà nguyên tố.
Chứng minh. Gọi (R, m) là miền Noether địa phơng chiều 2 đợc xây
dựng bới D. Ferrand và M. Raynaud [FR] thoả mn tính chất tồn tại một
iđêan nguyên tố nhúng

q Ass

R với dim

R/

q = 1. Khi đó H
1
m
(R) là
môđun Artin và ta có đẳng cấu các

Rmôđun H
1

m
(R)

=
H
1

m
(

R). Theo
[Sh1, Hệ quả 4.9]) ta suy ra

q Att

R

H
1

m
(

R)

. Theo Bổ đề 1.1.2 ta suy
ra

q R Att
R

H
1
m
(R)

. Chú ý rằng Ass R = {

p R :

p Ass

R}
(xem [Mat, Định lí 12]). Vì thế ta có

q R Ass R. Do R là miền
nguyên nên Ass R = {0}. Do đó 0 =

q R Att
R
(H
1
m
(R)). Vì thế
Ann
R

H
1
m

(R)

=

pAtt
R
(H
1
m
(R))
p

q R = 0.
7
Chọn A = H
1
m
(R). Khi đó A là Rmôđun Artin. Lấy tuỳ ý một iđêan
nguyên tố p của R sao cho p = 0 và p = m. Ta đ chứng minh ở trên
rằng Ann
R
A = 0. Do đó p Ann
R
A. Lấy 0 = x p. Xét dy khớp
0 R
x
R R/xR 0.
Dy này cảm sinh dy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phơng
0 H
0

m
(R/xR) H
1
m
(R)
x
H
1
m
(R).
Suy ra H
0
m
(R/xR)

=
0 :
H
1
m
(R)
x = 0 :
A
x. Vì H
0
m
(R/xR) là Rmôđun
có độ dài hữu hạn nên 0 :
A
x có độ dài hữu hạn. Do x p nên

0 :
A
p 0 :
A
x và do đó 0 :
A
p có độ dài hữu hạn. Vì thế Ann
R

0 :
A
p

là iđêan mnguyên sơ, điều này chứng tỏ Ann(0 :
A
p) = p. Vậy A
không bo hoà nguyên tố.
Ta luôn có Supp M = {

p R :

p Supp

M}. Vì M là hữu hạn sinh
nên Supp M = V (Ann
R
M). Tơng tự, vì

M là

R-môđun hữu hạn sinh
nên Supp

M = V (Ann

R

M). Do đó ta có V (Ann
R
M) = {

p R :

p
V (Ann

R
(

M)}. Hơn nữa, nh đ nhắc ở tiết trên, mỗi Rmôđun Artin A
đều có cấu trúc tự nhiên là

Rmôđun Artin. Vì thế, rất tự nhiên chúng
ta hỏi rằng liệu đẳng thức
V (Ann
R
A) = {

p R :

p V (Ann

R
A}
là xảy ra cho môđun Artin A. Dới đây chúng ta chỉ rằng đẳng thức này
xảy ra khi và chỉ khi A bo hoà nguyên tố.
1.2.4. Mệnh đề. Các điều kiện sau là tơng đơng:
(i) A bo hoà nguyên tố.
(ii) V (Ann
R
A) = {

p R :

p V (Ann

R
A)}.
8
Chứng minh. (i)(ii). Cho

p V (Ann

R
A). Khi đó tồn tại một iđêan
nguyên tố tối thiểu

q chứa Ann

R

A sao cho

p

q. Chú ý rằng

q
Att

R
A. Ta có
Att
R
A = {

p R :

p Att

R
A}.
Vì thế

q R Att
R
A. Suy ra

q R V (Ann
R
A) và vì thế ta suy ra

p R V (Ann
R
A). Do đó
V (Ann
R
A) {

p R :

p V (Ann

R
A)}.
Ngợc lại, cho p V (Ann
R
A). Theo giả thiết (i), A bo hoà nguyên
tố. Vì thế Ann
R
(0 :
A
p) = p. Rõ ràng mọi iđêan nguyên tố chứa
Ann
R
(0 :
A
p) đều phải chứa p, do đó p là iđêan nguyên tố bé nhất chứa
Ann
R
(0 :

A
p). Theo Bổ đề 1.1.1 ta suy ra p Att
R
(0 :
A
p). Lại vì
Att
R
(0 :
A
p) = {

p R :

p Att

R
(0 :
A
p)}
nên tồn tại iđêan nguyên tố

p Att

R
(0 :
A
p) sao cho

p R = p. Vì

p Att

R
(0 :
A
p) nên

p Ann

R
(0 :
A
p). Vì thế

p V (Ann

R
A) và

p R = p, tức là
V (Ann A) {

p R :

p V (Ann

R
A)}.
(ii)(i). Cho p V (Ann A). Theo giả thiết (ii), tồn tại iđêan nguyên tố

p V (Ann

R
A) sao cho

p R = p. Vì mọi môđun Artin A trên vành
đầy đủ

R đều bo hoà nguyên tố nên ta có Ann

R
(0 :
A

p) =

p. Lại do
p

R

p nên ta có
p Ann
R
(0 :
A
p) = Ann
R
(0 :

A
p

R) Ann

R
(0 :
A

p) R =

p R = p.
Suy ra Ann(0 :
A
p) = p.
9
1.3 Chiều Noether và tính bão hòa nguyên tố
Trong tiết này chúng ta xét mối quan hệ giữa tính bo hòa nguyên tố của
môđun Artin với chiều Noether của nó, đồng thời trình bày một số tính
chất về hệ tham số cho môđun Artin sẽ đợc dùng trong chứng minh các
kết quả của Chơng 2.
Nhắc lại rằng khái niệm chiều Krull cho môđun Artin đợc giới thiệu
bởi R. N. Roberts [Ro] năm 1975, sau đó đợc D. Kirby [K2] năm 1990
đổi tên thành chiều Noether để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull
đ quen biết cho các môđun hữu hạn sinh. Trong suốt luận văn này,
chúng tôi dùng thuật ngữ chiều Noether của Kirby [K2].
1.3.1. Định nghĩa. Chiều Noether của A, kí hiệu bởi N-dim
R
A, đợc
định nghĩa bằng quy nạp nh sau: Khi A = 0, ta đặt N-dim

R
A = 1.
Cho d 0 là một số nguyên không âm. Ta đặt N-dim
R
A = d nếu
N-dim
R
A < d là sai và với mỗi dy tăng các môđun con A
0
A
1
. . .
của A, tồn tại một số tự nhiên n
0
sao cho N-dim
R
(A
n
/A
n+1
) < d với
mọi n > n
0
.
Từ định nghĩa của chiều Noether ta thấy ngay rằng N-dim
R
A = 0
nếu và chỉ nếu A = 0 và (A) < . Hơn nữa, nếu
0 A

A A

0
là một dy khớp các Rmôđun Artin thì
N-dim
R
A = max{N-dim
R
A

, N-dim
R
A

}.
R. N. Roberts [Ro] và D. Kirby [K,K1] đ chỉ ra nhiều tính chất đẹp của
môđun Artin tơng tự nh các tính chất về chiều Krull cho các môđun
hữu hạn sinh trên vành địa phơng, đặc biệt là kết quả duới đây cho ta
03 điều kiện tơng đơng về chiều Noether cho các môđun Artin
10
1.3.2. Mệnh đề. Nếu q là iđêan sao cho (0 :
A
q) < thì có một đa
thức Q(n) với hệ số hữu tỷ sao cho
R
(0 :
A
q
n+1
) = Q(n) khi n 0 và

N-dim
R
A = deg(
R
(0 :
A
q
n+1
))
= inf{t 0 : x
1
, . . . , x
t
m :
R
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
t
)R) < }.
Mệnh đề 1.3.2 cho phép ta định nghĩa khái niệm hệ tham số cho
môđun Artin.
1.3.3. Định nghĩa. Một hệ (x
1
, . . . , x
d
) gồm d = N-dim A phần tử của
m đợc gọi là hệ tham số của A nếu (0 :

A
(x
1
, . . . , x
d
)R) < . Một
hệ (x
1
, . . . , x
i
) với i d, các phần tử của m đợc gọi là phần hệ tham
số của A nếu ta có thể bổ sung thêm các phần tử x
i+1
, . . . , x
d
của m sao
cho (x
1
, . . . , x
d
) là hệ tham số của A. Một phần tử x m đợc gọi là
phần tử tham số của A nếu có thể bổ sung thêm N-dim
R
A 1 phần tử
trong m để đợc một hệ tham số của A.
Từ Mệnh đề 1.3.2 ta suy ra kết quả sau đây.
1.3.4. Hệ quả. Nếu d = N-dim
R
A > 0 thì
N-dim

R
(0 :
A
x) N-dim
R
A 1, x m
và đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x là phần tử tham số của A. Tơng
tự, với i d ta có
N-dim
R
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
i
) N-dim
R
A i, x
1
, . . . , x
i
m
đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x
1
, . . . , x
i
là phần hệ tham số của A.
Kí hiệu dim
R

A = dim(R/ Ann
R
A). Khi đó N-dim
R
A = 0 nếu và
chỉ nếu dim
R
A = 0, nếu và chỉ nếu A có độ dài khác 0 và hữu hạn, nếu
và chỉ nếu R/ Ann
R
A là vành Artin. Trờng hợp tổng quát ta chỉ có
11
N-dim
R
A dim
R
A. Hơn nữa, với môđun Artin A = H
1
m
(R) nh trong
Ví dụ 1.2.3 ta có dim
R
A = 2 > 1 = N-dim
R
A. Mệnh đề sau đây chỉ ra
rằng tính chất bo hòa nguyên tố là đủ để đẳng thức về chiều ở trên xảy
ra.
1.3.5. Mệnh đề. [CN].
(i) N-dim
R

A dim(R/ Ann A).
(ii) Nếu A bo hòa nguyên tố thì N-dim
R
A = dim
R
A.
Nhắc lại rằng A có cấu trúc tự nhiên nh là

Rmôđun Artin và các
dàn môđun con của A xét nh Rmôđun và xét nh

Rmôđun là nh
nhau. Vì thế từ định nghĩa chiều Noether ta có N-dim
R
A = N-dim

R
A.
Vì mọi

Rmôđun Artin A đều bo hoà nguyên tố nên theo Mệnh đề
1.3.5 ta có N-dim

R
A = dim(

R/ Ann

R
A). Theo Bổ đề 1.1.1, tập các

iđêan nguyên tố tối thiểu của

R chứa Ann

R
A và tập các iđêan nguyên
tố gắn kết tối thiểu trong Att

R
A là nh nhau. Vì thế ta có
dim(

R/ Ann

R
A) = max{dim(

R/

p) :

p Att

R
A}.
Tơng tự ta cũng có dim(R/ Ann A) = max{dim(R/p) : p Att
R
A}.
Vì thế ta có các quan hệ sau đây:
1.3.6. Hệ quả.

N-dim
R
A = N-dim

R
A = dim(

R/ Ann

R
A)
= max{dim(

R/

p) :

p Att

R
A}
dim(R/ Ann A) = max{dim(R/p) : p Att
R
A}
1.4 Tính bão hòa nguyên tố của H
d
m
(M)
Kí hiệu U
M

(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d =
dim M. Chú ý rằng môđun con lớn nhất U
M
(0) nh thế luôn tồn tại và duy
12
nhất. Nhắc lại rằng H
i
m
(M) là Rmôđun Artin với mọi số nguyên i và
depth M = min{i : H
i
m
(M) = 0}; dim M = max{i : H
i
m
(M) = 0}.
Vì thế H
i
m
(M) = 0 với mọi i < 0 và mọi i > d. Ngời ta gọi H
d
m
(M) là
môđun đối đồng điều cấp cao nhất của M. Trớc hết, chúng ta nhắc lại
các tính chất quan trọng sau đây về tập các iđêan nguyên tố gắn kết và
chiều Noether của môđun này.
1.4.1. Bổ đề. [BS]. Att
R
H
d

m
(M) = {p Ass
R
M : dim R/p = d}.
Đặc biệt, dim H
d
m
(M) = d.
1.4.2. Bổ đề. [CN, Hệ quả 3.6]. N-dim H
d
m
(M) = dim H
d
m
(M) = d.
Bổ đề sau đây xác định tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun
M/U
M
(0).
1.4.3. Bổ đề. Ass(M/U
M
(0)) = {p Ass M : dim R/p = d}.
Chứng minh. Cho p Ass M với dim R/p = d. Vì dim U
M
(0) < d nên
dim R/q < d với mọi q Ass U
M
(0). Vì thế p / Ass U
M
(0). Lại do

Ass M Ass U
M
(0) Ass M/U
M
(0)
nên ta có p Ass M/U
M
(0). Vì thế
Ass M/U
M
(0) {p Ass M : dim R/p = d}.
Ngợc lại cho p Ass M/U
M
(0). Khi đó p = Ann
R
(m), trong đó
m = m + U
M
(0) M/U
M
(0). Vì p = R nên m / U
M
(0). Do đó
dim Rm = d (vì tất cả các môđun con của M có chiều nhỏ hơn d đều
chứa trong U
M
(0)). Suy ra dim(Rm + U
M
(0)) = d. Vì thế
d = dim(Rm + U

M
(0)) = max{dim U
M
(0), dim(Rm)}.
Do dim U
M
(0) < d nên dim(Rm) = d. Vì p = Ann
R
(m) nên
dim R/p = dim(Rm) = d.
13
Rõ ràng p = Ann
R
m Ann
R
m. Do đó d = dim R/p dim(Rm) = d.
Suy ra dim R/p = dim(Rm), và vì thế p là iđêan nguyên tố tối thiểu của
Ann
R
(Rm). Do đó p Ass(Rm) Ass M. Suy ra
Ass M/U
M
(0) {p Ass M : dim R/p = d}.
Nhìn vào Bổ đề 1.4.3 ta thấy các iđêan nguyên tố liên kết của M/U
M
(0)
đều có chiều nh nhau. Điều này đa ta đến khái niệm sau đây.
1.4.4. Định nghĩa. Tập Supp(M/U
M
(0)) đợc gọi là giá không trộn lẫn

của môđun M và đợc kí hiệu bởi Usupp M.
Từ Bổ đề 1.4.3 ta có ngay hệ quả sau đây.
1.4.5. Hệ quả. Supp(M/U
M
(0)) =

pAss M,dim R/p=d
V (p).
1.4.6. Bổ đề. Cho p Supp M. Khi đó p Usupp M nếu và chỉ nếu
p Ann
R
H
d
m
(M). Đặc biệt, Usupp M = V (Ann
R
H
d
m
(M)).
Chứng minh. Ta có
Att
R
H
d
m
(M) = {q Ass M : dim R/q = d}.
Hơn nữa, tập các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa Ann
R
H

d
m
(M) chính là
tập các phần tử tối thiểu của tập Att
R
H
d
m
(M). Vì thế
V (Ann
R
H
d
m
(M)) =

pAss M, dim R/p=d
V (p) = Usupp M.
1.4.7. Bổ đề. Usupp M {

p R :

p Usupp

R

M}.
14
Chứng minh. Cho

p Usupp

M. Khi đó

p

q với

q Ass

R

M nào đó
thoả mn điều kiện dim

R/

q = d. Vì Ass
R
M = {

p R :

p Ass

M}
nên ta suy ra

q R Ass M. Hơn nữa, do
d dim(R/(

q R)) dim

R/

q = d
nên ta có dim R/(

q R) = d. Vì

p R

q R nên từ định nghĩa của
giá không trộn lẫn ta suy ra

p R Usupp M.
Ta nói Usupp M là catenary nếu với hai iđêan nguyên tố lồng nhau
trong Usupp M, các dy nguyên tố bo hòa giữa chúng đều có độ dài
bằng nhau. Nói cách khác, Usupp M là catenary nếu và chỉ nếu vành
R/ Ann
R
H
d
m
(M) là catenary.
1.4.8. Định lý. [CDN] Các phát biểu sau là tơng đơng:
(i) H
d
m
(M) bo hoà nguyên tố.

(ii) Usupp M = {

p R :

p Usupp

R

M}.
(iii) Usupp M là catenary.
Chơng 2
Tính catenary phổ dụng và tính không
trộn lẫn
Trong suốt chơng này, luôn giả thiết (R, m) là vành Noether địa phơng,
A là R-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d.
Với mỗi iđêan I của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của
R chứa I. Với mỗi tập con T của Spec(R), kí hiệu min(T ) là tập các
phần tử tối thiểu của T theo quan hệ bao hàm.
Trong [CDN], N.T. Cuong, N.T. Dung và L.T. Nhan đ định nghĩa
giá không trộn lẫn của M là tập Supp
R
(M/U
M
(0)), trong đó U
M
(0) là
môđun con lớn nhất của M với chiều nhỏ hơn d. Ta luôn có
Usupp
R
M = Var

Ann
R
(H
d
m
(M))

=

pAss
R
(M)
dim(R/p)=d
Var(p).
Một kết quả quan trọng trong [CDN] nói rằng môđun đối đồng điều địa
phơng cấp cao nhất là bo hoà nguyên tố nếu và chỉ nếu giá không trộn
lẫn Usupp
R
M là catenary. Chú ý rằng ngay cả khi vành là catenary thì
các mô đun đối đồng điều địa phơng bậc nhỏ hơn d vẫn có thể không
bo hoà nguyên tố. Điều này là động cơ dẫn ta nghĩ đến việc nghiên cứu
tính bo hoà nguyên tố cho các mô đun đối đồng điều bậc thấp.
Mục đích của chơng này trớc hết là cung cấp một đặc trng để mô
15
16
đun đối đồng điều địa phơng H
i
m
(M) là bo hoà nguyên tố. Từ đó ta

nhận đợc tính chất đóng cho các tập giả giá định nghĩa bởi Brodmann
và Sharp [BS1] và một công thức bội liên kết cho các môđun H
i
m
(M).
Kết quả này mở rộng kết quả chính của [BS1], ở đó Brodmann và Sharp
đ chứng minh công thức bội liên kết trong trờng hợp giả thiết mạnh
hơn - khi vành R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức của R là
Cohen-Macaulay. Mục đích tiếp theo của Chơng là nghiên cứu tính
bo hoà nguyên tố cho đồng loạt các môđun đối đồng điều địa phơng
H
i
m
(M) với i = 0, 1, . . . , d 1. Kết quả thu đợc là tính catenary phổ
dụng của vành thơng R/ Ann
R
M và tính không trộn lẫn của một số
vành địa phơng R/p với p Supp
R
M.
2.1 Đặc trng tính bão hoà nguyên tố của H
i
m
(M)
Trong tiết này, cho M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Cho
i 0 là một số nguyên. Theo Brodmann và Sharp [BS1], tập
{p Spec(R) : H
idim(R/p)
pR
p

(M
p
) = 0}
đợc gọi là giả giá thứ i của M và kí hiệu là Psupp
i
R
M. Giả chiều thứ
i của M, kí hiệu bởi psd
i
(M) đợc định nghĩa bởi công thức
psd
i
(M) = sup{dim R/p : p Psupp
i
R
M}.
Brodmann và Sharp [BS1, Định lí 2.4] đ chứng minh rằng nếu R là cate-
nary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thì Psupp
i
R
M
là một tập con đóng của Spec(R) (theo tôpô Zariski) và công thức bội
liên kết sau đây là đúng: Với kí hiệu e

(q, H
i
m
(M)) là số bội của H
i
m

(M)
17
ứng với iđêan m-nguyên sơ q, ta có
e

(q, H
i
m
(M)) =

pPsupp
i
R
(M)
dim(R/p)=psd
i
(M)

R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

e(q, R/p).

Trong tiết này, với mỗi số tự nhiên i, chúng tôi đặc trng tính bo hoà
nguyên tố cho H
i
m
(M), từ đó mở rộng công thức bội liên kết ở trên cho
trờng hợp: mọi môđun đối đồng điều địa phơng H
i
m
(M) đều bo hoà
nguyên tố.
2.1.1. Định lý. Cho số nguyên i 0. Các điều kiện sau là tơng đơng:
(i) H
i
m
(M) là bo hoà nguyên tố.
(ii) Var

Ann
R
(H
i
m
(M))

= Psupp
i
R
M.
Nếu các điều kiện (i), (ii) đều thoả mn thì psd
i

M = psd
i

M =
N-dim
R
(H
i
m
(M)) và tập hợp {p Psupp
i
R
M : dim(R/p) = psd
i
M}
chính là tập {

p R :

p Psupp
i

R

M, dim(

R/

p) = psd
i

M}.
Chứng minh. (i)(ii). Giả sử H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố. Cho p
Psupp
i
R
M. Khi đó H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
) = 0. Vì thế tồn tại một iđêan nguyên
tố qR
p
Att
R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

với một iđêan nguyên tố q p.
Theo [BS, 11.3.8] ta suy ra q Att
R
(H
i
m
(M)). Vì thế ta có p q
Ann
R
(H
i
m
(M)). Suy ra Psupp
i
R
M Var

Ann
R
(H
i
m
(M))

.
Cho p Var

Ann
R
(H

i
m
(M))

. Khi đó Ann
R

0 :
H
i
m
(M)
p

= p vì
H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố. Suy ra min Var

Ann
R
(0 :
H
i
m
(M)
p)

= {p}.

Cho q Ann
R
(0 :
H
i
m
(M)
p). Khi đó q p. Vì H
i
m
(M) bo hoà nguyên
tố nên ta có
Ann
R
(0 :
0:
H
i
m
(M )
p
q) = Ann
R
(0 :
H
i
m
(M)
q) = q.
18

Vì thế 0 :
H
i
m
(M)
p bo hoà nguyên tố. Do đó
dim(R/p) = dim

R/ Ann
R
(0 :
H
i
m
(M)
p)

= N-dim
R

0 :
H
i
m
(M)
p

= dim

R/ Ann

R
(0 :
H
i
m
(M)
p)

= max{dim(

R/

p) :

p Att

R

0 :
H
i
m
(M)
p

}.
Vì thế tồn tại

p Att

R

0 :
H
i
m
(M)
p

sao cho dim(

R/

p) = dim(R/p).
Chú ý rằng

p Var

Ann

R
(H
i
m
(M))

và

p R p. Vì dim(

R/

p) =
dim(R/p), nên

p là tối thiểu của p

R. Vì H
i
m
(M)

=
H
i
m

R
(

M) xét nh
các

R-môđun nên ta có thể kiểm tra đợc
Psupp
i

R

M = Var

Ann

R
(H
i
m
(M))

.
Suy ra

p Psupp
i

R

M, tức là H
idim(

R/

p)

p

R

p
(

M

p
) = 0. Vì

p là tối thiểu
p

R và dim(

R/

p) = dim(R/p) nên theo Định lí chuyển cơ sở (xem [BS,
4.3.2]) ta có
H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

R

p

=

H
idim(

R/

p)
p

R

p
(M
p


R

p
)

=
H
idim(

R/

p)

p

R

p
(

M

p
) = 0.
Do đó H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
) = 0, tức là p Psupp
i
R
M. Vì thế
Var

Ann
R
(H
i
m
(M))

Psupp
i

R
M.
(ii)(i). Giả sử Var

Ann
R
(H
i
m
(M))

= Psupp
i
R
M. Cho p là iđêan
nguyên tố chứa Ann
R
(H
i
m
(M)). Khi đó p Psupp
i
R
M, tức là ta có
H
idim(R/p)
pR
p
(M
p

) = 0. Vì dim(R/p) = dim(

R/p

R), nên tồn tại một
iđêan

p Ass(

R/p

R)âno cho dim(

R/

p) = dim(R/p). Suy ra

p R = p
và

p là một iđêan nguyên tố tối thiểu của p

R. Chú ý rằng ánh xạ cảm
sinh R
p


R

p

là phẳng hoàn toàn. Vì thế theo Định lí chuyển cơ sở ta
có
H
idim(

R/

p)

p

R

p
(

M

p
)

=
H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

R

p
= 0.
19
Do đó

p Psupp
i

R
(

M) = Var

Ann

R
(H
i
m
(M))

. Chú ý rằng H
i
m
(M) xét
nh

R-môđun Artin là bo hoà nguyên tố. Vì thế Ann

R
(0 :
H
i
m
(M)

p) =

p.
Do đó ta có
p Ann
R
(0 :
H
i
m
(M)
p) Ann

R
(0 :
H
i
m
(M)

p) R =

p R = p.
Suy ra Ann
R
(0 :
H
i
m
(M)
p) = p. Vậy H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố.
Cuối cùng, giả sử (i) và (ii) thoả mn. Theo (ii) ta có psd
i
M =
dim(R/ Ann
R
H
i
m
(M)). Vì thế ta có
psd
i
(M) = N-dim
R
(H
i
m
(M)) = dim

R/ Ann

R
(H
i
m
(M))

= psd
i
(

M).
Đặt N-dim
R
(H
i
m
(M)) = s. Cho p Psupp
i
R
M sao cho dim(R/p) = s.
Khi đó p Var

Ann
R
(H
i
m

(M))

theo (ii). Bằng các lập luận nh trong
chứng minh (i)(ii), tồn tại

p Var

Ann

R
(H
i
m
(M))

= Psupp
i

R
(

M)
sao cho

p R = p và dim(

R/

p) = dim(R/p) = s.
Ngợc lại, cho

p Psupp
i

R
(

M) sao cho dim(

R/

p) = s. Khi đó

p Var

Ann

R
(H
i
m
(M))

. Đặt p =

p R. Khi đó theo giả thiết (ii) ta
có p Var

Ann
R

(H
i
m
(M))

= Psupp
i
R
M. Hơn nữa,
s = dim(

R/

p) dim(

R/p

R) = dim(R/p) s.
Suy ra dim(R/p) = s.
2.1.2. Hệ quả. Nếu R/ Ann
R
M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình
thức của nó là Cohen-Macaulay thì H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố với mọi
i d.
Chứng minh. Vì R/ Ann
R
M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình

thức của nó là Cohen-Macaulay nên theo [BS1, Proposition 2.5] ta có
Var

Ann
R
(H
i
m
(M))

= Psupp
i
M với mọi i d. Theo Định lí 2.1.1,
H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố với mọi i d.
20
Trong [BS1], Brodmann và Sharp đ chứng minh rằng nếu R là catenary
phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen-Macaulay thì mọi tập
giả giá của M là đóng. Cũng với giả thiết này, họ thiết lập đợc công
thức bội liên kết của H
i
m
(M). Dùng Định lí 2.1.1 kết hợp với lập luận
tơng tự nh trong chứng minh Định lí 2.4 của [BS1], ta có thể mở rộng
kết quả này nh sau.
2.1.3. Hệ quả. Cho i 0 là một số nguyên. Cho N-dim
R
(H

i
m
(M)) = s.
Với mỗi p Psupp
i
R
M, đặt T (p) = {

p Psupp
i

R
(

M) : dim(

R/

p) =
dim(R/p),

p R = p}. Giả thiết rằng H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố. Khi
đó các phát biểu sau là đúng
(i) Psupp
i
R
M là đóng.

(ii) Nếu p Psupp
i
R
M với dim(R/p) = s thì tập T(p) = , độ dài

R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

khác 0 và hữu hạn, hơn nữa với mọi

p T (p) ta
có

R

p

H
idim(

R/

p)

p

R

p
(

M

p
)

=
R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)



R

p
(

R

p
/p

R

p
).
(iii) Cho q là m-nguyên sơ. Giả sử H
i
m
(M) = 0. Khi đó số bội
e

(q, H
i
m
(M)) của H
i
m
(M) ứng với q thoả mn công thức liên kết sau
e

(q, H
i
m

(M)) =

pPsupp
i
R
(M)
dim(R/p)=psd
i
(M)

R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

e(q, R/p).
Chứng minh. Khẳng định (i) suy ra từ Định lí 2.1.1. Khẳng định (ii) suy
ra từ Định lí 2.1.1 và bằng các lập luận tơng tự nh chứng minh [BS1,
Theorem 2.4,(i)].
(iii)

pPsupp
i
R

M
dim(R/p)=s
T (p) = {

p Psupp
i

R
(

M) : dim(

R/

p) = s} theo Định
lí 2.1.1. Nếu p Psupp
i
R
M với dim(R/p) = s thì T (p) = {

p
Ass(

R/p

R) : dim(

R/

p) = s}. Vì thế theo (ii) và [BS1, Theorem 2.4,(iii)]

21
, [Mat, Theorem 14.7] ta có
e

(q, H
i
m
(M)) = e

(q

R, H
i

m
(

M))
=


pPsupp
i
(

M)
dim(

R/

p)=s


R

p

H
idim(

R/

p)

p

R

p
(

M

p
)

e(q

R,

R/

p)
=

pPsupp
i
R
(M)
dim(R/p)=s


R
p
(H
idim R/p
pR
p
(M
p
))


pT (p)


R

p
(

R

p
/p

R

p
)e(q

R,

R/

p)

=

pPsupp
i
R
(M)
dim(R/p)=s


R
p
(H
idim R/p

pR
p
(M
p
))


pAss(

R/p

R)
dim(

R/

p)=s


R

p
(

R

p
/p

R

p
)e(q

R,

R/

p)

=

pPsupp
i
(M)
dim(R/p)=s

R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

e(q

R,

R/p

R)
=

pPsupp
i
(M)
dim(R/p)=s

R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

e(q, R/p).
NT Cờng, NT Dung và LT Nhàn [CDN] đ chứng minh rằng môđun
đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất H
d
m
(M) là bo hoà nguyên tố khi
và chỉ khi giá không trộn lẫn Usupp M của M là catenary. Kết hợp với

kết quả này, ta có hệ quả trực tiếp của Định lí 2.1.1 đợc phát biểu nh
sau.
2.1.4. Hệ quả. Cho q là iđêan m-nguyên sơ. Các phát biểu sau là tơng
đơng:
(i) Psupp
d
R
M là đóng.
(ii) Usupp M là catenary, tức là vành R/ Ann
R
(H
d
m
(M)) là catenary.
(iii) H
d
m
(M) bo hoà nguyên tố.
(iv) Var

Ann(H
d
m
(M))

= Psupp
d
R
M.
22

Nếu các điều kiện trên thoả mn thì Usupp M = Psupp
d
M và
e

(q, H
d
m
(M)) =

pPsupp
d
R
(M)
dim(R/p)=d

R
p

H
0
pR
p
(M
p
)

e(q, R/p).
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh (i)(ii). Giả sử R/ Ann
R

(H
d
m
(M))
không catenary. Vì R/ Ann
R
(H
d
m
(M)) đẳng chiều nên theo McAdam và
Ratliff [MR], tồn tại một iđêan nguyên tố p Ann
R
(H
d
m
(M)) sao cho
dim(R/p) + ht

p/ Ann
R
(H
d
m
(M))

< d.
Ta khẳng định dim(R/p) + dim(M
p
) < d. Thật vậy, nếu điều này
không đúng thì tồn tại iđêan nguyên tố q sao cho Ann

R
M q p
và dim(R/p) + ht(p/q) = d. Do đó dim(R/q) = d, và vì thế q Ass M.
Suy ra q Att
R
(H
d
m
(M)). Vì thế q Ann
R
(H
d
m
(M)). Do đó
dim(R/p) + ht

p/ Ann
R
(H
d
m
(M))

= d,
điều này là vô lí. Vậy khẳng định đợc chứng minh. Vì dim(M
p
) <
d dim(R/p) theo khẳng định trên nên ta có H
ddim(R/p)
pR

p
(M
p
) = 0, tức
là p / Psupp
d
R
M. Cho p
1
min Var(Ann
R
(H
d
m
(M))) sao cho p
1
p.
Khi đó p
1
Att
R
(H
d
m
(M)), suy ra p
1
Ass M và dim(R/p
1
) = d. Vì
thế H

ddim(R/p
1
)
p
1
R
p
1
(M
p
1
) = 0, tức là p
1
Psupp
d
R
M. Do đó Psupp
d
R
M
không đóng, vô lí.
Chú ý. Theo Định lí 2.1.1, nếu H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố thì Psupp
i
M
là đóng. Điều ngợc lại chỉ đúng khi i = d theo hệ quả trên, nhng nó
không đúng với i bất kì. Chẳng hạn, cho R là miền nguyên chiều 2 xây
dựng bởi Ferrand và Raynaud [FR] sao cho dim(

R/

q) = 1 với một iđêan
nguyên tố liên kết

q Ass

R. Khi đó Psupp
0
R = , Psupp
1
R = {m},
Psupp
2
R = Spec R, tất cả đều đóng, nhng H
1
m
(R) không bo hoà
nguyên tố.
23
2.2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn
Nhắc lại rằng M đợc gọi là đẳng chiều nếu dim(R/p) = d với mọi
p min(Ass M). Theo M. Nagata [Na], ta nói rằng M là không trộn lẫn
nếu dim(

R/

p) = d với mọi iđêan nguyên tố

p Ass

M, và M là tựa
không trộn lẫn nếu

M là đẳng chiều.
Trong tiết này, chúng ta xem xét tính bo hoà nguyên tố của tất cả các
môđun đối đồng điều địa phơng H
i
m
(M) với bậc i < d, từ đó chúng ta
nhạn đợc một số kết quả về tính catenary phổ dụng và tính không trộn
lẫn của các vành địa phơng.
2.2.1. Định lý. Giả sử H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố với mọi i < d. Khi đó
R/p là không trộn lẫn với mọi p Ass M và vành thơng R/ Ann
R
M
là catenary phổ dụng.
Chứng minh. Cho p Ass M. Giả sử R/p trộn lẫn, tức là dim(

R/

p) =
k < dim(R/p) với một iđêan nguyên tố nào đó

p Ass(

R/p

R). Rõ ràng
k < d. Theo [Mat, Theorem 23.2(ii)] ta có
Ass

M =

qAss M
Ass(

R/q

R).
Vì thế

p Ass

M. Vì dim(

R/

p) = k, ta có

p Att

R
(H
k
m

(M)) theo [BS,
Corollary 11.3.3]. Do đó ta có
N-dim
R
(H
k
m
(M)) = dim


R/ Ann

R
(H
k
m
(M))

dim(

R/

p) = k.
Ta chú ý rằng N-dim
R
(H
k
m
(M)) k theo [CN, Hệ quả 3.2]. Do đó ta
có N-dim

R
(H
k
m
(M)) = k. Vì thế tồn tại một dy x
1
, . . . , x
k
các phần
tử trong m sao cho 0 :
H
k
m
(M)
(x
1
, . . . , x
k
)R có độ dài hữu hạn. Đặt
I = (x
1
, . . . , x
k
)R. Do k < dim(R/p), nên ta có
ht

(I + p)/p

k < dim(R/p).
24

Vì thế tốn tại một iđêan nguyên tố q chứa I + p sao cho q = m. Suy
ra Ann
R
(0 :
H
k
m
(M)
q) là mnguyên sơ, do đó Ann
R
(0 :
H
k
m
(M)
q) = q.
Vì

p Ass(

R/p

R), ta có

p R = p theo [Mat, Định lí 23.2(i)]. Vì

p Att

R
(H

k
m
(M)), nên ta có p Att
R
(H
k
m
(M)). Vì thế q p
Ann
R
(H
k
m
(M)). Suy ra H
k
m
(M) không bo hoà nguyên tố, vô lí. Vậy
R/p không trộn lẫn với mọi p Ass M.
Để chỉ ra R/ Ann
R
M là catenary phổ dụng, ta cần chỉ ra rằng R/p
là tựa không trộn lẫn với mọi iđêan nguyên tố p của R chứa Ann
R
M
(cf. [Mat, Định lí 31.7(1)(2)]). Cho p Var(Ann
R
M). Khi đó tồn
tại q min(Ass M) sao cho q p. Theo (i) ta có R/q là tựa không
trộn lẫn. Vì R/p là đẳng chiều nên theo [Mat, Định lí 31.6,(ii)] ta có
R/p

=
(R/q)

(p/q) là tựa không trộn lẫn.
2.2.2. Hệ quả. Giả sử H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố với mọi i < d. Khi
đó H
d
m
(M) cũng bo hoà nguyên tố.
Chứng minh. Chú ý rằng R/ Ann
R
(H
d
m
(M)) là vành thơng của vành
R/ Ann
R
M. Vì H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố với mọi i < d, nên vành
R/ Ann
R
M là catenary phổ dụng theo Định lí 2.2.1. Vì thế vành thơng
R/ Ann
R

(H
d
m
(M)) là catenary, tức là giá không trộn lẫn Usupp M của
M là catenary. Do đó H
d
m
(M) bo hoà nguyên tố theo [CDN].
Trong [Na1], M. Nagata đ hỏi rằng nếu (R, m) là miền Noether địa
phơng không trộn lẫn và p Spec R thì liệu R/p có là miền không
trộn lẫn? Brodmann và Rotthaus [BR] đ xây dựng một miền Noether
địa phơng (R, m) chiều 3 sao cho

R là miền nguyên và

R/p

R có một
iđêan nguyên tố nhúng với một iđêan nguyên tố p Spec R. đây là phản
ví dụ cho câu hỏi trên của Nagata. Với miền nguyên này, ta có thể chỉ ra
rằng H
2
m
(R) không bo hoà nguyên tố. Vì thế điều ngợc lại của Định
lí 2.2.1 không đúng.
25
Kết quả sau cho ta một tiêu chuẩn về tính không trộn lẫn của vành
R/p với một số iđêan nguyên tố p Supp M.
2.2.3. Định lý. Giả sử M không trộn lẫn chiều d và H
i

m
(M) bo hoà
nguyên tố với mọi i < d. Khi đó R/p là không trộn lẫn với mọi p
Supp M thoả mn dim(R/p) d 1.
Chứng minh. Vì M không trọn lẫn nên dim(R/p) = d với mọi p
Ass M. Cho p Supp M sao cho dim(R/p) d1. Nếu dim(R/p) = d
thì p Ass M và vì thế R/p là không trộn lânc theo Định lí 2.2.1. Cho
dim(R/p) = d 1. Giả sử R/p không trộn lẫn. Khi đó tòn tại iđêan
nguyên tố

p Ass(

R/p

R) sao cho dim(

R/

p) = k < d 1. Vì M
là không trộn lẫn nên tồn tại x p sao cho x là M-chính quy. Vì
dim(R/p) = dim(M/xM) = d 1, nên ta có p min(Ass(M/xM)).
Do
Ass

R
(

M/x

M) =

qAss
R
(M/xM)
Ass(

R/q

R)
theo [Mat, Định lí 3.2,(ii)], nên ta có

p Ass(

M/x

M). Vì dim(

R/

p) =
k, nên

p Att

R
(H
k
m
(M/xM)) theo [BS, 11.3.3]. Từ dy khớp 0
M

x
M M/xM 0, ta có dy khớp cảm sinh
0 H
k
m
(M)/xH
k
m
(M) H
k
m
(M/xM) 0 :
H
k+1
m
(M)
x 0.
Nếu

p Att

R

H
k
m
(M)/xH
k
m
(M)

thì

p Att

R
(H
k
m
(M)). Vì thế theo
[BS, 11.3.2] ta có thể suy ra

p Ass

M. Vì thế p =

p R Ass M,
điều này là vô lí. Do đó từ dy khớp trên ta có

p Att

R
(0 :
H
k+1
m
(M)
x). Suy ra

p Var(Ann

R
(H
k+1
m
(M))). Vì thế N-dim
R
(H
k+1
m
(M))
dim(

R/

p) = k. Chú ý rằng N-dim
R
(H
k+1
m
(M)) k + 1 theo [CN, Hệ
quả 3.2]. Nếu N-dim
R
(H
k+1
m
(M)) = k + 1 thì tồn tại một iđêan nguyên
tố

q Att

R

H
k+1
m
(M)

sao cho dim(

R/

q) = k + 1. Vì thế theo [BS,