Một số bài toán về dãy số

1
Một số bài toán về dãy số

Nguyễn Thành Giáp

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên; Khoa Toán - Cơ - Tin học
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp; Mã số: 60 46 40
Người hướng dẫn : TS. Phạm Văn Quốc
Năm bảo vệ: 2011

Abstract. Hệ thống hóa kiến thức cơ bản về dãy số, số học, phương pháp sai phân sẽ được
dùng để giải quyết các bài toán trong các chương sau. Trình bày một số vấn đề về tính chất
số học của dãy số như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương…và nêu ra các phương
pháp giải toán, phân tích các bài toán cụ thể. Đề cập đến một số bài toán về giới hạn dãy số
như: giới hạn của tổng, dãy con và sự hội tụ của dãy số, dãy số xác định bởi phương trình
cùng với phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán

Keywords. Toán học; Toán sơ cấp; Dãy số; Số học

Content.
MỞ ĐẦU
Dãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng, trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc
tế cũng thường xuất hiện các bài toán về dãy số. Để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi
người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về số học, đại số, giải tích. Các vấn đề liên quan
đến dãy số cũng rất đa dạng và cũng có nhiều tài liệu viết về vấn đề này, các tài liệu này
cũng thường viết khá rộng về các vấn đề của dãy số, các vấn đề được quan tâm nhiều hơn là
các tính chất số hoc và tính chất giải tích của dãy số.
Tính chất số học của dãy số thể hiện như tính chia hết, tính nguyên, tính chính
phương… , tính chất giải tích có nhiều dạng nhưng quan trọng là các bài toán tìm giới hạn
dãy số. Các bài toán về dãy số thường là các bài toán hay và khó, tác giả luận văn đã sưu

tầm, chọn lọc và phân loại theo từng chủ đề
Luận văn với đề tài “Một số bài toán về dãy số” có mục đích trình bày một cách hệ
thống, chi tiết tính chất số học của dãy số, giới hạn dãy số. Luận văn được trình bày với 3
chương.

2
Chƣơng 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này hệ thống lại kiến thức cơ bản
nhất về dãy số, số học, phương pháp sai phân sẽ được dùng để giải quyết các bài toán trong
các chương sau.
Chƣơng 2. Tính chất số học của dãy số. Chương này trình bày một số vấn đề về tính
chất số học của dãy số như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương… và nêu ra các
phương pháp giải toán, phân tích các bài toán cụ thể.
Chƣơng 3. Giới hạn của dãy số. Chương này đề cập đến một số bài toán về giới hạn
dãy số như: Giới hạn của tổng, dãy con và sự hội tụ của dãy số, dãy số xác định bởi phương
trình cùng với phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán.
Chƣơng 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.DÃY SỐ
1.1.1.Định nghĩa
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô
hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
u: N*

R
n

u(n)
Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển
u
1

, u
2
, u
3
,…, u
n
, …
Trong đó u
n
= u(n) và gọi u
1
là số hạng đầu, u
n
là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của
dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…, m} với m

N* được gọi là một dãy số
hữu hạn
Dạng khai triển của nó là u
1
, u
2
, u
3
,…,u
m
trong đó u
1
là số hạng đầu, u

m
là số hạng
cuối.
1.1.2. Cách cho một dãy số
- Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
- Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
- Dãy số cho bằng phương pháp mô tả:
1.1.3. Một vài dãy số đặc biệt
a) Cấp số cộng.

3
Định nghĩa. Dãy số u
1
, u
2
, u
3
, … được gọi là một cấp số cộng với công sai d (d

0) nếu u
n
=
u
n – 1
+ d với mọi n = 2, 3, …
b)Cấp số nhân.
Định nghĩa Dãy số u
1
, u
2

, u
3
, … được gọi là một cấp số nhân với công bội q (q

0, q

1)
nếu u
n
= u
n – 1
q với mọi n = 2, 3, …
c)Dãy Fibonacci.
Định nghĩa. Dãy u
1
, u
2
,… được xác định như sau:

12
12
1, 1
3,4
n n n
uu
u u u n





   


được gọi là dãy Fibonacci.
Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được công thức tổng quát của dãy là:

1 1 5 1 1 5
22
55
nn
n
u
   


   
   
   

1.1.4 Giới hạn của dãy số
Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số (u
n
) có giới hạn là hằng số thực a hữu hạn nếu với mọi số
dương

(có thể bé tùy ý), luôn tồn tại chỉ số n
0

N (n
0

có thể phụ thuộc vào

và vào dãy
số (u
n
) đang xét), sao cho với mọi chỉ số n

N, n

n
0
ta luôn có
n
ua


.Khi đó kí hiệu
lim
n
n
ua


hoặc limu
n
= a và còn nói rằng dãy số (u
n
) hội tụ về a. Dãy số không hội tụ gọi là
dãy phân kì
Định lý 1. Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

Định lý 2.(Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass)
a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Định lý 3. Nếu (u
n
)

a và (v
n
)

(u
n
), (v
n
)

C thì (v
n
)

a
Định lý 4.(Định lý kẹp giữa về giới hạn)
Nếu với mọi n

n
0
ta luôn có u
n


x
n


v
n
và limu
n
= limv
n
= a thì limx
n
= a
Định lý 5 (Định lý Lagrange) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm
trong khoảng (a; b) thì tồn tại c

(a; b) thỏa mãn: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)
Định lý 6 (Định lý trung bình Cesaro)

4
Nếu dãy số (u
n
) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình cộng
12

n
u u u
n

  



cũng có giới hạn là a
1.2.SƠ LƢỢC VỀ PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN
1. Định nghĩa 1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên R, Đặt x
k
= x
0
+ kh (k

N*) với
x
0

R, h

R bất kì, cho trước. Gọi y
k
= f(x
k
), khi đó hiệu số
1
:
k k k
y y y

  
(k


N*) được
gọi là sai phân cấp 1 của hàm số f(x)
Hiệu số
2
1
: ( )
k k k k
y y y

       
(k

N*) được gọi là sai phân cấp 2 của hàm
số f(x). Tổng quát
1 1 1
1
: ( )
i i i i
k k k k
y y y
  

       
(k

N*) được gọi là sai phân cấp i của
hàm số f(x) (i = 1, 2, …, n, …)
Mệnh đề. Sai phân mọi cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số: y
0

, y
1
,
y
2
, …, y
n
, …
2.Định nghĩa 2. Phương trình sai phân (cấp k) là một hệ thức tuyến tính chứa sai
phân cấp k

 
2
, , , , 0
k
n n n n
f y y y y   
(1)
Vì sai phân các cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số nên ta có thể viết
phương trình dạng
a
0
y
k+1
+ a
1
y
n+k-1
+ … +a
k

y
k
= f(n) (2)
trong đó a
0
, a
1
, …., a
k
, f(n) là các giá trị đã biết, còn y
n
, y
n+1
, …, y
n+k
là các giá trị chưa biết.
Hàm số y
n
biến n thỏa mãn (2) gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính
(2)
1.3.2. Một số định lý cơ bản của số học.
a) Định lý Euler
Định lý Euler. Cho m là một số tự nhiên khác 0 và a là một số nguyên tố với m.
Khi ấy ta có:

1
µ(m)
a
(mod m)
b).Định lý Fermat

- Định lý Fermat Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p.
Khi ấy ta có:

5
a
p - 1


1 (mod p)
Đối với số nguyên a bất kì ta có a
p


a (mod p)
Chƣơng 2

TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA DÃY SỐ

Dãy số nguyên là phần quan trọng trong lý thuyết dãy số. Ngoài các vấn đề chung
như tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm công thức tính tổng n số hạng đầu tiên… các bài
toán về dãy số thường quan tâm đến tính chất số học của dãy số như tính chia hết, đồng dư,
nguyên tố, chính phương, nguyên tố cùng nhau…Các bài toán về dãy số nguyên rất đa dạng,
trong nhiều trường hợp dãy số chỉ là cái bề ngoài còn bản chất bài toán là bài toán số học.

2.1.TÍNH CHIA HẾT

Một số bài toán về sự chia hết của các số hạng của dãy số thường được giải bằng
cách xác định số hạng tổng quát của dãy số sau đó dựa vào các định lý về đồng dư để
chứng minh sự chia hết. Việc xác định số hạng tổng quát của dãy số thường được tìm bằng
phương pháp sai phân hoặc thông qua dãy số phụ để đưa về phương trình sai phân thuần

nhất.
Bài 1.
Dãy số (u
n
) được xác định như sau:
1 2 3
22
1 3 1 2
23
1, 2, 40
10 . 24 .
4,5,
.
n n n n
n
nn
u u u
u u u u
un
uu
   

  








Tìm số n nhỏ nhất để u
n

2048
Lời giải
Nhận xét: Công thức truy hồi của dãy số rất phức tạp, tuy nhiên nếu đặt dãy số phụ ta sẽ đưa
được về dạng tuyến tính cấp hai.
Từ công thức truy hồi của dãy ta có
2
1 3 2 1 2
1 2 3 2 3
10 . 24 10 24
.
n n n n n n
n n n n n
u u u u u u
u u u u u
    
    

  
do vậy ta đặt v
n
=
1
n
n
u
u


thì dãy (v
n
) được xác
định như sau:

6
23
12
2, 20
10 24 4,5
n n n
vv
v v v n




  


Phương trình đặc trưng x
2
– 10x + 24 = 0 có 2 nghiệm x
1
= 6, x
2
= 4 nên
v
n

= c
1
.6
n
+ c
2
.4
n

cho n = 2, n = 3 ta được
12
11
,
64
cc  
do đó v
n
= 6
n-1
– 4
n-1

Vậy u
n
= v
n
.v
n-1
…v
2

= (6
n-1
– 4
n – 1
).(6
n – 2
– 4
n – 2
)…(6 – 4)
= 2
n-1
.2
n-2
…2.(3
n-1
– 2
n-1
).(3
n-2
– 2
n-2
)…(3 – 2)

( 1)
2
2
nn

.(3

n-1
– 2
n-1
).(3
n-2
– 2
n-2
)…(3 – 2)
Do (3
n-1
– 2
n-1
).(3
n-2
– 2
n-2
)…(3 – 2) là số lẻ nên để u
n

2048 thì

( 1)
2
2 2048
nn

hay
( 1)
11
2

22
nn

do đó
( 1)
11
2
nn

suy ra n

6 vậy n = 6 là giá trị cần tìm
Bài 2.(HSG QG 2011)
Cho dãy số nguyên (a
n
) xác định bởi
a
0
=1, a
1
= -1
a
n
= 6a
n-1
+ 5a
n-2
với mọi n

2

Chứng minh rằng a
2012
– 2010 chia hết cho 2011
Lời giải
Cách 1.
Xét dãy số nguyên (b
n
) xác định bởi
b
0
=1, b
1
= -1 và b
n
= 6b
n-1
+ 2016b
n-2
với mọi n

2
dễ thấy với mọi n

0, ta có a
n


b
n
(mod 2011).

Phương trình đặc trưng của dãy (b
n
): x
2
– 6x – 2016 = 0 hay (x – 48)(x + 42) = 0
Suy ra số hạng tổng quát của dãy (b
n
) có dạng: b
n
= C
1
.(- 42)
n
+ C
2
. 48
n

Từ các điều kiện ban đầu của dãy (b
n
), ta được
12
12
1
42 48 1
CC
CC







Suy ra
1
49
90
C 
và
2
41
90
C 
. Vì vậy
49.( 42) 41.48
0
90
nn
n
bn

  

Vì 2011 là số nguyên tố nên theo định lý Fermat nhỏ, ta có:

7
( - 42)
2010



48
2010


1 (mod 2011)
Do đó 90b
2012


49.( - 42)
2012
+ 41.48
2012


49.( - 42)
2
+ 41.48
2


90b
2
( mod 2011)
Suy ra b
2012


b
2

(mod 2011) ( vì (90, 2011) = 1)
Mà b
2
= 6b
1
+ 2016b
0
= 2010 nên b
2012


2010 (mod 2011)
Vì thế a
2012


2010 (mod 2011)
Cách 2.
+ Số hạng tổng quát của dãy (a
n
):

   
1 2 1 2
3 14 3 14
22
14 14
nn
n
a

   
     
   
   
(1)
+ Đặt p= 2011, ta có

   
11
1
1 2 1 2
3 14 3 14
22
14 14
pp
p
a


   
     
   
   

Do
 
1
3 14
p


= A
p+1
+ B
p+1
.
14
và
 
1
11
3 14 . 14
p
pp
AB


  

Trong đó
1
1
2
22
2
11
0
.3 .14
p
p
i

ii
pp
i
AC







(2)
và
1
1
2
2 1 2 1
2
11
1
.3 .14
p
p
i
ii
pp
i
BC









(3)
nên a
p+1
= A
p+1
- 4B
p+1
(4)
+ Do p nguyên tô nên
0
k
p
C 
(mod p)
1, 1kp  
. Do đó từ
1
1
k k k
p p p
C C C




Suy ra
1
0
k
p
C


(mod p)
2, 1kp  

Vì vậy từ (2) và (3) ta được

1
1
2
1
14 3
p
p
p
A








(mod p)
Và
11
11
22
1
3( 1) 14 3 3 14 3
pp
pp
p
Bp



   
    
   
   
(mod p) (5)
Do đó từ (4) suy ra
1
2
1
3 2.14
p
p
p
a




  


(mod p)
Mặt khác ta có 45
2


14 (mod p) và (45, 14) = 1, theo định lý Fermat nhỏ ta có:

8
3
p


3 (mod p) v
1
2
14
p

45
p-1


1 (mod p)
Do ú t (5) ta c a
2012
= a

p+1


-3 + 2 = - 1

2010 (mod 2011)
Vic tỡm s hng tng quỏt ca dóy s cng cú th thụng qua bin i liờn tip cỏc s
hng ph thuc nhau v biu din qua mt vi s hng u v cú th ỏp dng phng phỏp
quy np chng minh.
Cỏc bi toỏn chng minh dóy s cú vụ hn s hng chia ht cho mt s cho trc
thng c chng minh s d trong phộp chia l hu hn v do ú tun hon dn n cú
vụ hn s hng chia ht cho s ó cho.
2.2.TNH CHT S NGUYấN

Cỏc bi toỏn chng minh dóy s gm ton cỏc s nguyờn c a v cụng thc truy
hi tuyn tớnh sau ú chng minh bng phng phỏp quy np vi mt vi s hng u l s
nguyờn.
Bài 1.
Cho ba số nguyên a, b, c thoả mãn điều kiện a
2
= b + 1. Dãy số (u
n
) xác định nh-
sau:

0
22
1
0
, 0, 1, 2

n n n
u
u au bu c n









Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số trên đều là số nguyên
Lời giải
T giả thiết ta có
22
1
cbuauu
nnn


n = 0, 1, 2
Suy ra
2222
1
2
1
2 cbuuauauu
nnnnn

(1)
Với giả thiết a
2
= b + 1 thì (1) suy ra
22222
1
2
1
2
)1(2)( cuauauauuba
nnnnn



Hay
22
1
2
1
2
1
2
2 cbuuauauu
nnnnn


(2)
Từ giả thiết ta có

2
12
22
1

nnn
auucbu

Nên (2) suy ra

2
12
2
1

nnnn
auuauu
(3)
Do u
n+2
au
n+1


0 nên (3)


112

nnnn

auuauu


112

nnnn
auuauu
(4)
Do u
0
= 0

cccbuauu
222
001
do đó u
0
, u
1

Z

Vậy từ (4) suy ra u
n
Z

Nn
(đpcm)

9

Nhn xột: Ta cng cú th gii bi toỏn ny bng cỏch khỏc nh sau:
Ta cú:

2 2 2 2
11
2 ( ) 0
n n n n
u au u u a b c



Hay
2 2 2
11
20
n n n n
u au u u c


(5)
Trong (5) thay n bi n +1 ta cú
2 2 2
2 1 2 1
20
n n n n
u au u u c


(6)
Tr tng v ca (6) cho (5) c

22
2 1 2 1
2 2 0
n n n n n n
u u au u au u


hay

2 2 1
20
n n n n n
u u u u au


(7)
T (7) suy ra u
n+2
= u
n
hoc u
n+2
=2au
n+1
u
n

T ú do u
0
, u

1

Z nờn u
n

Z vi mi n = 1, 2,

T bi toỏn ny cú th cho nhiu bi toỏn vi cỏc giỏ tr a, b, c c th. Chng hn,
chng minh rng mi s hng ca cỏc dóy s sau u l s nguyờn.
1)
0
2
1
0
5 24 9
n n n
u
u u u








2)
0
2
1

0
4 15 60
n n n
u
u u u









Ta cng cú th da vo cỏch chng minh a ra cỏc bi toỏn sau:
3)
0
2
1
1
5 24 25
n n n
u
u u u

4)
0
2
1
2
3 8 9
nnn
u
uuu









2.3.TNH CHNH PHNG

Vi tớnh cht ny ta thng tỡm s hng tng quỏt ca dóy s, a biu thc cn
chng minh v bỡnh phng ca mt s nguyờn. Vi mt s bi toỏn tng quỏt ta cú th
c bit húa cú bi toỏn mi, ngc li vi mt bi toỏn c th ta cú th tng quỏt húa
c mt dng toỏn .
Bài 1.
Cho dãy số (a
n
):

01
11
0; 1 (1)
2 1 (2)
n n n
aa
a a a







Chứng minh rằng 4a
n+2
a
n
+ 1 là số chính ph-ơng (n

1)
Lời giải
Cỏch 1. Xét ph-ơng trình đặc tr-ng
1012
2


(nghiệm kép)
Ta tìm g(n) = an
2

sao cho g(n+1) 2g(n) + g(n-1) = 1 với mọi n

N*

10
Giải ra ta có
2
)(
2
n
ng
hay
2
2
*
n
a
n

là một nghiệm riêng của ph-ơng trình (2)
Do đó (2) có nghiệm tổng quát
2
2
21
n
nCCa
n


a

0
= 0 suy ra C
1
= 0, a
1
= 1 nên C
2
+
2
1
= 1

C
2
=
2
1

Vậy
2
)1(
22
1
2


nnn
na
n

Do đó 4a
n+2
a
n
+ 1 =
1
2
)1(
.
2
)3)(2(
4
nnnn
= n(n+1)(n+2)(n+3) + 1=
= (n
2
+ 3n)(n
2
+ 3n + 2) + 1 = (n
2
+ 3n + 1)
2
(đpcm)
Cỏch 2. T cụng thc truy hi ca dóy ta thay n + 1 bi n ta c
a
n
= 2a
n-1
a
n-2

+ 1 (3)
Tr v theo v ng thc (2) v (3) c a
n+1
3a
n
+ 3a
n-1
a
n-2
= 0
Xột phng trỡnh c trng
32
3 3 1 0 1





2
n
a n n


. Do a
0
= 0, a
1
= 1, a
2
= 3 ta tỡm c

1
0,
2





( 1)
2
n
nn
a



Do đó 4a
n+2
a
n
+ 1 =
1
2
)1(
.
2
)3)(2(
4
nnnn
= n(n+1)(n+2)(n+3) + 1=

= (n
2
+ 3n)(n
2
+ 3n + 2) + 1 = (n
2
+ 3n + 1)
2
(đpcm)
Nhn xột. Ta cú th tỡm s hng tng quỏt m khụng cn phng phỏp sai phõn, cỏch lm
ny s gn gi hn vi chng trỡnh hc ph thụng ban c bn.
t b
n
= a
n+1
a
n

T gi thit ta cú a
n+1
a
n
=a
n
a
n-1
+1. Do ú b
n
= b
n 1

+ 1
T ú tỡm c b
n
= 1 + n (do (b
n
) l cp s cng vi cụng sai bng 1, b
0
= 1
Ta cú

1 1 1
10
0 0 0
( 1) ( 1)
22
n n n
n k k k
k k k
n n n n
a a a a b n k n

11
Chƣơng 3.

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
3.1.GIỚI HẠN CỦA TỔNG

Các bài toán về tìm giới hạn của tổng ta thu gọn tổng đó bằng cách phân tích hạng
tử tổng quát thành hiệu các hạng tử nối tiếp nhau để các hạng tử có thể triệt tiêu, cuối cùng
đưa tổng đó về biểu thức chỉ còn chứa x
n
, sau đó tìm limx
n
.
Bài 1.
Cho dãy số (x
n
) (n = 1, 2, …) được xác định như sau:
x
1
= 1 và
1
( 1)( 2)( 3) 1
n n n n n
x x x x x

    
với n = 1, 2, …
Đặt

1
1
2
n
n
i
i
y
x




(n = 1, 2, ….). Tìm
lim
n
n
y


Lời giải
Ta có x
2
= 5 và x
n
> 0 với mọi n = 1, 2, …
  
2 2 2
1
( 1)( 2)( 3) 1 3 3 2 1 3 1

n n n n n n n n n n n
x x x x x x x x x x x

            
(1)
Từ đó suy ra
x
n+1
+1 =
2
32
nn
xx
= (x
n
+ 1)(x
n
+ 2)

  
1
1 1 1 1
1 1 2 1 2
n n n n n
x x x x x

  
    

1

1 1 1
2 1 1
n n n
x x x

  
  

Do đó
1
1
2
n
n
i
i
y
x




=
1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 2 1
n
i
i i n n

x x x x x

  

    

    



Từ (1) x
k+1
=
21
3 1 3 3.3 3
kk
k k k
x x x

    

Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp x
n
> 3
n-1
(2)
Nên
1
lim
2

n
n
y


(vì do (2) x
n+1
> 3
n
)
. Ta có thể chứng minh limx
n
=

với cách khác:
Dễ thấy (x
n
) là dãy tăng, giả sử limx
n
= a (a

1)
Nên ta có
( 1)( 2)( 3) 1a a a a a    

Suy ra a
2
= a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 hay a
4
+ 6a

3
+ 10a
2
+ 6a +1 = 0
Rõ ràng phương trình này không có nghiệm thỏa mãn a

1. Vậy limx
n
=



12
3.2.DÃY CON VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ

Khi khảo sát sự hội tụ của dãy số ta thường sử dụng các định lý về tính đơn điệu và
bị chặn, nếu dãy không đơn điệu thì xét dãy với chỉ số chẵn, chỉ số lẻ. Tuy nhiên có những
dãy số phức tạp, tăng giảm bất thường, trong trường hợp như thể ta thường xây dựng các
dãy số phụ đơn điệu, chứng minh các dãy số phụ có giới hạn, sau đó chứng minh dãy số ban
đầu có cùng giới hạn, các dãy số phụ phải được xây dựng từ dãy số chính
Nhận xét: Mọi dãy con của dãy hội tụ đều hội tụ và ngược lại nếu limx
2n
= limx
2n+1
= a thì
limx
n
= a
Một cách tổng quát ta có
Cho số nguyên m


2 nếu limx
mn+i
= a
i
= 0, 1, 2, …, m – 1 thì limx
n
= a
Bài 1.
Dãy số (x
n
) được xác đinh bởi công thức:

01
21
1
52
n n n
xx
x x x







Chứng minh rằng dãy (x
n
) hội tụ

Lời giải
Xét dãy số (a
n
) được xác định bởi a
0
= 1,
1
2
3
n
n
a
a


, dễ thấy (a
n
) giảm dần về 0.
Ta chứng tỏ max{x
2n
, x
2n+1
}

a
n
,
n
(1)
Thật vậy, (1) đúng với n = 0 và n = 1. Giả sử (1) đúng với n và do (a

n
) là dãy giảm nên
5x
2n+2
= x
2n
+ 2x
2n+1


3a
n


x
2n+2


a
n+1

Và 5x
2n+3
= x
2n+1
+ 2x
2n+2


a

n
+ 2a
n+1

3a
n


x
2n+3


a
n+1

Như vậy (1) đúng với n + 1 hay (1) đúng
n
= 0, 1, 2, …
Dễ thấy x
n
> 0
n
và từ (1) theo nguyên lý kẹp ta có limx
2n
= limx
2n+1
= 0 suy ra limx
n
=0
Nhận xét:

Việc đưa vào dãy phụ (a
n
) có tác dụng chặn cả hai dãy con (x
2n
) và (x
2n+1
) và làm
chúng cùng hội tụ về một điểm
Có thể sử dụng phương pháp sai phân tìm được số hạng tổng quát

12
1 6 1 6
55
nn
n
x C C
   


   
   
   


13
Thay các giá trị của x
0
, x
1
để tìm C

1
, C
2
từ đó tìm được limx
n
=0
3.3.DÃY SỐ XÁC ĐỊNH BỞI PHƢƠNG TRÌNH

Dãy số có mối quan hệ chặt chẽ với phương trình điều này thấy rõ qua hai nội dung
cơ bản là phương trình sai phân tuyến tính được giải bằng phương trình đặc trưng, giới hạn
của dãy số cũng thường được giải ra từ phương trình. Đây là một trong các nội dung quan
trọng nhất của phần dãy số.
Với dạng toán tìm giới hạn của dãy số có liên quan đến phương trình ta thường xét
tính đơn điệu của hàm số, áp dụng định lý Lagrange và định lý về giới hạn kẹp giữa.
Bài 1.
Giả sử x
n
thuộc khoảng (0; 1) là nghiệm của phương trình

1 1 1
0
1x x x n
   


Chứng minh dãy (x
n
) hội tụ. Tìm giới hạn đó.
Nhận xét: x
n

được xác định duy nhất vì hàm số
nxxx
xf
n




1

1
11
)(
liên tục và đơn
điệu trên (0, 1). Tuy nhiên, ta không thể xác định được giá trị cụ thể của x
n
. Rất may mắn,
để chứng minh tính hội tụ của x
n
, ta không cần đến điều đó. Chỉ cần chứng minh tính đơn
điệu và bị chặn là đủ. Với tính bị chặn là hiển nhiên vì 0< x
n
< 1. Với tính đơn điệu, ta chú ý
một chút đến mối liên hệ giữa fn(x) và f
n+1
(x): f
n+1
(x) = f
n
(x) +

1
1
)()(
1



nx
xfxf
nn
.
Đây chính là chìa khoá để chứng minh tính đơn điệu của x
n
.
Lời giải
x
n
được xác định duy nhất vì hàm số
1 1 1
( )
1
n
fx
x x x n
   

liên tục và đơn điệu trên
(0; 1)
Để chứng minh dãy hội tụ ta chứng minh dãy (x
n

) bị chặn và đơn điệu, hiển nhiên
dãy bị chặn vì 0 < x
n
< 1. Bây giờ ta chứng minh dãy (x
n
) đơn điệu
Ta thấy 0 < x
n
< 1 nên
1
11
( ) ( ) 0
11
n n n n
nn
f x f x
x n x n

   
   


14
Trong khi đó f
n+1
(0
+
) > 0. Theo tính chất của hàm liên tục, trên khoảng (0; x
n
) có ít nhất một

nghiệm của f
n+1
(x). Nghiệm đó chính là x
n+1
. Suy ra x
n+1
< x
n
. Tức dãy số (x
n
) giảm, do dãy
số này bị chặn dưới bởi 0 nên dãy số có giới hạn
Ta chứng minh dãy số trên có giới hạn bằng 0. Ta dễ dàng chứng minh kết quả sau:

1 1 1
1 ln
23
n
n
    

(Có thể chứng minh bằng cách đánh giá
11
ln 1
nn




)

Thật vậy, giả sử
lim 0
n
n
xa


. Khi đó do dãy (x
n
) giảm nên ta có x
n
an

Do
1 1 1
1
23 n
     
khi
n  
, nên tồn tại N sao cho với mọi n

N ta có

1 1 1 1
1
23 na
    

Khi đó với mọi n


N thì

1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0
1 1 2
n n n n
x x x n x n a a
           
    

Điều này mâu thuẫn. Vậy phải có
lim 0
n
n
x



KẾT LUẬN
Dãy số là một lĩnh vực khá rộng và khó, các bài toán dãy số rất đa dạng. Trong bản
luận văn này chỉ đề cập đến tính chất số học của dãy số và giới hạn của dãy số.
Luận văn đã trình bày hệ thống các bài toán về tính chất số học của dãy số như tính
chia hết, tính nguyên, tính chính phương. Trong các bài toán này đều vận dụng kiến thức
tổng hợp về số học, dãy số, phương pháp sai phân, mỗi dạng toán đều nêu phương pháp giải
cụ thể, có đề xuất một số dạng toán tổng quát, một số bài toán tổng quát cũng đã được đặc
biệt hóa để có nhiều bài toán khác.
Luận văn cũng đã trình bày một số dạng toán về giới hạn dãy số như giới hạn của
tổng, dãy con và sự hội tụ của dãy số, dãy số xác định bởi phương trình. Các bài toán dạng
này đều có phương pháp giải cụ thể vận dụng các kiến thức về dãy số, các định lý về giới

hạn.

15
Luận văn đã chọn lọc được các bài toán điển hình cho mỗi dạng toán, đặc biệt có
nhiều bài toán là đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế những năm gần đây qua đó thấy vai
trò quan trọng của bài toán về dãy số trong các đề thi này.
Tuy nhiên, do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế nên bản luận văn này chắc
không tránh được thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thày cô giáo, các bạn
đồng nghiệp, các em học sinh để cuốn tài liệu về dãy số này được hoàn thiện hơn.

References.
1. Nguyễn Đễ, Nguyễn Khánh Nguyên (dịch) (1996). Các đề thi vô địch toán 19 nước –
trong đó có Việt Nam, NXB Giáo dục.
2. Phan Huy Khải (2007). Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán thpt các bài toán về
dãy số, NXB Giáo dục.
3. Phan Vũ Khải (1997). 10.000 bài toán sơ cấp dãy số và giới hạn, NXB Hà Nội.
4. Nguyễn Vũ Lương (chủ biên) (2006), Nguyễn Lưu Sơn, Nguyễn Ngọc Thắng, Phạm
Văn Hùng. Các bài giảng về số học, NXB ĐHQGHN.
5. Nguyễn Văn Mậu, Kỷ yếu trại hè Hùng Vương năm 2010.
6. Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Nguyễn Văn Tiến (2009), Một số chuyên đề giải tích
bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông, NXB Giáo dục.
7. Nguyễn Sinh Tiến, Nguyễn Văn Nho, Lê Hoành Phò (2003). Tuyển tập các bài dự
tuyển Olympic Toán học quốc tế 1991 - 2001, NXB Giáo dục.
8. Lê Đình Thịnh (chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001).
Phương trình sai phân và một số ứng dụng, NXB Giáo dục.
9. Các bài toán chọn lọc 45 năm tạp chí toán học tuổi trẻ (2009), NXB Giáo dục.
10. Tủ sách toán học và tuổi trẻ. Các bài thi Olympic toán Trung học phổ thông Việt
Nam (1990 - 2006) (2007), NXB Giáo dục.