Một số bài toán về điều kiện dãy nguyên tố trên vành noether, địa phương (tt)

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Tóm tắt kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Tính bão hòa nguyên tố 8
1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Tính bo hòa nguyên tố của môđun Artin . . . . . . . . . 8
1.3 Chiều Noether và tính bo hòa nguyên tố . . . . . . . . . 9
1.4 Tính bo hòa nguyên tố của H
d
m
(M) . . . . . . . . . . 10
2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn 11
2.1 Đặc trng tính bo hoà nguyên tố của H
i
m
(M) . . . . . . 11
2.2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn . . . . . . 13
3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay 15
3.1 Một số tính chất của giả giá . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá . . . 16
3.3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay và điều kiện Serre . . . 18
1
2
Tóm tắt kết quả nghiên cứu
1. Thông tin chung
- Tên đề tài: Một số bi toán về điều kiện dy nguyên tố trên vành
Noether, địa phơng
- M số: B2009-TN07-06 Thời gian thực hiên: 2009-2010
- Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn
Điện thoại: 0915643746
E-mail:

- Cơ quan chủ trì đề tài: Trờng ĐHKH - Đại học Thái Nguyên
- Cơ quan phối hợp: Khoa Toán, Trờng ĐHSP - ĐH Thái Nguyên
2. Mục tiêu. Đề tài hớng đến 2 mục tiêu sau đây:
Nghiên cứu một số bài toán về điều kiện dy nguyên tố trong vành
Noether, địa phơng, cụ thể là:
- Nghiên cứu các bài toán về tính catenary của vành (cho trớc hai
iđêan nguyên tố lồng nhau, luôn tồn tại một dy nguyên tố bo hòa giữa
chúng và mọi dy bo hòa nh thế đều có chung độ dài)
- Nghiên cứu bài toán về tính catenary phổ dụng (mọi đại số hữu
hạn sinh trên nó đều catenary).
- Nghiên cứu bài toán về tính không trộn lẫn (trên đầy đủ, mọi
iđêan nguyên tố liên kết đều có cùng chiều).
- Nghiên cứu tính đóng của một số tập iđêan nguyên tố nh các
tập giả giá, quỹ tích không Cohen-Macaulay trong mối quan hệ với các
điều kiện dy nguyên tố.
Nâng cao năng lực nghiên cứu cho nhóm thực hiện đề tài và phục
vụ hiệu quả cho công tác NCKH và đào tạo SĐH chuyên ngành Toán Đại
số của Đại học.
3
3. Nội dung chính
Trong đề tài này, chúng tôi trình bày một số kết quả mới về các bài
toán liên quan đến điều kiện dy nguyên tố nh tính catenary, catenary
phổ dụng, tính đóng của giả giá của một một môđun hữu hạn sinh, tính
đóng (theo tôpô Zariski) của quỹ tích không Cohen-Macaulay. Các kết
quả chính thu đợc là:
- Đặc trng tính chất bo hòa nguyên tố của các môđun đối đồng điều
địa phơng.
- Trình bày một ứng dụng của tính bo hòa nguyên tố để chứng minh
công thức bội liên kết cho môđun đối đồng điều địa phơng.
- Đa ra một số tiêu chuẩn để vành cơ sở là catenary phổ dụng

- Đa ra một số điều kiện đủ cho vành là tựa không trộn lẫn.
- Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay của một môđun hữu hạn sinh.
- Đa ra mối liên hệ giữa tính đóng của quỹ tích không Cohen-
Macaulay và tính đóng của tập giả giá.
4. Kết quả chính đạt đợc
- Các kết quả của đề tài đợc viết thành 02 bài báo đăng trên tạp chí
quốc tế uy tín ISI.
- Đang hớng dẫn 04 luận án tiến sĩ, đ hớng dẫn 04 luận văn thạc
sĩ, đ hớng dẫn 03 đề tài sinh viên NCKH và luận văn tốt nghiệp đại
học.
4
Summary
1. General information
- Project title: Some problems on the conditions of prime ideal chains
for Noetherian local rings
- Code number: B2009-TN07-06 Duration: From 2009 to 2010
- Project manager: Associate Professor Le Thi Thanh Nhan
Tel.: 02803856215 E-mail:
- Implementing institution: College of Sciences - TNU.
- Cooperating institution: Department of Mathematics, College of Ed-
ucation, Thai Nguyen University.
2. Objectives. The purpose of this project is to study some problems on
the conditions of prime ideal chains such as:
- The catenaricity on the Noetherian local rings.
- The universal catenaricity on the Noetherian local rings.
- The unmixedness on the Noetherian local rings.
- The closedness of the non Coehen-Macaulay locus and the pseudo
supports of a finitely generated module.
3. Main contends
- In this project, we present some new results on the problems of the

prime ideal chain conditions: the catenaricity, the universal catenaricity,
the unmixedness, the closedness of the pseudo supports, the closedness
of the non Cohen-Macaulay locus. Here are the main results:
- Giving a characterization for the local cohomology modules (with
respect to the maximal ideal) to satisfy the prime saturation.
- Applying the above characterization to present an associativity for-
mula for multiplicity of local cohomology modules.
5
- Giving some necessary conditions for a ring to be catenary and
universally catenary.
- Giving some necessary conditions for a ring to be unmixed.
- Showing a relation between the closedness of the pseudo supports
and the closedness of the non Cohen-Macaulay locus.
4. Results obtained
- The results of the project are written into 02 articles published on
international journals approved by ISI.
- During 2 years, from 2009 to 2010, the principle investigator has
given certain lectures to postgraduate students Courses No. 2,3 of the
College of Sciences, Courses No. 16, 17 of the College of Education -
TNU. She instructs 04 PhD theses; 04 Master theses; 03 scientific research
projects and dissertations of undergraduate students.
6
Mở đầu
Các bài toán về điều kiện dy nguyên tố đ đợc quan tâm từ những
năm 1930. Bài toán đầu tiên là xét tính catenary của các vành giao hoán.
Nhắc lại rằng một vành gọi là catenary nếu giữa hai iđêan nguyên tố
lồng nhau bất kì luôn tồn tại một dy nguyên tố bo hòa và mọi dy
nguyên tố bo hòa nh thế đều có chung độ dài. Lớp vành catenary đầu
tiên đợc khám phá bởi W. Krull từ năm 1937, ông chỉ ra rằng mọi đại
số hữu hạn sinh trên một trờng là catenary. Những công trình tiếp theo

của W. Krull, M. Nagata, I. S. Cohen, D. Ferand và M. Raynaud, L. J.
Ratliff, R. Heitmann, M. Brodmann về tính catenary đ làm giàu đẹp
lí thuyết này, nó cho thấy sự liên quan chặt chẽ với nhiều lĩnh vực khác
của Đại số Giao hoán nh vành định chuẩn, môđun Cohen-Macaulay tối
đại, vành Rees, vành phân bậc liên kết, các phơng pháp đồng điều, các
mở rộng vành siêu việt Phát triển lí thuyết vành catenary là lí thuyết
vành catenary phổ dụng, vành tựa không trộn lẫn và vành không trộn
lẫn. Các lí thuyết này đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong Đại số giao
hoán, nhất là trong lí thuyết vành giao hoán. Cho đến nay, việc nghiên
cứu tính catenary, tính catenary phổ dụng, tính tựa không trộn lẫn, tính
không trộn lẫn và những bài toán liên quan cho các vành vẫn rất đợc
quan tâm bởi nhiều nhà toán học trên thế giới. Đặc biệt, Nguyễn Tự
Cờng, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn 2007 đ thông qua nghiên
cứu môđun Artin đối đồng điều địa phơng cấp cao nhất với giá cực đại
để đặc trng tính catenary cho các vành Noether và giá không trộn lẫn
của các môđun hữu hạn sinh.
Mục đích của đề tài này là phát triển các kết quả trên của Nguyễn Tự
Cờng, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn 2007 cho những bài toán
về điều kiện dy nguyên tố khác nh xét tính catenary phổ dụng, tính tựa
7
không trộn lẫn, tính không trộn lẫn của các vành Noether địa phơng,
đồng thời xét một số bài toán liên quan nh công thức bội liên kết cho
môđun đối đồng điều địa phơng, tính đóng của các tập giả giá và tính
đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay. Công cụ nghiên cứu của đề
tài là dùng những tính chất đặc thù của tất cả các môđun đối đồng điều
địa phơng với giá cực đại.
Đề tài gồm 3 chơng. Chơng I nói về tính chất bo hòa nguyên tố
của môđun Artin, đặc biệt là môđun đối đồng điều địa phơng với giá
cực đại nhằm phục vụ cho việc trình bày các kết quả cho 2 chơng sau.
Chơng 2 đặc trng tính bo hòa nguyên tố cho các môđun đối đồng

điều địa phơng, từ đó xét tính catenary, catenary phổ dụng, tính không
trộn lẫn của các vành Noether địa phơng. Nh một ứng dụng, trong
Chơng 2 còn trình bày công thức bội liên kết cho các môđun đối đồng
điều địa phơng. Chơng 3 nghiên cứu tính đóng của quỹ tích không
Cohen-Macaulay thông qua các tập giả giá, qua các điều kiện Serre và
tính không trộn lẫn của vành.
Chơng 1
Tính bão hòa nguyên tố
Trong suốt chơng này, cho (R, m) là một vành Noether địa phơng với
iđêan tối đại duy nhất m, cho A là R-môđun Artin và M là R-môđun
hữu hạn sinh. Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu V (I) là tập các iđêan
nguyên tố của R chứa I.
1.1 Biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin
Tiết này nhằm trình bày một số khái niệm và tính chất của biểu diễn thứ
cấp cho môđun Artin trong một bài báo của I. G. Macdonald 1973.
1.2 Tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin
Ta luôn có Ann
R
(M/pM) = p với mọi iđêan nguyên tố p Ann
R
M.
Rất tự nhiên, theo suy nghĩ đối ngẫu, N. T. Cuong và L. T. Nhan 2002
đ xét tính chất sau đối với các môđun Artin A:
Ann
R
(0 :
A
p) = p với mọi iđêan nguyên tố p Ann
R
A. ()

Tuy nhiên tính chất (*) lại không đúng cho các môđun Artin A (xem Ví
dụ 1.2.3). Vì thế ta có định nghĩa sau đây.
8
9
1.2.1. Định nghĩa. Môđun A đợc gọi là có tính chất bo hòa nguyên
tố nếu nó thỏa mn tính chất (*).
Các kết quả sau đây đợc trích từ một bài báo của NT Cờng và LT
Nhàn 2002 và một bài báo của NT Cờng, NT Dung và LT Nhàn 2007.
1.2.2. Chú ý. Mọi môđun Artin trên vành địa phơng đầy đủ đều bo
hoà nguyên tố.
1.2.3. Ví dụ. Tồn tại một môđun Artin trên vành Noether địa phơng
không bo hoà nguyên tố.
1.2.4. Mệnh đề. Các điều kiện sau là tơng đơng:
(i) A bo hoà nguyên tố.
(ii) V (Ann
R
A) = {

p R :

p V (Ann

R
A)}.
1.3 Chiều Noether và tính bão hòa nguyên tố
Trong tiết này chúng ta trình bày lại một số kết quả về chiều Noether
đ biết trong các bài báo của RN Roberts 1975, D. Kirby 1990 và NT
Cờng-LT Nhàn 2002.
1.3.1. Mệnh đề. Kí hiệu N-dim A là chiều Noether của A. Nếu q là
iđêan sao cho (0 :

A
q) < thì có một đa thức Q(n) với hệ số hữu tỷ
sao cho
R
(0 :
A
q
n+1
) = Q(n) khi n 0 và
N-dim
R
A = deg(
R
(0 :
A
q
n+1
))
= inf{t 0 : x
1
, . . . , x
t
m :
R
(0 :
A
(x
1
, . . . , x
t

)R) < }.
Kí hiệu dim
R
A = dim(R/ Ann
R
A). Ta chỉ có N-dim
R
A dim
R
A.
Hơn nữa, với môđun Artin A = H
1
m
(R) nh trong Ví dụ 1.2.3 ta có
dim
R
A = 2 > 1 = N-dim
R
A. Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng tính chất
bo hòa nguyên tố là đủ để đẳng thức về chiều ở trên xảy ra.
10
1.3.2. Mệnh đề. [CN].
(i) N-dim
R
A dim(R/ Ann A).
(ii) Nếu A bo hòa nguyên tố thì N-dim
R
A = dim
R
A.

1.4 Tính bão hòa nguyên tố của H
d
m
(M)
Kí hiệu U
M
(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d =
dim M. Khi đó Ass(M/U
M
(0)) = {p Ass M : dim R/p = d}. Vì thế
các iđêan nguyên tố liên kết của M/U
M
(0) đều có chiều nh nhau. Tập
Supp(M/U
M
(0)) đợc gọi là giá không trộn lẫn của môđun M và đợc
kí hiệu bởi Usupp M. Chú ý rằng Usupp M = Var(Ann
R
H
d
m
(M)). Do
đó ta nói Usupp M là catenary nếu vành R/ Ann
R
H
d
m
(M) là catenary.
Sau đây là một kết quả đ đợc chứng minh trong một bài báo của NT
Cờng, NT Dung và LT Nhàn 2007.

1.4.1. Định lý. Các phát biểu sau là tơng đơng:
(i) H
d
m
(M) bo hoà nguyên tố.
(ii) Usupp M = {

p R :

p Usupp

R

M}.
(iii) Usupp M là catenary.
Chơng 2
Tính catenary phổ dụng và tính không
trộn lẫn
2.1 Đặc trng tính bão hoà nguyên tố của H
i
m
(M)
Theo Brodmann và Sharp 2002, tập
{p Spec(R) : H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
) = 0}

đợc gọi là giả giá thứ i của M và kí hiệu là Psupp
i
R
M. Giả chiều thứ
i của M, kí hiệu bởi psd
i
(M) đợc định nghĩa bởi công thức
psd
i
(M) = sup{dim R/p : p Psupp
i
R
M}.
Brodmann và Sharp 2002 đ chứng minh rằng nếu R là catenary phổ
dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay thì Psupp
i
R
M là một tập
con đóng của Spec(R) (theo tôpô Zariski) và công thức bội liên kết sau
đây là đúng: Với kí hiệu e

(q, H
i
m
(M)) là số bội của H
i
m
(M) ứng với
iđêan m-nguyên sơ q, ta có
e

(q, H
i
m
(M)) =

pPsupp
i
R
(M)
dim(R/p)=psd
i
(M)

R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

e(q, R/p).
2.1.1. Định lý. Cho số nguyên i 0. Các điều kiện sau là tơng đơng:
11
12
(i) H

i
m
(M) là bo hoà nguyên tố.
(ii) Var

Ann
R
(H
i
m
(M))

= Psupp
i
R
M.
Nếu các điều kiện (i), (ii) đều thoả mn thì psd
i
M = psd
i

M =
N-dim
R
(H
i
m
(M)) và tập hợp {p Psupp
i
R

M : dim(R/p) = psd
i
M}
chính là tập {

p R :

p Psupp
i

R

M, dim(

R/

p) = psd
i

M}.
2.1.2. Hệ quả. Nếu R/ Ann
R
M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình
thức của nó là Cohen-Macaulay thì H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố với mọi
i d.
2.1.3. Hệ quả. Cho i 0 là một số nguyên. Cho N-dim
R

(H
i
m
(M)) = s.
Với mỗi p Psupp
i
R
M, đặt T (p) = {

p Psupp
i

R
(

M) : dim(

R/

p) =
dim(R/p),

p R = p}. Giả thiết rằng H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố. Khi
đó các phát biểu sau là đúng
(i) Psupp
i
R

M là đóng.
(ii) Nếu p Psupp
i
R
M với dim(R/p) = s thì tập T (p) = , độ dài

R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

khác 0 và hữu hạn, hơn nữa với mọi

p T (p) ta
có

R

p

H
idim(

R/

p)

p

R

p
(

M

p
)

=
R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)



R

p
(

R

p
/p

R

p
).
(iii) Cho q là m-nguyên sơ. Giả sử H
i
m
(M) = 0. Khi đó số bội
e

(q, H
i
m
(M)) của H
i
m
(M) ứng với q thoả mn công thức liên kết sau
e

(q, H
i

m
(M)) =

pPsupp
i
R
(M)
dim(R/p)=psd
i
(M)

R
p

H
idim(R/p)
pR
p
(M
p
)

e(q, R/p).
2.1.4. Hệ quả. Cho q là iđêan m-nguyên sơ. Các phát biểu sau là tơng
đơng:
(i) Psupp
d
R
M là đóng.
(ii) Usupp M là catenary, tức là vành R/ Ann

R
(H
d
m
(M)) là catenary.
(iii) H
d
m
(M) bo hoà nguyên tố.
(iv) Var

Ann(H
d
m
(M))

= Psupp
d
R
M.
13
Nếu các điều kiện trên thoả mn thì Usupp M = Psupp
d
M và
e

(q, H
d
m
(M)) =

pPsupp
d
R
(M)
dim(R/p)=d

R
p

H
0
pR
p
(M
p
)

e(q, R/p).
2.2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn
Nhắc lại rằng M đợc gọi là đẳng chiều nếu dim(R/p) = d với mọi
p min(Ass M). Theo M. Nagata, ta nói rằng M là không trộn lẫn nếu
dim(

R/

p) = d với mọi iđêan nguyên tố

p Ass

M, và M là tựa không
trộn lẫn nếu

M là đẳng chiều.
Trong tiết này, chúng ta xem xét tính bo hoà nguyên tố của tất cả các
môđun đối đồng điều địa phơng H
i
m
(M) với bậc i < d, từ đó chúng ta
nhạn đợc một số kết quả về tính catenary phổ dụng và tính không trộn
lẫn của các vành địa phơng.
2.2.1. Định lý. Giả sử H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố với mọi i < d. Khi đó
R/p là không trộn lẫn với mọi p Ass M và vành thơng R/ Ann
R
M
là catenary phổ dụng.
2.2.2. Hệ quả. Giả sử H
i
m
(M) bo hoà nguyên tố với mọi i < d. Khi
đó H
d
m
(M) cũng bo hoà nguyên tố.
M. Nagata 1980 hỏi rằng nếu (R, m) là miền Noether địa phơng
không trộn lẫn và p Spec R thì liệu R/p có là miền không trộn lẫn?
Brodmann và Rotthaus 1983 đ xây dựng một miền Noether địa phơng

(R, m) chiều 3 sao cho

R là miền nguyên và

R/p

R có một iđêan nguyên
tố nhúng với một iđêan nguyên tố p Spec R. Đây là phản ví dụ cho câu
hỏi trên của Nagata. Với miền nguyên này, ta có thể chỉ ra rằng H
2
m
(R)
không bo hoà nguyên tố. Vì thế điều ngợc lại của Định lí 2.2.1 không
14
®óng. KÕt qu¶ sau cho ta mét tiªu chuÈn vÒ tÝnh kh«ng trén lÉn cña vµnh
R/p víi mét sè i®ªan nguyªn tè p ∈ Supp M.
2.2.3. §Þnh lý. Gi¶ sö M kh«ng trén lÉn chiÒu d vµ H
i
m
(M) bo hoµ
nguyªn tè víi mäi i < d. Khi ®ã R/p lµ kh«ng trén lÉn víi mäi p ∈
Supp M tho¶ mn dim(R/p) ≥ d − 1.
Chơng 3
Quỹ tích không Cohen-Macaulay
Giả sử R là vành thơng của vành địa phơng Gorenstein (R

, m

) chiều
d

. Kí hiệu K
i
M
là R-môđun Ext
d

i
R

(M, R

). Khi đó K
i
M
là R-môđun hữu
hạn sinh và đối ngẫu địa phơng cho ta H
i
m
(M)

=
Hom
R
(K
i
M
, E(R/m)),
trong đó E(R/m) là bao nội xạ của R/m. Đẳng cấu này đợc dùng để
chứng minh tín đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM(M) của

M, nó đợc định nghĩa bởi công thức
nCM(M) = {p Spec(R) | M
p
is not Cohen-Macaulay}.
Thêm nữa
Psupp
i
R
(M) = Var(Ann
R
(H
i
m
(M))) = Supp
R
(K
i
M
),
vì thế Psupp
i
R
(M) là đóng trong Spec(R). Ngời ta có thể dùng các
đẳng thức này kết hợp với công thức bội liên kết đối với R-môđun hữu
hạn sinh K
i
M
để đa ra một công thức bội liên kết cho H
i
m

(M). Trong
trờng hợp R là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là
Cohen-Macaulay, công thức bội liên kết cho H
i
m
(M) vẫn còn đúng và
Psupp
i
R
(M) = Var(Ann
R
(H
i
m
(M))), đó là một tập đóng của Spec(R).
Mục đích của chơng này là nghiên cứu quỹ tích không Cohen-
Macaulay của M trong mối quan hệ với các tập giả giá của M, tính
catenary của vành R/ Ann
R
M, điều kiện Serre trên M và tính không
15
16
trộn lẫn của một số miền nguyên R/p với p Supp
R
(M). Các kết quả
thu đợc chỉ ra rằng thậm chí vàn cơ sở có thể xấu, thậm chí các tập giả
giá có thể không đóng, nhng việc nghiên cứu các tập giả giá vẫn cho ta
nhiều thông tin hữu ích về M và vành cơ sở R.
3.1 Một số tính chất của giả giá
Với mỗi tập con T của Spec(R), đặt (T )

i
= {p T | dim(R/p) = i}.
3.1.1. Bổ đề. Cho i 0. Các phát biểu sau là tơng đơng
(i) dim(R/p) i for all p Psupp
i
R
(M).
(ii)

Psupp
i
R
(M)

i
=

Ass
R
M

i
.
Tiếp theo chúng ta đa ra quan hệ giũa Psupp
i
R
M và Var(Ann
R
H
i

m
(M)).
3.1.2. Bổ đề. Psupp
i
R
(M) Var(Ann
R
H
i
m
(M)) với mọi i 0.
Theo M. Brodmann và R. Y. Sharp 2002, giả chiều thứ i của M, kí
hiệu bởi psd
i
M, cho bởi
psd
i
(M) = max{dim(R/p) | p Psupp
i
R
(M)}.
3.1.3. Mệnh đề. Cho i 0 là một số nguyên. Ta có
psd
i
(M) psd
i
(

M)
= dim(

R/ Ann

R
H
i
m
(M)) dim(R/ Ann
R
H
i
m
(M)).
3.2 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá
Nhắc lại rằng quỹ tích không Cohen-Macaulay của M, kí hiệu bởi
nCM(M), đợc định nghĩa là
nCM(M) = {p Spec(R) | M
p
không Cohen-Macaulay}.
17
3.2.1. Định lý. Giả sử p Supp
R
(M). Khi đó
(i) p Psupp
i
R
(M) với i d nào đó và
depth(M
p
) = k dim(R/p), dim(M

p
) = t dim(R/p),
trong đó k = min
id
{i | p Psupp
i
R
(M)} và t = max
id
{i | p Psupp
i
R
(M)}.
(ii) nCM(M) =

0i<jd

Psupp
i
R
(M) Psupp
j
R
(M)

.
(iii) Nếu s d là một số nguyên thì

is
Psupp

i
R
(M) = {p Supp
R
(M) | depth(M
p
) + dim(R/p) s}.
(iv) Nếu p /

i<d
Psupp
i
R
(M) thì M
p
là Cohen-Macaulay chiều d
dim(R/p).
3.2.2. Hệ quả. Giả sử M là đẳng chiều và R/ Ann
R
M là catenary. Khi
đó Psupp
i
R
(M) là đóng với i = 0, 1, d và nCM(M) =
d1

i=0
Psupp
i
R

(M).
Kết quả sau đây là một hệ quả trực tiếp của Định lí 3.2.1(ii), cho ta
điều kiện đủ để quỹ tích không Cohen-Macaulay của M là đóng.
3.2.3. Hệ quả. Nếu Psupp
i
R
(M) là đóng với mọi i d thì nCM(M) là
đóng.
Rất tự nhiên, chúng ta muốn hỏi chiều ngợc lại của hệ quả trên là
đúng hay không. Dới đây là cấu trả lời khẳng định cho trờng hợp vành
catenary chiều 3.
3.2.4. Hệ quả. Giả sử M là đẳng chiều và dim M = 3. Nếu R/ Ann
R
M
là catenary thì Psupp
i
R
(M) là đóng với mọi i = 2 và nCM(M) =
2

i=0
Psupp
i
R
(M). Trơng trờng hợp này, nCM(M) là đóng nếu và chỉ nếu
Psupp
2
R
(M) là đóng.
18

Trờng hợp R/ Ann
R
M không catenary, chiều ngợc lại của Hệ quả
3.2.3 không đúng. Trớc khi đa ra ví dụ, ta cần kết quả sau.
3.2.5. Hệ quả. Giả sử dim M = 3 và dim(R/p) = 3 với mọi p
Ass
R
M. Giả sử vành R/ Ann
R
M không catenary. Khi đó Psupp
3
R
(M)
không đóng. Hơn nữa, Psupp
0
R
(M) = , Psupp
1
R
(M) {m} và
nCM(M) = Psupp
2
R
(M) Psupp
3
R
(M).
Bây giờ ta chỉ ra ví dụ khẳng định chiều ngợc lại của Hệ quả 3.2.3
là không đúng.
3.2.6. Ví dụ. Tồn tại một miền Noether địa phơng R có chiều 3 sao

cho quỹ tích không Cohen-Macaulay của R là đóng nhng Psupp
2
(R)
và Psupp
3
(R) không đóng.
3.3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay và điều kiện Serre
Từ nay đến hết luận văn, với mỗi i ta đặt a
i
(M) = Ann
R
H
i
m
(M) và
a(M) = a
0
(M)a
1
(M) . . . a
d1
(M).
3.3.1. Hệ quả. Cho i 0 là một số nguyên. Giả sử R/ Ann
R
M là
catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen-Macaulay. Khi
đó
(i) dim(R/p) i với mọi p Var(a
i
(M)).

(ii) (Att
R
H
i
m
(M))
i
= (Var(a
i
(M)))
i
= (Ass
R
M)
i
.
(iii) psd
i
(M) = psd
i
(

M) = dim(R/a
i
(M)).
(iv) nCM(M) là đóng.
(v) Nếu M đẳng chiều thì nCM(M) = Var(a(M)).
19
3.3.2. Định lý. Đặt T(M) =

0i<jd
Var(a
i
(M) + a
j
(M)). Các phát
biểu sau là đúng.
(i) Nếu R/ Ann
R
M là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là
Cohen-Macaulay thì nCM(M) = T (M).
(ii) Nếu nCM(M) = T(M) thì R/ Ann
R
M là catenary phổ dụng và
R/p không trộn lẫn với mọi p min Ass
R
M.
Cho r > 0 là một số nguyên. M đợc gọi là thoả mn điều kiện Serre
(S
r
) nếu
depth(M
p
) min{r, dim(M
p
)} for all p Supp
R
(M).
3.3.3. Bổ đề. Giả sử M là đẳng chiều và R/ Ann
R

M là catenary. Khi
đó M thoả mn điều kiện Serre (S
r
) nếu và chỉ nếu psd
i
(M) i r
với mọi i < d. Đặc biệy, nếu M thoả mn điều kiện Serre (S
r
) thì
dim(R/p) d r 1 với mọi p nCM(M).
3.3.4. Định lý. Cho r 1 là một số nguyên. Giả sử M là đẳng chiều và
M thoả mn điều kiện Serre (S
r
). Nếu nCM(M) = Var(a(M)) thì R/p
khong trộn lẫn với mọi p Supp
R
(M) thoả mn dim(R/p) d r.