Các dạng toán ôn thi lớp 10 (hay)

Tỉng hỵp c¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 PTTH
phßng GD & §T hun yªn thµnh
trêng THCS M· Thµnh
tµi liƯu «n tËp thi vµo líp 10 PTTH
(Lu hµnh néi bé)
Tổng hợp phương pháp giải các các dạng
Toán
luyện thi vào lớp 10 PTTH

Chuyên đề I. Rút gọn biểu thức chứa biến
Trong ch¬ng tr×nh To¸n líp 9, viƯc rót gän c¸c biĨu thøc lµ vÊn ®Ị v« cïng quan träng
(chiÕm kho¶ng tõ 1,5 ®Õn 3,5 ®iĨm trong c¸c k× thi), v× thÕ, mµ t«i mn giíi thiƯu bµi To¸n
nµy tíi b¹n ®äc. Mong c¸c b¹n hiĨu s©u h¬n vµ n¾m vưng c¸ch lµm vỊ d¹ng To¸n nµy.
A. LÝ thut.
1) Bµi To¸n quy ®ång mÈu thøc c¸c ph©n thøc.
Trong ch¬ng tr×nh líp 8, SGK ®· giíi thiƯu cho chóng ta ph¬ng ph¸p quy ®ång mÈu thøc
c¸c ph©n thøc nh sau.
B íc 1. T×m mÈu thøc chung (MTC)
Trong bíc nµy c¸c em cÇn lµm c¸c viƯc sau:
+) Ph©n tÝch c¸c mÈu thøc thµnh nh©n tư.
+) LËp tÝch gåm c¸c NTC cã sè mđ cao nhÊt vµ c¸c NT riªng ®Ĩ cã MTC.
THCS HÙNG VƯƠNG
1
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
B ớc 2. Tìm NTP của từng phân thức. (để tìm NTP các em cần lấy MTC vừa tìm đợc
chia cho MT riêng của từng phân thức).
B ớc 3. Quy đồng. (Nhân cả tử và mẩu của từng phân thức với NTP tơng ứng).
Ví dụ 1: Quy đồng mẩu thức các phân thức sau:
a)
1
1

2
x
và
12
1
2
+ xx
b)
4
1
x
và
44
1
+ xx
c)
xx 2
1
+
và
4
1
x
Giải:
a) Đầu tiên ta phải tìm MTC:
Ta có: x
2
1 = (x 1)(x + 1)
và: x
2

2x + 1 = (x 1)
2
khi phân tích xong, ta thấy Nhân tử chung là (x 1), còn
nhân tử riêng là (x + 1)


MTC là: (x 1)
2
. (x + 1)
Tìm đợc MTC rồi, ta tiến hành tìm nhân tử phụ (NTP) của từng phân thức:
Để tìm NTP của phân thức
1
1
2
x
, ta lấy MTC là (x 1)
2
. (x + 1) chia cho Mẩu thức riêng
của nó là (x
2
1) hay (x 1)(x + 1)

Vì (x 1)
2
. (x + 1) : (x 1)(x + 1) = x 1

NTP của phân thức
1
1
2

x
là: (x 1)
Tơng tự, để tìm NTP của phân thức
12
1
2
+ xx
, ta lấy MTC là (x 1)
2
. (x + 1) chia cho Mẩu
thức riêng của nó là x
2
2x + 1 hay (x 1)
2

Vì (x 1)
2
. (x + 1):(x 1)
2
= x + 1


NTP của phân thức
12
1
2
+ xx
là: (x + 1)
Công việc còn lại của chúng ta là quy đồng các phân thức đã cho.
Để quy đồng mẩu của phân thức ta lấy tử và mẩucùng nhân với nhân tử phụ của nó là

(x 1). Tức là:
)1()1(
1
)1)(1(
1
1
1
22
+

=
+
=
xx
x
xx
x

Tơng tự:
)1()1(
1
)1(
1
12
1
222
+
+
=

=
+ xx
x
xxx
b) Ta có:
)2)(2(2)(4
22
+== xxxx
và:
222
)2(22) (2)(44 =+=+ xxxxx


MTC là:
)2()2(
2
+ xx

+) NTP của phân thức
4
1
x
là:
2x

+) NTP của phân thức
44
1
+ xx
là:

2+x




)2()2(
2
)2)(2(
1
4
1
2
+

=
+
=

xx
x
xx
x
Và
)2()2(
2
)2(
1
44
1
22

+
+
=

=
+ xx
x
xxx
c) Tơng tự.
L u ý: Trớc khi quy đồng nếu phân thức cha tối giản, ta nên tối giản rồi mới quy đồng
2) Các phép toán trên phân thức.
a) Phép cộng và phép trừ:
+) Cộng trừ hai phân thức cùng mẩu:
m
BA
m
B
m
A
=

THCS HUỉNG VệễNG
2
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
+) Cộng trừ hai phân thức khác mẩu:
nm
BmAn
nm
mB
nm

nA
n
B
m
A

.
.
.
==

b) Phép nhân:
nm
BA
n
B
m
A
.
.
. =
c) Phép chia:
Bm
nA
B
n
m
A
n
B

m
A
.
.
.: ==
3) Bài Toán rút gọn biểu thức.
a) Cách giải:
Bớc 1. Tìm ĐKXĐ của biểu thức đã cho.
Bớc 2. Quy đồng mẩu thức các phân thức, rồi thực hiện các phép toán cộng, trừ,
nhân, chia các phân thức để đa biểu thức đã cho về dạng đơn giản hơn.
b) Ví dụ: Rút gọn biểu thức: A =
1
2
1
2
1


+


x
xx
x
Giải: Biểu thức A có nghĩa

+


1
0
1
1

0
01
01
01
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x


ĐKXĐ của biểu thức là
0x
và
1x
.
Khi đó ta có: A =
1
2
1
2
1

+


x
xx
x

)1)(1(
2
)1)(1(
)1(2
)1)(1(
)1(
+

+


+
+
=
xxxx
x
xx
xx

)1)(1(
2)1(2)1(
+
+

=
xx
xxx

)1)(1(
222
+
++
=
xx
xxx

)1)(1( +

=
xx
xx

)1)(1(
)1(
+

=
xx
xx

1+
=
x
x

B. Các dạng toán liên quan.
Dạng 1. Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m là hằng số)
Bớc 1. Sử dụng tính chất
cbda
d
c
b
a
==
để làm mất mẩu của phơng trình.
Bớc 2. Giải phơng trình vừa thu đợc để tìm đợc x.
Bớc 3. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ 1: Cho A =
1x
x
(với x

0 và x

1). Tìm các giá trị của x để:
a) A = 2. b) A =
3
2
c) A =
2
1

Giải: Ta có:
THCS HUỉNG VệễNG
3

Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
a) A = 2
222222)1(22
1
=====

xxxxxx
x
x


x = 4 (TMĐK)
Vậy với x = 4 thì A =2.
b) A =
2223)1(23
3
2
1
3
2
====

xxxxx
x
x
(Vô nghiệm)
Vậy không có giá trị nào của x để A =
3
2
.

c) A =
( )
3
1
131212
2
1
1
2
1
=====

xxxxxx
x
x

9
1
= x
(TMĐK)
Vậy với x =
9
1
thì A =
2
1

.
Chú ý: Trong trờng hợp nếu bài toán cha cho giá trị của P thì các em cần dựa giả thiết
của bài toán để tìm P rồi tiến hành giải nh bình thờng.

+)



=
=
=
mP
mP
mmP )0(
+)



=
=
=
kP
kP
kP
22
Ví dụ 2: Cho P =
x2
3
(với x

0 và x

4). Tìm các giá trị của x để:
a)

1=P
. b)
4
1
2
=P
. c)
PP 3
2
=
.
Giải:
a) Ta có:



=
=
=
1
1
1
P
P
P
Trờng hợp 1. Với
11231
2
3
1 ====

= xxx
x
P
(Vô nghiệm)
Trờng hợp 2. Với
25523)2(31
2
3
1 =====

= xxxx
x
P
(TM)
Vậy với x = 25 thì
1=P
.
b) Ta có:






=
=
=
2
1

2
1
4
1
2
P
P
P
Trờng hợp 1. Với
4426
2
1
2
3
2
1
====

= xxx
x
P
(Vô nghiệm)
Trờng hợp 2. Với
64826)2(6
2
1
2
3
2
1

=====

= xxxx
x
P
(TM)
Vậy với x = 64 thì
4
1
2
=P
.
b) Ta có:



=
=
===
3
0
0)3(033
22
P
P
PPPPPP
THCS HUỉNG VệễNG
4
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
Trờng hợp 1. Với

030
2
3
0 ==

=
x
P
(Vô nghiệm)
Trờng hợp 2. Với
133363)2(333
2
3
3 =====

= xxxx
x
P

1= x
(TM)
Vậy với x = 1 thì
PP 3
2
=
.
Dạng 2. Bài toán tìm x để biểu thức P < m hoặc P > m, hoặc P

m, hoặc P

m (với m là
hằng số)
Bớc 1. Chuyển m sang vế trái, để vế phải bằng 0.
Bớc 2. Quy đồng mẩu thức các phân thức rồi làm gọn vế trái.
Bớc 3. Xác định dấu của tử hoặc mẩu của vế trái, từ đó có đợc một bất phơng trình
đơn giản (không chứa mẩu).
Bớc 3. Giải bất phơng trình trên để tìm đợc x.
Bớc 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ: Cho A =
1
1
+

x
x
(với x

0). Tìm các giá trị của x để:
a) A >
3
1
. b) A <
5
2
c) A


2
1
.

Giải: Ta có:
a) A >
0
)1(3
1
)1(3
)1(3
0
3
1
1
1
3
1
1
1
3
1
>
+
+

+

>
+

>
+

x
x
x
x
x
x
x
x

0420
)1(3
42
0
)1(3
)1()1(3
>>
+

>
+
+
x
x
x
x
xx
(vì
0)1(3 >+x
)

4242 >>> xxx
(TMĐK)
Vậy với x > 4 thì A >
3
1
.
b) A <
0
)1(5
)1(2
)1(5
)1(5
0
5
2
1
1
5
2
1
1
5
2
<
+
+

+

<
+

<
+


x
x
x
x
x
x
x
x

0730
)1(5
73
0
)1(5
)1(2)1(5
<<
+

<
+
+
x
x

x
x
xx
(vì
0)1(5 >+x
)

9
49
3
7
73 <<< xxx

Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0

x <
9
49
.
Vậy với 0

x <
9
49
thì A <
5
2
.
c) A
0

)1(2
)1(
)1(2
)1(2
0
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1

+
+

+


+


+


x
x

x
x
x
x
x
x

030
)1(2
3
0
)1(2
)1()1(2

+


+
+
x
x
x
x
xx
(vì
0)1(2 >+x
)

93 xx

Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc 0

x

9.
Vậy với 0

x

9 thì A


2
1
.
Chú ý: +)
0= PPP
.
THCS HUỉNG VệễNG
5
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
+)
0= PPP
.
+)
0<> PPP
.
+)
10 <<> PPP
.

+)
1>< PPP
.
Ví dụ 2. Cho biểu thức: P =
x1
1
(với
0

x
và
1

x
). Tìm tất cả các giá trị của x để:
a)
PP =
. b)
PP =
. c)
PP <
. d)
PP >
Giải:
a) Ta có:
11010
1
1
0 <<>

= xxx
x
PPP
.
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc:
10
<
x
.
Vậy với
10
<
x
thì
PP =
.
b) Ta có:
11010
1
1
0 >><

= xxx
x
PPP
(thoả mãn ĐKXĐ)
Vậy với x > 1 thì
PP =
.
c) Ta có:

0
1
1
1
1
01
1
1
1
1
1
1 >




>

>

><
x
x
xxx
PPP
.
11010
1
0
1

)1(1
<<>>

>


xxx
x
x
x
x
.
Kết hợp với điều kiện xác định ta đợc:
10 < x
.
Vậy với
10 < x
thì
PP <
.
d) Ta có:





<

<






<

>








<







<

<>

0
1
1
1
1
1
01
1
1
01
1
1
1
0
1
1
1
0
10
x
x
x
x
x
x
x
x
P
P
PPP

.



>
<




>
<




<
<






<

<

1
1

1
1
01
1
0
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(không tồn tại x)
Vậy không có giá trị nào của x để
PP >
.
Dạng 3. Bài toán so sánh biểu thức P với m (m là hằng số)
Bớc 1. Tính P m = ?
Bớc 2. Nhận xét dấu của hiệu P m để có kết quả so sánh.
+) Nếu P m > 0 thì P > m.
+) Nếu P m < 0 thì P < m.
+) Nếu P m = 0 thì P = m.
Ví dụ: Cho P =
x
x 1
(với x > 0). Hãy so sánh P với 1.

Giải: Ta có: P 1 =
xx
xx
x
x
x
x
x
x 111
1
1
=

=

=


Vì
x
1
< 0

P 1 < 0

P < 1.
Dạng 4. Bài toán Chứng minh biểu thức P < m (m là hằng số) với mọi giá trị của x thuộc
ĐKXĐ.
Bớc 1. Tính P m = ?
Bớc 2. Nhận xét dấu của hiệu P m để có điều phải chứng minh.

THCS HUỉNG VệễNG
6
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
+) Nếu P m > 0 thì P > m.
+) Nếu P m < 0 thì P < m.
+) Nếu P m = 0 thì P = m.
Ví dụ: Cho P =
x
x 1+
(với x > 0). Chứng minh rằng: P > 1 với mọi giá trị của x > 0.
Giải: Ta có: P 1 =
xx
xx
x
x
x
x
x
x 111
1
1
=
+
=
+
=
+

Vì với x > 0 thì
x

> 0
x
1

> 0

P 1 > 0

P > 1. (đpcm)
Dạng 5. Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên dơng)
Loại I. Bài toán tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Cách giải:
Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
P = m


)(xf
n
( Với m, n

Z, f(x) là biểu thức chứa x)
Bớc 2. Biện luận:
Vì m

Z nên để P nguyên thì
)(xf
n
phải nguyên, mà
)(xf
n

nguyên thì f(x)
phải là ớc của n.
Bớc 3. Giải các phơng trình: f(x) = Ư
(n)
để tìm đợc x.
Bớc 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ 1: Cho P =
1
2

+
x
x
(với x

0 và x

1). Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
Giải: Ta có: P =
1
3
1
1
3
1
1
1
3)1(
1
2

+=

+


=

+
=

+
xxx
x
x
x
x
x

Để P nhận giá trị nguyên thì
1
3
x
phải nhận giá trị nguyên, mà
1
3
x
nguyên thì
1x

phải là ớc của 3.






=
=
=








=
=
=
=

=
=
=
=

)(16
)(0
)(4
)(2
4
0
2
31
31
11
11
TMDKx
TMDKx
TMDKx
VNx
x
x
x
x
x
x
x

Vậy với x = 0, x = 4 và x = 16 thì P nhận giá trị nguyên.
Ví dụ 2: Cho M =

2x
x
(với x

0 và x

4). Tìm các giá trị của x để M nhận giá trị
nguyên dơng.
Giải: Ta có: M =
2
2
1
2
2
2
2
2
2)2(
2
+=

+


=

+
=
xxx
x

x
x
x
x

Để P nhận giá trị nguyên thì
2
2
x
phải nhận giá trị guyên, mà
2
2
x
nguyên thì
2x

phải là ớc của 2.







=
=
=
=

=
=
=
=








=
=
=
=

)(0
)(16
)(1
)(9
0
4
1

3
22
22
12
12
TMDKx
TMDKx
TMDKx
TMDKx
x
x
x
x
x
x
x
x

THCS HUỉNG VệễNG
7
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
Với x = 9 thì M =
3
23
3
29
9
=

=

> 0 (TM)
Với x = 1 thì M =
01
21
1
21
1
<=

=

(loại)
Với x = 16 thì M =
2
24
4
216
16
=

=

> 0 (TM)
Với x = 0 thì M =
0
20
0
20
0

=

=

(loại)
Vậy với x = 9 và x = 16 thì M nhận giá trị nguyên dơng.
Loại II. Bài toán tìm các giá trị của x (x bất kì) để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Cách giải:
Bớc 1. Nhân chéo rồi đặt
)0( = yyx
để đa biểu thức P về dạng một phơng trình bậc 2
có ẩn là
y
và tham số P.
Bớc 2. Tìm P để phơng trình bậc hai ẩn
y
trên có nghiệm không âm.
Bớc 3. Chọn các giá trị P nguyên trong tập hợp các giá trị của P vừa tìm ở bớc 2.
Bớc 4. Thay P vừa tìm đợc vào biểu thức đã cho để tìm đợc x.
Bớc 5. Đối chiếu ĐKXĐ chọn nghiệm hợp lí.
Ví dụ: Cho biểu thức P =
1
6
+x
x
(với x

0)
Giải: Ta có : P =
06.4)1(

1
6
=+=+
+
PxxPxxP
x
x
(1)
Đặt:
yx =
(ĐK:
0y
) khi đó phơng trình (1) trở thành:
06.
2
=+ PyyP
(2)
Trờng hợp 1. Nếu
0=P
thì
000
1
6
===
+
xx
x
x
(thoả mãn điều kiện)
Trờng hợp 2. Nếu

0

P
phơng trình (2) là một phơng trình bậc hai ẩn y có:
Pa
=
;
6
=
b
;
Pc
=
;
3
2
' ==
b
b
và
222
9.)3()'(' PPPacb ===
Phơng trình (1) có nghiệm

phơng trình (2) có hai nghiệm không âm:
30
0
9
)(01
0

6
09
0
0
0'
2
2
<



>

P
P
P
P
P
P
a
c
a
b
.
Để P nhận giá trị nguyên thì
{ }
3;2;1=P
Với
21217016161
1
6
1 ==++==
+
= xxxxx
x
x

P
(TMĐK)
Với
2
57
013132
1
6
2

==++==
+
= xxxxx
x
x
P
(TMĐK)
Với
1012123
1
6
3 ==++==
+
= xxxxx
x
x
P
(TMĐK)
Vậy với x = 0, x = 1, x =
2

57
, x =
21217
thì biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Dạng 6. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
a) Khái niệm:
+) Nếu P(x)

m (m là hằng số) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của P(x).
THCS HUỉNG VệễNG
8
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
+) Nếu P(x)

k (k là hằng số) thì k gọi là giá trị lớn nhất của P(x).
b) Cách giải:
Loại 1. Trờng hợp biểu thức P có dạng là một đa thức
cxbaxP ++=
.
Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
P =
[ ]
mxf +
2
)(
(
)(xf
là biểu thức chứa biến x và m là một hằng số)
Bớc 2. Lập luận để có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Bớc 3. Tìm điều kiện để xảy ra dấu =.

Bớc 4. Kết luận.
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
32 += xx

)0( x
Giải:
Ta có: P
2)1(2)12(32
2
+=++=+= xxxxx
Vì
+ 22)1(0)1(
22
xx
P
2
.
Dấu = xảy ra khi
101 == xx
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 2. Đạt đợc khi
1
=
x
.
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M =
xx + 32

)0( x
Giải:

Ta có: M
4
17
2
3
4
9
2
4
9
2
3
2)23(
2
+






=

+== xxxxx
Vì
+





















4

17
4
17
2
3
0
2
3
0
2
3
222
xxx
P
4
17

.
Dấu = xảy ra khi
4
9
0
2
3
== xx
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng
4
17
. Đạt đợc khi

4
9
=x
.
Loại 2. Trờng hợp biểu thức có dạng
cxbax
k
P
++
=
(
kcba ,,,
là hằng số,
0x
)
Cách giải.
Bớc 1. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của mẩu thức:
cxbaxxf ++=)(
và điều
kiện dấu = xảy ra.
Bớc 2. Căn cứ vào dấu của hằng số k để suy ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của P.
Bớc 3. Kết luận.
L u ý.
+) Nếu
0
>
k
thì P đạt giá trị lớn nhất
)(xf
đạt giá trị nhỏ nhất và ngợc lại.

+) Nếu
0
<
k
thì P đạt giá trị lớn nhất
)(xf
đạt giá trị lớn nhất và ngợc lại.
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
1
+
=
xx
P
(
0

x
)
Giải:
Ta có:
4
3
2
1
4
3
4
1
2

1
21
2
+






=+






+=+ xxxxx

Vì:
4
3
4
3
2
1
0
2
1
22

+













xx
.
3
4
3
4
4
3
1
4
3
2
1
1
1
1

2
=
+







=
+
P
x
xx
. Dấu = xảy ra
4
1
2
1
0
2
1
=== xxx
.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng
3
4
. Đạt đợc khi
4

1
=x
.
THCS HUỉNG VệễNG
9
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
12
1
++
=
xx
M
(
0

x
)
Giải:
Ta có:
2)1(2)12(12
2
+=++=++ xxxxx
Vì
11
2
2
2)1(
2
22)1(0)1(

2
22
=
+
+ M
x
xx
.
Dấu = xảy ra khi
1101 === xxx
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M bằng 1. Đạt đợc khi
1
=
x
.
Loại 3. Trờng hợp biểu thức có dạng
dxc
bxa
P
+
+
=
. (
dcba ,,,
là hằng số
0

x
)

Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
P = m +
)(xf
n
(m, n

Z, f(x) là biểu thức chứa x)
Bớc 2. Biện luận:
Trờng hợp 1. n > 0.
+) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất.
+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất.
(Vì: Để P đạt giá trị lớn nhất thì
)(xf
n
phải đạt giá trị lớn nhất tức là f(x) phải đạt
giá trị nhỏ nhất. Còn để P đạt giá trị nhỏ nhất thì
)(xf
n
phải đạt giá trị nhỏ nhất
tức là f(x) phải đạt giá trị lớn nhất).
Trờng hợp 2. n < 0.
+) P đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất.
+) P đạt giá trị nhỏ nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bớc 3. Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của f(x) để có đợc giá trị lớn nhất
hoặc nhỏ nhất của P.
Bớc 4. Tìm điều kiện để xảy ra dấu =.
Bớc 5. Kết luận.
Ví dụ 1: Cho P =
1
3

+
+
x
x
(với x

0). Tìm giá trị lớn nhất của P.
Giải: Ta có: P =
1
2
1
1
2
1
1
1
2)1(
1
3
+
+=
+
+
+
+
=
+
++
=
+

+
xxx
x
x
x
x
x
Ta thấy: Vì ở đây n = 2 > 0 nên: Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì
1+x
phải đạt giá trị lớn nhất.
Vì:
x


0


11 +x
. Dấu = xảy ra khi x = 0.

Giá trị nhỏ nhất của
1+x
là 1

Giá trị lớn nhất của P là:
3
10
30
=
+

+
.
Vậy: Giá trị lớn nhất của P là 3, đạt đợc khi x = 0.
Ví dụ 2: Cho M =
2
1
+

x
x
(với x

0). Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Giải: Ta có: M =
2
3
1
2
3
2
2
2
3)2(
2
1
+

+=
+

+
+
+
=
+
+
=
+

xxx
x
x
x
x
x

Ta thấy: Vì ở đây n = - 2 < 0 nên: Để M đạt giá trị nhỏ nhất thì
2+x
phải đạt giá trị
nhỏ nhất.
Vì:
x


0


22 +x
. Dấu = xảy ra khi x = 0.
THCS HUỉNG VệễNG

10
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH

Giá trị nhỏ nhất của
2+x
là 2.


Giá trị lớn nhất của M là:
2
1
20
10
=
+

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của M là
2
1

, đạt đợc khi x = 0.
Loại 4. Trờng hợp phân thức có dạng
nxm
cxbxa
P
+
++
=
.
. (

nmcba ,,,,
là hằng số,
0

x
)
Bớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:
P =
m
xf
k
xf +






+
)(
)(
(
)(xf
là biểu thức chứa biến x và
0)(; >xfk
)
Bớc 2. áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng
)(xf
và
)(xf

k
rồi từ đó tìm đợc
giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Bớc 3. Tìm điều kiện để xảy ra dấu =.
Bớc 4. Kết luận.
Ví dụ 1: Cho A =
1
3
+
+
x
x
(với x

0). Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Giải: Ta có: A =
1
4
1
1
4
1
)1)(1(
1
4)1(
1
3
+
+=
+

+
+
+
=
+
+
=
+
+
x
x
xx
xx
x
x
x
x


)2(
1
4
)1( +
+
++=
x
x
áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng
)1( +x
và

1
4
+x
ta đợc:

442
)1(
4
).1(2
1
4
)1( ==
+
+
+
++
x
x
x
x


2)2(4)2(
1
4
)1( =++
+
++
x
x

A
2
.
Dấu = xảy ra khi
11214)1(
1
4
)1(
2
===+=+
+
=+ xxxx
x
x
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 2, đạt đợc khi x = 1.
Ví dụ 2: Cho B =
2
12
+
+
x
x
(với x

0). Tìm giá trị nhỏ nhất của B.
Giải: Ta có: A =
2
16

2
2
16
2
)2)(2(
2
16)4(
2
12
+
+=
+
+
+
+
=
+
+
=
+
+
x
x
xx
xx
x
x
x
x

)4(
2
16
)2( +
+
++=
x
x
áp dụng bất đẳng thức Cô - sy cho hai số dơng
)2( +x
và
2
16
+x
ta đợc:

8162
)2(
16
).2(2
2
16
)2( ==
+
+
+
++
x
x

x
x


4)4(8)4(
2
9
)2( =++
+
++
x
x


A
4
.
THCS HUỉNG VệễNG
11
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
Dấu = xảy ra khi
424216)2(
2
16
)2(
2
===+=+
+
=+ xxxx
x

x
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của A là 4, đạt đợc khi x = 4.
Loại 5. Trờng hợp biểu thức có dạng
cxbax
nxm
P
++
+
=
. (
nmcba ,,,,
là hằng số,
0x
)
Cách giải:
Bớc 1. Nhân chéo rồi đặt
)0( = yyx
để đa biểu thức P về dạng một phơng trình bậc 2
có ẩn là
y
(
xy =
) và tham số P.
Bớc 2. Tìm P để phơng trình bậc hai ẩn
y
trên có nghiệm không âm.
Bớc 3. Tìm điều kiện của x để có dấu = xảy ra.
Bớc 4. Dựa vào điều kiện của P để suy ra giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của P, rồi kết
luận.
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

12
12
++

=
xx
x
P
(
0x
)
Ta có:
012.212)12(
12
12
=+++=++
++

= xPxPPxxxxP
xx
x
P


01)1(2. =+++ PxPxP
(1)
Đặt
yx =
(
0y

) khi đó phơng trình (1) trở thành:
01).1(2.
2
=+++ PyPyP
(2)
Ta có:
Pa =
;
)1(2 = Pb
;
1+= Pc
;
1' = Pb
Và
.3112)1()1()'('
2222
PPPPPPPPacb =+=+==
TH 1. Nếu
0=P
thì
4
1
2
1
12012 ==== xxxx
.
TH 2. Nếu
0P
thì
4

1
012 xx
. Khi đó phơng trình (2) là môt phơng trình bậc hai.
Phơng trình (1) có nghiệm

Phơng trình (2) có hai nghiệm không âm.
3
1
0
0
1
10
3
1
0
1
0
1
13
0
1
0
)1(2
031
0
0
0'
<

>

<












+

+

















P
P

P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
a
c
a
b
.
0)2(04401
3
1
1
3
1
2
3
1
3
1
222

==+=++






+= yyyyyP
(thay
3
1
=P
vào pt (2))
422020)2(
2
===== xxyyy
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng
3
1
. Đạt đợc khi
4
=
x
.
Dạng 7. Phơng trình dạng ax + b
x
+ c = 0 (1) (a, b, c là các số cho trớc và a

0)
a) Cách giải:

Bớc 1. Đặt
x
= y (*) (ĐK: y

0)
Để đa phơng trình (1) về dạng phơng trình bậc hai có ẩn là y.
a.y
2
+ b.y + c = 0 (2)
Bớc 2. Giải phơng trình (2) để tìm đợc y.
Bớc 3. Thay y vừa tìm đợc vào hệ thức (*) để tìm đợc x.
b) Chú ý:
+) Để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm phân
biệt không âm.
THCS HUỉNG VệễNG
12
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
Tức là: Phơng trình (2) phải có:










>

>
0
0
0
a
c
a
b
+) Để phơng trình (1) có 1 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái
dấu, hoặc phơng trình (2) phải có nghiệm kép không âm, hoặc phơng trình (2) phải có
một nghiệm âm và một nghiệm bằng không.
Tức là: Phơng trình (2) phải có (3 trờng hợp):
Trờng hợp 1. Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu


0<
a
c
.
Trờng hợp 2. Phơng trình (2) có nghiệm kép không âm







=

0

2
0
a
b
Trờng hợp 3. Phơng trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng 0









=
<

>

0
0
0
a
c
a
b
Ví dụ: Cho phơng trình: x 2(m 1)
x
+ 1 2m = 0 (1) (với m là tham số)
a) Giải phơng trình khi m =

2
1
.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có:
1) Hai nghiệm. 2) Một nghiệm.
Giải:
Đặt
x
= y (*) (ĐK: y

0)
Khi đó phơng trình (1) trở thành: y
2
2(m 1)y + 1 2m = 0 (2)
a) Khi m =
2
1
thì phơng trình (2) trở thành: y
2
+ y = 0

y(y + 1) = 0






=
=

=+
=
)(1
)(0
01
0
loaiy
TMy
y
y
Với y = 0 thì
x
= 0

x = 0
Vậy khi m =
2
1
thì phơng trình có nghiệm là x = 0.
b) Ta có: a = 1, b = 2.(m 1), c = 1 2m, b = (m 1) = 1 m.

( ) ( )
22
22
2121)21(1'' mmmmmmacb =++===

1) Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có:









>








>
>

>

>
2
1
1
0
021
0)1(2
0
0
0
0
2
m
m
m
m
m
m
a
c
a
b
(Không tồn tại m)
Vậy không có giá trị nào của m để phơng trình (1) có hai nghiệm.
THCS HUỉNG VệễNG
13

Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
2) Để phơng trình (1) có một nghiệm thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu hoặc
phơng trình (2) phải có nghiệm kép không âm, hoặc phơng trình (2) phải có một nghiệm âm
và một nghiệm bằng 0.
Trờng hợp 1. Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu:
0<
a
c

1 2m < 0

m >
2
1
Trờng hợp 2. Phơng trình (2) có nghiệm kép không âm




=








=

01
0
0
2
0'
2
m
m
a
b





=

1
0
m
m

(Không tồn tại m)
Trờng hợp 3. Phơng trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không:

<







=
<
>

=
<

>

0
2
1
2
1
1
0
021
0)1(2
0
0
0
0
2
m
m
m
m
m
m
m
m
a

c
a
b

Kết hợp cả 3 trờng hợp trên ta đợc m

0.
Vậy với m

0 thì phơng trình (1) sẽ có một nghiệm.
C. Bài tập.
Bài 1. Cho biểu thức A =
1 1
: 1
1
x x
x
x x x

+

+ +
ữ
ữ
ữ




a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A. b) Tìm các giá trị của x để A > 0.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = A.
x
khi x > 1.
Bài 2. Cho biểu thức B =
( )
2
1
1
.
1
2 1 3 1
x
x x
x
x x x
+



ữ
ữ

+ +

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn B. b) Tìm các giá trị của x để biểu thức B nhận
giá trị âm.
c) Tìm các giá trị của x thoả mãn điều kiện B =
2
x
.

Bài 3. Cho biểu thức C =
1 1
:
1 2 1
a
a a a a a

+
ữ
+ + + +

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn C. b) Tính giá trị của biểu thức C khi a =
1
25
c) Tìm các giá trị của a thoả mãn điều kiện
C
> 2.
Bài 4. Cho biểu thức D =
1 1 1 1
:
6
3 6 2 2x x x x

+ +
ữ ữ


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn D. b) Tìm các giá trị nguyên của x để D nhận giá trị
nguyên.
c) Tìm các giá trị của x để

D D=
.
Bài 5. Cho biểu thức E =
( )
1
1
.
1
1
x x x
x x
x
x x x x
+

+
+
ữ
ữ

+

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn E. b) Tìm các giá trị nguyên của x để E nhận giá trị
nguyên.
c) Tìm các giá trị của x để
E E=
.
Bài 6. Cho biểu thức F =
1 1 4
.

6
2
x
x
x x



ữ


THCS HUỉNG VệễNG
14
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn F. b) Tìm các giá trị của x để
F
= 1. c) Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức M =
F.3
1
.
Bài 7. Cho biểu thức P =
1 1 2
:
1 1 2 1x x x x


ữ
+ +

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để
P P>
. c) Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
Bài 8. Cho biểu thức Q =
1 1
2 .
1
x x
x x x x
+

+
ữ ữ


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q. b) Tìm các giá trị của x để Q =
2 1x
x

.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức N =
Q
x
x 3
.
1+
nhận giá trị nguyên dơng.
Bài 9. Cho biểu thức S =
1 1 1

:
x x x x
x
x x x x x

+

+
ữ
ữ
ữ
+


a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn S. b) Tìm các giá trị của x để S
2
=
4
5
S. c)
So sánh S với 1.
Bài 10. Cho biểu thức: H =
( )
2
1
2 2
.
1 2
2 1
x

x x
x
x x


+

ữ
ữ

+ +


a) Tìm tập xác định và rút gọn H. b) Tính giá trị của H khi x = 4 + 2
3
.
c) So sánh H với 3
x
+ 1.
Bài 11. (2 điểm) Cho biểu thức P =
( )
2
1 1 1
:
1
1
x
x x x
x
+

+
ữ



Tìm điều kiện xác định và rút gọn P. b) Tìm x để P > 0.
Bài 12. (3 điểm). Cho biểu thức A =
1 1
:
1 1
x
x x x x


ữ
ữ


a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị của x để A < 0.
c)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A
x
= m
x
có nghiệm.
Bài 13. (3 điểm). Cho biểu thức P =
3 1 1
:
1
1 1

x
x x

+
ữ

+

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trị của x để P =
5
4
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
P
x
x 1
.
1
12
+
+
Bài 14. (2 điểm) Cho biểu thức A =
1
1
1
1
+

+
x
x
x
xx
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A. b)Tính giá trị của biểu thức A khi x =
9
4
.
c)Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
Bài 15. Cho biểu thức : A =

















+
+

xxx
1
1.
1
1
1
1

THCS HUỉNG VệễNG
15
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 2
2
.
c) Tìm các giá trị của x để x.A =
3
8
.
Bài 16. Cho biểu thức : B =








+

+



+
xx
x
x
x 1
1.
1
1
1
1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn B. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 + 2
3
.
c) Tìm các giá trị của x để B = 1.
Bài 17. (2 điểm ) Cho biểu thức : C =
a
a
a
a

a
a


+
+



+
4
44
2
1
2
3
(Với a > 0 và a

4)
a) Rút gọn C . b) Tính giá trị của C với a = 9
Bài 18. Cho biểu thức : D =
x
x
x
x
xx
x 1
.
1
2

12
2 +











++
+
,
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn D. b) Tìm số nguyên x lớn nhất để D có giá trị nguyên.
Bài 19. (2,5 điểm ) Cho biểu thức : N =
xxxxx
+








+

+
+
1
1
1
1
1
1
:
1
1
1
1
a) Rút gọn biểu thức N . b) Tính giá trị của N khi x = 7 + 4
3
c) Với giá trị nào của x thì N đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 20. (2,5 điểm) Cho biểu thức: H =
2
2
:
11

+








+
+



a
a
aa
aa
aa
aa
a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức H.
b) Với những giá trị nguyên nào của a thì biểu thức H nhận giá trị nguyên .
Bài 21. ( 3 điểm ) Cho biểu thức: Q =
1
2
:
1
1
1

2
++
+











+
xx
x
xxx
xx
Rút gọn biểu thức Q . b) Tính giá trị của
Q
khi x = 4 + 2
3
Bài 22. Cho biểu thức: D =

+









+

+

1
2
1
1
1
:
1
1
1
1
2
x
xx
x

x
x
x
x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn D. b) Chứng minh rằng D < 1 với mọi giá trị của x 1.
Bài 23. Cho biểu thức: C =
144
1
:
21
1
14
5
21
2
1
22
++











+

xx
x
x
x
x
x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn C. b) Tìm các giá trị của x để C =
2
1

.
Bài 24. Cho biểu thức : F =
1
1
2
1
1
:
1
1








+

+
+
xxxx
x
x
x
x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn F.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức F
x
nhận giá trị nguyên.
Bài 25. Cho biểu thức: P =

+
+
+
1
1.
1
1
a
aa
a
aa

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P. b) Tìm a biết P >
2
. c) Tìm a biết P =
a
Bài 26. Cho biểu thức: M =

+












+
+
1
1
4
:
1
2
x
x
x

x
x
x
x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn M. b) Tìm x để M < 1.
c) Tìm x để biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
THCS HUỉNG VệễNG
16
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
Bài 27. (2 điểm) Cho biểu thức: M =
( )
xx
x
x
x
++




1
1
1
1
3
(với x

0 và x

1)
a) Rút gọn biểu thức M. b) Tìm x để M 2.
Bài 28. Cho biểu thức: P =










+












2
2
:
2

3
2
4
x
x
x
x
xxx
x
a) Rút gọn P. b) Tìm x để P = 3x 3
x
.
c) Tìm các giá trị của a để có x thoả mãn điều kiện: P.
( )
axx +>+1
Bài 29. Cho biểu thức: A =









+


+

1
2
2
1
:
1
1
1
x
x
x
x
xx
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P. b) So sánh A với 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên dơng.
d) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình A.x = m có một nghiệm.
Bài 30. Cho biểu thức: M =

+

+

x
x
x
x
x
x 1
.
1
1
1
1
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M.
b) Chứng minh rằng M > 4 với mọi giá trị của x thuộc tập xác định.

c) Tìm các giá trị của x để: M.
x
< 2.
d) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình M = 2m có hai nghiệm.
Bài 31. Cho biểu thức: P =
xxx
x
xx
x

+
++
+
+

+
1
1
1
1
1
2
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P.
b) Chứng minh rằng P <
3
1
với mọi giá trị của x thuộc tập xác định.
c) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình m.P = 1 có 1 nghiệm.
Bài 32. (3 điểm) Cho biểu thức: E =
1

2
1
.
1
1
1
1
2
2
2










+
+

x
x
xx
Tìm điều kiện của x để biểu thức E có nghĩa . c) Rút gọn biểu thức E.
c) Giải phơng trình A = 2
x
theo ẩn x.

Bài 33. Cho biểu thức: F =









+












+



+
xx
x

x
x
x
x
x
x
x
3
24
3
5
:
9
4
3
3
3
3
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn F. b) Tìm giá trị của x để:
FF >
c) Tìm các giá trị của x để F
2
= 40F.
Bài 34. Cho biểu thức: P =

+










+
2
42
:
2
34
2 x
x
x
x
xx
x
x
x

a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P > 0. c) Tính giá trị nhỏ nhất của
P
.
d) Tìm giá trị của m để có giá trị x > 1 thoả mãn: m(
x
3).P = 12m
x
4
Bài 35. (3 điểm) Cho biểu thức: M =
xxxxxx
x
++
+
2
1
:
1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức M.
b) Coi M là hàm số của biến x vẽ đồ thi hàm số M.
Bài 36. (2 điểm) Cho biểu thức : A =
aaa
a
aa
a
+
+
++
+
+
+

+
1
1
11
11
11
11
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A .
THCS HUỉNG VệễNG
17
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
b) Chứng minh rằng biểu thức A luôn nhận giá trị dơng với mọi a thuộc ĐKXĐ.
Bài 37. Cho biểu thức: B =










+



+

+
+

4
4
2
2
2
2
:
2
3
2
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn B. b) Cho
11
4
3
2
=

x
x
. Hãy tính giá trị của B.
Bài 38. Cho biu thc: E =
( )( )









+
+

+

+
++
1
1
1
1
:
1
12
23
aa
a
aa
aa
aa

a) Rỳt gn E. b) Tỡm a :
1
8
11

+

a
E
.
Bài 39. Cho biểu thức: Q =

+



+
1
1
1
3

:
1
8
1
1
1
1
x
x
xx
x
x
x
x
x
x

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn Q. b) Tính giá trị của biểu thức Q khi x = 3 + 2
2
.
c) Chứng minh rằng: Q

1 với mọi giá trị của x thoả mãn điều kiện x

0 và x

1.
Bài 40. (2 điểm) Cho biểu thức: N =
ab
ba

aab
b
bab
a +


+
+
(với a, b > 0 và a

b).
a) Rút gọn biểu thức N. b) Tính giá trị của N khi:
526 +=a
và
526 =b
.
Bài 41. : Cho biểu thức H =








+
+

+












5
2
2
5
103
25
:1
25
25
a
a
a
a
aa
a
a

aa
a) Rút gọn M. b) Tìm tất cả các giá trị của a để M < 1.
c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Bài 42. Cho biểu thức P =
( )
( )
( )
1
2
1
123
13
1
2
2
2

+



+

aaa
a
aa
a
a) Rút gọn P. b) So sánh P với biểu thức Q =
1
12

a
a
.
Bài 43. Cho biểu thức A =










+



+

1
8
1
1
1
1
:
1
1
1
3
a
a
a
a
a
a
a
a
aa

a) Rút gọn A. b) So sánh A với 1.
Bài 44. : Cho biểu thức A =
12
.
1
2

1
12
1











+


+
+
x
xx
xx
xxxx
x
xx
a) Rút gọn A. b) Tìm x để A =
5
66
c) Chứng tỏ A
3

2

là bất đẳng thức sai.
Bài 45. Cho biểu thức P =









+
+
++
+










+
1
2

1
1
:
22
3
22 xx
x
xx
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng P > 1. c) Tính giá trị của P, biết
32 =+ xx
.
d) Tìm các giá trị của x để:
)22( +x
.P
( )( )
42225 +=+ xx
.
Bài 46. : Cho biểu thức P =
( )

+
+








+


+

x
x
xx
x

x
xx
x
xx
1
1
.
1
1
:
1
1
2
a) Rút gọn P. b) Xác định giá trị của x để (x + 1).P = x 1.
c) Biết Q =
x
x
P
31 +

. Tìm x để Q đạt giá trị lớn nhất.
THCS HUỉNG VệễNG
18
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
Bài 47. Cho biểu thức P =

+
+
+








+
+
+
xyy
xy
xyx
xy
yx
yxyxxy
22
:
22
1

a) Rút gọn P.
b) Tìm m để phơng trình P = m 1 có nghiệm x, y thoả mãn

6=+ yx
.
Bài 48. Cho biểu thức P =
1212
1
.
1
1
2

+
+










+


+
x
x
xx
x

x
xx
xx
xxxx
a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = P.
xx
x
+
35
c) Tìm các giá trị của m để mọi x > 2 thoả mãn điều kiện: P.
( )
xxmxx +>++ )1.(31
.
Bài 49. Cho biểu thức: P =

+


+
1
2
1
1
:
1
22
1
1
x
xxxxx
x
x
a) Rút gọn P. b) Tìm x để P < 1.
c) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 50. Cho biểu thức: P =

+










+


+

+
+
1
2:
3
2
2
3
65
2
x
x
x

x
x
x
xx
x
a) Rút gọn P. b) Tìm x để:
2
51

P
.
Bài 51. Cho biểu thức: P =
( )
1
2
2
3
2
33



+
+
+
+
+
x
x
x

x
xx
xx
a) Rút gọn P. b) Tìm x để P <
4
15
.
Bài 52. Cho biểu thức: P =
( )











+
+
+

+
+
1
1
12
2

1
2
33
xx
x
x
x
xx
xx
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.
b) Tìm các giá trị x nguyên để P nguyên ; c) Tìm các giá trị của x để P =
x
.
Bài 53. Cho biểu thức P =
x
x
x
x
xx
x

+


+

+

3
12

2
3
65
92
a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P < 1. c) Tìm x

Z để P

Z.
Bài 54. 1) Cho biểu thức: M =








+









+
+

1
1
1
:1
1
1
2
a
a
a

a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gn biu thc M. c) Tớnh giỏ tr ca M ti a =
32
3
+
.
2) Tớnh :
5724057240 +

Bài 55. Cho biểu thức: N =

+
+
+
1
1
1
1
a
aa
a
aa

a) Rút gọn biểu thức N. b) Tìm giá trị của a để N = - 2010.
D. đáp số.
Bài 1. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
1
. Kết quả rút gọn: A =
1x
x
b) A > 0
11010

1
>>>>

xxx
x
x
THCS HUỉNG VệễNG
19
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
c) M = A.
1
1)1(
1
+
=

=
x
x
x
x
x

1
1
1
1
1
1
1

++=

+


=
x
x
xx
x
2
1
1
)1( +

+=
x
x
Vì khi x > 1 thì
01 >x
nên áp dụng BĐT Cô-sy Cho 2 số dơng
)1( x
và
1
1
x
ta đợc:

)1( x

+
2
)1(
1
).1(2
1
1
=


x
x
x
4222
1
1
)1( =++

+
x
x

M

4
Dấu = xảy ra khi
)1( x
=
1
1

x




=
=





=
=
=
)(0
)(4
11
11
1)1(
2
Loaix
TMx
x
x
x
Vậy GTNN của biểu thức M là 4, đạt đợc khi x = 4.
Bài 2.a) ĐKXĐ: x

0 ; x

9
1

và x
1
. Kết quả rút gọn: B =
1
1
x
b) B nhận giá trị âm
0< B

11010
1
1
<<<<

xxx
x
Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc
10 < x
và x
9
1

c) B =
2)1(
2
1
1

2
==

xx
x
x
x
0)2)(1(02 =+= xxxx
4202 === xxx
(TMĐK)
Bài 3. a) ĐKXĐ: a > 0 . Kết quả rút gọn: C =
2
1








+
a
a
b) Khi a =
25
1
thì C = 36
c)
2

1
2
1
2
2
>
+
>








+
>
a
a
a
a
C
0
1
02
1
2
1
>

>
+
>
+

a
a
a
a
a
a
1101 <<> aaa
. Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc:
10 << a
.
Bài 4. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
4
. Kết quả rút gọn: D =
2
2
x
b) Ta có D nguyên khi
2
2
x
2 x
phải là ớc của 2
16;9;1 === xxx
.

c)
020
2
2
0 >

= x
x
DDD
4> x
(TMĐKXĐ)
Bài 5. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
1
. Kết quả rút gọn: E =
1x
x
b) Ta có E =
1
1
1
1
1)1(

+=

+
xx
x
. E nguyên khi
1

1
x
nguyên
1 x
phải là ớc của 1
4
=
x
.
c)
0
1
0

=
x
x
EEE
101 << xx
.Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc
10
<<
x
Bài 6. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
4
. Kết quả rút gọn: F =
x
x
3
2+

b)



=
=
=
1
1
1
F
F
F
Vì F =
0
3
2
>
+
x
x
THCS HUỉNG VệễNG
20
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH

F = 1
023231
3
2
=+==

+
xxxx
x
x
010)
3
2
)(1( ==+ xxx
1= x
(TMĐKXĐ)
c) M =
2
3
2
.3
1
.3
1
+
=
+
=
x
x
x
x
F
2
4
2

2
4)4(
+
+=
+
+
=
x
x
x
x
)4(
2
4
)2( +
+
++=
x
x
áp dụng BĐT Cô - Sy cho 2 số dơng
)2( +x
và
2
4
+x
ta đợc:
4
2
4
)2(

+
++
x
x
0)4(4)4(
2
4
)2( =++
+
++
x
x
Dấu = xảy ra khi
)2( +x
=
2
4
+x
0224)2(
2
==+=+ xxx
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 0 đạt đợc khi x = 0.
Bài 7. a) ĐKXĐ: x
0

và x

1.Kết quả rút gọn: P
1
1

+

x
x
b)
010
1
1
0 <<
+

<> x
x
x
PPP
1
<
x
. Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc:
10
<
x
.
c) P
1
)2(
1
1
)2()1(
+

+=
+
++
=
xx
x
. Do (-2) < 0 nên P đạt giá trị nhỏ nhất
1+x
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Vì
110 + xx
.Dấu = xảy ra khi x = 0

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1+x
là 1,
đạt đợc khi x = 0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là (-1), đạt đợc khi x = 0.
Bài 8. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
1
. Kết quả rút gọn: Q =
x
x 1
b) Ta có Q =
0)2(02121
12112
===

=



xxxxxx
x
x
x
x
x
x
.




=
=





=
=

)(4
)(0
2
0

TMDKx
loaix
x
x

c) N =
1
3
1
3
.
13
.
1

=

+
=
+
x
x
x
x
x
Q
x
x
. N nguyên khi
1

3
x
nguyên
1 x
phải là ớc của
3
16;4 == xx
(TMĐK). Với x = 4 thì N = 3 (thoả mãn), Với x = 16 thì N = 1 (thoả mãn)
16;4 == xx
Bài 9. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
1
. Kết quả rút gọn: S =
1
2
+x
x
b) Ta có:




=
=
===
5
4
0
0)
5
4

(0
5
4
5
4
22
S
S
SSSSSS

TH
1
. S = 0
00020
1
2
====
+
xxx
x
x
(loại)
THCS HUỉNG VệễNG
21
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
TH
2
. S =
5
4

=
+
=








=
+
=
=++==
+

)(
2
1721
)(
2

17521
4
175
4
175
0152)1(25
5
4
1
2
TMx
TMx
x
x
xxxx
x
x

c) S 1 =
10
1
)1(
1
)12(
1
)1(2
1
1
1
2

1
1
2
2
<<
+

=
+
+
=
+
+
=
+
+

+
=
+
S
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x

x
x
x
Bài 10. a) ĐKXĐ: x

0 và x
1
. Kết quả rút gọn: S =
xx
b) Thay
2
)13(324 +=+=x
vào biểu thức H ta đợc H =
)13(3)324()13(
2
+=++
c) H
)13( +x
=
130)1()12(13
2
+<<+=++= xHxxxxxx
Bài 11. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
1
. Kết quả rút gọn: P =
x
x1
b) Ta có:
11010
1

0 <<>>

> xxx
x
x
P
. Kết hợp ĐKXĐ ta đợc 0 < x < 1.
Bài 12. a) ĐKXĐ: x > 0 và x
1
. Kết quả rút gọn: A =
x
x 1
b)
1010
1
0 <<<

< xx
x
x
A
. Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc 0 < x < 1.
c)
0)1(1. =++== mxxxmxxmxA
(1)
Đặt
yx =
(ĐK: y > 0 và y
1
). Khi đó phơng trình (1) trở thành:

0)1(
2
=++ myy
(2)
Để phơng trình (1) có nghiệm thì phơng trình (2) phải có nghiệm dơng khác 1.
TH
1
.Phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt đều dơng khác1








>+
>
>+

>
>

>

01
0)1(
01
02
0)1(
0
0
0
m
m
m
f
a
c
a
b
(VN)
TH
2
. Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu khác 1
1
01
0)1(
0)1(
0

>




<







<
m
m
m
f
a
c

TH
3
. Phơng trình (2) nghiệm kép dơng khác 1

>
>+









>

=

01
0
2
1
02
0)1(
0
2
0
m
m
f
a

b
(VN)
TH
4
. Phơng trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dơng khác 1








=+
>
>+











=
>

>

01
0)1(
01
02
0)1(
0
0
0
m
m
m
f
a
c
a
b
(VN)
Kết hợp, 4 Trờng hợp trên ta có m > 1.
THCS HUỉNG VệễNG
22
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
Bài 13. a) ĐKXĐ: x
0

và x

1. Kết quả rút gọn: P =
1

2
+
+
x
x
b)
93)1(5)2(4
4
5
1
2
4
5
==+=+=
+
+
= xxxx
x
x
P
(TMĐKXĐ)
c) M
4
2
16
)2(
2
16
2
2

16)4(
2
12
2
1
.
1
121
.
1
12

+
++=
+
+=
+
+
=
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
=

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P
x
x
.
áp dụng BĐT Cô-sy Cho 2 số dơng
)2( +x
và
2
16
+x
ta đợc:

)2( +x
+
8
)2(
16
).2(2

2
1
=
+
+
+ x
x
x

M

4
Dấu = xảy ra khi
)2( +x
=
2
16
+x
4
)(42
42
16)2(
2
=




=+
=+

=+ x
loaix
x
x
Vậy GTNN của biểu thức M là 4, đạt đợc khi x = 4.
Bài 14. a) ĐKXĐ: x
0
và x

1. Kết quả rút gọn: A =
1x
x
b) Thay x =
4
9
vào biểu thức A ta đợc A =
3
2
1
2
3
1
2
3
2
3
1
4
9
4

9
==

=


c) A < 1
10
1
1
01
1
1
1
<<

<

<

x
xx
x
x
x
. Kết hợp với ĐKXĐ ta đợc
10
<
x
Bài 15. a) ĐKXĐ: x > 0 và x

1. Kết quả rút gọn: A =
1
2
+x
b) Thay x =
2
)12(223 =
vào biểu thức A ta đợc A =
)12(2
12
2
12
2
)12(
2
2
+=

=

=


c)
4
)(
3
2
2

0443)1(43
3
8
1
2
3
8
. =





=
=
=+==
+
= x
loaix
x
xxxx
x
x
Ax
(TMĐK)
Bài 16. a) ĐKXĐ: x > 0 và x

1. Kết quả rút gọn: B =
1
4

x
b) Thay x =
2
)13(324 +=+
vào biểu thức B ta đợc B =
)13(2
13
4
13
4
)13(
4
2
=
+
=
+
=
+

c)
255141
1
4
1 ====

= xxx
x
B
(TMĐK)

Bài 17. a) ĐKXĐ: a

0 và a

4. C =
4
44
2
1
2
3
4
44
2
1
2
3



+



+
=


+
+

+
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

)2)(2(
44
)2)(2(
)2)(1(
)2)(2(
)2)(3(
+


+


+

++
=
aa
a
aa
aa
aa
aa
THCS HUỉNG VệễNG
23
Tổng hợp các dạng toán ôn thi vào lớp 10 PTTH

2
4
)2)(2(
44
)2)(2(
23
)2)(2(
65

=
+


+
+

+
++

=
aaa
a
aa
aa
aa
aa
b) Thay a = 9 vào C ta đợc C =
4
1
4
29
4
==


Bài 18. a) ĐKXĐ: x > 0 và x

1. Kết quả rút gọn: D =
1
2
x
b) Ta có D nguyên

1
2
x
nguyên

x 1 là ớc của 2

3
2
3
)(0
)(1
)(2
)(3
11
21
11
21
=



=
=








=
=
=
=

=
=
=
=
x
x
x
loaix
loaix
TMx
TMx
x
x
x
x
Cách 2. D =
1
2
x
2.2)1( +== DxDxD
(*)
TH
1.

Nếu D = 0 thì phơng trình (*) vô nghiệm.
TH
2.
Nếu D

0 thì phơng trình (*)
DD
D
x
2
1
2
+=
+
=
. Để x là số nguyên lớn nhất thì D =1
3
=
x
Bài 19. a) ĐKXĐ: x > 0 và x

1. Kết quả rút gọn: N =
xx
1
b) Thay x =
2
)32(347 +=+
vào N ta đợc N =
32
32

1
32
1
)32(
1
2
=
+
=
+
=
+

c) N =
4
1
)
2
1
(
1
4
1
)
4
1
(
11
2
+

=
++
=

xxx
xx
Vì:
4
1
4
1
)
2
1
(
2
+ x

44
4
1
1
4
1
)
2
1
(
1
2

=
+
N
x
. Dấu = xãy ra khi
4
1
0
2
1
== xx
Vậy giá trị nhỏ nhất của N là 4 đạt đợc khi x =
4
1
.
Bài 20. (2,5 điểm)
a) ĐKXĐ
0>a
;
1a
và
2a
.
H =
2
2
.
)1(
)1)(1(
)1(

)1)(1(
2
2
:
11
+







+
++


++
=

+








+

+



a
a
aa
aaa
aa
aaa
a
a
aa
aa
aa
aa
2
42
2
2
.
2
2
2
.
)1()1(
+

=
+

=
+
+






+

++
=
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
aa
b) H
2
8
2

2
8
2
)2(2
2
8)42(
2
42
+
=
+

+
+
=
+
+
=
+

=
aaa
a
a
a
a
a
.Để H nguyên thì a + 2 phải là ớc của 8.
THCS HUỉNG VệễNG
24

Tỉng hỵp c¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 PTTH
6
)(10
)(6
)(6
)(2
)(4
)(0
)(3
)(1
82
82
42
42
22
22
12
12
=⇔















−=
=
−=
=
−=
=
−=
−=
⇔













−=+
=+
−=+
=+
−=+

=+
−=+
=+
⇔ a
loaia
TMa
loaia
loaia
loaia
loaia
loaia
loaia
a
a
a
a
a
a
a
a
Chuyên đề II. Hàm số – Hàm số bậc nhất
Gi¸o viªn biªn so¹n: Ngun B¸ Phóc
Hµm sè lµ ch¬ng häc t¬ng ®èi khã vµ chøa ®ùng nhiỊu kh¸i niƯm míi, ®ång thêi hµm chøa
nhiỊu d¹ng bµi tËp hay. Trong c¸c k× thi vµo líp 10 THPT kiÕn thøc vỊ hµm sè lu«n ®ãng mét
vai trß quan träng vỊ ®iĨm sè (Tõ 1 ®Õn 2 ®iĨm). Song Häc Sinh l¹i hay mÊt ®iĨm vỊ phÇn
nµy v× dĨ lÈn lén giưa c¸c kh¸i niƯm. ChÝnh v× thÕ, mµ bµi viÕt nµy víi mong mn gióp c¸c
em Häc Sinh phÇn nµo kh¾c phơc ®ỵc mét sè sai sãt kh«ng ®¸ng cã, tõ ®ã cã kÕt qu¶ tèt h¬n
trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ thi cư cđa m×nh.
A. lÝ thut.
1. Kh¸i niƯm hµm sè.

NÕu ®¹i lỵng y phơ thc vµo ®¹i lỵng x sao cho cø mỉi gi¸ trÞ cđa x chØ cho ®óng mét gi¸
trÞ y duy nhÊt th× y ®ỵc gäi lµ hµm sè cđa x.
KÝ hiƯu: y = f(x)
2. TÝnh chÊt chung cđa hµm sè.
Víi x
1
vµ x
2
bÊt k× thc R:
- NÕu x
1
< x
2
mµ f(x
1
) < f(x
2
) th× hµm sè y = f(x) ®ång biÕn trªn R.
- NÕu x
1
< x
2
mµ f(x
1
) > f(x
2
) th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn trªn R.
3. Hµm sè bËc nhÊt.
a) Kh¸i niƯm hµm sè bËc nhÊt.
Hµm sè bËc nhÊt lµ hµm sè cã d¹ng y = a.x + b trong ®ã a, b lµ c¸c sè cho tríc vµ a

≠
0.
b) TÝnh chÊt: (tÝnh ®ång biÕn, nghÞch biÕn cđa hµm sè)
Hµm sè bËc nhÊt y = a.x + b (a
≠
0)
+) §ång biÕn
⇔
a > 0
+) NghÞch biÕn
⇔
a < 0.
VÝ dơ: Hµm sè y = 2x – 1 lµ hµm sè ®ång biÕn. (v× a = 2 > 0)
Hµm sè y = –3x + 2 lµ hµm sè nghÞch biÕn. (v× a = “3 < 0)
c) §å thÞ cđa hµm sè bËc nhÊt y = a.x + b (a
≠
0)
*) NhËn xÐt: §å thÞ cđa hµm sè bËc nhÊt y = a.x + b (a
≠
0) lµ mét ®êng th¼ng.
*) C¸ch vÏ ®å thÞ cđa hµm sè bËc nhÊt y = a.x + b (a
≠
0)
Dùa vµo nhËn xÐt trªn ta cã thĨ vÏ §å thÞ cđa hµm sè bËc nhÊt y = a.x + b(a
≠
0) nh sau:
B íc 1. X¸c ®Þnh hai ®iĨm thc ®å thÞ cđa hµm sè b»ng c¸ch:
Cho x = 0 råi tÝnh y = ? ®Ĩ cã ®iĨm thø nhÊt.
Cho x = k råi tÝnh y = ? ®Ĩ cã ®iĨm thø hai.
(th«ng thêng ta nªn cho x = 1 ®Ĩ viƯc tÝnh y ®ỵc dĨ dµng)

B íc 2. VÏ hai ®iĨm võa x¸c ®Þnh trªn cïng mét hƯ trơc to¹ ®é.
B íc 3. KỴ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm võa vÏ ®Ĩ cã ®å thÞ cđa hµm sè.
VÝ dơ 1. VÏ ®å thÞ cđa hµm sè y = 2x + 1
Gi¶i: XÐt hµm sè: y = 2x + 1
Víi x = 0 th× y = 1
Víi x = 1 th× y = 3
⇒
§å thÞ cđa hµm sè y = 2x + 1 sÏ ®i qua hai ®iĨm (0; 1) vµ (1; 3)
Ta cã ®å thÞ cđa hµm sè cÇn vÏ lµ:
THCS HÙNG VƯƠNG
25