Áp dụng Cauchy tính đơn điệu của hàm số để giải bài toán max, min và bđt

F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 1
SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
ĐỂ GIẢI MỘT VÀI VÍ DỤ BÀI TOÁN MAX, MIN
VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Với lớp các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (tìm max, min), chứng
minh bất đẳng thức, có rất nhiều phương pháp để giải quyết. Sau đây, tôi xin giới
thiệu phương pháp kết hợp bất đẳng thức Cauchy và tính đơn điệu của hàm số để
giải một vài ví dụ về lớp bài toán này.
Kiến thức:
1.Tính đơn điệu của hàm số:
Cho hàm số
()y f x
xác định trên D.
+) Nếu
' '( ) 0y f x
(dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm) thì
()y f x
đồng
biến trên D.
Khi đó,
00
,:x D x D x x   
ta có:
0

( ) ( )f x f x
.
Đặc biệt: Nếu
()y f x
đồng biến trên đoạn
 
;ab
thì
min ( ) ( )f x f a
và
max ( ) (b)f x f
.
+) Nếu
' '( ) 0y f x
(dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm) thì
()y f x
nghịch
biến trên D.
Khi đó,
00
,:x D x D x x   
ta có:
0
( ) ( )f x f x
.
Đặc biệt: Nếu
()y f x
nghịch biến trên đoạn
 
;ab

thì
max ( ) ( )f x f a
và
min ( ) (b)f x f
.
+) Nếu
()y f x
liên tục trên đoạn
 
;ab
thì ta chỉ cần tìm các nghiệm
i
x
của
phương trình
'( ) 0fx
rồi so sánh để đi đến kết luận:
     
 
12
min ( ) min ( ); ; ; ;f x f a f x f x f b
;
     
 
12
max ( ) max ( ); ; ; ;f x f a f x f x f b
.

F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 2
2.Bất đẳng thức Cauchy:
Với
0, 1,
i
a i n
ta có:
1
1
n
n
n
ii
i
i
a n a





. Dấu “=” xảy ra
12
a
n
aa   

.
Ví dụ 1.(Đề 78II.2-Bộ đề) CMR nếu
0
2
x


thì
sinx tan 1
2 2 2
xx

(1).
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
sinx tan
1
sinx tan sinx tan
2
2 2 2 2 .2 2
x
xx


  
.
Để có (1), ta cần chứng minh:
sinx tan
1
1

2
sinx tan
2 2 1 1 sinx tan 2 sinx tan 2 0
2
x
x
x
x x x x x




           
Xét hàm số
( ) sinx tan 2f x x x  
trên
0;
2





, ta có:
22
2 2 2
1 1 1
'( ) os 2 os 2 2 os . 2 0
cauchy
f x c x c x c x

cos x cos x cos x
        
.
()fx
đồng biến trên
0;
2





0;
2
x


  



ta luôn có:
( ) (0) sinx tan 2 0f x f x x    


đpcm.
Ví dụ 2. (đề 113II.2-bộ đề) CMR nếu
0
2
x



thì
3
1
2sin tan
2
2 2 2
x
xx


(2).
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2sin tanx
1
2sin tan 2sin tan
2
2 2 2 2 .2 2


  
x
x x x x
.
Để có (2), ta cần chứng minh:

F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 3
2sin tanx 3
11
22
2sin tanx 3
2 2 1 1 2sin tanx 3 0
22



        
xx
xx
xx

Xét hàm số:
(x) 2sin tanx 3  f x x
trên
0;
2





.

Ta có:
2
1
'( ) 2cos 3
cos
f x x
x
  
.
Đến đây chúng ta có hai cách biến đổi sau để xét được dấu của
'( )fx

Cách 1:
   
2
2
cosx-1 2cos 1
'( ) 0, 0;
cos 2


   



x
f x x
x

.

Suy ra hàm số
()fx
đồng biến trên
0;
2





.
0;
2
x


  


ta có
( ) (0)f x f
đpcm.
Cách 2: ta có
3
22
11
'( ) osx+ osx 3 3 osx. osx. 3 0
os x os x
cauchy
f x c c c c

cc
     
.

đpcm.
Ví dụ 3. Tìm max, min của hàm số:
22
24
1 os
11
xx
y cos c
xx
  

.
Bài giải:
Đặt
2
2
1
x
t
x


.
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
22
2

2
1 2 2 1 1
1
x
x x x t
x
      

.
và
2
1 ost + cos2t = 2cos osty c t c  
.





F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 4
Đặt
2
ost y = 2XX c X  
với
cos1 X 1
.
Ta có
' 4 1 0yX  
(vì

cos1 0X 
).
Suy ra hàm số
2
y = 2X X
đồng biến trên đoạn
 
1;1cos

Vậy
maxy = 3 cost = 1 t = 0 x = 0  
.

2
min 2cos 1 cos1 ost = cos1 1 1       y c t x
.
N.Xét: Bài toán giúp học sinh củng cố tính đơn điệu của hàm số, bất đẳng thức
Cauchy và giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về kí hiệu cos1, cos2, …
Ví dụ 4.(D-2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn
1xy
.
Tìm max, min của biểu thức:
  
22
4 3 4 3 25A x y y x xy   
.
Bài giải:
Ta có:
 
 

     
2 2 3
33
16 12 34 16 12 3 34A xy x y xy xy x y xy x y xy

         


Do
1xy


     
22
16 12 1 3 34 16 2 12A xy xy xy xy xy      
.
Đặt
 
2
1
0
44
cauchy
xy
t xy t xy

     
.
Xét hàm số
2

( ) 16 2 12f t t t  
trên đoạn
1
0;
4



.
Ta có:
1
'( ) 32 2 '( ) 0
16
f t t f x x     
.
Suy ra:
1 1 1 191
min ( ) min (0); ;
16 4 16 16
f t f f f f

     
  

     
     


F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 5
khi
 
1
1 2 3 2 3 2 3 2 3
; ; ; ;
16
16 4 4 4 4
1
xy
t x y
xy


   

   
  
   
   
  

   





.
1 1 1 25
max ( ) max (0); ;
16 4 4 2
f t f f f f

     
  

     
     


khi
 
1
1 1 1
;;
4
4 2 2
1
xy
t x y
xy





   






.
Vậy
191
min
16
A 
khi
 
2 3 2 3 2 3 2 3
; ; ; ;
4 4 4 4
xy

   
   


   


   

.

25
max
2
A 
khi
 
11
;;
22
xy




.
N.Xét: +) Mấu chôt của bài toán trên là vấn đề đặt ẩn phụ
t xy
. Sau khi đặt ẩn
phụ, chúng ta cần tìm điều kiện cho ẩn mới (trong đó chúng ta phải dùng đến bất
đẳng thức Cauchy để tìm điều kiện của ẩn).
+) Khi
1
max ( )
4




f t f
chúng ta có thể tìm giá trị của x, y khi bất đẳng thức

Cauchy xảy ra
x,y 0
1
xy
1
xy
4
2
xy




   




.
Chúng ta có thể tổng quát bài toán như sau:
BTTQ: Cho
,0xy
và
1xy
. Hãy tìm max, min của biểu thức:
  
22
T ax by ay bx cxy   
,
 

a,b,c
.
Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
42
42
1 1 1
y x x x
x x x
     
.
Phân tích và tìm hướng giải:





F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 6
Ta có:
44
4 3 2 2
4 2 3 2
1 1 1 1 1 1 1
x x 4x 6x 4x x 4 x 6
x x x x x x x
     
          
     
     

.
2
2
2
11
x x 2
xx

   


.
Do đó chúng ta có thể biến đổi hàm số đã cho về hàm số với ẩn mới t (
1
tx
x

).
Cái khó còn lại là chúng ta cần tìm miền xác định của hàm số với biến t. Chúng ta
sẽ làm như thế nào để tìm được miền xác định đây?
Bài giải:
+) Điều kiện:
x0
.
+) Đặt
2 2 2
22
1 1 1
2 2 . 2 4 2          
Cauchy

t x t x x t
x x x
.
Ta có:
42
1 1 1
54y x x x
x x x
     
      
     
     

Xét hàm số
42
( ) 5 4f t t t t   
với
2t 
.
Ta có:
32
'( ) 4 10 1; ''( ) 12 10f t t t f t t    
.
+) Khi
2 ''( ) 0 '( ) '(2) 0 ( ) (2) 2t f t f t f f t f        
.
+) Khi
2 ''( ) 0 '( ) '( 2) 0 ( ) ( 2) 2t f t f t f f t f            
.
Vậy

min 2y 
khi
1
21xx
x
     
.
N.Xét: Nhiều bạn sẽ nói tại sao chúng ta không áp dụng ngay bất đẳng thức
Cauchy khi đặt
1
tx
x

. Vì chúng ta chỉ được áp dụng bất đẳng thức Cauchy khi
các hạng tử không âm và dấu “=” có xảy ra không, nhưng ở đây chúng ta chưa
biết dấu của
1
x,
x
, nên chúng ta không được áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy.





F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 7
Ví dụ 6.
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn

 
  
22
22x y xy x y xy    
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 2 2
3 3 2 2
49
x y x y
P
y x y x
   
   
   
   
.
Phân tích tìm hướng giải:
Ta có:
3
33
33
x y x y x y
3
y x y x y x
   
    
   
   
;

2
22
22
x y x y
2
y x y x

   


.
Do đó, chúng ta sẽ tư duy đưa biểu thức P về hàm số ẩn t với
xy
t
yx

.
Bài giải:
Từ
x,y 0
ta có:
 
    
22
x y 1 1
2 x y xy x y xy 2 2 1 xy 2
y x y x
   
          
   

   

Cauchy
x y 2 2 x y
2 1 x y 2 2
y x y x y x


        





(*)
Dấu “=” xảy ra
2
x xy 2
y
   
.
Đặt
x y x y
t t 2
y x y x
     
,
t2
.
Khi đó:

t2
2
5
2t 1 2 2 t 2 4t 4t 15 0 t
2

        
.
Ta có biểu thức:
   
3 2 3 2
P 4 t 3t 9 t 2 4t 9t 12t 18       
.
Xét hàm số:
32
f(t) 4t 9t 12t 18   
với
5
t
2

.





F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 8

Ta có:
2
t2
f '(t) 12t 18t 12 f '(t) 0
1
t
2



     



, suy ra hàm số
f(t)
đồng biến trên
1
;
2

 



và


2;
f(t)

đồng biến trên
5
;
2







5 23
f(t) f
24

  


.
Dấu “=” xảy ra
     
 
x y 5
y x 2
x;y 1;2 ; 2;1
xy 2



  





.
Vậy
23
minP
4

khi
     
 
x;y 1;2 ; 2;1

N.Xét: Tại sao chúng ta không áp dụng bất đẳng thức Cauchy tiếp trong khi biến
đổi (*).
Giả sử ta biến đổi tiếp, ta có:
Cauchy Cauchy
x y 2 2 x y
2 1 x y 2 2 4 2
y x y x y x


        






(**)
Dấu “=” xảy ra
x,y 0
2
x
y
x y 2
xy
yx





   





.
Nhưng khi thay
x y 2
vào (**), ta được:
(**)
VT 3 4 2
.
Do đó, chúng ta có một bài học ở đây là không phải lúc nào chúng ta cũng áp
dụng bất đẳng thức Cauchy, kể cả khi biểu thức cho rất đẹp, nhưng vấn đề là dấu
“=” trong bất đẳng thức Cauchy khi áp dụng có xảy ra hay không.

Ví dụ 7. Cho
x,y 0
và thỏa mãn
22
x y xy x y 3xy   
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
2
22
1 2xy 3
A x y
2xy

  
.
Bài giải:
Ta có:
 
22
x y xy x y 3xy xy x y x y 3xy        
(1)





F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 9

Do
x,y 0 x y 0   
.
      
Cauchy
2
1 1 4
(1) x y 3 3 x y 3 x y 4 0 x y 1 x y 4 0
x y x y
                   

x y 4  
.
Mặt khác
1 3 1 3
(1) 1 1
xy x y xy x y
     

.
Nên
   
22
22
1 4xy 4x y 3 3
A x y 2xy x y 1
2xy x y
  
       


.
Đặt
t x y t 4   
. Ta xét hàm số:
2
3
f(t) t 1
t
  
trên


4;
.
Ta có:
3
22
3 2t 3
f '(t) 2t 0, t 4
tt

     
f(t)
đồng biến trên


4;
.
71
f(t) f(4)

4
  
.
Dấu “=” đạt được khi
x y 4
t 4 x y 2
xy


    



.
Vậy
71
minA
4

tại
x2
y2





.
Ví dụ 8. Cho
, , 0x y z 

và thỏa mãn
3
2
x y z  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
5 5 5
2 2 2
x y z x y z
T
y z z x x y y z x
     
.
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba hạng tử, ta có:
 
 
4
3
3
2
1
T 3 3 xyz
xyz

.
Đặt
3
t xyz
, ta có:

3
x y z 1
0 t xyz
32

   
.





F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 10
Xét hàm số
4
2
3
f(t) 3t
t

trên
1
0;
2





.
Ta có
 
6
3
33
6 2t 1
61
f '(t) 12t 0/ 0;
t t 2


    



1 195
f(t) f
2 16

  


,
Dấu “=” xảy ra
3
x y z
x y z 2
1
xyz

2



   




.
Vậy
195
minT
16

khi
x y z 2  
.
Ví dụ 9. Cho x, y, z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3
23
T
x xy xyz x y z

   
.
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
33
11

x xy xyz x 2x.8y 2x.8y.32z
48
    

   
Cauchy
2x 8y 2x 8y 32z 32 4
x x y z x y z
8 24 24 3
  
        
.
Đặt
2
33
t x y z,t 0 P f(t)
2t t
       
trên
 
0;
.
Ta có:
32
33
f '(t) f '(t) 0 t 1
tt
      
.
Suy ra:

3
minf(t) f(1)
2
  
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
16
x
21
x y z 1
4
2x 8y y
21
2x 32z
1
z
21



  



  









.





F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 11
Vậy
3
minP
2

khi
 
16 4 1
x;y;z ; ;
21 21 21




.
Ví dụ 10. Cho a, b, c là các số thực dương, thỏa mãn:
a b c 3  
. Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức
   
3
2 abc
P
3 ab bc ca 1 a 1 b 1 c

     
.
Bài giải:
Áp dụng bất đẳng thức
   
2
x y z 3 xy yz zx , x,y,z      
ta có:
   
2
ab bc ca 3abc a b c 9abc 0      

ab bc ca 3 abc   
.
Ta có:
   
 
3
3
1 a 1 b 1 c 1 abc , a,b,c 0      
.
Thật vậy:
         

 
Cauchy
3
3
33
3
1 a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca abc 1 3 abc 3 abc abc 1 abc                
Khi đó
 
3
3
2 abc
P
1 abc
3 1 abc



.
Đặt
6
t abc
. Vì


3
Cauchy
a b c
a,b,c 0 0 abc 1 t 0;1
3



      


.
Xét hàm số
 
2
2
3
2t
f(t)
1t
3 1 t



trên


0;1
.
Ta có:
 
 
   


5

22
32
2t t 1 t 1
f '(t) 0, t 0;1
1 t 1 t

   

.
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên


0;1
5
f(t) f(1)
6
  
5
P f(1)
6
  
.
Dấu “=” xảy ra
6
abc 1
t 1 a b c 1
a b c




      




.
Vậy
5
maxP =
6
khi
a b c 1  
.





F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 12
Ví dụ 11. Cho các số thực x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
   
  
3 3 2 2
x y x y
T
x 1 y 1
  



.
Bài giải:
Đặt
t x y
. Từ x, y > 1
t2
.
Áp dụng bất đăng thức Cauchy, ta có:
 
2
2
xy
t
x y 2 xy xy
44

    
.
 
32
t t xy 3t 2
P
xy t 1
  


. Do
t 2 3t 2 0   
và

22
tt
xy xy
44
    
nên ta có:
 
2
32
2
2
t
t t 3t 2
t
4
P
t
t2
t1
4
  



.
Xét hàm số
2
t
f(t)
t2



trên
 
2;
.
Ta có
 
2
2
t0
t 4t
f '(t) f '(t) 0
t4
t2



   




.
Lập bảng biến thiên ta có:
minf(t) f(4) 8
tại
x y 4
t 4 x y 2
xy



    



.
Vậy
minT 8
khi
x y 2
.
Ví dụ 12. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn
2x 3y 7
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
 
 
 
2 2 2 2
3
A 2xy y 5 x y 24 8 x y x y 3        
.
Bài giải:
Ta có:
     
2
2 2 3 3
6 1 1 2 2 3 3 36 5
2

Cauchy
xy
x y x y x y xy
  

          


.





F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 13
 
 
 
2
2 2 2 2
5 2 5 2x y x y x y x y      
.
Và
 
2
22
3 9 2 6 6 0x y x y xy x y        

   
 
22
2 3 8 3x y xy x y x y        
.
Suy ra:
     
33
2 2 24 2 3 2 24 2 3A xy y x y x y xy x y xy x y xy              

Đặt


, 0;5t x y xy t   
 
3
2 24 2 3A t t   
.
Xét hàm số
 
3
( ) 2 24 2 3f t t t  
trên


0;5
.
Có
 
 

 


2
3
22
33
4 3 8
1
'( ) 2 8.2. 2. 0, 0;5
4 3 4 3
t
f t t
tt

     

.
()ft
nghịch biến trên


0;5


3
0;5 : ( ) (5) 10 48 2t f t f    
.
Dấu “=” xảy ra
 

 
2
22
5
2 2 3 3
2
5
3
1
52
x y xy
xy
x
t
xy
y
x y x y
  


  



   







  

.
Vậy
3
min 10 48 2A
khi
2
1
x
y





.
Ví dụ 13. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn
2 2 2
3x y z  
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
4
P xy yz zx
x y z
   

.
Bài giải:

Ta có
 
 
2
2 2 2
1
2
xy yz zx x y z x y z

       

.





F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 14
Do đó:
 
2
3
4
2
x y z
P
x y z
  



.
Vì
 
 
2
2
2 2 2
3
0 3 0 3 0 3 6
2
Cauchy
x y z
xy yz zx x y z x y z
  
               

 
2
3 9 3 3x y z x y z         
.
Đặt
3;3t x y z t

    

2
34
2

t
P
t

  
.
Xét hàm số
2
34
()
2
t
ft
t


trên
3;3


.
Ta có:
3
2
4
'( ) '( ) 0 4f t t f t t
t
     
.
Từ bảng biến thiên, ta có

3;3
13
maxf(t) (3)
3
f



.
Dấu “=” xảy ra
2 2 2
3
31
x y z
x y z x y z
x y z
  


       




.
Vậy
13
max
3
P 

khi
1x y z  
.
Ví dụ 14 (mở rộng). Cho các số thực a, b, c thỏa mãn
abc
và
2 2 2
5abc  
.
Chứng minh rằng:
    
4a b b c c a ab bc ca      
.
Bài giải:
Ta có:

         
44a b b c c a ab bc ca P a b b c a c ab bc ca              
(*)
Do
abc
nên
+) Nếu
0 0 4 (*)ab bc ca P      
đúng.
+) Nếu
0ab bc ca  
thì đặt
0x ab bc ca   
.

F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 15
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
  
   
   
 
2 2 3
4 4 4
a b b c a c a c
a b b c a b b c a c
    
        
(1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
     
2 2 2
2 a b b c a c

    

.
Và
 

     
2 2 2
2 2 2
4 2 2 2a b c ab bc ca a b b c a c          
.
 
     
22
2 2 2
4 3 4 5 3 0a b c ab bc ca a c x a c            
.
05
5
02
3
x
x
ac






  


(2)
Từ (1) và (2), ta có:
 

 
3
3
23
. . 5
49
ac
P x x x

  
.
Xét hàm số
 
3
23
( ) 5
9
f x x x
trên
 
0;5
.
Ta có:
 
3
2
2 3 3
'( ) 5 . 5 '( ) 0
5
92

x
f x x x x f x
x



      





.
(0) 0; (2) 4; (5) 0f f f  

 
0;5
maxf(x) (2) 4 4fP    
(đpcm).
Dấu “=” xảy ra
2 2 2
2
2
1
2
0
5
ab bc ca
a
a b b c

b
ac
c
abc
  






  






  

.

Nhận xét tổng quát:





F a c e b o o k : h o c m a i n g u y e n c h i t h a n h

Page 16
1. Cái khó nhất trong các bài toán dạng trên là ta cần tìm ra ẩn mới để đưa biểu
thức (hoặc hàm số) đã cho về hàm số mới và từ biến mới đó, ta cần tìm điều kiện
của biến để đưa ra miền khảo sát cho hàm mới (miền xác định).
2. Khi đề toán cho các giá trị của biến không âm (hoặc dương) thì thường ta sẽ
nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Chú ý khi áp dụng bất đẳng thức
Cauchy xem dấu “=” có xảy ra không.
Tuy nhiên, ta cũng có thể gặp những bài toán như ví dụ 5, chúng ta cần tìm cách
đưa các số hạng chưa rõ dấu về các số hạng dương, sau đó mới được áp dụng bất
đẳng thức Cauchy.
Bài tập vận dụng:
Bài 1. Chứng minh rằng nếu
sinx tanx x 1
2.3 3 3


.
Bài 2. Tìm max, min của hàm số
22
2x 2 4x 4
y 2015 cos cos
x 2x 2 x 2x 1

  
   
.
Bài 3. Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn
x y 1
. Tìm max, min của biểu
thức:

  
22
2015 5 2 5 2A x y y x   
.
Bài 4. Tìm min của hàm số
24
24
2 4 16
y x x x
x x x
     
.
Bài 5. Cho x, y > 0 và thỏa mãn
 
  
22
2 x y xy x y xy 2    
. Tìm max của biểu
thức:
3 3 2 2
3 3 2 2
x y x y
P 4 9
y x y x
   
    
   
   
.