CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO THPT (2011-2012)

ôn thi vào lớp 10
Năm học: 2011 - 2012
Chuyên đề i: căn thức bậc hai - bậc ba
Các phép biến đổi căn thức bậc hai- bậc ba
A. Những công thức biến đổi căn thức:
1)
AA
=
2
2)
BAAB .=
( với A

0 và B

0 )
3)
B
A
B
A
=
( với A

0 và B > 0 )
4)
BABA =
2
(với B

0 )

5)
BABA
2
=
( với A

0 và B

0 )

BABA
2
=
( với A < 0 và B

0 )
6)
B
AB
B
A
=
( với AB

0 và B

0 )
7)
B
BA

B
A
=
( với B > 0 )
8)
2
)(
BA
BAC
BA
C

=


( Với A

0 và A

B
2
)
9)
BA
BAC
BA
C

=

)(
( với A

0, B

0 và A

B
B. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
a)
32
+
x
b)
12
3
+
x
c)
1
2

x
d)
2
2
1
x
HD: a)

2
3

x
b)
2
1
<
x
c)





1
0
x
x
d)
0

x
Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( với x

0 )
a)
8632
+++
b) x

2
- 5 c) x - 4 d)
1

xx
HD: a)
( )( )
1232 ++
b)
( )( )
55 + xx
c)
( )( )
22 + xx
d)
( )( )
11 ++ xxx
Bài 3: Đa các biểu thức sau về dạng bình phơng.
a)
223 +
b)
83

c)
549
+
d)
7823

HD: a)

( )
2
12
+
b)
( )
2
12

c)
( )
2
25
+
d)
( )
2
74

Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
1
a)
( )
2
174

b)
2832
146
+

+
c)
5
5
2
+

x
x
(với x

5) d)
1
1


x
xx
( với
1,0

xx
)
HD: a)
417

b)
2
2
c)

5

x
d)
1
++
xx
Bài 5: Tìm giá trị của x

Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên.
a)
2
3
+
x
( với x

0) b)
1
5
+
+
x
x
( với x

0) c)
2
2

+
x
x
( với x

0 và x

4)
HD: a)
{ }
1=x
b)
{ }
9;1;0=x
c)
{ }
36;16;9;1;0=x
Bài 6: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau:
a)
35
=
x
b)
523

x
c)
2
3
3

=

+
x
x
d)
1
1
3
>

x
HD: a) x = 14 b)
2
3
1

x
c) x = 81 d)
161
<<
x
C. Bài tập tổng hợp:
Bài 1: Cho biểu thức: A =
1
1
1
1
+

+
x
x
x
xx
a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.
b) Tính giá trị biểu thức A khi x =
4
9
.
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
HD: a) ĐKXĐ là:





1
0
x
x
, rút gọn biểu thức ta có: A =
1x
x
.
b) x =
4
9

thì A = 3
c)
10
<
x
.
Bài 2: Cho biểu thức: B =
4
52
2
2
2
1

+

+
+

+
x
x
x
x
x
x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B.
b) Tìm x để B = 2.
HD: a) Điều kiện:

4
0
x
x
, rút gọn biểu thức ta có: B =
2
3
+x
x
.
c) B = 2

x = 16.
Bài 3: Cho biểu thức: C =









+

+









1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức C.
b) Tìm giá trị a để C dơng.
HD: a) Điều kiện:

>
1
4
0
a
a
a
, rút gọn biểu thức ta có: C =
a
a
3
2
2
b) C d¬ng khi a > 4.
Bµi 4: Cho biĨu thøc D =
x
x
x
x
x
x
4
4
.
22
−









+
+
−
a) T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh vµ rót gän biĨu thøc D.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa D khi x =
526
−
.
HD: a) §iỊu kiƯn:



≠
>
4
0
x
x
, rót gän biĨu thøc ta cã: D =
x
.
b) D =
15

−
Bµi 5: Cho biĨu thøc E =
1
3
11
−
−
+
−
−
+
x
x
x
x
x
x
a) T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh vµ rót gän biĨu thøc E.
b) T×m x ®Ĩ E = -1.
HD: a) §iỊu kiƯn:



≠
>
1
0
x
x
,rót gän biĨu thøc ta cã: E =

x
+
−
1
3
.
c) x = 4.
Bµi 6: Cho biĨu thøc:F =
8
44
.
2
2
2
2
++








+
−
−
xx
xx
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức F.

b) Tính giá trò của biểu thức F khi x=3 +
8
;
c) Tìm giá trò nguyên của x để biểu thức F có giá trò nguyên ?
HD: a) §KX§:



≠
≥
4
0
x
x
,rót gän biĨu thøc ta cã: F =
2
2
−
+
x
x
b) x = 3+
( )
2
122238
+=+=

⇒
A =
122 −

c) BiĨu thøc A nguyªn khi:
{ }
1;2;42 ±±±=−x

⇒
x = {0; 1; 9; 16; 36}
D. Bµi tËp lun tËp:
Bµi1: Cho biĨu thøc :

+
−+
−
+
+
=
6
5
3
2
aaa
a
P
a
−
2
1
a) T×n §KX§ vµ rót gän P.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P khi: a =
347
−

.
c) T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ P < 1.
Bµi2 : Cho biĨu thøc: Q=








−
+
−
−
+








−
− 1
2
2
1
:

1
1
1
a
a
a
a
aa
a. Rót gän Q.
b. T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ Q d¬ng.
Bµi3: Cho biĨu thøc: A =
x
x
x
x
xx
x
−
+
−
−
+
−
+−
−
3
12
2
3
65

92
a, T×m §KX§ vµ rót gän biĨu thøc A.
3
b, Tìm các giá trị của x để A > 1.
c, Tìm các giá trị của x

Z để A

Z.
Bài4 : Cho biểu thức: C =
1
2
1
3
1
1
+
+
+

+
xxxxx
a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức C.
b, Tìm các giá trị của x để C = 1.
Bài5: Cho biểu thức: M =
.
2
x)(1
1x2x
2x

1x
2x
2










++
+



a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị của x để M dơng.
c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Bài6: Cho biểu thức: P =

+
+











1
2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tìm x để P = 6.
Chuyên đề II
PHNG TRèNH - H PHNG TRèNH - BT PHNG TRèNH
(Bc nht)

A.KIN THC C BN
1.Phng trỡnh bc nht mt n
-Quy ng kh mu.
-a v dng ax + b = 0 (a 0)
-Nghim duy nht l
b
x
a

=
2.Phng trỡnh cha n mu
-Tỡm KX ca phng trỡnh.
-Quy ng v kh mu.
-Gii phng trỡnh va tỡm c.
-So sỏnh giỏ tr va tỡm c vi KX ri kt lun.
3.Phng trỡnh tớch
giỏi phng trỡnh tớch ta ch cn gii cỏc phng trỡnh thnh phn ca nú. Chng hn: Vi
phng trỡnh A(x).B(x).C(x) = 0
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
C x 0
=


=

=

4.Phng trỡnh cú cha h s ch (Gii v bin lun phng trỡnh)
Dng phng trỡnh ny sau khi bin i cng cú dng ax + b = 0. Song giỏ tr c th ca a, b ta
khụng bit nờn cn t iu kin xỏc nh s nghim ca phng trỡnh.
-Nu a 0 thỡ phng trỡnh cú nghim duy nht
b
x
a

=
.
-Nu a = 0 v b = 0 thỡ phng trỡnh cú vụ s nghim.
-Nu a = 0 v b 0 thỡ phng trỡnh vụ nghim.
4
5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức:
A khi A 0
A
A khi A 0
≥

=

− <

6.Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ trong
một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương trình.
7.Bất phương trình bậc nhất

Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc nhất. Tuy nhiên
cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9− + = + −
b)
( )
7x 20x 1,5
5 x 9
8 6
+
− − =
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
d)
x 3 3 x 7 10− + − =
(*)
Giải
( ) ( )
a) 2 x 3 1 2 x 1 9 2x 5 2x 7 5 7− + = + − ⇔ − = − ⇔ − = −
(Vô lý)
Vậy phương trình vô nghệm.
( )
7x 20x 1,5

b) 5 x 9 21x 120x 1080 80x 6 179x 1074 x 6
8 6
+
− − = ⇔ − + = + ⇔ − = − ⇔ =
Vậy
phương trình có nghiệm x = 6.
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
( ) ( ) ( ) ( )
13 1 6
x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3
⇔ + =
− + + − +
ĐKXĐ:
7
x 3; x
2
≠ ± ≠ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42
⇒ + + − + = + ⇔ + + − = +
( ) ( )
2
x 3 DKXD
x x 12 0 x 3 x 4 0

x 4 DKXD
= ∉

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − ∈

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +
-Xét x < 3:
(*)
( )
7
3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
(loại)
-Xét
3 x 7
≤ <
:
5
(*)
( )
x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ =
(t/mãn)
-Xét

x 7
≥
:
(*)
( )
17
x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2.Giải và biện luận phương trình sau
a)
2 2
x a b x b a b a
a b ab
+ − + − −
− =
(1)
b)
( )
2
2
a x 1
ax 1 2
x 1 x 1 x 1
+
−
+ =
− + −

(2)
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
⇔ + − − + − = −
⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
-Nếu b – a ≠ 0
b a
⇒ ≠
thì
( ) ( )
( )
2 b a b a
x 2 b a
b a
− +
= = +
−
-Nếu b – a = 0
b a
⇒ =
thì phương trình có vô số nghiệm.
Vậy:

-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
b) ĐKXĐ:
x 1
≠ ±
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1
ax ax x 1 2x 2 ax a
a 1 x a 3
⇒ + + − = +
⇔ + − − + − = +
⇔ + = +
-Nếu a + 1 ≠ 0
a 1
⇒ ≠ −
thì
a 3
x
a 1
+
=
+
-Nếu a + 1 = 0
a 1
⇒ = −
thì phương trình vô nghiệm.

Vậy:
-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
a 3
x
a 1
+
=
+
-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3.Giải các hệ phương trình sau
6
1 1 5
x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8

+ − =
+ =


+ =
+ −

 
− + =
  

− =

 
− =
− =


− +

Giải
( )
x 7 5y
x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 2
a)
3 7 5y 2y 4
3x 2y 4 21 17y 4 y 1 y 1
= −

+ = = − = − =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
− − =
− = − = = =
   

hoặc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =

   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = − = =
   
b) ĐK:
x y
≠ ±
đặt
1 1
u; v
x y x y
= =
+ −
Khi đó, có hệ mới
5
1
2v 1
u v
v
8
2
5
1
3
u v
u
u v
8
8

8


=
+ =
=



  
⇔ ⇔
  
+ =
  
=
− + =





Thay trở lại, ta được:
x y 8 x 5
x y 2 y 3
+ = =
 
⇔
 
− = =
 

c)
x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1
x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2
+ − = = + = + =
   
   
− + = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =
   
   
− = + − + = + = =
   
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau
( ) ( ) ( )
( )
2
x 17 3x 7
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82 b) 2
5 4
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 7x 3
c) d)
65 64 63 62 x 3 x 3 9 x
x 2 1 2
e) f ) x 3 5
x 2 x x x 2
g) 3x 1 2x 6
+ −
+ − − = − + − = −
+ + + + − −

+ = + − =
+ − −
+
− = + =
− −
− = +
( ) ( ) ( )
h) 2 x 3 2x 1 4
4x 3 x 1 2x 3 x 2
i) 5 3x x 3 3x 1 x 2 k)
3 6 2 4
− − + =
+ − − +
+ + < − + − > −
2.Giải và biện luận các phương trình sau
x a x b
a) b a
a b
− −
+ = +

( )
2
b) a x 1 3a x− − =

7
2
2
ax-1 x a a 1
c)

a+1 1 a a 1
+ +
=


a 1 a 1 a 1
d)
x a x 1 x a x 1
+
+ = +
+ +
3.Gii cỏc h phng trỡnh sau
2 2
2 2
m n p 21
x y 24
3x 4y 5 0 2u v 7 n p q 24
a) b) c) d)
x y 8
2x 5y 12 0 p q m 23
2
u 2v 66
9 7 9
q m n 22
+ + =

+ =

+ = = + + =



+ = + + =
+ =
+ =






+ + =

4.Cho h phng trỡnh
( )
m 1 x y 3
mx y m
+ =

+ =

a) Gii h vi m = -
2
b) Tỡm m h cú nghim duy nht sao cho x + y dng.
Chuyên đề iii Hàm số và đồ thị
i.Kiến thức cơ bản
1.Hàm số
a. Khái niệm hàm số

- Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc
chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và x đợc gọi là biến số
- Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn ph-
ơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
- Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
- Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) > f(x
2
) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
1.1Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trớc và a

0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0) là một đờng thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b

0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a

0)
Bớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a

0) và (d): y = ax + b (a

0). Khi đó
8
+
'

// '
'
a a
d d
b b
=





+
{ }
' ' 'd d A a a
=
+
'
'
'
a a
d d
b b
=



=

+
' . ' 1d d a a

=
e. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a

0)
Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm
của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b
f. Một số phơng trình đờng thẳng
- Đờng thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
)có hệ số góc k: y = k(x x
0
) + y
0
- Đờng thẳng đi qua điểm A(x
0
, 0) và B(0; y
0
) với x
0
.y
0

0 là
0 0
1
x y
x y
+ =
1.2 Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax
2
(a

0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax
2
(a

0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a

0)
- Đồ thị hàm số y = ax
2
(a

0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
2.Kiến thức bổ xung
2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y
= +
- Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức
;
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax

2
(a

0) và đờng thẳng y = mx + n (m

0)
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình
2
y ax
y mx n

=

= +

- Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình
ax
2
= mx + n (*)
- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
9
II. Bài tập mẫu:

Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d).
a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với
giá trị tìm đợc của m.
c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
e. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2: Cho hai đờng thẳng: y = (k - 3)x - 3k + 3 (d
1
) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d
2
).
Tìm các giá trị của k để:
a. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau.
b. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c. (d
1
) và (d
2
) song song với nhau.
d. (d
1

) và (d
2
) vuông góc với nhau.
e. (d
1
) và (d
2
) trùng nhau.
Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m có đồ thị là đờng thẳng d .
Tìm giá trị của m để :
a. Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến)
b. (d) đi qua điểm (2;-1)
c. (d)// với đờng thẳng y =3x-4
d. (d) // với đờng thẳng 3x+2y = 1
e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0
f. (d) cắt đờng thẳng 2x+ y = -3 tại điểm có hoành độ bằng -2
g. Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung
Bài 4: cho (p) y = 2x
2
và đờng thẳng (d) y = (2m-1)x m
2
-9 . Tìm m để :
a. Đờng thẳng(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b. (d) tiếp xúc với (P)
c. (d) và (P) không giao nhau.
Bi 5: Cho hm s:
2
1
2
y = x

cú th (P).
a) Tỡm cỏc im A, B thuc (P) cú honh ln lt bng 1 v 2.
b) Vit phng trỡnh ng thng AB.
c) Vit phng trỡnh ng thng song song vi AB v tip xỳc vi (P). Tỡm ta tip im.
Bi 6: Cho hm s: y = (m + 1)x
2
cú th (P).
a) Tỡm m hm s ng bin khi x > 0.
b) Vi m = 2. Tỡm to giao im ca (P) vi ng thng (d): y = 2x 3.
c) Tỡm m (P) tip xỳc vi (d): y = 2x 3. Tỡm ta tip im.
Bi 7: Chng t ng thng (d) luụn tip xỳc vi Parabol (P) bit:
a) (d): y = 4x 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = 2x 1; (P): y = x
2
.
Bi 8:
8.1)Chng t rng ng thng (d) luụn ct Parabol (P) ti 2 im phõn bit:
a) (d): y = 3x + 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = 4x + 3; (P): y = 4x
2
.
8.2)Tỡm ta giao im ca (d) v (P) trong cỏc trng hp trờn.
Bi 9: Cho Parabol (P) cú phng trỡnh: y = ax
2
v hai ng thng sau:

10
(d
1
):
4
1
3
y x= −
(d
2
): 4x + 5y – 11 = 0
a) Tìm a biết (P), (d
1
), (d
2
) đồng quy.
b) Vẽ (P), (d
1
), (d
2
) trên cùng hệ trục tọa độ với a vừa tìm được.
c) Tìm tọa độ giao điểm còn lại của (P) và (d
2
).
d) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc với (d
1
).
Bài 10: Cho Parabol (P):
2
1

2
y x=
và đường thẳng (d): y = 2x + m + 1.
a) Tìm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng – 2.
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm
c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dương.
d) Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x
1
≠ x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
1 1 1
2x x
+ =
Bài 11: Cho hàm số: y = ax
2
có đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1có đồ thị (d).
a) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm M cố định.
b) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó.
c) Viết phương trình đường thẳng qua M và tiếp xúc với Parabol (P).
Chuyªn ®Ò iv: ph¬ng tr×nh bËc hai
PHẦN I KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1. Công thức nghiệm:
Phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có ∆ = b
2
- 4ac

+Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm
+Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
a
b
2
−
+Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
2
∆+−
; x
2
=
a
b
2
∆−−
2. Công thức nghiệm thu gọn:
Phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có ∆
’

=b
’ 2
- ac ( b =2b
’
)
+Nếu ∆
’
< 0 thì phương trình vô nghiệm
+Nếu ∆
’
= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
a
b
−
+Nếu ∆
’
> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
'
∆+−
; x
2

=
a
b
'
∆−−
3. Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét:
Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0)
thì : S = x
1
+x
2
=
a
b
−
; P = x
1
.x
2
=
a
c
b) Ứng dụng:

11
+Hệ quả 1:
Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
+Hệ quả 2:
Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
a
c
−
c) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x
1
; x
2
có x
1
+x

2
= S ; x
1
.x
2
= P thì x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình : x
2
- S x+P = 0
(x
1
; x
2
tồn tại khi S
2
– 4P ≥ 0)
Chú ý:
+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là ∆ ≥ 0)
+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu
PHẦN II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
II. TOÁN TỰ LUẬN
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN
Bài 1: Giải phương trình
a) x
2
- 49x - 50 = 0
b) (2-

3
)x
2
+ 2
3
x – 2 –
3
= 0
Giải:
a) Giải phương trình x
2
- 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
∆ = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601;
∆
= 51
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
2
51)49(
1
−=
−−−
=
x
;

50
2
51)49(
2
=
+−−
=
x
+ Lời giải 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=
−
−
+ Lời giải 3: ∆ = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :




=

−=
⇒



−=−==
+−==+
50
1
50).1(5049.
50)1(49
2
1
21
21
x
x
xx
xx
Vậy phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=
−
−

b) Giải phương trình (2-
3
)x
2
+ 2
3
x – 2 –
3
= 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2-
3
; b = 2
3
; c = – 2 –
3
)
∆ = (2
3
)
2
- 4(2-
3
)(– 2 –
3
) = 16;
∆
= 4
12

Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
)32(2
432
1
=
−
+−
=
x
;
)347(
)32(2
432
2
+−=
−
−−
=
x
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2-
3
; b
’
=
3
; c = – 2 –
3

)
∆
’
= (
3
)
2
- (2-
3
)(– 2 –
3
) = 4;
∆
= 2
Do ∆
’
> 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
32
23
1
=
−
+−
=x
;
)347(
32
23

2
+−=
−
−−
=x
+ Lời giải 3: Ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2-
3
+ 2
3
+ (- 2 -
3
) = 0
Nên phương trình có nghiệm:
x
1
= 1; x
1
=
)347(
32
32
+−=
−
−−
−
*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán

* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. 3x
2
– 7x - 10 = 0
2. x
2
– 3x + 2 = 0
3. x
2
– 4x – 5 = 0
4. 3x
2
– 2
3
x – 3 = 0
5. x
2
– (1+
2
)x +
2
= 0
6.
3
x
2
– (1-
3
)x – 1 = 0
7.(2+

3
)x
2
- 2
3
x – 2 +
3
= 0
Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình
x
2
– 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: ∆
’
= (- 21)
2
- 441 = 0
Phương trình (*) có nghiệm x
1
= x
2
= 21
Vậy u = v = 21
*Bài tương tự:
1. Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24
c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10
2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m

2
Bài 3: Giải các phương trình sau
(phương trình quy về phương trình bậc hai)
a) x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0
b)
)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx
x
x
c) 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 – x
2
d) 3(x
2
+x) – 2 (x

2
+x) – 1 = 0
Giải
13
a) Giải phương trình x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0 (1)
(1) ⇔ (x
2
- 2)(x + 3) = 0 ⇔ (x

+
2
)(x

-
2
)(x + 3) = 0
⇔ x = -
2
; x =
2
; x = - 3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -
2
; x =
2
; x = - 3

b) Giải phương trình
)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx
x
x
(2)
Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
(2) ⇔ 2x(x- 4) = x
2
– x + 8 ⇔ x
2
– 7x – 8 = 0 (*)
Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x
1
= -1(không thoả mãn ĐK) ; x
2
= 8
(thoả mãn ĐK)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phương trình 5x
4
+ 2x

2
-16 = 10 – x
2
(3)
Ta có: (3) ⇔ 5x
4
– 3x
2
– 26 = 0
Đặt x
2
= t (t ≥ 0) thì (3) ⇔ 5t
2
– 3t – 26 = 0
Xét ∆ = (-3)
2
– 4.5.(-26) = 529. ⇒
∆
= 23
Nên: t
1
=
5
13
5.2
23)3(
=
+−−
(thoả mãn t ≥ 0) ;
t

2
=
2
5.2
23)3(
−=
−−−
(loại)
Với t =
5
13
⇔ x
2
=
5
13
⇔ x =
5
13
±
Vậy phương trình (3) có nghiệm x
1
=
5
13
−
; x
2
=
5

13
d) Giải phương trình 3(x
2
+x) – 2 (x
2
+x) – 1 = 0 (4)
Đặt x
2
+x = t . Khi đó (4) ⇔ 3t
2
– 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t
1
= 1; t
2
=
3
1
−
t
1
= 1⇔ x
2
+x = 1⇔ x
2
+ x – 1 = 0
∆
1
= 1
2

- 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x
1
=
2
51
−−
; x
2
=
2
51
+−
t
2
=
3
1
−
⇔ x
2
+x =
3
1
−
⇔ 3x
2
+ 3x + 1 = 0 (*)
∆
2
= 3

2
- 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
Vậy phương trình (4) có nghiệm x
1
=
2
51−−
; x
2
=
2
51+−
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. x
3
+3x
2
+3x+2 = 0
2. (x
2
+ 2x - 5)
2
= (x
2
- x + 5)
2
3. x
4
– 5x
2

+ 4 = 0
4. 0,3 x
4
+ 1,8x
2
+ 1,5 = 0
5. x
3
+ 2 x
2
– (x - 3)
2
= (x-1)(x
2
-2
7. (x
2
– 4x + 2)
2
+ x
2
- 4x - 4 = 0
8.
03
1
4
1
2
=+







+−






+
x
x
x
x
9.
xx
x
−
=+
−
+
2
6
3
5
2
14

6.
3
1
.10
1
=
+
−
+
x
x
x
x
Bài 4: Cho phương trình x
2
+
3
x -
5
= 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+

; B = x
1
2
+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
Giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x
1
và x
2
nên theo định lí Viet ta có:
x
1
+ x
2

=
3
−
; x
1
.x
2
=
5
−
A =
15
5
1
5
3
.
11
21
21
22
=
−
−
=
+
=+
xx
xx
xx

;
B = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
=
523)5(2)3(
2
+=−−−
C =
)523(
5
1
)5(
523
.
2
2

2
2
1
2
2
2
1
+=
−
+
=
+
xx
xx
;
D = (x
1
+x
2
)( x
1
2
- x
1
x
2
+ x
2
2
) =

)15333()]5(523)[3( +−=−−+−
* Bài tương tự:
Cho phương trình x
2
+ 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x

1
3
+ x
2
3
E =
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
+
++
; F =
2
2
1
2
21
2
221
2

1
44
353
xxxx
xxxx
+
++
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN
(Phương trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài toán tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ ∆ = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ ∆≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ ∆≥ 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ ∆≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
⇔ a.c < 0 và S > 0
15
(ở đó: S = x
1
+ x

2
=
a
b
−
; P = x
1
.x
2
=
a
c
)
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại
toán này
Bài 2: Giải phương trình (giải và biện luận): x
2
- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải
∆
’
= (-1)
2
- 1.k = 1 – k
Nếu ∆
’
< 0 ⇔ 1- k < 0 ⇔ k > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm
Nếu ∆
’
= 0 ⇔ 1- k = 0 ⇔ k = 1 ⇒ phương trình có nghiệm kép x

1
= x
2
=1
Nếu ∆
’
> 0 ⇔ 1- k > 0 ⇔ k < 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
= 1-
k
−
1
; x
2
= 1+
k
−
1
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x
1
= 1-
k
−
1
; x
2

= 1+
k
−
1

Bài 3: Cho phương trình (m-1)x
2
+ 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải
a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆
’
=1
2
- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm ⇔ ∆
’
= 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥
3
2
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ≥
3
2
thì phương trình có nghiệm

b) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆
’
= 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆
’
= 3m-2 = 0 ⇔ m =
3
2
(thoả mãn m ≠ 1)
Khi đó x =
3
1
3
2
1
1
1
=
−
−=
−
−
m
+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
2
3

với m =
3
2
thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phương trình có nghiệm x
1
= 2 nên ta có:
(m-1)2
2
+ 2.2 - 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 ⇔ m =
4
3
16
Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 =
4
3
-1=
4
1
−
≠ 0)
Theo đinh lí Viet ta có: x
1
.x
2
=
612
4
1
3

1
3
2
=⇒=
−
−
=
−
−
x
m
Vậy m =
4
3
và nghiệm còn lại là x
2
= 6
* Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở nên phức tạp vàhọc
sinh thường hay sai sót)
Bài 4: Cho phương trình: x
2
-2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x

1
, x
2
của phương trình thoả mãn x
1
2
+x
2
2

≥
10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x
1
qua x
2
Giải
a) Ta có: ∆
’
= (m-1)
2
– (– 3 – m ) =
4
15
2

1
2
+






−m
Do
0
2
1
2
≥






−
m
với mọi m;
0
4
15
>
⇒ ∆ > 0 với mọi m

⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 ⇔ – 3 – m < 0 ⇔ m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < 0 và P > 0

3
3
1
0)3(
0)1(2
−<⇔



−<
<
⇔




>+−
<−
⇔ m
m
m
m
m
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó A = x
1
2
+x
2
2
= (x
1
+ x
2
)

2
- 2x
1
x
2
= 4(m-1)
2
+2(m+3) = 4m
2
– 6m + 10
Theo bài A ≥ 10 ⇔ 4m
2
– 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥ 0





≤
≥
⇔















≤
≤





≥
≥
⇔










≤−
≤




≥−
≥
⇔
0
2
3
2
3
0
2
3
0
032
0
032
0
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
17
Vậy m ≥
2
3

hoặc m ≤ 0
e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:



−−=
−=+
⇔



+−=
−=+
62.2
22
.
)3(.
)1(2
21
21
21
21
mxx
mxx
mxx
mxx
⇒ x
1
+ x

2
+2x
1
x
2
= - 8
Vậy x
1
+x
2
+2x
1
x
2
+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8 ⇔ x
1
(1+2x

2
) = - ( 8 +x
2
) ⇔
2
2
1
21
8
x
x
x
+
+
−=
Vậy
2
2
1
21
8
x
x
x
+
+
−=
(
2
1

2
−≠
x
)
Bài 5: Cho phương trình: x
2
+ 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 3x
1
+2x
2
= 1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn
2
11
1
x
xy +=
;
1
22
1
x
xy +=
với x

1
; x
2
là nghiệm của phương trình ở
trên
Giải
a) Ta có ∆
’
= 1
2
– (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

2
2
2
11
02
1
0
'
=⇔



=
≤
⇔




=−
≥−
⇔



=
≥∆
⇔ m
m
m
m
m
P
Vậy m = 2
b) Ta có ∆
’
= 1
2
– (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 2 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1); x
1
x
2

= m – 1 (2)
Theo bài: 3x
1
+2x
2
= 1 (3)
Từ (1) và (3) ta có:
1 2 1 2 1 1
1 2 1 2 1 2 2
2 2 2 4 5 5
3 2 1 3 2 1 2 7
x x x x x x
x x x x x x x
+ = − + = − = =
⇔ ⇔ ⇔
+ = + = + = − = −
   
   
   
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m ≤ 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1) ; x
1
x
2

= m – 1 (2)
Khi đó:
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
2
1 1
x x m
y y x x x x
x x x x m m
+ −
+ = + + + = + + = − + =
− −
(m≠1)

2
1 2 1 2 1 2
2 1 1 2
1 1 1 1
( )( ) 2 1 2
1 1
m
y y x x x x m
x x x x m m
= + + = + + = − + + =
− −
(m≠1)
⇒ y
1

; y
2
là nghiệm của phương trình: y
2
-
m
m
−
1
2
.y +
1
2
−
m
m
= 0 (m≠1)
Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y
2
+ 2my + m
2
= 0
*Yêu cầu:
18
+ HS nắm vững phương pháp
+ HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi
+ Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và khai thác nhiều cách giải
khác
* Bài tương tự:
1) Cho phương trình: (m – 1)x

2
+ 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này
b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
2) Cho phương trình : x
2
– 4x + m + 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
2
+ x
2
2
= 10
3) Cho phương trình: x
2
– (2m – 3)x + m
2
– 3m = 0
a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 1 < x

1
< x
2
<6
4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x
2
– 2mx + 2m – 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Đặt A = 2(x
1
2
+ x
2
2
) – 5x
1
x
2
*) CMR: A = 8m
2
– 18m + 9
**) Tìm m sao cho A =27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
5) Cho phương trình ; x
2

-2(m + 4)x + m
2
– 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
a) A = x
1
+ x
2
– 3x
1
x
2
đạt giá trị lớn nhất.
b) B = x
1
2
+ x
2
2
– x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x
1
, x

2
không phụ thuộc vào m
6) Cho phương trình : x
2
– 4x – (m
2
+ 3m) = 0
a) C/m phương trình luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Xác định m để: x
1
2
+ x
2
2
= 4(x
1
+ x
2
)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y
1
và y
2
thoả mãn:
y
1

+ y
2
= x
1
+ x
2
và
3
11
1
2
2
1
=
−
+
−
y
y
y
y
7) Cho phương trình : x
2
+ ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn :
2
1

2
2
2
1








+








x
x
x
x
> 7
8) Cho phương trình : (m – 1)x
2
– 2(m + 1)x + m = 0 (1)
a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m

b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
:
* Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập đối với m
* Tìm m sao cho
2
21
≥−
xx
Dạng 5: Tìm m để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn đẳng thức cho trước.
Bài 1: Tìm m để phương trình :
.0m3mx)1m(2x
22
=−+−−
có 2 nghiệm x
1
, x
2

thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 8.
Bài 2: Tìm m để phương trình :
.03m4x)1m2(x
2
=−−−−
có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 10.
19
Bi 3: Tỡm m phng trỡnh :
.02m5x)4m(2x)1m2(
2
=+++
cú 2 nghim x
1
,x

2
tho món
.16xx2xx
21
2
2
2
1
+=+
Bi 4: Tỡm m phng trỡnh:
.01mmx2x)1m(
2
=++
cú 2 nghim x
1
, x
2
tho món
.0
2
5
x
x
x
x
1
2
2
1
=++

Bi 5: Tỡm m phng trỡnh:
.0m2x)4m(mx
2
=+
cú 2 nghim x
1
,x
2
tho món
.0xx5)xx(2
21
2
2
2
1
=+
Bi 6: Tỡm m phng trỡnh :
.05mx)2m(x
2
=++
cú 2 nghim x
1
,x
2
tho món
.10xx
2
2
2
1

=+
Bi 7: Tỡm m phng trỡnh :
.0m2x)2m(x
2
=
cú 2 nghim x
1
,x
2
tho món
.8xx
2
2
2
1
=+
Bi 8: Tỡm m phng trỡnh :
.0m3x)3m(x
2
=++
cú 2 nghim x
1
,x
2
tho món
.10xx
2
2
2
1

=+
Bi 9: Tỡm m phng trỡnh :
.05m4x)2m(2x
2
=+
cú 2 nghim x
1
,x
2
tho món
.1
x
x
x
x
1
2
2
1
=+
Bi 10: Tỡm m phng trỡnh :
.03mx)1m2(x)2m(
2
=++
cú 2 nghim x
1
, x
2
tho món x
1

=
2x
2
.
Bi 11: Tỡm m phng trỡnh :
.03m4x)1m(2x
2
=++
cú 2 nghim x
1
, x
2
tho món 2x
1
+ x
2
= 5.
DNG 6: lp h thc liờn h gia x
1
, x
2
khụng ph thuc vo m.
Bi 1: Gi x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh:
.0m3x)1m(2x)2m(
2
=++

Hóy lp h thc liờn h
gia x
1
, x
2
khụng ph thuc vo m.
Bi 2: Gi x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh:
.03mx)1m(2x
2
=+

Hóy lp h thc liờn h gia x
1
,
x
2
khụng ph thuc vo m.
Bi 3: Gi x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh:
.05mx)1m(2x)3m(
2
=+
Hóy lp h thc liờn h

gia x
1
, x
2
khụng ph thuc vo m.
Bi 4: Gi x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh:
.02m2x)1m(3x)3m4(
2
=+++
Hóy lp h thc liờn h gia x
1
, x
2
khụng ph thuc vo m.
Bi 5: Gi x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh:
.01mmx)1m2(x
22
=+++
Hóy lp h thc liờn h
gia x
1
, x

2
khụng ph thuc vo m.
Bi 6: Gi x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh:
.0mx)1m(2x)1m(
2
=++
Hóy lp h thc liờn h gia
x
1
, x
2
khụng ph thuc vo m.
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình
A. Các bớc giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình:
B ớc 1 : Lập hệ phơng trình(phơng trình)
1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thờng ẩn là đại lợng mà bài toán yêu cầu tìm).
2) Biểu thị các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết.
3) Lập hệ phơng trình, (phơng trình)biểu thị mối quan hệ giữa các lợng.
B ớc 2 : Giải hệ phơng trình, (phơng trình)
B ớc 3 : Kết luận bài toán.
b. Bài toán:
20
Dạng toán qui về đơn vị
Bài tập 1: Hai vòi nớc cùng chảy đầy một bẻ không có nớc trong 3h 45ph . Nếu chảy riêng rẽ , mỗi vòi phải
chảy trong bao lâu mới đầy bể ? biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi trớc 4 h .
Giải

Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x ( x > 0 , x tính bằng giờ )
Gọi thời gian vòiớau chảy chảy một mình đầy bể là y ( y > 4 , y tính bằng giờ )
1 giờ vòi đầu chảy đợc
x
1
( bể )
1 giờ vòi sau chảy đợc
y
1
( bể )
1 giờ hai vòi chảy đợc
x
1
+
y
1
( bể ) (1)
Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph =
4
15
h
Vậy 1 giờ cả hai vòi chảy đợc 1:
4
15
=
15
4
( bể ) ( 2)
Từ (1) và (2) ta có phơng trình
x

1
+
y
1
=
15
4
Mt khác ta biết nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trớc 4 giờ tức là y - x = 4
Vậy ta có hệ phơng trình
1 1 4
15
4
x y
y x

+ =




=

2
4 14 60 0
4
x x
y x

=

= +


2
2 7 30 0
4
x x
y x

=


= +


6
2,5
4
x
x
y x

=




=

= +

6
( )
10
2,5
( )
1,5
x
a
y
x
b
y

=



=




=

=




Hệ (a) thoả mãn đk của ẩn
Hệ (b) bị loại vì x < 0
Vậy Vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h
Vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h
Bài tập 2:
Hai ngời thợ cùng làm một công việc . Nếu làm riêng rẽ , mỗi ngời nửa việc thì tổng số giờ làm việc là 12h
30ph . Nếu hai ngời cùng làm thì hai ngời chỉ làm việc đó trong 6 giờ. Nh vậy , làm việc riêng rẽ cả công
việc mỗi ngời mất bao nhiêu thời gian ?
Giải
Gọi thời gian ngời thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa công việc là x ( x > 0 )
Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng l; để xong nửa công việc là y ( y > 0 )
Ta có pt : x + y = 12
2
1
( 1 )
thời gian ngời thứ nhất làm riêng l để xong công việc là 2x => 1 giờ ngời thứ nhất làm đợc
x2
1
công việc
Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng l để xong công việc là 2y => 1 giờ ngời thứ hai làm đợc
y2
1
công việc
21
1 giờ cả hai ngời làm đợc

6
1
công việc nên ta có pt :
x2
1
+
y2
1
=
6
1
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt :





=
=






=
=

=+
=+
5
2
15
2
15
5
6
1
2
1
2
1
2
1
12
y
x
y
x
yx
yx
Vậy nếu làm việc riêng rẽ cả công việc một ngời làm trong 10 giờ còn ngời kia làm trong 5 giờ

Bài tập 3:
Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đờng vào bản trong 4 giờ thì xong . Nếu làm riêng thì tổ 1
làm nhanh hơn tổ 2 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ?
Giải
Gọi thời gian một mình tổ 1sửa xong con đờng là x( giờ ) ( x > 4 )
Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đờng là x + 6 ( giờ )
Trong 1 giờ tổ 1 sửa đợc
x
1
( con đờng )
Trong 1 giờ tổ 2 sửa đợc
6
1
+x
(con đờng )
Trong 1 giờ cả hai tổ sửa đợc
4
1
(con đờng )
Vậy ta có pt:
x
1
+
6
1
+x
=
4
1

=+=++
0242)6(4)6(4
2
xxxxxx
x
1
= 6; x
2
= -4
X
2
= - 4 < 4 , không thoả mãn điều kiện của ẩn
Vậy một mình tổ 1 sửa xong con đờng hết 6 ngày
một mình tổ 2 sửa xong con đờng hết 12 ngày
Bài tập 4:
Hai đội công nhân làm một đoạn đờng . Đội 1 làm xong một nửa đoạn đờng thì đội 2 đến làm tiếp nửa còn
lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đã đã làm là 30 ngày . Nếu hai đội cùng làm thì trong 72 ngày xong
cả đoạn đờng .Hỏi mỗi đội đã làm bao nhiêu ngày trên đoạn đờng này ?
Giải
Gọi thời gian đội 1 làm là x ngày ( x > 0 ) thì thời gian đội 2 làm việc là x + 30 ( ngày )
Mỗi ngày đội 1 làm đợc
x2
1
( đoạn đờng )
Mỗi ngày đội 2 làm đợc
)30(2
1
+
x
( đoạn đờng )

Mỗi ngày cả hai đội làm đợc
72
1
( đoạn đờng )
Vậy ta có pt :
x2
1
+
)30(2
1
+x
=
72
1
Hay x
2
- 42x - 1080 = 0

'
= 21
2
+ 1080 = 1521 = 39
2

x
1
= 21 + 39 = 60 ; x
2
= 21- 39 = - 18 < 0 không thoả mãn đk của ẩn
Vậy đội 1 làm trong 60 ngày , đội 2 làm trong 90 ngày .

22
Bài 5:
Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch trong cùng một thời gian . Đội 1 phải trồng 40 ha ,
đội 2 phải trồng 90 ha . Đội 1 hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với kế hoạch .Đội 2 hoàn thành
muộn hơn 2 ngày so với kế hoạch . Nếu đội 1 làm công việc trong một thời gian bằng thời gian đội 2 đã làm
và đội 2 làm trông thời gian bằng đội 1 đã làm thì diện tích trồng đợc của hai đội bằng nhau . Tính thời gian
mỗi đội phải làm theo kế hoạch ?
Giải
Gọi thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch là x ( ngày ) , x > 0
Thời gian đội 1 đã làm là x - 2 ( ngày )
Thời gian đội 2 đã làm là x + 2 ( ngày )
Mỗi ngày đội 1 trồng đợc
2
40

x
(ha)
Mỗi ngày đội 2 trồng đợc
2
90
+
x
(ha)
Nếu đội 1 làm trong x + 2 ngày thì trồng đợc
2
40

x
(x + 2) (ha)
Nếu đội 2 làm trong x - 2 ngày thì trồng đợc

2
90
+
x
(x - 2) (ha)
Theo đầu bài diện tích rừng trồng dợc của hai đội trong trờng này là bằng nhau nên ta có pt:

2
40

x
(x + 2) =
2
90
+
x
(x - 2)
Hay 5x
2
52x + 20 = 0

/
= 26
2
5.20 = 576 ,
/
= 24
x
1
=

5
2426+
= 10 ; x
2
=
5
2
5
2426
=

x
2
< 2 , không thoả mãn đk của ẩn Vậy theo kế hoạch mỗi đội phải làm việc 10 ngày .
Bài 6: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngời thứ nhất làm trong 3 giờ và ng-
ời thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì
xong .
Giải:
Gọi x , y lần lợt là số giờ ngời thứ nhất ngời thứ hai một mình làm xong công việc đó ( x > 0 , y > 0 )
Ta có hệ pt



=
=

=+
=+
28
24
4
163
16
111
y
x
yx
yx
Bài 7 Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không chứa nớc thì sau 6 giờ đầy bể . Nếu vòi thứ nhất chảy trong 2
giờ , vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì đợc
5
2
bể . Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể ?
Giải :
Gọi x , y lần lợt là số giờ vòi thứ nhất , vòi thứ hai chảy đày bể một mình ( x > 0 , y > 0 )
23
Ta có hệ pt



=
=

=+
=+








=+
=+
15
10
5
232
2
133
5
232
6
111
y

x
yx
yx
yx
yx
x = 10 , y = 15 thoả mãn đk của ẩn . Vậy vòi thứ nhất chảy một mình mất 10 giờ , vòi thứ hai chảy một mình
mất 15 giờ .
Bài tập 8 Hai ngời dự định làm một công việc trong 12 giờ thì xong . Họ làm với nhau đợc 8 giờ thì ngời thứ
nhất nghỉ , còn ngời thứ hai vẫn tiếp tục làm . Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi , nên ngời thứ hai đã làm
xong công việc còn lại trong 3giờ 20phút . Hỏi nếu mỗi ngời thợ làm một mình với năng suất dự định ban
đầu thì mất bao lâu mới xong công việc nói trên ?
Gii
Gọi x , y lần lợt là thời gian ngời thợ thứ nhất và ngời thợ thứ hai làm xong công việc với năng suất dự định
ban đầu .
Một giờ ngời thứ nhất làm đợc
x
1
(công việc )
Một giờ ngời thứ hai làm đợc
y
1
(công việc )
Một giờ cả hai ngời làm đợc
12
1
(công việc )
Nên ta có pt :
x
1
+

y
1
=
12
1
(1)
trong 8 giờ hai ngời làm đợc 8.
12
1
=
3
2
(công việc )
Công việc còn lại là 1 -
3
2
=
3
1
( công việc )
Năng suất của ngời thứ hai khi làm một mình là 2.
y
1
=
y
2
(Công việc )
Mà thời gian ngời thứ hai hoàn thành công việc còn lại là
3
10

(giờ) nên ta có pt

3
1
:
y
2
=
3
10
hay
6
y
=
3
10
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt :

1 1 1
12
10
6 3
x y
y

+ =

=






=
=
20
30
y
x
Vậy theo dự định ngời thứ nhất làm xong công việc hết 30giờ và ngời thứ hai hết 20 giờ .
Bài tập 9: Hai ngời A và B làm xong công việc trông 72 giờ , còn ngời A và C làm xong công việc trong đó
trong 63 giờ và ngơoì B và C làm xong công việc ấy trong 56 giờ . Hỏi nếu mỗi ngời làm một mình thì trong
bao lâu thì trong bao lâu sẽ làm xong công việc >Nếu ba ngời cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong mấy
giờ ?
24
Giải :
Gọi ngời A một mình làm xong công việc trong x (giờ ), x > 0 thì mỗi giờ làm đợc
x
1
( công việc).Ngời B
một mình làm xong công việc trong y (giờ ), y > 0 thì mỗi giờ làm đợc
y
1
( công việc)Ngời C một mình làm
xong công việc trong z (giờ ), z > 0 thì mỗi giờ làm đợc

z
1
( công việc)
Ta có hpt :









==
==
==










=+
=+
=+
4

5
100
5
504
126
4
504
168
3
504
56
111
63
111
72
111
z
y
x
zy
zx
yx
Nếu cả ba ngời cùng làm yhì mỗi giờ làm đợc
x
1
+
y
1
+
z

1
=
504
12
( công việc )
Vậy cả ba ngòi cùng làm sẽ hoàn thành cong việc trong
42
12
504
=
(giờ )
Bài tập 10: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc . Thời gian để đội I làm một mình xong công
việc ít hơn thời gian để đội II làm một mình xong công việc đó là 4 giờ . Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời
gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó . Hỏi mỗi đội làm một mình thì phải bao lâu mới xong .
Giải :
Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x giờ ( x > 0 )
Suy ra thời gian đội II làm một mình xong công việc là x + 4 giờ
Trong 1 giờ hai đội làm chung đợc :
)4(
42
4
11
+
+
=
+
+
xx
x
xx

( công việc )
Thời gian để hai đội làm chung xong công việc là
42
)4(
+
+
x
xx
(giờ)
Vậy ta có pt : 2x + 4 = 4,5 .
42
)4(
+
+
x
xx
hay x
2
+ 4x 32 = 0 x
1
= - 8 ( loại ) x
2
= 4 ( thoả mãn điều kiện
của ẩn ).
Vậy Đội I làm một mình xong công việc hết 4 giờ , đội hai hết 8 giờ .
Dng toỏn chuyn ng
Bài 1 : Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đờng, sau 3 giờ thì hai xe gặp nhau.
Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính vận tốc xe đạp và ô
tô.
HD : Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h), vận tốc của ô tô là y (km/h).

25