MÔ HÌNH HỒI QUY BỘI 2

3.12. Hệ số tương quan riêng phần
•
Xét mô hình
- Các hệ số tương quan riêng phần bậc 2: r
12,34
, r
13,24
, r
14,23
, r
23,14
,
r
24,13
, r
34,12
.
+ Hệ số r
12,34
cho biết mức độ tương quan tuyến tính giữa Y và X
2

trong điều kiện X
3
và X
4
không thay đổi.
+ Hệ số r
23,14
cho biết mức độ tương quan tuyến tính giữa X
2

và X
3

trong điều kiện Y và X
4
không thay đổi.
- Các hệ số tương quan cặp có thể xem là hệ số tương
quan riêng phần bậc 0.
31
1 2 2 3 3 4 4i i i i i
Y X X X U
β β β β
= + + + +
3.13. Kiểm định giả thiết và khoảng tin cậy
của các hệ số hồi quy riêng – kiểm định T
1. Đối với
Ước lượng khoảng tin cậy
Kiểm định giả thiết
2. Đối với
Ước lượng khoảng tin cậy
Kiểm định giả thiết
( 1 )
j
j k
β
= ÷
2
σ
32
Ước lượng khoảng tin cậy đối với

•
Ta có do đó với độ tin cậy (1 -
α
) ta có
- Khoảng tin cậy đối xứng
- Khoảng tin cậy bên phải dùng để ước lượng giá trị tối
thiểu.
- Khoảng tin cậy bên trái dùng để ước lượng giá trị tối đa:
( 1 )
j
j k
β
= ÷
( ) ( )
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) 1
n k n k
j j j j j
P Se T Se T
α α
β β β β β α
− −
 
− < < + = −
 
 
( )
ˆ ˆ
( ) 1

n k
j j j
P Se T
α
β β β α
−
 
> − = −
 
( )
ˆ ˆ
( ) 1
n k
j j j
P Se T
α
β β β α
−
 
< + = −
 
( )
ˆ
ˆ
( )
j j
n k
j
T T
Se

β β
β
−
−
=
:
33
Kiểm định giả thiết đối với
•
Kiểm định các cặp giả thiết
•
Tiêu chuẩn kiểm định
•
Miền bác bỏ giả thiết H
0
với mức ý nghĩa
α
cho trước
của các cặp giả thiết
- Với cặp giả thiết (1)
- Với cặp giả thiết (2)
- Với cặp giả thiết (3)
( 1 )
j
j k
β
= ÷
* * *
0 0 0
* * *

1 1 1
: : :
(1), (2), (3)
: : :
j j j j j j
j j j j j j
H H H
H H H
β β β β β β
β β β β β β
  
= = =
  
  
≠ > <
  
  
{ }
{ }
( )
2
( )
( )
:
:
:
n k
n k
n k
W T T T

W T T T
W T T T
α α
α α
α α
−
−
−
 
= >
 
 
= >
= < −
*
ˆ
ˆ
( )
j j
j
T
Se
β β
β
−
=
34
•
Trường hợp đặc biệt
•

Có thể sử dụng phương pháp kiểm định bằng giá trị P-
value (P-value là mức xác suất nhỏ nhất để bác bỏ giả
thiết H
0
), thường ký hiệu là P.
•
Quy tắc kết luận với mức ý nghĩa α cho trước như sau:
- Với cặp giả thiết (1)
+ Nếu α > P thì bác bỏ giả thiết H
0
+ Nếu α < P thì không có cơ sở bác bỏ giả thiết H
0
- Với cặp giả thiết (2) và (3)
+ Nếu α > P/2 thì bác bỏ giả thiết H
0
+ Nếu α < P/2 thì không có cơ ơở bác bỏ giả thiết H
0
0 0 0
1 1 1
: 0 : 0 : 0
(1), (2), (3)
: 0 : 0 : 0
j j j
j j j
H H H
H H H
β β β
β β β
= = =
  

  
  
≠ > <
  
  
35
Ước lượng khoảng tin cậy đối với
•
Ta có do đó với độ tin cậy (1 -
α
) ta có
- Khoảng tin cậy đối xứng:
- Khoảng tin cậy bên phải dùng để ước lượng giá trị tối
thiểu:
- Khoảng tin cậy bên trai dùng để ước lượng tối đa:
2
σ
2 2
2
2 2
1
2 2
ˆ ˆ
( ) ( )
1
( ) ( )
n k n k
P
n k n k
α α

σ σ
σ α
χ χ
−
 
− −
 
< < = −
 
− −
 
 
2
2
2
ˆ
( )
1
( )
n k
P
n k
α
σ
σ α
χ
 
−
> = −
 

−
 
2
2
2
1
ˆ
( )
1
( )
n k
P
n k
α
σ
σ α
χ
−
 
−
< = −
 
−
 
2
2 2
2
ˆ
( )
( )

n k
n k
σ
χ χ
σ
−
= −:
36
Kiểm định giả thiết đối với
•
Kiểm định các cặp giả thiết
•
Tiêu chuẩn kiểm định
•
Miền bác bỏ giả thiết H
0
với mức ý nghĩa
α
cho trước của các
cặp giả thiết
- Với cặp giả thiết (1)
- Với cặp giả thiết (2)
- Với cặp giả thiết (3)
2
σ
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2
1 0 1 0 1 0
: : :

(1), (2), (3)
: : :
H H H
H H H
σ σ σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ
  
= = =
  
  
≠ > <
  
  
{ }
{ }
2 2
2
2
2 2
1
2
2 2 2
2 2 2
1
( )
:
( )
: ( )
: ( )
n k

W
n k
W n k
W n k
α
α
α
α α
α α
χ χ
χ
χ χ
χ χ χ
χ χ χ
−
−
 

> −
 

=
 

< −
 


 
= > −

= < −
2
2
2
0
ˆ
( )n k
σ
χ
σ
−
=
37
3.14. Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi quy
•
R
2
tổng thể
= 0 : hàm hồi qui không phù hợp
•
Kiểm định cặp giả thiết
•
Ta có
•
Miền bác bỏ giả thiết H
0
với mức ý nghĩa
α
cho trước
•

Sử dụng giá trị P-value
+ Nếu α > P thì bác bỏ giả thiết H
0
+ Nếu α < P thì không có cơ ơở bác bỏ giả thiết H
0
2
0 2 3
0
2
1
1
: 0
: 0
: ! 0
: 0
k
j
H
H R
H
H R
β β β
β
= = = =

=


⇔
 

∃ ≠
>



2
2
/( 1)
( 1, )
(1 )/( )
R k
F F k n k
R n k
−
= − −
− −
:
{ }
: ( 1, )W F F F k n k
α α
= > − −
38
3.15. Hồi quy có điều kiện ràng buộc – Kiểm định F
•
Xét mô hình k biến, ký hiệu là UR (Unrestricted Model)
•
Nếu có cơ sở cho rằng một số biến nào đó của mô hình
là không cần thiết, chẳng hạn: X
m+1
, X

m+2
,…,X
k
. Khi đó ta
kiểm định cặp giả thiết:
•
Nếu giả thiết H
0
là đúng thì mô hình trở thành mô hình
mới R (Restricted Model) – mô hình m biến
39
1 2 2 3 3 1 1

i i i m mi m m i k ki i
Y X X X X X U
β β β β β β
+ +
= + + + + + + + +
0 1 2
1
: 0
: ! 0( ( 1) )
m m k
j
H
H j m k
β β β
β
+ +
= = = =



∃ ≠ = + ÷

1 2 2 3 3

i i i m mi i
Y X X X U
β β β β
= + + + + +
•
Thủ tục kiểm định
- Bước 1: Lần lượt hồi quy các mô hình UR và R tìm
được RSS
UR
, R
2
UR

và RSS
R
, R
2
R
- Bước 2: Sử dụng tiêu chuẩn kiểm định:
Chú ý: Công thức (*) chỉ áp dụng được khi biến phụ thuộc trong hai mô
hình (UR) và (R) là như nhau
- Miền bác bỏ với mức ý nghĩa α cho trước
40
2 2

2
( ) /( )
( , )
( )/( )
( )/( )
( , )(*)
(1 )/( )
R UR
UR
UR R
UR
RSS RSS k m
F F k m n k
RSS n k
R R k m
F F k m n k
R n k
− −

= − −

−


− −
= − −

− −

:

:
{ }
: ( , )W F F F k m n k
α α
= > − −
•
Một số trường hợp quy về kiểm định thu hẹp hồi quy
- Kiểm định xem sự ảnh hưởng của X
2
, X
3
đến Y có như
nhau không:
+ Nếu giả thiết H
0
đúng thì khi đó thay β
2
= β
3
và mô
hình trở thành:
+ Đặt X
i
= X
2i
+ X
3i
ta có:
41
1 2 2 3 3

(UR)
i i i i
Y X X U
β β β
= + + +
0 2 3 0 2 3
1 2 3 1 2 3
: : 0
: : 0
H H
H H
β β β β
β β β β
= − =
 
⇔
 
≠ − ≠
 
1 2 2 3
( )
i i i i
Y X X U
β β
= + + +
1 2
( )
i i i
Y X U R
β β

= + +
•
Một số trường hợp quy về kiểm định thu hẹp hồi quy
- Kiểm định xem sự ảnh hưởng của X
2
, X
3
đến Y có bù
trừ cho nhau không:
+ Nếu giả thiết H
0
đúng thì khi đó thay β
2
= -β
3
và mô
hình trở thành:
+ Đặt X
i
= X
2i
- X
3i
ta có:
42
1 2 2 3 3
(UR)
i i i i
Y X X U
β β β

= + + +
0 2 3 0 2 3
1 2 3 1 2 3
: 0 :
: 0 :
H H
H H
β β β β
β β β β
+ = = −
 
⇔
 
+ ≠ ≠ −
 
1 2 2 3
( )
i i i i
Y X X U
β β
= + − +
1 2
( )
i i i
Y X U R
β β
= + +
•
Một số trường hợp quy về kiểm định thu hẹp hồi quy
- Kiểm định xem sự ảnh hưởng của X

2
đến Y có gấp đôi
ảnh hưởng của X
3
đên Y không:
+ Nếu giả thiết H
0
đúng thì khi đó thay β
3
= β
2
/2 và mô
hình trở thành:
+ Đặt X
i
= X
2i
+ X
3i
/2 ta có:
43
1 2 2 3 3
(UR)
i i i i
Y X X U
β β β
= + + +
0 2 3 0 2 3
1 2 3 1 2 3
: 2 : 2 0

: 2 : 2 0
H H
H H
β β β β
β β β β
= − =
 
⇔
 
≠ − ≠
 
1 2 2 3
1
( )
2
i i i i
Y X X U
β β
= + + +
1 2
( )
i i i
Y X U R
β β
= + +
•
Xét mô hình
•
Khi muốn kiểm định về tổ hợp tuyến tính bất kỳ của các
hệ số hồi quy:

•
Ta có hai cách để kiểm định
- Cách 1: Sử dụng kiểm định T
- Cách 2: Sử dụng kiểm F về sự thu hẹp hàm hồi quy
44
1 2 2 3 3
(UR)
i i i i
Y X X U
β β β
= + + +
0 2 3 0 2 3
1 2 3 1 2 3
: : 0
: : 0
H a b H a b
H a b H a b
β β β β
β β β β
= − =
 
⇔
 
≠ − ≠
 
•
Kiểm định T
–
Tiêu chuẩn kiểm định
–

Miền bác bỏ với mức ý nghĩa α cho trước được xác
định như sau:
45
( 3)
2 3
2 3
2 3 2 2 3 3
2 2
2 2 3 3
2 2
2 3 2 2 3 3
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) 2 ( , ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) 2 ( , ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) 2 ( , ) ( )
n
a b
T T
Se a b
Var a b Var a Cov a b Var b
a Var abCov b Var
Se a b a Var abCov b Var
β β
β β
β β β β β β

β β β β
β β β β β β
−
−
=
−
− = − +
= − +
⇒ − = − +
:
( 3)
2
:
n
W T T T
α α
−
 
= >
 
 
•
Kiểm định F về sự thu hẹp hàm hồi quy
•
Nếu giả thiết H
0
đúng thì khi đó thay β
3
= aβ
2

/b và mô
hình trở thành:
•
Đặt X
i
= X
2i
+ aX
3i
/b ta có:
46
1 2 2 3 3
(UR)
i i i i
Y X X U
β β β
= + + +
1 2 2 3
( )
i i i i
a
Y X X U
b
β β
= + + +
1 2
( )
i i i
Y X U R
β β

= + +
3.16. Dự báo
•
Xét mô hình k biến
•
Sử dụng SRF ước lượng được để dự báo về biến
phụ thuộc.
- Dự báo giá trị trung bình của biến phụ thuộc
(biết X
0
T
= (1, X
02
, X
03
,…,X
0k
) cần dự báo giá trị E(Y/X
0
)).
- Dự báo giá trị cá biệt của biến phụ thuộc
(biết X
0
T
= (1, X
02
, X
03
,…,X
0k

) cần dự báo giá trị (Y
0
= Y/X
0
))
47
1 2 2 3 3

i i i k ki i
Y X X X U
β β β β
= + + + + +
Dự báo giá trị trung bình của biến phụ thuộc
•
SRF cho ta một ước lượng điểm của E(Y/X
0
) trên mẫu
•
Để dự báo E(Y/X
0
) cho tổng thể ta ƯL khoảng tin cậy của nó.
•
Ta có
•
Do đó với độ tin cậy (1-
α
) cho trước
0 0
ˆ
ˆ

T
Y X
β
=
( )
0 0
0
1
0 0 0
ˆ
( / )
ˆ
( )
ˆ
ˆ
( ) ( )
n k
T T
Y E Y X
T T
Se Y
Se Y X X X X
σ
−
−
−
=
=
:
( ) ( )

0 0 0 0 0
2 2
( )
0 0 0
( )
0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( / ) ( )
ˆ ˆ
( / ) ( )
ˆ ˆ
( / ) ( )
n k n k
n k
n k
Y Se Y T E Y X Y Se Y T
E Y X Y Se Y T
E Y X Y Se Y T
α α
α
α
− −
−
−
− < < +
> −
< +
48
Dự báo giá trị cá biệt của biến phụ thuộc
•

SRF cho ta một ước lượng điểm của Y
0
= (Y/X
0
) trên mẫu
•
Để dự báo Y
0
của tổng thể ta ƯL khoảng tin cậy của nó.
•
Ta có
•
Do đó với độ tin cậy (1-
α
) cho trước
0 0
ˆ
ˆ
T
Y X
β
=
( )
0 0
0 0
1
0 0 0
ˆ
ˆ
( )

ˆ
ˆ
( ) 1 ( )
n k
T T
Y Y
T T
Se Y Y
Se Y X X X X
σ
−
−
−
=
−
= +
:
( ) ( )
0 0 0 0 0 0 0
2 2
( )
0 0 0 0
( )
0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ
( ) ( )
ˆ ˆ
( )
ˆ ˆ
( )

n k n k
n k
n k
Y Se Y Y T Y Y Se Y Y T
Y Y Se Y Y T
Y Y Se Y Y T
α α
α
α
− −
−
−
− − < < + −
> − −
< + −
49
3.17. Thí dụ
•
Thí dụ 3.1 – trang 55
•
Thí dụ 3.3 – trang 70
50
3.18. Một số dạng của hàm hồi quy
•
Hàm tổng chi phí
•
Hàm tăng trưởng
•
Hàm sản xuất Cobb – Douglas
•

Hàm tuyến tính – loga
•
Hàm loga – tuyến tính
•
Hàm dạng Hypecbpl
•
Hàm xu thế và hàm có biến trễ
51
Hàm tổng chi phí
•
Dạng hàm
•
Biến đổi
52
2 3
1 2 3 4 1 2 3 4
( 0, 0, 0, 0)
i i i i i
TC Q Q Q U
β β β β β β β β
= + + + + > > < >
2 3
2 3
1 2 3 2 4 3
,
i i i i
i i i i i
Q Q Q Q
TC Q Q Q U
β β β β

= =
⇒ = + + + +
Hàm tăng trưởng
•
Dạng hàm
Trong đó: r là tốc độ tăng trưởng
•
Biến đổi
53
0
(1 )
t
t
Y Y r
= +
0
1 0 2
1 2
ln ln ln(1 )
ln , ln(1 )
ln
t
t
Y Y t r
Y r
Y t
β β
β β
= + +
= = +

⇒ = +
Hàm sản xuất Cobb – Douglas
•
Dạng hàm
Trong đó β
2
, β
3
là hệ số co giãn của Q theo K, L.
•
Biến đổi
54
3
2
1
i
U
i i i
Q K L e
β
β
β
=
1 2 3
*
1 1
*
1 2 3
ln ln ln ln
ln , ln , ln , ln

i i i i
i i i i i i
i i i i
Q K L U
LQ Q LK K LL L
LQ LK LL U
β β β
β β
β β β
= + + +
= = = =
⇒ = + + +
Hàm tuyến tính – loga
•
Dạng hàm
•
Biến đổi
•
Ý nghĩa: khi X tăng 1% thì Y tăng β
2
đơn vị (?)
55
1 2
ln
i i i
Y X U
β β
= + +
*
*

1 2
ln
i i
i i i
X X
Y X U
β β
=
⇒ = + +