tai lieu on thi tn,2011
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (284.5 KB, 25 trang )
Đề cương ôn tập 12-cơ bản Trường PT cấp 2-3 Đakia
A. PHẦN GIẢI TÍCH:
CHƯƠNG I:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
I.KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ :
a. Hàm số bậc 3 :
y ax bx cx d
B1 : TXĐ D= R
B2 : Tính đạo hàm cấp 1 :
y ax bx c
, cho y
’
= 0 giải pt bậc 2 tìm nghiệm x , suy ra y
B3 : Tìm các giới hạn
y khi a y khi a
x x
B4 : Lập bảng biến thiên , kết luận các khoảng tăng giảm và các điểm CĐ và CT của hàm số .
B5 : Tìm các điểm đặc biệt bằng cách cho x hai giá trị bên ngồi hồnh độ các điểm CĐ và CT rồi tìm y
B6 : Vẽ đồ thị hàm số (Vẽ các điển CĐ, CT trước).
b. Hàm số trùng phương :
y ax bx c
B1 : TXĐ D= R
B2 : Tính đạo hàm cấp 1 :
y ax bx
, cho y
’
= 0 giải pt bậc 3 bằng cách đặt x làm thừa số chung tìm
nghiệm x , suy ra y
B3 : Tìm các giới hạn
y khi a y khi a
x x
B4 : Lập bảng biến thiên , kết luận các khoảng tăng giảm và các điểm CĐ và CT của hàm số .
B5 : Tìm các điểm đặc biệt bằng cách cho
x x
(
x
nằm ngồi cực trị ), tìm y
B6 : Vẽ đồ thị hàm số (Vẽ các điển CĐ, CT trước).
c. Hàm số nhất biến :
ax b
y
cx d
c ad bc
B1 : TXĐ
D R x
với x
0
là nghiệm dưới mẫu ,
d
x
c
B2 : Tính đạo hàm :
a b
c d
ad bc
y
cx d cx d
( khẳng định > 0 hoặc < 0 với mọi x thuộc D )
Suy ra hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên các khoảng
d
c
và
d
c
.
B3 : Tìm các giới hạn và các tiệm cận
a
y y y
c
x
x x
x x
o
TCĐ : x = x
0
TCN :
a
y
c
B4 : Lập bảng biến thiên .
B5 : Tìm các điểm đặc biệt: Giao điểm với OX:
b
a
Giao điểm với OY:
b
d
B6 : Vẽ đồ thị hàm số : vẽ 2 tiệm cận trước , sau đó vẽ đồ thị
II.CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN KHẢO SÁT VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Viết phương trình tiếp tuyến của đths ( C) : y = f(x) tại điểm M( x
0
; y
0
)
B1: Tính y
’
= f
’
(x) ( đạo hàm cấp 1 )
B2: Tính hệ số góc của tiếp tuyến
k f x
B3: pttt y = k( x - x
0
) + y
0
Trang
1
Trường PT cấp 2-3 Đakia Đề cương ôn tập 12-cơ bản
Chú ý :
Nếu chỉ cho hồnh độ x
0
thì ta tìm y
0
bằng cách thế giá trị x
0
vào hàm số đã cho
Nếu chỉ cho tung độ y
0
thì ta tìm x
0
bằng cách thế giá trị y
0
vào hàm số đã cho và giải pt tìm x thì giá trị đó là x
0
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đths ( C) : y = f(x) biết hệ số góc của tiếp tuyến là k
Chú ý: có thể xảy ra ba trường hợp:
• Cho k ⇒ f
’
(x
0
) = k
• Tiếp tuyến song song với d: y = kx + b ⇒ f
’
(x
0
) = k
• Tiếp tuyến vng góc với d: y = kx + b ⇒ f
’
(x
0
).k = -1 ⇒ f
’
(x
0
) = -1/ k
B1: Tính y
’
= f
’
(x) ( đạo hàm cấp 1 )
B2: Gọi điểm M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm
B3: Giải pt f
’
(x
0
) = k tìm x
0
, thế vào hàm số tìm y
0
, được điểm M (x
0;
y
0
).
B4 : Viết pttt của hàm số lần lượt tại các điểm M (x
0;
y
0
) theo cơng thức y = k( x - x
0
) + y
0
3.Dùng đồ thị (C ) : y = f(x) biện luận theo m số nghiệm của pt : f( x, m ) = 0 (1)
Biến đổi vế trái pt (1) thành biểu thức f(x) của đths vừa khảo sát vẽ đồ thị ở trên ,còn lại chuyển qua vế phải
(1)
⇔
f(x) = f(m) .Đây là pthđgđ của (C ) và đường thẳng
∆
có pt y = f (m)
Dựa vào đồ thị biện luận các trường hợp nghiệm của pt (1)
Chú ý :ta căn cứ vào tung độ của các điểm CĐ và CT
4. Tìm GTLN , GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]
• Tính y
’
, cho y
’
= 0 tìm các nghiệm x
1
, x
2
… ( loại các nghiệm khơng thuộc [a ; b] )
• Tính f(a) , f(b) , f(x
1
) , f(x
2
) , …
• Kết luận :
Số lớn nhất trong các số trên là GTLN của hàm số . Kí hiệu là
!"
y
a b
Số nhỏ nhất trong các số trên là GTNN của hàm số Kí hiệu là
#
y
a b
Chú ý :
Nếu y
’
= 0 vơ nghiệm ( tức y
’
> 0 hoặc y
’
< 0 trên đoạn [ a ; b ] ) thì GTLN và GTNN của hàm số chính là giá trị
ở 2 đầu mút f(a) , f(b)
Đối với hàm số lượng giác ta có thể đặt
t xj
với
x a b$
t a b% $
.
Đưa bài tốn về dạng tìm GTLN , GTNN trên đoạn
a b
5. Tìm GTLN , GTNN của hàm số y = f(x)
• Tìm TXĐ: D
• Tính y
’
, cho y
’
= 0 tìm các nghiệm x
1
, x
2
… ( loại các nghiệm khơng thuộc D )
• Lập bảng biến thiên
• Kết luận :
CHƯƠNG 2 : HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ , HÀM SƠ LƠGARÍT
I.LŨY THỪA
1.Các định nghĩa
& & &&&
n
a aa a a
( n thừa số a )
' a a
;
'
n
a a
n
a
;
m
n
m
n
a a
2.Các tính chất
&
m n m n
a a a
;
m
a
m n
a
n
a
;
n
n
a
a
n
b
b
;
&
n
mn
m
a a
;
& &
n n
n
ab a b
& &
n n
n
ab a b
;
n
a
a
n
n
b
b
;
m
n
m
n
a a
;
&
n
m n m
a a
;
((((( ( (
(((( ( (
a khi n le
n
n
a
a khi n chan
)
*
*
*
+
*
*
*
,
II.LƠGARÍT
1. Định nghĩa
b a b
a
a
a /
(
' a b
)
2.Các tính chất của lơgarít :
' '
a
a a
;
b
a
a b
;
'
b
a
a
b
Trang
2
Đề cương ôn tập 12-cơ bản Trường PT cấp 2-3 Đakia
&
b
a a
b
a
a
;
'
&
b
a
a
b
a
a
;
'
b
a
a
b
Cơng thức đổi cơ số
b
b
c
a
a
c
hay
&
b a b
a c c
Lơgarít của một tích
'
&
'
b b
b b
a a a
Lơgarít của một thương
'
'
b b
b
a a a
b
3.Lơgarít tự nhiên , lơgarít thập phân
#
b
b
e
đgl lơgarít tự nhiên của b , đọc là lốc b
'
b
b
đgl lơgarít thập phân của b
Chú ý : lne = 1 ; ln1 = 0
III.CÁC HÀM SỐ
1.Hàm số lũy thừa :
y x
a
2.Hàm số mũ :
x
y a
x
a x 0
Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến
Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến
3.Hàm số lơgarít :
y x
a
Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến
Nếu 0<a < 1 thì hàm số nghịch biến
IV.ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ LŨY THỪA , MŨ , LƠGARÍT
'
&x x
a
a
a
;
'
& &u u u
a
a
a
;
x
x
e e
;
&#
x
x
a a a
;
&# &
u
u
a a a u
'
#x
x
;
'
&#
x
a
x a
;
&#
u
u
a
u a
V. CÁC DẠNG TỐN CƠ BẢN :
1.Tính giá trị biểu thức có chứa lũy thừa , mũ , lơgarít :
Vận dung các tính chất lũy thừa và các cơng thức về lơarít
2.Giải pt mũ
Pt cơ bản :
b
x
a b x b
a
/
; Mở rộng :
b
f x
a b f x b
a
/
Đưa về cùng cơ số :
f x g x
a a f x g x /
Đặt ẩn phụ : t = a
x
, t > 0 . Giải pt tìm t , suy ra x .
Lơgarít hóa : lấy lơgarít 2 vế pt với 1 cơ số thích hợp
3.Giải pt lơgarít
Chú ý :Khi giải pt lơgarít trước tiên phải đặt điều kiện
Pt cơ bản :
b
x b x a
a
/
Mở rộng :
f x
b
b f x a
a
/
Đưa về cùng cơ số :
f x
g x
f x g x
a a
/
Đặt ẩn phụ :
x
t
a
. Giải pt tìm t , suy ra x .
Mũ hóa : lũy thừa 2 vế cùng 1 cơ số .
4.Giải bất pt mũ
Các cách giải bất pt mũ tương tự như pt mũ
Chú ý : cơ số a >1 hay 0< a < 1 để bất pt có đổi chiều hay khơng
Cụ thể :
Với a > 1
Bất pt cơ bản :
b
x
a b x
a
/
Trang
3
Trường PT cấp 2-3 Đakia Đề cương ôn tập 12-cơ bản
Bất pt mở rộng :
b
f x
a b f x
a
/
Đưa về cùng cơ số :
f x g x
a a f x g x /
Đặt ẩn phụ
Với 0 < a < 1
Bất pt cơ bản :
b
x
a b x
a
/
Bất pt mở rộng :
b
f x
a b f x
a
/
Đưa về cùng cơ số :
f x g x
a a f x g x /
Đặt ẩn phụ
5.Giải bất pt lơgarít
Chú ý :Khi giải bất pt lơgarít trước tiên phải đặt điểu kiện
Các cách giải bất pt lơgarít tương tự như pt lơgarít
Chú ý : cơ số a >1 hay 0< a < 1 để bất pt có đổi chiều hay khơng
Cụ thể :
Với a > 1
Bất pt cơ bản :
x
b
b x a
a
/
Bất pt mở rộng :
f x
b
b f x a
a
/
Đưa về cùng cơ số :
f x
g x
f x g x
a a
/
Đặt ẩn phụ
Với 0 < a < 1
Bất pt cơ bản :
b
x b x a
a
/
Bất pt mở rộng :
b
b f x a
a
f x /
Đưa về cùng cơ số :
f x g x
a a
f x g x /
Đặt ẩn phụ
PHẦN BÀI TẬP
A. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN.
Câu 1: Cho hàm số
'y x x
có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2) Dùng đồ thị (C) , xác định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt:
x x k
.
Câu 2: Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 2 , có đồ thị là ( C )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hồnh độ bằng 3.
Câu 3: Cho hàm số
'y x x
có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng -1
Câu 4: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
1 2y x x
.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng
3 ''d y x
.
Câu 5: Cho hàm số
'y x x
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng
'
3 ''
4
d y x
.
Trang
4
Đề cương ôn tập 12-cơ bản Trường PT cấp 2-3 Đakia
Câu 6: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
y x x
.
2) Biện luận theo m số nghiện của phương trình:
x x m
.
Câu 7: Cho hàm số
y x x
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hồnh độ bằng 3.
Câu 8: Cho hàm số
'
y x x
có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có tung độ bằng
.
Câu 9: Cho hàm số
'y x x
có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
(x x m
.
Câu 10: Cho hàm số : y = – x
4
– x
2
+ 2 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C)
biết hệ số góc của (d) bằng –6.
Câu 11: Cho hàm số
' 2
y x x
(C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến song song với d: y = -4x + 2011.
Câu 12: Cho hàm số y = x
4
– x
2
+3, có đồ thị là (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến vng góc với d: y =
'
5
x + 2011.
Câu 13: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
'
x
y
x
.
2) Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m đường thẳng (d):
6 "
ln cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt.
Câu 14: Cho hàm số
'
'
x
y
x
. (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
2) Tìm m để đường thẳng d: y = x +m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.
Câu 15: Cho hàm số
'
'
x
y
x
có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M(2; 5) .
Câu 16: Cho hàm số
'
x
y
x
(C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) ,biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -5 .
Câu 17: Cho hàm số
'
x
y
x
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm trên (C) có tung độ
y
.
Câu 18: Cho hàm số: y =
'
'
x
x
có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
Trang
5
Trường PT cấp 2-3 Đakia Đề cương ôn tập 12-cơ bản
Câu 19: Cho hàm số
2
x
y
x
có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ bằng 1.
Câu 20: Cho hàm số
'
'
x
y
x
có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục Ox.
Câu 21: Cho hàm số: y = f(x) =
'
x
x
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vng góc với d:
'
''
2
y x
.
B. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
y x x
b)
y x x
c)
y x x
d)
y x x
e)
'
x
y
x x
f)
2
'
x x
y
x
g)
'
y x x
x
h)
'
'
x x
y
x
i)
'
x x
y x
x
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
' 'y x x x
trên [–1; 5] b)
y x x
trên [–2; 3]
c)
y x x
trên [–3; 2] d)
2y x x
trên [–2; 2]
e)
'
x
y
x
trên [0; 2] f)
'
'
x
y
x
trên [0; 4]
g)
7 7
x x
y
x
trên [0; 2] h)
'
'
x x
y
x
trên [0; 1]
i)
'y x
trên [–6; 8] k)
y x x
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
8# '
8#
x
y
x
b)
8# 8# y x x
c)
8# 9-8 'y x x
d)
9-8 8# 'y x x
e)
'
x
x
y
f) f(x) =
x x
.
g)
x
y xe
trên
. h)
(:# ;;y x x
trên [1 ; e]. i)
'
x x
y
trên [0; 2].
j)
#y x x
k)
x
y x e
trên
''
. l)
#y x x
m)
x
x
e
y
e e
trên
# #
. n) y = sin2x – x trên
p p
< =
> ?
> ?
@ A
. o) y = cos 2x – 1 trên [0; π].
C. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARÍT
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
5 :
'
x x
; 2)
'
7
x
x
; 3)
&4
x x
; 4)
'
4 & 4
x x
5)
2 2
x x
; 6)
'
x
x
; 7)
7 '
' '
&
x x
; 8)
'
x x x
9)
2
4
x x
; 10)
'
4 & 4
x x
; 11)
' '
&2 &2
x x
; 12)
2
x x
Trang
6
Đề cương ôn tập 12-cơ bản Trường PT cấp 2-3 Đakia
13)
2
2
2
x
x
; 14)
&
x x
; 15)
'
& 7
x x
; 16)
'
x x
17)
'
7& 2 2
x x x x
18)
7 4&2 2 4&7
x x x x
19)
2 2
x x x x
; 20)
' ' '
2 2
x x x x x x
21)
' '
x x x x
; 22)
' '
2 (5&(2 1 &(2 2
x x x
23)
2&
x x
24)
'
:
x x
25)
' '
5& :
x x
; 26)
: 2
& 7
x x
27)
'5 '7& '5
x x
; 28)
'
4 7 :
x x
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1) log
3
(2x+5) – 2 = 0 2)
'
2 x x
3)
2 2
' x x
4)
2 'x x
5)
'
2 ' 5x x
6) lg5+lg(x+10)-1= lg(21x-20)-lg(2x-1)
7) log
8
x + log
64
x =
'
8)
2 2 2
5 x x x
9)
2 2
x x
10)
2
x
x x
11)
' 'x x
12)
'
x
13)
'
'
4
x
14)
4
x
x
15)
'
2 x x
16)
2
& 2 '
x
x
17)
'
'
x
x x x
18)
x x
19)
' :x x
20)
'
5x x x
21)
. . . x x x
22)
x x
23)
2 4 x x
24)
' '
x x
25)
'
2 ' 5x x
26)
:
x
x
27)
7
5
x
x
28)
'
'
. .x x
Bài 3. Giải các bất phương trình sau:
1)
'
2 2
x x x x x
2)
'
''
x x
x
3)
4 5
x x x x
4)
7 '
5 &
x x x
5)
'
& & & : '
x
x x
x x x x
6)
'
5& & & & 4
x x x
x x x x
7)
' '
4 4 4
x x x x x x
8)
'
7& 2 2
x x x x
B
9)
'
2 2
x x x x
10)
' (
& (5
x x
11) 2
2x
-3.2
x+2
+ 32 < 0 12) 8
x
≤ 4 ( 4 – 2
x
)
13) 25
x
< 6. 5
x
– 5 14) 4
x
+ 2
x+1
– 80 > 0
15)
5
2x
– 5
x+1
> 4
16)
'2 '
'
x x
x
17)
'
'
'&
x
x
18)
&7 7&' 5&
x x x
B
19)
'
5 x x
20)
'
' x x B
21)
'
2
5
x
x
C
22)
'
' 'x
Trang
7
Trường PT cấp 2-3 Đakia Đề cương ôn tập 12-cơ bản
23)
:
x x B
24)
'
x C
25)
'
:
:
x x
26)
'
2
2
5 : x x x
CHƯƠNG III: NGUN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
§1. NGUN HÀM
TC1:
kf x dx k f x dx k
D D
TC2:
f x g x dx f x dx g x dx
D D D
TC3: Nếu
f x dx F x C
D
thì
f u du F u C
D
.
Ngun hàm của những hàm số cần nhớ
a b a$ E &
:
dx x C
D
'
#
dx
ax b C
ax b a
D
'
'
'
x
x dx C
a
a
a
a
D
x x
e dx e C
D
8# 9-8xdx x C
D
'
ax ax
e dx e C
a
D
9-8 8#xdx x C
D
'
8# 9-8axdx ax C
a
D
9-8
dx
tgx C x k
x
p
p
D
'
9-8 8#axdx ax C
a
D
9-F
8#
dx
gx C x k
x
p
D
'
9-8
dx
tgx C x k
ax a
p
p
D
#
dx
x C x
x
D
'
9-F
8#
dx
gax C x k
ax a
p
D
§2. TÍCH PHÂN :
1) Định nghĩa:
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
D
2) Tính chất:
TC1:
b a
a b
f x dx f x dx
D D
TC2:
b b
a a
kf x dx k f x dx k
D D
TC3:
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
D D D
TC4:
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
D D D
3) Bài tập:
Chú ý:
Trang
8
Đề cương ôn tập 12-cơ bản Trường PT cấp 2-3 Đakia
- Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm
số đã biết ngun hàm.
- Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép
chia tử cho mẫu.
- Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ.
Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu
GTTĐ khơng đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
9-8 9-8x xdx
p
D
c.
'
'
x x
dx
x
D
b.
9-8 8#x x dx
p
p
D
d.
#
'
x x
e
dx
x
D
Bài 2: Cho hàm số
'
x
f x
x
và hàm số
# 'F x x
.
a. Chứng minh rằng
F x
là ngun hàm của
f x
.
b. Áp dụng câu a. tính
'
'
xdx
x
D
.
Bài 3: Cho hàm số
# #f x x x x x
.
a. Tính
f x
G
.
b. Áp dụng câu a. tính
'
#
e
xdx
D
.
Bài 4: Biết hàm số
9-8 8#
9-8 8#
x x
F x
x x
là một ngun hàm của
f x
. Hãy tính :
f x dx
p
G
D
.
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
1) Cơng thức tổng qt:
&
b
a
f x x dx f t dt
b
a
j j
G
D D
Cơng thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của
f xj
(hàm số
theo biến là
xj
) với đạo hàm của hàm
xj
. Áp dụng cơng thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách
đặt cụ thể như sau:
a) TH1:
8# &9-8f x xdx
b
a
D
.
Đặt
8#t x
hoặc
8#t p x q
p q $ E
hoặc
8#
n
t p x q
nếu như biểu thức
8#p x q
nằm trong
n
.
b) TH2:
9-8 &8#f x xdx
b
a
D
.
Đặt
9-8t x
Trang
9
Trường PT cấp 2-3 Đakia Đề cương ôn tập 12-cơ bản
hoặc
9-8t p x q
p q $ E
hoặc
9-8
n
t p x q
nếu như biểu thức
9-8p x q
nằm trong
n
.
c) TH3:
'
# &f x dx
x
b
a
D
.
Đặt
#t x
hoặc
#t p x q
p q $ E
hoặc
#
n
t p x q
nếu như biểu thức
#p x q
nằm trong dấu
n
.
d) TH4:
'
&
9-8
f tgx dx
x
b
a
D
.
Đặt
t tgx
hoặc
t ptgx q
p q $ E
hoặc
n
t ptgx q
nếu như biểu thức
ptgx q
nằm trong dấu
n
.
e) TH5:
'
&
8#
f cotgx dx
x
b
a
D
.
Đặt
t cotgx
hoặc
t pcotgx q
p q $ E
hoặc
n
t pcotgx q
nếu như biểu thức
pcotgx q
nằm trong
n
.
2) Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
5
9-8
8# '
xdx
x
p
D
c.
'
#
e
dx
x x
D
b.
59-8 '8#x xdx
p
p
D
d.
'4
:
xdx
x
D
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
'
2
x dx
x x
D
c.
5
9-F ' 8#
dx
gx x
p
p
D
b.
9-8
tgx
e dx
x
p
D
d.
'
'
x
dx
e x
D
Bài 3: Tính các tích phân sau đây:
a.
9-8
tgxdx
x
p
D
c.
5
8#
9-8 8#
xdx
x x
p
D
Trang
10
Đề cương ôn tập 12-cơ bản Trường PT cấp 2-3 Đakia
b.
5
8# 9-8x xdx
p
p
D
d.
9-8
8# 9-8
xdx
x x
p
D
Bài 4: Tính các tích phân sau đây:
a.
8#
9-8
xdx
x
p
D
c.
5
8#
8# '
xdx
x
p
D
b.
'x x dx
D
d.
5
dx
tgx tg x
p
p
D
§4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:
1) Cơng thức tổng qt:
b b
b
a
a a
uv dx uv vu dx
G G
D D
hay
b b
b
a
a a
udv uv vdu
D D
(1)
2) Các bước thực hiện:
Bước 1: Đặt:
(((((
(((((((((((((((
((((((((((((((((((((
u u x
du u x dx
dv v x dx v v x
) )
G
* *
* *
* *
%
+ +
* *
G
* *
* *
, ,
Bước 2: Thế vào cơng thức (1).
Bước 3: Tính
b
a
uv
và suy nghĩ tìm cách tính tiếp
b
a
vdu
D
(tích phân này có thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân từng phần tùy từng bài tốn cụ thể mà ta
phải xem xét).
3) Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần:
Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như sau:
a) Dạng 1:
&
b
a
p x q x dx
D
Trong đó
p x
là hàm số đa thức, còn
q x
là hàm
8# xa
hoặc
9-8 xa
.
Trong trường hợp này ta đặt:
(((u p x
dv q x dx
)
*
*
+
*
*
,
Chú ý : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào cơng thức ta được
b
a
vdu
D
phức tạp hơn
b
a
udv
D
ban
đầu.
b) Dạng 2:
&
b
a
p x q x dx
D
Trong đó
p x
là hàm số đa thức, còn
q x
là hàm logarit.
Trong trường hợp này ta đặt:
((((u q x
dv p x dx
)
*
*
+
*
*
,
Trang
11
Trường PT cấp 2-3 Đakia Đề cương ôn tập 12-cơ bản
Chú ý: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn khi suy ra
v
từ
dv
.
4) Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
' 8#x xdx
p
D
e.
'
'
x
x e dx
D
b.
9-8x x xdx
p
D
f.
'
x
x
dx
e
D
c.
9-8x xdx
p
D
g.
'
x
x dx
D
d.
9-8
xdx
x
p
D
h.
'
x
x e dx
D
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
'
' #x xdx
D
c.
'
#
e
xdx
D
b.
'
# 'x x dx
D
d.
'
# 'x x dx
D
§5. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:
1) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
'
3 3 C y f x C y g x x a x b
(trong đó hai đường thẳng
x a x b
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a) Cơng thức:
b
a
S f x g x dx
D
(2)
b) Chú ý: Nếu bài tốn này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ sẽ dễ
dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ,
'
C
nằm trên
C
thì hiệu
f x g x C
, và
'
C
nằm dưới
C
thì hiệu
f x g x B
.
2) Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox:
3 C y f x Ox x a x b
(trong đó hai đường thẳng
x a x b
có thể thiếu một hoặc cả hai).
a) Cơng thức:
b
a
V f x dxp
D
(3)
b) Các bước thực hiện:
Bước 1: Nếu hai đường
x a x b
đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình
f x
(PTHĐGĐ
của
C
và trục Ox) để tìm.
Bước 2: Áp dụng cơng thức (3).
3) Bài tập:
Trang
12
Đề cương ôn tập 12-cơ bản Trường PT cấp 2-3 Đakia
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
3 C y x x
và trục Ox.
Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
3C y x x
và trục Ox.
Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
3 'C y x x
và đường thẳng
3 d y
.
Bài 4: Cho đường cong
3 C y x x x
. Viết phương trình tiếp tuyến
d
của
C
tại gốc tọa độ O. Từ đó
tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
C
và
d
.
Bài 5: Cho parabol
3 5 2P y x x
.
a. Viết phương trình các tiếp tuyến của
P
tại các giao điểm của
P
với trục Ox.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
P
và các tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 6: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol
3 P y x
và đường thẳng
3 d y x
.
Bài 7: Cho đường cong
3C y x x
. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
C
và trục Ox. Tính thể tích của hình
tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
CHƯƠNG 4 : SỐ PHỨC
A. LÝ THUYẾT
I. Số phức
1. Số i :
2.Định nghĩa số phức :
Số phức là số có dạng z = a + bi ( a , b là các số thực , a gọi là phần thực , b gọi là phần ảo )
3.Hai số phức bằng nhau
Cho hai số phức z
1
= a + bi ; z
2
= c + di ;
'
a c
z z
b d
)
*
*
/
+
*
*
,
( phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau )
4.Biểu diễn hình học của số phức
Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi một điểm M( a ; b ) trong mp Oxy
5.Mơđun của số phức
Cho số phức z = a + bi . Mơđun của số phức z là
z a b
6. Hai số phức liên hợp
Cho số phức z = a + bi .Số phức liên hợp của z là
z a bi
II. Các phép tốn của số phức
1.Phép cộng hai số phức :
a bi c di a c b d i
( cộng phần thực với phần thực ; phần ảo với phần ảo )
2.Phép trừ hai số phức :
a bi c di a c b d i
( trừ phần thực với phần thực ; phần ảo với phần ảo )
3.Phép nhân hai số phức :
&a bi c di ac bd ad bc i
( nhân phân phối bình thường , với i
2
= - 1 )
4.Tổng hai số phức liên hợp
z z a bi a bi a
5.Tích hai số phức liên hợp
& & z z a bi a bi a b z
6. Phép chia hai số phức :
Cho hai số phức z
1
= a + bi ; z
2
= c + di
' ' '
& &
&
a bi c di
z z z z z
z z z a d
z
( khi thực hành ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của z
2
)
III. Giải phương trình bậc 2 trên tập số phức C với hệ số thực
Cho phương trình bậc 2 : ax
2
+ bx + c = 0 ( a , b , c là các số thực )
Trang
i
2
= - 1
13
Trường PT cấp 2-3 Đakia Đề cương ôn tập 12-cơ bản
b acH
Nếu
H C
ta giải bình thường trên tập số thực
Nếu
H
thì pt có 2 nghiệm phức
'
b i
x
a
b i
x
a
<
H
>
>
>
>
H
>
>
>
@
B.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm x ,y biết
1.
' x y x y i x y x y i
2.
' ' x y i x y i
3.
' x y i y x i
4.
x y y x i x y x y i
Bài 2 Tìm mơđun , số phức liên hợp và biển diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức sau
1. 2+3i 2. 3-i 3. -4+2i 4. -2-3i
Bài 3 : Tính
1.(2+5i)+(-3+i) 2. 3+(3-2i) 3.(1+2i)+(5-2i) 4.
7 2
5
i i
5.(3+2i)-(5+i) 6. (4-5i)- (3-2i) 7.(1-2i) –(5 - i)
8.(0,5-3,5i) +(1,5 +0,5i) +(-1 – i) 9. (4-i) – (-1-3i) + (2-i) 10. (1+4i) + (3-i) - (- 2 - 5i)
11.
i i
12.
' i i
13.
2 i i i
14.
' i
15.
'
'
i
i
16.
'
i
i
17.
' i
18.
'
i i i
i
19.
'
'
i i
i
i
Bài 4 : Tính
1.
2 7 i i i
2.
' i i i
3.
'
' i
4.
i
5.
i
6.
2 i i
7.
i
8.
:
' i
9.
'
' i
10.
'
i
11.
'
i
Bài 5 :Giải pt trên tập số phức ( tìm x )
1.3x+(2+3i)(1-2i) = (5+4i) 2.
2 7 2 ' i x i i
3.
2 ' ix i i
4.
' i x i i
5.
2 ix x i
. 6.
' ' i x ix i i
Bài 6 :Giải pt sau trên tập số phức
1.x
2
+ x + 7 = 0 2. 2x
2
+ 3x + 4 = 0 3. 3x
2
- 2 x + 7 = 0
4. x
3
- 8 = 0 5. x
3
+ 8 = 0 6. 2x
4
+ 3x
2
- 5 = 0
Bài 7 : Tìm pt bậc 2 có 2 nghiệm là
1.
' ' i i
2.
i i
3.
i i
BÀI TẬP TỰ LUYỆN (SỐ PHỨC )
Bài 1 :Tính
1.
2 7 5i i
2.
'
i i
3.
' i
4.
'2
i
i
Trang
14
Đề cương ôn tập 12-cơ bản Trường PT cấp 2-3 Đakia
5.
' ' P i i
Bài 2 :Tính các số phức sau , tìm mơđun , xác định phần thức , phần ảo của nó
1.
7 :z i i i
đs :
2 2z
2.
2 3 77z i i i kq z
3.
5 :'
3
'
i
z kq z
i
4.
7 3 :'z i i kq z
5.
' 3 4z i i kq z
Bài 3 :Cho số phức z = 4 – 3i . Tính
1.
z
đs :
7 i
2.
'
3
2 2
kq i
z
3.
z
4.
3 'z z z kq i
Bài 4 :Giải các pt sau trên tập số phức
1.
5 4 x x
2.
' x x
3.
2 z z
4.
7 z z
5.
5 2 z z
6.
2 x x
7.
' 4 x x
8.
7 '47 x x
9.
5 : 4 x x
B. PHẦN HÌNH HỌC:
CHƯƠNG I. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Kiến thức cơ bản:
●Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = abc (tích ba kích thước)
●Thể tích khối lập phương:
V = a
3
●Thể tích khối lăng trụ:
V = B.h . Trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
●Thể tích khối chóp:
V =
'
B.h. Trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp.
BÀI TẬP
A. Thể tích khối lăng trụ.
Bài 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
, đáy ABC là tam giác vng tại A, AC= a, góc C bằng 60
0
,
đường chéo BC
1
của mặt bên (CC
1
B
1
) hợp với mặt bên (ACC
1
A
1
) một góc 30
0
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 2. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = b và AA’ tạo với mặt đáy một góc 60
0
.
Tính thể tích khối lăng trụ .
Bài 3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A
1
lên mp(ABC) trùng
với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cạnh bên AA
1
tạo với mặt đáy một góc 60
0
.
Tính thể tích lăng trụ.
Bài 4. Cho lăng trụ đều ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC
1
và đáy là 60
0
. Tính thể tích của
khối lăng trụ.
Bài 5. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có đường cao bằng h. Mp (A
1
BD) hợp với mặt bên (ABB
1
A
1
) một
góc α. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bài 6. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a
. Gọi M là
trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ.
Bài 7. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A
1
B
1
C
1
, cạnh đáy bằng a, đường chéo BC
1
của mặt bên (BCC
1
B
1
) hợp với mặt
bên (ABB
1
A
1
) một góc α. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 8. Cho lăng tru đứng ABC.A
1
B
1
C
1
, đáy ABC là tam giác cân tại A. Góc giữa AA
1
và BC
1
là
30
0
và khoảng cách giữa chúng là a. Góc giữa hai mặt bên qua AA
1
là 60
0
. Tính thể tích khối
Trang
15
Trường PT cấp 2-3 Đakia Đề cương ôn tập 12-cơ bản
lăng trụ.
Bài 9. Cho lăng trụ đều ABC.A
1
B
1
C
1
. Mặt phẳng (A
1
BC) cách A một khoảng
a
và hợp với BC’
một góc α biết sin α =
'2
'
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 10. Cho lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A
1
lên mặt phẳng
(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Góc BAA
1
bằng 45
0
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 11. Cho lăng trụ xiên ABC.A
1
B
1
C
1
đáy là tam giác vng cân tại A. Mặt bên (ABB
1
A
1
) là hình
thoi cạnh a, nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Mặt bên (ACC
1
A
1
) hợp với đáy một
góc α. Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 12. Cho lăng trụ xiên ABC.A
1
B
1
C
1
đáy ABC là tam giác vng tại A. AB = a, BC = 2a. Mặt bên
B. Thể tích khối chóp.
Bài 1. Cho khối chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên hợp
với đáy một góc 30
0
. Tính thể tích của khối chóp đó.
Bài 2. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và góc
I
ASB
= α.
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
và cạnh đáy bằng a.
Tính thể tích khối chóp SABCD
Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc giữa mặt đáy và mặt bên là α. Tính thể tích
khối chóp SABCD theo h và α.
Bài 5. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác cân AB=AC = a. Mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC)
và SA= SB = a.
a. CMR: tam giác SBC là tam giác vng
b. Cho SC = x. Tính thể tích khối chóp theo a và x.
Bài 6. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a
và mặt phẳng (SAB) vng góc với
đáy. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tính thể tích của khối chóp SBMDN và tính cosin của góc hợp bởi
hai đường thẳng SM, DN.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai
mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI)
cùng vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB = a và AC = a
, cạnh bên SA vng góc với
mặt phẳng (ABC) và SA = a
. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy.
Biết góc BAC = 120
0
, tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài 10. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC) bằng 60
0
, tam giác ABC
vng tại C và góc
I
BAC
= 60
0
. Hình chiếu của B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể
tích tứ diện A’.ABC theo a.
Bài 11. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB = a, AA’= 2a, A’C = 3a. Gọi M
là trung điểm đoạn A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng
cách từ A đến mp(IBC).
CHƯƠNG II. MẶT NĨN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU.
I) MẶT NĨN, HÌNH NĨN, KHỐI NĨN:
1) Mặt nón:
Cho hai đường thẳng ∆ và d cắt nhau tại O và tạo thành góc α (0 < α < 90
0
). Mặt tròn
xoay sinh ra bởi đường thẳng d khi quay quanh đường thẳng ∆ gọi là mặt nón.
• d: đường sinh • ∆: trục • O : đỉnh • 2α: góc ở đỉnh
2) Hình nón:
Hình nón tròn xoay là hình sinh ra bởi một tam giác vng khi quay quanh một cạnh
góc vng.
• Diện tích xung quanh: S
xq
=
π
rl
l: độ dài đường sinh
r: bán kính đường tròn đáy.
3) Khối nón:
Trang
16
Đề cương ôn tập 12-cơ bản Trường PT cấp 2-3 Đakia
Hình nón cùng với phần trong của nó được gọi là khối nón.
• Thể tích khối nón: V=
π
3
1
r
2
h .
h: độ dài đường cao
r: bán kính đường tròn đáy
II) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ:
1) Mặt trụ:
Cho hai đường thẳng ∆ và d song song nhau và cách nhau một khoảng bằng r.
Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng d khi quay quanh ∆ gọi là mặt trụ.
• d: đường sinh • ∆: trục
2) Hình trụ:
Hình trụ tròn xoay là hình sinh ra bởi một hình chữ nhật khi quay quanh một cạnh.
• Diện tích xung quanh: S
xq
= 2
π
rl
l: độ dài đường sinh
r: bán kính đường tròn đáy.
3) Khối trụ:
Hình trụ cùng với phần trong của nó được gọi là khối trụ.
• Thể tích khối trụ: V= πr
2
h .
h: độ dài đường cao
r: bán kính đường tròn đáy
Chú ý: đối với khối trụ h = l.
III) MẶT CẦU, HÌNH CẦU, KHỐI CẦU:
1) Mặt cầu:
Cho điểm O cố định và số thực r.Tập hợp các điểm M trong khơng gian cách điểm O một khoảng bằng r được gọi là
mặt cầu tâm O bán kính r.
Kí hiệu: S(O,r) =
{ }
rOMM =
• OA > r
⇔
A nằm ngồi (S)
• OA < r
⇔
A nằm trong (S)
• OA = r
⇔
A nằm trên (S)
2) Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu:
Cho mặt cầu S(O,r) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O trên mp(P) và d= OH là khoảng cách từ O đến mp(P).
* d > r
⇔
(P) khơng cắt (S) hay (P)
∩
(S) =
φ
* d = r
⇔
(P) tiếp xúc (S) tại H. Khi đó: (S): tiếp diện, (H): tiếp điểm
* d < r
⇔
(P) cắt (S) theo đường tròn (C) có tâm H, bán kính
22
dr −
Chú ý: nếu d = 0 hay O ≡ H thì (P) cắt (S) theo đường tròn C(O, r)
3) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu:
Cho mặt cầu S(O,r) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của O trên ∆ và d= OH là khoảng cách từ O đến ∆.
• d > r
⇔
∆ khơng cắt (S) hay ∆
∩
(S) =
φ
• d = r
⇔
∆ tiếp xúc (S) tại H. Khi đó: ∆: tiếp tuyến, (H): tiếp điểm
• d < r
⇔
(P) cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B
4) Diện tích xung quanh hình cầu, thể tích khối cầu:
• Diện tích xung quanh hình cầu: S
xq
= 4
π
r
2
.
• Thể tích khối cầu: V =
3
4
π
r
3
.
BÀI TẬP
I) MẶT NĨN, HÌNH NĨN, KHỐI NĨN:
• Diện tích xung quanh của hình nón, thể tích khối nón. S
xq
=
π
rl, V =
hr
3
1
2
π
Bài 1. Cho khối nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm. Một mp (P) đi qua đỉnh của khối nón
và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12 cm. Xác định thiết diện của (P) với khối nón và tính diện tích thiết
diện đó.
Bài 2. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng a.
Trang
17
Trường PT cấp 2-3 Đakia Đề cương ôn tập 12-cơ bản
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần
b) Tính thể tích khối chóp đó.
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60
0
. Tính diện tích của thiết diện này.
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h và góc SAB = α (α > 45
0
). Tính diện tích
xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vng ABCD của hình
chóp.
Bài 4. Cho khối nón có bán kính đáy bằng 12 cm và có góc ở đỉnh là 120
0
. Hãy tính diện tích thiết
diện đi qua hai đường sinh vng góc với nhau.
II) MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ:
• Tính diện tích xung quanh mặt trụ và thể tích khối trụ.
BÀI TẬP
Bài 1. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao h = 50 cm.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối trụ được tạo nên.
b) Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ
đoạn thẳng đó đến trục của hình trụ.
Bài 2. Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao r
3
. Gọi A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho
góc được tạo thành giữa đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng 30
0
. Tính diện tích của thiết diện qua AB
và song song với trục của khối trụ.Tính độ dài đoạn vng góc chung của AB và trục của khối trụ.
Bai 3. Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính r và có đường cao h = r
2
.
Gọi A là điểm trên đường tròn tâm O và B là điểm trên đường tròn O sao cho AO ⊥ O’B
a) CMR: các mặt bên của tứ diện OABO’ là các tam giác vng. Tính thể tích tứ diện này
b) Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và song song vơi OO’. Tính khoảng cách giữa OO’ và mp(P)
Bài 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA= SB= SC = a và có góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng α.
Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác đáy của hình chóp và
có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp.
Bài 5. Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính r và có đường cao h = r
2
. A và B là hai điểm
di động trên hai đường tròn O và O’ sao cho góc (OA, O’B) khơng đổi.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Thể tích khối trụ tương ứng.
III) MẶT CẦU, HÌNH CẦU VÀ KHỐI CẦU:
∗ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (hình lăng trụ).
• Phương pháp 1:
Xác định điểm O cách đều các đỉnh của hình chóp.
Khi đó: O là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
• Phương pháp 2:
+ B1: Xác định đường thẳng a đi qua tâm I của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ( a: là trục của đường tròn).
+ B2: Dựng đường thẳng trung trực của cạnh bên cắt a tại O.
+ B3: Kết luận O là tâm mặt cầu.
Bài 1. Cho tứ diện D.ABC có DA ⊥ (ABC) và DA = 4a, tam giác ABC vng tại B và AB = 6a,
BC = 8a. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện.
Bài 2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a,
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D.
Bai 3. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Xác định tâm và
bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D.
Bài 4. Cho tứ diện OABC có góc
I
JKL
= 90
0
,
I
MKL
= 60
0
,
I
JKM
= 120
0
, OA= OB= OC = a
a) Có nhận xét gì về tam giác ABC?
b) Xác định hình chiếu vng góc của O trên mp(ABC)
c) Xac định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 4 đỉnh O, A, B, C.
Bai 5. Cho tứ diện SABC có SA = a và SA vng góc với mp(ABC), AB = AC = b, góc BAC= 60
0
.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 4 đỉnh S, A, B, C.
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Xác định tâm và
bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60
0
.
Trang
18
Đề cương ôn tập 12-cơ bản Trường PT cấp 2-3 Đakia
Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 5 đỉnh S, A, B, C, D.
Bài 8. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng
Bài 9. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD). Dựng mp(P) qua A và
vng góc với SC. Mặt phẳng (P) cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’.
a) CMR: 7 điểm A, B, C, D, A’, B’ C’, D’ ln nằm trên một mặt cầu
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo thành.
Bài 10. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc bằng 60
0
.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng.
Bài 11. Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao h.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ.
b) Tính diện tích mặt cầu đó.
CHƯƠNG III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
A. TĨM TẮT CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1.Tọa độ của vectơ , của điểm
Trong khơng gian Oxyz
u x y z u xi yj zk/
N
N N
N N
Trong khơng gian Oxyz điểm
M x y z OM xi yj zk/
OOON N
N N
Chú ý :
( )
0 0;0;0=
N
. Gốc tọa độ O( 0 ; 0 ; 0 )
2. Các cơng thức
a. Cho
A A A B B B
A x y z B x y z
ta có :
B A B A B A
AB x x y y z z
OOON
;
B A B A B A
AB x x y y z z
Gọi I là trung điểm đoạn AB thì điểm
A B A B A B
x x y y z z
I
b. Cho
'
'
a a a a
b b b b
)
*
*
*
+
*
*
*
,
N
N
• Tích vơ hướng :
' '
ab a b a b a b
N
N
(là một số thực );
& a b abP /
N N
N N
• Tích có hướng :
' '
' ' ' '
' '
a a a a a a
a b a b a b a b ab ab a b
b b b b b b
< =
@ A
N
N
Chú ý:
a b a
a b b
)
< =
*
P
*
@ A
*
+
*
< =
P
*
@ A
*
,
N
N N
N N
N
●
a
N
và
b
N
cùng phương
/
a kb
N
N
/
'
'
a a a
b b b
●
a
N
và
b
N
khơng cùng phương
'
'
a a a
a kb
b b b
/ /
N
N
khơng xảy ra
3. Phương trình mặt cầu:
• Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
x a y b z c R
• Phương trình
x y z ax by cz d
với
a b c d
là phương trình mặt cầu
tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R =
a b c d
.
4. Phương trình mặt phẳng:
Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Trang
19
Trường PT cấp 2-3 Đakia Đề cương ôn tập 12-cơ bản
• Vectơ
N
N
n
là VTPT của (α) nếu giá của
N
n
vng góc với (α).
• Hai vectơ
N
N
a b
khơng cùng phương là cặp VTCP của (α) nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên (α).
Chú ý: • Nếu
N
n
là một VTPT của (α) thì
N
kn
(k ≠ 0) cũng là VTPT của (α).
• Nếu
N
N
a b
là một cặp VTCP của (α) thì
N
N N
n a b
< =
@ A
là một VTPT của (α).
Phương trình tổng qt của mặt phẳng
Ax By Cz D
với
A B C
• Nếu (α) có phương trình
Ax By Cz D
thì
N
n A B C
là một VTPT của (α).
• Phương trình mặt phẳng đi qua
M x y z
và có một VTPT
N
n A B C
là:
A x x B y y C z z
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (α):
' ' ' '
A x B y C z D
; (β):
A x B y C z D
• (α), (β) cắt nhau ⇔
' ' '
3 3 3 3A B C A B C
• (α) // (β) ⇔
' ' ' '
A B C D
A B C D
• (α) ≡ (β) ⇔
' ' ' '
A B C D
A B C D
• (α) ⊥ (β) ⇔
' ' '
A A B B C C
Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0
Ax By Cz D
d M
A B C
a
Góc giữa hai mặt phẳng
N N
N N
' ' ' '
'
' ' '
&
9-8
&
&
n n A A B B C C
n n
A B C A B C
a b
5. Phương trình đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng
• Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm
M x y z
và có VTCP
N
'
a a a a
:
)
*
*
*
*
$
+
*
*
*
*
,
'
3
o
o
o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
• Nếu
'
a a a
thì
'
3
x x y y z z
d
a a a
đgl phương trình chính tắc của d.
• Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d, d′ có phương trình tham số lần lượt là:
)
*
*
*
*
+
*
*
*
*
,
'
3
x x ta
d y y ta
z z ta
và
)
G GG
*
*
*
*
G G G G
+
*
*
G GG
*
*
,
'
3
x x t a
d y y t a
z z t a
• d // d′ ⇔
a a cùng phương
x ta x t a
hệ y ta y t a ẩn t t vô nghiệm
z ta z t a
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
,
( , )
′
′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′
+ = +
r r
Trang
20
Đề cương ôn tập 12-cơ bản Trường PT cấp 2-3 Đakia
⇔
a a cùng phương
M x y z d
0 0 0 0
,
( ; ; )
′
′
∉
r r
⇔
a a cùng phương
a M M không cùng phương
0 0
,
,
′
′
r r
uuuuuuur
r
⇔
)
< =
*
G
@ A
*
*
+
< =
*
G
* > ?
@ A
*
,
N
N N
OOOOOON
N
N
a a
a M M
• d ≡ d′ ⇔
x ta x t a
hệ y ta y t a ẩn t t có vô số nghiệm
z ta z t a
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
( , )
′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′
+ = +
⇔
a a cùng phương
M x y z d
0 0 0 0
,
( ; ; )
′
′
∈
r r
⇔
a a M M đôi một cùng phương
0 0
, ,
′ ′
uuuuuuur
r r
⇔
< =
< =
G G
> ?
@ A
@ A
OOOOOON
N
N N N
a a a M M
• d, d′ cắt nhau ⇔ hệ
)
G G G
*
*
*
*
G GG
+
*
*
G GG
*
*
,
' '
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
(ẩn t, t′) có đúng một nghiệm
⇔
a a không cùng phương
a a M M đồng phẳng
0 0
,
, ,
′
′ ′
r r
uuuuuuur
r r
⇔
)
< =
*
G
@ A
*
*
+
< =
*
G G
*
@ A
*
,
N
N N
OOOOOON
N N
&
a a
a a M M
• d, d′ chéo nhau ⇔
a a không cùng phương
x ta x t a
hệ y ta y t a ẩn t t vô nghiệm
z ta z t a
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
,
( , )
′
′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′
+ = +
r r
⇔ .
a a M M
G G
OOOOOON
N N
khơng đồng phẳng ⇔
< =
G G
@ A
OOOOOON
N N
& a a M M
• d ⊥ d′ ⇔
G
P
N N
a a
⇔
G
N N
& a a
• Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho mặt phẳng (α):
Ax By Cz D
và đường thẳng d:
)
*
*
*
*
+
*
*
*
*
,
'
x x ta
y y ta
z z ta
Xét phương trình:
'
A x ta B y ta C z ta D
(ẩn t) (*)
• d // (α) ⇔ (*) vơ nghiệm
• d cắt (α) ⇔ (*) có đúng một nghiệm
• d ⊂ (α) ⇔ (*) có vơ số nghiệm
• Góc giữa 2 đường thẳng : Cho 2 đt có 2 VTCP là
'
u
ON
và
u
OON
.Gọi
j
là góc giũa 2 đt ta có
'
'
&
9-8
&
u u
u u
j
ON OON
ON OON
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đt (d) có pt là :
2 1 1
1 2 3
x y z− + −
= =
và mp (P) có pt là : x –y +3z +2 = 0
1.Tìm ptts của đt d
2.Tìm tọa độ giao điểm M của đt (d) và mp (P) .
3.Tìm giao điểm của mp(P) và các trục tọa độ .
4.Viết pt đt d
1
vng góc mp(P) tại M
5.Viết pt mp(Q) chứa đt (d) và vng góc mp (P) .
Bài 2 : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp
( )
α
:x + y + z -1 = 0 và đt
( )
1
:
1 1 1
x y z
d
−
= =
−
và điểm
Trang
21
Trường PT cấp 2-3 Đakia Đề cương ôn tập 12-cơ bản
M( -4 ; 5 ; - 6 )
1.Viết pt mp(P) qua M và song song mp
( )
α
2.Viết pt mp (Q) qua M và vng góc đt d
3.Viết pt đt d
1
qua M và song song đt d
4.Viết pt đt d
2
qua M và vng góc mp
( )
α
5.Tìm giao điểm của d và mp
( )
α
6.Tính khoảng cách từ M đến mp
( )
α
7.Tính thể tích của khối tứ diện ABCD , biết A ,B ,C là giao điểm tương ứng của mp
( )
α
với các trục tọa độ Ox ,
Oy , Oz , còn D là giao của đt d và mp (Oxy) .
8.Viết pt mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A , B ,C , D .
Bài 3 : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho
( ) ( ) ( )
1;0; 1 , 1;2;1 , 0;2;0A B C−
. Gọi G là trọng tâm của tam giác
ABC
1.Viết pt đt OG
2.Viết pt mặt cầu (S) đi qua 4 điểm O, A , B, C .
3.Viết pt các mp vng góc với đt OG và tiếp xúc với mc (S) .
Bài 4 : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho
( ) ( ) ( ) ( )
4;3;2 , 3;0;0 , 0;3;0 , 0;0;3A B C D
1.Viết pt mp (P) đi qua 3 điểm B , C , D . Chứng tỏ ABCD là tứ diện .
2.Viết pt đt
( )
∆
đi qua A và trọng tâm G của tam giác BCD .
3.Viết pt mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với mp (BCD) .
Bài 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho
( ) ( ) ( )
2;0;0 , 0;3;0 , 0;0;6A B C
1.Viết pt mp (P) đi qua A, B, C .
2.Tìm hình chiếu của gốc tọa độ O lên mp (P) .Suy ra tọa độ của điểm O
’
đối xứng với O qua mp (P)
3.Viết ptts của đt d đi qua 2 điểm A ,B .
4.Tìm hình chiếu của điểm C lên đt d . Suy ra tọa độ của điểm C
’
đối xứng với O qua đt d
5.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC .Viết pt mặt cầu (S) có có đường kính OG .
Bài 6 :Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho
( ) ( ) ( )
1;1;2 , 0;1;1 , 1;0;4A B C−
1.Chứng minh tam giác ABC vng . Viết ptts của đt AB .
2.Gọi M la điểm sao cho
2MB MC= −
OOON OOOON
.Viết pt mp đi qua M và vng góc với đt BC
Bài 7: Cho mc (S) :
x y z x y z
và 2 đt
'
3 '
x t
y t
z t
)
*
*
*
*
H
+
*
*
*
*
,
;
'
3
' ' '
x y z
H
1.Cmr
1 2
,∆ ∆
chéo nhau .
2.Tìm giao điểm của
2
∆
với các mp tọa độ
3.Viết pt mp(P) tiếp xúc mc (s) và song song với 2 đt trên .
Bài 8: Trong khơng gian cho A( 1 ; -1 ; 2 ) , B( 1 ; 3 ; 2 ) , C( 4 ;3 ; 2 ) , D(4 ; -1 ; 2 )
1.Cmr A , B , C , D là 4 điểm đồng phẳng
2.Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu của B lên các mp tọa độ (Oxy) , (Oyz) , (Oxz) .Viết pt mp đi qua 3 điểm
M,N,P .
3.Gọi A
’
là hình chiếu vng góc của A lên mp Oxy. Hăy viết pt mc (S) đi qua 4 điểm A
’
,B ,C, D
4.Viết pt mp
( )
α
tiếp xúc mc (S) tại điểm A
’
. Đs :
3 4 2 1 0x y z+ + + =
Bài 9 : Trong khơng gian cho bốn điểm A, B , C , D có tọa độ xác định bởi các hệ thức :
( ) ( )
2;4; 1 , 4 , 2;4;3 , 2 2A OB i j k C OD i j k− = + − = + −
OOON N N ON OOON N N N
1.Cmr AB vng góc AC ; AC vng góc AD ; AD vng góc AB . Tính thể tích tứ diện ABCD
2.Viết ptts của đường vng góc chung
∆
của hai đt AB và CD .
3.Viết pt mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A , B ,C , D . Viết pt mp
( )
α
tiếp xúc mc (S) và song song với mp ( ABD) .
Trang
22
Đề cương ôn tập 12-cơ bản Trường PT cấp 2-3 Đakia
Bài 10: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho
( ) ( )
1 1 1
1;0;0 , 1;1;1 , ; ;
3 3 3
A B C
÷
1.Viết pt mp
( )
α
vng góc với đt OC tại C . Chứng minh 3 điểm O , B , C thẳng hàng .
2.Viết pt đt (d) là hình chiếu vng góc của đt AB lên mp
( )
α
Bài 11: Trong khơng gian cho (P) : 2x -3y +4z –5 = 0 và (S) :
2 2 2
3 4 5 6 0x y z x y z+ + + + − + =
1.Xác định tâm I và tính bán kính R của mc (s) .
2.Tính khoảng cách từ I đến mp (P) .
3. Từ đó suy ra rằng mp (P) cắt mc theo giao tuyến là một đuờng t‹n mà ta kí hiệu là (C) .Xác định tâm H và bán
kính r của đường tròn ( C) .
Bài 12 :Xét vị trí tương đối của đt
1 2
: 2 4
3
x t
d y t
z t
= +
= +
= +
với các mp sau :
1.(P
1
) : x + y + z +2 = 0
2.(P
2
) : 4x + 8y + 2z +7 = 0 . Chứng tỏ thêm đt vng góc mp
3.(P
3
) : x - y + 2z +5 = 0 đs
4.(P
4
) : 2x - 2y + 4z -10 = 0
Bài 13 :Xác định a , b để 2 mp (P) : 4x +ay +6z -10 = 0 , (Q) : bx -12y -12z +4 = 0 song song . Tính khoảng cách
giữa 2 mp này .
Bài 14 : Tìm hình chiếu vng góc của M( 2 ; -3 ; 1 ) lên mp (P) :x +3y - z +2=0 . Suy ra tọa của M
’
đối xứng với M
qua mp (P).
Bài 15 : Tìm hình chiếu vng góc của M( 2 ; -1 ; 1 ) lên đt
'
3 '
(((((
x t
d y t
z t
)
*
*
*
*
*
+
*
*
*
*
*
,
Suy ra tọa của M
’
đối xứng với M qua đt d.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1 :Xác định tâm và bán kính của mc có pt :
1.
: ' x y z x y
đs I(4;1;0)R = 4 2.
'
4
x y z x y
3.
5 2 x y z x y z
đs
' I
R = 3
Bài 2 :Cho mc (S) có pt :
x y z x y z
1.Xác định tâm và bán kính của mc đs I(1;2;2) R = 3
2.Xác định giao điểm của mc (S) với các trục tọa độ Ox , Oy , Oz
Bài 3 :Lập pt mc trong các trường hợp sau :
1.Có tâm I(1;-2;- 4) bán kính R = 6
2.Có tâm I( 0 -1 ; 3 ) và đi qua điểm M(1 ; 2 ; -4 )
3.Có tâm I( 3 ; - 3 ; 1) và đi qua điểm M( 5 ; - 2 ; 1 )
4.Có tâm A( 4 ; - 4 ; 2) và đi qua gốc tọa O
5.Có đường kính AB với A( -1 ; 2 ; 1 ) ,B( 0 ; 2 ; 3 )
6.Có đường kính AB với A( 6 ; 4 ; -3 ) ,B( 2 ; 8 ; 1 )
7.Có tâm I( -2 ; 1 ; 1 ) và tiếp xúc với mp (P) : x + 2y - 2z +5 = 0
8.Có tâm M( 1 ; - 2 ; 13 ) và tiếp xúc với mp (P) : 2x - 2y - z +3 = 0
9.Có tâm I( 2 ; -1 ; 3 ) và tiếp xúc với mp (Oxy)
10.Có tâm I( 2 ; -1 ; 3 ) và tiếp xúc với mp (Oxz)
11.Có tâm I( 2 ; -1 ; 3 ) và tiếp xúc với mp (Oyz)
Bài 4 :Lập pt mp(P) trong các trường hợp sau :
1.đi qua 3 điểm
' ' 'A B C
2.đi qua 3 điểm
' 25A B C
Trang
23
Trường PT cấp 2-3 Đakia Đề cương ôn tập 12-cơ bản
3.đi qua 3 điểm
' M N P
4.đi qua điểm M(1; 3 ; -2 ) và song song mp (P) 2x – y +3z + 4 = 0
5.đi qua điểm N(0 ; 2 ; 0 ) và song song mp (P) 2x + 3y – 4z – 2 = 0
6.đi qua điểm A(8 ; 9 ; - 10 ) và song song mp (Oxy)
7.đi qua điểm A(8 ; 9 ; - 10 ) và song song mp (Oyz)
8.đi qua điểm M(1 ; 3 ; - 2 )và vng góc đt BC với B( 0 ; 2 ; - 3 ),C(1 ; - 4 ; 1 )
9.đi qua điểm M(1 ; 2 ; 1 )và vng góc đt d
' '
'
x y z
10.đi qua điểm N(- 1 ; 2 ; -3 )và vng góc đt d
' 5
'
x t
y t
z t
)
*
*
*
*
*
+
*
*
*
*
*
,
11.đi qua điểm M(1 ; 3 ; - 2 )và vng góc với trục Oy
12.đi qua điểm M(1 ; 3 ; - 2 )và vng góc với trục Oz
13.đi qua điểm M(1 ; 3 ; - 2 )và vng góc với trục Ox
14.là mp trung trực của đoạn AB với A(2 ; 3 ;7), B( 4 ; 1 ; 3)
15.là mp trung trực của đoạn PQ với P(1 ; - 4 ; 2), Q( 7 ; 1 ; -5)
16.đi qua 2 điểm A(0 ;1 ;1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vng góc mp (Q) :x – y + z + 1 = 0
17.đi qua 2 điểm M(1 ; 2 ; 3), N( 2 ; - 2 ; 4) và song song trục Oy
Bài 5 :Lập ptts , ptct của đt d trong các trường hợp sau :
1. đi qua 2 điểm A(2 ; 3 ;-1), B(1 ; 2 ; 4)
2. đi qua 2 điểm M(1 ; - 2 ; 3), N(3 ; 0 ; 0)
3. đi qua gốc tọa độ O và điểm M(2 ; 4 ; - 6)
4. đi qua điểm M(3 ; 2 ; -1) và song song đt
' '
3
x y z
H
5.đi qua điểm D(2 ; 0 ; -3) và song song đt
'
3
x t
y t
z t
)
*
*
*
*
*
H
+
*
*
*
*
*
,
6. đi qua điểm M(-3 ; 1 ; 2) và vng góc mp (P) x - 2y + 4z + 1 = 0
7. đi qua P(10 ; 20 -30 ) và song song trục Oz ( chỉ lập pts )
8. đi qua điểm A(1 ; 0 ; -1) và vng góc mp (P) 2x - y + z + 9 = 0
9. đi qua điểm B(5 ; 1 ; - 4 ) và vng góc mp tọa độ (Oxy )
Bài 6 :Xét vị trí tương đối của đt
' ' 2
3
'
x y z
H
với các đt sau :
1.
'
5
3
5
x y z
H
; 2.
'
3
5 4
x y z
H
3.
5
3
2
x y z
H
; 4.
' '
3
x y z
H
Bài 7 :Xét vị trí tương đối của đt
3
5
x t
d y t
z t
)
*
*
*
*
*
+
*
*
*
*
*
,
và
2
3 '
x t
d y t
z t
)
*
*
*
*
*
+
*
*
*
*
*
,
.
Nếu chúng cắt nhau thì tìm tọa độ giao điểm
Trang
24
Đề cương ôn tập 12-cơ bản Trường PT cấp 2-3 Đakia
Bài 8 :Xét vị trí tương đối của đt
' '
3
' '
x y z
d
và
((
3 ((((
'
x t
d y t
z t
)
*
*
*
*
*
+
*
*
*
*
*
,
.
Nếu chúng cắt nhau thì tìm tọa độ giao điểm
Bài 10 : Tìm tọa độ giao điểm của đt
'
3 '
x t
d y t
z t
)
*
*
*
*
+
*
*
*
*
,
và mp (P) : x +2y +z -1 = 0 .
Bài 11 : Tìm tọa độ giao điểm của đt
3 '
'
x t
d y t
z t
)
*
*
*
*
*
+
*
*
*
*
*
,
và mp (P) : x +2y +z -3 = 0 .
Bài 12 : Tìm tọa độ giao điểm của đt
'
3
'
x y z
d
và mp (P) : 2x + y +z -1 = 0 .
Bài 13 : Tìm hình chiếu vng góc của M( 1 ; -1 ; 2 ) lên mp (P) :2x –y +2z +12=0
Bài 14 : Tìm hình chiếu vng góc của D( 1 ; 1 ; 1 ) lên mp (P) :7x +5y + z - 37=0
Bài 15 : Tìm hình chiếu vng góc của gốc tọa độ O lêm lên mp (P) đi qua 3 điểm
A(1 ; 1 ; 2 ) , B( -2 ; 1 ; -1 ) ,C( 2 ; -2 ; -1 ) .
Bài 16 : Tìm hình chiếu vng góc của M( 4 ; -3 ; 2 ) lên đt
3
x t
d y t
z t
)
*
*
*
*
+
*
*
*
*
,
Bài 17 : Tìm hình chiếu vng góc của A( 1 ; 2 ; 1 ) lên đt
' '
3
'
x y z
d
Bài 18 : Tìm hình chiếu vng góc của A( -1 ; 3 ; 2 ) lên đt d đi qua 2 điểm B(4 ; 0 ; - 3 ) , C(5 ; -1 ; 4 ) .
Bài 19 : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho
( ) ( ) ( ) ( )
1;0;11 , 0;1;10 , 1;1;8 , 3;1;2A B C D −
1.Viết ptts ,ptct của đt AB .Viết pt mp
( )
α
đi qua 3 điểm A , B , C . Chứng tỏ ABCD là tứ diện
2.Tính độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ D
3. Viết pt mc có đường kính AB
4.Viết pt mc tâm D và đi qua điểm C
5.Viết pt mc tâm D và tiếp xúc với mp
( )
α
.
Trang
25
