CHUYÊN đề bồi DƯỠNG học SINH GIỎI môn TOÁN lớp 5

Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5
chuyên đề 1: các dạng toán về chữ số và số
A- Thay đổi chữ số của một số
I- Dạng 1: Thay đổi chữ số của một số
a)Phơng pháp chung: Thông thờng dạng toán có cách giải sau:
*Cách 1: Dùng phân tích số để biến đổi quan hệ trong bài toán về các đẳng thức để giải
*Cách 2: Đa bài toán về bài toán điền chữ số.
*Cách 3: đa bài toán về các dạng toán điển hình.
b) Ví dụ minh họa:
+Bài toán 1: Cho một số có 3 chữ số trong đó chữ số hàng đơn vị là 8. Nếu chuyển chữ
số 8 lên đầu thì ta đợc một số mới có 3 chữ số, số mới đem chia cho số ban đầu đợc th-
ơng là 5 d 25. Tìm số đó.
Giải: Gọi số cần tìm là ab8 thì số mới là 8ab. Theo đề bài ta có: 8ab = ab8 x 5 + 25
Hay : 800 + ab = ( ab x 10 + 8 ) x5 + 25 => 800 + ab = ab x 50 + 40 + 25
800 + ab = ab x 50 + 65 => ab x 49 = 800 65 => ab x 49 = 735
ab = 735 : 49 => ab = 15. Vậy số cần tìm là: 158
Thử lại: 815 : 158 = 5 ( d 25 )
+ Bài toán 2: Cho một số có 3 chữ số trong đó chữ số hàng trăm là 5. Nếu chuyển số 5
ra đằng sau số đó thì đợc số mới có 3 chữ số kém số ban đầu 324 đơn vị.
Giải: Gọi số cần tìm là 5ab thì số mới là ab5. Theo đề bài ta có: 5ab ab5 = 324
Hay: 500 + ab ( ab x 10 + 5) = 324 => 500 + ab ab x 10 5 = 324
ab x 9 = 171 => ab = 171 : 9 => ab = 19 . Vậy số cần tìm là 519.
c) Các bài toán:
1- Tìm số có 4 chữ số mà chữ số tận cùng là 5. Nếu chuyển số 5 này lên đầu ta đợc số
mới kém số đó 531 đơn vị.
2- Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu ta đổi chỗ hai chữ số của chúng cho nhau thì ta
đợc một số mới kém số ban đầu 45 đơn vị.
3- Hãy tìm một số tự nhiên có 2 chữ số sao cho khi đổi vị trí của hai chữ số rồi viết
thêm chữ số 0 vào bên phải của hai chữ số thì đợc số mới gấp 45 lần số phải tìm.
4- Tìm số có 3 chữ số, biết rằng nếu chuyển chữ số 7 ở hàng đơn vị của số đó lên đầu
thì đợc một số mới gấp 2 lần số cũ và thêm 21 đơn vị.

5- Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số đo bằng 9 và nêu đổi chỗ các
hai chữ số của số đó cho nhau ta đợc số mới hơn số cũ 45 đơn vị.
6- Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số đó bằng 15 và nếu đổi chỗ hai
chữ số của số đo cho nhau ta đợc hai số mới có hiệu là 9 đơn vị.
7- Tìm số thập phân abc,de1 biết abc,de1 : 0,3 = 1abc,de
II- Dạng 2: Thêm, bớt chữ số của một số
a) Phơng pháp chung:
*Cách 1: Đa bài toán về dạng toán điển hình để giải.
*Cách 2: Dùng phân tích số để biến đổi mối quan hệ trong bài toán về đẳng thức đơn
giản để giải (thờng chỉ đối với bài toán cho biết số cần tìm có số lợng chữ số cụ thể).
b) Ví dụ:
+ Bài toán 1: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 3 vào bên trái số
đó ta đợc số mới ( có 3 chữ số ) bằng 5 lần số phải tìm.
.Cách 1: Gia sử số cần tìm là ab ( a # 0). Khi viết thêm chữ số 3 vào bên trái số ab thì ta
đợc một số mới 3ab. Ta có 3ab ab = 300
Theo đề bài nếu biểu diễn số cần tìm là 1 đoạn thẳng thì số mới là 5 đoạn thẳng nh thế.
Số cần tìm là: 300 : ( 5 1 ) = 75.
. Cách 2: Sử dụng phân tích cấu tạo số.
+ Bài toán 2: Tìm một số có 3 chữ số có chữ số hàng đơn vị là 3. Nếu xóa chữ số 3 đó ta
đợc một số mới kém số phải tìm là 408 đơn vị.
. GV giải tơng tự bài toán 1.
Số cần tìm là 45.
c) Các bài tập:
1- Tìm số có 3 chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó thì ta đợc một
số mới bằng 17 lần số phải tìm.
2- Tìm một số biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào bên phải số đó thì ta đợc một số mới
lớn hơn số phải tìm là 18 036 đơn vị.
Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5
3- Tìm một số biết rằng nếu viết thêm số 97 vào bên phải số đó thì ta đợc một số mới
lớn hơn số phải tìm là 1 978 đơn vị.

4- Tìm một số có 3 chữ số trong đó chữ số hàng trăm là 5 và nếu xóa chữ số này thì số
đó giảm đi 26 lần.
5- Tìm một số có 3 chữ số biết rằng nếu xóa đi một chữ số ở hàng đơn vị của số đó thì
ta đợc số mới nhỏ hơn số ban đầu là: a) 252 đơn vị. b) 142 đơn vị.
6- Cho một số có hai chữ số, nêu viết thêm một chữ số a vào đằng trớc số đó ta đợc số
mới gấp 3 lần số đã cho. Tìm số đó và chữ số a.
7- Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng
đơn vị của số đó thì ta đợc một số gấp 7 lần số đó.
8- Tìm một số tự nhiên biết rằng khi viết xen vào giữa hai chữ số của nó chính số đó thì
số đó đợc tăng thêm 1180 đơn vị.
9- Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có 2 chữ số chính số đó thì ta đợc một số
mới có 4 chữ số và gấp 99 lần số ban đầu. Tìm số đó.
10- Tìm số có 3 chữ số biết rằng khi viết thêm chữ số 1 vào bên phải số đó thì ta đợc
một số gấp 3 lần số có đợc bằng cách viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó.
B- Tìm số theo diều kiện cho tr ớc về chữ số.
I- Dạng 1: Vận dụng cấu tạo số.
a) Phơng pháp giải:
- Diễn tả số cần tìm qua các kí hiệu kèm theo các điều kiện ràng buộc của các kí hiệu
đó.
- Diễn tả mối quan hệ trong bài toán bằng các đẳng thức toán.
- Biến đổi các đẳng thức đã lập đợc về các đẳng thức đơn giản hơn.
- Dùng phơng pháp lựa chọn.
- Thử lại để xác định số cần tìm.
b) Ví dụ:
+Bài toán 1: Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 14 lần chữ số hàng chục của nó.
Giải: Gọi số cần tìm là ab ( 1 < = a< 10 ; 0 <=b < 10)
Theo đề bài ta có: ab = a x 14, hay: a x 10 + b = a x 14 => a x 10 + b = a x 4 + a x 10
b = a x 4. Do 0 < = b < 10 nên a chỉ có thể lấy các giá trị: 1 ; 2.
a b = a x 4 Số cần tìm
1

2
4
8
14
28
Thử lại: 14 = 1 x 14 ( đúng)
28 = 2 x 14 ( đúng)
+Bài toán 2: Tìm số tự nhiên khác 0, biết rằng số đó gấp 21 lần chữ số hàng đơn vị của
nó.
Giải: Gọi số cần tìm là Ab, với A là chỉ số chục và b là chữ số hàng đơn vị ( 0 < b < 10 )
Theo đề bài ta có: Ab = b x 21. Hay: A x 10 + b = b x 21 => A x 10 + b = b x 20 + b
A x 10 = b x 20 => A x 10 = b x 2 x 10 => A = b x 2
Ta có :
b 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Số cần tìm 21 42 63 84 105 126 147 168 189
Thử lại: Ta thấy các số vừa tìm đợc đều thỏa mãn đề bài.
II- Dạng 2: Dùng phơng pháp lựa chọn.
Ví dụ:
+ Bài toán 1: Tìm số có hai chữ số biết tổng các chữ số của số đó bằng 9 và tích các chữ
số của số đó bằng 18.
Giải: Gọi số cần tìm là ab ( a # 0. Theo đề bài ta có: a + b = 9 và a x b = 18.
Các số mà tổng các chữ số bằng 9 là: 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90.
Trong các số đó ta chỉ thấy có 36 và 63 là phù hợp điều kiện: tích các chữ số bằng 18
( 3 x 6 = 18). Vậy số cần tìm là: 36; 63.
( Ta cũng có thể lập bảng để thử chọn)
+ Bài toán 2: Tìm số có 2 chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị và
nếu đem số đó trừ đi 5 thì đợc số có 2 chữ số giống nhau.
Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5
Giải: Các số có hai chữ số mà 2 chữ số giống nhau là: 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99.

Theo đề bài ta có: ( Số cần tìm ) 5 = aa. Hay ( Số cần tìm) = aa + 5
aa 11 22 33 44 55 66 77 88 99
Số cần tìm 16 27 38 49 60 71 82 93 104
Kết quả Loại Loại Loại Loại Nhận Nhận Nhận Nhận Loại
Số cần tìm là : 60; 71; 82; 93.
III- Dạng 3: Đa về bài toán điền chữ số.
Ví dụ: Tìm một số có 5 chữ số biết rằng số đó tăng lên 9 lần nếu viết 5 chữ số của số đó
theo thứ tự ngợc lại.
Giải: Gọi số cần tìm là abcde ( a # 0). Theo đề bài ta có:
abcde Ta thấy a phải nhỏ hơn 2 để cho abcde x 9 thì đợc số có 5 chữ số. Do a khác 0
nên a =1
x 9 để 9 x 9 có tận cùng là 1. Ta có: 1bcd9
edcba x 9
9dcb1
- Nếu b = 1, ta có : 11cd9 Ta thấy d = 7 để cho 7 x 9 + ( nhớ) có tận cùng là 1. Lúc
đó dù c = 0
x 9 thì 11079 x 9 khác 97011, còn c > hoặc = 1 thì 11cd9 x
9 là số có
9cd11 sáu chữ số. Vậy b không thể là 1.
- Nếu b = 0 ta có: 10cd9
x 9
9cd01
Ta thấy d = 8 để cho 8 x 9 + 8( nhớ) có tận cùng bằng 0. Vậy 100c89 x 9 = 98c01
Hay: ( 10089 + c00) x 9 = 98001 + c00 => 10089 x 9 + c00 x 9 = 98001 + c00
90801 + c00 x 8 = 98001 + c00 => 90801 + c00 x 8 = 90801 + 7200
c00 x 8 = 7200 => c00 = 7200 : 8 => c00 = 900. Ta có c = 9. Vậy số cần tìm là
10989.
Các bài tập ứng dụng
1- Tìm một số tự nhiên biết rằng số đó gấp 71 lần chữ số hàng đơn vị của nó.
2- Tìm số tự nhiên biết rằng số đó gấp 51 lần chữ số hàng chục của nó.

3- Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó gấp 9 lần tổng các chữ số của nó.
4- Tìm số có hai chữ số biết rằng số đo bằng 8 lần chữ số hàng chục cộng với 7 lần chữ
số hàng đơn vị.
5- Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 12 lần hiệu giữa các chữ số của nó.
6- Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng của số đó với các chữ số của nó là 103.
7- Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng của số đó với số có hai chữ số nh thế nhng viết
theo thứ tự ngợc lại là 187.
8- Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số đó bằng số lẻ nhỏ nhất của hai
chữ số, còn chữ số hàng đơn vị thì lớn hơn chữ số hàng chục là 3 đơn vị.
9- Tìm số có bốn chữ số biết rằng tích của hai chữ số ngoài cùng là 40, tích của hai chữ
số ở giữa là 28, chữ số hàng nghìn nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng chục nhỏ
hơn chữ số hàng trăm.
10- Tìm số lẻ có ba chữ số biết rằng nếu dem số đó cộng với 631 thì đợc số có ba chữ
số giống nhau.
11-Tìm số có hai chữ số biết rằng tích các chữ số của số đó là 12, còn tổng các chữ số
của số đó là7
12- Tìm số có năm chữ số biết rằng số gồm 5 chữ số trên viết theo thứ tự ngợc lại bằng
4 lần số phải tìm.
C- Các bài toán về chữ số tận cùng.
I- Dạng 1: Xác định số chẵn số lẻ.
*Ghi nhớ: 1- Tổng các số chẵn là một số chẵn. Tổng các số lẻ là: Số chẵn khi lợng số lẻ
là số chẵn. Là số lẻ khi lợng số lẻ là số lẻ. Tổng số chẵn với số lẻ là số lẻ.
Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5
2- Hiệu của hai số lẻ là số chẵn. Hiệu của hai số chẵn là số chẵn. Hiệu SC
SL = SL.
3- Tích của các số lẻ là số lẻ. Tích có một thừa sô là SC thì tích là SC.
*Ví dụ: 1)Tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số chẵn hay lẻ?
( không cần tính tổng).
Giải: Từ 1 đến 1997 có 1997 số tự nhiên liên tiếp, trong đó các số lẻ gồm: 1; 3; 5; 7; ;
1997 và các số chẵn gồm có 2; 4; 6; 8; ; 1996.

Số lợng số lẻ là: (1997 1) : 2 + 1 = 999 ( số). Số lợng số chẵn là: (1996 2) : 2 + 1
= 998 ( số)
Ta có: Tổng của 999 số lẻ là số lẻ. Tổng của 998 số chẵn là số chẵn. Tổng của một số
chẵn với một số lẻ là một số lẻ. Vậy tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là
một số lẻ.
2) Không cần làm tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải
thích:
a) 672 x 41 x 37 = 1 019 423 b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9161
Giải: a) Kết quả là sai. Vì có một thừa số chẵn ( 672) nên tích phải là số chẵn mà 1 019
423 là số lẻ.
b) Kết quả sai. Vì có tổng các số chẵn là số chẵn mà 9 161 là số lẻ.
II- Dạng 2: Xác định một chữ số tận cùng.
*Ghi nhớ: 1- Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số
hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.
2- Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số
hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.
3- .Tích một số chẵn với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 0.
. Tích một số lẻ với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 5.
. Tích các số tận cùng là 1 thì tận cùng là 1, tận cùng là 6 thì là 6.
. Tích a x a không thể tận cùng bằng 2; 3; 7; hoặc 8.
*Ví dụ:
1) Tìm các chữ số tận cùng của tích sau: a) 1 x 3 x 5 x 7 x x 57 x 59.
b) 2 x 12 x 22 x x 82 x 92 . c) 39 x 49 x 59 x x 1 979 x 1 989.
Giải: a) Trong phép nhân có chứ thừa số 5 nên tích là một số chia hết cho 5, do đó chữ
số tận cùng của tích là 0 hoặc 5. Vì các thừa số là số lẻ nên tích là số lẻ. Vậy chữ số tận
cùng của tích là 5.
b) Tích gồm các thừa số tận cùng là 2 nên tích có 10 thừa số và ta có:
2 x 12 x 22 x 32 x 42 x 52 x 62 x 72 x 82 x 92.
**6 x * *6 x **4
* *6 x **4 = * *4

Do tích của hai số tận cùng bằng 2 thì có tận cùng là 4; tích của bốn số tận cùng bằng 2
thì có tận cùng là 6; tích của số có tận cùng bằng 6 với số có tận cùng là 4 thì có tận
cùng là 4, nên tích:
2 x 12 x 22 x x 82 x 92 có chữ số tận cùng là 4.
c) Ta thấy: 49 39 = 10; 59 49 = 10; 1989 1979 = 10. Vậy qui luật dãy
số cách nhau 10 đơn vị. Ta có tích gồm các thừa số có hàng đơn vị là 9 từ 39 đến 1989.
Số lợng thừa số của tích là: (1989 39) : 10 + 1 = 196 thừa số.
Do tích của hai số tận cùng bằng 9 thì có tận cùng là 1. 39 x 49 = 1911 nên ta tách các
thừa số của tích thành nhóm mỗi nhóm có hai thừa số liền nhau rồi thay thế 2 thừa số
bằng tích riêng của chúng ( có tận cùng là 1). Số nhóm có là: 196 : 2 = 98 (nhóm)
Tích có thể viết: **1 x **1 x **1 x x **1 = **1
98 thừa số
Vì tích các số có tận cùng là 1, nên tích 39 x 49 x 59 x x 1979 x 1989 có chữ số tận
cùng là 1.
2) Hãy cho biết chữ số tận cùng của kết quả dãy tính sau:
a) 81 x 82 x 83 x 84 + 85 x 86 + 87 x 88 x 89 x 90 + 91 x 92 x 93
b) 81 x 63 x 45 x 27 37 x 29 x 51 x 12.
Gi ải: a) Ta thấy : - Do 1 x 2 x 3 x 4 = 24 nên 81 x 82 x 83 x 84 có chữ số tận cùng là 4.
- Do 5 x 6 = 30 nên 85 x 86 có chữ số tận cùng là 0.
Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5
- Do 7 x 8 x 9 x 0 = 0 nên 87 x 88 x 89 x 90 có chữ số tận cùng là 0.
- Do 1 x 2 x 3 = 6 nên 91 x 92 x 93 có chữ số tận cùng là 6.
Vì 4 + 0 + 0 + 6 = 10 nên kết quả dãy tính có chữ có tận cùng là 0.
b) Ta thấy: - Do 1 x 3 x 5 x 7 = 105 nên 81 x 63 x 45 x 27 có số tận cùng là 5.
- Do 7 x 9 x 1 x 2 = 126 nên 37 x 29 x 51 x 12 có chữ số tận cùng là
6.
Vậy : 81 x 63 x 45 x 27 37 x 29 x 51 x 12 = **5 - * *6 = **9. Dãy số có tận
cùng là 9.
* Các bài tập luyện tập:
1- Không cần tính kết quả hãy kiểm tra kết quả của các phép tính sau đây đúng hay sai?

Giải thích.
a) 9783 + 1789 + 8075 + 301 + 2779 = 22472.
b) 568 + 12540+ 6384 = 8191
c) 4624 x 123 = 568751
d) ( 20 + 4 + 6 + + 100 + 102) : 3 = 815
e) abc x abc 853467 = 0
2- a) Nếu tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tích của chúng có thể là một số lẻ đợc
không.
b) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng có thể là một số lẻ đợc
không?
c) Số 2003 có thể là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nào?
3- Tổng của 2003 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là số chẵn hay lẻ? ( không cần tính
tổng)
4- Có thể tìm số tự nhiên A và B sao cho (A + B) x ( A B) = 2010 hay không?
5- An mua một số vở. An đa cho bạn Bình và bạn Châu đếm lại. Bình đếm mỗi lần 6
quyển thì thừa 2 quyển, Châu đếm mỗi lần 4 quyển thì thừa 3 quyển. Em hãy chứng tỏ
trong hai bạn Bình và Châu có ít nhất một bạn đếm sai?
6- Các tích sau tận cùng bằng chữ số nào:
a) 24 x 34 x 44 x x 114 x 124.
b) 198 x 208 x 218 x x 448 x 458.
c) 3 x 13 x 23 x x 103.
d) 17 x 37 x 57 x 77 x x 157 x 177.
7- Hãy cho biết chữ số tận cùng của kết quả dãy tính sau:
a) 11 x 22 x 33 x 44 + 55 + 66 x 77 x 88 x 99.
b) 32 x 44 x 75 x 69 21 x 49 x 65 x 55.
c) 1991 x 1992 x 1993 x 1994 x 1995 x 1996 x 1997 x 1988.
8- Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 255024 và 24024.

Chuyên đề 2: các dạng toán về dãy số nguyên.
A- Dãy số tự nhiên và dãy số cách đều.

I- Dạng 1: Tìm qui luật thành lập dãy số, điền thêm số hạng vào dãy số.
* Ví dụ: Tìm qui luật thành lập và điền tiếp 3 số hạng nữa vào dãy số 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8;

+ Ta nhận thấy: 1 = 0 + 1; 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 5 = 2 + 3; 8 = 3 + 5; .
Vậy dãy số đã cho đợc thành lập theo qui luật: kể từ số hạng thứ ba trử đi mỗi số hạng
đều bằng tổng hai số hạng liên tiếp ngay trớc nó. Ta có 3 số hạng tiếp theo của dãy số là:
5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34. Ta có dãy số: 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34;
II- Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không?
Ví dụ: Cho hai dãy số: 1) 3; 6; 9; và 2) 4; 7; 10; 13;
Hỏi số 1997 có phải là một số hạng của dãy số đã cho không?
Ta thấy: - Dãy số 3; 6; 9; gồm các số chia hết cho 3 và dãy số 4; 7; 10; 13;
gồm các số hạng chia cho 3 d 1. Do 1997 chia cho 3 d 2 nên 1997 không
phải là một số hạng của các dãy số trên.
III- Dạng 3: Xác định số hạng và số lợng số trong dãy số.
* Ví dụ: Cho dãy số: 354; 355; 356; ; 2005; 2006. Hỏi:
Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5
a) Dãy số đó có bao nhiêu số? b) Dãy số đó có bao nhiêu chữ số? c) Số hạng thứ 100
là số nào?
* Giải: Dãy số 354; 355; 356; ; 2005; 2006 là dãy số tự nhiên liên tiếp bắt dầu từ số
354.
a) Số lợng các số có trong dãy số là: ( 2006 354 ) + 1 = 1653 ( số)
b) Ta có: + Các số có ba chữ số gồm: 354; 355; 356; ; 998; 999 có tất cả:
( 999 354 ) + 1 = 646 ( số có ba chữ số)
+ Các số có bốn chữ số gồm: 1000; 1001; 1002; ; 2005; 2006 có tất cả:
( 2006 1000) + 1 = 1007(số có bốn chữ số)
Vậy dãy số cos tất cả: 3 x 646 + 4 x 1007 = 5966 ( chữ số)
c) Nhận xét: Theo câu b) ta có 646 số có ba chữ số nên số hạng thứ 100 là số có ba chữ
số.
Số hạng thứ nhất là: 354. Số hạng thứ hai là: 354 + 1 x ( 2 1 ) = 355
Số hạng thứ ba là: 354 + 1 x ( 3 1 ) = 356

Số hạng thứ t là: 354 + 1 x ( 4 1 ) = 357 v.v
Ta thấy mỗi số hạng trong dãy số bằng số hạng thứ nhất cộng với tích của 1 và hiệu của
số thứ tự của số đó với 1. Do đó ta có: Số hạng thứ n là: 354 + 1 x ( n 1 )
Số hạng thứ 100 là: 354 + 1 x ( 100 1 ) = 453.
IV-Dạng 4: Xác định số hạng và số lợng trong dãy số cách đều.
Ví dụ: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; ; 2004.
a) Hỏi dãy số đó có bao nhiêu chữ số?
b) Nếu phải viết 184 csố thì viết đến số nào?
c) Tìm chữ số thứ 2000 của dãy số.
*Gi ải:
a) Dãy số đã cho là dãy số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 2 đến 2004. Hai số chẵn liên tiếp
hơn ( kém) nhau 2 đơn vị. Ta thấy trong dãy số đó:
+ Từ 2 đến 8 có: (8 2) : 2 + 1 = 4 (chữ số)
+ Từ 10 đến 98 có: ( 98 10 ) : 2 + 1 = 45 ( số có hai chữ số)
+ Từ 100 đến 998 có: ( 998 100) : 2 + 1 = 450 ( số có ba chữ số)
+ Từ 1000 đến 2004 có: ( 2004 1000 ) : 2 + 1 = 503 ( số có bốn chữ số)
Vậy số lợng chữ số của dãy số là: 1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 503 = 3456 ( chữ số)
b)Ta thấy: Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 98 thì phải viết tới: 1 x4 +2 x 45 = 94
(chữ số)
Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 998 thì phải viết tới: 1 x 4 + 2 x45 +3 x 450
=1444( csố)
Do 94 < 184 < 1444 nên 184 chữ số chỉ dùng để viết các số chẵn có 3 chữ số.
Số lợng chữ số dùng để viết các số chẵn có 3 chữ số là: 184 94 = 90 ( chữ số)
Số lợng số chẵn có 3 chữ số viết đợc là: 90 : 3 = 30 ( số).
Hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị và số khoảng cách ít hơn số lợng số là 1
nên:
Số khoảng cách ( mỗi khoảng cách 2 đơn vị ) là: 30 1 = 29 ( khoảng cách )
Số chẵn có 3 chữ số thứ 30 hơn số 100 là: 2 x 29 = 58 ( đơn vị )
Số chẵn có 3 chữ số thứ 30 của dãy số là: 100 + 58 = 158.
Vậy nếu 184 chữ số thì viết đến số 158.

c) Ta thấy:
Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 998 thì phải viết tới: 1 x 4 + 2 x45+3 x
450=1444(chữ số)
Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 2004 thì phải viết tới 3 456 chữ số (theo câu a).
Do 1444 < 2000 < 3456 nên chữ số thứ 2000 thuộc các số chẵn có 4 chữ số.
Số lợng chữ số dùng để viết các số chẵn có 4 chữ số là: 2000 1444 = 556 ( chữ số)
Số lợng số chẵn có 4 chữ số là: 556 : 4 = 139 ( số)
Số chẵn có 4 chữ số đầu tiên là 1000, số chẵn có 4 chữ số thứ 139 là: 1000+(139-
1)x2=1276
Vậy dãy số chẵn liên tiếp từ 2 đến 1276 có đúng 2000 chữ số.
Do đó chữ số thứ 2000 của dãy số là 6 ( của số 1276).
V- Dạng 5: Viết dãy số cách đều
Chuyªn ®Ị båi dìng häc sinh giái líp 5
*VÝ dơ: ViÕt d·y sè c¸ch ®Ịu biÕt sè h¹ng ®Çu tiªn lµ 1 vµ sè h¹ng thø 20 lµ 77.
*HiƯu cđa sè h¹ng thø 20 vµ sè h¹ng ®Çu tiªn lµ: 77 – 1 = 76
Tõ sè h¹ng thø nhÊt ®Õn sè h¹ng thø 20 cã sè kho¶ng c¸ch lµ: 20 – 1 = 19 ( kho¶ng
c¸ch)
Gi¸ trÞ mçi kho¶ng c¸ch lµ: 76 : 19 = 4 ( ®¬n vÞ)
VËy d·y sè ph¶i t×m lµ: 1; 5; 9; 13; 17; … ; 77; …
VI- D¹ng 6: TÝnh tỉng c¸c sè h¹ng trong d·y sè “c¸ch ®Ịu“.
• C«ng thøc tÝnh tỉng:
- NÕu n lµ sè ch½n th× : a1 + a2 + … + an = ( a1 + an) x
2
n
- NÕu n lµ sè lỴ th×: a1 + a2 + … + an = a1 + ( a2 + an ) x
2
1−n
C¸c bµi tËp øng dơng
1- T×m qui lt thµnh lËp cđa d·y sè sau, råi ®iỊn tiÕp theo 3 sè h¹ng vµo d·y sè:
a) 1; 4; 7; 10; … b) 5; 7; 12; 19; 31; 50; … c) 5; 8; 11; 24; 43; 78; …

d) 1; 4; 9; 16; 25; … e) 1; 2; 6; 24; 120; … g) 2; 20; 56; 110; 182; …
2- T×m sè h¹ng ®µu tiªn cđa d·y sè sau: …; 10; 16; 26; 42 . BiÕt d·y sè cã 7 sè h¹ng.
3- §iỊn thªm s¸u sè h¹ng n÷a vµo tỉng sau: 9 + …+ 16 = 100.
4- Em h·y cho biÕt 50 vµ 133 cã thc d·y sè sau kh«ng: 90; 95; 100; …
5- Em h·y cho biÕt: a) Sè 2006 cã thc d·y sè: 1; 4; 7; 10; …
b) Sè nµo trong c¸c sè: 666; 1000; 9999 thc d·y sè: 3; 6; 12; 24;
…
6- Cho d·y sè: 100; 97; 94; … cã bao nhiªu sè h¹ng biÕt r»ng sè h¹ng ci cïng cđa d·y
sè ®ã lµ sè nhá nhÊt cã 1 ch÷ sè kh¸c 1 vµ chia 3 d 1? T×m sè h¹ng thø 17 cđa d·y sè.
7- Tõ 1 ®Õn 2004 cã bao nhiªu ch÷ sè tËn cïng lµ 4?
8- Cho d·y sè: 1; 3; 5; 7; …; 2005. Hái d·y sè cã bao nhiªu sè h¹ng vµ sè h¹ng thø 100
lµ sè nµo?
9- a) Tõ 563 ®Õn 2005 cã bao nhiªu sè tù nhiªn liªn tiÕp?
b) D·y sè lỴ liªn tiÕp tõ 147 ®Õn 2005 cã bao nhiªu sè?
c) D·y sè ch½n liªn tiÕp tõ 140 ®Õn 2004 cã bao nhiªu sè?
10- H·y viÕt d·y sè c¸ch ®Ịu cã 10 sè h¹ng ®Ịu lµ c¸c sè tù nhiªn, biÕt sè h¹ng ®Çu tiªn
lµ 10 vµ sè h¹ng ci cïng lµ 37.
11- Cho d·y sè c¸ch ®Ịu cã 9 sè h¹ng, cã sè h¹ng thø n¨m lµ 19 vµ sè h¹ng thø chÝn lµ
35. H·y viÕt ®đ c¸c sè h¹ng cđa d·y sè ®ã.
12- a) ViÕt tÊt c¶ 50 sè ch½n liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ 1996. Hái sè ci cïng ph¶i viÕt lµ sè
nµo?
b) ViÕt 96 sè ch½n liªn tiÕp. Sè ci cïng cđa d·y lµ 2004. Hái sè ®Çu tiªn cđa d·y
lµ sè nµo?
13- Ngêi ta ®¸nh m¸y ch÷ c¸c sè: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; …®Ĩ d¸n vµo trong mét qun
s¸ch dµy 500 trang ( ®¸nh sè trang ). Hái ph¶i gâ vµo m¸y ch÷ bao nhiªu lÇn( chØ tÝnh
nh÷ng lÇn gâ vµo ch÷ sè vµ gi¶ sư kh«ng lÇn nµo gâ nhÇm)?
14- ViÕt c¸c sè tù nhiªn liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ 1. Hái ch÷ sè thø 2004 lµ ch÷ sè nµo?
15-ViÕt liªn tiÕp c¸c sè ch½n b¾t ®Çu tõ 2004. Hái nÕu ph¶i viÕt 480 ch÷ sè th× ph¶i viÕt
®Õn sè nµo?
16- TÝnh c¸c tỉng sau: a) 1 + 3 + 5 + 7 + … + 2005

b) 1 + 4 + 9 + 16 +…+ 100 c) 2 + 4 + 8 + 16 + ….( cã 16 sè h¹ng).
17- Mét phßng häp cã hµng ghÕ ®Çu gåm 12 ghÕ, hµng ghÕ thø hai cã 13 ghÕ, hµng ghÕ
thø ba cã 14 ghÕ, cø xÕp nh thÕ nµo cho ®Õn hµng ghÕ ci cïng cã 30 ghÕ. Hái phßng
häp cã bao nhiªu hµng ghÕ? Vµ phßng häp Êy cã ®đ cho 390 ngêi ngåi kh«ng?
Chuyªn ®Ị 3: c¸c bµi to¸n cã ph¬ng ph¸p gi¶i ®iĨn h×nh
D¹ng I: C¸c bµi to¸n vỊ sè trung b×nh céng.
*Vd :Việt có 10 hòn bi, Nam có 7 hòn bi, Hòa có nhiều hơn Nam 2 hòn bi, Bình có
số bi kém mức trung bình của cả bốn bạn là 1 hòn bi. Tính số bi của Bình?
Chuyªn ®Ị båi dìng häc sinh giái líp 5
1. Long có 15nhãn vở, Li có 19 nhãn vở, Quy có số nhãn vở bằng trung bình cộng
của Long và Li, Phượng có số nhãn vở kém trung bình cộng của cả bốn người là
9 nhãn vở. Hỏi Phượng có bao nhiêu nhãn vở?
2. Một quầy lương thực ngày thứ nhất bán được 350 kg gạo.ngày thứ hai bán được
275 kg gạo.Ngày thứ ba bán được nhiều hơn trung bình cộng số gạo của cả ba
ngày là 45 kg gạo. Hỏi ngày thứ ba quầy hàng bán được bao nhiêu kg gạo?
3. Tìm năm số chẵn liên tiếp biết trung bình cộng của chúng là 3286.
4. Tìm 7 số lẻ liên tiếp biết trung bình cộng của chúng là số nhỏ nhất có 5 chữ số.
5. Một đội xe tải có 5 chiếc xe, trong đó có hai xe A và B mỗi xe chở 3 tấn, hai xe
C và D mỗi xe chở được 45 tạ, còn xe E chở hơn mức trung bình cộng của toàn
đội là 1 tấn. Hãy tính xem xe E chở mấy tấn
6. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết trung bình cộng của chúng bằng 17.
7. Tìm ba số biết trung bình cộng của chúng bằng 2.
8. Tuổi trung bình của bố và mẹ hơn tuổi của mẹ là 2 tuổi. Hỏi bố hơn mẹ mấy tuổi?
9. Tìm trung bình cộng của các số sau bằng cách tính nhanh:
a. 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35 .
b. 1, 2, 3, 4, 5, ………………………, 23.
10.Tìm 2 số biết trung bình cộng của chúng là 123, số thứ nhất hơn số thứ hai 46 đơn
vò.
11.Trung bình cộng tuổi của ba, mẹ, An và Bình là 18. Nếu bỏ An ra thì trung bình
cộng tuổi của ba người còn lại là 21. Tìm tuổi của An.

12: Thành có 20 viên bi, Đức có 22 viên bi, An có số bi hơn mức trung bình cộng số
bi của ba bạn là 6 viên. Hỏi An có bao nhiêu viên bi?
D¹ng II: C¸c bµi to¸n vỊ t×m hai sè khi biÕt tỉng vµ hiƯu cđa hai sè dã.
1- T×m hai sè ch½n liªn tiÕp cã tỉng b»ng 98.
2- T×m hai sè lỴ cã tỉng b»ng 120, biÕt gi÷a chóng cã 5 sè ch½n.
3- Trung b×nh céng cđa hai sè b»ng 59. T×m hai sè biÕt sè lín h¬n sè bÐ 6 ®¬n vÞ.
4- T×m hai sè biÕt trung b×nh céng cđa hai sè lµ 23,8 vµ sè thø nhÊt h¬n sè thø hai 4,5
®¬n vÞ.
5- Anh h¬n em 5 ti, 5 n¨m sau tỉng sè ti cđa hai anh em lµ 25 ti. TÝnh sè ti cđa
mçi ngêi hiƯn nay.
6- Mét thưa rng HCN cã chu vi lµ 188m. ChiỊu réng ng¾n h¬n chiỊu dµi 17m. tÝnh
diƯn tÝch thưa rng ®ã.
7- Cho mét phÐp céng cã sè h¹ng thø nhÊt h¬n sè h¹ng thø hai lµ 15 ®¬n vÞ. BiÕt tỉng
cđa sè h¹ng thø nhÊt, sè h¹ng thø hai vµ tỉng b»ng 682. T×m sè h¹ng thø hai cđa tỉng.
8- Mét phÐp céng cã hai sè h¹ng lµ hai sè ch½n liªn tiÕp. Tỉng c¸c sè: sè h¹ng thø nhÊt,
sè h¹ng thø hai vµ tỉng sè b»ng 276. T×m phÐp céng ®ã biÕt sè h¹ng thø nhÊt lín h¬n sè
h¹ng thø hai.
9- Cho phÐp trõ hai sè mµ tỉng cđa sè bÞ trõ, sè trõ vµ hiƯu sè b»ng 478, hiƯu sè bÐ h¬n
sè trõ 117 ®¬n vÞ. T×m phÐp trõ ®ã.
10- C¶ hai ngµy b¸n ®ỵc 894m v¶i. NÕu ngµy thø nhÊt b¸n thªm 146m v¶i th× ngµy thø
nhÊt b¸n Ýt h¬n ngµy thø hai 58m v¶i. Hái mçi ngµy b¸n ®ỵc bao nhiªu mÐt v¶i.
Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5
11- Trong đợt Giúp bạn nghèo vợt khó, lớp 5A và 5B góp đợc 356 quyển vở. Sau đó 5A
góp thêm đợc 54 quyển vở nữa, tính ra lớp 5A góp đợc nhiều hơn 5B là 24 quyển vở.
Hỏi mỗi lớp góp đợc bao nhiêu quyển vở?
12- Cả hai ngày cửa hàng bán đợc 468m vải. Nếu ngày thứ nhất bán thêm 38m vải và
ngày thứ hai bán thêm 26m thì ngày thứ nhất bán kém ngày thứ hai 14m vải. Hỏi mỗi
ngày cửa hàng bán đợc bao nhiêu mét vải?
13- Tổng của hai số bằng tích của số lớn nhất có 2 chữ số và số bé nhất có 2 chữ số. Nếu
số thứ nhất tăng thêm 14 đơn vị và số thứ hai giảm đi 56 đơn vị thì số thứ nhất hơn số

thứ hai 84 đơn vị. Tìm hai số đó.
14- Có 17,8 kg gạo đựng trong hai bao. Nếu lấy 2,4 kg gạo từ bao thứ nhất chuyển sang
bao thứ hai thì hai bao có số lợng gạo bằng nhau. Hỏi mỗi bao đựng bao nhiêu kg gaọ?
15- Một cái ao HCN có chu vi 400m. Nếu giảm chiều dài đi 23m và tăng chiều rộng
thêm 23m thì cái ao trở thành hình vuông. Tính diện tích cái ao đó.
16- Trung bình cộng của hai số là 60. Nếu số thứ nhất tăng thêm 50 đơn vị và số thứ hai
tăng thêm 150 đơn vị thì hai số bằng nhau. Tìm hai số đó.
17- Cả hai ngày bán đợc 468,5 m vải. Nếu ngày thứ nhất bán thêm 3,8m vải và ngày thứ
hai bán thêm 2,6m thì ngày thứ nhất bán kém ngày thứ hai 14,6 m vải. Hỏi mỗi ngày
cửa hàng bán đợc bao nhiêu mét vải?
18- Cho 3 số A, B, C có tổng bằng 5977. Tìm số A, B, C biết rằng A lớn hơn B là 36 đơn
vị, C lớn hơn A là 4 đơn vị.
19- Ba tấm vải có tổng số đo là 92,8m. Biết tấm vải thứ hai dài hơn tấm vải thứ nhất là
1,4m. và ngắn hơn tấm vải thứ ba là 0,6m. Hỏi mỗi tấm vải dài bao nhiêu mét?
20- Một kho hàng nhập về tất cả 181 tấn hàng hóa. Ngày thứ nhất nhập ít hơn ngày thứ
hai 8 tấn và nhiều hơn ngày thứ ba là 10 tấn. Hỏi mỗi ngày kho nhập về bao nhiêu tấn
hàng hóa?
21- Cả 3 lớp 5A, 5B, 5C cùng góp 620 quyển vở giúp bạn nghèo. Lớp 5A góp ít hơn hai
lớp 5B và 5C là 120 quyển vở. Lớp 5C góp nhiều hơn lớp 5B là 20 quyển. Hỏi mỗi lớp
góp đợc bao nhiêu quyển vở?
22- Chu vi một hình tam giác là 18m. Số đo của cạnh thứ nhất kém hơn tổng số đo hai
cạnh kia là 0,9 dam. Nếu giảm số đo của cạnh thứ ba đi 1,5 m thì nó bằng với số đo của
cạnh thứ hai. Tìm số đo mỗi cạnh.
23- Tổng của hai số là 130. Nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số thứ nhất ( có hai chữ
số) thì đợc số thứ hai. Tìm hai số đó.
24- Tổng của hai số là 280. Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái số thứ nhất thì đợc số
thứ hai. Tìm hai số đó.
25- Tổng của hai số thập phân là 893,6. Nếu viết thêm chữ số 7 vào bên trái phần
nguyên của số bé thì đợc số lớn. Tìm hai số đó.
26- Tìm số có 2 chữ số biết tổng hai chữ số của số đó bằng 9 và hiệu của hai số đó bằng

3.
27- Tìm số có 2 chữ số mà tổng hai chữ số của số đó bằng 14 và nếu đổi vị trí hai chữ số
của số đó thì số đó giảm đi 18 đơn vị.
28- Cho số có 3 chữ số có tổng bằng các chữ số bằng 14, biết rằng chữ số hàng chục
bằng hai chữ số còn lại. Nếu chỗ của hai chữ số hàng đơn vị và hàng trăm ta đợc số mới
hơn số đã cho 99 đơn vị. Tìm số đã cho.
29- Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 6. Nếu viết thêm vào số đó 18 đơn vị
thì thì số thu đợc cũng viết bằng các chữ số đó nhng theo thứ tự ngợc lại. Tìm số đã cho.
30- Cho hai số tự nhiên có tổng bằng 46. Nếu ghép số lớn vào bên trái số bé hoặc ghép
số lớn vào bên phải số bé thì đều đợc số có bốn chữ số. Hiệu của hai số có bốn chữ số
này bằng 2178. Tìm hai số đã cho.
31- Tìm số có bốn chữ số theo điều kiện sau: Nếu viết số đã cho theo thứ tự ngợc lại thì
vẫn đợc số đó, tổng các chữ số bằng 24, số gồm hai chữ số bên trái lớn hơn số gồm hai
chữ số bên phải là 36 đơn vị.
32- Cho số thập phân có bốn chữ số mà phần nguyên có hai chữ số, phần thập phân cũng
có hai chữ số và tổng các chữ số của của nó bằng 20. Nếu viết số đã cho theo thứ tự ng-
ợc lại thì vẫn đợc số đã cho. Hãy tìm số thập phân đã cho biết rằng hai số số có hai chữ
số ở phần nguyên lớn hơn số có hai chữ số ở phần thập phân là 36 đơn vị.
Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5
Dạng III: Bài toán về tìm hai số khi biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của hai số đó.
1- Tổng hai số bằng 1480. Số lớn gấp 4 lần số bé. Tìm hai số đó.
2- Một cửa hàng bán vải hai ngày bán đợc 540m vải. Ngày thứ nhất bán gấp rỡi ngày
thứ hai. Hỏi mỗi ngày bán đợc bao nhiêu m vải?
3- Tìm hai số có tổng bằng tích của số bé nhất có hai chữ số với số lớn nhất có hai chữ
số. Số bé bằng 2/3 số lớn.
4- Tìm hai số có hiệu bằng tổng của số bé nhất có ba chữ số với số bé nhất có hai chữ
số. Số bé bằng 3/5 số lớn.
5- Một cửa hàng ngaỳ thứ nhất nhập 78 bao gạo, ngày thứ hai nhập 91 bao gạo. Biết
ngày thứ hai nhập hơn ngày thứ nhất 591,5 kg gạo. Hỏi mỗi ngày nhập bao nhiêu kg
gạo?

6- Hai lớp 5A và 5B mua chung 616 quyển vở. Lớp 5A có 45 học sinh, lớp 5B có 43 học
sinh. Biết mỗi học sinh mua số vở nh nhau và giá mỗi quyển vở là 2200 đồng. Tính số
tiền mỗi lớp phải trả.
7- Hiệu của hai số là 20,01. Biết số thứ nhất bằng 5/8 số thứ hai. Tìm hai số đó.
8- Một trờng có 1370 học sinh. Cứ có 3 nam sinh thì có 2 nữ sinh. Tính số nam sinh và
nữ sinh của trờng đó.
9- Một trờng tiểu học có 1470 học sinh. Biết số nam sinh bằng 75% số nữ sinh. Tính số
nam sinh và nữ sinh của trờng đó.
10- Một phép trừ có hiệu số bằng 4 lần số trừ và tổng các số: số bị trừ, số trừ và hiệu số
bằng 630. Tìm phép trừ đó.
11- Một phép cộng có hai số hạng. Biết số hạng thứ nhất bằng 4 lần số hạng thứ hai và
tổng các số: số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai và tổng bằng 480. Tìm phép cộng đó.
12- Cho hai số lẻ mà số lớn gấp 3 lần số bé. Biết giữa chúng có 13 số chẵn. Tìm hai số lẻ
đó.
13- Tổng của tử số và mẫu số của một phân số bằng 88. Sau khi rút gọn phân số đó ta đ-
ợc phân số 5/6. Hãy tìm phân số cha rút gọn.
14- Trung bình cộng của hai số bằng 2/3. Số bé bằng 2/3 số lớn. Tìm hai số đó.
15- Một hình chữ nhật có chu vi 24cm, chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Tìm diện tích
HCN đó.
16-Chu vi một miếng đất HCN là 294m và chiều dài bằng 5/2 chiều rộng.Tính diện tích
HCN đó bằng a.
17- Một cái sân HCN có chiều dài hơn chiều rộng 56m, chiều dài gấp 1,5 lần chiều
rộng. Tính diện tích cái sân đó.
18- Tìm hai số có tổng bằng 0,25 và thơng của chúng cũng bằng 0,25.
19- Tìm hai số có hiệu bằng 0,6 và thơng của chúng cũng bằng 0,6.
20- Thơng của hai số lẻ nhỏ nhất có hai chữ số. Hiệu của hai số đó thì bằng số lợng số
có 3 chữ số. Tìm tích của hai số đó.
21- Hãy chia số 1998 thành ba số tỉ lệ thuận với 2; 3 và 4.
22- Tìm ba số A, B, C tỉ lệ thuận với 3; 5; 7, biết hiệu của số lớn nhất và số bé nhất là
16.

23- Cả ba ngày cửa hàng bán đợc 3780 kg gạo. Ngày thứ nhất bán đợc gấp đôi ngày thứ
hai. Ngày thứ hai bán đợc gấp 3 lần ngày thứ ba. Hỏi mỗi ngày cửa hàng bán đợc bao
nhiêu kg gạo?
24- Một nhà máy có ba tổ công nhân gồm tất cả 108 ngời. Tổ một có số ngời gấp đôi tổ
hai. Tổ ba có số ngời gấp ba tổ một. Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu ngời?
25- Bạn An có số tiền gấp đôi bạn Bình và bằng 1/3 bạn Châu. Hỏi mỗi ngời có bao
nhiêu tiền biết Châu có hơn Bình 50 000 đồng.
26- Có ba ô tô chở hàng, ô tô thứ nhất chở bằng 3/4 ô tô thứ hai, ô tô thứ hai chở bằng
4/7 ô tô thứ ba. Hỏi mỗi ô tô chở đợc bao nhiêu tấn hàng, biết ô tô thứ ba chở nhiều hơn
ô tô thứ hai 6,3 tấn hàng?
27- Dựa vào sơ đồ tóm tắt sau, em hãy đặt một đề toán rồi giải:
Đội thứ nhất:
Đội thứ hai:
Đội thứ ba:
Đội thứ t:
Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5
Đội thứ năm:
Tính mỗi đội.
28- Dựa và sơ đồ tóm tắt sau, em hãy đặt đề toán rồi giải:
29- Một kho hàng có 41 tấn gạo gồm bốn loại. Số gạo loại I bằng 2/3 số gạo loại II, số
gạo loại II bằng 3/4 số gạo loại III. Khối lợng số gạo loại VI là số tự nhiên từ khoảng 1
đến 5 tấn. Hãy tính số lợng gạo của mỗi loại.
30- Cả bốn tổ nhận 70 quyển vở. Tổ ba nhận số vở gấp đôi tổ bốn, tổ hai nhận số vở
bằng tổng số vở của tổ ba và tổ bốn, số vở tổ một bằng tổng số vở nhận đợc của tổ hai và
tổ bốn. Hỏi mỗi tổ nhận đợc bao nhiêu quyển vở?
31- Hiệu của hai số là 96, biết một nửa số thứ nhất gấp đôi số thứ hai. Tìm hai số đó.
32- Hiệu của hai số là 390, biết một nửa số thứ nhất bằng 3/4 số thứ hai. Tìm hai số đó.
33- Hiệu của hai số là 150, nếu giảm số lớn đi hai lần thì thơng giữa hai số là 3. Tìm hai
số đó.
34- Số bị chia hơn số chia 54 đơn vị. Nếu giảm số chia đi 3 lần thì thơng mới là 30. Tìm

phép chia đó.
35- Hiệu của hai sốbằng 1/4 số bé. Tổng của hai số bằng 15,3. Tìm hai số đó.
36- Tìm hai số biết rằng số lớn gấp 12 lần số bé và nếu giảm số lớn 3 lần và tăng số bé
lên 2 lần thì tổng của hai số mới là 72.
37- Anh hơn em 8 tuổi. Cách đây hai năm, tuổi anh gấp ba lần tuổi em. Tính tuổi hiện
nay của mỗi ngời.
38- Hiện nay anh 27 tuổi và em 7 tuổi. Hỏi mấy năm nữa tuổi anh gấp 3 lần tuổi em?
Dạng IV: Các bài toán về tỉ lệ.
1- Có 45m vải may đợc 9 bộ quần áo nh nhau. Hỏi phải dùng bao nhiêu mét vải cùng
loại đó để may 10 bộ nh vậy?
2- Quãng đờng từ cột điện thứ nhất đến cột điện thứ năm dài 480 bớc. Hỏi quãng đờng
từ cột điện thứ hai đến cột điện thứ mời dài bao nhiêu bớc? Biết khoảng cách giữa hai
cột điện liên tiếp bằng nhau.
3- Nếu giảm chiều rộng của một HCN đi 3 lần thì chiều dài phải tăng lên bao nhiêu lần
để diện tích HCN không thay đổi?
4- Một HCN có chiều dài 80 m. Nếu chiều rộng tăng lên 4 lần thì chiều dài phải là bao
nhiêu mét để diện tích HCN không thay đổi?
5- Một trờng học chuẩn bị gạo đủ ăn cho 120 học sinh trong 20 ngày. Đến ngày khai
giảng có thêm 30 HS mới đến. Hỏi số gạo trên sẽ hết sớm hơn dự định bao nhiêu ngày?
6- Một đơn vị gồm 120 ngời đủ gạo ăn trong 50 ngày. Sau 30 ngày đơn vị lại nhận thêm
một số ngời đúng bằng 1/4 số ngời đã có. Tính xem số gạo còn lại chỉ đủ ăn trong mấy
ngày nữa?
7- Một bếp ăn có đủ gạo cho 120 ngời ăn trong 50 ngày. Nhng số ngời ăn thực sự nhiều
hơn nên chỉ ăn trong 30 ngày Hỏi số ngời tăng hơn so với dự kiến là bao nhiêu ngời?
8- Một đội công nhân gồm 35 ngời dự định làm xong quãng đờng trong 10 ngày. Nếu
định làm xong quãng đờng đó trong 7 ngày thì cần phải thêm bao nhiêu ngời?
9- Một đơn vị chuẩn bị lơng thực cho 350 ngời ăn trong 35 ngày. Sau một tuần lễ có
thêm một số ngời đến thêm nữa nên số lơng thực hết sớm hơn dự định là 7 ngày. Hỏi có
bao nhiêu ngời mới đến?
10- 15 ngời dự định làm xong công việc trong 20 ngày, nhng làm đợc 4 ngày thì có 5

ngời xin thôi việc. Hỏi công việc sẽ hoàn thành lâu hơn dự định bao nhiêu ngày?
11-Một đơn vị thanh niên xung phong chuẩn bị đủ một số gạo cho toàn đơn vị ăn trong
34 ngày. Nếu đong thêm 5 kg nữa thì mỗi ngày có thể bồi dỡng cho đơn vị 7,5 kg và số
gạo đủ ăn trong 24 ngày. Hỏi số gạo đơn vị đã chuẩn bị và mức ăn mỗi ngày của đơn vị
trớc đây là bao nhiêu?
12- Để đo một cái cây ngời ta đóng cọc thẳng đứng xuống đất. Từ mặt đất đến đầu cọc
cao 2m, bóng nắng của cọc dài 40 cm. Biết rằng cùng lúc ấy ngời ta đo đợc bóng nắng
cần đo là 3m. Tính chiều cao của cây.
13- Một cửa hàng bán dầu, ngời ta chứa đầy dầu trong các thùng 20 lít. Nếu đổ dầu đó
vào các can 5 lít thì số can 5 lít nhiều hơn số thùng 20 lít là 30 cái. Hỏi cửa hàng đó có
bao nhiêu lít dầu?
Chuyªn ®Ị båi dìng häc sinh giái líp 5
14- Tn vµ Kh¬ng cïng ®äc hai qun trun gièng nhau. Trung b×nh mçi ngµy Tn
®äc 20 trang, cßn Kh¬ng ®äc 15 trang. Hái qun trun ®ã dµy bao nhiªu trang? biÕt
r»ng Tn ®äc sau Kh¬ng 4 ngµy vµ xong tríc Kh¬ng 2 ngµy.
15- Mét nhµ in chn bÞ ®đ giÊy ®Ĩ in 6000 qun s¸ch, mçi qun cã 200 trang. Hái
nÕu dïng sè giÊy ®ã ®Ĩ in s¸ch, mçi qun cã 150 trang th× in ®ỵc bao nhiªu qun?
16- Mét xe ®i mÊt 8 giê víi vËn tèc 54 km/giê th× ®Õn n¬i. Hái nÕu chiÕc xe Êy ch¹y víi
vËn tèc 72 km/giê th× ph¶i mÊt mÊy giê?
Mét xe « t« ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 40 km/giê. Khi ®Õn B, « t« ®ã quay vỊ A víi vËn
tèc 60 km/giê. Thêi gian quay vỊ nhanh h¬n thêi gian ®i lµ 2 giê. TÝnh thêi gian c¶ ®i
lÉn vỊ cđa « t«.
17- Mét ®éi c«ng nh©n sưa ®êng cã 38 ngêi nhËn sưa mét qu·ng ®êng dµi 1330 m trong
5 ngµy. Hái mn sưa ®o¹n ®êng t¬ng tù dµi 1470 m còng trong 5 ngµy th× cÇn bao
nhiªu ngêi?
18- Mét tỉ thỵ méc cã 3 ngêi, trong 5 ngµy ®ãng ®ỵc 75 c¸i ghÕ. Hái nÕu tỉ cã 5 ngêi
lµm trong 7 ngµy th× sÏ ®ãng ®ỵc bao nhiªu c¸i ghÕ?
19- §Ĩ chuyªn chë 39 kg hµng hãa trªn qu·ng ®êng dµi 74 km ph¶i chi hÕt 120 000
®ång. Hái ph¶i chi phÝ hÕt bao nhiªu tiỊn nÕu chuyªn chë 26 kg hµng hãa trªn qu·ng ®-
êng dµi 185 km?

20- 3 häc sinh cc ®Êt trong 3 giê ®ỵc 60,5 m
2
. Hái 6 häc sinh trong 8 giê cc ®ỵc
bao nhiªu mÐt vu«ng ®Êt?
21- 10 c«ng nh©n s¶n xt ®ỵc 500 s¶n phÈm mÊt 6 giê. Hái 30 c«ng nh©n s¶n xt
1500 s¶n phÈm mÊt bao l©u?
22- Mét nhµ in chn bÞ ®đ giÊy ®Ĩ in 14 000 qun s¸ch, mçi qun cã 210 trang, mçi
trang cã 20 dßng. Hái nÕu dïng sè giÊy ®ã ®Ĩ in s¸ch, mçi trang cã 30 dßng th× in ®ỵc
bao nhiªu qun?
23- Mét vßi níc ch¶y trong 3,6 giê ®ỵc 5184 lÝt níc. Hái nÕu cã hai vßi níc cïng ch¶y
trong 6 giê th× ®ỵc bao nhiªu lÝt níc?
24- 5 c«ng nh©n ®µo ®Êt trong 3 ngµy, mçi ngµy lµm 8 giê th× ®µo ®ỵc 24 mÐt khèi ®Êt.
Hái 7 c«ng nh©n ®µo trong 4 ngµy, mçi ngµy lµm 10 giê th× ®µo ®ỵc mÊy mÐt khèi ®Êt?
25- §Ĩ cã thøc ¨n nu«i bß, tr¹i ch¨n nu«i ®· trång mét lo¹i cá trªn c¸nh ®ång. Tèc ®é
lín lªn cđa nh÷ng c©y cá nµy lµ mét tèc ®é kh«ng ®ỉi vµ nh nhau ®èi víi mäi c©y cá.
Ngêi ta tÝnh r»ng 70 con bß sÏ ¨n hÕt sè cá nµy trong 24 ngµy ; nÕu cã 30 con bß sÏ ¨n
hÕt sè cá nµy trong 60 ngµy. Hái bao nhiªu con bß sÏ hÕt sè cá trong 96 ngµy?
D¹ng V- C¸c bµi to¸n vỊ t×m ti
1- Ti cha hiƯn nay gÊp 4 lÇn ti con vµ tỉng sè ti cđa hai cha con lµ 50 ti. Hái
sau bao nhiªu n¨m n÷a ti cha gÊp 3 lÇn ti con?
2- HiƯn nay mĐ 30 ti vµ gÊp 5 lÇn ti con. Hái tríc ®©y mÊy n¨m ti mĐ gÊp 7 lÇn
ti con?
3- Ti mĐ gÊp 3 lÇn ti Lan. Sau 15 n¨m n÷a ti mĐ gÊp ®«i ti Lan. TÝnh ti mĐ,
ti Lan hiƯn nay.
4- Ti mĐ hiƯn nay gÊp 6 lÇn ti con, 4 n¨m tríc ®©y ti mĐ gÊp 26 lÇn ti con.
TÝnh ti mĐ, ti con hiƯn nay.
5- Hai lÇn ti ngêi anh lín h¬n tỉng sè ti cđa hai anh em lµ 20 ti
DẠNG VI:TOÁN VỀ HOÀN THÀNH CÔNG VIỆC
Bài 1: Cho hai số có tổng là 7,7. Nếu gấp số thứ nhất lên 4 lần. Gấp số thứ hai lên
7 lần thì thì được hai số mới có tổng là 37,7. Tìm hai số đó?

Bài 2: Cho hai vòi nước cùng chảy vào một cái hồ. Vòi 1 chảy đầy hồ sau 15 giờ.
Vòi hai chảy đầy hồ sau 21 giờ. Khi
3
1
hồ đã có nước, người ta cho vòi 2 chảy vào hồ
trong 5 giờ rồi cho tiếp vòi 1 cùng chảy vào. Tính thời gian để hai vòi cùng chảy đến
khi đầy hồ?
Chuyªn ®Ò båi dìng häc sinh giái líp 5
Bài 3: Hai người làm chung một công việc thì sau 5 giờ sẽ xong. Sau khi làm được 2
giờ thì người thứ hai có việc phải nghỉ và người thứ nhất phải làm thêm 9 giờ nữa mới
xong. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu?
Bài 4: Người thợ thứ nhất làm xong một công việc trong 9 giờ. Người thứ hai làm
xong công việc đó trong 15 giờ. Lúc đầu người thứ nhất làm trong một thời gian rồi
nghỉ sau đó người thứ hai làm nốt công việc còn lại. Thời gian cả hai người làm hết
công việc là 11 giờ. Hỏi mỗi người làm trong mấy giờ.
Bài 5: Vòi 1 chảy trong 2 giờ thì đầy hồ. Vòi 2 có sức chảy bằng
3
1
vòi 1. Vòi 3
tháo hết hồ đầy nước trong 4 giờ. Nếu
5
2
hồ có nước. Mở cả 3 vòi cùng một lúc thì sau
bao lâu hồ đầy?
Bài 6: Để xây xong một cái nhà nhóm I làm trong 15 ngày. Nhóm II làm trong 20
ngày. Nhóm III làm trong 24 ngày. Người chủ nhà thuê
4
3
nhóm I ;
3

2
nhóm II;
5
2
nhóm
III cùng làm . Sau bao nhiêu ngày thì xây xong nhà?
Bài 7: Hai người làm chung công việc thì 7 giờ sẽ xong. Nhưng người thợ cả mới
chỉ làm cùng với người thợ hai trong 4 giờ thì nghỉ do đó người thợ thứ hai phảI làm 9
giờ nữa mới xong chỗ còn lại. Hỏi mỗi người làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong?
Bài 8: Người thứ I cần 9 giờ để làm xong công việc. Người thứ hai cần 15 giờ để
làm xong công việc đó. Người ta để người thứ nhất làm trong 6 giờ rồi nghỉ còn người
thứ hai làm tiếp cho đến khi xong công việc. Hỏi người thứ hai còn phảI làm trong bao
lâu?
Bài 9: Bạn Hoàng cần 10 ngày để làm xong một công việc. Minh cần 15 ngày để làm
xong công việc đó. Bình làm một mình cần số ngày gấp 5 lần số ngày của Hoàng, Minh
cùng làm để xong công việc. Nếu 3 người làm chung thì sau bao lâu sẽ xong công việc?
Bài 10: Một bể nuôI cá không có nước, khi mở vòi nước I; II; III thì bể đầy trong 72
giây. Khi mở vòi II; III; IV thì bể đầy trong 90 giây. Khi mở vòi I và vòi IV thì bể đầy
trong 120 giây. Hỏi nếu mở 4 vòi cùng một lúc thì bể đầy trong bao lâu?
Bài 11: Bốn bạn nhận nhiệm vụ chuyển sách sang thư viện. Trong 1 giờ Hồng
chuyển được
7
2
số sách. Hà chuyển được
40
11
số sách. Toán chuyển được
70
23
số sách. Thơ

chuyển được
35
9
số sách. Bốn bạn dự định làm trong 1 giờ. Theo em sau 1 giờ 4 bạn có
chuyển xong số sách đó không?
Chuyªn ®Ò båi dìng häc sinh giái líp 5
Bài 12: Hai bạn A và B cùng làm xong một công việc thì sau 48 ngày sẽ xong. Cũng
công việc đó A làm một mình trong 63 ngày sau đó B làm tiếp 28 ngày nữa thì hoàn
thành. Hỏi A làm một mình thì sau bao nhiêu ngay sẽ hết toàn bộ công việc đó?
Bài 13: Có một bể nước, nếu cho vòi A chảy vào bể thì sau 2
4
1
giờ bể đầy.
Vòi B cách đáy bể
3
1
chiều cao của bể. Nếu bể đầy nước, mở vòi B thì sau 3 giờ vòi B
không chảy nữa. Giả sử bể không có nước, mở cả hai vòi cùng một lúc thì thì sau bao
lâu bể đầy?

Bài 14: Hai người làm một công việc. Người thứ I làm 10 giờ xong. Người thứ hai
làm 15 giờ xong. Người thứ I làm một thời gian sau đó nghỉ và người thứ hai làm tiếp
cho đến lúc xong. Biết tổng thời gian hai người làm là 11 giờ. Tính thời gian mỗi người
làm?
Bài 15: Hai người làm chung một công việc sau 12 ngày thì xong. Người thứ nhất
lầm trong 9 ngày rồi nghỉ để người thứ hai làm 14 ngày nữa thì xong.
a, Hỏi mỗi người làm riêng sau bao lâu sẽ xong?
b, Hai người làm trong 1 ngày được bao nhiêu % công việc?
Bài 16: Ba người làm chung một công việc. Người thứ nhất lầm xong trong 3 tuần.
Người thứ hai lầm xong một công việc gấp 3 lần công việc đó trong 8 tuần. Người thứ

ba lầm xong một công việc gấp 5lần công việc đó trong 12 tuần. Hỏi ba người cùng làm
công việc ban đầu xong trong bao nhiêu giờ? Biết rằng 1tuần làm 45 giờ?
Bài 17: Tổng đúng của một số thập phân và một số tự nhiên là 62,42. Nhưng khi
cộng hai số này bạn Tí đã quên mất dấu phảy ở số thập phân và đặt tính như đối với số
tự nhiên nên được kết quả là 3569. Tìm hai số đó?
DẠNG BÀI TOÁN VỀ PHAN SÔ
Bài 1:
Tìm một phân số có mấu số hơn tử số 36 đơn vị và bằng phân số
5
3
Giải: Ta thấy tử số hơn mẫu số 36 đơn vị và tử số 3 phần bằng nhau thì mẫu số ứng
vopứi 5 phần như thế .Vậy
Hiệu của mẫu số và tử số đã rút gọn là 5-3=2
Tử số là: 36: 2 x 3 = 54
Mẫu số là 54 + 36 = 90
Chuyªn ®Ò båi dìng häc sinh giái líp 5
Vậy phân số đó là
90
54
Bài 2: Tìm một phân số có tổng tử số và mẫu số là 125 và bằng phân số
57
38
Bài 3: Tìm một phân số, biết thêm 5 đơn vị vào tử số ta được phân số bằng 1. Nêu
chuyển 1 đơn vị từ tử số xuống mẫu số ta được phân số bằng
2
1
Bài 4: Nếu chuyển 5 đơn vị từ mẫu số lên tử số ta được phân số bằng 1.Còn nếu chuyển
9 đơn vị từ tử số xuống mẫu số ta được phân số bằng
5
3

. Tìm phân số đó?