Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Rèn kỹ năng giải các bài toán tính thể tích khối đa diện

MỤC LỤC
DANH MỤC VIẾT TẮT
Nội dung Viết tắt
- Trung học phổ thông
- Hình học
- Giáo viên
- Học sinh
- THPT
- HH
- GV
- HS
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
1. TÓM TẮT ĐỀ TÀI:
Mỗi môn học trong chương trình phổ thông đều có vai trò rất quan trọng trong việc
hình thành và phát triển tư duy của HS. Trong đó, môn Toán là một môn chiếm vị trí rất
quan trọng và then chốt trong nội dung chương trình các môn học, là môn học có tính
thực tế rất cao. Nó ảnh hưởng lớn đến đời sống con người, ảnh hưởng đối với các môn
học khác. Một nhà tư tưởng Anh đã nói: “Ai không hiểu biết Toán học thì không thể
hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của
bản thân mình”. Và trong thời đại ngày nay khi nền Công Nghệ Thông Tin phát triển
như vũ bảo thì môn Toán càng trở nên cấp thiết hơn bao giờ hết. Nó hình thành cho HS
khả năng quan sát, dự đoán, phát triển trí tưởng tượng không gian; khả năng suy luận
lôgíc; khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy như
linh hoạt, độc lập và sáng tạo; bước đầu hình thành thói quen tự học, diễn đạt chính xác
và sáng sủa ý tưởng của mình, hiểu được ý tưởng của người khác; góp phần hình thành
các phẩm chất lao động khoa học cần thiết của người lao động trong thời đại mới. Để
thực hiện những mục tiêu trên thì đòi hỏi những người trong cuộc phải nổ lực, cố gắng
không ngừng, phải tìm ra cho mình một phương pháp làm việc tối ưu và hiệu quả.
Trên thực tế, HS trường THPT Nguyễn Trung Trực đa số là HS trung bình và yếu
kém, chất lượng môn Toán HH tại trường còn rất thấp, nhất là HH không gian, kết quả
của các lần kiểm tra về HH không gian có trên 50% HS chưa đạt được điểm trung bình.

Do đó, GV cần phải có biện pháp thích hợp để làm tăng kết quả học tập của HS khối 12,
giúp các em HS đạt kết quả cao hơn trong các kỳ kiểm tra và vượt qua các kỳ thi quan
trọng sắp tới.
Qua kinh nghiệm quan sát nhiều năm chúng tôi nhận thấy các đề kiểm tra, đề thi học
kì 2, thi tốt nghiệp và CĐ-ĐH luôn có bài toán tính thể tích khối đa diện nhưng lại có
khá nhiều HS chưa giải được bài Toán này vì không nắm vững kiến thức cơ bản trong
HH phẳng, khả năng nhìn hình không gian còn kém, chưa biết cách suy luận để từ giả
thiết của đề bài ta cần từng bước giải quyết vấn đề ra sao; đó là nguyên nhân chính dẫn
đến tình trạng các em HS cảm thấy bài toán HH không gian là vô cùng khó và đa số các
em chọn việc đầu tư giải các bài toán đại số và bỏ qua bài toán về HH không gian trong
các đề thi.
Vì vậy, trong quá trình giảng dạy, GV luôn phải đặt ra mục đích là giúp HS nắm
được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo, từ đó tạo thái độ và
động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho thấy chúng ta còn có nhiều vấn đề
cần giải quyết lâu dài, kỹ năng giải toán nhất là HH không gian của HS còn rất yếu.
Xuất phát từ vấn đề nêu trên và căn cứ vào đặc điểm tình hình thực tế HS của trường
THPT Nguyễn Trung Trực, chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu và chọn giải pháp “Rèn
kỹ năng giải các bài toán tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao kết quả học tập của
lớp 12C4”. Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế các tiết bài tập, tiết dạy bồi
dưỡng về khối đa diện mà trọng tâm là thể tích khối đa diện.
Nghiên cứu được tiến hành trên hai nhóm tương đương là hai lớp 12C4, 12C6 trường
THPT Nguyễn Trung Trực. Lớp 12C6 là nhóm đối chứng, 12C4 là nhóm thực nghiệm
được thực hiện giải pháp thay thế khi dạy Chương I: Khối đa diện, cụ thể là: Bài 3-Khái
niệm về thể tích của khối đa diện (Lớp 12 chương trình chuẩn).
Việc sử dụng “Rèn kỹ năng giải các bài toán tính thể tích khối đa diện nhằm nâng
cao kết quả học tập của lớp 12C4” đã ảnh hưởng rõ rệt đến kết quả của HS nhóm thực
nghiệm thông qua bài kiểm tra đánh giá cao hơn nhóm đối chứng, điểm trung bình nhóm
thực nghiệm: 6.68, nhóm đối chứng: 5.46, chênh lệch điểm trung bình T-test cho kết quả
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang 2
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

p=0,0001 < 0,05 cho thấy tác động đã có ảnh hưởng rõ rệt đến việc HS có thể giải được
các bài toán tính thể tích khối đa diện. Điều đó chứng minh “Rèn kỹ năng giải các bài
toán tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao kết quả học tập của lớp 12C4” làm tăng
khả năng tiếp thu của HS.
2. GIỚI THIỆU:
Hình học là môn học được coi là có tính trừu tượng cao, hệ thống kiến thức rộng, các
kiến thức liện hệ chặt chẽ với nhau. Môn HH có rất nhiều ứng dụng trong thực tế và việc
học tốt môn HH sẽ hình thành ở HS tính cẩn thận, phán đoán chính xác, suy luận lôgíc.
Qua quá trình dạy học môn Toán tôi nhận thấy việc học môn HH của HS là rất khó
khăn, các em quên nhiều kiến thức cơ bản, không biết vận dụng công thức như thế nào,
không biết nên bắt đầu từ đâu để chứng minh một bài toàn hình, và trong quá trình
chứng minh nên vận dụng những kiến thức nào, nên trình bày lời giải như thế nào cho
đúng trình tự Chính những khó khăn đó đã khiến các em lơ là trong việc học cũng
như chuẩn bị bài, ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng môn Toán nói chung và môn HH
nói riêng.
2.1. Hiện trạng:
- Đa phần HS còn rất lúng túng khi học HH không gian, kỹ năng giải toán hình không
gian còn yếu.
- Kết quả bài kiểm tra một tiết Chương I: KHỐI ĐA DIỆN ở những năm học trước tương
tương đối thấp, đa số HS trung bình-yếu-kém chưa giải được bài toán tính thể tích khối
đa diện.
-Các chuyên đề về HH không gian chưa có chuyên đề hữu hiệu nhằm giảm số lượng và tỉ
lệ HS yếu kém của môn học.
2.2. Nguyên nhân:
- Chương Khối đa diện trong chương trình HH khối 12 là nội dung có thể nói là rất khó vì
nó trừu tượng, có nhiều kiến thức tổng hợp, HS thường gặp khó khăn trong việc nhìn
hình không gian, khả năng vận dụng kiến thức đã có để giải bài tập.
- Bài tập sách giáo khoa của chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12
đưa ra chưa được cân đối, rất ít bài tập cơ bản, đa phần là bài tập khó, đặc biệt quá khó
đối với HS yếu, dẫn đến HS có tư tưởng nản và e sợ không học.

- Phần lớn các em HS mất nhiều kiến thức cơ bản:
⋅ Không nhớ các kiến thức quan trọng trong HH phẳng.
⋅ Không xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa 2 mặt phẳng.
⋅ Kỷ năng phát hiện quan hệ giữa các đường thẳng, mặt phẳng và chứng minh
hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc mặt phẳng còn rất yếu.
⋅ Các kiến thức cơ bản về hình chóp, hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp…
còn hạn chế.
- Bên cạnh đó, GV chưa có phương pháp giảng dạy phù hợp để khơi dậy hứng thú học tập
cho HS.
2.3. Giải pháp thay thế:
-Chúng tôi dành tuần đầu tiên của năm học để ôn tập:
⋅ Trang bị cho HS một số kiến thức cần thiết: các kiến thức cơ bản của tam giác
vuông, tam giác đều, tam giác cân, hình vuông…
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang 3
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
⋅ Trang bị cho HS một số kiến thức trọng tâm về quan hệ song song, vuông góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc
giữa mặt phẳng và mặt phẳng đã học ở lớp 11.
Sau đó GV yêu cầu HS về nhà ôn lại và kiểm tra vào 15 phút đầu giờ của mỗi buổi học
(GV có thể trực tiếp hoặc nhờ GV chủ nhiệm truy bài hộ).
- GV cần phát huy tính tích cực của HS bằng cách đưa ra một số bài tập tương tự ví dụ đã
giải trong giờ học lý thuyết để tất cả HS trong lớp đều giải được bài tập, hình thành
niềm tin và hứng thú cho các em khi giải Toán.
- Hệ thống bài tập giao cho HS trong các giờ bài tập và học bồi dưỡng của chương: bài tập
được đưa ra từ dễ đến khó nhằm phát triển tư duy sáng tạo, khai thác triệt để các bài
tập trong sách giáo khoa kết hợp đưa thêm bài tập ngoài bằng cách sắp xếp lại theo
dạng: khối đa diện có đáy là tam giác-tứ giác, có cạnh bên vuông góc với mặt đáy,
khối đa diện đều, khối đa diện bình thường chưa xác định rõ đường cao,…
-Bài tập chương này trong sách giáo khoa rất khó, khi chọn bài tập trong sách giáo khoa
có bài tôi thay đổi một số giả thiết về độ dài của một cạnh để HS dễ tính toán, dễ tiếp

thu; các bài tập khó tôi bổ sung thêm những yêu cầu nhỏ để giảm bớt độ khó của bài.
-Trước khi dạy mỗi dạng bài tập, giao bài tập về nhà cho HS chuẩn bị trước. Dạy xong
các dạng giao bài tập tương tự về nhà cho các em luyện tập. Đối với bài tập về nhà,
GV qui định thời gian cho HS làm bài và nộp lại để GV sửa chữa và chấm điểm.
-Bằng cách này HS yếu, trung bình có thể tiếp thu được những yêu cầu cơ bản nhất của
chương, HS khá nâng cao được kỷ năng giải toán, có hứng thú trong học tập.
- Với những biện pháp trên, chúng tôi nhận thấy việc sử dụng “Rèn kỹ năng giải các bài
toán tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao kết quả học tập của lớp 12C4” ở
Chương I: Bài 3-Khái niệm về thể tích của khối đa diện đã tạo điều kiện cho các em
biết tìm lại kiến thức củ, chủ động tìm ra kiến thức mới và nâng cao kết quả học tập.
(Thể hiện ở phụ lục 1)
- Vấn đề nghiên cứu: “Rèn kỹ năng giải các bài toán tính thể tích khối đa diện nhằm
nâng cao kết quả học tập của lớp 12C4” có làm nâng cao kết quả học tập bộ môn
Toán của HS trường THPT Nguyễn Trung Trực hay không?
- Giả thuyết nghiên cứu: “Rèn kỹ năng giải các bài toán tính thể tích khối đa diện nhằm
nâng cao kết quả học tập của lớp 12C4” có làm nâng cao kết quả học tập bộ môn
Toán của HS lớp 12C4 trường THPT Nguyễn Trung Trực.
3. PHƯƠNG PHÁP:
3.1. Khách thể nghiên cứu:
- HS: lớp 12C4 là nhóm thực nghiệm, lớp 12C6 là nhóm đối chứng. Hai lớp này có sự
tương đồng về số lượng, giới tính và khả năng học tập.
- GV: Cao Thị Kim Sa và Nguyễn Thị Kim Ngọc là hai GV dạy Toán của trường THPT
Nguyễn Trung Trực năm học 2014-2015.
3.2. Thiết kế nghiên cứu:
Thiết kế 2: kiểm tra trước và sau tác động với các nhóm tương đương.
- Chọn hai lớp nguyên vẹn: lớp 12C4 là nhóm thực nghiệm, lớp 12C6 là nhóm đối chứng,
trước khi dạy Bài 3-Khái niệm về thể tích của khối đa diện, trong giờ học bồi dưỡng,
chúng tôi cho cả 2 lớp 12C4 và 12C6 làm bài kiểm tra một tiết môn HH (không nằm
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang 4
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

trong phân phối chương trình, bài kiểm tra nhằm mục đích kiểm chứng sự tương
đương của hai lớp), kết quả bài kiểm tra cho thấy điểm trung bình của nhóm thực
nghiệm là 4.92 và điểm trung bình của nhóm đối chứng là 4.96, kiểm chứng chênh
lệch điểm trung bình bằng T-Test cho kết quả p=0.89>0.05, từ đó kết luận sự chênh
lệch điểm số trung bình của hai nhóm thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa,
hai nhóm được coi là tương đương.
Thực nghiệm Đối chứng
TBC 4.92 4.96
p = 0.89
Bảng 1:Bảng kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương
Nhóm
Kiểm tra
trước tác
động
Tác động
Kiểm tra
sau tác
động
Nhóm thực nghiệm
(lớp 12C4)
O1
Dạy học có sử dụng “kỹ
năng giải các bài toán tính
thể tích khối đa diện”
O3
Nhóm đối chứng
(lớp 12C6)
O2
Dạy học không sử dụng “kỹ
năng giải các bài toán tính

thể tích khối đa diện”
O4
Bảng 2: Bảng thiết kế nghiên cứu
- Ở thiết kế này, chúng tôi dùng phép kiểm chứng T-test độc lập để phân tích.
3.3. Quy trình nghiên cứu:
- Cách thức tiến hành:
° Lớp đối chứng: qui trình giảng dạy bình thường.
° Lớp thực nghiệm: GV thiết kế kế hoạch bài học có chuẩn bị các tài liệu và hướng dẫn
cho HS ôn tập các kiến thức cơ bản, luyện tập nhiều các bài tập HH đã được phân loại
theo dạng và theo mức độ.
⋅ GV chuẩn bị các kiến thức cơ bản cần thiết có liên quan đến việc tính thể tích khối đa
diện, hướng dẫn HS cách học công thức và các tính chất.
⋅ Chuẩn bị các phiếu học tập để kiểm tra việc học lại kiến thức cơ bản và khả năng vận
dụng kiến thức này của HS trong 15 phút đầu giờ hoặc 5 phút đầu của tiết học Toán.
⋅ Trước khi dạy mỗi dạng bài tập, chúng tôi chuẩn bị câu hỏi, giao bài tập cho HS về nhà
chuẩn bị trước, phân loại bài tập theo từng dạng khối đa diện, hệ thống bài tập theo
mức độ từ dể đến khó để HS giải trong các giờ bài tập và học bồi dưỡng.
⋅ Cho bài tập về nhà tương tự dạng bài tập vừa học trên lớp để HS tự ôn tập và rèn luyện.
⋅ Kiểm tra, sữa chữa BTVN cho HS.
- Thời gian dạy thực nghiệm: vẫn tuân theo kế hoạch chung của nhà trường để đảm bảo
tính khách quan, trong các buổi học chính khoá và bồi dưỡng:
3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu:
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang 5
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
- Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra một tiết Chương I: Khối đa diện. Đề kiểm tra
được Ban giám hiệu bốc thăm từ ngân hàng đề môn Toán và kiểm tra tập trung cho
toàn khối.
- Chúng tôi chấm bài kiểm tra theo biểu điểm đáp án. Sau đó thống kê kết quả kiểm tra.
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ:
4.1. Phân tích dữ liệu:

Thực nghiệm Đối chứng
Điểm trung bình 6.68 5.46
Độ lệch chuẩn 0.92 1.54
Giá trị p của T-test 0.0001
Chênh lệch giá trị
trung bình chuẩn SMD
0.80
Bảng 3:Bảng so sánh điểm trung bình sau khi tác động
- Kết quả kiểm tra sau tác động cho thấy điểm trung bình của nhóm thực nghiệm là 6.68
cao hơn so với điểm trung bình kiểm tra trước tác động là 4.92. Điều này chứng tỏ
rằng, kết quả học tập môn Toán HH của HS lớp 12C4 đã được nâng lên đáng kể.
- Độ lệch chuẩn của điểm kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là
0.92<1 điều này cho thấy mức độ chênh lệch có ý nghĩa.
- Phép kiểm chứng T-test cho kết quả p=0,0001 < 0,05 cho thấy sự chênh lệch điểm khảo
sát trung bình giữa nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng là có ý nghĩa, tức là sự
chênh lệch điểm trung bình khảo sát trước và sau tác động không xảy ra ngẫu nhiên mà
là do tác động của giải pháp thay thế đã mang lại hiệu quả.
- Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD = cho thấy mức độ ảnh
hưởng của việc dạy học có sử dụng “Rèn kỹ năng giải các bài toán tính thể tích khối
đa diện nhằm nâng cao kết quả học tập của lớp 12C4” ở nhóm thực nghiệm là lớn.
- Giả thuyết của đề tài “Rèn kỹ năng giải các bài toán tính thể tích khối đa diện nhằm
nâng cao kết quả học tập của lớp 12C4” đã được kiểm chứng.
Biểu đồ so sánh ĐTB trước tác động và sau tác động
của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng
4.2. Bàn luận:
- Điểm trung bình của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là 6.68, của nhóm đối
chứng là 5.46. Độ chênh lệch điểm số giữa hai nhóm là 1.22. Điều đó cho thấy điểm trung
bình cộng của hai nhóm đối chứng và thực nghiệm đã có sự khác biệt, nhóm được tác động
có điểm trung bình cộng cao hơn nhóm đối chứng.
- Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD = 0.80. Điều này có

nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn.
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang 6
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
- Phép kiểm chứng T-test điểm trung bình sau tác động của hai nhóm là p= 0.0001<
0.05. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch điểm trung bình của hai nhóm không phải
là do ngẫu nhiên mà là do tác động mang lại.
Hạn chế:
- Thời gian nghiên cứu ngắn nên GV chưa đánh giá được một cách hoàn toàn chính xác sự
tiến bộ của HS.
- Chương I: Khối đa diện là chương tương đối khó đối với HS ban cơ bản, vì vậy kiến
thức dể bị mai một nếu như không thường xuyên kiểm tra, ôn tập.
- Lớp học đông nên GV không thể quan tâm trực tiếp đến từng HS để biết được chính xác
sự tiếp thu của từng HS trong mỗi tiết dạy.
5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ:
5.1. Kết luận :
- “Rèn kỹ năng giải các bài toán tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao kết quả học tập
của lớp 12C4” đã làm cho kết quả học tập của HS được nâng lên, số lượng HS yếu
kém sau kỳ kiểm tra được giảm đáng kể. HS có thái độ tự tin và thêm yêu thích môn
học. Nhưng để làm được điều đó, GV phải là người chịu khó, kiên trì, không nản lòng
trước sự chậm tiến của HS, phải biết phát hiện ra sự tiến bộ của các em dù rất nhỏ để
kịp thời động viên, khuyến khích,làm niềm tin cho các em tiến bộ hơn trong học tập.
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang 7
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
5.2. Khuyến nghị:
- Đối với các cấp lãnh đạo: Cần khuyến khích GV nghiên cứu chọn ra giải pháp hữu hiệu
nhằm khắc phục HS yếu kém của từng môn học. Động viên, giúp đỡ và khen thưởng
những GV có thành tích trong việc nâng cao chất lượng dạy và học ở nhà trường.
- Đối với GV: Phải không ngừng đầu tư nghiên cứu tìm ra giải pháp nâng cao chất lượng
giáo dục, phải không ngừng học tập nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ của bản
thân, tích lũy kinh nghiệm từ đồng nghiệp và bản thân, biết cách áp dụng hợp lí với lớp

mình giảng dạy. Với đề tài này, chúng tôi mong muốn nhiều đồng nghiệp quan tâm,
chia sẽ, đóng góp ý kiến để làm cho giải pháp hoàn hảo hơn nhằm nâng cao hiệu quả
giáo dục.
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang 8
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. Bộ GDĐT dự án Việt-Bỉ: Nghiên Cứu Khoa Học Sư Phạm Ứng dụng (Nhà xuất bản
Đại Học Sư Phạm).
2. Thái Duy Tuyên (GS.TSKH): Giáo dục hiện đại (Nhà xuất bản giáo dục Hà Nội).
3. Sách giáo khoa – Sách bài tập – Sách GV Toán Hình học 12 (NXB giáo dục).
4. Sách giáo khoa – Sách GV Toán Hình học 12 nâng cao (NXB Giáo dục).
5. Tạp chí dạy và học ngày nay. Tạp chí của TW Hội khuyến học Việt Nam.
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang 9
M
H
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
PHỤ LỤC
Phụ lục 1: Các biện pháp rèn kỹ năng giải bài toán tính thể tích khối đa diện:
Bước 1. GV biên soạn lại một số kiến thức cơ bản quan trọng, hướng dẫn và kiểm
tra cách học thuộc, cách vận dụng các kiến thức này của HS:
I. Các tính chất về đa giác thường gặp:
1. Tam giác vuông :
+
Định lý pitago:
+
Trung tuyến

+
Đường cao:
Hoặc:

+ Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

+ Diện tích tam giác vuông:
2. Tam giác cân: Tam giác ABC cân tại A
+
+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến.
+ Tính đường cao và diện tích:
⋅
⋅
3. Tam giác đều:
+ Đường cao cũng là đường trung tuyến:
(đường cao h = cạnh . )
+
+ Diện tích : = (cạnh)
2
.
4. Hình vuông:
+ Diện tích hình vuông :
( Diện tích bằng cạnh bình phương)
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang
10
A
B
C
H
B
A
G
C
M

O
B
D
A
C
A
C
D
B
a
b
h
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
+ Đường chéo hình vuông:
(đường chéo hình vuông bằng cạnh x )
5. Hình chữ nhật:
+ Diện tích hình vuông :
( Diện tích bằng dài nhân rộng)
+ và AC không vuông góc BD
6. Hình thoi:
+ Diện tích hình thoi:
+ , AC và BD không bằng nhau.
7. Hình thang:
+ Diện tích hình thang :

8. Tam giác thường:
a)Định lí Talet: MN // BC
Ta có: và
b)Định lý Cosin: Hệ quả:

c) Định lý Sin:
d)Công thức tính diện tích tam giác: Với
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang
11
O
A
B
D
C
h
H
A
B
C
N
M
C
B
A
A
C
B
S
M
O
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
⋅ (1)
⋅ (2)
⋅ (3)
⋅ (4)

⋅ (5)
( R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC)
II. Đường thẳng vuông góc mặt phẳng:
1. Chứng minh:
2. Tính chất :
III. Mặt phẳng vuông góc mặt phẳng:
1. Chứng minh:
2. Tính chất :
IV. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
⋅ Tìm hình chiếu d
/
của d lên mặt phẳng (P)
⋅ Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d
/

VD: Xác định góc giữa SB và (ABC)
Ta có: Hình chiếu của SB lên (ABC) là AB

⇒

·
·
·
( ,( )) ( , )SB ABC SB AB SBA
= =
V. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q):
⋅ Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
⋅ Tìm trong mp(P) có đường thẳng a d tại M
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang
12

A
C
B
S
M
O
S
C’/
B’/
A’
C
B
A
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
trong mp(Q) có đường thẳng b d tại M
⋅ Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b.
VD: Xác định góc giữa (SBC) và (ABC)
Ta có : (SBC)
∩
(ABC) = BC
Trong mp(SBC) có SM
⊥
BC
Trong mp(ABC) có AM
⊥
BC

⇒

·

·
·
(( ),( )) ( , )SBC ABC SM AM SMA
= =
VI. Thể tích khối chóp:
Trong đó : : là diện tích đa giác đáy
h : là đường cao của hình khối chóp
1) Khối chóp tam giác đều:
+ Các cạnh bên đều bằng nhau.
+ Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau.
+ Mặt đáy tam giác đều.
+ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC : SO (ABC)
+
2) Khối chóp tứ giác đều:
+ Đa giác đáy ABCD là hình vuông tâm O:
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau.
+
- Lưu ý về công thức tỉ số thể tích:
' ' '
' ' '
. .
SA B C
SABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang
13
h

S
B
A
C
H
O
C
D
B
A
S
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
VII. Thể tích khối lăng trụ:
Trong đó, : diện tích mặt đáy
h : đường cao
1) Lăng trụ xiên:
- Đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song
song.
- Cạnh bên song song và bằng nhau.
- Cạnh bên không vuông góc với đáy.
(Mặt bên là các hình bình hành)

Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang
14
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
2) Lăng trụ đứng:
- Đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trong hai mặt
phẳng song song.
- Cạnh bên song song và bằng nhau.
- Cạnh bên vuông góc với đáy.

(Mặt bên là các hình chữ nhật)
 HS học thuộc các công thức và GV tiến hành trả bài thường xuyên trong tất cả các buổi
học chính khoá lẫn bồi dưỡng bằng các phiếu câu hỏi: đầu mỗi tiết học hoặc vào 15 phút
đầu giờ của mỗi ngày, GV chuẩn bị các phiếu câu hỏi, GV chia bảng làm 5 phần, gọi
mỗi lần 5 HS lên bốc thăm chọn phiếu câu hỏi và ghi đáp án trên phần bảng của mình.
Sau đây là các phiếu câu hỏi:
Phiếu 1:
Câu 1. Kiến thức cơ bản về tam giác
vuông.
Câu 2. Cách xác định góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng.
Phiếu 2:
Câu 3. Kiến thức cơ bản về tam giác
cân.
Câu 4. Cách xác định góc giữa mặt phẳng và
mặt phẳng.
Phiếu 3:
Câu 5. Kiến thức cơ bản về tam giác
đều.
Câu 6. Cho hình chóp đều S.ABC có.
Xác định góc giữa (SBC) và (ABC).
Phiếu 4:
Câu 7. Tính chất hình chóp tam giác
đều.
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có SA
(ABCD). Xác định góc giữa SC và (ABC),
SD và (ABCD).
Phiếu 5:
Câu 9. Kiến thức cơ bản về hình
vuông.

Câu 10. Công thức tính thể tích khối chóp.
Phiếu 6:
Câu 11. Kiến thức cơ bản về hình chữ
nhật.
Câu 12. Công thức tính thể tích khối lăng
trụ.
Phiếu 7:
Câu 13. Kiến thức cơ bản về hình thoi.Câu 14. Cách chứng minh và tính chất
đường thẳng vuông với mặt phẳng.
Phiếu 8:
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang
15
A C
B
B1
C1
A1
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
Câu 15. Kiến thức cơ bản về hình
thang.
Câu 16. Cách chứng minh và tính chất mặt
phẳng vuông với mặt phẳng.
Phiếu 9:
Câu 17. Kiến thức cơ bản trong tam giác thường.
Phiếu 10:
Câu 18. Kiến thức cơ bản về hình chóp đều S.ABC và hình chóp đều S.ABCD.
Phiếu 11:
Câu 19. Kiến thức về hình lăng trụ xiên và lăng trụ đứng.
Phiếu 12:
Câu 20. Khái niệm hình hộp, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

Bước 2. Chúng tôi xin trình bày các dạng bài tập tính thể tích của khối đa diện. Ta
có thể chia ra làm 7 dạng sau (trong quá trình phân tích đề và hướng dẫn HS vẽ
hình, GV có thể đặt các câu hỏi gợi mở giúp HS tự suy luận được giả thiết của đề
bài):
Dạng 1. Khối chóp đều:
- Đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông,…)
- Đường cao của hình chóp là SO (S là đỉnh hình chóp, O là tâm của đa giác
đáy: nếu đáy là tam giác thì O là trọng tâm tam giác, đáy là hình vuông thì O
là giao điểm 2 đường chéo).
- Các cạnh bên bằng nhau và tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S.ABC. Tính thể tích khối chóp khi biết:
a) Cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a.
b) Cạnh bên bằng
2a
, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 45
0
.
c) Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60
0
.
 Lưu ý: HS thường làm sai bài toán trên do :
− HS vẽ “sai” hình chóp tam giác đều vì :
+ không xác định được vị trí điểm O
+ không hiểu tính chất của hình chóp đều là SO (ABC)
+ không tính được AM và không tính được AO
− Tính toán sai kết quả thể tích.
 GV phân tích cho HS hiểu đề bài và hướng dẫn HS vẽ hình:
− Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O
+ Gọi M là trung điểm BC
+ O là trọng tâm của tam ABC

Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang
16
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
+ AM là đường cao trong ABC
− Đường cao của hình chóp là SO ( SO (ABC))
 Lời giải:
a) S.ABC là hình chóp tam giác đều
Gọi M là trung điểm BC
ABC đều cạnh , tâm O
SO (ABC)
SA=SB=SC = 2a
* ABC đều cạnh
AM =

* SAO vuông tại A có
* Thể tích khối chóp S.ABC:
b)S.ABC là hình chóp tam giác đều.
ABC đều tâm O ⇒ SO (ABC)
Góc tạo bởi cạnh bên SA và mp(ABC)= 45
0
* SO (ABC) ⇒ AO là hình chiếu vuông góc của SA lên mp(ABC)
⇒ Góc tạo bởi cạnh bên SA và mp(ABC) =
·
0
45SAO =
* Xét ∆SOA vuông tại O có SA =
2a
góc
·
0

45SAO =
0
0
2
2.
. os45
2
.sin45
2
2.
2
AO a
AO a
AO SAc
SO a
SO SA
SO a

=

=

=


⇒ ⇔ ⇔
  
=
=




=


.
* Mặt khác:
* ABC đều cạnh
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang
17
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
* Thể tích khối chóp S.ABC:
c) S.ABC là hình chóp tam giác đều.Gọi M là trung điểm BC
ABC đều cạnh a, tâm O ⇒ SO (ABC)
Góc tạo bởi mặt bên (SBC) và mp(ABC)= 60
0
* ABC đều cạnh a :
AM =

*
ABC đều nên AM BC
SBC cân tại S nên SM BC
⇒ Góc tạo bởi mặt bên (SBC) và mp(ABC)= ==60
0
.
* Xét ∆SOM vuông tại O có:
tan
* Thể tích khối chóp S.ABC:
Ví dụ 2: Tính thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD có :
a) Cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng .

b) Cạnh bên bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60
0
.
c) Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60
0
.
 Lưu ý : HS thường làm sai bài toán trên do
− HS vẽ “sai” hình chóp tứ giác đều
+ không xác định được tính chất đa giác đáy là hình vuông
+ không SO (ABCD) mà lại vẽ SA (ABCD)
+ không tính được AC và không tính được AO
− Tính toán sai kết quả thể tích
 GV phân tích cho HS hiểu đề bài và hướng dẫn HS vẽ hình:
− Hình chóp tứ giác đều có
+ đa giác đáy là hình vuông ABCD tâm O
+ SO (ABCD)
+ tất cả các cạnh bên bằng nhau
− Đường cao của hình chóp là SO ( SO (ABCD))
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang
18
60
M
O
S
A
B
C
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
 Lời giải:
a) S.ABCD là hình chóp tứ giác đều

⇒ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O
SO (ABCD)
SA=SB=SC =SD =
* Diện tích hình vuông ABCD:
* Xét SAO vuông tại O có

* Thể tích khối chóp S.ABCD:
b) Cạnh bên bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60
0
.
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều.
ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O SO (ABCD)
Góc tạo bởi cạnh bên SA và mp(ABCD)= 60
0
* SO (ABCD) ⇒AO là hình chiếu vuông góc của SA lên mp(ABCD)
⇒Góc tạo bởi SA và mp(ABCD)=
* Xét ∆SOA vuông tại O có AO =

* Diện tích hình vuông ABCD cạnh a:
* Thể tích khối chóp S.ABCD:
c) Cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60
0
.
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. Gọi M là trung điểm BC
ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O SO (ABCD)
Ta có:
Góc tạo bởi mặt bên (SBC)
và mp(ABCD)
* Xét ∆SOM vuông tại O có:

tan
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang
19
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
* Diện tích hình vuông ABCD cạnh a:
* Thể tích khối chóp S.ABC:
 BT tương tự:
Bài 1. Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a.
Bài 2. Cho hình chóp đều S.ABC, có cạnh đáy =a, cạnh bên . Gọi I là
trung điểm của BC. Tính thể tích khối chóp đều S.ABC.
Bài 3. Cho hình chóp đều S.ABC, có cạnh đáy , góc giữa cạnh bên và
mặt phẳng đáy =60
0
. Gọi I là trung điểm của AB. Tính thể tích khối chóp
đều S.ABC.
Bài 4. Cho hình chóp đều S.ABC, có cạnh đáy 2a, góc giữa mp(SAC) và mặt
phẳng đáy =45
0
. Gọi I là trung điểm của AC. Tính thể tích khối chóp đều
S.ABC.
Bài 5. Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a,
cạnh bên =2a. Tính thể tích khối chóp đều S.ABCD.
Bài 6. Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a,
góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy =45
0
. Tính thể tích khối chóp đều
S.ABCD.
Bài 7. Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a,
góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy =45
0

. Tính thể tích khối chóp đều
S.ABCD.
Bài 8. Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a,
cạnh bên . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính thể
tích khối chóp đều S.ABCD.
Bài 9. * Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích
bằng . Tính độ dài cạnh bên của hình chóp. ĐS: SA =
Bài 10. * Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng và thể tích
bằng a
3
. Tính cạnh đáy của hình chóp. ĐS: AB =
Bài 11.* Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng 3a
3
/8, các mặt
bên tạo với đáy (ABC) một góc 60
0
. Tính độ dài cạng đáy AB. ĐS: AB =
Dạng 2. Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy- Khối chóp có hai mặt
phẳng kề nhau vuông góc với đáy:
- Cho hình chóp S.A
1
A
2
An có
( )
1 1 2

n
SA A A A
⊥

khi đó ta có SA
1
= h là đường
cao của hình chóp.
- Khối chóp có hai mặt phẳng kề nhau đi qua đỉnh vuông góc với đáy thì
đường cao khối chóp là giao tuyến của hai mặt phẳng kề nhau đó.
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang
20
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
- Diện tích đáy còn phụ thuộc vào giả thiết của bài toán khi cho đa giác
1 2

n
A A A
.
 Lưu ý:
- Học sinh thường không lý luận để chỉ ra góc nào là góc giữa đường thẳng và
mặt phẳng đáy.
- Học sinh xác định góc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh không nắm
rõ cách xác định góc.
o Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vuông và SA vuông góc
với đáy thì góc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một
trong hai vị trí đầu mút của cạnh giao tuyến
o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuông góc với đáy thì góc giữa
mặt bên và mặt đáy là góc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao tuyến.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a , AC =
a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = .Tính thể tích khối
chóp S.ABC.
 GV phân tích cho HS hiểu đề bài và hướng dẫn HS vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng.

− Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông.
 Lời giải:
Ta có : AB = a , AC = a , SB = .
* Xét ABC vuông tại B nên

* SAB vuông tại A có
* Thể tích khối chóp S.ABC
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a,
, hai mặt bên (SAB), (SAC) vuông góc với đáy và SB tạo với mặt đáy một góc
bằng 45
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
 GV phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình (Đa số
HS không nhận ra được đường cao là SA):
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng
− Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nó lên
(ABC)
 Lời giải:
* Ta có : AB = a ,
AB là hình chiếu của SB lên mp(ABC)
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang
21
A
C
B
S
45
60
S
B

C
A
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng

* ABC vuông tại B có AB = a,


* SAB vuông tại A có AB= a,

* Thể tích khối chóp S.ABC:
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = , BC =
a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy
(ABC) một góc bằng 60
0
.Tính thể tích khối chóp S.ABC
 Sai lầm của học sinh:
− Gọi M là trung điểm BC
− Ta có AM BC
SM BC

(Hình vẽ sai)
 Lời giải:
* Ta có : AB = ,
(SBC) (ABC) = BC
AB BC ( vì ABC vuông tại B)
SB BC ( vì

* ABC vuông tại B có AB = ,BC =a

* SAB vuông tại A có AB= a,

* Thể tích khối chóp S.ABC:
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a ,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = .Tính thể tích khối chóp
S.ABC
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang
22
6 0
M
S
B
C
A
60
S
B
C
A
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
 GV phân tích cho HS hiểu đề bài và hướng dẫn HS vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng
− Tam giác ABC vuông , cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý pitago
trong tam giác vuông
 Lời giải:
* Ta có : AC = a , SB = .
* ABC vuông, cân tại B nên


* SAB vuông tại A có
* Thể tích khối chóp S.ABC

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC
= 2a , gọi M là trung điểm BC, hai mặt bên (SAB), (SAC) vuông góc với đáy;
đường SM tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 45
0
.Tính thể tích khối chóp
S.ABC.
 GV phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình (Đa số
HS không nhận ra được đường cao là SA).
 Sai lầm của học sinh:
 Lời giải:
* ABC vuông cân tại A có ,BC =
AM =

Ta có : AM là hình chiếu của
SM lên mp(ABC).

* SAM vuông tại A có AM= a,
* Thể tích khối chóp S.ABC:
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang
23
45
M
S
B
C
A
A
C
B
S

Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC
= , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt
đáy (ABC) một góc bằng 45
0
.Tính thể tích khối chóp S.ABC
 Sai lầm của học sinh:

 Lời giải:
* Ta có : AB = , (SBC) (ABC) = BC
Gọi M là trung điểm BC
Trong (SBC) : AM BC ( vì ABC cân tại A)
Trong (ABC) : SM BC ( vì AM là hình chiếu của SM lên (ABC))

* ABC vuông cân tại A có BC= AM =

* SAM vuông tại A có AM= ,

* Thể tích khối chóp S.ABC:
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = .Tính thể tích khối chóp S.ABC.
 GV phân tích cho HS hiểu đề bài và hướng dẫn HS vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng
− Tam giác ABC đều có ba góc bằng 60
0
và sử dụng định lý pitago trong tam
giác vuông SAB
 Lời giải:
* ABC đều cạnh 2a nên : AB = AC = BC = 2a

* SAB vuông tại A có
* Thể tích khối chóp S.ABC
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang
24
S
B
C
A
45
M
S
B
C
A
Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a ,
,cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích
khối chóp S.ABC
 GV phân tích cho HS hiểu đề bài và hướng dẫn HS vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA (ABC) và vẽ thẳng đứng
− Tam giác ABC cân tại A và Â = 120
0

 Lời giải:
* ABC cân tại A, , BC = 2a
* Xét AMB vuông tại M có BM = a , Â = 60
0
AM =

* Thể tích khối chóp S.ABC:

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC = .Tính thể tích khối chóp
S.ABCD
 GV phân tích cho HS hiểu đề bài và hướng dẫn HS vẽ hình:
− Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA (ABCD) và vẽ
thẳng đứng
− ABCD là hình vuông ; sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông
−
 Lời giải:
Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a
SC = .
* Diện tích ABCD

* Ta có : AC = AB. =
* SAC vuông tại A


* Thể tích khối chóp S.ABCD:
Trường THPT Nguyễn Trung Trực Trang
25
A
B
D
C
S
M
S
B
C

A