Một số ứng dụng tích phân của hàm một biến trong hình học và vật lý

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THU HÒA
MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG
HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên, Năm 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THU HÒA
MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
CỦA HÀM MỘT BIẾN TRONG
HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN VĂN NGỌC
Thái Nguyên, Năm 2015
i
Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS. Nguyễn Văn Ngọc,
thầy đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình làm luận
văn này.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại Học Khoa Học, các thầy cô
giáo, các phòng chức năng của trường đã tạo cho tác giả mọi điều kiện tốt nhất
trong quá trình học tập tại trường.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn bè, các bạn học viên trong
lớp cao học toán K7b đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học
tập cùng nhau.

Cuối cùng tác giả xin bày tỏ sự biết ơn vô hạn đối với cha mẹ, các anh chị
em và người thân trong gia đình mình đã động viên và giúp đỡ tác giả trong
suốt quá trình học tập.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Học viên
Nguyễn Thu Hòa
ii
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Tích phân xác định 3
1.1 Tích phân xác định và lớp hàm khả tích Riemann . . . . . . . . 3
1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Lớp hàm khả tích Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Các tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Các định lý về giá trị trung bình tích phân . . . . . . . . 8
1.3 Tích phân xác định và nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Tích phân xác định là hàm theo cận trên . . . . . . . . 9
1.3.2 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Tính toán và biến đổi các tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Công thức Newton- Leibnitz. Tích phân của các hàm
chẵn, hàm lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3 Đổi biến trong tích phân bất định . . . . . . . . . . . . 15
1.4.4 Đổi biến trong tích phân xác định . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Tích phân suy rộng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Tích phân suy rộng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Ứng dụng của phép tính tích phân trong hình học 27

2.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
iii
2.1.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Tính thể tích của khối tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Tính chiều dài của một đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Tính diện tích của một mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Ứng dụng của phép tính tích phân trong Vật lý 40
3.1 Sơ đồ tổng quát ứng dụng tích phân giải bài toán Vật lý . . . . 40
3.1.1 Khái quát chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.2 Lược đồ ứng dụng tích phân xác định . . . . . . . . . . . 41
3.2 Moment và trọng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Moment tĩnh và moment quán tính của hệ điểm . . . . . 42
3.2.2 Moment của một cung phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.3 Moment của một hình thang cong thuần nhất . . . . . . 43
3.2.4 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Ứng dụng tích phân trong các bài tập điện . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Cường độ điện trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2 Điện trở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.3 Từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.4 Điện xoay chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Một số vấn đề khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.1 Công . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.2 Lực-Áp suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4.3 Phân hủy-Phóng xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1
Mở đầu
Trong luận văn này chúng ta sẽ giải thích định nghĩa của tích phân xác
định của hàm thực xác định trên một khoảng compăc. Ta có cái nhìn gần hơn
về các loại hàm có thể lấy tích phân và ta trình bày phân tích định tính của
hàm khả tích, theo cách chính xác hơn so với tính toán thông thường. Tích
phân được định nghĩa và nghiên cứu ở đây được biết đến với tên tích phân
Riemann.
Cauchy (1823) miêu tả một cách nghiệm ngặt tích phân của hàm liên tục
như giới hạn của một tổng. Riemann (1854), chỉ đơn thuần là một phần bên
ngoài trong luận án nổi tiếng của ông về chuỗi lượng giác, định nghĩa tích phân
cho các hàm tổng quát hơn. Trong phần tiếp theo chúng ta miêu tả ngắn gọn lý
thuyết tích phân Riemann và mở rộng của nó bởi Bois-Reymond và Darboux.
Lý thuyết tổng quát hơn của Lebesgue (1902) không được khảo sát ở đây.
Trong định nghĩa của tích phân xác định đã sử dụng tiếp cận tính diện
tích của một hình phẳng cũng như tính khối lượng của một vật phẳng khi biết
hàm mật độ khối. Vì thế, tích phân xác định từ nội tại đã có những ứng dụng
Hình học và Vật lý.
Ứng dụng tích phân trong hình học, như tính diện tích của một hình
phẳng, tính thể tích của khối tròn xoay, độ dài đường cong phẳng, diện tích
của mặt tròn xoay, v.v đã được đề cập khá nhiều trong các sách giáo khoa,
sách chuyên khảo nâng cao, cũng như trong các đề thi vào Đại học nhiều năm.
Vật lý học là môn khoa học thực nghiệm, các định luật, các công thức
của Vật lý thường được xây dựng trên các biểu thức Toán học phù hợp với kết
quả thực nghiệm. Việc sử dụng Toán học có hiệu quả trong việc giải các bài
toán của Vật lý là việc rất khó đối với học sinh phổ thông, kể cả các học sinh
khá, giỏi.

So với những ứng dụng của tích phân trong Hình học sơ cấp thì tài liệu
giới thiệu về ứng dụng của tích phân giải các bài toán của Cơ học và Vật lý sơ
cấp chưa có nhiều và khá sơ sài.Vì vậy chúng tôi đã chọn đề tài về ứng dụng
2
của tích phân trong Hình học, Cơ học và Vật lý làm Luận văn Thạc sĩ Khoa
học.
Theo chúng tôi được biết, đề tài trên đây cũng đã được đề cập trong Luận
văn Thạc sĩ Khoa học [5], năm 2011. Tuy nhiên trong tài liệu này chỉ thấy
trình bày lý thuyết tóm tắt của tích phân trong Hình học và Cơ học mà chưa
thấy có các bài toán áp dụng, đặc biệt là các bài toán khó và các bài toán của
vật lý sơ cấp.
Luận văn này gồm có; Mở đầu, ba chương nội dung, Kết luận và Tài liệu
tham khảo.
Chương 1 trình bày cơ sở lý thuyết của tích phân xác định Riemann. Kiến
thức của chương này có thể tìm thấy trong bất kỳ tài liệu nào về phép tính vi
phân và tích phân.
Chương 2 trình bày ứng dụng của phép tính tích phân trong Hình học.
Nội dung của chương này dựa trên nhiều tài liệu, đặc biêt là các tài liệu [1], [4]
và các đề tuyển sinh Đại học trong nhiều năm.
Chương 3 trình bày ứng dụng phép tính tích phân trong các bài toán của
vật lý. Chương này là nội dung chính của luận văn. Mục 3.1 trình bày sơ đồ
tổng quát áp dụng tích phân xác định vào các bài toán của cơ học và vật lý.
Ngoài việc hiểu các kiến thức cần thiết của Vật lý còn phải biết Toán học hóa
bài toán của Vật lý, như đưa vào các biến cần thiết, xét hệ tọa độ thích hợp.
Vấn đề quan trọng trong ứng dụng phép tính tích phân là trước hết phải biết
vi phân các đại lượng, sau đó dùng các định luật của Vật lý thiết lập các đại
lượng vi phân nguyên tố, sau đó mới tích phân các đại lượng vi phân nguyên
tố này, v.v
3
Chương 1

Tích phân xác định
Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của tích phân xác định Riemann.
Kiến thức của chương này có thẻ tìm thấy trong bất kỳ tài liệu nào về phép
tính vi phân và tích phân của hàm một biến, đặc biệt là các tài liệu [1], [4].
1.1 Tích phân xác định và lớp hàm khả tích Rie-
mann
1.1.1 Định nghĩa tích phân xác định
• Một phân hoạch của khoảng [a, b] thành các khoảng con là tập hữu hạn các
điểm
∆ = {x
0
, x
1
, . . . , x
n
},
trong đó a = x
0
< x
1
< ··· < x
n
= b. Một phân hoạch ∆

của [a, b] được gọi là
sự làm mịn của ∆ nếu nó chứa tất cả các điểm của ∆, tức là ∆

⊃ ∆.
• Giả sử f : [a, b] → R là một hàm tùy ý. Nếu ∆ = {x
0

, x
1
, . . . , x
n
}, là một
phân hoạch của [a, b], khi đó một cách lựa chọn gắn với ∆ là một lớp hữu hạn
ξ = (ξ
1
, . . . , ξ
n
) sao cho ξ
i−1
≤ ξ
i
≤ ξ
i+1
với i = 1, . . . , n. Ta gắn với f, ∆ và ξ
tổng Riemann S(f; ∆, ξ) xác định bởi
S(f; ∆, ξ) =
n

i=1
f(ξ
i
)(x
i
− x
i−1
).
• Ta nói rằng f là khả tích Riemann trên [a, b] nếu tồn tại một số thực I với

tính chất sau: với bất kỳ ε > 0, tồn tại một phân hoạch ∆ của [a, b] sao cho
4
|S(f; ∆, ξ) − I| < ε, với mọi cách lựa chọn ξ gắn với ∆. Số I được gọi là tích
phân của f trên [a, b] và ký hiệu bằng

b
a
f(x)dx. Như vậy, theo định nghĩa ta
có

b
a
f(x)dx = lim
max ∆x
i
→0
n

i=1
f(ξ
i
)∆x
i
, ∆x
i
= x
i
− x
i−1
. (1.1)

Chú ý 1.1. Tích phân xác định không phụ thuộc vào sự lựa chọn biến lấy tích
phân:

b
a
f(x)dx =

b
a
f(y)dy =

b
a
f(t)dt,
.
1.1.2 Lớp hàm khả tích Riemann
• Nếu tích phân xác định trên [a, b] của hàm f tồn tại, thì ta nói hàm f khả
tích trên [a, b]. Chúng ta có các lớp hàm sau khả tích trên đoạn [a, b]:
f(x) bị chặn và đơn điệu trên [a, b],
f(x) liên tục trên [a, b],
f(x) liên tục từng khúc chỉ có một số hữu hạn điểm
gián đoạn trên đoạn [a, b].
Đặc biệt, nếu ta thay đổi giá trị của một hàm khả tích tại hữu hạn điểm, thì
hàm số vẫn khả tích và giá trị của tích phân không thay đổi. Hàm bị chặn có
thể không khả tích. Để minh họa, xét hàm Dirichlet sau đây.
Ví dụ 1.1. Hàm Dirichlet được xác định bởi công thức
f(x) =




1 nếu x ∈ Q
0 nếu x ∈ R\Q.
Chúng ta sẽ chứng tỏ hàm f không khả tích trên bất kỳ khoảng [a, b].
Thật vậy, với bất kỳ phân hoạch ∆ = {x
0
, x
1
, . . . , x
n
} của [a, b], mỗi khoảng
[x
i−1
, x
i
] chứa cả số hữu tỷ và số vô tỷ. Do đó, tồn tại hai cách chọn ξ và ξ

gắn
với ∆ sao cho S(f; ∆, ξ) = b − a và S(f; ∆, ξ

) = 0. Do đó, f không khả tích
trên [a, b]. Ta cũng chỉ ra rằng hàm này gián đoạn toàn phần, tức là gián đoạn
tại mọi điểm.
5
• Trong phần tiếp theo chúng tôi miêu tả một phương pháp tiếp cận tính khả
tích Riemann khác. Ta định nghĩa tổng Darboux dưới và tổng Darboux trên
gắn với f : [a, b] → R và cách chia ∆ = {x
0
, x
1
, . . . , x

n
} của [a, b] là
S
−
(f; ∆) =
n

i=1
m
i
(x
i
− x
i−1
), S
+
(f; ∆) =
n

i=1
M
i
(x
i
− x
i−1
),
trong đó
m
i

= inf
x
i−1
≤x≤x
i
, M
i
= sup
x
i−1
≤x≤x
i
.
Khi đó S
−
(f; ∆) ≤ S
+
(f; ∆), và ngoài ra, S
−
(f; ∆) ≤ S(f; ∆, ξ) ≤
S
+
(f; ∆), với cách chọn ξ gắn với cách chia ∆. Hơn nữa, nếu ∆

là phép
làm mịn của ∆, thì
S
−
(f; ∆) ≤ S
−

(f; ∆

) ≤ S
+
(f; ∆

) ≤ S
+
(f; ∆),
nếu ∆
1
và ∆
2
là hai cách chia tùy ý, thì
S
−
(f; ∆
1
) ≤ S
+
(f; ∆
2
).
Điều này chỉ ra tập các tổng Darboux dưới của f bị chặn trên bởi mọi tổng
Darboux trên và tập các tổng Darboux trên của một hàm nhất định được bị
chặn dưới bởi bất kỳ tổng Darboux dưới. Do đó, ta khảo sát cận trên đúng của
tổng Darboux dưới và cận dưới đúng của tổng Darboux trên. Ta định nghĩa
tích phân Darboux dưới

b

a
f(x)dx := sup
∆
S
−
(f; ∆)
và tích phân Darboux trên

b
a
f(x)dx := inf
∆
S
+
(f; ∆).
Các tiêu chuẩn tích phân sau là của Darboux
Định lý 1.1. Một hàm f : [a, b] → R khả tích khi và chỉ khi với bất kỳ ε > 0
tồn tại δ > 0 sao cho
S
+
(f; ∆) −S
−
(f; ∆) < ε,
với mọi phân hoạch ∆ = {x
0
, x
1
, . . . , x
n
} với max

i
(x
i
− x
i−1
) < δ.
6
Điều này kéo theo một hàm f : [a, b] → R khả tích khi và chỉ khi tích
phân Darboux trên và tích phân Darboux dưới bằng nhau. Trong trường hợp
này ta có

b
a
f(x)dx :=

b
a
f(x)dx =

b
a
f(x)dx.
Ví dụ 1.2. (i) Hàm f(x) = x khả tích trên [a, b]. Thật vậy, xét phép phân
hoạch cách đều
∆
n
= {x
i
= a + i(b − a)/n; i = 0, 1, 2, . . . , n}.
Khi đó

S
−
(f; ∆) =
n

i=1
x
i−1
b −a
n
=
b
2
− a
2
2
−
(b −a)
2
2n
và
S
+
(f; ∆) =
n

i=1
x
i−1
b −a

n
=
b
2
− a
2
2
+
(b −a)
2
2n
.
Do đó, S
+
(f; ∆) −S
−
(f; ∆) = (b − a)
2
/n → 0 khi n → ∞.
(ii) Xét hàm Riemann f : [0, 1] → R xác định bởi
f(x) =





0 nếu x ∈ [0, 1] ∩ (R\Q),
1
n
nếu x =

m
n
, m, n ∈ N
∗
, (m, n) = 1.
Trong phần tiếp theo ta lập luận f là hàm khả tích trên [0, 1] và

1
0
f(x)dx =
0. Cố định ε > 0. Tồn tại một số hữu hạn (giả sử p) các số x ∈ [0, 1]
sao cho f(x) > ε. Bây giờ ta chọn một phân hoạch ∆ của [0, 1] với
max
i
(x
i
− x
i−1
) < ε/p sao cho mọi số thực x với f(x) > ε nằm trong
phần trong của khoảng con. Khi đó S
−
(f; ∆) = 0 và
S
+
(f; ∆) ≤ ε + p ·max
i
(x
i
− x
i+1

) < 2ε,
do đó f khả tích trên [0, 1] và

1
0
f(x)dx = 0.
7
1.2 Các tính chất của tích phân xác định
1.2.1 Đẳng thức
Trong phần này, ký hiệu [a, b] có thể được hiểu là các khoảng
a ≤ x ≤ b, a ≥ x ≥ b.
1. Giả sử f(x), g(x) là những hàm khả tích trên [a, b],còn α, β là các số thực
tùy ý. Khi đó αf(x) + βg(x) khả tích trên [a, b], ngoài ra có đẳng thức

b
a
[αf(x) + βg(x)]dx = α

b
a
f(x)dx + β

b
a
g(x)dx.
2. Nếu f(x) khả tích trên đoạn [b, a], thì nó khả tích trên đoạn [b, a],ngoài ra

b
a
f(x)dx = −


a
b
f(x)dx,

a
a
f(x)dx = 0.
3. Giả sử f(x) khả tích trên khoảng rộng nhất trong ba khoảng [a, b], [b, c]
và [a, c]. Khi đó f(x) khả tích trong hai khoảng còn lại và có đẳng thức

b
a
f(x)dx =

c
a
f(x)dx +

b
c
f(x)dx.
1.2.2 Bất đẳng thức
Trong phần này ký hiệu [a, b] là khoảng mà a<b.
4. Nếu f(x) ≥ 0 trên khoảng [a, b] (a<b), f(x) =≡ 0, thì

b
a
f(x)dx > 0.
5. Nếu f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], a < b thì


b
a
f(x)dx ≤

b
a
g(x)dx.
6. Nếu f(x) khả tích trên [a, b], a<b thì




b
a
f(x)dx



≤

b
a
|f(x)|dx.
8
7. Cho f là hàm khả tích trên [a, b] với m ≤ f(x) ≤ M với mọi x ∈ [a, b].
m(b −a) ≤

b
a

f(x)dx ≤ M(b −a).
1.2.3 Các định lý về giá trị trung bình tích phân
Định lý 1.2. (Định lý trung bình tích phân thứ nhất). Giả sử f(x) khả
tích trên [a, b]( a<b hoặc a>b) và giả sử m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b]. Khi đó

b
a
f(x)dx = µ(b − a),
trong đó m ≤ µ ≤ M.
Định lý 1.3. (Định lý trung bình tích phân thứ nhất mở rộng). Giả sử
1) f(x), g(x) là những hàm khả tích trên [a, b],
2) m ≤ f(x) ≤ M,
3) g(x) có dấu không đổi trên đoạn [a, b]. Khi đó có đẳng thức

b
a
f(x)g(x)dx = µ

b
a
g(x)dx, (1.2)
trong đó m ≤ µ ≤ M.
Hệ quả 1.1. Nếu f(x) là hàm liên tục thì công thức (1.2) có thể được viết ở
dạng

b
a
f(x)g(x)dx = f(c)

b

a
g(x)dx, (1.3)
trong đó a ≤ c ≤ b.
Định lý 1.4. (Định lý trung bình tích phân thứ hai)
1) Nếu trong đoạn [a, b](a < b) f(x) ;liên tục, không âm và đơn điệu giảm,
còn g(x) khả tích trên [a, b], thì

b
a
f(x)g(x)dx = f(a)

ξ
a
g(x)dx, ξ ∈ [a, b]. (1.4)
9
2) Nếu trong đoạn [a, b](a < b) f(x) ;liên tục, không âm và đơn điệu tăng,
còn g(x) khả tích trên [a, b], thì

b
a
f(x)g(x)dx = f(b)

b
ξ
g(x)dx, ξ ∈ [a, b]. (1.5)
3) Nếu trong đoạn [a, b](a < b) f(x) ;liên tục và đơn điệu , còn g(x) khả
tích trên [a, b], thì

b
a

f(x)g(x)dx = f(a)

ξ
a
g(x)dx + f(b)

b
ξ
g(x)dx, ξ ∈ [a, b]. (1.6)
1.3 Tích phân xác định và nguyên hàm
1.3.1 Tích phân xác định là hàm theo cận trên
• Giả sử f(x) là hàm khả vi trên đoạn [a, b]. Xét tích phân xác định với cận
trên biến đổi trong đoạn [a, b] :
F (x) =

x
a
f(t)dt, a ≤ x ≤ b. (1.7)
Định lý 1.5. Nếu f(x) là hàm liên tục trong [a, b], thì trong [a, b], F (x) có đạo
hàm bằng f(x).
Chứng minh. Với x ∈ [a, b], xét số gia đủ nhỏ ∆x = h, x + h ∈ [a, b]. Ta có
F (x + h) − F(x) =

x+h
x
f(t)dt.
Áp dụng Định lý giá trị trung bình thứ nhất, ta được
F (x + h) − F(x) =

x+h

x
f(t)dt = µh, m

≤ µ ≤ M

,
trong đó µ là giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất m

và
M

của f(x) trên đoạn [x, x + h]. Do tính liên tục của f(t) tại t = x, với mọi
ε > 0 tồn tại δ > 0, sao cho
f(x) −ε < f(t) < f(x) + ε, |h| < δ.
10
đối với mọi t ∈ [x, x + h]. Khi đó ta có
f(x) −ε ≤ m

≤ µ ≤ M

≤ f(x) + ε,
do đó
|µ −f(x)| ≤ ε.
Từ đây suy ra
F

(x) = lim
h→0
F (x + h) − F(x)
h

= lim
h→0
µ = f(x).
Đó là điều cần phải chứng minh. 
1.3.2 Nguyên hàm
• Hàm F(x) xác định theo công thức (1.7) là một nguyên hàm của hàm f(x).
Hai nguyên hàm bất kỳ của một hàm số sai khác nhau bởi một hằng số. tập
hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) được ký hiệu là

f(x)dx và được gọi là
tích phân bất định của hàm số f(x). Như vây

f(x)dx = F (x) + C. (1.8)
• Bảng tích phân bất định Như thường lệ, ta quy ước hiểu C là hằng số.
1.

dx = x + C,
2.

x
α
dx =
x
α+1
α + 1
+ C, ( α = −1),
3.

dx
x

= ln |x| + C,
4.

a
x
dx =
a
x
ln a
+ C, 0 < a = 1,
5.

sin xdx = −cos x + C,
6.

cos xdx = sin x + C,
7.

dx
cos
2
x
= tan x + C,
8.

dx
sin
2
x
= −cot x + C,

11
9.

1
x
2
− a
2
dx =
1
2a
ln



x −a
x + a



+ C, a = 0,
10.

sinh xdx = cosh x + C,
11.

cosh xdx = sinh x + C
12.

dx

sinh
2
x
= −coth x + C,
13.

dx
cosh
2
x
= tanh x + C,
14.

1
x
2
+ a
2
dx =
1
a
arctan
x
a
+ C, a = 0,
15.

1
√
a

2
− x
2
dx = arcsin
x
a
+ C, a = 0,
16.

1
√
a
2
+ x
2
dx = ln |x +
√
a
2
+ x
2
| + C,
17.

1
√
x
2
− a
2

dx = ln |x +
√
x
2
− a
2
| + C,
18.

√
a
2
− x
2
dx =
1
2
x
√
a
2
− x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a

+ C, a = 0,
19.

√
a
2
± x
2
dx =
1
2
x
√
a
2
± x
2
±
a
2
2
ln |x +
√
a
2
+ x
2
| + C.
1.4 Tính toán và biến đổi các tích phân
1.4.1 Công thức Newton- Leibnitz. Tích phân của các hàm chẵn,

hàm lẻ
Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn [a, b] thì ta có công
thức Newton- Leibnitz:

b
a
f(x)dx = F (x)





b
a
= F (b) − F(a). (1.9)
Như vậy việc tính tích phân xác định trở thành đơn giản nếu biết nguyên hàm
( tích phân bất định)của hàm số dưới dấu tích phân ở dạng hiển. Tuy nhiên,
việc tìm nguyên hàm của một hàm số trong nhiều trường hợp lại rất phức tạp.
Trong một số trường hợp, mặc dù không tìm được nguyên hàm của hàm dưới
dấu tích phân, nhưng vẫn có thể tính được tính phân xác định dễ dàng nhờ
12
tính chất nào đó của hàm dưới dấu tích phân, nhất là tính chất chẵn-lẻ của
hàm số. Để minh họa, xét một số bài toán sau đây.
Mệnh đề 1.1. Cho hàm f(x)

b
−b
f(x)
a
x

+ 1
dx =

b
0
f(x)dx. (1.10)
Chứng minh. Ta có

b
−b
f(x)
a
x
+ 1
dx =

0
−b
f(x)
a
x
+ 1
dx +

b
0
f(x)
a
x
+ 1

dx. (1.11)
Đặt x = −t, thì dx = −dt. Khi đó

0
−b
f(x)
a
x
+ 1
dx =

0
b
f(−t)
a
−t
+ 1
(−dt) =

b
0
a
t
f(t)
a
t
+ 1
dt =

b

0
a
x
f(x)
a
x
+ 1
dx.
Thay vào (1.11) ta có

b
−b
f(x)
a
x
+ 1
dx =

b
0
f(x)
a
x
+ 1
dx +

b
−0
a
x

f(x)
a
x
+ 1
dx
=

b
0
(a
x
+ 1)f(x)
a
x
+ 1
dx =

b
0
f(x)dx.

Đặc điểm của công thức (1.10) ở chỗ là nó không phụ thuộc vào a
x
mà
chỉ phụ thuộc vào f(x). Do đó, nếu ta biết được nguyên hàm của f(x) thì có
thể tính được tích phân ở bên trái một cách dễ dàng. Xét một số bài toán áp
dụng sau đây.
Bài toán 1.1. Tính các tích phân sau đây
1. I
1

=

1
−1
dx
(1 + e
x
)(1 + x
2
)
.
2. I
2
=

√
3/2
−
√
3/2
dx
(3
x
+ 1)
√
1 −x
2
,
3. I
3

=

π/2
−π/2
sin
2
x
10
x
+ 1
dx.
Giải.
13
1. Với f(x) =
1
1 + x
2
là hàm chẵn , áp dụng công thức (1.10), ta có
I
1
=

1
0
dx
1 + x
2
= arctan x




1
0
=
π
4
.
2. Với f(x) =
1
√
1 −x
2
là hàm chẵn, áp dụng công thức (1.10), ta có
I
2
=

√
3/2
0
dx
√
1 −x
2
= arcsin x



√
3/2

0
=
π
3
.
3. Với f(x) = sin
2
x là hàm chẵn, áp dụng công thức (1.10), ta có
I
3
=

π/2
0
sin
2
xdx =

π/2
0
1 −cos 2x
2
dx =
π
3
.

Mệnh đề 1.2. Chứng minh rằng, nếu hàm số f(x) là lẻ và liên tục trên [−b, b]
thì


b
−b
f(x)dx = 0. (1.12)
Chứng minh. Chứng minh công thức (1.12) được tiến hành tương tự như chứng
minh công thức (1.10), nên sẽ không trình bày chi tiết. 
Xét một số bài toán áp dụng Mệnh đề 1.2.
Bài toán 1.2. Tính các tích phân sau đây,
1. I
1
=

1
−1
ln(x +
√
1 + x
2
)
√
1 + x
2
dx.
2. I
2
=

1
−1
(cos 2x + sin x sin 3x) ln
2 −x

2 + x
dx.
Giải.
1. Đặt f(x) =
ln(x +
√
1 + x
2
)
√
1 + x
2
. Ta có
f(−x) =
ln(−x +

1 + (−x)
2
)

1 + (−x)
2
=
ln(−x +
√
1 + x
2
)
√
1 + x

2
=
1
√
1 + x
2
ln
1
√
1 + x
2
+ x
= −
ln(x +
√
1 + x
2
)
√
1 + x
2
= −f(x).
Vậy, f(x) là hàm lẻ. Áp dụng công thức (1.12), ta có I
1
= 0.
14
2. Xét hàm số g(x) = (cos 2x + sin x sin 3x) ln
2 −x
2 + x
. Ta có

g(−x) = (cos 2(−x) + sin(−x) sin 3(−x)) ln
2 + x
2 −x
= (cos 2x + sin x sin 3x)[−ln
2 −x
2 + x
] = −g(x).
Vậy, g(x) là hàm lẻ. Áp dụng công thức (1.12), ta có I
2
= 0.

1.4.2 Công thức tích phân từng phần
Định lý 1.6. Giả sử u(x), v(x) là những hàm khả vi trên đoạn [a, b]. Khi đó
ta có công thức tích phần từng phần sau dây

b
a
udv = uv|
b
a
−

b
a
vdu. (1.13)
Bài toán 1.3. Tìm nguyên hàm
I =

dx
(x

2
+ a
2
)
√
x
2
+ a
2
, a > 0.
Giải. Ta xét tích phân
J =

dx
√
x
2
+ a
2
.
Đặt





u =
1
√
x

2
+ a
2
⇒ du = −
xdx
(x
2
+ a
2
)
√
x
2
+ a
2
,
dv = dx, v = x.
ta có
J =
x
√
x
2
+ a
2
+

x
2
dx

(x
2
+ a
2
)
√
x
2
+ a
2
=
x
√
x
2
+ a
2
+

(x
2
+ a
2
− a
2
)dx
(x
2
+ a
2

)
√
x
2
+ a
2
=
x
√
x
2
+ a
2
+

dx
√
x
2
+ a
2
− a
2

dx
(x
2
+ a
2
)

√
x
2
+ a
2
.
Suy ra
I =

dx
(x
2
+ a
2
)
√
x
2
+ a
2
=
1
a
2
.
x
√
x
2
+ a

2
.

15
Bài toán 1.4. Tính các tích phân bất định
1. I =

e
ax
cos bxdx, ab = 0.
2. J =

e
ax
sin bxdx.
Giải. Đăt





u = e
ax
⇒ du = ae
ax
dx,
dv = cos bxdx ⇒ v =
1
b
sin bx.

Ta có
I =
1
b
e
ax
sin bx −
a
b

e
ax
sin bxdx =
1
b
e
ax
sin bx −
a
b
J.
Tương tự, ta có
J = −
1
b
e
ax
cos bx +
a
b


e
ax
cos bxdx = −
1
b
e
ax
cos bx +
a
b
I.
Ta có hệ phương trình



bI + aJ = e
ax
sin bx,
−aI + bJ = −e
ax
cos bx.
Giải hệ này ta được
I =

e
ax
cos bx = e
ax
b sin bx + a cos bx

a
2
+ b
2
+ C, (1.14)
J =

e
ax
sin bx = e
ax
b sin bx −a cos bx
a
2
+ b
2
+ C. (1.15)

1.4.3 Đổi biến trong tích phân bất định
Định lý 1.7. Với cách đặt biến phụ x = ϕ(t), trong dó ϕ(t) là một hàm khả
vi, đơn điệu đối với t, thì ta có công thức

f(x)dx =

f[ϕ(t)]ϕ

(t)dt.
Bài toán 1.5. Tính I =

√

x
2
+ a
2
dx(a > 0).
16
Giải. Hàm dưới dấu tích phân được xác định với mọi x ∈ R. Đổi biến x =
a sinh t là hàm khả vi liên tục và đơn điệu tăng. Ta có
dx = a cosh tdt,
√
x
2
+ a
2
= a cosh t.
Suy ra
I = a
2

cosh
2
tdt =
a
2
2

(cosh 2t + 1)dt =
a
2
2

(sinh t cosh t + t) + C.
Ta có
t = arcsinh
x
a
= ln |x +
√
x
2
+ a
2
| −ln a, sinh t =
x
a
, cosh t =
√
x
2
+ a
2
a
.
Do đó
I =

√
x
2
+ a
2

dx =
x
2
√
x
2
+ a
2
+
a
2
2
ln |x +
√
x
2
+ a
2
| + C.

Bài toán 1.6. Tính I =

√
x
2
− a
2
dx(a > 0).
Giải. Hàm dưới dấu tích phân được xác định khi x ≥ a hoặc x ≤ −a. Đổi
biến x = a cosh t, t ≥ 0, nếu x ≥ a, x = −a cosh t, t ≥ 0, nếu x ≤ −a. Đó là

những ánh xạ khả vi liên tục và đơn điệu.
Giả sử x ≥ a, ta có
dx = a sinh tdt,
√
x
2
− a
2
= a sinh t(t ≥ 0).
Do đó
I =

a
2
sinh
2
tdt =
a
2
2

(cosh 2t −1)dt
=
a
2
2

1
2
sinh 2t −t


+ C =
a
2
2
(sinh t cosh t − t) + C.
Vì
cosh t =
x
a
, sinh t =
√
x
2
− a
2
a
, t = arccosh
x
a
= ln |x +
√
x
2
− a
2
| −ln a
nên ta có
I =


√
x
2
− a
2
dx =
x
2
√
x
2
− a
2
+
a
2
2
ln |x +
√
x
2
− a
2
| + C.

17
1.4.4 Đổi biến trong tích phân xác định
Định lý 1.8. Giả sử cần tính tích phân xác định ∈
b
a

f(x)dx, trong đó f(x) là
hàm liên tục trong khoảng [a, b]. Thực hiện đổi biến x = ϕ(t) với ϕ(t) thỏa mãn
các yêu cầu sau đây.
1) ϕ(t) xác định và liên tục trong khoảng [α, β] và nhận giá trị trong
khoảng [a, b].
2) ϕ(α) = a, ϕ(β) = β.
3)Tồn tại trong [α, β] đạo hàm liên tục ϕ

(t).
Khi đó có đẳng thức

b
a
f(x)dx =

β
α
f[ϕ(t)]ϕ

(t)dt. (1.16)
Bài toán 1.7. Tính tích phân J =

1
0
ln(1 + x)
1 + x
2
dx.
Giải. Đổi biến x = tan t, 0 ≤ t ≤
π

4
. Ta có
dx
1 + x
2
=
cos
2
t
cos
2
t
dt = dt, 1 + x = 1 + tan t =
√
2 sin

π
4
+ t

cos t
.
Do đó
J =

π/4
0
ln

√

2 sin

π
4
+ t

cos t

dt =
π
8
ln 2+

π/4
0
ln sin

π
4
+t

dt−

π/4
0
ln cos tdt.
Trong tích phân thứ hai ở bên phải thực hiện đổi biến t =
π
4
−τ. Khi dó ta có


π/4
0
ln cos tdt =

0
π/4
ln cos

π
4
− τ

(−dτ) =

π/4
0
ln sin

π
4
+ τ

dτ.
Vậy ta có kết quả
J =
π
8
ln 2.


Bài toán 1.8. Chứng minh công thức

2π
0
f(a cos θ + b sin θ)dθ = 2

π
0
f(
√
a
2
+ b
2
cos λ)dλ,
trong đó f(u) là hàm tùy ý liên tục đối với |u| ≤
√
a
2
+ b
2
.
18
Giải. Chúng ta xác định góc α bởi các hệ thức
cos α =
a
√
a
2
+ b

2
, sin α =
b
√
a
2
+ b
2
.
Ta có
a cos θ + b sin θ) =
√
a
2
+ b
2
cos(θ − α).
Do tính tuần hoàn ta cũng có

2π
0
f(a cos θ + b sin θ)dθ =

α+π
α−π
f(
√
a
2
+ b

2
cos(θ − α))dθ.
Đặt θ − α = λ và sử dụng tính chẵn của cos λ ta ó

π
−π
f(
√
a
2
+ b
2
cos λ)dλ = 2

π
0
f(
√
a
2
+ b
2
cos λ)dλ.
Suy ra điều phải chứng minh. 
1.5 Tích phân suy rộng
1.5.1 Tích phân suy rộng loại một
• Khái niệm. Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng [a, +∞), khả tích
trên đoạn [a, B], ∀B > a. Nếu tồn tại thì giới hạn này được gọi là tích phân suy
rộng ( loại một) của f(x) trên khoảng [a, +∞) và được ký hiệu là


∞
a
f(x)dx.
Như vậy, theo định nghĩa ta có

∞
a
f(x)dx = lim
B→∞

B
a
f(x)dx. (1.17)
Tương tự, đối với hàm f(x) xác định trong khoảng (−∞, b] ta có tích
phân suy rộng loại một nữa như sau

b
−∞
f(x)dx = lim
A→−∞

b
A
f(x)dx (1.18)
• Tiêu chuẩn hội tụ. Đối với hàm f(x) xác định trong (−∞, ∞), khả tích
trên một đoạn hữu hạn [A, B], ta định nghĩa tích phân suy rộng loại một trên
toàn trục thực như sau

∞
−∞

f(x)dx = lim
A→−∞,B→∞

B
A
f(x)dx (1.19)
19
Nếu các tích phân (1.17)-(1.19) là những số hữu hạn, thì ta nói các tích phân
suy rộng loại một này hội tụ. Ngược lại, nếu các giới hạn tương ứng của các
tích phân không tồn tại hoặc bằng vô cùng, ta nói các tích phân suy rộng này
phân kỳ.
Mệnh đề 1.3. 1. Giả sử với mọi x ∈ [a, ∞), 0 ≤ f(x) ≤ g(x). Khi đó từ
hội tụ của

∞
a
g(x)dx suy ra hội tụ của

∞
a
f(x)dx, từ sự phân kỳ của

∞
a
f(x)dx suy ra sự phân kỳ của

∞
a
g(x)dx.
2. Nếu hàm f(x) khả tích trên một đoạn hữu hạn và có tiệm cận

f(x) = O

1
x
λ

, |x| → ∞, λ > 1
thì các tích phân suy rộng loại một hội tụ.
• Các bài toán
Bài toán 1.9. Với bất kỳ t > 0 ta định nghĩa hàm Gamma Euler như sau
Γ(t) =

∞
0
x
t−1
e
−x
dx.
Chứng minh rằng

∞
0
x
t−1
e
−x
dx hội tụ với bất kỳ t > 0.
Giải. Để chứng minh tích phân này hội tụ, có hai vấn đề khó khăn: hàm dưới
dấu tích phân không bị chặn trong lân cận của gốc tọa độ, và cận lấy tích phân

là vô hạn. Do đó ta chia tích phân thành

∞
0
x
t−1
e
−x
dx =

1
0
x
t−1
e
−x
dx +

∞
1
x
t−1
e
−x
dx.
Sử dụng ước lượng
x
t−1
e
−x

≤ x
t−1
và

1
0
x
−α
dx =



(1 −α)
−1
nếu α < 1,
0 nếu α ≥ 1,
ta suy ra

∞
0
x
t−1
e
−x
dx hội tụ với t > 0. Tiếp theo, ta sử dụng ước lượng
x
t−1
e
−x
= x

t−1
e
−x/2
e
−x/2
≤ Me
−x/2
,
20
miễn là x đủ lớn. Do vậy,

∞
0
x
t−1
e
−x
dx hội tụ với mọi t > 0. Tính toán trực
tiếp chỉ ra
Γ(t + 1) = tΓ(t) với bất kỳ t > 0.

Bài toán 1.10. Chứng minh

∞
1
sin x
x
dx
hội tụ nhưng


∞
1




sin x
x




dx
phân kỳ.
Giải. Đặt f(x) = sin x/x, với mọi x ≥ 1. Lấy tích phân từng phần, ta có

R
1
sin x
x
dx = cos 1 −
cos R
R
−

R
1
cos x
x
2

dx.
Bởi vì |cos x/x
2
| ≤ 1/x
2
và

∞
1
1/x
2
dx hội tụ, ta suy ra

∞
1
sin x/xdx hội tụ.
Để chứng minh

∞
1
|sin x/x|dx phân kỳ, ta chú ý rằng

(n+1)π
π
|sin x|
x
dx =
n

k=1


(k+1)π
kπ
|sin x|
x
dx
≥
n

k=1
1
(k + 1)π

(k+1)π
kπ
|sin x|dx =
n

k=1
2
(k + 1)π
,
phân kỳ tới +∞ khi n → +∞. 
Bài toán 1.11. Cho f : [0, ∞) → [0, ∞) là hàm giảm sao cho tích phân

∞
0
f(x)dx hội tụ. Chứng minh lim
x→∞
xf(x)dx = 0

Giải. Ta lập luận bằng phản chứng. Giả sử tồn tại ε > 0 và x
n
→ ∞ sao
cho x
n
f(x
n
) ≥ ε. Bởi vì f là hàm giảm, suy ra tồn tại A > 0 sao cho f(x) ≥
ε/x, ∀x ≥ A. Điều này kéo theo lim
t→∞

t
0
f(x)dx = +∞, mâu thuẫn. 
Bài toán 1.12. (Bổ đề Barbălat). Cho f : [0, ∞) là hàm liên tục đều và khả
tích Riemann. Chứng minh f(x) → 0 khi x → ∞.