SKKN ung dung tinh chat cua ham so chung minh PTco nghiem

SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q
A>. XÁC ĐỊNH ĐỀ TÀI:
Toán học có vai trò to lớn trong lónh vực nghiên cứu khoa học nói chung
và cho bộ môn khoa học tự nhiên nói riêng. Có người đã xem “Toán học là nền
tảng của mọi môn khoa học” bởi tính quan trọng và phong phú của nó. Nghiên
cứu, khai thác, vận dụng, làm sáng tỏ các vấn đề liên quan trong toán học là
một nhiệm vụ không thể thiếu trong nhà trường ở tất cả các cấp học.
Trong chương trình toán THPT, nghiên cứu về phương trình là một trong
những dạng toán phổ biến và đa dạng, đa số các dạng phương trình đã được đề
cập trong chương trình đều có công thức nghiệm và phương pháp giải khá chi
tiết. Tuy nhiên để chứng minh một phương trình có nghiệm thì một vài dạng
không thể áp dụng các công thức nghiệm bình thường mà cần áp dụng một số
tính chất khác của hàm số như: Tính liên tục, tính đơn điệu để giải.
Trong thực tế giảng dạy Toán tại trường THPT, bản thân tôi nhận thấy
phần lớn học sinh giải quyết chưa tốt các dạng toán này. Học sinh thường lúng
túng chưa nắm vững phương pháp giải khi đề bài yêu cầu chứng minh phương
trình có nghiệm. Do đó thường giải sai bài toán hoặc bế tắc trong nhiều trường
hợp đề bài yêu cầu phức tạp. Điều này thúc đẩy tôi lấy đề tài “Ứng dụng tính
chất của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm” cho bài viết của
mình.
B>. NHỮNG KHÓ KHĂN HỌC SINH THƯỜNG GẶP :
Trong quá trình giải một bài toán chứng minh phương trình có nghiệm, học
sinh thường gặp phải những khó khăn cơ bản sau đây:
• Nắm không vững kiến thức nên lúng túng, không đònh hướng được cách
giải toán và chưa biết phân tích được dạng toán đề bài yêu cầu dẫn đến thường
giải sai. Hiểu sai vấn đề giữa giải quyết yêu cầu Tìm điều kiện để phương trình
có nghiệm với việc Giải phương trình.
• Chưa biết cách vận dụng liên hệ kiến thức liên quan để áp dụng vào giải
toán mà chỉ rập khuôn, máy móc theo sự hiểu biết còn hạn chế của mình.
Từ những khó khăn trên, tôi đưa ra hướng giải quyết vấn đề như sau:
C>. HƯỚNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

Để giải một bài toán chứng minh phương trình có nghiệm trước tiên ta cần
xác đònh 3 điều cơ bản sau:
• Cần xem mỗi phương trình đều có thể biểu diễn dưới dạng các hàm số, từ
đó có thể dùng các tính chất của hàm số để làm phương pháp giải bài toán.
• Cần xác đònh lượng kiến thức cơ bản liên quan đến phương pháp đã chọn.
Ứng dụng tính chất hàm số CM phương trình có nghiệm Trang 1
SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q
• Cần đặt vấn đề: Theo yêu cầu của đề bài, vận dụng lượng kiến thức ấy
như thế nào, khi nào ?
Trên cơ sở phân tích chi tiết các yếu tố liên quan và đònh hướng phương
pháp giải quyết, liên hệ đến yêu cầu của bài toán sẽ giúp cho ta có cách nhìn
tổng quát bài toán hơn. Mỗi một phương pháp vận dụng cần có những lượng
kiến thức khác nhau. Trong đề tài của mình, tôi nêu theo hướng như sau:
+ Nêu một số tính chất quan trọng của hàm số có liên quan đến việc vận
dụng (Tính liên tục, tính đơn điệu, tính lồi lõm)
+ Đònh hướng chung để giải toán tìm điều kiện phương trình có nghiệm.
+ Phương pháp giải liên quan trong từng trường hợp.
+ Giải các bài toán minh họa.
+ Phân tích tìm hướng giải các dạng toán khác liên quan.
PHẦN I:
CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN QUAN
1>. Tính liên tục của hàm số:
a/. Đònh nghóa hàm số liên tục: (SGK Đại số và Giải tích 11 – NXB GD)
* Hàm số liên tục tại một điểm:
Cho hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục tại điểm
x
0
∈
(a; b) nếu:
)()(lim

0
0
xfxf
xx
=
→
Hay:
)()(lim)(lim
0
00
xfxfxf
xxxx
==
−+
→→
.
* Hàm số liên tục trên khoảng:
Cho hàm số f(x) xác đònh trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên
khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy.
* Hàm số liên tục trên đoạn:
Cho hàm số f(x) xác đònh trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn
đó nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và:
)()(lim);()(lim bfxfafxf
bxax
==
−+
→→
b/. Tính chất của hàm số liên tục:
Tính chất 1: Các hàm số đa thức, hàm hữu tỉ, hàm số lượng giác, hàm số
mũ là hàm liên tục trên tập xác đònh của chúng.

Tính chất 2 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì
tồn tại ít nhất một điểm c
∈
(a; b) sao cho f(c) = 0. Hay phương trình f(x) = 0 có
ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b)
Ứng dụng tính chất hàm số CM phương trình có nghiệm Trang 2
SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q
2>. Một số tính chất khác của hàm số:
* Tính chất của hàm số đơn điệu: (Giải tích 12)
Nếu có f’(x) < 0 (hay f’(x) > 0) trong khoảng (a; b) thì đồ thò của f(x)
đồng biến (nghòch biến) trong khoảng (a; b).
* Tính chất của hàm số lồi lõm: (Giải tích 12)
Nếu có f”(x) < 0 (hay f”(x) > 0) trong khoảng (a; b) thì đồ thò của f(x) lồi
(lõm) trong khoảng (a; b)).
Khai thác tính chất:
Ta căn cứ vào đồ thò của hàm số đơn điệu và hàm số lồi lõm sau đây để
phân tích tìm kết quả liên hệ:
a>. Đồ thò hàm số đơn điệu:
y y
(C) (C)
O x O x
Đồ thò hàm số đồng biến Đồ thò hàm số nghòch biến
Rõ ràng đồ thò hàm số đơn điệu luôn cắt Ox tại 1 điểm, điều này giúp ta
có thể biến đổi phương trình về dạng f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm số đơn
điệu thì có thể chứng minh phương trình luôn có 1 nghiệm.
Kết quả trên cho ta hệ quả quan trọng sau:
Nếu Hàm số y = f(x) có f’(x) < 0 hay f’(x) > 0 trong khoảng (a; b) thì
phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong (a; b).
b>. Đồ thò hàm số lồi, lõm:
y y

(C) (C)
O x O x
Đồ thò hàm số lồi Đồ thò hàm số lõm
Ứng dụng tính chất hàm số CM phương trình có nghiệm Trang 3
SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q
Từ đồ thò hàm số lồi lõm, ta nhận thấy (C) cắt Ox tại không quá 2 điểm,
điều này giúp ta có thể biến đổi phương trình về dạng f(x) = 0, trong đó f(x) là
một hàm số lồi (lõm) thì có thể chứng minh phương trình có không quá 2
nghiệm.
Kết quả trên cho ta hệ quả quan trọng sau:
Nếu Hàm số y = f(x) có f”(x) < 0 hay f”(x) > 0 trong khoảng (a; b) thì
phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm trong (a; b).
PHẦN II:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BÀI TOÁN MINH HOẠ
DẠNG TOÁN CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Phương pháp 1: Vận dụng tính liên tục của hàm số.
+ Biến đổi phương trình đã cho về dạng f(x) = 0.
+Chứng minh hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
+ Tính f(a), f(b).
+Chứng minh f(a).f(b) < 0
+ Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a; b)
Bài toán 1: Chứng minh phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm trong đoạn [0; 1]:
a>. x
3
+ 5x – 3 = 0
b>. 3
x
+ 4
x
= 9

x
.
Giải: a>. Đặt f(x) = x
3
+ 5x – 3.
Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác đònh trên R.
Ta có:
⇒



>=
<−=
03)1(
03)0(
f
f
f(0).f(1) < 0.
Vậy có ít nhất một số c ∈ (0; 1) để f(c) = 0
Hay phương trình x
3
+ 5x – 3 = 0 có ít nhất một nghiệm trong đoạn [0; 1].
b>. Đặt f(x) = 3
x
+ 4
x
- 9
x
.
Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác đònh trên R.

Ta có:
⇒



<−=−+=
>=−+=
02943)1(
01111)0(
f
f
f(0).f(1) < 0.
Vậy có ít nhất một số c ∈ (0; 1) để f(c) = 0
Ứng dụng tính chất hàm số CM phương trình có nghiệm Trang 4
SKKN năm học 2004 – 2005 Huỳnh Ngọc Q
Hay phương trình 3
x
+ 4
x
= 9
x
có ít nhất một nghiệm trong đoạn [0; 1].
Bài toán 2:
Chứng minh phương trình 2x
3
– 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trên đoạn [-2; 2].
Giải: Đặt f(x) = 2x
3
- 6x + 1.
Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác đònh trên R.

Ta có:
⇒



>=
<−=−
01)0(
03)2(
f
f
f(-2).f(0) < 0.
⇒



<−=
<=
03)1(
01)0(
f
f
f(0).f(1) < 0.
⇒



>=
<−=
05)2(

03)1(
f
f
f(1).f(2) < 0.
Mà f(x) cũng liên tục trên các đoạn [-2; 0], [0; 1] và [1; 2]. Do đó phương
trình f(x) = 0 hay phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm trên đoạn [-2; 2].
Vì phương trình f(x) = 0 là phương trình bậc ba nên nó có nhiều nhất ba
nghiệm
⇒
phương trình có đúng ba nghiệm trong đoạn [-2; 2].
Bài toán 3: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a>. cosx + mcos2x = 0
b>. m(x -1)
3
(x + 2) + 2x + 3 = 0
Giải: a>. Đặt f(x) = cosx + mcosx.
Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác đònh trên R.
Ta có:
⇒







<−=
>=
0
2

2
)
4
3
(
0
2
2
)
4
(
π
π
f
f
f(
4
π
).f(
4
3
π
) < 0.
Vậy có ít nhất một số c ∈ (
4
π
;
4
3
π

) để f(c) = 0
⇒ PT cosx + mcos2x = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (
4
π
;
4
3
π
).
b>. Đặt f(x) = m(x -1)
3
(x + 2) + 2x + 3.
Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác đònh trên R.
Ứng dụng tính chất hàm số CM phương trình có nghiệm Trang 5