Đề thi học sinh giỏi huyện Khoái Châu môn toán 7 năm học 2014 - 2015(có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN KHOÁI CHÂU
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2014 – 2015
Môn: Toán – Lớp 7
(Thời gian làm bài: 120’ – không kể giao đề)
Bài 1. (1,5 điểm)
a) Cho A =
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 3 4 2015 2016
      
− − − − −
 ÷ ÷ ÷  ÷ ÷
      
. So sánh A với
1
2015
−
b) Cho biểu thức A =
3 2
4 3
3 3 2015
3 3 2014
x x x
x x x
− − +
− + +
. Tính giá trị của biểu thức với x =
1

3
Bài 2. (1,5 điểm)
Tìm x, biết:
a)
( )
( )
3 1
8
2 27 1
x
x
−
=
−
b) x – 3
x
= 0 với x ≥ 0 c)
2 7 5 2x x− = +

Bài 3. (1,5 điểm)
a) Cho
;
4 7 5 6
x y y z
= =
. Tính: B =
3 4 5
2 5
x y z
x y z

− +
− +
b) Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là:
26
;
17 1+
;
3 11
Bài 4. (1,5 điểm)
Cho biểu thức: C =
( )
( )
2
2
2 1 1
1 2
x
x
− +
− +
a) Chứng tỏ rằng với mọi x, biểu thức C luôn có giá trị là một số dương.
b) Tìm tất cả các số nguyên x, để C có giá trị là một số nguyên.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức C có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 5. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có
µ
0
90A =
. Vẽ phân giác BD và CE (D thuộc AC, E thuộc
AB) chúng cắt nhau tại O.

a) Tính số đo góc BOC?
b) Trên BC lấy hai điểm M và N sao cho BM = BA, CN = CA. Chứng minh
EN song song với DM
c) Gọi I là giao điểm của BD và AN. Chứng minh: tam giác AIM vuông cân.
Bài 6. (1,0 điểm)
a) Xác định đa thức P(x) có bậc 2 với hệ số cao nhất bằng 1 và nhận hai số 0; - 3
làm nghiệm.
b) Cho đa thức f(x), biết với mọi x ta có: x.f(x + 1) = (x + 2).f(x). Chứng minh
rằng đa thức f(x) luôn có ít nhất hai nghiệm.
Hết
Họ và tên thí sinh:……………………………………….…Số báo danh:………………
Chữ ký của giám thị số 1:………………………………………….……………………
Ghi chú: - Thí sinh không sử dụng tài liệu.
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
Năm học: 2013 – 2014
Môn: Toán – Lớp 7
Bài Nội dung Điểm
Bài 1
a) A =
1 2 3 2014 2015 1
. . .
2 3 4 2015 2016 2016
− − − − − −
=
>
1
2015
−

0,75đ
1,5đ
b) x =
1
3
⇒
3x = 1 ⇒ 3x – 1 = 0
A =
( ) ( )
( ) ( )
2
3
3 1 3 1 2014
3 1 3 1 2015
x x x
x x x
− − − +
− + − +
Vì 3x – 1 = 0, nên A =
2014
2015
0,75đ
Bài 2
a) 81(x – 1)
2
= 16
( )
2
2
4 4

1 1
9 9
x x
 
⇒ − = ⇒ − =
 ÷
 
hoặc x – 1=
4
9
−
+) x – 1 =
4
9
⇒ x =
13
9
+) x – 1 =
4 5
9 9
x
−
⇒ =
0,5đ
1,5đ
b)
( )
3 0 0x x x− = ⇒ =
hoặc x = 9 0,5đ
c) 2x – 7 = 5x + 2 hoặc 2x – 7 = -5x – 2

⇒ x = -3 hoặc x =
5
7
0,5đ
Bài 3
a)
20 35 42
x y z
k= = = ⇒
x = 20k, y = 35k, z = 42k
⇒ B =
3.20 4.35 5.42 130 13
20 2.35 5.42 160 16
k k k k
k k k k
− +
= =
− +
0,75đ
1,5đ
b) 3
11 99=
là số lớn nhất trong ba số.
Xét tổng:
26 17 1 25 16 1 5 4 1 10 100 99 3 11+ + > + + = + + = = > =
Đoạn thẳng dài nhất nhỏ hơn tổng độ dài hai đoạn thẳng kia.
Vậy, tồn tại tam giác có độ dài ba cạnh nói trên.
0,75đ
Bài 4
a) Ta thấy: 2(x – 1)

2
+ 1 > 0 và (x – 1)
2
+ 2 > 0 với mọi x
Vậy biểu thức C luôn dương.
0,5đ
1,5đ
b) C =
( )
( ) ( )
2
2 2
2 1 2 3
3
2
1 2 1 2
x
x x
 
− + −
 
= −
− + − +
Để C nguyên, ta phải có (x – 1)
2
+ 2 là ước dương của 3
Vì (x – 1)
2
+ 2 ≥ 2, nên (x – 1)
2

+ 2 = 3 ⇒ (x – 1)
2
= 1
Ta tìm được x = 2 hoặc x = 0
0,5đ
c) C nhỏ nhất khi
( )
2
3
1 2x − +
lớn nhất
Vì (x – 1)
2
+ 2 ≥ 2 nên
( )
2
3
1 2x − +

3
2
≤
0,5đ
⇒ 2 –
( )
2
3
1 2x − +
≥ 2 –
3

2
Hay C ≥
1
3
Vậy, C nhỏ nhất bằng
1
3
tại x = 1
Bài 5
a)
·
·
·
·
2
ABC ACB
BOC BAC
+
= +
0
0 0 0 0
90
90 90 45 135
2
= + = + =
1,0đ
3,0đ
b) ∆ABM cân, nên phân giác BD đồng thời là đường trung
trực.
∆ACN cân, nên phân giác CE đồng thời là đường trung trực.

Suy ra: DA = DM, EA = EN
Dẫn tới: ∆ABD = ∆MBD, ∆ACE = ∆NCE (ccc)
Suy ra:
·
·
·
·
0 0
90 ; 90DMB DAB ENC EAC= = = =
Hay: EN ⊥ BC; DM ⊥ BC
Do vậy: EN // DM.
1,0đ
c) Phân giác BD và phân giác CE cắt nhau tại O cho ta AO
là phân giác góc BAC ⇒
·
0
45OAE =
∆OAE = ∆ONE (ccc) ⇒
· ·
0
45OAE OAE= =
⇒
·
0
45ONM =
(1)
Theo c/m câu b ta thấy, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác AMN ⇒ OM = ON hay ∆OMN cân tại O (2)
Từ (1)(2) ⇒ ∆OMN vuông cân tại O
Dễ chứng minh

·
· · ·
0 0
2 2 90 45MON MAI MAI MAI= ⇒ = ⇒ =
∆AIM có IA = IM (do I thuộc trung trực BD của AM) nên
cân tại I. Lại có
·
0
45MAI =
. Vậy, ∆AIM vuông cân tại I.
1,0đ
Bài 6
a) P(x) = x
2
+ ax + b
Vì 0 là một nghiệm của đa thức, nên: f(0) = b = 0
-3 là một nghiệm của đa thức, nên: 9 – 3a + 0 = 0 ⇒ a = 3
Đa thức P(x) = x
2
+ 3x là đa thức cần tìm.
0,5đ
1,0đ
b) Với x = 0, ta có: 0.f(1) = 2.f(0) ⇒ f(0) = 0 ⇒ 0 là một
nghiệm của f(x).
Với x = - 2, ta có: -2.f(-1) = 0.f(-2) ⇒ f(-1) = 0 ⇒ -1 cũng là
một nghiệm của f(x).
Vậy, đa thức f(x) luôn có ít nhất hai nghiệm.
0,5đ
Người biên soạn
Nguyễn Thị Hằng Hải

I
O
D
E
N
M
C
B
A