Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC
KHOA CÔNG NGHỆ TỰ ĐỘNG









GIÁO TRÌNH
LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
(Lưu hành nội bộ)


Biên soạn:

Phạm Thị Hương Sen

Lê Thị Vân Anh






HÀ NỘI - 2011

ii

LỜI NÓI ĐẦU

Công nghệ tự ñộng là một trong những hướng phát triển công nghệ mũi nhọn của ñất nước
trong thế kỷ 21. Với nền công nghiệp hiện ñại ngày nay, mức ñộ tự ñộng hóa ngày càng ñược
nâng cao nhằm mục ñích nâng cao năng suất lao ñộng, giảm chi phí sản xuất, giải phóng sức
lao ñộng cho con người,… Để tiếp cận với nền công nghiệp có mức ñộ tự ñộng hóa cao chúng
ta cần trang bị những kiến thức cơ bản về lý thuyết ñiều khiển tự ñộng bên cạnh kiến thức
chuyên môn của mình.
Lý thuyết ñiều khiển tự ñộng là cơ sở lý thuyết ñể thiết kế, phân tích các hệ thống tự ñộng
trong các lĩnh vực khác nhau của ngành kỹ thuật. Nhiệm vụ của lý thuyết ñiều khiển tự ñộng là
khảo sát các ñặc tính ñộng học của các hệ nhằm mục ñích thiết kế hệ thống thỏa mãn các yêu
cầu cho trước.
Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động trình bày những kiến thức cốt lõi của lý thuyết ñiều
khiển tự ñộng tuyến tính liên tục. Nội dung của giáo trình ñược biên soạn gồm 7 chương trong
ñó: chương 1, 3, 5 do Ths. Lê Thị Vân Anh biên soạn; chương 2, 4, 6, 7 do Ths. Phạm Thị
Hương Sen biên soạn.
Chương 1: Tổng quan về ñiều khiển tự ñộng.
Chương 2: Mô tả toán học hệ ñiều khiển tự ñộng.
Chương 3: Khảo sát ñộng học hệ thống ñiều khiển tuyến tính liên tục.
Chương 4: Phân tích tính ổn ñịnh và chất lượng hệ thống ñiều khiển.
Chương 5: Thiết kế hệ thống ñiều khiển.
Chương 6: Nâng cao chất lượng hệ ñiều khiển.
Chương 7: Ứng dụng Matlab khảo sát hệ thống ñiều khiển tự ñộng.
Các tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Phan Xuân Minh, Viện Điện, Đại học Bách
Khoa Hà Nội ñã chỉ dẫn, góp ý trong suốt quá trình biên soạn giáo trình.
Do khả năng và kinh nghiệm biên soạn còn nhiều hạn chế nên tài liệu không thể tránh khỏi
những thiếu sót về mặt nội dung và bố cục, chúng tôi rất mong nhận ñược sự góp ý của các bạn
ñọc ñể lần tái bản sau này có chất lượng tốt hơn.

Các tác giả











iii

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ii
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 1
1.1 Giới thiệu 1
1.2 Hệ thống ñiều khiển tự ñộng 2
1.2.1 Khái niệm và ñịnh nghĩa 2
1.2.2 Nguyên tắc ñiều khiển 4
1.2.3 Tín hiệu 6
1.3 Phân loại hệ thống ñiều khiển tự ñộng 7
1.3.1 Phân loại theo mạch phản hồi 7
1.3.2 Phân loại theo ñặc ñiểm mô tả toán học 8
1.3.4 Phân loại mục tiêu ñiều khiển 8
1.3.4 Phân loại theo dạng năng lượng sử dụng 9
1.3.5 Phân loại theo số lượng ñầu vào, ñầu ra 9

1.4 Ví dụ về hệ thống ñiều khiển 9
CHƯƠNG 2: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 13
2.1. Khái niệm 13
2.2. Mô tả hệ thống ở miền thời gian 13
2.2.1 Mô hình phương trình vi phân 13
2.2.2 Mô hình trạng thái 15
2.3. Mô tả hệ thống trong miền tần số 21
2.3.1 Mô hình hàm truyền 21
2.3.2 Đại số sơ ñồ khối 25
2.3.3 Công thức Mason 30
2.4 Mối quan hệ giữa các dạng mô tả toán học 33
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 35
CHƯƠNG 3: KHẢO SÁT ĐỘNG HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 37
3.1 Tín hiệu cơ bản và ñáp ứng 37
3.1.1 Tín hiệu xung ñơn vị và hàm trọng lượng 37
3.1.2 Tín hiệu bậc thang ñơn vị và hàm quá ñộ 38
3.1.3 Tín hiệu ñiều hòa và hàm ñặc tính tần 40
3.2 Đặc tính ñộng học của một số khâu cơ bản 43
3.2.1 Khâu tỉ lệ (khâu P) 43
3.2.2 Khâu tích phân (khâu I) 45
3.2.3 Khâu vi phân (khâu D) 46
3.2.4 Khâu quán tính bậc nhất (khâu PT
1
) 48
3.2.5 Khâu vi phân bậc nhất 51
3.2.6 Khâu ổn ñịnh bậc hai (khâu PT
2
) 52
3.2.7 Khâu chậm trễ 58
3.3 Khảo sát ñặc tính ñộng học của hệ thống ñiều khiển 59

3.3.1 Đặc tính thời gian của hệ thống 60
3.3.2 Đặc tính tần số của hệ thống 61
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 64

iv

CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ CHẤT LƯỢNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 66
4.1 Khái niệm về tính ổn ñịnh 66
4.2 Các tiêu chuẩn ổn ñịnh ñại số 68
4.2.1 Điều khiển ổn ñịnh cần thiết 68
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn ñịnh Hurwitz 69
4.2.3 Tiêu chuẩn ổn ñịnh Routh 71
4.3 Các tiêu chuẩn ổn ñịnh tần số 74
4.3.1 Nguyên lý góc quay 74
4.3.2 Tiêu chuẩn ổn ñịnh tần số Mikhailov 76
4.3.3 Tiêu chuẩn ổn ñịnh tần số Nyquist 77
4.4 Độ dự trữ ổn ñịnh 80
4.5 Phương pháp quỹ ñạo nghiệm số 81
4.5.1 Khái niệm 81
4.5.2 Quy tắc vẽ quỹ ñạo nghiệm số 82
4.6 Khảo sát chất lượng hệ thống ñiều khiển 84
4.6.1 Chỉ tiêu chất lượng ở trạng thái xác lập 84
4.6.2 Chỉ tiêu chất lượng ở trạng thái quá ñộ 86
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 87
CHƯƠNG 5: THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN 89
5.1 Mục ñích ñiều khiển 89
5.2 Bài toán tổng hợp hệ thống 91
5.3 Các quy luật ñiều khiển cơ bản 92
5.3.1 Luật ñiều khiển tỉ lệ (luật P) 93
5.3.2 Luật ñiều khiển tích phân (luật I) 94

5.3.3 Luật ñiều khiển tỉ lệ - tích phân (luật PI) 95
5.3.4 Luật ñiều khiển tỉ lệ - vi phân (luật PD) 97
5.3.5 Luật ñiều khiển tỉ lệ - vi tích phân (luật PID) 99
5.4 Một số phương pháp tổng hợp bộ ñiều khiển PID 103
5.4.1 Phương pháp lý thuyết 104
5.4.2 Phương pháp thực nghiệm 115
5.5 Tổng hợp bộ ñiều khiển trong không gian trạng thái 119
5.5.1 Tính ñiều khiển ñược (Controllability) 120
5.5.2 Tính quan sát ñược (Observability) 122
5.5.3 Phương pháp gán ñiểm cực 123
BÀI TẬP CHƯƠNG 5 124
CHƯƠNG 6: NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG HỆ ĐIỀU KHIỂN 126
6.1 Phương pháp bù tác ñộng nhiễu 126
6.1.1 Bù nhiễu phụ tải 126
6.1.2 Bù nhiễu ñặt trước 127
6.2 Điều khiển tầng 127
CHƯƠNG 7: ỨNG DỤNG MATLAB KHẢO SÁT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 130
TÀI LIỆU THAM KHẢO 134


1

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
1.1 Giới thiệu
Điều khiển tự ñộng ñã và ñang ñóng một vai trò quan trọng trong sự phát triển khoa học kỹ
thuật, ñặc biệt là các lĩnh vực như hàng không, robot và sản xuất hiện ñại. Chẳng hạn có thể
thấy ñiều khiển tự ñộng xuất hiện ở các máy công cụ số, ở hệ thống lái tự ñộng và dẫn ñường
máy bay, tàu vũ trụ trong công nghiệp hàng không vũ trụ, trong công nghiệp xe hơi,… Ngoài
ra ñiều khiển tự ñộng cũng rất cần thiết trong lĩnh vực ñiều khiển quá trình, như ñiều khiển áp
suất, ñộ ẩm, nhiệt ñộ, ñộ nhớt, và dòng chảy,

Lược sử phát triển ñiều khiển tự ñộng
Lịch sử phát triển của ñiều khiển tự ñộng ñược ghi nhận từ trước công nguyên, bắt ñầu từ
ñồng hồ nước có phao ñiều chỉnh Ktesibios ở Hy Lạp. Hệ ñiều chỉnh nhiệt ñộ ñầu tiên do
Cornelis Drebble (1572 - 1633) người Hà Lan sáng chế. Năm 1765, Polzunov chế tạo bộ ñiều
chỉnh mức nước nồi hơi. Năm 1784, James Watt chế tạo bộ ñiều tốc ly tâm ñể ñiều chỉnh máy
hơi nước. Các sáng chế này ñược xem là các cơ cấu tự ñộng xuất hiện ñầu tiên trong công
nghiệp.

Hình 1.1: Hệ điều tốc của James Watt
Nguyên lý hoạt ñộng của hệ ñiều tốc ly tâm (hình 1) là duy trì cho tốc ñộ quay của tuabin
hơi nước giữ ổn ñịnh. Nếu tốc ñộ n tăng lên, thông qua cơ cấu ly tâm, con trượt sẽ kéo lên trên
(kéo cả ñầu A của cánh tay ñòn AB) và ñầu B bị ấn xuống làm cho van ñóng lại, làm giảm
luồng hơi cấp vào tuabin, do ñó tốc ñộ quay của tuabin giảm xuống. Tương tự khi tốc ñộ quay
của tuabin vì một nguyên nhân nào ñó bị giảm xuống thì cánh tay ñòn AB thông qua cơ cấu ly
tâm sẽ hạ ñầu A xuống và nâng ñầu B lên ñể mở cửa van cho luồng hơi vào máy nhiều hơn và
làm tăng tốc ñộ quay của tuabin hơi nước.
Những nghiên cứu ñáng kể trong giai ñoạn ñầu phát triển của lý thuyết ñiều khiển tự ñộng
thuộc về Minorsky, Hazen và Nyquist. Năm 1922, Minorsky là người ñặt nền móng cho lý
thuyết ñiều khiển tàu thủy và chỉ ra cách xác ñịnh tính ổn ñịnh từ phương trình vi phân mô tả
hệ thống. Năm 1917, O.Block sử dụng lý thuyết vectơ và hàm biến phức vào việc nghiên cứu
lý thuyết ñiều khiển tự ñộng. Trên cơ sở ñó, năm 1932 Nyquist ñã ñưa ra phương pháp ñồ thị
ñể xác ñịnh tính ổn ñịnh của hệ thống kín từ ñáp ứng tần số của hệ hở với tín hiệu vào hình sin.
Trong suốt thập niên 1940, phương pháp ñáp ứng tần số, ñặc biệt là phương pháp biểu ñồ
Bode, ñã ñược sử dụng rộng rãi ñể phân tích và thiết kế các hệ thống ñiều khiển vòng kín
tuyến tính. Từ cuối thập niên 1940 ñến ñầu thập niên 1950 Evans phát triển và hoàn chỉnh
phương pháp quỹ ñạo nghiệm. Đây là hai phương pháp cốt lõi của lý thuyết ñiều khiển cổ ñiển,
cho phép thiết kế ñược những hệ thống ñiều khiển ổn ñịnh và ñáp ứng ñược các yêu cầu ñiều
khiển cơ bản. Các bộ ñiều khiển ñược thiết kế chủ yếu là bộ ñiều khiển PID và bộ ñiều khiển

2

sớm trễ pha. Lý thuyết ñiều khiển cổ ñiển (trước 1960) chủ yếu áp dụng cho hệ tuyến tính bất
biến với một ñầu vào-một ñầu ra.
Từ khoảng 1960, sự xuất hiện của máy tính số và lý thuyết ñiều khiển số ñã tạo ñiều kiện
cho sự ra ñời lý thuyết ñiều khiển hiện ñại dựa trên sự phân tích và tổng hợp ñáp ứng thời gian
sử dụng biến trạng thái. Lý thuyết ñiều khiển hiện ñại rất thích hợp ñể thiết kế các bộ ñiều
khiển là các chương trình phần mềm chạy trên vi xử lý và máy tính số. Điều này cho phép thiết
kế các hệ thống phức tạp nhiều ñầu vào, nhiều ñầu ra với chất lượng ñiều khiển cao.
Trong những thập niên gần ñây lý thuyết ñiều khiển hiện ñại phát triển theo các hướng:
ñiều khiển tối ưu các hệ tiền ñịnh và ngẫu nhiên, ñiều khiển thích nghi và ñiều khiển thông
minh. Các phương pháp ñiều khiển thông minh như ñiều khiển mờ, mạng thần kinh nhân tạo,
thuật toán di truyền bắt chước các hệ thống thông minh sinh học, về nguyên tắc không cần
dùng mô hình toán học ñể thiết kế hệ thống, do ñó có khả năng ứng dụng thực tế rất lớn. Xu
hướng kết hợp các phương pháp ñiều khiển trong một hệ thống ñiều khiển cũng ñược phát
triển với sự trợ giúp của máy tính số.
Ngày nay, lý thuyết ñiều khiển cổ ñiển vẫn giữ vai trò quan trọng. Nó cung cấp các kiến
thức cơ bản ñể làm nền tảng cho việc tiếp cận các hệ thống ñiều khiển hiện ñại, ngày càng
phức tạp hơn.
Khái niệm ñiều khiển
Điều khiển một hệ thống ñược hiểu là quá trình thu thập thông tin, xử lý thông tin và tác
ñộng lên hệ thống ñể biến ñổi, hiệu chỉnh sao cho ñáp ứng của hệ ñạt mục ñích ñịnh trước. Quá
trình ñiều khiển không cần sự tham gia trực tiếp của con người gọi là ñiều khiển tự ñộng.
Ví dụ: Xét quá trình lái (ñiều khiển) một xe máy ñể xe luôn chạy với tốc ñộ ổn ñịnh
40km/h. Để ñạt ñược mục ñích này trước hết mắt người lái xe phải quan sát ñồng hồ tốc ñộ ñể
biết tốc ñộ hiện tại của xe (thu thập thông tin). Tiếp theo, bộ não sẽ so sánh tốc ñộ hiện tại với
tốc ñộ mong muốn và ra quyết ñịnh tăng ga nếu tốc ñộ <40km/h và giảm ga nếu tốc ñộ
>40km/h (xử lý thông tin). Cuối cùng tay người lái xe phải vặn tay ga ñể thực hiện việc tăng
hay giảm ga (tác ñộng vào hệ thống). Kết quả là tốc ñộ xe ñược hiệu chỉnh lại và giữ ổn ñịnh
như mong muốn. Trong các hệ thống ñiều khiển tự ñộng, quá trình ñiều khiển cũng diễn ra
tương tự nhưng các bộ phận: mắt, bộ não, tay của con người ñược thay thế bằng các thiết bị kỹ

thuật có chức năng tương ứng.
1.2 Hệ thống ñiều khiển tự ñộng
1.2.1 Khái niệm và ñịnh nghĩa
Một hệ thống ñiều khiển tự ñộng tổng quát ñược minh hoạ ở hình 1.2.

Hình 1.2: Cấu trúc cơ bản của hệ thống điều khiển
Hệ thống gồm ba thành phần cơ bản là ñối tượng ñiều khiển, thiết bị ño và bộ ñiều khiển.

3

Trong ñó:
r(t): tín hiệu vào, chuẩn tham chiếu (reference input), giá trị ñặt trước.
y(t): tín hiệu ra (output), biến/ñại lượng cần ñiều khiển.
y
ht
(t): tín hiệu hồi tiếp.
e(t): tín hiệu sai lệch. Sai lệch giữa tín hiệu ñặt và tín hiệu ra
u(t): tín hiệu ñiều khiển.
z(t): tín hiệu nhiễu.
Đối tượng ñiều khiển (ĐTĐK): là hệ thống vật lý cần ñiều khiển ñể có ñáp ứng mong
muốn. ĐTĐK bao gồm ña dạng các loại máy, thiết bị kỹ thuật, quá trình công nghệ. ĐTĐK là
máy, thiết bị thường ñược ñặc trưng bằng các cơ cấu chấp hành như ñộng cơ, xi lanh, hệ bàn
trượt với tín hiệu ra là chuyển ñộng vật lý như vận tốc, vị trí, góc quay, gia tốc, lực. Các quá
trình công nghệ thường có tín hiệu ra là nhiệt ñộ, áp suất, lưu lượng, mức.
Đối tượng Tín hiệu vào Tín hiệu ra
Động cơ ñiện Điện áp Vận tốc, góc quay
Van Vị trí nòng van Lưu lượng
Xylanh lực Lưu lượng, áp suất Vận tốc, vị trí, lực
piston
Lò nhiệt Công suất cấp nhiệt Nhiệt ñộ

Chiết áp Vị trí con trượt Điện áp
Bảng 1.1: Một số đối tượng thường gặp trong kỹ thuật và tín hiệu vào ra tương ứng.
Thiết bị ño (cảm biến): Thực hiện chức năng ño và chuyển ñổi ñại lượng ra của hệ thống
thành dạng tín hiệu phù hợp ñể thuận tiện so sánh, xử lý, hiển thị. Sự chuyển ñổi là cần thiết
khi các tín hiệu vào, ra không cùng bản chất vật lý: tín hiệu ra có thể là vận tốc, vị trí, nhiệt ñộ,
lực,… trong khi tín hiệu vào ña phần là tín hiệu ñiện. Nguyên tắc chung ñể ño các ñại lượng
không ñiện bằng phương pháp ñiện là biến ñổi chúng thành tín hiệu ñiện (ñiện áp hoặc dòng
ñiện).
Một số thiết bị ño ñiển hình là:
- Đo vận tốc: bộ phát tốc (DC tachometer, AC tachometer, optical tacho).
- Đo lượng dịch chuyển: chiết áp (potentiometer), thước mã hóa.
- Đo góc quay: chiết áp xoay, bộ mã hóa góc quay (rotary encoder).
- Đo nhiệt ñộ: cặp nhiệt ngẫu (thermocouple), ñiện trở nhiệt (thermistor, RTD).
- Đo lưu lượng, áp suất: Các bộ chuyển ñổi, lưu lượng, áp suất.
- Đo lực: cảm biến lực (loadcell,…).
Bộ so sánh: so sánh và phát hiện ñộ sai lệch e giữa tín hiệu vào chuẩn và tín hiệu hồi tiếp
(hay giá trị ño ñược của tín hiệu ra).
Thông thường, các thiết bị ño thực hiện chuyển ñổi tỉ lệ nên:
y
ht
= K.y với K là hệ số chuyển ñổi.
Nếu K = 1 thì e = r - y
ht
= r – y
Trong hệ thống thực tế bộ so sánh thường ñược ghép chung vào bộ ñiều khiển.

4

Bộ ñiều khiển: dùng thông tin về ñộ sai lệch e ñể tạo tín hiệu ñiều khiển u thích hợp, từ ñó
tác ñộng lên ñối tượng. Thuật toán xác ñịnh hàm u(t) gọi là thuật toán ñiều khiển hay luật ñiều

khiển. Bộ ñiều khiển liên tục có thể thực hiện bằng cơ cấu cơ khí, thiết bị khí nén, mạch ñiện
RLC, mạch khuếch ñại thuật toán. Bộ ñiều khiển số thực chất là các chương trình phần mềm
chạy trên vi xử lý hay máy tính.
Nhiễu: các tác ñộng lên hệ thống gây nên các ảnh hưởng không mong muốn ñược gọi
chung là nhiễu. Nhiễu luôn tồn tại và có thể tác ñộng vào bất cứ phần tử nào trong hệ thống,
nhưng thường ñược quan tâm nhiều nhất là các nhiễu tác ñộng lên ñối tượng ñiều khiển, loại
này gọi là nhiễu ñầu ra hay nhiễu phụ tải.
Trên ñây chúng ta chỉ mới ñề cập ñến các thành phần cơ bản của hệ thống ñiều khiển. Trong
thực tế, cấu trúc hoàn chỉnh của hệ thống ñiều khiển thường ña dạng và phức tạp hơn. Ví dụ,
trong hệ còn có cơ cấu thiết ñặt tín hiệu vào chuẩn, các cơ cấu tác ñộng có vai trò trung gian
giữa bộ ñiều khiển và ñối tượng như van ñiều khiển, bộ khuếch ñại công suất, mạch cách ly,
ñộng cơ, các bộ truyền ñộng. Trong hệ thống ñiều khiển số còn có các bộ chuyển ñổi A/D,
D/A, card giao tiếp,…
1.2.2 Nguyên tắc ñiều khiển
Nguyên tắc ñiều khiển thể hiện ñặc ñiểm lượng thông tin và phương thức hình hành tác
ñộng ñiều khiển trong hệ thống. Các nguyên tắc ñiều khiển có thể xem là kim chỉ nam ñể thiết
kế hệ thống ñiều khiển ñạt chất lượng cao và có hiệu quả kinh tế nhất.
Nguyên tắc 1: Nguyên tắc thông tin phản hồi
Muốn quá trình ñiều khiển ñạt chất lượng cao, trong hệ thống phải tồn tại hai dòng thông
tin: một từ bộ ñiều khiển ñến ñối tượng và một từ ñối tượng ngược về bộ ñiều khiển (dòng
thông tin ngược gọi là hồi tiếp). Điều khiển không hồi tiếp (ñiều khiển vòng hở) không thể ñạt
chất lượng cao nhất là khi có nhiễu. Các sơ ñồ ñiều khiển dựa trên nguyên tắc thông tin phản
hồi là:
Điều khiển bù nhiễu (Hình 1.3): Nguyên tắc này ñược dùng khi các tác ñộng bên ngoài lên
ĐTĐK có thể kiểm tra và ño lường ñược, còn ñặc tính của ĐTĐK ñã ñược xác ñịnh ñầy ñủ. Bộ
ñiều khiển sử dụng giá trị ño ñược của nhiễu ñể tính toán tín hiệu ñiều khiển u(t). Nguyên tắc
ñiều khiển này có ý nghĩa phòng ngừa, ngăn chặn trước. Hệ thống có khả năng bù trừ sai số
trước khi nhiễu thực sự gây ảnh hưởng ñến tín hiệu ra. Tuy nhiên, vì trong thực tế không thể
dự ñoán và kiểm tra hết mọi loại nhiễu nên với các hệ phức tạp thì ñiều khiển bù nhiễu không
thể cho chất lượng cao.

Hình 1.3: Sơ đồ điều khiển bù nhiễu
Điều khiển san bằng sai lệch (Hình 1.4): Nguyên tắc này ñược dùng khi các tác ñộng bên
ngoài không kiểm tra và ño lường ñược, còn ñặc tính của ĐTĐK thì chưa ñược xác ñịnh ñầy
ñủ. Tín hiệu ra y(t) ñược ño và phản hồi về so sánh với tín hiệu vào r(t). Bộ ñiểu khiển sử dụng
ñộ sai lệch vào-ra ñể tính toán tín hiệu ñiều khiển u(t), ñiều chỉnh lại tín hiệu ra theo hướng
làm triệt tiêu sai lệch. Nguyên tắc ñiều khiển này có tính linh hoạt, thử nghiệm và sửa sai. Hệ

5

thống có khả năng làm triệt tiêu ảnh hưởng của các nhiễu không biết trước và/hoặc không ño
ñược. Nhược ñiểm của nó là tác ñộng hiệu chỉnh chỉ hình thành sau khi ñộ sai lệch ñã tồn tại
và ñược phát hiện, tức là sau khi tín hiệu ra ñã thực sự bị ảnh hưởng. Các quá trình trễ trong hệ
làm cho tín hiệu ra không giữ ñược ổn ñịnh một cách tuyệt ñối mà thường có dao ñộng nhỏ
quanh giá trị xác lập.

Hình 1.4: Sơ đồ điều khiển san bằng sai lệch
Điều khiển phối hợp (Hình 1.5): Để nâng cao chất lượng ñiều khiển, có thể kết hợp nguyên
tắc bù nhiễu nguyên tắc san bằng sai lệch. Mạch bù nhiễu sẽ tác ñộng nhanh ñể bù trừ sai số
tạo ra bởi các nhiễu ño ñược, còn mạch ñiều khiển phản hồi sẽ hiệu chỉnh tiếp các sai số tạo ra
bởi các nhiễu không ño ñược.

Hình 1.5: Sơ đồ điều khiển phối hợp
Nguyên tắc 2: Nguyên tắc ña dạng tương xứng
Muốn quá trình ñiều khiển có chất lượng thì sự ña dạng của bộ ñiều khiển phải tương xứng
với sự ña dạng của ñối tượng.Tính ña dạng của bộ ñiều khiển thể hiện ở khả năng thu thập
thông tin, truyền tin, phân tích xử lý, chọn quyết ñịnh,…Ý nghĩa của nguyên tắc này là cần
thiết kế bộ ñiều khiển phù hợp với ñối tượng. Hãy so sánh yêu cầu chất lượng ñiều khiển và bộ
ñiều khiển sử dụng trong hệ thống:
- Điều khiển nhiệt ñộ bàn ủi (chấp nhận sai số lớn) với ñiều khiển nhiệt ñộ lò sấy (không

chấp nhận sai số lớn).
- Điều khiển mực nước trong bồn chứa của khách sạn (chỉ cần ñảm bảo luôn có nước
trong bồn) với ñiều khiển mực chất lỏng trong các dây chuyền sản xuất (mực chất lỏng
cần giữ không ñổi).
Nguyên tắc 3: Nguyên tắc bổ sung ngoài
Một hệ thống luôn tồn tại và hoạt ñộng trong môi trường cụ thể và có tác ñộng qua lại chặt
chẽ với môi trường ñó. Nguyên tắc bổ sung ngoài thừa nhận có một ñối tượng chưa biết (hộp
ñen) tác ñộng vào hệ thống và ta phải ñiều khiển cả hệ thống lẫn hộp ñen. Ý nghĩa của nguyên
tắc này là khi thiết kế hệ thống tự ñộng, muốn hệ thống có chất lượng cao thì không thể bỏ qua
nhiễu của môi trường tác ñộng vào hệ thống.

6

Nguyên tắc 4: Nguyên tắc phân cấp (Hình 1.6)
Đối với hệ thống ñiều khiển phức tạp cần xây dựng nhiều lớp ñiều khiển bổ sung cho trung
tâm. Cấu trúc phân cấp thường sử dụng là cấu trúc hình cây, ví dụ như hệ thống ñiều khiển
giao thông ñô thị hiện ñại, hệ thống ñiều khiển dây chuyền sản xuất.

Hình 1.6: Sơ đồ điều khiển phân cấp

1.2.3 Tín hiệu
Tín hiệu
(
)
tx ñược ñịnh nghĩa như là một hàm số phụ thuộc thời gian mang thông tin về
các thông số kỹ thuật ñược quan tâm trong hệ thống và ñược truyền tải bởi những ñại lượng
vật lý, nói cách khác tín hiệu là một hình thức biểu diễn thông tin.
Ví dụ: Để ñiều khiển nhiệt ñộ thì nhiệt ñộ hiện thời là một thông số kỹ thuật của hệ thống
cần ñược quan tâm. Giá trị nhiệt ñộ ño ñược bằng cảm biến tại thời ñiểm t ñược thể hiện dưới
dạng giá trị của hàm số phụ thuộc thời gian

(
)
tu và là một ñại lượng ñiện áp có ñơn vị là Volt.
Như vậy, tín hiệu
(
)
tu là một hàm thời gian mang thông tin về nhiệt ñộ trong phòng tại thời
ñiểm t và ñược truyền tải bởi ñại lượng vật lý là ñiện áp…
Trong một hệ thống có nhiều tín hiệu
(
)
(
)
(
)
txtxtx
n
, ,
21
ñược quan tâm cùng một lúc. Tất cả
các tín hiệu ñược quan tâm ñó sẽ ñược ghép chung lại thành một vector tín hiệu ký hiệu bởi:

( )
(
)
( )











=
tx
tx
tx
n
M
1

Phân loại tín hiệu
Do tín hiệu trong
(
)
tx có mô hình là hàm thời gian như ñã ñịnh nghĩa vừa nêu trên nên phụ
thuộc vào miền xác ñịnh cũng như miền giá trị của hàm số
(
)
tx là liên tục hay rời rạc mà tín
hiệu
(
)
tx có thể phân thành bốn loại sau:
- Tín hiệu liên tục: Nếu
(
)

tx là hàm liên tục từng ñoạn theo thời gian, tức là
(
)
(
)
k
tt
txtx
k
=
→
lim
với mọi
k
t trong từng khoảng thời gian.
- Tín hiệu không liên tục: Nếu
(
)
tx là hàm không liên tục theo thời gian. Thường các tín
hiệu này chỉ ñược xác ñịnh tại hữu hạn các ñiểm
n
ttt ,,
21
K .
- Tín hiệu tương tự: Nếu
(
)
tx là hàm liên tục theo miền giá trị.
- Tín hiệu rời rạc: Nếu
(

)
tx là hàm không liên tục theo miền giá trị.

7

Bốn kiểu tín hiệu trên chỉ là sự phân loại cơ bản theo miền xác ñịnh hoặc theo miền giá trị của
(
)
tx . Trên cơ sở bốn kiểu phân loại cơ bản ñó mà một tín hiệu
(
)
tx khi ñược ñể ý chung ñồng
thời tới cả miền xác ñịnh và miền giá trị có thể là:
- Dạng tín hiệu liên tục-tương tự
- Dạng tín hiệu không liên tục-tương tự
- Dạng tín hiệu liên tục-rời rạc
- Dạng tín hiệu không liên tục-rời rạc
Trong ñó dạng tín hiệu không liên tục - rời rạc còn có tên gọi là tín hiệu số. Hình 1.7 minh
họa trực quan cho bốn dạng tín hiệu vừa trình bày.

(
)
tx
(
)
tx
(
)
tx
(

)
tx
t
t
t

Hình 1.7: Các dạng tín hiệu khác nhau
1.3 Phân loại hệ thống ñiều khiển tự ñộng
1.3.1 Phân loại theo mạch phản hồi
- Hệ thống kín: là hệ thống ñiều khiển có phản hồi, tức là tín hiệu ra ñược ño và hồi tiếp về
so sánh với tín hiệu vào. Bộ ñiều khiển sử dụng ñộ sai lệch vào-ra ñể tính toán tín hiệu ñiều
khiển u(t), hiệu chỉnh lại tín hiệu ra theo hướng làm triệt tiêu sai lệch. Cấu trúc hệ kín có thể có
một hoặc nhiều vòng hồi tiếp. Sơ ñồ khối của hệ kín một vòng hồi tiếp ñược mô tả trên Hình
1.2.
- Hệ thống hở: không dùng mạch phản hồi, tức là không có sự so sánh kết quả thực tế với
trị số mong muốn sau tác ñộng ñiều khiển. Các hệ thống ñiều khiển dựa trên cơ sở thời gian
ñều là hệ hở. Một ví dụ là máy giặt trong ñó các thao tác giặt, xả, vắt ñược tác ñộng tuần tự
bằng rơle thời gian, kết quả ñầu ra là ñộ sạch của quần áo không ñược máy kiểm tra (ño) lại.
Hệ hở có cấu trúc ñơn giản và thích hợp với các ứng dụng không ñòi hỏi cao về chất lượng ñáp
ứng.

8

1.3.2 Phân loại theo ñặc ñiểm mô tả toán học
- Hệ tuyến tính: Mọi phần tử của hệ ñều có quan hệ vào-ra là hàm tuyến tính. Hệ tuyến tính
ñược mô tả bằng phương trình vi phân (hoặc sai phân) tuyến tính. Đặc trưng cơ bản của hệ
tuyến tính là áp dụng ñược nguyên lý xếp chồng, tức là nếu hệ có nhiều tác ñộng vào ñồng thời
thì ñáp ứng ñầu ra có thể xác ñịnh bằng cách lấy tổng các ñáp ứng do từng tác ñộng riêng rẽ
tạo nên.
- Hệ phi tuyến: Hệ có ít nhất một phần tử có quan hệ vào-ra là hàm phi tuyến. Hệ phi tuyến

không áp dụng ñược nguyên lý xếp chồng. Hệ tuyến tính chỉ là mô hình lý tưởng. Các hệ
thống ñiều khiển thực tế ñều có tính phi tuyến. Ví dụ trong các bộ khuếch ñại ñiện, ñiện từ,
thủy lực, khí nén luôn có sự bão hòa tín hiệu ra khi có tín hiệu vào ñủ lớn; trong truyền ñộng
cơ khí, thủy lực, khí nén luôn tồn tại các khâu khe hở, vùng không nhạy với tín hiệu vào nhỏ;
các hệ thống ñiều khiển ON/OFF là phi tuyến với mọi giá trị tín hiệu vào. Để ñơn giản hóa quá
trình phân tích và thiết kế, hệ phi tuyến có phạm vi biến thiên của các biến tương ñối nhỏ
thường ñược tuyến tính hóa ñể ñưa gần ñúng về hệ tuyến tính.
1.3.3 Phân loại theo loại tín hiệu trong hệ thống
- Hệ liên tục: Các tín hiệu truyền trong hệ ñều là hàm liên tục theo thời gian. Hệ liên tục
ñược mô tả bằng phương trình vi phân.
- Hệ rời rạc: Tín hiệu ở một hay nhiều ñiểm của hệ là dạng chuỗi xung hay mã số. Hệ rời
rạc ñược mô tả bằng phương trình sai phân.
1.3.4 Phân loại mục tiêu ñiều khiển
- Hệ thống ổn ñịnh hóa: Khi tín hiệu vào r(t) không thay ñổi theo thời gian ta có hệ thống
ổn ñịnh hóa hay hệ thống ñiều chỉnh. Mục tiêu ñiều khiển của hệ này là giữ cho sai số giữa tín
hiệu vào và tín hiệu ra càng nhỏ càng tốt. Hệ thống ñiều khiển ổn ñịnh hóa ñược ứng dụng
rộng rãi trong dân dụng và công nghiệp, ñiển hình là các hệ thống ñiều chỉnh nhiệt ñộ, ñiện áp,
tốc ñộ, áp suất, lưu lượng, mức nước, nồng ñộ, ñộ pH…
- Hệ thống ñiều khiển theo chương trình: Nếu tín hiệu vào r(t) là một hàm ñịnh trước theo
thời gian, yêu cầu ñáp ứng ra của hệ thống sao chép lại các giá trị tín hiệu vào r(t) thì ta có hệ
thống ñiều khiển theo chương trình. Ứng dụng ñiển hình của loại này là các hệ thống ñiều
khiển máy CNC, robot công nghiệp.

Bộ ĐK ĐTĐK
Chỉnh ñịnh
r
v
u
z
y

Hình 1.8: Sơ đồ hệ thống điều khiển thích nghi
- Hệ thống theo dõi: Nếu tín hiệu vào r(t) là một hàm không biết trước theo thời gian, yêu
cầu ñiều khiển ñể ñáp ứng y(t) luôn bám sát ñược r(t), ta có hệ thống theo dõi. Điều khiển theo
dõi thường ñược sử dụng trong các hệ thống ñiều khiển pháo phòng không, rada, tên lửa, tàu
ngầm…

9

- Hệ thống ñiều khiển thích nghi: Khi cần ñiều khiển các ñối tượng phức tạp, có thông số
dễ bị thay ñổi do ảnh hưởng của môi trường, hoặc nhiều ñối tượng ñồng thời mà phải ñảm bảo
cho một tín hiệu có giá trị cực trị, hay một chỉ tiêu tối ưu nào ñó,… thì các bộ ñiều khiển với
thông số cố ñịnh không thể ñáp ứng ñược, khi ñó ta phải dùng nguyên tắc thích nghi. Sơ ñồ hệ
thống thích nghi như Hình 1.8. Tín hiệu v(t) chỉnh ñịnh lại thông số của bộ ñiều khiển sao cho
hệ thích ứng với mọi biến ñộng của môi trường.
- Hệ thống ñiều khiển tối ưu: Khi cần tạo lập những luật ñiều khiển cho hệ thống ñạt chỉ
tiêu về tính hiệu quả ñã ñược ñịnh trước dưới dạng hàm mục tiêu Q.
1.3.4 Phân loại theo dạng năng lượng sử dụng
- Hệ thống ñiều khiển cơ khí
- Hệ thống ñiều khiển ñiện
- Hệ thống ñiều khiển khí nén
- Hệ thống ñiều khiển thủy lực
- Hệ thống ñiều khiển ñiện-khí nén, ñiện-thủy lực,…
1.3.5 Phân loại theo số lượng ñầu vào, ñầu ra
- Hệ SISO (Single Input - Single Output: một ñầu vào - một ñầu ra)
- Hệ MIMO (Multi Input - Multi Output: nhiều ñầu vào - nhiều ñầu ra)
Trong khuôn khổ của chương trình môn học, tài liệu này chỉ tập trung ñề cập ñến các vấn ñề
của hệ thống ñiều khiển tuyến tính bất biến một ñầu vào - một ñầu ra.
1.3.6 Hệ bất biến và hệ biến ñổi
- Hệ bất biến theo thời gian (hệ dừng): Các thông số của hệ không thay ñổi trong suốt thời

gian hoạt ñộng của hệ thống. Hệ bất biến ñược mô tả bằng phương trình vi phân/sai phân hệ số
hằng. Đáp ứng của hệ này không phụ thuộc vào thời ñiểm mà tín hiệu vào ñược ñặt vào hệ
thống.
- Hệ biến ñổi theo thời gian (hệ không dừng): Các thông số của hệ là tham số phụ thuộc
vào thời gian, ví dụ hệ thống ñiều khiển tên lửa với khối lượng của tên lửa giảm dần do sự tiêu
thụ nhiên liệu trong quá trình bay. Phương trình mô tả hệ biến ñổi theo thời gian là phương
trình vi phân/sai phân hệ số hàm. Đáp ứng của hệ này phụ thuộc vào thời ñiểm mà tín hiệu vào
ñược ñặt vào hệ thống.
1.4 Ví dụ về hệ thống ñiều khiển
Hệ thống ñiều khiển mức nước

Hình 1.9: Hệ thống điều khiển mức nước đơn giản

10

Trong hệ thống ñiều khiển tự ñộng hình 1.9, ñối tượng ñiều khiển là bồn nước (1). Mục
tiêu ñiều khiển là giữ mức nước trong bồn luôn ổn ñịnh và bằng trị số H
0
ñặt trước cho dù
lượng nước tiêu thụ thay ñổi như thế nào.
Tín hiệu ra y = h: mức nước thực tế.
Tín hiệu vào r = H
0
: mức nước yêu cầu.
Nhiễu z: sự thay ñổi lượng nước tiêu thụ.
Thiết bị ño là phao (2); bộ ñiều khiển là hệ thống ñòn bẩy (3) có chức năng khuếch ñại sai lệch
và ñiều khiển ñóng mở van; cơ cấu tác ñộng là van (4).
Tín hiệu ñiều khiển u: ñộ nâng của van (4).
Tín hiệu sai lệch: e = r – y = H
0

– h
Mức nước yêu cầu có thể thay ñổi bằng cách ñiều chỉnh ñộ dài ñoạn nối từ phao tới ñòn bẩy.
a
K
1
V
0
E
n
E
1
M
2
M

Hình 1.10: Hệ thống điều khiển mức nước
Nguyên lý hoạt ñộng của hệ thống ñiều khiển mức nước ở hình 1.10 như sau: Mức nước
cần giữ luôn ổn ñịnh là C trong trường hợp van V
1
mở tùy theo nhu cầu sử dụng (ñược coi là
nhiễu). Khi mức nước trong bình khác C, một ñiện áp chênh lệch E
n
ñược tạo ra, qua bộ
khuếch ñại công suất cung cấp cho ñộng cơ. Động cơ này khi quay sẽ ñiều chỉnh ñộ mở M
1
của
van qua ñó ñiều chỉnh dòng M
2
.
Hệ ñiều khiển tốc ñộ ñộng cơ DC

Hình 1.11 giới thiệu một phiên bản ñơn giản của hệ thống ñiều khiển tốc ñộ ñộng cơ DC.
Tốc ñộ yêu cầu ñược ñặt chỉnh bằng chiết áp và có giá trị trong khoảng V100
÷
. Bộ phát tốc
(tachometer) ño số vòng quay của ñộng cơ và chuyển thành tín hiệu ñiện áp V100
÷
. Bộ
khuếch ñại vi sai (1) so sánh giá trị ñặt với tốc ñộ thực tế, sau ñó tín hiệu sai lệch ñược chuyển
ñến bộ khuếch ñại công suất (2) ñể thành tín hiệu ñiều khiển ñộng cơ. Để có sai số xác lập
bằng 0 và cải thiện ñặc tính ñộng học của ñộng cơ tốt hơn, người ta thay bộ khuếch ñại vi sai
bằng bộ ñiều khiển PID và mạch chỉnh lưu ñiện tử.
Trong các ứng dụng ñiều khiển tốc ñộ và ñịnh vị chính xác, hiện nay người ta thường dùng
ñộng cơ servo DC và AC. Động cơ servo có quán tính nhỏ, khả năng gia tốc tốt, làm việc tin
cậy, hầu như không cần bảo dưỡng. Động cơ servo DC công suất nhỏ ñược sử dụng trong các
thiết bị văn phòng như ñộng cơ quay ổ ñĩa máy tính, ñộng cơ quay rulo máy in, … Động cơ

11

servo DC công suất trung bình và lớn ñược sử dụng trong các hệ thống robot, hệ thống ñiều
khiển máy CNC,…

Hình 1.11: Sơ đồ hệ thống điều khiển tốc độ động cơ DC
Hình 1.12 giới thiệu hệ thống ñiều khiển ñộng cơ servo DC dùng bộ ñiều khiển ñiện tử
theo nguyên tắc ñiều biến ñộ rộng xung (PWM). Tín hiệu phản hồi ñược lấy từ bộ phát tốc
hoặc bộ mã hóa góc quay (encoder) lắp ñặt sẵn trên ñộng cơ.

Hình 1.12: Sơ đồ hệ thống điều khiển tốc độ động cơ servo DC
Hệ thống ñiều khiển máy trộn

Hình 1.13: Sơ đồ hệ thống điều khiển máy trộn

Điều khiển một máy trộn (Hình 1.13) là duy trì hỗn hợp của hai chất A và B sao cho nồng
ñộ của chúng không ñổi. Hai chất A và B ñược ñưa vào thùng trộn và ñược máy trộn khuấy
ñều ñể cho ra một hỗn hợp C có tỉ lệ % thành phần A ñúng theo giá trị ñặt trước. Bộ ño nồng
ñộ là một máy phân tích ñể xác ñịnh tỉ lệ phần trăm của thành phần A trong hỗn hợp C và cho

12

ra tín hiệu dòng ñiện tương ứng từ 204
÷
mA. Tín hiệu này dẫn về bộ ñiều khiển bằng ñiện tử
tạo lên một tín hiệu ñiều khiển tác ñộng vào van (thông qua bộ ñiều khiển van). Để khống chế
lưu lượng chất A chảy vào thùng trộn.
Hệ thống ñiều khiển nhiệt ñộ


Hình 1.14: Sơ đồ hệ thống điều khiển lò nhiệt
Hình 1.14 giới thiệu một hệ thống ñiều khiển nhiệt ñộ lò nung ñiện. Nhiệt ñộ trong lò là ñại
lượng liên tục. Nhiệt ñộ này ñược ño bằng cảm biến, sau ñó chuyển thành tín hiệu số nhờ bộ
chuyển ñổi liên tục/số (A/D – Analog/Digital) và ñưa vào máy tính thông qua mạch giao tiếp.
Nhiệt ñộ yêu cầu cũng là dạng tín hiệu số và ñược ñặt chỉnh bằng chương trình phần mềm.
Máy tính so sánh nhiệt ñộ hồi tiếp với nhiệt ñộ ñặt và nếu có sai lệch thì máy tính sẽ xuất hiện
tín hiệu ñiều khiển mạch nung thông qua giao tiếp, khuếch ñại, rơle cấp ñiện cho ñiện trở nung
hoặc quạt làm mát trong lò.

13

CHƯƠNG 2: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN
2.1. Khái niệm
Đối tượng nghiên cứu trong thực tế của hệ thống ñiều khiển rất ña dạng và có bản chất vật
lý khác nhau. Các phần tử trong hệ thống có thể là cơ, ñiện, nhiệt, thủy lực, khí nén, … Do

vậy, cần có cơ sở chung ñể phân tích, thiết kế các hệ thống ñiều khiển có bản chất vật lý khác
nhau và cơ sở ñó là toán học.
Để mô tả hệ thống tuyến tính liên tục người ta thường sử dụng ba dạng mô hình toán học
cơ bản sau:
- Phương trình vi phân tuyến tính;
- Hàm truyền ñạt;
- Phương trình trạng thái.
Mỗi phương pháp mô tả hệ thống ñều có những ưu ñiểm riêng, trong tài liệu này sẽ xét cả
ba phương pháp mô tả trên.
2.2. Mô tả hệ thống ở miền thời gian
2.2.1 Mô hình phương trình vi phân
Một hệ thống tuyến tính liên tục có tín hiệu vào là r(t) và tín hiệu ra là y(t) có thể ñược mô
tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng tổng quát:
)( )(
1
1
1
101
1
1
10
trb
dt
dr
b
dt
rd
b
dt
rd

btya
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a
mm
m
m
m
m
nn
n
n
n
n
++++=++++
−
−
−
−
−
−
(2.1)
Trong ñó: a
0

, …, a
n
; b
0
, …,b
m
là những hằng số, ñược xác ñịnh từ tham số của các phần tử;
n là bậc của phương trình vi phân, m ≤ n.
Phương trình vi phân mô tả cho một hệ thống bất kỳ ñược xây dựng theo phương pháp giải
tích, tức là dựa trên các ñịnh luật vật lý biểu diễn các quá trình ñộng học của hệ thống ñể thành
lập phương trình vi phân. Cụ thể là:
- Đối với các phần tử ñiện: áp dụng các ñịnh luật Kirchoff dòng ñiện, ñiện áp tìm mối quan
hệ dòng - áp trên ñiện trở, cuộn cảm, tụ ñiện,…
- Đối với các phần tử cơ khí: áp dụng ñịnh luật II Newton tìm quan hệ giữa lực ma sát và
vận tốc, quan hệ giữa lực và ñộ biến dạng của lò xo, …
- Đối với các phần tử nhiệt: thường áp dụng ñịnh luật truyền nhiệt, ñịnh luật bảo toàn năng
lượng, …
Ví dụ 2.1: Cho mạch ñiện RC trên hình 2.1. Biết trước giá trị của ñiện trở R, của tụ ñiện C
trong mạch. Hãy xác ñịnh mô hình mạch ñiện dưới dạng phương trình vi phân mô tả quan hệ
giữa tín hiệu vào là ñiện áp u
i
(t) và tín hiệu ra là ñiện áp u
0
(t) trên tụ ñiện.
Theo ñịnh luật Kirchoff ta có:
u
R
(t) + u
C
(t) = u

i
(t) (2.2)
i
R
(t) = i
C
(t) (2.3)
u
C
(t) = u
0
(t) (2.4)
u
o
(t)
C
u
i
(t)

Hình 2.1: Mạch điện RC


14

Mặt khác:
dt
du
Cti
C

C
.)( = (2.5)
u
R
(t) = R.i
R
(t) (2.6)
Thay trở lại phương trình (2.2) ta có ñược mối quan hệ giữa ñiện áp vào và ñiện áp ra của
mạch ñiện:
)()(
0
0
tutu
dt
du
CR
i
=+ (2.7)
Với tín hiệu vào r(t) = u
i
(t); tín hiệu ra y(t) = u
0
(t) ta có phương trình vi phân mô tả cho mạch
ñiện RC chính là phương trình vi phân cấp 1:
)()(. trty
dt
dy
RC =+ (2.8)
Ví dụ 2.2: Xác ñịnh phương trình vi phân mô tả cho ñộng cơ ñiện một chiều kích từ ñộc lập.
Động cơ là phi tuyến nhưng ta xem gần ñúng là phần tử tuyến tính. Sơ ñồ cấu trúc ñược mô tả

trên hình 2.2. Tín hiệu vào là ñiện áp U ñặt vào phần ứng, ñiện áp cuộn kích từ U
kt
, mô men
cản M
c
; tín hiệu ra là tốc ñộ quay n của ñộng cơ. Ở ñây ta xét bài toán có: U
kt
= const, M
c
=
const, khi ñó mô hình ñộng cơ một chiều kích thích ñộc lập ñược xem là mô hình có 1 tín hiệu
vào là ñiện áp phần ứng U, một tín hiệu ra là tốc ñộ n.
Quá trình xảy ra trong ñộng cơ là sự chuyển
ñổi ñiện năng sang cơ năng, còn tín hiệu ra là
tốc ñộ của ñộng cơ và quá trình ñộng học của
chuyển ñộng quay dưới tác ñộng của momen
ñiện năng.
Trạng thái xác lập của ñộng cơ ta có các phương
trình cân bằng ñiện và cơ:
U
0
= I
0
R + E = I
0
R + k
1
n
0

(2.9)

kt
U
U
n
C
M

Hình 2.2: Sơ đồ cấu trúc động cơ điện
trong ñó: U
0
- ñiện áp ban ñầu ñặt vào phần ứng của ñộng cơ
I
0
, E: ñiện áp, dòng ñiện, sức ñiện ñộng phần ứng ở trạng thái xác lập và
E = k
ư
Фn
0
= k
1
n
0
(từ thông Ф = const)
M
d0
= M
c

⇒
Mc = M
d0
= k
m
ФI
0
= k
2
I
0
(từ thông Ф= const)
k
1
, k
2
- các hệ số tỉ lệ
M
d0
- mô men dẫn ñộng của ñộng cơ ở trạng thái tĩnh
M
c
- mô men cản cơ học
Khi ñiện áp ñặt vào phần ứng của ñộng cơ thay ñổi bằng U
0
+ ∆U thì dòng ñiện trong phần
ứng I
0
+ ∆I, tốc ñộ ñộng cơ n

0
+ ∆n. Quá trình ñộng học xảy ra trong ñộng cơ ñược mô tả bằng
phương trình vi phân:
dt
Id
LIIRnnkUU
∆
+∆++∆+=∆+ )()(
0010
(2.10)
dt
nnd
JMIIk
c
)(
)(
0
02
∆
+
+=∆+ (2.11)
với J là mô men quán tính của tất cả các phần quay ñặt lên roto

15

Thay lại và rút gọn ta ñược phương trình vi phân mô tả mối liên hệ giữa tín hiệu ra là sự
thay ñổi tốc ñộ của ñộng cơ và tín hiệu vào là sự thay ñổi ñiện áp ñặt vào phần ứng ñộng cơ
dạng:
2
2

22
1

.
dt
nd
k
LJ
dt
nd
k
RJ
nkU
∆
+
∆
+∆=∆ (2.12)
U
k
n
dt
nd
kk
RJ
dt
nd
kk
LJ
∆=∆+
∆

+
∆
.
1
121
2
2
21
(2.13)
Vậy ta có phương trình vi phân mô tả quá trình ñộng học của ñộng cơ ñiện một chiều kích
từ ñộc lập:
UKn
dt
nd
T
dt
nd
TT
dcct
∆=∆+
∆
+
∆

2
2
(2.14)
trong ñó:
2
1

k
K
d
= - là hệ số truyền ñộng của ñộng cơ

R
L
T
t
= - là hằng số thời gian ñiện từ của ñộng cơ

21
.
.
kk
RJ
T
c
= - là hằng số thời gian ñiện cơ của ñộng cơ
Đặt: r(t) = ∆U, y(t) = ∆n, ta thấy mô tả cho ñộng cơ ñiện một chiều kích từ ñộc lập là
phương trình vi phân bậc hai có dạng tổng quát:
)(.)(
2
2
trKty
dt
dy
T
dt
yd

TT
dcct
=++ (2.15)
2.2.2 Mô hình trạng thái
Ở phần trước ta ñã biết, một hệ thống liên tục bất kỳ có thể mô tả quan hệ giữa tín hiệu vào
và tín hiệu ra bằng phương trình vi phân bậc n. Đối với các hệ thống hiện ñại chúng ta thường
cần một hệ phương trình phản ánh không những mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra
mà còn cả các mối quan hệ ràng buộc giữa các biến trạng thái bên trong ñối tượng nữa. Chính
vì thế một phương pháp khác cũng thường ñược sử dụng ñể khảo sát hệ thống ñiều khiển tự
ñộng là phương pháp mô tả hệ thống trong không gian trạng thái. Phương pháp biểu diễn trong
không gian trạng thái rất thích hợp cho việc thiết kế trên máy tính nên ñược sử dụng ngày càng
nhiều. Hệ thống mô tả trong không gian trạng thái chính là chuyển phương trình vi phân bậc n
thành n phương trình vi phân bậc một bằng cách ñặt n biến trạng thái.
Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) mà nếu
biết giá trị của các biến này tại thời ñiểm t
0
và biết tín hiệu vào ở thời ñiểm t ≥ t
0
, ta hoàn toàn
có thể xác ñịnh ñược ñáp ứng của hệ tại mọi thời ñiểm t ≥ t
0
.
Hệ thống bậc n có n biến trạng thái, n biến trạng thái hợp lại thành véctơ cột gọi là véctơ
trạng thái. Ký hiệu:
x = [x
1
x
2
… x
n

]
T
Bằng cách sử dụng các biến trạng thái ta có thể chuyển phương trình vi phân bậc n mô tả
hệ thống thành hệ n phương trình vi phân bậc một viết dưới dạng ma trận:

16




+=
+=
)()()(
)()()(
tDrtCxty
tBrtAxtx
&
(2.16)
Trong ñó: A, B, C, D là các ma trận hằng số.


















=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
KK
MOM
MOM
KK
KK
21
22221
11211
;













=
n
b
b
b
B
M
2
1
;
[
]
n
cccC K
21
=
;
[
]
dD
=

Phương trình 2.16 ñược gọi là phương trình trạng thái của hệ thống, và có thể biểu diễn
dưới dạng sơ ñồ trạng thái như sau:
∫

x
&

Hình 2.3: Sơ đồ trạng thái của hệ thống
Phương pháp thành lập phương trình trạng thái của hệ thống có thể dựa trên phương trình
vi phân. Tùy theo cách ñặt biến trạng thái mà một hệ thống có thể ñược mô tả bằng nhiều dạng
phương trình trạng thái khác nhau. Ta xét hai trường hợp như sau:
a. Trường hợp vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống không chứa đạo hàm của tín
hiệu vào (m = 0)
Phương trình vi phân mô tả hệ thống có dạng:
)()(
01
1
1
10
trbtya
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a
nn
n
n
n
n

=++++
−
−
−
(2.17)
Quy tắc ñặt biến trạng thái:
- Biến trạng thái thứ nhất ñặt bằng tín hiệu ñầu ra:
x
1
(t) = y(t)
- Các biến trạng thái thứ i (
ni ,2= ) ñược ñặt theo quy tắc: biến trạng thái sau ñặt bằng ñạo
hàm của biến trạng thái trước:

)()(
1
txtx
ii −
=
&

Áp dụng cách ñặt biến trạng thái như trên ta có:
x
1
= y

12
xx
&
=

⇒
yx
&
=
2


23
xx
&
=

⇒
yx
&&
=
3


M


1−
=
nn
xx
&

⇒

1
1
−
−
=
n
n
n
dt
yd
x
⇒

n
n
n
dt
yd
x =
&

Thay các biến trạng thái vừa ñặt vào phương trình (2.17) ta ñược:

17

)()()()()()(
01211210
trbtxatxatxatxatxa
nnnnn

=
+
+
+
+
+
−−
L
&

Kết hợp quan hệ giữa các biến trạng thái với phương trình trên ta có hệ phương trình:














+−−−−−=
=
=
=
−

−
−
)()()()()(
0
0
1
0
2
0
1
1
0
2
.
0
1
.
1
32
21
tr
a
b
tx
a
a
tx
a
a
tx

a
a
tx
a
a
x
xx
xx
xx
nn
n
n
n
nn
L
&
&
M
&
&


Viết lại dưới dạng ma trận:
)(
0
0
0
1000
0100
0010

00
1
2
1
0030201
1
2
1
tr
abx
x
x
x
aaaaaaaa
x
x
x
x
n
n
n
n
n

















+

































−−−−
=

















−
−
MM
K
K
MMMM
K
K
&
&
M
&
&
(2.18)

Tín hiệu ñầu ra của hệ thống:

[ ]

















==
−
n
n
x
x
x
x
xty
1
2
1
1
0001)( MK

Vậy hệ phương trình trạng thái của hệ thống viết lại dưới dạng tổng quát:




+=
+=
)()()(
)()()(
tDrtCxty
tBrtAxtx

&

Trong ñó:

















=
−
n
n
x
x
x
x
x
1

2
1
M ;
















−−−−
=
0030201
1000
0100
0010
aaaaaaaa
A
n
K
K

MMMM
K
K
;
















=
00
0
0
0
ab
B M


[

]
0001 K
=
C ; D = 0

18

 Ngoài ra ta có thể ñặt biến trạng thái theo phương pháp tổng quát như sau:
















+−=
−=
−=
−=
−
−

r
a
b
x
a
a
x
x
a
a
xx
x
a
a
xx
x
a
a
xx
n
n
n
nn
0
0
1
0
1
0
1

1
1
0
2
32
1
0
1
21
&
&
M
&
&

Biểu diễn dưới dạng véc tơ:
)(
0
0
0
000
100
010
001
00
1
2
1
0
01

02
01
1
2
1
tr
abx
x
x
x
aa
aa
aa
aa
x
x
x
x
n
n
n
n
n
n

















+

































−
−
−
−
=

















−−
−
MM
K
K
MMMM
K
K
&
&
M
&
&
(2.19)

Tín hiệu ñầu ra của hệ thống:

[ ]

















==
−
n
n
x
x
x
x
xty
1
2
1
1
0001)( MK

Hệ phương trình trạng thái của hệ thống vẫn có dạng tổng quát là:




+=
+=

)()()(
)()()(
tDrtCxty
tBrtAxtx
&

Trong ñó:

















=
−
n
n
x
x

x
x
x
1
2
1
M ;
















−
−
−
−
=
−
000

100
010
001
0
01
02
01
K
K
MMMM
K
K
aa
aa
aa
aa
A
n
n
;

















=
00
0
0
0
ab
B M


[
]
0001 K
=
C ; D = 0


19

Sơ ñồ cấu trúc trạng thái tương ứng như hình 2.4.

1
x
&
L

0
a
K
0
n
a
a
0
1n
a
a
−
0
2
a
a
0
1
a
a
n
x
&
n
x
1n
x
−
&
1n

x
−
3
x
2
x
&
2
x
)t(yx
1
=
)t(r
−
−
−
−
∫
∫ ∫
∫
L

Hình 2.4: Sơ đồ cấu trúc trạng thái
2. Trường hợp vế phải của phương trình vi phân mô tả hệ thống chứa đạo hàm của tín hiệu
vào (0<m < n)
Phương trình vi phân mô tả hệ thống:

)( )(
1
1

1
101
1
1
10
trb
dt
dr
b
dt
rd
b
dt
rd
btya
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a
mm
m
m
m
m
nn

n
n
n
n
++++=++++
−
−
−
−
−
−
(2.20)
Trước hết ta xét trường hợp: m = n-1
Quy tắc ñặt biến trạng thái như sau:
- Biến trạng thái thứ nhất ñặt bằng tín hiệu ñầu ra:
x
1
(t) = y(t)
- Các biến trạng thái thứ i (
ni ,2= ) ñược ñặt theo quy tắc:

)()()(
0
2
1
0
1
1
tr
a

b
x
a
a
txtx
ii
ii
−−
−
++=
&

Theo cách ñặt biến trạng thái như trên ta có hệ phương trình trạng thái:
x
1
= y

















−=+−=
−=−+−=
+−=
+−=
−−
−
1;
21;
0
1
0
.
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
2
32
0
0
1
0

1
21
nmr
a
b
x
a
a
x
nmr
a
b
x
a
a
xx
r
a
b
x
a
a
xx
r
a
b
x
a
a
xx

mn
n
mn
nn
&
&
M
&
&


Hệ phương trình trạng thái trên hoàn toàn tương ñương với phương trình vi phân 2.20. Ta
viết lại dưới dạng vec tơ như sau:

20

)(
000
100
010
001
0
01
01
00
1
2
1
0
01

02
01
1
2
1
tr
ab
ab
ab
ab
x
x
x
x
aa
aa
aa
aa
x
x
x
x
m
m
n
n
n
n
n
n

















+

































−
−
−
−
=

















−−−
−
MM
K
K
MMMM
K
K
&
&
M
&
&
(2.21)

[ ]

















=
−
n
n
x
x
x
x
ty
1
2
1
0001)( MK
Sơ ñồ cấu trúc trạng thái của hệ thống trong trường hợp tổng quát như hình 2.5.
1
x
&
0

1
a
b
L
L
0
0
a
b
0
1m
a
b
−
0
m
a
b
0
n
a
a
0
1n
a
a
−
0
2
a

a
0
1
a
a
n
x
&
n
x
1n
x
−
&
1n
x
−
3
x
2
x
&
2
x
)t(yx
1
=
)t(r
−
−

−
−
∫
∫
∫∫
L

Hình 2.5: Sơ đồ cấu trúc trạng thái cho trường hợp m = n-1
Ví dụ 2.3:
Cho hệ thống có phương trình vi phân:
)(1572)(1052
2
2
2
2
3
3
tr
dt
dr
dt
rd
ty
dt
dy
dt
yd
dt
yd
++=+++ (2.22)

Giải
- Đặt: x
1
= y






+−=
+−=
+−=
rxx
rxxx
rxxx
5.75.0
5.35
5.2
13
132
121
&
&
&

)3(
)2(
)
1

(
(2.23)
Hệ phương trình trạng thái là:

r
x
x
x
x
x
x










+





















−
−
−
=










5.7
5.3
1
005.0

105
015.2
3
2
1
3
2
1
&
&
&


21


[ ]










=
3
2

1
001
x
x
x
y
Việc chứng minh hệ phương trình trạng thái (2.23) tương ñương với phương trình vi phân
(2.22) cũng ñơn giản như sau: ñạo hàm hai vế phương trình (1), sau ñó thay phương trình (2)
vào ñược phương trình mới, lại ñạo hàm thêm một lần nữa, rồi thay phương trình (3) vào, thay
trở lại x
1
= y ta sẽ có ñược phương trình vi phân (2.22)
Trường hợp
1
0
−
<
<
n
m
chúng ta có thể tự suy ra cách ñặt biến trạng thái tương tự.
2.3. Mô tả hệ thống trong miền tần số
2.3.1 Mô hình hàm truyền
Mục 2.1.1 ta ñã biết một hệ thống ñiều khiển có thể ñược mô tả bởi một phương trình vi
phân, như vậy ñể xác ñịnh tín hiệu ra khi biết tín hiệu vào thì ta cần phải giải phương trình vi
phân mô tả hệ thống, nhưng với phương trình vi phân bậc cao (n > 2) thì việc giải phương
trình vi phân trở nên phức tạp. Phép biến ñổi Laplace sẽ giúp ta giải phương trình vi phân ñơn
giản hơn rất nhiều.
Phép biến ñổi Laplace:
Cho f(t) là hàm thời gian, xác ñịnh với mọi t ≥ 0, biến ñổi Laplace của f(t) là:

∫
∞
−
==
0
)(£[f(t)])( dtetfsF
st
(2.24)
Trong ñó:
£ -ký hiệu phép biến ñổi Laplace;
F(s) -là ảnh Laplace của f(t);
s -số phức, gọi là biến Laplace.
Với mỗi hàm f(t) cho trước chỉ có duy nhất một ánh xạ F(s) và ngược lại. Điều kiện ñể hàm
f(t) có biến ñổi Laplace là tích phân ở công thức (2.24) hội tụ.
Quá trình tìm hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s) ñược gọi là phép biến ñổi Laplace ngược và ký
hiệu là £
-1
, ñược tính theo công thức sau:
f(t) = £
-1
[F(s)] =
∫
C
ts
dsesF
j
)(
2
1
π

(s ≥ 0) (2.25)
với C là ñường cong kín ñược chọn trong miền s.
Một số tính chất của phép biến ñổi Laplace:
1. Tính tuyến tính: nếu hàm f
1
(t) có biến ñổi Laplace là (t)]£[f)(
11
=
sF và hàm f
2
(t) có biến
ñổi Laplace là (t)]£[f)(
22
=
sF thì:
£{a
1
f
1
(t) + a
2
f
2
(t)} = a
1
F
1
(s) + a
2
F

2
(s)
2. Ảnh của ñạo hàm: nếu hàm f(t) có biến ñổi Laplace là £[f(t)])(
=
sF thì:
£
)0()(
)(
+
−=






fssF
dt
tdf

Trong ñó f(0
+
) là ñiều kiện ñầu, nếu ñiều kiện ñầu bằng 0 thì: