Phương pháp sử dụng đạo hàm trong bài toán tim cực trị của hàm nhiều biến

KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN 12
1

A.
A.A.
A.

Lý do ch
Lý do chLý do ch
Lý do chọ
ọọ
ọn đ
n đn đ
n đề
ềề
ề

tài
tàitài
tài


Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là bài toán luôn có mặt hầu hết
trong các kỳ thi HSG và tuyển sinh Đại Học. Không những thế nó còn là bài toán hay
và khó nhất trong đề thi.

Trong chương trình giảng dạy và học tập bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhất nhỏ luôn là chủ đề hấp dẫn đối với người dạy lẫn người học. Việc giảng dạy để
làm sao cho học sinh học tốt chủ đề này luôn là môt vấn đề khó. Chủ đề này thường
dành cho học sinh giỏi nên các bài toán đưa ra thường hay và khó.
Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhất nhỏ nhất có nhiều
phương pháp, và không có phương pháp nào là vạn năng để giải được mọi bài toán
cực trị mà chỉ chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các bài toán mà thôi.
Một trong các phương pháp khá hiệu quả là dùng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư
tưởng cơ bản là khảo sát lần lượt từng biến, bằng cách xem các biến còn lại là tham số
cố định. Không có một thuật giải chi tiết nào cho phương pháp này mà chỉ thông qua
ví dụ để HS rèn luyện để tự mình tìm ra cách giải quyết như thế nào trong từng bài
toán cụ thể và từ đó tìm thấy sơ đồ giải cho riêng mình.
Vì những lý do trên chúng tôi viết chuyên đề này nhằm giúp học sinh có cái nhìn
rộng hơn về phương pháp sử dụng đạo hàm trong các bài toán chứng minh BĐT và
tìm GTLN, GTNN.
B.
B.B.
B.

N
NN
Nộ
ộộ
ội Dung
i Dungi Dung
i Dung


1.
1.1.

1. Phương pháp đưa v
Phương pháp đưa vPhương pháp đưa v
Phương pháp đưa về
ềề
ề

m
mm
mộ
ộộ
ột bi
t bit bi
t biế
ếế
ến
nn
n

trong các
trong cáctrong các
trong các

bài toán
bài toánbài toán
bài toán

hai bi
hai bihai bi
hai biế
ếế

ến
nn
n.

.




 Bi
Bi
Bi
Biế
ếế
ến đ
n đn đ
n đổ
ổổ
ổi gi
i gii gi
i giả
ảả
ả

thi
thithi
thiế
ếế
ết
tt

t

và bi
và bivà bi
và biể
ểể
ểu th
u thu th
u thứ
ứứ
ức c
c cc c
c cầ
ầầ
ần tìm c
n tìm cn tìm c
n tìm cự
ựự
ực tr
c trc tr
c trị
ịị
ị

đ
đđ
để
ểể
ể

tìm m
tìm mtìm m
tìm mố
ốố
ối quan h
i quan hi quan h
i quan hệ
ệệ
ệ

gi
gigi
giữ
ữữ
ữ

chúng r
chúng rchúng r
chúng rồ
ồồ
ồi
i i
i
tì
tìtì
tìm cách
m cáchm cách
m cách

đ

đđ
đặ
ặặ
ặt
t t
t ẩ
ẩẩ
ẩn ph
n phn ph
n phụ
ụụ
ụ

h
hh
hợ
ợợ
ợp lý
p lýp lý
p lý,
, ,
,

đưa
đưađưa
đưa

bi
bibi
biể

ểể
ểu th
u thu th
u thứ
ứứ
ức
cc
c

đ
đđ
đã cho v
ã cho vã cho v
ã cho về
ềề
ề

hà
hàhà
hàm m
m mm m
m mộ
ộộ
ột bi
t bit bi
t biế
ếế
ến đ
n đn đ
n để

ểể
ể

kh
khkh
khả
ảả
ảo sát.
o sát.o sát.
o sát.







Thí d
Thí dThí d
Thí d
ụ
ụụ
ụ



1:
1:1:
1:

Cho x, y là s
ố

th
ự
c và tho
ả

mãn
x
ଶ
+
y
ଶ
=
2
. Tìm giá tr
ị

l
ớ
n nh
ấ
t và giá tr
ị

nh
ỏ

nhất của biểu thức:

ܲ=2
ሺ
ݔ
ଷ
+ ݕ
ଷ
ሻ
− 3ݔݕ




ሺCao đ
ሺCao đሺCao đ
ሺCao đ
ẳ
ẳẳ
ẳ
ng kh
ng khng kh
ng kh
ố
ốố
ố
i A, B
i A, B i A, B
i A, B
–
––
–

2008ሻ
2008ሻ2008ሻ
2008ሻ



Ho
HoHo
Hoạ
ạạ
ạt đ
t đt đ
t độ
ộộ
ộng khám phá:
ng khám phá:ng khám phá:
ng khám phá:

-
Từ giả thiết
x
ଶ
+ y
ଶ
=2
có thể đưa bài toán về một ẩn không?

-
Ta nghĩ tới hằng đẳng thức:
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
=
ሺ
ݔ+ ݕ
ሻ
ଶ
− 2ݔݕ
;
ݔ
ଷ
+ ݕ
ଷ
=
ሺ
ݔ+ݕ
ሻሺ
ݔ
ଶ
−
ݔݕ+ݕ2

-
Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất hiện
x
ଶ

+ y
ଶ
để sử dụng giả thiết.

-
Biến đổi biểu thức P và thế vào
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
=2
ta có:
ܲ=2
ሺ
ݔ+ݕ
ሻሺ
ݔ
ଶ
− ݔݕ+ ݕ
ଶ
ሻ
−
3ݔݕ
= 2
ሺ
ݔ+ݕ
ሻሺ
2 − ݔݕ
ሻ
− 3ݔݕ

- Từ giả thiết:
ሺ
ݔ+
ݕ
ሻ
ଶ
− 2ݔݕ=2⇒ ݔݕ=
ሺ௫ା௬ሻ
మ
ିଶ
ଶ

www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN 12
2

Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể P về hàm một biến số nếu ta đặt:
ݐ=ݔ + ݕ

Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức:
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ

≥
ሺ
௫ା௬
ሻ
మ
ଶ

L
LL
Lờ
ờờ
ời gi
i gii gi
i giả
ảả
ải
ii
i
:
::
:


Ta có:



ܲ=2
ሺ
ݔ+ݕ

ሻሺ
ݔ
ଶ
− ݔݕ+ ݕ
ଶ
ሻ
− 3ݔݕ
= 2
ሺ
ݔ+ ݕ
ሻሺ
2 − ݔݕ
ሻ
− 3ݔݕ
Ta có: ݔݕ=
ሺ௫ା௬ሻ
మ
ିଶ
ଶ
, vì thế sau khi đặt ݐ=ݔ+ݕ, thì
ܲ
ሺ
ݐ
ሻ
=2ݐ
ቆ
2 −
ݐ
ଶ
− 2

2
ቇ
− 3
ݐ
ଶ
− 2
2
=−ݐ
ଷ
−
3
2
ݐ
ଶ
+ 6ݐ+ 3
Ta có: ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
≥
ሺ
௫ା௬
ሻ
మ
ଶ
⇒ሺݔ+ ݕሻ
ଶ
≤4⇒ −2≤ݐ≤2
Xét hàm số: ܲ
ሺ

ݐ
ሻ
=−ݐ
ଷ
−
ଷ
ଶ
ݐ
ଶ
+ 6ݐ+ 3 với −2≤ݐ≤2
Ta có: ܲ
ᇱ
ሺ
ݐ
ሻ
=−3ݐ
ଶ
− 3ݐ+6
Ta có bảng biến thiên

Vậy:
max
ሾ
ି
ଶ;ଶ
ሿ
݂
ሺ
ݐ
ሻ

=݂
ሺ
1
ሻ
=
ଵଷ
ଶ
khi
቎
ݔ=
ଵା
√
ଷ
ଶ
;ݕ=
ଵି
√
ଷ
ଶ

ݔ=
ଵି
√
ଷ
ଶ
;ݕ=
ଵା
√
ଷ
ଶ



min
ሾ
ି
ଶ; ଶ
ሿ
݂
ሺ
ݐ
ሻ
=݉݅݊
ሼ
݂
ሺ
−2
ሻ
; ݂
ሺ
2
ሻሽ
=݉݅݊
ሼ
−7; 1
ሽ
= −7 khi ݔ=ݕ=−1

t




-
2



1

2






P’ሺtሻ





−



0 +

Pሺtሻ








ଵଷ
ଶ





-
7




1

www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN 12
3




Thí d
Thí dThí d
Thí d
ụ
ụụ
ụ



2:
2:2:
2:

Cho x, y
≥
0

và x + y = 1. Tìm giá tr
ị

l
ớ
n nh
ấ
t và giá tr
ị

nh
ỏ

nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u
thức:
ܵ=
ሺ
4ݔ
ଶ
+ 3ݕ
ሻሺ
4ݕ
ଶ

+ 3ݔ
ሻ
+ 25ݔݕ



ሺĐ
ሺĐሺĐ
ሺĐ
ạ
ạạ
ạ
i h
i hi h
i h
ọ
ọọ
ọ
c kh
c khc kh
c kh
ố
ốố
ố
i D
i D i D
i D
–
––
–

2009ሻ
2009ሻ2009ሻ
2009ሻ

Ho
HoHo
Hoạ
ạạ
ạt đ
t đt đ
t độ
ộộ
ộng khám phá:
ng khám phá:ng khám phá:
ng khám phá:


-
Từ giả thiết x + y = 1

có thể đưa bài toán đã cho về một ẩn không?

-
Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện
ݔ+ ݕ
để sử dụng giả thiết.
Chú ý hằng đẳng thức:

ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
=
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ
ଶ
− 2ݔݕ

ݔ
ଷ
+ ݕ
ଷ
=
ሺ
ݔ+ݕ
ሻሺ
ݔ
ଶ
− ݔݕ+ ݕ
ଶ
ሻ

Sau khi khai triển và thế vào

x + y = 1, ta có:
ܵ=16ݔ
ଶ

ݕ
ଶ
− 2ݔݕ+ 12

-
Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể S về hàm một biến số nếu ta đặt:
ݐ=ݔݕ

Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức:
0≤ݔݕ≤
ሺ௫ା௬ሻ
మ
ସ

L
LL
Lờ
ờờ
ời gi
i gii gi
i giả
ảả
ải
ii
i
:
::
:

Ta có: ܵ=
ሺ
4ݔ
ଶ
+ 3ݕ
ሻሺ
4ݕ
ଶ
+ 3ݔ
ሻ
+ 25ݔݕ=16ݔ
ଶ
ݕ
ଶ
+ 12
ሺ
ݔ
ଷ
+ ݕ
ଷ
ሻ
+ 34ݔݕ
=16ݔ
ଶ
ݕ
ଶ
+ 12
ሺ
ݔ
+ ݕ

ሻሺ
ݔ
ଶ
− ݔݕ+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 34ݔݕ
= 16ݔ
ଶ
ݕ
ଶ
+ 12
ሾሺ
ݔ+ݕ
ሻ
ଶ
− 3ݔݕ
ሿ
+ 34ݔݕ
ሺ
݀݋ ݔ+ ݕ=1
ሻ

= 16ݔ
ଶ
ݕ
ଶ
− 2ݔݕ+12
ሺ
݀݋ ݔ+ ݕ=1

ሻ

Đặt xy = t. Ta có: do ݔ≥0,ݕ≥0 ݊ê݊ 0≤ݔݕ≤
ሺ௫ା௬ሻ
మ
ସ
=
ଵ
ସ
⇒ 0≤ݐ≤
ଵ
ସ

Xét hàm số: ݂
ሺ
ݐ
ሻ
=16ݐ
ଶ
− 2ݐ+ 12 với 0≤ݐ≤
ଵ
ସ
. Ta có: ݂
ᇱ
ሺ
ݐ
ሻ
=32ݐ − 2
Bảng biến thiên

t




0





ଵ
ଵ଺




ଵ
ସ





f’ሺtሻ

−




0


+



fሺtሻ


12





www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM

MÔN TOÁN 12
4

ଶହ
ଶ







ଵଽଵ
ଵ଺

Vậy: min
ቂ଴;
భ
ర
ቃ
݂
ሺ
ݐ
ሻ
=݂
ቀ
ଵ
ଵ଺
ቁ
=

ଵଽଵ
ଵ଺
khi
቎
ݔ=
ଶା
√
ଷ
ସ
;ݕ=
ଶି
√
ଷ
ସ

ݔ=
ଶି
√
ଷ
ସ
;ݕ=
ଶା
√
ଷ
ସ


max
ቂ଴;
భ

ర
ቃ
݂
ሺ
ݐ
ሻ
=݉ܽݔቄ݂
ሺ
0
ሻ
; ݂
ቀ
ଵ
ସ
ቁ
ቅ=݉ܽݔቄ12;
ଶହ
ଶ
ቅ=
ଶହ
ଶ
khi ݔ=ݕ=
ଵ
ଶ




Thí d
Thí dThí d

Thí d
ụ
ụụ
ụ



3
33
3
:
::
:

Tìm giá tr
ị

l
ớ
n nh
ấ
t, nh
ỏ

nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể

u th
ứ
c:

ܣ=3ሺݔ
ସ
+ ݕ
ସ
+ ݔ
ଶ
ݕ
ଶ
ሻ − 2
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 1
với x, y là các số thoả mãn điều kiện: ሺݔ+ ݕሻ
ଷ
+ 4ݔݕ≥2.






ሺĐ

ሺĐሺĐ
ሺĐ
ạ
ạạ
ạ
i h
i hi h
i h
ọ
ọọ
ọ
c kh
c khc kh
c kh
ố
ốố
ố
i B
i B i B
i B
–
––
–



2009ሻ
2009ሻ2009ሻ
2009ሻ

Ho
HoHo
Hoạ
ạạ
ạt đ
t đt đ
t độ
ộộ
ộng khám phá:
ng khám phá:ng khám phá:
ng khám phá:


-
Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để dễ sử dụng
hơn. Chú ý hằng đẳng thức:
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
=
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ
ଶ
− 2ݔݕ

ݔ

ଷ
+ ݕ
ଷ
=
ሺ
ݔ+ݕ
ሻሺ
ݔ
ଶ
− ݔݕ+ ݕ
ଶ
ሻ

và
ሺݔ+ ݕሻ
ଶ
≥4ݔݕ
. Khi đó điều kiện bài toán trở thành:
ݔ+ݕ≥1

-
Ta biến đổi được A như sau:
ܣ=3
ሺ
ݔ
ସ
+ ݕ
ସ
+ ݔ
ଶ

ݕ
ଶ
ሻ
− 2
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 1

=
ଷ
ଶ
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
ଶ
+
ଷ
ଶ
ሺݔ
ସ
+ ݕ
ସ
ሻ − 2

ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 1


≥

ଷ
ଶ
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
ଶ
+
ଷ൫௫
మ
ା௬
మ
൯
మ
ସ
− 2
ሺ

ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 1

ሺdo
ݔ
ସ
+ ݕ
ସ
≥
൫௫
మ
ା௬
మ
൯
మ
ଶ
ሻ
hay
ܣ≥

ଽ
ସ
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ

ଶ
ሻ
ଶ
− 2
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 1

-
Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc đưa có thể A về hàm một biến số được
không?ሺnếu ta đặt:
ݐ=ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
-
Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức:
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
≥
ሺ
௫ା௬
ሻ

మ
ଶ

L
LL
Lờ
ờờ
ời gi
i gii gi
i giả
ảả
ải
ii
i
:
::
:




Theo bất đẳng thức hiển nhiên: ሺݔ+ݕሻ
ଶ
≥4ݔݕ, nên từ
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ
ଷ
+ 4ݔݕ≥2⇒
ሺ

ݔ+ ݕ
ሻ
ଷ
+
ሺ
ݔ+ ݕ
ሻ
ଶ
≥
ሺ
ݔ+ ݕ
ሻ
ଷ
+ 4ݔݕ≥2
www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN 12
5

⇒
ሺ
ݔ
+ ݕ
ሻ
ଷ

+
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ
ଶ
≥2
⇒ ሾሺx+yሻ-1ሿሾ
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ
ଶ
+
ሺ
ݔ+ ݕ
ሻ
+ 2ሿ≥0
⇒ ሺx+yሻ - 1≥0
ሺdo
ሺ
ݔ+ ݕ
ሻ
ଶ
+
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ
+ 2= ቂ
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ

+
ଵ
ଶ
ቃ
ଶ
+
଻
ସ
>0,∀ݔ, ݕሻ
Bài toán được đưa về tìm min, max của:
ܣ=3ሺݔ
ସ
+ ݕ
ସ
+ ݔ
ଶ
ݕ
ଶ
ሻ − 2
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 1
với x, y thoả mãn: x+y ≥1.
Ta biến đổi A như sau:
ܣ=3
ሺ

ݔ
ସ
+ ݕ
ସ
+ ݔ
ଶ
ݕ
ଶ
ሻ
−
2
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 1
=
ଷ
ଶ
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
ଶ
+
ଷ

ଶ
ሺݔ
ସ
+ ݕ
ସ
ሻ − 2
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 1
≥
ଷ
ଶ
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
ଶ
+
ଷ൫௫
మ
ା௬
మ
൯
మ

ସ
− 2
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 1
ሺdo ݔ
ସ
+ ݕ
ସ
≥
൫௫
మ
ା௬
మ
൯
మ
ଶ
ሻ
hay ܣ≥
ଽ
ସ
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ

ሻ
ଶ
− 2
ሺ
ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
ሻ
+ 1
Vì ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
≥
ሺ
௫ା௬
ሻ
మ
ଶ
ሺdo x+y ≥1ሻ nên ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
≥
ଵ
ଶ

Đặt ݐ=ݔ
ଶ

+ ݕ
ଶ

Ta có: ݂
ሺ
ݐ
ሻ
=
ଽ
ସ
ݐ
ଶ
− 2ݐ+ 1 với ݐ≥
ଵ
ଶ

⇒ ݂
ᇱ
ሺ
ݐ
ሻ
=
ଽ
ସ
ݐ− 2
Ta có bảng biến thiên:


t

ସ
ଽ

ଵ
ଶ




+
∞




f’ሺtሻ







+

fሺtሻ





ଽ
ଵ଺







+
∞


Vậy min
௧ஹ
భ
మ
݂
ሺ
ݐ
ሻ
=݂
ቀ
ଵ

ଶ
ቁ
=
ଽ
ଵ଺
xẩy ra khi t =
ଵ
ଶ

Suy ra ܣ≥
ଽ
ଵ଺
. Mặt khác ta dễ thấy ݔ=ݕ=
ଵ
ଶ
thì ܣ=
ଽ
ଵ଺

Tóm lại: minA =
ଽ
ଵ଺
khi ݔ=ݕ=
ଵ
ଶ




Thí d

Thí dThí d
Thí d
ụ
ụụ
ụ



4:
4:4:
4:

Cho hai s
ố

th
ự
c x, y ሺkhác 0ሻ

thay đ
ổ
i tho
ả

mãn
đi
ề
u ki
ệ
n:

ሺ
ݔ
+
ݕ
ሻ
ݔݕ
=
ݔ
ଶ
+
ݕ
ଶ
−
ݔݕ


Tìm giá tr
ị

l
ớ
n nh
ấ
t

c
ủ
a bi
ể
u th

ứ
c:

www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN 12
6

ܣ
=
1
ݔ
ଷ
+
1
ݕ
ଷ







ሺĐ

ሺĐሺĐ
ሺĐ
ạ
ạạ
ạ
i h
i hi h
i h
ọ
ọọ
ọ
c kh
c khc kh
c kh
ố
ốố
ố
i A
i Ai A
i A



–
––
–



2006

20062006
2006
ሻ
ሻሻ
ሻ

Ho
HoHo
Hoạ
ạạ
ạt đ
t đt đ
t độ
ộộ
ộng khám phá:
ng khám phá: ng khám phá:
ng khám phá:


-
Từ giả thiết
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ
ݔݕ=ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
− ݔݕ
có thể đưa bài toán về ít ẩn hơn không?

-
Biến đổi biểu thức A, ta được:

ܣ=
ݔ
ଷ
+ ݕ
ଷ
ݔ
ଷ
ݕ
ଷ
=
ሺ
ݔ+ ݕ
ሻ
ሺݔ
ଶ
− ݔݕ+ ݕ
ଶ
ሻ
ݔ
ଷ
ݕ
ଷ
=
൬
ݔ+ݕ
ݔݕ

൰
ଶ
=
൬
1
ݔ
+
1
ݕ
൰
ଶ

-
Do giả thiết là biểu thức mà số mũ trong các hạng tử ở vế trái lớn hơn vế phải nên ta
đặt x = ty thì ta có thể rút được x hoặc y theo t:
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ
ݔݕ=ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
− ݔݕ

⟹
đặt x =
ty
⟹ ݕ=
௧
మ

ି௧ାଵ
௧
మ
ା௧
;ݔ=ݐݕ=
௧
మ
ି௧ାଵ
௧ାଵ

-
Vậy đến đây ta có thể đưa có thể A về hàm một biến t. Đến đây ta khảo sát hàm biến t
là đi đến được kết quả.
L
LL
Lờ
ờờ
ời gi
i gii gi
i giả
ảả
ải
ii
i
:
::
:


Từ giả thiết, ta có:

ܣ=
1
ݔ
ଷ
+
1
ݕ
ଷ
=
ݔ
ଷ
+ ݕ
ଷ
ݔ
ଷ
ݕ
ଷ
=
ሺ
ݔ+ ݕ
ሻ
ሺݔ
ଶ
− ݔݕ+ ݕ
ଶ
ሻ
ݔ
ଷ
ݕ
ଷ

=
൬
ݔ+ ݕ
ݔݕ
൰
ଶ
=
൬
1
ݔ
+
1
ݕ
൰
ଶ

Đặt: ݔ=ݐݕ
từ giả thiết
ሺ
ݔ+ݕ
ሻ
ݔݕ=ݔ
ଶ
+ ݕ
ଶ
− ݔݕ ⟹
ሺ
ݐ
+ 1
ሻ

ݐݕ
ଷ
=ሺݐ
ଶ
− ݐ+ 1ሻݕ
ଶ

do đó: ݕ=
௧
మ
ି௧ାଵ
௧
మ
ା௧
;ݔ=ݐݕ=
௧
మ
ି௧ାଵ
௧ାଵ

Từ đó
ܣ=
൬
1
ݔ
+
1
ݕ
൰
ଶ

=
ቆ
ݐ
ଶ
+ 2ݐ+1
ݐ
ଶ
− ݐ+ 1
ቇ
ଶ

Xét hàm số:
݂
ሺ
ݐ
ሻ
=
ݐ
ଶ
+ 2ݐ+ 1
ݐ
ଶ
− ݐ+1
ܿó ݂
ᇱ
ሺ
ݐ
ሻ
=
−3ݐ

ଶ
+ 3
ሺ
ݐ
ଶ
− ݐ+ 1
ሻ
ଶ

Ta có bảng biến thiên:




t



−
∞





-
1


1

+
∞






f’ሺtሻ




-

+
-

www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN 12
7

fሺtሻ

1


4


0




1

Vậy: GTLN của A là: ݂
ଶ
ሺ
1
ሻ
=16 khi ݔ=ݕ=
ଵ
ଶ
.
2.
2.2.
2. Phương pháp kh
Ph

ương pháp khPhương pháp kh
Phương pháp khả
ảả
ảo sát l
o sát lo sát l
o sát lầ
ầầ
ần lư
n lưn lư
n lượ
ợợ
ợt t
t tt t
t từ
ừừ
ừng bi
ng bing bi
ng biế
ếế
ến
nn
n

trong bài toán
trong bài toántrong bài toán
trong bài toán

ba bi
ba biba bi
ba biế

ếế
ến.
n.n.
n.



Đ
ĐĐ
Đố
ốố
ối v
i vi v
i vớ
ớớ
ới b
i bi b
i bấ
ấấ
ất đ
t đt đ
t đẳ
ẳẳ
ẳng th
ng thng th
ng thứ
ứứ
ức nhi
c nhic nhi
c nhiề

ềề
ều bi
u biu bi
u biế
ếế
ến, ta có th
n, ta có thn, ta có th
n, ta có thể
ểể
ể

kh
khkh
khả
ảả
ảo sát l
o sát lo sát l
o sát lầ
ầầ
ần lư
n lưn lư
n lượ
ợợ
ợt t
t tt t
t từ
ừừ
ừng bi
ng bing bi
ng biế

ếế
ến m
n mn m
n mộ
ộộ
ột b
t bt b
t bằ
ằằ
ằng
ng ng
ng
cách
cách cách
cách

ch
chch
chọ
ọọ
ọn m
n mn m
n mộ
ộộ
ột bi
t bit bi
t biế
ếế
ến làm tham s
n làm tham sn làm tham s

n làm tham số
ốố
ố

bi
bibi
biế
ếế
ến thiên và c
n thiên và cn thiên và c
n thiên và cố
ốố
ố

đ
đđ
đị
ịị
ịnh các bi
nh các binh các bi
nh các biế
ếế
ến còn l
n còn ln còn l
n còn lạ
ạạ
ại, bài toán
i, bài toán i, bài toán
i, bài toán
lúc này tr

lúc này trlúc này tr
lúc này trở
ởở
ở

thành b
thành bthành b
thành bấ
ấấ
ất đ
t đt đ
t đẳ
ẳẳ
ẳng th
ng thng th
ng thứ
ứứ
ức m
c mc m
c mộ
ộộ
ột bi
t bit bi
t biế
ếế
ến.
n.n.
n.

Luô

LuôLuô
Luôn có tâm th
n có tâm thn có tâm th
n có tâm thế
ếế
ế

nhìn
nhìnnhìn
nhìn

bi
bibi
biể
ểể
ểu th
u thu th
u thứ
ứứ
ức
cc
c

nhi
nhinhi
nhiề
ềề
ều
u u
u

bi
bibi
biế
ếế
ến
n n
n mà ta c
mà ta cmà ta c
mà ta cầ
ầầ
ần tì
n tìn tì
n tìm
m m
m GTLN, GTNN dư
GTLN, GTNN dưGTLN, GTNN dư
GTLN, GTNN dướ
ớớ
ới d
i di d
i dạ
ạạ
ạng
ngng
ng

là
làlà
là

m
mm
mộ
ộộ
ột
t t
t

hàm s
hàm shàm s
hàm số
ốố
ố

đ
đđ
để
ểể
ể

ta s
ta sta s
ta sử
ửử
ử

d
dd
dụ
ụụ

ụng đư
ng đưng đư
ng đượ
ợợ
ợc
c c
c
công c
công ccông c
công cụ
ụụ
ụ

hi
hihi
hiệ
ệệ
ệu qu
u quu qu
u quả
ảả
ả

trong
trong trong
trong gi
gigi
giả
ảả
ải

ii
i

toán
toán toán
toán là đ
là đlà đ
là đạ
ạạ
ạo hàm
o hàmo hàm
o hàm.

.





Sơ đ
Sơ đSơ đ
Sơ đồ
ồồ
ồ

t
tt
tổ
ổổ
ổng quát

ng quátng quát
ng quát




Gi
GiGi
Giả
ảả
ả

s
ss
sử
ửử
ử

tìm c
tìm ctìm c
tìm cự
ựự
ực tr
c trc tr
c trị
ịị
ị

c
cc

củ
ủủ
ủa bi
a bia bi
a biể
ểể
ểu th
u thu th
u thứ
ứứ
ức ba bi
c ba bic ba bi
c ba biế
ếế
ến x, y, z: Pሺx, y, zሻ
n x, y, z: Pሺx, y, zሻn x, y, z: Pሺx, y, zሻ
n x, y, z: Pሺx, y, zሻ

v
vv
vớ
ớớ
ới đi
i đii đi
i điề
ềề
ều ki
u kiu ki
u kiệ
ệệ

ện T nào đó.
n T nào đó.n T nào đó.
n T nào đó.


•
Bư
BưBư
Bướ
ớớ
ớc 1:
c 1:c 1:
c 1:

Xem
Xem Xem
Xem Pሺx, y, zሻ là hàm theo bi
Pሺx, y, zሻ là hàm theo biPሺx, y, zሻ là hàm theo bi
Pሺx, y, zሻ là hàm theo biế
ếế
ến x, còn y, z la h
n x, còn y, z la hn x, còn y, z la h
n x, còn y, z la hằ
ằằ
ằng s
ng sng s
ng số
ốố
ố. Kh
. Kh. Kh

. Khả
ảả
ảo sát
o sát o sát
o sát
hàm này tìm c
hàm này tìm chàm này tìm c
hàm này tìm cự
ựự
ực tr
c trc tr
c trị
ịị
ị

v
vv
vớ
ớớ
ới đi
i đii đi
i điề
ềề
ều ki
u kiu ki
u kiệ
ệệ
ện T.
n T.n T.
n T.

Ta đư
Ta đưTa đư
Ta đượ
ợợ
ợc:
c: c:
c:
ࡼሺ࢞,࢟,ࢠሻ≥ࢍ
ሺ
࢟,ࢠ
ሻ
ሺࢎ࢕ặࢉ ࡼሺ࢞,࢟,ࢠሻ≤ࢍ
ሺ
࢟,ࢠ
ሻ
ሻ



•
Bư
BưBư
Bướ
ớớ
ớc 2:
c 2:c 2:
c 2:

Xem gሺy, zሻ là

Xem gሺy, zሻ làXem gሺy, zሻ là
Xem gሺy, zሻ là

hàm bi
hàm bihàm bi
hàm biế
ếế
ến y, còn z là
n y, còn z làn y, còn z là
n y, còn z là

h
hh
hằ
ằằ
ằng s
ng sng s
ng số
ốố
ố. Kh
. Kh. Kh
. Khả
ảả
ảo sát hàm nà
o sát hàm nào sát hàm nà
o sát hàm này v
y vy v
y vớ
ớớ
ới

i i
i
đi
điđi
điề
ềề
ều ki
u kiu ki
u kiệ
ệệ
ện T. Ta đư
n T. Ta đưn T. Ta đư
n T. Ta đượ
ợợ
ợc
c c
c
ࢍ
ሺ
࢟,ࢠ
ሻ
≥ࢎ
ሺ
ࢠ
ሻ
ሺࢎ࢕ặࢉ ࢍሺ࢟,ࢠሻ≤ࢎ
ሺ
ࢠ
ሻ
ሻ

•
Bư
BưBư
Bướ
ớớ
ớc 3:
c 3:c 3:
c 3:

Cu
CuCu
Cuố
ốố
ối cùng
i cùng i cùng
i cùng Kh
KhKh
Khả
ảả
ảo sát hàm m
o sát hàm mo sát hàm m
o sát hàm mộ
ộộ
ột bi
t bit bi
t biế
ếế

ến
n n
n hሺ
hሺhሺ
hሺz
zz
zሻ
ሻሻ
ሻ

v
vv
vớ
ớớ
ới đi
i đii đi
i điề
ềề
ều ki
u kiu ki
u kiệ
ệệ
ện T
n T n T
n T tìm
tìmtìm
tìm

min,
min, min,

min,
max
maxmax
max

c
cc
củ
ủủ
ủa hàm này
a hàm nàya hàm này
a hàm này.

.






Ta đi đ
Ta đi đTa đi đ
Ta đi đế
ếế
ến k
n kn k
n kế
ếế
ết lu
t lut lu

t luậ
ậậ
ận:
n: n:
n:
ࡼ
ሺ
࢞,࢟,ࢠ
ሻ
≥ࢍ
ሺ
࢟,ࢠ
ሻ
≥ࢎ
ሺ
ࢠ
ሻ
≥࢓






ሺࢎ࢕ặࢉ ࡼሺ࢞,࢟,ࢠሻ≤ࢍ
ሺ
࢟,ࢠ
ሻ
≤ࢎ
ሺ

ࢠ
ሻ
≤ࡹሻ








Thí d
Thí dThí d
Thí d
ụ
ụụ
ụ



5:
5:5:
5:

Cho hai s
ố

th
ự
c x, y, z

là 3 s
ố

th
ự
c thu
ộ
c
ሾ
1
;
4
ሿ

và
ݔ
≥
ݕ
,
ݔ
≥
ݖ
. Tìm giá tr
ị

nh
ỏ

nhất của biểu thức:

ܲ=
ݔ
2ݔ+ 3ݕ
+
ݕ
ݕ +ݖ
+
ݖ
ݖ +ݔ







ሺĐ
ሺĐሺĐ
ሺĐ
ạ
ạạ
ạ
i h
i hi h
i h
ọ
ọọ
ọ
c kh
c khc kh

c kh
ố
ốố
ố
i A
i A i A
i A
–
––
–



2011ሻ
2011ሻ2011ሻ
2011ሻ

Ho
HoHo
Hoạ
ạạ
ạt đ
t đt đ
t độ
ộộ
ộng khám phá:
ng khám phá: ng khám phá:
ng khám phá:

-
Khảo sát lần lượt từng biến như thế nào?


-
Xem P là một hàm theo biến z, con x, y là hằng số. Khảo sát hàm số với điều kiện đã
cho suy ra GTNN của P, tức là
ܲሺݔ,ݕ,ݖሻ≥ܲሺݔ,ݕሻ

-
Khảo sát hàm Pሺx, yሻ, ở đây có thể đưa Pሺx, yሻ về hàm một biến không?
-
Bằng cách đặt ẩn phụ
ݐ=
ට
௫
௬
để đưa
ܲሺݔ,ݕሻ
về hàm một biến. Tìm GTNN của hàm
một biến
-
Vậy
ܲ
ሺ
ݔ, ݕ,ݖ
ሻ
≥ܲ
ሺ
ݔ,ݕ

ሻ
=ܲሺݐሻ≥
ଷସ
ଷଷ

L
LL
Lờ
ờờ
ời gi
i gii gi
i giả
ảả
ải
ii
i:
::
:
www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN 12
8

Ta có:
ܲ

=
ݔ
2ݔ+ 3ݕ
+
ݕ
ݕ+ ݖ
+
ݖ
ݖ +ݔ

Xem đây là hàm theo biến z; còn x, y là hằng số.
ܲ
ᇱ
ሺ
ݖ
ሻ
=
−
ݕ
ሺݕ+ ݖሻ
ଶ
+
ݔ
ሺݖ +ݔሻ
ଶ
=
ሺ
ݔ−ݕ
ሻ
ሺݖ

ଶ
− ݔݕሻ
ሺ
ݕ + ݖሻ
ଶ
ሺݖ+ ݔሻ
ଶ

Theo giả thiết: ݔ≥ݕ⇒ݔ −ݕ≥0 nếu ܲ≥0⇔ݖ≥
ඥ
ݔݕ ሺdo x, y, z ∈
ሾ
1;4
ሿ
ሻ



t







ඥ
ݔݕ

P’ሺz
ሻ






-


0

+



Pሺz
ሻ

min

Từ bảng biến thiên:
ܲ≥ܲ൫
ඥ
ݔݕ
൯=
௫
ଶ௫ାଷ௬
+
ଶ
√
௬
√
௫ା
√
௬

=
ೣ
೤
ଶ
ೣ
೤
ାଷ
+
ଶ
ଵା

ට
ೣ
೤

Đặt ݐ=
ට
௫
௬
, do ݔ≥ݕ,ݔ≥ݖ và x, y, z ∈
ሾ
1;4
ሿ
nên 1≤ݐ≤2.
Xét hàm
݂
ሺ
ݐ
ሻ
=
௧
మ
ଶ௧
మ
ାଷ
+
ଶ
ଵା௧

݂
ᇱ

ሺ
ݐ
ሻ
=
ିଶൣସ௧
య
ሺ
௧ିଵ
ሻ
ାଷሺଶ௧
మ
ି௧ାଷሻ൧
ሺଶ௧
మ
ାଷሻ
మ
ሺଵା௧ሻ
మ
<0,∀ ݐ∈
ሾ
1;2
ሿ

Suy ra fሺtሻ giảm trên
ሾ
1;2
ሿ
, do đó ܲ≥ܲ൫
ඥ
ݔݕ

൯=݂
ሺ
ݐ
ሻ
≥݂
ሺ
2
ሻ
=
ଷସ
ଷ
ଷ

www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN 12
9

Đẳng thức xẩy ra:
ቐ
ݖ
=
ඥ
ݔݕ
ݐ=

ට
௫
௬
=2
⇒ݔ=4,ݕ=1,ݖ=2


Vậy: ܲ
௠௜௡
=
ଷସ
ଷଷ
݇ℎ݅ ݔ=4,ݕ=1,ݖ=2



Thí d
Thí dThí d
Thí d
ụ
ụụ
ụ



6:
6:6:
6:

Cho hai s

ố

th
ự
c
ܽ
,
ܾ
,
ܿ

là 3 s
ố

th
ự
c thu
ộ
c
ቂ
ଵ
ଷ
;
3
ቃ
.

Tìm giá tr
ị

l
ớ
n

nh
ấ
t c
ủ
a bi
ể
u
thức:
ܲ
=
ܽ
ܽ
+
ܾ
+
ܾ
ܾ
+
ܿ
+
ܿ
ܿ
+
ܽ

Ho
HoHo
Hoạ
ạạ
ạt đ
t đt đ
t độ
ộộ
ộng khám phá:
ng khám phá: ng khám phá:
ng khám phá:


-
Khảo sát lần lượt từng biến như thế nào?


-
Xem P là một hàm theo biến a, còn b, c là hằng số. Khảo sát hàm số với điều kiện đã
cho, suy ra GTLN của P của, tức là
ܲሺܽ,ܾ,ܿሻ≤݃ሺܾ,ܿሻ



-
Xem Pሺb, cሻ là một hàm theo biến c, còn b là hằng số. Khảo sát hàm số với điều kiện
đã cho, suy ra GTLN của Pሺb, cሻ, tức là
݃ሺ ܾ,ܿሻ≤ℎሺܾሻ

-
Tiếp theo khảo sát hàm hሺbሻ suy ra
ℎሺܾሻ≤
଼
ହ



-
Vậy:
ܲሺܽ,ܾ,ܿሻ≤݃ሺܾ,ܿሻ≤ℎሺܾሻ≤
଼
ହ



L
LL
Lờ
ờờ
ời gi
i gii gi
i giả
ảả
ải
ii
i
:
::

:
Đặt

ܲሺܽሻ=
ܽ
ܽ+ ܾ
+
ܾ
ܾ+ ܿ
+
ܿ
ܿ+ ܽ

Xem đây là hàm theo biến a; còn b, c là hằng số.
ܲ
ᇱ
ሺ
ܽ
ሻ
=
ܾ
ሺܽ+ ܾሻ
ଶ
−
ܿ
ሺܽ+ ܿሻ
ଶ
=
ሺ
ܾ− ܿ

ሻ
ሺܽ
ଶ
− ܾܿሻ
ሺܽ+ ܾሻ
ଶ
ሺܽ+ ܿሻ
ଶ

•
Trường hợp 1:
ܽ≥ܾ≥ܿ và ܽ,ܾ,ܿ ∈ቂ
ଵ
ଷ
;3ቃ
Suy ra: ܾ− ܿ≥0; ܽ
ଶ
− ܾܿ≥0 nên ܲ
ᇱ
ሺ
ܽ
ሻ
≥0. Do đó: Pሺaሻ tăng trên ቂ
ଵ
ଷ
;3ቃ
⇒ܲ
ሺ
ܽ
ሻ

≤ܲ
ሺ
3
ሻ
=
3
3 + ܾ
+
ܾ
ܾ+ ܿ
+
ܿ
ܿ+3
=݃
ሺ
ܿ
ሻ

ሺxem gሺcሻ là hàm theo biến cሻ
Mặt khác
݃
ᇱ
ሺ
ܿ
ሻ
=
−
ܾ
ሺܾ+ ܿሻ
ଶ

+
3
ሺܿ+ 3ሻ
ଶ
=
ሺ
ܾ− 3
ሻ
ሺ3ܾ− ܿ
ଶ
ሻ
ሺܾ+ ܿሻ
ଶ
ሺܿ +3ሻ
ଶ
≤0
www.VNMATH.com
KHÁM PHÁ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG BÀI
TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

Gv Thái Văn Duẩn

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN 12
10

Do đó: gሺcሻ giảm trên ቂ
ଵ
ଷ
;3ቃ

⇒݃
ሺ
ܿ
ሻ
≤݃
൬
1
3
൰
=
3
3 + ܾ
+
3ܾ
3ܾ+ 1
+
1
10
=ℎሺܾሻ
ሺxem hሺbሻ là hàm theo biến bሻ
Ta có
ℎ
ᇱ
ሺ
ܾ
ሻ
=
3
ሺ
3ܾ+ 1ሻ

ଶ
−
3
ሺܾ+ 3ሻ
ଶ
=
ሺ
1 − ܾ
ሻ
ሺ1 + ܾሻ
ሺ3ܾ+ 1ሻ
ଶ
ሺܾ +3ሻ
ଶ

Ta có bảng biến thiên:



b


ଵ
ଷ





1

3


h
’
ሺb
ሻ







+

-



hሺbሻ

଼
ହ








Suy ra ℎ
ሺ
ܾ
ሻ
≤ℎ
ሺ
1
ሻ
=
଼
ହ

Vậy: ܲ
ሺ
ܽ,ܾ,ܿ
ሻ
≤ܲ
ሺ
3,ܾ,ܿ
ሻ

≤ܲ
ቀ
3,ܾ,
ଵ
ଷ
ቁ
≤ܲ
ቀ
3,1,
ଵ
ଷ
ቁ
=
଼
ହ
khi ܽ=3;ܾ=1;ܿ=
ଵ
ଷ
.
•
Trường hợp 2:
ܿ≥ܾ≥ܽ và ܽ,ܾ,ܿ ∈ቂ
ଵ
ଷ
;3ቃ
Từ kết quả của trường hợp 1, ta có: ܲሺܿ,ܾ,ܽሻ≤
଼
ହ

Mặt khác:

ܲ
ሺ
ܽ,ܾ,ܿ
ሻ
− ܲ
ሺ
ܿ,ܾ,ܽ
ሻ
=
=
ሺ
ܽ− ܾ
ሻሺ
ܾ− ܿ
ሻሺ
ܽ− ܿ
ሻ
ሺ
ܽ+ ܾ
ሻሺ
ܾ+ ܿ
ሻሺ
ܽ+ ܿ
ሻ
≤0
⇒ܲሺܽ,ܾ,ܿሻ≤
8
5

Vậy ܯܽݔ ܵ=

଼
ହ
, xẩy ra khi và chỉ khi
ሺ
ܽ,ܾ,ܿ
ሻ
=ቄ
ቀ
3,1,
ଵ
ଷ
ቁ
;
ቀ
ଵ
ଷ
,3,1
ቁ
;
ቀ
3,
ଵ
ଷ
,1
ቁ
ቅ



Thí d

Thí dThí d
Thí d
ụ
ụụ
ụ



7:
7:7:
7:


Cho ba

s
ố

th
ự
c

dương

ܽ
,
ܾ
,
ܿ

th
ả
o mãn
đi
ề
u ki
ệ
n
:

abc + a + c = b


www.VNMATH.com