Những bài toán vật lý hay

Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org

NH NG B I TO N V T Lí HAY
Bài 1 : Xác định dao động tự do của
dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x
= 0 và x = l, biết độ lệch ban đầu
đợc cho bởi u(x,0) = (0 x l) còn vận tốc ban đầu bằng 0.
Giải :
Gọi u(x,t) là độ lệch của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t.
Ta có phơng trình dao động của
dây : (1)
Theo bài ra, ta có :
điều kiện ban đầu :
(2)

và điều kiện biên :
(3)
Theo lý thuyết, ta
có nghiệm riêng
của phơng trình (1)
thoả mãn điều kiện biên (3) có dạng : u(x,t) = (4)
Ta xác định a
k
, b
k
sao cho u(x,t) thoả mãn điều kiện ban đầu (2)
Thay (4) vào (2) :
(5)
(6)
Giải (5) : Nhận thấy a

k
là hệ
số trong khai triển thành
chuỗi Fourier theo hàm sin trong
khoảng (0, l).
Nhân 2 vế của (5) với rồi lấy tích phân 2 vế từ 0 l ta có :
(7)
VT = =
VT =
(8)
VP =
Ta có : I
1
=
I
2
=
I
2
= -
Nên VP =
VP
=
(9)
2
)(4
l
xlx
2
2

2
2
2
x
u
a
t
u


=


( )







=



=
=
=
0
4

0
2
0
t
t
x
u
l
xlx
u
0
0
=
=x
u
0=
=lx
u
l
xk
l
atk
b
l
atk
atxu
k
k
k
k

k

sin).sincos(),(
11
+=


=

=
2
1
0
)(4
sin
l
xlx
l
xk
au
k
k
t

==


=
=

0sin
1
0
==




=
=
l
xk
l
ak
b
t
u
k
k
t

2
)(4
l
xlx
l
xk

sin
dx

l
xk
l
xlx
dx
l
xk
a
ll
k

sin
)(4
sin
0
2
2
0


=
l
k
l
k
l
k
l
xk
k

l
x
a
dx
l
xk
adx
l
xk
a
0
0
2
0
sin
222
cos1
sin






=

=

2
l
a
k
2
l
a
k








l l
dx
l
xk
xdx
l
xk
xl
l
0 0
2
2

sin.sin
4








k
k
l
l
xk
k
l
l
xk
x
k
l
dx
l
xk
x
l
o
l
o

l
cossincos sin.
2
22
2
0
=+=

dx
l
xk
x
k
l
l
xk
x
k
l
dx
l
xk
x
l
l
o
l

cos.
2
cos sin.
0
2
0
2

+=
33
3
33
33
2
cos
2
cos





k
l
k
k
l
k

k
l
+






++
33
33
33
33
2
2
coscos
2
cos
4







k
l
k

k
l
k
k
l
k
k
l
l









k
k
l
k
l
l
cos
224
33
3
33
3

2
nÕu
nÕu
Th nh Viên Tu i H c Tròà ổ ọ
123doc.org
Thay (8) (9) vµo (7) ta cã :
a
k
=
=
(n=0,1,2 )
u(x,t) = .
)cos1(
2
.
8
33
3
3
π
π
k
k
l
l
−
( )






+
=−
3
3
33
12
32
0
)cos1(
16
π
π
π
n
k
k
( )
l
xn
l
atn
n
n
ππ
π
)12(
sin
)12(

cos
12
132
0
33
++
+
∑
∞
=
nÕu < π/2
nÕu > π/2
cx −
cx −
nk 2=
12
+=
nk
Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
Nên
Giải(4) :
* =-c
2
X(x)=
c
1
.e
-cx
+c

2
.e
cx

* = 0 X(x) = c
1
.x + c
2

c
2
= A
0

ứng với trị riêng = 0 thì ta có hàm riêng tơng ứng X
0
(x) = A
0

(5) có nghiệm : T
0
(t) = B
0
.t + D
0
u
0
(x,t) = a
0
+ b

0
t
* =c
2
X(x) = c
1
cos cx + sin
cx
Để có nghiệm không tầm thờng thì sin cl = 0 cl = k c = khi đó
c
1
=A
k
nên
và
do đó
nghiệm riêng của phơng trình (1) :

nghiệm của
pt (1) :
Từ (2) (6)

(7)
Nhận thấy a
0
, a
k
và b
0
, b

k
là các hằng số trong khai triển f(x),F(x) thành chuỗi Fourier theo hàm cosin
trong khoảng (0,l).
Từ (6)
(7)
Vì u
0
(x,t) là 1
nghiệm riêng
của (1) nên




=+
=+
)5(0
)4(0"
2''
TaT
XX





=
=

=+=


=+=



=
=
0
0
0
0
2
1
21
21
0
c
c
eccecc
x
u
cccc

x
u
clcl
lx
x



=
=








=+=


=+=


=
=
0
0
0
0

1
2
21
21
0
c
c
cccc
x
u
cccc
x
u
lx
x
0.
2
0
==


=
cc
x
u
x
0sin
1
==

=
clcc
x
u
lx
l
k

l
xk
AxX
k

cos)( =
l
atk
D
l
atk
BtT
kk

sincos)( +=
( )
l
xk
l
atk
b

l
atk
atxu
kkk

cossincos,






+=


=






+++=
1
00
cossincos),(
k
kk
l
xk

l
atk
b
l
atk
atbatxu

)(cos
0
0
0
xf
l
xk
aau
k
k
t
=+=


=
=

)(cos
0
0
0
xF
l

xk
l
ak
bb
t
u
k
k
t
=+=




=
=

l
ak


=+
ll
k
l
dxxfdx
l
xk
adxa
000

0
)(cos


=+
ll
k
l
dxxFdx
l
xk
l
ak
bdxb
000
0
)(cos

( )
( )





=


=
)(0,

)(0,
0
0
xFx
t
u
xfxu

=
ll
dxxfdxa
00
0
)(

=
l
dxxf
l
a
0
0
)(
1

=
=
000
000
DAa
BAb
Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
(8)
(9)
Tơng tự u
k
(x,t) là nghiệm
riêng của (1)

(10)
(11)
Vậy nghiệm của bài toán :
u(x,t) = a
0
+ b
0
t + .
Trong đó : a
0
, b
0
, a

k
, b
k
đợc xác định bởi (8) ,
(19) , (10) , (11)
Bài 5 : Một thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén cho nên độ dài của nó còn lại là
2l(1-). Lúc t = 0, ngời ta buông ra. Chứng minh rằng độ lệch của thiết diện có
hoành độ x ở thời điểm t đợc cho bởi:
nếu gốc hoành độ
đặt ở tâm của
thanh.
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ có gốc trùng với tâm của thanh . Trục ox dọc theo thanh
Theo bài ra, thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén
thì độ dài còn lại của nó là 2l(1-) Do đó khi trục
dịch chuyển 1 đoạn là x thì thanh bị nén x(1-)
độ lệch u(x,0) = x(1-) x = - x
Gọi u(x,t) là độ lệch của mặt cắt x ở thời điểm t
Xét tiết diện có hoành độ x, do thanh đồng chất
nên ở thời điểm t nó bị nén đến vị trí x(1 - ) và
có độ lệch u(x,0) = - .x = f(x).
Phơng trình dao động của thanh :
(1)
Theo bài ra, tại thời điểm t = 0 ng-
ời ta buông ra tức vận tốc ban đầu = 0 chứng tỏ hai đầu mút của thanh đều tự do
ta có điều kiện biên : ;
(2)
và điều kiện ban đầu : ;
(3)
Tìm nghiệm của phơng trình (1) dới dạng u(x,t) = X(x).T(t) (4)

Từ (4) và (1)
ta có :
Bây giờ ta đi tìm nghiệm của phơng trình (5) thoả mãn điều kiện :
X(-l) = 0 ; X(l) = 0 (7)

==
ll l
dxxF
l
bdxxFdxb
0
0
0 0
0
)(
1
)(
( ) ( )
( )





=


=
)(0,
0,

xFx
t
u
xfxu
k
k

=
ll
k
dx
x
xk
xfdx
x
xk
a
00
2
cos)(cos


=
l
k
dx
l
xk
xf
l

a
0
cos)(
2


==
l l l
kk
dx
l
xk
xF
ak
bdx
l
xk
xFdx
l
xk
l
ak
b
0 0 0
2
cos)(
2
cos)(cos

l
xk
l
atk
b
l
atk
a
k
kk

cossincos
1


=






+
l
atn
l
xn
n
l

txu
n
n



)12(
cos
)12(
sin
)12(
)1(8
),(
0
2
1
2
++
+

=


=
+
2
2
2
2
2

x
u
a
t
u


=


0
0
=


=x
x
u
0=


=lx
x
u
)(.
0
xfxu
t
==
=

0
0
=


=t
t
u
( )
( )



=+
=+
)6(0)("
)5(0)("
2
tTatT
xXxX


Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
Giải (5) : Đặt X = e
rx
ta có phơng trình đặc trng của (5) : r
2
+ = 0

= -c
2
X(x) = c
1
e
-cx
+ c
2
e
cx

Từ (7) c
1
= c
2
= 0 (loại)
= 0 X(x) = c
1
x + c
2

Theo (7) : c
2
0 và c
2
=
A
0
Nên X
0

(x) = A
0

ứng với trị riêng = 0 thì (6) có nghiệm : T
0
(t) = B
0
t + D
0

nên ta có nghiệm riêng của (1) u
0
(x,t) = a
0
+ b
0
t (a
0
= A
0
D
0
; b
0
= A
0
B
0
) (8)
= c

2
X(x) = c
1
cos cx + c
2
sin cx
Theo (7) :
Để (4) có nghiệm không tầm thờng thì sincl = 0 hoặc coscl = 0
+ Xét sincl = 0 cl = k c = và c
1
= A
k

phơng trình (5) có nghiệm :
ứng với phơng trình (6) có
nghiệm tổng quát :

Ta có nghiệm riêng của (1) thoả mãn điều kiện biên (2) :
(9)
+ Xét coscl = 0

và
Nên nghiệm riêng
của (1) thoả mãn điều
kiện biên (2) :

(10)
Từ (8),(9),(10)
ta có nghiệm của phơng trình (1) thoả mãn điều kiện biên (2) chính là tổng của các
nghiệm riêng của u(x,t) :

Từ điều kiện ban đầu (3) :


(11)



==
==
0)('
0)('
1
1
clX
clX



=
=




=+
=+

=+=


=+=


=
=
0cos
0sin
0cossin
0cossin
0)cos()sin(
0)cos()sin(
2
1
21
21
21
21
clc
clc
clcclc
clcclc
clccclccc
x

u
clccclccc
x
u
lx
lx
l
k

( )
l
xk
AxX
kk

sin=
2






==
l
k
k


( )

l
atk
D
l
atk
BtT
kkk

sincos +=
( )
l
xk
l
atk
b
l
atk
atxu
kkk

cossincos,






+=

=
=
kkk
kkk
DAb
BAa
2
)12(

+
=
n
cl
l
n
c
2
)12(

+
=
( )
l
xn
AxX
nn
2
)12(
sin

+
=
( )
( ) ( )
l
atn
D
l
atn
BtT
nnn
2
12
sin
2
12
cos

+
+
+
=
( )
l
xn
l
atn
b
l

atn
atxu
nnn
2
)12(
sin
2
)12(
sin
2
)12(
cos,

+






+
+
+
=



=
=
nnn

nnn
DAb
BAa
( ) ( )
( )
l
xn
l
atn
b
l
atn
a
l
xk
l
atk
b
l
atk
atbatxu
n
nn
k
kk
2
12
sin
2
12

sin
2
12
cos
cossincos),(
0
1
00



+






+
+
+
+
+






+++=

=

=
x
l
xn
a
l
xk
aau
n
n
k
k
t
.
2
)12(
sincos
01
0
0


=

++=

=

=
=
Th nh Viên Tu i H c Tròà ổ ọ
123doc.org
(12)
Tõ (12) ⇒
b
0
= b
k
= b
n
= 0 (13)
LÊy tÝch ph©n 2 vÕ cña (11) theo x cËn tõ (-l → l)
v× b
0
= 0 ⇒
u
0
(x,t) = a
0

v× u
0
(x,t) lµ 1 nghiÖm riªng nªn u
0

(x,o) = -εx
⇒ a
0
= -εx → lÊy tÝch ph©n 2 vÕ
⇒ ⇒ 2a
0
l = (l
2
- l
2
) = 0 ⇒
a
0
= 0 (14)
v× b
k
= 0 ⇒ u
k
(x,t) = a
k
cos cos
v× u
k
(x,t) lµ 1 nghiÖm riªng cña (1) nªn u
k
(x,0) = - εx
Nh©n 2 vÕ víi cos vµ lÊy tÝch ph©n 2 vÕ cËn tõ (-l → l)
VT =
0
2

)12(
sin
2
)12(
cos
01
0
0
=
++
++=
∂
∂
∑∑
∞
=
∞
=
=
l
xn
l
an
b
l
xk
b
l
ak
b

t
u
n
nk
k
t
ππππ
dxxdx
l
xn
adx
l
xk
adxa
l
l
l
l
n
l
l
k
l
l
∫∫∫∫
−−−−
−=
−
++ .
2

)12(
sincos
0
ε
ππ
dxxdxa
l
l
l
l
∫∫
−−
−=
ε
0
l
l
l
l
x
xa
−
−
−=
2
2
0
ε
2
ε

l
atk
π
l
xk
π
l
xk
π
dx
l
xk
xdx
l
xk
a
l
l
l
l
k
π
ε
π
cos.cos
2
∫∫
−−
−=
la

l
k
k
l
x
a
dx
l
xk
a
k
l
l
k
l
l
k
=






+=+
−
−
∫
π
π

π
2
sin
22
)
2
cos1(
2
dx
l
xk
x
l
l
∫
−
−
π
ε
cos.
∫
−
−
+−
l
l
l
l
dx
l

xk
k
l
l
xk
x
k
l
π
π
π
π
sinsin
Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
và

mà

nên

(15)
Thay (14), (15) vào (12) :
(16)
Thay (12) và (16) vào (11) ta có :


(17)
Từ (4), (9), (17) ta có nghiệm của (1) :
Bài 9: Tìm nghiệm của phơng

trình
Với điều kiện ban đầu ban đầu
bằng 0 và điều kiện biên ;
Giải :
Tơng tự bài 8) ta tìm
nghiệm của pt
(1)
dới dạng : u(x,t) = V(x) + W(x,t) (2)
Với V(x) thoả mãn phơng
trình :
(3)
thoả mãn điều kiện biên : ;
(4)
Với W(x) thoả mãn phơng

=
l
dx
l
xk
shxI
0
2
sin

3
2
0
0
2

coscoscos. I
k
l
kshl
k
l
dx
l
xk
chx
k
l
l
xk
shx
k
l
I
l
l







+=+=

dx

l
xk
chxI
l

=
0
3
cos

2
0
0
3
sinsin. I
k
l
dx
l
xk
shx
k
l
l
xk
chx
k
l
I
l

l





==




k
shll
I
k
l
I
k
l
shl
k
l
I
k
k
.)1(
1)1(
1
2
22

2
2
22
22
2
+

=








+=
222
1
2
)1(


kl
kshll
I
k
+

=

+
( )
2222
1
2
1
222
11
2
2)1(.2)1( )1(.)1(2





kla
kshlb
ka
shlb
kl
kshll
k
shll
la
b
a
kkkk
k
+

+

=






+



=
++++
( )
l
xk
l
atk
kla
kshlb
ka
b
txW
k
k
k

sincos
2)1(2)1(
),(
2222
1
1
2
1






+

+

=
+

=
+

l
xk
l
atk

kl
k
a
shlb
l
xk
l
atk
k
a
b
shxshl
l
x
a
b
txu
k
k
k
k




sincos
)(
)1(2
sincos
)1(2

),(
1
222
1
2
1
22


=
+

=
+

+

+






=
)(
2
2
2
2

2
lxbx
x
u
a
t
u
+


=


0
0
=
=x
u
0=
=lx
u
)(
2
2
2
2
2
lxbx
x
u

a
t
u
+


=


)(
2
2
lxbx
t
V
=


0
0
=
=x
V
0=
=lx
V
2
2
2
2

x
W
t
W


=


nếu k=2n
nếu k=2n+1
Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
trình : (5)
thoả mãn điều kiện biên : ;
(6)
Giải (3) :
Từ (4)

(7)
Ta có điều kiện ban đầu
của pt (3) :
(8)
Mà phơng trình (5) có
nghiệm :


(9)
Từ (2) và (8)
(10)

Từ (9) và (10)

=
=
=
=
=
=
=
=
0
0
=
=x
W
0=
=lx
W
1
232
23
)(')(" cx
bl
x
b
xVblxbxxV ++=+=
21
34
612
)( cxcx

bl
x
b
xV +++=





==++=
==
3
11
4
4
2
12
0
612
)(
0)0(
l
b
clc
bl
l
b
lV
cV
x

bl
x
bl
x
b
xV
12612
)(
3
34
+=







=


+=
=
=
0
12612
0
334
0
t

t
t
V
xl
b
x
bl
x
b
V
( )
l
xk
l
atk
b
l
atk
atxw
k
kk

sinsincos,
1


=

+=







=


+==
=
==
0
)2(
12
0
323
00
t
tt
t
W
llxxx
b
VW

==
+=



=

=
00sin
)2(
12
sin
1
323
1
k
k
k
k
k
b
l
xk

b
l
ak
llxxx
b
l
xk
a


( )
1
0
334
6
sin2
6
I
l
b
dx
l
xk
xllxx
l
b
a
l
k
=+=

( )
=+=

dx
l
xk
xllxxI
l

sin2
0
334
1
( ) ( )
dx
l
xk
llxx
k
l
l
xk
xllxx
k
l
l
l

cos64cos2
0
323
0
334

+++
( )
dx
l
xk
llxx
k
l
l


cos64
0
323

+
( ) ( )

++

dx
l
xk
xlx
k
l
l
xk
llxx
k
l
k
l
l
l




sin1212sin64
0
2
0
323

( )
dx
l
xk
xlx
k
l
l


sin1212
0
2
22
2


( )
( )








+

dx

l
xk
lx
k
l
l
xk
xlx
k
l
k
l
l
l





cos2
12
cos
12
0
0
2
22
2
( )
dx

l
xk
lx
k
l
l


cos2
12
0
33
3


( )








+
ll
l
xk
k
l

l
xk
lx
k
l
0
22
2
0
33
3
cos
2
sin2
12




)1cos(
24
55
5
1
=


k
k
l

I
( )





+
5
5
5
12
48
0

n
l
Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org

(11)
Thay (11) vào (9) :
(12)
Từ (2), (7), (12) ta
có nghiệm của bài toán đã cho :

Bài 10 :
Tìm dao
động của sợi dây gắn chặt tại 2 mút biết dạng của sợi dây ban
đầu là cung parabol f(x) = và vận tốc ban đầu bằng không , đồng thời g(x,t)

= g với g là hằng số dơng đủ nhỏ .
Giải :Ta tìm nghiệm của phơng
trình (1)
thoả mãn các điều kiện biên
(2)
và các điều kiện ban đầu
(3)
dới dạng : u(x,t) = V(x,t) + w(x,t) (4)
trong đó :
hàm V(x,t) thoả mãn phơng
trình :
(5)
thoả mãn các điều
kiện biên (6)
và các điều kiện ban
đầu
55
4
)12(
8

+
=
n
bl
a
k


=

+
++
=
0
55
4
)12(
)12(
sin
)12(
cos
8
),(
n
n
l
xn
l
atn
bl
txW




=
+
++
++=
0

55
4
323
)12(
)12(
sin
)12(
cos
8
)2(
12
),(
n
n
l
xn
l
atn
bl
llxxx
b
txu


( )
M
xlx
g
x
u

a
t
u
+


=


2
2
2
2
2
0;0
0
==
== lxx
uu
( )
0
0
;
=
=


=
t
t

t
u
M
xlx
u
g
x
v
a
t
v
+


=


2
2
2
2
2
0;0
0
==
== lxx
vv
0;0
0
0

=


=
=
=
t
t
t
v
v
Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
(7)
còn hàm w(x,t) thoả mãn phơng
trình :
(8)
thoả mãn các điều
kiện biên : (9)
và các điều kiện
ban đầu
(10)
Trớc hết ta giải phơng trình (5) thoả mãn điều kiện (6) :
Nghiệm của phơng trình (5) đợc tìm dới dạng :

(11)
Ta sẽ xác định T
k
(t) sao cho (11) thoã mãn phơng trình (5) với các điều kiện ban
đầu (7) :

Thế (11) vào (5) ta đợc :
(12)
Giả sử g có thể khai triển đợc thành chuỗi Fourier theo hàm sin trong khoảng
(0,l) :
trong đó
(13)


(14)
Từ (12),(13),(14) ta có phơng trình :

2
2
2
2
2
x
w
a
t
w


=


0;0
0
==
== lxx

ww
( )
0;
0
0
=


=
=
=
t
t
t
w
M
xlx
w
l
xk
tTtxV
k
k

sin)(),(
1


=
=

( ) ( )
g
l
xk
tT
l
ak
tT
k
kk
=






+


=

sin
0
2
222
"
l
xk
fg

k
k

sin
1


=
=
dx
l
xk
g
l
f
l
k

=
0
sin
2

( )
1cos
2
cos
2
0
==

k
k
g
l
xk
k
g
f
l
k
( )
[ ]
k
k
k
g
f 11
2
=

( ) ( ) ( )
[ ]
k
kk
k
g

tT
l
ak
tT 11
2
2
222
"
=+


( ) ( )
[ ]
k
kkk
ak
gl
l
atk
B
l
atk
AtT 11
2
sincos
233
2
++=

Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
Đây là phơng trình tuyến tính cấp hai có hệ số là hằng số , phong trình này có
nghiệm : (15)
Từ (7),(11) và (15) ta có :

nên (15) đợc viết lại :


(16)
Thay (16) vào (11) ta
có :

(17)
Ta biết nghiệm của phơng trình (8) thoả mãn điều kiện biên (9) là :

(18)
Từ điều kiện ban đầu (10) ta có :

(19)

từ (19)

=
=
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
11

2
011
2
0
233
2
233
2
==+=
k
k
k
kk
ak
gl
A
ak
gl
AT

( )
000
'
===
kkk
BB
l
ak
T

( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
kk
k
ak
gl
l
atk
ak
gl
tT 11
2
cos11
2
233
2
233
2
+=



( )
( )
( )
323
2
12

12
cos1
4
+






+

=
n
l
atn
a
gl
tT
n


( )
( ) ( )
l
xn
l
atn
n
a

gl
txV
n


12
sin
12
cos1
12
14
),(
0
323
2
+






+

+
=


=
l

xk
l
atk
b
l
atk
atxW
k
kk

sinsincos),(
1


=






+=
( )
M
xlx
l
xk
aw
k
k

t

==


=
=

sin
1
0
0sin.
0
0
==




=
=
l
xk
b
l
ak
t
w
k
k

t

0=
k
b
( )
dx
l
xk
xlx
M
dx
l
xk
a
ll
k

sin
1
sin
0
22
0

=
( )
( )

+=

l
o
l
o
k
l
xk
xl
k
l
l
xk
xlx
k
l
M
l
a

cos2cos
1
2
.
2
( )










=
ll
k
l
xk
k
l
l
xk
xl
k
l

Ml
a
0
22
2
0
cos
2
sin2
2




( )
1cos
4
33
2



k
Mk
l
( )
[ ]
k
Mk
l

11
4
33
2


Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org

nên w(x,t) = (20)
Từ (4) ,(17) ,(20) ta có nghiệm của bài toán :

Hay
Dạng 2 :
Bài toán có điều kiện biên khác 0

Nghiệm của phơng trình :
(2.1) trong miền ( 0<x<l , 0<tT),
thoả mãn các
điều kiện biên : (2.2) ( 0tT )
và các điều kiện ban đầu :
(2.3) ( 0xl )
dới dạng u(x,t) = V(x,t) +
W(x,t) (2.4)
trong đó , hàm V(x,t) thoả mãn
phơng trình : (2.5) trong
miền ( 0<x<l , 0<tT ) , thoả
mãn các điều kiện biên :

(2.6) ( 0tT )

và nghiệm của phơng trình (2.5) đợc tìm dới dạng:
V(x,t) = X(x).T(t) (2.7)
còn hàm W(x,t) thoả mãn phơng
trình : (2.8) trong
miền (0<x<l,0<tT) , thoả mãn
các điều kiện biên :
(2.9) (0tT)
các điều kiện ban đầu :
(2.10) ( 0xl )
( )
Mn
l
a
k
3
3
2
12
8

+
=
( )
( ) ( )
l
xn
l
atn
n
M

l
n


12
sin
12
cos
12
18
0
33
2
++
+


=
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
l
xn
l
atn
n
M
l
l

xn
l
atn
n
a
gl
txu
n
n




12
sin
12
cos
12
18
12
sin
12
cos1
12
1
4
),(
0
33
2

0
323
2
++
+
+
+
+






+

+
=



=

=
( )
( ) ( )
l
xn
a
g

l
atn
a
g
M
n
l
txu
n


12
sin
12
cos
2
12
14
),(
22
0
33
2
+

+
+







+
=


=
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u


=


( ) ( )

tutu
lxx
21
0
;

==
==
( ) ( )
xF
t
u
xfu
t
t
=


=
=
=
0
0
;
2
2
2
2
2
x

v
a
t
v


=


( ) ( )
tvtv
lxx
21
0
;

==
==
2
2
2
2
2
x
w
a
t
w

=


0;0
0
==
== lxx
ww
( )
( )





=





=


==
===
===
xF
t
v

t
u
t
w
xfvuw
ttt
ttt
1
000
1
000
Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
Việc giải phơng trình (2.8) thoả mãn điều kiện biên (2.9) hoàn toàn giống phơng
pháp của dạng 1 ở phần 1.1

Sau đây là một số bài tập :
Bài 1 : Xác định dao động của 1 dây gắn chặt ở mút x = 0 còn mút x = l chuyển
động theo quy luật Asint, biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng 0.
Giải :
Gọi u(x,t) là độ lệch của dây ở thời điểm t
phơng trình dao động :

(1) trong miền
Thoả mãn điều kiện biên : ;
(2)
Thoả mãn điều kiện đầu : ;
(3)
Ta tìm nghiệm của (1) dới dạng tổng
của 2 hàm: u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) (4)

trong đó :
hàm w(x,t) thoả mãn phơng
trình : (5)
thỏa mãn điều kiện
biên : ; (6)
v(x,t) thoả mãn phơng trình
thuần nhất (7)
thỏa mãn điều kiện
biên : (8)
và thỏa
mãn điều
kiện đầu : (9)
Ta tìm nghiệm w(x,t) của
phơng trình (5) dới dạng : W(x,t) = X(x).T(t) (10)
Thay (10) vào (5) ta có :

Từ (6) và (10) ta có :
Để có nghiệm không tầm th-
ờng tức T(t) 0 thì X(0) = 0; X(l) = B (13)
Khi đó :
(14)
Thay (14) vào
(12) : =
Thay =
vào (11) :
Đặt

Từ (13) :
2
2

2
2
2
x
u
a
t
u


=








<
<<
Tt
lx
0
0
0
0
=
=x
u

tAu
lx

sin=
=
0
0
=
=t
u
0
0
=


=t
t
u
2
2
2
2
2
x
w
a
t
w

=


0
0
=
=x
w
tAw
lx

sin=
=
2
2
2
2
2
x
v
a
t
v


=

=
==
=
===
0
0
000
lx
xxx
v
wuv







=





=

=
====
==
0000
00
tttt
tt
t
w
t
w
t
u
t
v
wv
)12(
)11(
0)()("
0)()("
2



=+
=+
tTatT
xXxX

0)().0(
0
==
=
tTXw
x
tAtTlXw
lx

sin)().( ==
=
t
B
A
tT

sin)( =
0sinsin
22
=+ t
B
A
at
B
A

2

a

2






a

0)()("
2
=






+ xX
a
xX

rx
exX =)(
0

2
2
=






+
a
r

i
a
r
a
ir =






=

2
22
a
x

c
a
x
cxX

sincos)(
21
+=
Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
(15)
Từ (10),
(14), (15)
ta có :

(16)
Từ (16) ta có điều kiện ban
đầu của phơng trình (5) :

(17)
Nghiệm của phơng trình (7)
thoả mãn điều kiện biên (8) có
dạng:
(18)
Từ (9) và (17) ta có điều kiện
ban đầu của (7) : (19)
Từ (18) và (19) ta có :

(20)
(21)

Giải (20) : a
k
= 0
(22)
Giải (21) :


=
=
=
(23)





==
==
B
a
l
clX
cX
.
sin)(
0)0(
2
1

a

l
B
c
.
sin
2

=
a
x
a
l
B
xX
.
sin
.
sin
)(


=
t
B
A
a
x
a
l
B

txW



sinsin
sin
),( =
x
a
t
a
l
A
txW



sin.sin
.
sin
),( =







=

=
=
=
a
l
a
x
A
t
W
W
t
t
.
sin
.
sin
0
0
0



l
axk
l
atk
b
l

atk
atxV
k
kk

sinsincos),(
1


=






+=







=


=
=
=

a
l
a
x
A
t
V
V
t
t
.
sin
.
sin
0
0
0



0sin
1
=


=
l
xk
a
k

k

a
l
a
x
A
l
xk
l
ak
b
k
k
.
sin
.
sin.
sin
1




=


=
dx
l

xk
a
x
a
l
A
dx
l
xk
l
ak
b
ll
k



sin
.
sin
.
sin
.
sin
0
2
0

=
I

a
l
Al
l
ak
b
k
=
.
sin
.
2


dxx
l
k
a
x
l
k
a
dx
l
xk
a
x
I
ll

+






==
00
coscos
2
1
sin
.
sin

dxx
l

k
a
x
l
k
a
ll












+








00
coscos

2
1

=


















+
+

ll
x
l
k
a
l
k
a
x
l
k
a
l
k
a
00
sin
1
sin
1
2
1

+






+









l
k

a
k
a
l
l
k
a
k
a
l






sinsin
2
1
22
.sin)1(
2
sin)1(
2
sin)1(

=






+










l
k
a

l
k
a
l
l
k
a
a
l
l
k
a
a
l
kkk

=

=
+
+
22
1
22
1
.
.2.)1(
sin.)1(
sin
.
2
l
k
a
la
A
l
k
a
l
a
l

k
a
l
A
ak
b
k
k
k








Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
thay (22), (23) vào (18) ta đợc:

(24)
Từ (4), (16), (24)
ta có nghiệm của
bài toán đẵ cho :

Bài 2 : Tìm
dao động
dọc của một
thanh đồng

chất mà 1 mút cố định, còn mút kia chịu tác dụng của lực Q(lên một đơn vị diện
tích) dọc theo thanh, biết độ lệch và vận tốc ban đầu bằng 0.
Giải :
Ta có phơng trình dao động của
thanh : (1)
thoả mãn điều kiện đầu : ;
(2)
thoả mãn điều kiện biên : - 1 đầu mút
cố định
- 1 đầu mút chịu tác dụng của 1 lực Q lên 1 đơn vị
diện
tích : (3)
Ta tìm nghiệm dới dạng : u(x,t) =
v(x,t) + w(x,t) (4)
Trong đó hàm v(x,t) thoả mãn ph-
ơng trình thuần nhất : (5)
thoả mãn điều kiện
biên : ; (6)
còn hàm w(x,t) thoả mãn phơng
trình : (7)
thoả mãn điều kiện
biên : ; (8)
và thoả mãn điều kiện đầu
: ; (9)
* Ta tìm nghiệm v(x,t) của phơng trình (5) dới dạng :
v(x,t) = X(x).T(t) (10)
Thay (10) vào (5) :
Từ (6) và (10) :
Để hệ có nghiệm không
đồng nhất bằng 0 thì T(t) 0

(13)
Thay (13) vào (12) ta có = 0 X(x) = c
1
x + c
2
Nên là nghiệm của (11)
Nghiệm riêng của (5) :
(14)
l
xk
l
atk
l
k
a
la
A
txV
k
k



sinsin
)1(
.
2
),(
1

22
1


=
+






















=
l

xk
l
atk
l
ak
l
Aa
a
l
tx
a
A
txU
k
k







sinsin
)1(2
.
sin
sin.sin
),(
1
2

2
1


=
+








+=
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u


=

0
0
=
=t
u
0
0
=


=t
t
u
0
0
=
=x
u
Q
x
u
E
lx
=


=
E
Q
x

u
lx
=


=
2
2
2
2
2
x
v
a
t
v


=


0
0
=
=x
v
E
Q
x
v

lx
=


=
2
2
2
2
2
x
w
a
t
w


=


0
0
=
=x
w
0=


=lx
x

w
00 ==
=
tt
vw
00 ==


=


tt
t
v
t
w
)12(
)11(
0)()("
0)()("
2



=+
=+
tTatT
xXxX

=
=
E
Q
(l).T(t)X'
0X(0).T(t)
BlX =)('
EB
Q
tT
.
)( =



==
==
0c(l)X'
0cX(0)
1
2
xBxX =)(
x
E
Q

txV =),(
Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
Điều kiện ban đầu của phơng
trình(5) là : (15)
* Theo lý thuyết ,phơng trình (7)
thoả mãn điều kiện biên (8) có
nghiệm :

W(x,t) =
Ta có điều kiện ban đầu
:
(16)

VT =
VP =
VP =
=

(17)
Từ (16) và (17) ta có nghiệm của phơng trình (7) thoả mãn điều kiện (8),(9) là:

(18)
Từ (14) và (18) ta có nghiệm của bài toán :

II Phơng
trình sóng 2 chiều :
Dạng 3 : Dao động của màng hình chữ nhật

Ta tìm nghiệm của phơng trình :

(3.1)
trong miền {(x,y)G , 0<tT}







=


=
=
=
0
.V
0
0
t
t
t
V
x
E
Q
l
xk
l

atk
b
l
atk
a
k
kk
2
)12(
sin
2
)12(
sin
2
)12(
cos
0

+






+
+
+

=


=
=
=
+
=
0
0
2
)12(
sin
k
k
t
x
E
Q
l
xk
aW



=
=
==
++
=

0
0
00
2
)12(
sin
2
)12(
k
kk
t
b
l
xk
l
ak
b
t
W

dx
l
xk
x
E
Q
dx
l

xk
a
ll
k
2
)12(
sin
2
)12(
sin
0
2
0

+
=
+

l
a
l
xk
k
l
x
a
dx
l
xk
a

k
l
o
k
l
k
2
)12(
sin
)12(2
)12(
cos1
2
0
=






+
+
=

+





( )
dx
l
xk
x
E
Q
l

+

0
2
12
sin

l
xk
k
l
k
l
l
xk

k
xl
l
2
)12(
sin
)12(
2
)12(
2
2
)12(
cos
)12(
.2
0




+
++
+
+
+

( )
( )
2
2

2
22
22
12
41
2
)12(
sin
)12(
4
2
)12(
cos
)12(
2





+

=
+
+
+
+
+

k

lxk
k
lxk
k
l
k
( )
( )
2
1
2
12
18
+

=
+
k
E
Ql
a
k
k

l
xk
l
atk
kE
QL

txW
k
k
2
)12(
sin
2
)12(
cos
)12(
)1(8
),(
0
2
1
2


++
+

=


=
+
l
xk
l
atk

kE
QL
x
E
Q
txU
k
k
2
)12(
sin
2
)12(
cos
)12(
)1(8
),(
0
2
1
2


++
+

+=


=

+










+


=


2
2
2
2
2
2
2
y
u
x
u
a
t

u
Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
thoả mãn các điều kiện ban đầu :
(3.2)
với xác định trong miền G
và thoả mãn các điều kiện
biên :

(3.3)
dới dạng : u(x,y,t) = V(x,y).T(t) (3.4)
Khi đó ta có các phơng trình
:
Từ (3.3) và (3.4) ta có
: (3.7)
trong đó hàm V(x,y) có
dạng : V(x,y)=X(x).Y(y) (3.8)
Từ (3.6) và (3.8) ta đợc :
với
Giải (3.9) ,(3.10) và kết hợp
điều kiện (3.7) ta tìm đợc nghiệm V(x,y)
ứng với trị riêng ta hoàn toàn tìm đợc nghiệm của phơng trình (3.5) .
Sau đây là một số bài toán cụ thể :

Bài 1: Một màng hình vuông
đồng chất lúc t = 0 có độ lệch
đợc xác định bởi trong đó 0 x b, 0 y b, dao động với vận tốc ban đầu bằng
0, mép gắn chặt. Hãy xác định dao động của màng.
Giải :
Gọi u(x,y,t) là độ lệch của màng tại điểm (x,y) ở thời điểm t TMPT

(1)

thoả mãn điều kiện
ban đầu : (2)
và thoả mãn điều kiện biên : (3)
Ta tìm nghiệm riêng của (1) thoả mãn điều kiện biên (3) có dạng :
u(x,y,t) = V(x,y).T(t) (4)
Thay (4) vào (1) :


Từ (3), (4)
(3)

Ta tìm nghiệm của phơng
trình (6) dới dạng : V(x,y) = X(x).Y(y) (7)
( ) ( )
yx
t
u
yxu
t
t
,;,
0
0

=

=
=
=
( ) ( )
yxyx ,;,

( )
( )
0,,
,
=
Gyx
tyxu





=+


+


=+
)6.3(0
)5.3(0)()('
2
2
2

2
2
v
y
v
x
v
tTatT


( )
0),(
,
=
Gyx
yxv



=+
=+
)10.3(0)()("
)9.3(0)()("
yYyY
xXxX



+=
))((

0
ybxbAxyu
t
=
=










+


=


2
2
2
2
2
2
2
y
u

x
u
a
t
u













Tt
by
bx
0
0
0





=

=
=
=
0
)(
0
0
t
t
t
u
xbAxyu
0=
c
u
)(),()("
2
2
2
2
2
tT
y
v
x
v
ayxVtT

+


=

=

=
V
V
tTa
tT
)(
)("
2
00)(. ==
cc
VtTV
)6(
)5(
0

0)(.)("
2



=+
=+
VV
tTatT


Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
nên từ (6) và (7) ta có :


Từ (3), (7)
(10)
(11)
Giải (8) :
với

Giải (9) :
là hàm
riêng của (6) ứng với trị riêng :
Thay = c
2
kn
vào (5) ta
có nghiệm riêng của

(5) :
T(t) = a
kn
cos c
kn
at + b
kn
sin c
kn
at
nghiệm riêng của (1) :
U
kn
(x,t) = (a
kn
cos c
kn
at + b
kn
sin c
kn
at). sin sin
nên ta có nghiệm của phơng trình (1) :
U(x,t) =(a
kn
cos c
kn
at + b
kn
sin c

kn
at). sin sin (12)
Từ điều kiện
ban đầu :
Nhận thấy a
kn

là hệ số trong
khai triển Axy(b - x) thành chuỗi Fourier. Nhân 2 của (12) với sin sin và lấy tích
phân theo x và y.
Ta có :
* VT =
= VT =
0)()()(")()()(" =++ yYxXyYxXyYxX

0
)(
)("
)(
)("
=++

yY
yY
xX
xX
)9(
)8(
0)(.)("
0)(.)("

=+
=+
yYyY
xXxX





=
=




=
=
0)(
0)0(
0)()(
0)().0(
bX
X
yYbX
yYX

=
=




=
=
0)(
0)0(
0)()(
0)0().(
bY
Y
bYxX
YxX
cxccxcxX sincos)(
21
+=

=
=
==
==
b
k
c
c
cbcbX
cX

1
0sin)(
0)0(
2
2
1
b
xk
xX

sin)(

=
b
yn
yY

sin)(

=
b
yn
b
xk
yxV

sinsin),(

=
2
2
22
2
22
kn
c
b
nk
b
n
b
k
=

+
=






+






=



b
xk

b
yn

=

=1 1k n
b
xk

b
yn








===


==



=

=
=

=

=
=
)14(00
.
sin
.
sin.
)13())((
.
sin
.
sin
1 1
0
1 1
0
knkn
k k
t
k k
kn
t
b
b
yn
b
xk
ba
t

u
ybxbAxy
b
yn
b
xk
au


b
xk

b
yn

dxdy
b
yn
b
xk
ybxbxyAdxdy
b
yn
b
xk
a
b bb b
kn
.
sin

.
sin))((
.
sin
.
sin
0 0
22
0 0

=



bb
kn
dy
b
yn
dx
b
xk
a
00
)
.2
cos1()
.2
cos1(
4

bb
kn
b
yn
n
b
y
b
xk
k
b
x
a
00
2
sin
2
.
2
sin
24

2
4
b
a
kn
nÕu k=2q
nÕu k=2q+1
Th nh Viên Tu i H c Tròà ổ ọ
123doc.org
(15)
* VP =
=
§Æt :
=
⇒
§Æt :
=
=
=
⇒

nªn VP =
= 0
nÕu n = 2p
nÕu n = 2p + 1
⇒ VP =

=
=
=
= =
⇒
VP =
(16)
dxdy
b
yn
b
xk
xybybxbxyA
b b
.
sin
.
sin)(
2
0 0
ππ
+−−
∫ ∫
[ ]

∫∫
−+−
bb
dy
b
yn
ybxxybxxbdx
b
xk
A
0
2222
0
.
sin)()(
.
sin
ππ
∫
−=
b
dy
b
yn
ybxxbI
0
22
1
.
sin)(

π
π
π
π
π
π
π
nxbxb
n
b
b
yn
ybxxb
n
b
b
yn
ybxxb
n
b
bb
cos)(
.
sin)(
.
cos)(
223
0
22
22

2
0
22
−−=−+−−
π
π
n
n
xbxb
I cos
423
1
−
=
∫
−=
b
dy
b
yn
ybxxI
0
22
2
.
sin)(
π









+−−
∫
b
b
dy
b
yn
y
n
b
b
yn
y
n
b
bxx
0
0
22
.
cos
2.
cos)(
π
π

π
π








++−−
bb
b
yn
n
b
b
yn
y
n
b
n
n
b
bxx
0
22
2
0
3

2
.
cos
.
sincos)(
π
π
π
π
π
π












−+−−
π
π
π
π
π
n

b
n
n
b
n
n
b
bxx
2
)1(coscos)(
22
23
2
))(1(cos
2
cos
2
33
3234
2
bxxn
n
b
n
n
xbxb
I −−+
−
=
π

π
π
π
)1(cos
)(2
coscos
33
23234423
−
−
+
−
+
−
n
n
bxxb
n
n
xbxb
n
n
xbxb
π
π
π
π
π
π
33

23
)12(
)(4
π
+
−−
p
bxxb
dx
b
xk
p
bxxAb
b
.
sin
)12(
)(4
0
33
23
π
π
∫
+
−−
dx
b
xk
bxx

p
Ab
b
.
sin)(
)12(
4
0
2
33
3
π
π
∫
−
+
−










−+−−
+
−

∫
dx
b
xk
bx
k
b
b
xk
bxx
k
b
p
Ab
b
b
.
cos)2(
.
cos)(
)12(
4
0
0
2
33
3
π
π
π

π
π


















+−
+
−
bb
b
xk
k
b
b
xk

k
b
bx
k
b
p
Ab
0
22
2
0
33
3
.
cos
2.
sin)2(
)12(
4
π
π
π
ππ
π







−
+
−
)1(cos
2
)12(
4
33
3
33
3
π
ππ
k
k
b
p
Ab
( ) ( )





++
6
33
6
1212
16

0
π
qp
Ab
633
6
)12()12(
16
π
++ qp
Ab





Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
Từ (15), (16)
(17)
Theo trên :
Từ (12), (14), (17) ta có nghiệm của bài toán đã cho :
Bài 2 : Một màng hình chữ nhật 0 x l , 0 y m , gắn chặt ở mép , lúc t = 0
bị một xung lợng tập trung tại tâm của màng sao cho :

Với : A là hằng số , v
o
là vận tốc
ban đầu .
là miền lân cận của tâm của màng.

Hãy xác định dao động của màng.
Giải :
Gọi u(x,y,t) là độ lệch của màng tại (x,y) ở thời điểm t.
Ta có phơng trình dao động của màng :

(1)
Giả sử màng chiếm miền d trong mặt phẳng 0xy có biên là c . Do đó theo bài
ra ta có điều kiện biên :
c
= 0 (2)
tqp
b
a
qp
b
xq
b
xp
Ab
txU
p q
.)12()12(
.
cos
)12()12(
.)12(
sin
.)12(
sin
64

),(
22
0 0
336
4
+++
++
++
=


=

=



Adxdyv =





0
0
lim

+


=


2
2
2
2
2
2
2
x
u
x
u
a
t
u
u
( ) ( )

6
33
62
1212
16
4
.

++
=
qp
Abb
a
k
( ) ( )
6
33
4
1212
64

++
=
qp
Ab
a
k
( ) ( )
[ ]
22

2
2
2
1212 +++= qp
b
c
kn

( ) ( )
22
1212 +++= qp
b
c
kn

y
x
m
m/2
0 ll/2
c


d
nÕu (x,y) ( D \ )
nÕu (x,y)
(6)
⇒
Th nh Viên Tu i H c Tròà ổ ọ
123doc.org

vµ ®iÒu kiÖn ®Çu
(3)

⇒

Cho ε → 0 sao cho xung lîng A
o
kh«ng ®æi : A = víi ρ : khèi lîng riªng.


§Æt
vµ



=
∂
∂
=
=
=
0
0
0
0
0
v
t
u
u

t
t
( )
m
yn
l
xk
atcbatcatyxU
k n
knknknkn
ππ
sinsinsincos),,(
1 1
∑∑
∞
=
∞
=
+=
0
1 1
0
1 1
0
sinsin
00sinsin
v
m
yn
l

xk
bac
t
u
a
m
yn
l
xk
au
kn
k n
kn
t
kn
k n
kn
t
==
∂
∂
=⇒==
∑∑
∑∑
∞
=
∞
=
=
∞

=
∞
=
=
ππ
ππ
dy
m
yn
dx
l
xk
vdy
m
yn
dx
l
xk
cba
mlml
knkn
∫∫∫∫
=⋅⋅
00
0
0
2
0
2
sinsinsinsin

ππππ
dy
m
yn
dx
l
xk
v
alm
cb
ml
knkn
∫∫
=⋅⋅
00
0
sinsin
4
ππ
dy
m
yn
dx
l
xk
v
alm
cb
m
m

l
l
knkn
∫∫
+
−
+
−
=⋅⋅
ε
ε
ε
ε
ππ
2
2
2
2
0
sinsin
4



















+
−






−



















+
−






−
⋅=⋅⋅⇒
m
m
n
m
m
n
l
l
k
l
l
k
kn
lm

v
alm
cb
knkn
επεπεπεπ
π
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
4
2
0
ρ
0
A
dxdyvA
∫∫
→
=
ε
σ
ε
0
0
lim

0
2
0
0
0
4lim vdxdyvA
ρερ
ε
σ
ε
==⇒
∫∫
→
ρε
2
0
0
4
A
v =⇒
2
0
4
ε
A
v =⇒
ε
επεπ
ε
επεπ

π
2
2
cos
2
cos
2
2
cos
2
cos
4
2
m
m
n
m
m
n
l
l
k
l
l
k
kn
lmAalm
cb
knkn







+
−






−
⋅






+
−






−

⋅=⋅⋅
( ) ( )
ε
επεπ
ε
2
2
2
cos
2
2
cos
lim
02






+
−
−
→
l
lk
l
lk
( ) ( )







+
+
−
=
→
l
lk
l
lk
l
k
2
2
sin
2
2
sin
2
lim
02
επεππ
ε
2
sin
2

2
cos
2
sin2
2
lim
02
ππεππ
ε
k
l
kk
l
k
=






−⋅=
→
2
sin
2
2
cos
2
cos

lim
02
ππ
ε
επεπ
ε
n
m
n
m
m
n
m
m
n
=























+
−






−
→
2
sin
2
sin
4
2
sin
2
sin
4
2
ππ

ππππ
π
nk
almc
A
b
nk
m
n
l
k
kn
lmAalm
cb
kn
kn
knkn
=⇒
⋅⋅=⋅⋅
m
yn
l
xk
t
m
n
l
k
a
m

n
l
k
nk
alm
A
txU
k n
ππ
π
π
ππ
sinsinsin
2
sin
2
sin
4
),(
22
1 1
22
⋅






+













+






=
∑∑
∞
=
∞
=
m
yn
l
xk
yx

kn
ππ
ψ
sinsin),( =
2
sin
2
sin
2
,
2
ππ
ψ
nkml
kn
=






⇒
22







+






=
m
n
l
k
kn
µ
( )
m
yn
l
xk
yx
ml
alm
A
txU
kn
k n
kn
kn
ππ
ψ

µ
ψ
π
sinsin,
2
,
2
4
),(
1 1
⋅






=
∑∑
∞
=
∞
=
∈
ε
σ
ε
σ
∈
nếu 0 < x l/2

nếu l/2 x < l
nếu 0 < x l/2
nếu l/2 x < l
Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
Dạng 1 : Bài toán có điều kiện biên bằng 0
Ta tìm nghiệm của phơng trình :
trong miền {0<x<l , 0<tT } ,
thoả mãn các điều kiện ban đầu :
và thoả mãn các điều kiện biên :
- các mút giữ ở nhiệt
độ không :
- các mút trao đổi nhiệt với môi trờng ở nhiệt độ u
0
:

- các mút cách nhiệt :
dới dạng u(x,t) = X(x).T(t) và sử dụng phơng pháp tách biến ta sẽ tìm
đợc nghiệm của phơng trình .
Sau đây là một số các bài toán :
Bài 1: Tìm nghiệm của phơng trình :

(1)
trong miền (0 < x < l,t > 0) thoả
mãn các điều kiện biên u(0,t) = 0 ; u(l,t) = 0
và các điều kiện ban đầu :

Giải:
Gọi U(x,t) là nhiệt độ trong thanh
tại thời điểm t .Ta có phơng trình

truyền nhiệt của thanh:
(1)
thoả mãn điều kiện biên :
(2)
và điều kiện ban đầu :

(3)
Theo lý thuyết, ta có nghiệm riêng của phơng trình (1) :

Từ điều kiện ban đầu (3)
, ta có :

Nhận thấy a
k
là hệ số khai triển hàm f(x) thành chuỗi Fourier .
Nhân 2 vế với sin và lấy tích phân cận từ 0 ữ l :



ta có
2
2
2
2
x
u
a
t
u

=


( )
xu
t

=
=0
0;0
0
==
== lxx
uu
( ) ( )
0;0
0
0
0
=






+

=









== lxx
uuh
x
u
uuh
x
u
0;0
0
=


=


== lxx
x
u
x
u

2
2
2
t
u
a
t
u


=






=
xl
x
xU )0,(
2
2
2
t
u
a
t
u

=


0;0
0
==
=
=
lx
x
uu




=
=
xl
x
u
t 0
( )
l
xk
t
l
ak
atxu
k

k

sinexp,
2
1














=


=
( )
xf
l
xk
au
k
k

t
==


=
=

sin
1
0
l
xk

( )
dx
l
xk
xfdx
l
xk
a
ll
k

sinsin
0
2
0

=

( )
dx
l
xk
xf
l
a
l
k

sin
2
0

=
( )
dx
l
xk
xldx
l
xk
x
l
l
l

sinsin
2/
2/

0

+=

2/
0
22
2
2/
0
2/
0
1
sincossin
ll
l
l
xk
k
l
l
xk
x
k
l
dx
l
xk
xI

+==

nếu k = 2n
nếu k = 2n+1
Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
do đó
=
Vậy nghiệm của bài toán :
Bài 2 : Một thanh
đồng chất có độ dài
l , hai mút đợc giữ ở nhiệt độ không nhiệt độ ban đầu trong thanh đợc cho bởi :

Hãy xác định phân bố nhiệt độ
trong thanh tại thời điểm t > 0 .
Giải:
Gọi U(x,t) là nhiệt độ trong thanh tại thời điểm t.
Ta có phơng trình truyền nhiệt của thanh :

(1)
thoả mãn điều kiện biên :
x = 0
=
0 ,
x = l
= 0 (2)

Với điều kiện ban đầu :

(3)
Tơng tự bài (1) , ta có nghiệm
riêng của (1) :

(4)
Từ (3) ta có :
vì a
k
là hệ số trong khai
triển hàm thành chuỗi
Fourier nên ta có :

2
sin
22
2
1


k
k
l
I =
( )
dx
l
xk
xdx

l
xk
ldx
l
xk
xlI
l
l
l
l
l
l

==
2/2/2/
2
sinsinsin

l
l
l
l
l
l
l
xk
k
l
l
xk

k
lx
l
xk
k
l
2/
22
2
2/2/
2
sincoscos






+=
2
sin
22
2
2


k
k
l
I =

2
sin
2
sin
2
22
2
22
2




k
k
lk
k
ll
a
k
+=
2
sin
2
22
2


k
k

l
( )
( )





+

==
2
2
22
12
41
0
2
sin
4



n
l
k
k
l
a
n

k
( )
( )
( )
( )
( )
l
xn
e
n
l
txU
t
l
an
n
n



12
sin
12
14
,
2
12
0
22
+

+

=






+


=

( )
2
0
l
xlcx
u
t

=
=
2
2
2
t
u
a

t
u


=


uu
( )
2
0
l
xlcx
u
t

=
=
( )
l
xk
eatxu
t
l
ak
k
k


sin,

2
1








=

=
( )
2
1
0
sin
l
xlcx
l
xk
au
k
k
t

==

=
=

( )
2
l
xlcx
( )
dx
l
xk
xlx
l
c
dx
l
xk
a
ll
k

sinsin
0
2
2
2
0

=
( )

( )










+=

l
l
k
dx
l
xk
xl
k
l
l
xk
xlx
k
l
l
cl
a

0
0
2
2
cos2cos
2




( )


















=

ll
l
xk
k
l
l
xk
xl
k
l
k
l
l
c
0
22
2
0
2
cos
2
sin2




[ ]
1cos
2
2

33
=


k
k
lcl
a
k
nếu k=2n
nếu k=2n+1
Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
=

Nên nghiệm của bài toán :

Bài 3: Một thanh đồng chất có độ dài l ,mút x
= 0 đợc giữ ở nhiệt độ không còn tại mút x = l
có sự trao đổi nhiệt với môi trờng bên ngoài giữ ở nhiệt độ không.
Tìm phân bố nhiệt độ trong thanh ở
thời điểm t > 0 ,biết nhiệt độ ban
đầu trong thanh đợc cho bởi :
Giải:
Gọi u(x,t) là nhiệt độ của thanh ở thời điểm t
Phơng trình truyền nhiệt của thanh :

(1)
thoả mãn điều kiện biên :

(2)
và điều kiện ban đầu :
(3)
Ta tìm nghiệm riêng của phơng
trình (1) dới dạng : u(x,t) = X(x).T(t) (4)
Từ (1) và (4) ta có :
Từ (2) và (4)
Để T(t)0 thì
(7)
Ta tìm nghiệm của phơng trình (6) thỏa mãn điều kiện (7) sao cho
X(x)0 : Thật vậy, đặt X(x) = e
rx
=> phơng trình đặc trng của (6) : r
2
+ = 0
* = -c
2
=> r
2
= c
2
=> Nghiệm tổng quát của (6) là :
X(x)

= c
1
e
-cx
+ c
2

e
cx
trong đó c
1
, c

2
la những hằng số tuỳ ý
Từ (7)

c
1
= c
2
= 0 (loại)
* = 0 => pt
(6) có nghiệm
tổng quát X(x)
= c
1
x + c
2

Từ (7) (loại)
* = c
2
thì pt (6) có nghiệm tổng quát : X(x) = c
1
cos cx + c
2

sin cx
Theo (7)
Để c
2
0 =>
[ ]
1cos
4
33
=


k
k
c
a
k
( )





+
3
3
12
8
0

n
c
( )
( )
( )
( )
l
xn
e
n
c
txU
t
l
an
n



12
sin
12
18
,
2
12
0
33
+
+

=






+


=

( )
xu
t

=
=0
2
2
2
t
u
a
t
u


=

=






+


=
=
=
0
0
0
lx
x
hu
x
u
u
( )
xu

t

=
=0



=+
=+
)6(0)()("
)5(0)()('
2
xXxX
tTatT


[ ]



=+
=

0)()()('
0)()0(
tTlhXlX
tTX

=+
=
0)()('
0)0(
lhXlX
X




=+++=+
=+=


0)()('
0)0(
2121
21
clclclcl
ehcehceccecclhXlX
ccX
0
0)()('
0)0(
21
11
2
==

=+=+
==
cc
hlcclhXlX
cX



=+=+
==

0sincos)()('
0)0(
22
1
clhcclcclhXlX
cX
h
c
hl
cl
p
à
nếu 0<x<l/2
nếu l/2<x<l
Th nh Viờn Tu i H c Trũ
123doc.org
c.cos cl + h.sin cl = 0 => tg cl =- => tg cl = -

Đặt à = c.l ; p = h.l => tgà = -
Khi đó phơng trình (6) thoả mãn điều kiện (7) có nghiệm không tầm thờng
ứng với trị riêng = là: X
k
(x) = A
k
và phơng trình (5) có nghiệm:

nên nghiệm riêng của phơng
trình (1) là:

Ta cần xác định a
k
sao cho
hàm u(x,t) thỏa mãn điều
kiện (3)

Ta có :
mà sin2à
k
=
2sinà
k
.cosà
k
= 2cos
2
à
k
.tgà

k
=
nên ta có :

Do đó

Vậy nghiệm của bài
toán :

Bài 4: Một
thanh đồng
chất đặt dọc theo trục x, có măt xung quanh và cả hai mút x=0, x=l cách nhiệt .Tìm
phân bố nhiệt độ trong thanh biết phân bố nhiệt độ ban đầu đợc cho bởi

t = 0
= =
Giải:
Gọi u(x,t) là nhiệt độ của thanh ở thời điểm t tại điểm M(x)
Ta có phơng trình truyền nhiệt của thanh:

(1)

thoả mãn điều kiện biên :
2

l
k
à
l
x
k
à
sin
t
l
a
k
eCtT
2
)(







=
à
( )
l
x
eatxU
k
t

l
a
k
k
k
à
à
sin,
2
1








=

=
( )
x
l
x
a
k
k
k

à
=


=
sin
1
( )
dx
l
x
xdx
l
x
a
k
l
k
l
k
à

à
sinsin
0
2
0

=
l

k
l
kk
l
l
xdx
l
x
dx
l
x
I
0
00
2
2
sin
2
12
cos1
2
1
sin






=

==

à
àà






=
k
k
l
lI
à
à
2sin
22
1
1
2
2
+

k
k
tg
tg
à
à
22
2
2
2
1
2
2sin
p
p
p
p
k
k
k
k
k
+
=
+

=
à
à
à

à
à






+
+=
p
p
l
lI
k
k
k
2
2
22
1
à
à
à

+
++
=
22
22
2
p
pp
l
I
k
k
à
à
( )
dx
l
x
x
p
pp
l
a
k
l
k
k
k
à

à
à
sin
2
0
22
22

=






+
++

( )
( )
dx
l
x
x
pp
p
l
a
k
l

k
k
k
k
à

à
à
sin
1
2
0
1
2
22



=
++
+
=
( )
( )
dx
l
x
x
l
x

e
pp
p
l
txU
k
l
k
t
l
a
k
k
k
k
à

à
à
à
à
sinsin
1
2
),(
0
1
2
22
2

=
++
+
=
u
( )
x




0
0
u
2
2
2
x
u
a

t
u


=