mot so bai toan hh kg giai tich trong de thi thu

1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường
thẳng (d) đi qua M(1;1;1), cắt đường thẳng
( )
1
2 1
:
3 1 2
+ −
= =
−
x y z
d
và
vuông góc với đường thẳng
( )
2
: 2 2 ; 5 ; 2= − + = − = +d x t y t z t
(
∈t R
).
Phương trình mp(P) đi qua M và vuông góc với d
2
:
2 5 2 0− + + =x y z

Toạ độ giao điểm A của d
1
và mp(P) là:
( )
5; 1;3− −A
⇒ d:

1 1 1
3 1 1
− − −
= =
−
x y z
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường
thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P):
1 0+ + − =x y z
đồng thời
cắt cả hai đường thẳng
( )
1
1 1
:
2 1 1
− +
= =
−
x y z
d
và
2
( ) : 1 ; 1;= − + = − = −d x t y z t
,
với
∈t R
.
Lấy
( )

1
∈M d
⇒
( )
1 1 1
1 2 ; 1 ;+ − −M t t t
;
( )
2
∈N d
⇒
( )
1 ; 1;− + − −N t t
Suy ra
( )
1 1 1
2 2; ;= − − − −
uuuur
MN t t t t t
( ) ( )
*
1 1 1
. ; 2 2⊥ ⇔ = ∈ ⇔ − − = = − −
uuuur r
d mp P MN k n k R t t t t t
⇔
1
4
5
2

5

=



−

=


t
t
⇒
1 3 2
; ;
5 5 5
 
= − −
 ÷
 
M
⇒ d:
1 3 2
5 5 5
− = + = +x y z
3) TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA THANH CHƯƠNG- NGHỆ AN
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d
1
:

1 1 1
2 1 1
x y z+ − −
= =
−
; d
2
:
1 2 1
1 1 2
x y z− − +
= =
và mặt phẳng (P): x - y
- 2z + 3 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆, biết ∆ nằm
trên mặt phẳng (P) và ∆ cắt hai đường thẳng d
1
, d
2
.
Gọi A = d
1
∩(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d
2
∩ (P) suy ra B(2; 3; 1)
Đường thẳng ∆ thỏa mãn bài toán đi qua A và B.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là
(1;3; 1)u = −
r
Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là:
1 2

1 3 1
x y z− −
= =
−
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
1 3
1 1 4
x y z− −
= =
và điểm M(0 ; - 2 ; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P)
đi qua điểm M song song với đường thẳng ∆ đồng thời khoảng cách giữa
đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 4.
Giả sử
( ; ; )n a b c
r
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = 0.
ng thng i qua im A(1; 3; 0) v cú mt vect ch phng
(1;1; 4)u =
r
T gi thit ta cú
2 2 2
. 4 0
/ /( ) (1)
| 5 |
4
( ; ( )) 4 (2)

n u a b c
P

a b
d A P
a b c

= + + =




+

=
=


+ +

r r
Th b = - a - 4c vo (2) ta cú
2 2 2 2 2
( 5 ) (2 17 8 ) - 2 8 0a c a c ac a ac c+ = + + =

4 2
a a
v
c c
= =
Vi
4
a

c
=
chn a = 4, c = 1 b = - 8. Phng trỡnh mt phng (P):
4x - 8y + z - 16 = 0.
Vi
2
a
c
=
chn a = 2, c = - 1 b = 2. Phng trỡnh mt phng (P):
2x + 2y - z + 4 = 0.
4) THPT lơng tài 2
1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phơng trình
011642
222
=+++ zyxzyx
và mặt phẳng (

) có phơng trình 2x + 2y z + 17 = 0. Viết
phơng trình mặt phẳng (

) song song với (

) và cắt (S) theo giao tuyến là đờng tròn có chu vi bằng
6.
Do () // () nên () có phơng trình 2x + 2y z + D = 0 (D

17)
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = 5
Đờng tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = 3.

Khoảng cách từ I tới () là h =
435rR
2222
==

Do đó



=
=
=+=
++
++
(loại) 17D
7D
12D54
)1(22
D3)2(21.2
222
Vậy () có phơng trình 2x + 2y z - 7 = 0
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4;
3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x y z 3 = 0. Gọi M là một điểm thay đổi
trên mặt phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
222
MCMBMA ++
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra G =

3;
3
8
;
3
7
Ta có
( ) ( ) ( )
222
222
GCMGGBMGGAMGMCMBMAF +++++=++=
22222222
GCGBGAMG3)GCGBGA(MG2GCGBGAMG3
+++=++++++=
F nhỏ nhất MG
2
nhỏ nhất M là hình chiếu của G lên (P)

33
19
111
333/83/7
))P(,G(dMG =
++

==
3

64
9
104
9
32
9
56
GCGBGA
222
=++=++
VËy F nhá nhÊt b»ng
9
553
3
64
33
19
.3
2
=+








khi M lµ h×nh chiÕu cña G lªn (P)
5) TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC

1. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
P : x y z 1 0+ + − =
và hai điểm
( ) ( )
A 1; 3;0 , B 5; 1; 2 .− − −
Tìm toạ độ điểm M trên
mặt phẳng (P) sao cho
MA MB−
đạt giá trị lớn nhất.
Đặt vt của (P) là:
( )
f x; y;z x y z 1= + + −
ta có
( ) ( )
A A A B B B
f x ;y ;z f x ;y ;z 0<
⇒
A,B nằm về hai phía so với (P).Gọi
'
B
đối xứng với B qua (P)
( )
'
B 1; 3;4⇒ − −
.
' '
MA MB MA MB AB− = − ≤

Đẳng thức xẩy ra khi
'
M, A, B
thẳng hàng
⇒
( )
'
M P AB= ∩
.Mặt khác phương trình
'
x 1 t
AB : y 3
z 2t
= +


= −


= −

⇒
toạ độ M là
nghiệm hệ pt:
( )
x 1 t t 3
y 3 x 2
M 2; 3;6
z 2t y 3
x y z 1 0 z 6

= + = −
 
 
= − = −
 
⇒ ⇒ − −
 
= − = −
 
 
+ + − = =
 
2. Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
d
1
:
− −
= =
−
2 1
1 1 2
x y z
, d
2
:
2 2
3
x t
y
z t

= −


=


=

Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc
chung của d
1
và d
2

Các véc tơ chỉ phương của d
1
và d
2
lần lượt là
1
u
ur
( 1; - 1; 2)
và
2
u
uur
( - 2; 0; 1)
Có M( 2; 1; 0)
∈

d
1
; N( 2; 3; 0)
∈
d
2
Xét
1 2
; .u u MN
 
 
ur uur uuuur
= - 10
≠
0Vậy d
1
chéo d
2
Gọi A(2 + t; 1 – t; 2t)
∈
d
1
B(2 – 2t’; 3; t’)
∈
d
2
1
2
. 0
. 0

AB u
AB u

=


=


uuurur
uuur uur

⇒

1
3
' 0
t
t

= −



=


⇒
A
5 4 2

; ;
3 3 3
 
−
 ÷
 
; B (2; 3; 0)
Đường thẳng
∆
qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung của d
1
và d
2
.
Ta có
∆
:
2
3 5
2
x t
y t
z t
= +


= +


=


PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính có dạng:
2 2 2
11 13 1 5
6 6 3 6
x y z
     
− + − + + =
 ÷  ÷  ÷
     
6) TRƯỜNG THPT THANH THUỶ 2008-2009
1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
1
1 1
( ) :
2 1 1
x y z
d
− +
= =
−
và
2
2 1
( ) :
1 1 1
x y z
d
− +
= =

−
. Viết phương trình mặt
phẳng chứa (d
1
) và hợp với (d
2
) một góc 30
0
.
Giả sử mặt phẳng cần tìm là:
2 2 2
( ) : 0 ( 0)ax by cz d a b c
α
+ + + = + + >
.
Trên đường thẳng (d
1
) lấy 2 điểm: A(1; 0; -1), B(-1; 1; 0).
Do
( )
α
qua A, B nên:
0 2
0
a c d c a b
a b d d a b
− + = = −
 
⇔
 

− + + = = −
 
nên
( ) : (2 ) 0ax by a b z a b
α
+ + − + − =
.
Yêu cầu bài toán cho ta:
0
2 2 2 2 2 2
1. 1. 1.(2 )
1
sin 30
2
1 ( 1) 1 . (2 )
a b a b
a b a b
− + −
= =
+ − + + + −
2 2 2 2
2 3 2 3(5 4 2 ) 21 36 10 0a b a ab b a ab b⇔ − = − + ⇔ − + =
Dễ thấy
0b
≠
nên chọn b=1, suy ra:
18 114
21
18 114
21

a
a

−
=



+
=


KL: Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn:
18 114 15 2 114 3 114
0
21 21 21
x y z
+ + −
+ + − =
18 114 15 2 114 3 114
0
21 21 21
x y z
− − +
+ + − =
.
2) Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2;
0), C(2; 0; 2),
( )DH ABC⊥
và

3DH =
với H là trực tâm tam giác ABC.
Tính góc giữa (DAB) và (ABC).
Trong tam giác ABC, gọi
K CH AB= ∩
.
Khi đó, dễ thấy
( )AB DCK⊥
. Suy ra góc giữa (DAB) và
(ABC) chính là góc
DKH∠
.Ta tìm tọa độ điểm H rồi
Tính được HK là xong.
+ Phương trình mặt phẳng (ABC).
- Vecto pháp tuyến
( )
[ , ] 0; 4; 4n AB AC= = − −
r uuur uuur
- (ABC):
2 0y z+ − =
.
+
( )H ABC∈
nên giả sử
( ; ;2 )H a b b−
.
Ta có:
( ; ; ), (4; 2; 2).AH a b b BC= − = −
uuur uuur

( 2; ; ), ( 2; 2; 2).CH a b b AB= − − = − −
uuur uuur
Khi đó:
. 0 0
2
2 2 0
. 0
BC AH a b
a b
a b
AB CH

= − =


⇔ ⇔ = = −
 
− + + =
=



uuur uuur
uuur uuur
Vậy H(-2; -2; 4).
+ Phương trình mặt phẳng qua H và vuông góc với AB là:
4 0x y z− + − =
.
Phương trình đường thẳng AB là:
2

x t
y t
z t
=


= −


= +

.
Giải hệ:
2
4 0
x t
y t
z t
x y z
=


= −


= +


− + − =


ta được x =2/3; y =-2/3, z =8/3.
Suy ra: K(2/3;-2/3; 8/3). Suy ra:
2 2 2
2 2 8 96
2 2 4
3 3 3 3
HK
     
= + + − + + − =
 ÷  ÷  ÷
     
.
Gọi
ϕ
là góc cần tìm thì:
tan / 96 /12 6 / 3 arctan( 6 / 3)DH HK
ϕ ϕ
= = = ⇒ =
Vậy
arctan( 6 / 3)
ϕ
=
là góc cần tìm.
7) TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 2009
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) có phương
trình tham số
x 2 t
y 2t
z 2 2t
= − +



= −


= +

.Gọi
∆
là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) và I(-
2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (D). Trong các mặt phẳng qua
C
A
B
D
H
K
∆
, hãy viết phương trình của mặt phẳng có khoảng cách đến (D) là
lớn nhất.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng
∆
, thì
( ) //( )P D
hoặc
( ) ( )P D⊃
. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta
luôn có
IH IA≤

và
IH AH⊥
.
Mặt khác
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
, ,d D P d I P IH
H P

= =


∈


Trong mặt phẳng
( )
P
,
IH IA≤
; do đó
axIH = IA H Am ⇔ ≡
. Lúc này (P) ở vị trí
(P
0
) vuông góc với IA tại A.
Vectơ pháp tuyến của (P

0
) là
( )
6;0; 3n IA= = −
r uur
, cùng phương với
( )
2;0; 1v = −
r
.
Phương trình của mặt phẳng (P
0
) là:
( ) ( )
2 4 1. 1 2x - z - 9 = 0x z− − + =
.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6)
và đường thẳng
∆
có phương trình tham số
x 1 2t
y 1 t
z 2t
= − +


= −


=


.Một điểm M thay
đổi trên đường thẳng
∆
, xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác
MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM.
Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất.
Đường thẳng
∆
có phương trình tham số:
1 2
1
2
x t
y t
z t
= − +


= −


=

.
Điểm
M ∈∆
nên
( )

1 2 ;1 ; 2M t t t− + −
.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
2
2
2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2 4 2 9 20 3 2 5
4 2 2 6 2 9 36 56 3 6 2 5
3 2 5 3 6 2 5
AM t t t t t
BM t t t t t t
AM BM t t
= − + + − − + = + = +
= − + + − − + − + = − + = − +
+ = + + − +
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ
( )
3 ; 2 5u t=

r
và
( )
3 6;2 5v t= − +
r
.
Ta có
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
| | 3 2 5
| | 3 6 2 5
u t
v t

= +




= − +


r
r

Suy ra
| | | |AM BM u v+ = +
r r
và
( )
6;4 5 | | 2 29u v u v+ = ⇒ + =
r r r r
Mặt khác, với hai vectơ
,u v
r r
ta luôn có
| | | | | |u v u v+ ≥ +
r r r r
Như vậy
2 29AM BM+ ≥
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
,u v
r r
cùng hướng
3 2 5
1
3 6
2 5
t
t
t
⇔ = ⇔ =
− +
( )
1;0; 2M⇒

và
( )
min 2 29AM BM+ =
.
Vậy khi M(1;0;2) thì minP =
( )
2 11 29+
7) TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG
1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường
thẳng (d) lần lượt có phương trình:
(P): 2x − y − 2z − 2 = 0; (d):
1 2
1 2 1
x y z+ −
= =
−
1. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt
phẳng (P) một khoảng bằng 2 và vắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là
đường tròn có bán kính bằng 3.
Đường thẳng (∆) có phương trình tham số là:
1 2 ;
2

x t
y t t R
z t
= −


= − + ∈



= +

Gọi tâm mặt cầu là I. Giả sử I(−t; −1 + 2t; 2+ t)∈(∆).
Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 nên:
| 2 1 2 4 2 2 | | 6 5 |
( ; ) 3
3 3
t t t t
d I
− + − − − − +
∆ = = =
⇔
2
3
7
3
t
t

=



= −


⇒ Có hai tâm mặt cầu:
2 1 8 7 17 1

I ; ; ; I ; ;
3 3 3 3 3 7
   
− − −
 ÷  ÷
   
Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính bằng 4 nên
mặt cầu có bán kính là R = 5.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
2 2 2 2 2 2
2 1 8 7 17 1
x y z 25 ; x y z 25
3 3 3 3 3 3
           
+ + − + − = − + + + + =
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
           
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt
phẳng (P) một góc nhỏ nhất.
Đường thẳng (∆) có VTCP
( 1;2;1)u = −
r
; PTTQ:
2 1 0
2 0
x y
x z
+ + =



+ − =

Mặt phẳng (P) có VTPT
(2; 1; 2)n = − −
r

Góc giữa đường thẳng (∆) và mặt phẳng (P) là:
| 2 2 2 | 6
sin
3
3. 6
− − −
α = =
⇒ Góc giữa mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (Q) cần tìm là
6 3
cos 1
9 3
α = − =
Giả sử (Q) đi qua (∆) có dạng: m(2x + y + 1) + n(x + z − 2) = 0 (m
2
+ n
2

> 0)
⇔ (2m + n)x + my + nz + m − 2n = 0
Vậy góc giữa (P) và (Q) là:
2 2
| 3 | 3
cos
3

3. 5 2 4
m
m n mn
α = =
+ +
⇔ m
2
+ 2mn + n
2
= 0 ⇔ (m + n)
2
= 0 ⇔ m = −n.
Chọn m = 1, n = −1, ta có: mặt phẳng (Q) là: x + y − z + 3 = 0