Chuyên đề PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG
CHUYÊN ĐỀ:
TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG
MẶT PHẲNG
Người thực hiện: GV Phan Thị Thanh Huyền
Krông Năng, tháng 04/2010
GV: Phan Thị Thanh Huyền
1
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
MỤC LỤC
Chương 1: Mở đầu
1.1 – Lý do chọn đề tài
1.2 – Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng.
1.2.1 – Phép biến hình.
1.2.2 – Phép dời hình.
1.2.3 – Phép đồng dạng.
Chương 2: Tích các phép biến hình trong mặt phẳng.
2.1 – Tích của hai phép tịnh tiến.
2.2 – Tích của hai phép đối xứng trục.
2.3 – Tích của hai phép đối xứng tâm.
2.4 – Tích của hai phép quay.
2.5 – Tích của hai phép vị tự.
2.6 – Tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến.
2.7 – Tích của phép quay và phép đối xứng trục.
2.8 – Mở rộng
Chương 3: Bài tập áp dụng.
Tài liệu tham khảo
GV: Phan Thị Thanh Huyền
2
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng

Chương 1: MỞ ĐẦU
1.1 – Lý do chọn đề tài
Phép biến hình là một khái niệm có thể nói là mới và khó đối với học sinh
trung học phổ thông. Mục đích của việc đưa nội dung các phép biến hình vào
chương trình toán phổ thông là nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ mới để
giải toán đồng thời tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy và suy
luận mới. Tuy nhiên, việc dạy học các chủ đề về phép biến hình ở trường trung
học phổ thông người ta chỉ nhắm đến ba cấp độ:
Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ giữa hai hình hoặc giữa
hai phần của một hình ( đặc trưng hàm hoàn toàn vắng mặt).
Cấp độ 2: Phép biến hình được hiểu là ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát
hơn , từ không gian lên chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian được nghiên
cứu với tư cách là các tập hợp điểm.
Cấp độ 3: Phép biến hình được xem như một công cụ giải toán hình học.
Trong đó, cấp độ 2 là một trọng tâm, còn cấp độ 3 được đòi hỏi cao thấp
thế nào là tùy vào từng thể chế dạy học.
Trong chuyên đề này, tôi chỉ đề cập đến các phép biến hình trong mặt
phẳng, tích các phép biến hình trong mặt phẳng và một vài ứng dụng của chúng
vào việc giải toán hình học.
Trên thực tế, sách giáo khoa Hình học 11 (cơ bản và nâng cao) đều không
nói đến tích các phép biến hình trong mặt phẳng nhưng lại đề cập đến việc “thực
hiện liên tiếp các phép biến hình”. Chính vì vậy, với chuyên đề nhỏ này, tôi hi
vọng có thể giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về “ Tích các phép biến hình trong
mặt phẳng” và ứng dụng nó vào giải toán.
1.2 – Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng.
1.2.1 – Phép biến hình.
Ta kí hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là
P
. Khi đó mỗi hình
H

bất kì của mặt phẳng đều là một tập con của
P
và được kí hiệu
H P
⊂
.
a) Định nghĩa
Một song ánh
:f P P
→
từ tập điểm của
P
lên chính nó được gọi là một
phép biến hình trong mặt phẳng.

:
'
f P P
M M
→
a
Điểm
' ( )M f M=
gọi là ảnh của điểm
M
qua phép biến hình
f
. Ngược lại
điểm
M

gọi là tạo ảnh của điểm
'M
qua phép biến hình
f
nói trên.
GV: Phan Thị Thanh Huyền
3
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Nếu
H
là một hình nào đó của
P
thì ta có thể xác định tập hợp
{ }
' ' ( )H M f M M H= = ∈
. Khi đó
'H
gọi là ảnh của hình
H
qua phép biến hình
f
và hình
H
được gọi là tạo ảnh của hình
'H
qua phép biến hình
f
đó.
b) Sự xác định phép biến hình.
Muốn xác định một phép biến hình

:f P P
→
ta cần nêu rõ quy tắc
f
đó
bằng các cách sau đây:
_ Quy tắc
f
được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt
phẳng như: Tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào đó, dựng
đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước,
dựng đường tròn với tâm và bán kính đã cho,
_ Quy tắc
f
còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ
( ; )x y
của điểm
M
với tọa độ
( '; ')x y
của điểm
' ( )M f M=
đối với hệ tọa độ
Oxy
nào
đó.
c) Phép đồng nhất
Phép biến hình
:f P P
→

, biến mỗi điểm
M
thành chính nó được gọi là
phép đồng nhất
Kí hiệu:
:

e P P
M M
→
a
d) Điểm bất động của phép biến hình.
Một điểm
M P∈
là điểm bất động (hoặc là điểm kép) đối với phép biến
hình
f
nếu
( )f M M=
.
e) Phép biến hình đảo ngược.
Trong mặt phẳng, cho phép biến hình
: 'f M Ma
. Khi đó phép biến hình
biến
'M Ma
được gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình
f
.
Kí hiệu:

1
f
−
Mỗi phép biến hình
f
có duy nhất một phép biến hình đảo ngược
1
f
−
.
Nếu
1
f f
−
=
thì phép biến hình
f
gọi là phép biến hình đối hợp.
f) Tích các phép biến hình
Dễ dàng chứng minh được:
Tích của hai phép biến hình là một phép biến hình.
Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp.
Tích của hai phép biến hình đảo ngược nhau là phép đồng nhất.
1.2.2 – Phép dời hình
GV: Phan Thị Thanh Huyền
4
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
a) Định nghĩa
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất
kì.

Nhận xét: i) Phép đồng nhất là phép dời hình.
ii) Đảo ngược của phép dời hình là phép dời hình.
b) Các phép dời hình
i) Phép tịnh tiến
ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng P cho vectơ
v
r
,
phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’
sao cho
'MM v=
uuuuur r
gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
v
r
Kí hiệu:
v
T
r
, vectơ
v
r
gọi là vectơ tịnh tiến.
ii) Phép đối xứng trục
ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định,
phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’
sao cho đoạn thẳng MM’ nhận d làm đường trung trực
thì phép biến hình đó gọi là phép đối xứng trục d

Kí hiệu: Đ
d
, với d là trục đối xứng
Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ta lấy M’ trùng với M.
iii) Phép đối xứng tâm
ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định,
phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M’
sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’
gọi là phép đối xứng tâm O.
Kí hiệu: Đ
O
, điểm O gọi là tâm đối xứng.
iv) Phép quay
ĐỊNH NGHĨA:
Trong mặt phẳng P, cho một điểm O cố định
và góc lượng giác
α
. Phép quay tâm O, góc quay
α
là phép biến hình biến điểm O thành chính nó,
biến mỗi điểm M thành điểm M’
sao cho
( )
' và , 'OM OM OM OM
α
= =
uuuur uuuuur
Kí hiệu:
( )

;O
Q
α
, O là tâm quay,
α
là góc quay.
Nhận xét : - Phép quay tâm O, góc quay 0
o
là phép đồng nhất.
- Phép quay tâm O, góc quay
;
π π
−
là phép đối xứng tâm O.
GV: Phan Thị Thanh Huyền
5
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
1.2.3 Phép đồng dạng
a) Phép vị tự
ĐỊNH NGHĨA :
Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và một số
0k ≠
. Phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho
'OM kOM=
uuuuur uuuur
được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ
số k
Kí hiệu :
( )

;O k
V
, O gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự.
Nhận xét : - Phép vị tự tỉ số 1 là phép đồng nhất.
- Phép vị tự tỉ số -1 là phép đối xứng tâm.
b) Phép đồng dạng
ĐỊNH NGHĨA :
Một phép biến hình
:f P P→
gọi là một phép đồng dạng nếu nó biến hai
điểm A, B bất kì của mặt phẳng thành hai điểm A’=f(A) và B’=f(B) sao cho luôn
có A’B’=kAB, trong đó k là số thực dương xác định. Số k được gọi là tỉ số đồng
dạng
Nhận xét : - Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số /k/.
- Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số k là phép đồng
dạng tỉ số 1/k.
- Tích của một phép đồng dạng tỉ số k
1
với phép đồng dạng tỉ
số k
2
là một phép đồng dạng với tỉ số k
1
. k
2
.
Chương 2 : TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
2.1 – Tích của hai phép tịnh tiến.
GV: Phan Thị Thanh Huyền

6
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Tích của hai phép tịnh tiến theo vectơ
và u v
r r
là một phép tịnh tiến theo
vectơ
u v
+
r r
.
Chứng minh :
Trong mặt phẳng lấy điểm
M
bất kì
Giả sử:
'
' ''
( )
( )
u
v
T M M
T M M
=
=
r
r
Ta có:
'

' ''
MM u
M M v
=
=
uuuuur
r
uuuuuur
r
Suy ra
'' ' ' ''
MM MM M M u v= + = +
uuuuur uuuuur uuuuuur
r r
Vậy
''
( )
u v
T M M
+
=
r r
.
* Nhận xét: Tích của hai phép tịnh tiến có tính chất giao hoán.
(Bạn đọc tự kiểm chứng).
2.2 - Tích của hai phép đối xứng trục.
a. Tích của hai phép đối xứng có trục song.
Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có trục là
và a b
song song

với nhau là một phép tịnh tiến theo vectơ
v
r
có phương vuông góc với hai trục,
có hướng từ
a
và
b
và có môđun bằng hai lần khoảng cách giữa hai trục đó.
Chứng minh:
Gọi Đ
a
và Đ
b
là hai phép đối xứng trục có hai trục a và b song song.
Với điểm M bất kì ta có M’= Đ
a
(M), M’’= Đ
b
(M’)
Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn MM’ và nếu gọi H là trung điểm
của MM’ thì
' 2 'MM HM=
uuuuur uuuuur
và
'HM a⊥
uuuuur
.
Tương tự, nếu gọi H’là trung điểm của M’M” thì
' '' 2 ' 'M M M H=

uuuuuuur uuuuuur
và
' 'M H b⊥
uuuuuur
.
Vậy
'' ' ' ''MM MM M M= +
uuuuur uuuuur uuuuuuur

2( ' ' ') 2 'HM M H HH= + =
uuuuur uuuuuur uuuur
Mặt khác ta nhận thấy rằng ba điểm M, M’, M’’ nằm trên một đường thẳng
vuông góc với a và b, đồng thời vectơ
'HH
uuuur
không phụ thuộc vào vị trí điểm M và
vectơ này có hướng từ a đến b, có phương vuông góc với a và b, có độ dài bằng
khoảng cách giữa hai trục đó. Do đó phương của đường thẳng MM’ không đổi vì
nó luôn vuông góc với a và b. Như vậy tích của hai phép đối xứng trục Đ
a
và Đ
b
biến điểm M thành điểm M’’ với
'' 2 'MM HH=
uuuuur uuuur
chính là phép tịnh tiến theo vectơ
2 'HH
uuuur
.
Do đó: Đ

b
Đ
a
=
2 'HH
T
uuuuur
GV: Phan Thị Thanh Huyền
7
u
r
v
r
M
M’
M’’
a
b
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
* Chú ý: Tích của hai phép đối xứng này không có tính chất giao hoán.
Nhận xét: Mỗi phép tịnh tiến đều có thể phân tích thành tích của hai phép đối
xứng có trục song song.
b. Tích của hai phép đối xứng có trục cắt nhau:
Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có 2 trục a và b cắt nhau
tại O là một phép quay tâm O góc quay
α
bằng 2 lần góc giữa hai đường
thẳng a và b.
Chứng minh:
Gọi Đ

a
và Đ
b
là 2 phép đối xứng trục với hai trục là a và b cắt nhau tại O. Với
một điểm M bất kỳ khác O, ta gọi
M’ = Đ
a
(M),
M’’ = Đ
a
(M’)
Như vậy tích Đ
b
Đ
a
biến điểm M thành M’’
Gọi H và H’ lần lượt là trung điểm của MM’ và M’M’’ thì H’
∈
b
Ta có
( , ') 2( , ')
( , '') 2( ', ')
OM OM OH OM
OM OM OM OH
=
=
uuuur uuuuur uuuuruuuuur
uuuuruuuuur uuuuur uuuur
Do đó
( , '') ( , ') ( ', '')OM OM OM OM OM OM

= +
uuuuruuuuur uuuuruuuuur uuuuur uuuuur

2 ( , ') ( ', )OH OM OM OH
 
= +
 
uuur uuuuur uuuuur uuur

( , ') 2( , )OH OH a b= =
uuur uuuur
Trong đó (a,b) là góc định hướng tạo bởi a và b. Góc này xác định sai khác một
bội số của
π
. Dó đó nếu
( , )a b k
α π
= +
thì
( , ') 2 2 .OM OM k
α π
= +
uuuur uuuuur
Ngoài ra OM = OM’ = OM’’.
Nếu M
≡
O thì tích Đ
b
Đ
a

biến O thành O.
Vậy tích của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau tại O tạo thành một
góc
α
là một phép quay tâm O với góc
2
α
.
GV: Phan Thị Thanh Huyền
8
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Nhận xét:
i. Tích của 2 phép đối xứng có trục vuông góc tại O là phép đối xứng tâm
O.
ii. Mỗi phép quay ta có thể phân tích thành tích của hai phép đối xứng có
trục cắt nhau.
(Bạn đọc tự kiểm chứng)
2.3 – Tích của hai phép đối xứng tâm:
Tích của hai phép đối xứng tâm I
1
, I
2
(I
1
≠
I
2
) theo thứ tự là phép tịnh
tiến theo véctơ
1 2

2 .I I
uuuur
Chứng minh:
Gọi Đ
1
I
và Đ
2
I
là hai phép đối xứng tâm I
1
, I
2.
Với điểm M bất kỳ
Giả sử Đ
1
I
(M) = M’
Đ
2
I
(M’) = M’’
Ta có
1
2
' 2
'' 2 '
MM MI
MM M I
=

=
uuuuur uuur
uuuuur uuuuur
1 2
1 1 1 2
0
1 2
'' ' ' '' 2( ' )
2( ' )
2 .
MM MM M M MI M I
MI M I I I
I I
⇒ = + = +
= + +
=
r
uuuuur uuuuur uuuuuuur uuur uuuuur
uuur uuuuur uuur
1 4 2 4 3
uuuur
Vậy
1 2
2
( ) ''
I I
T M M=
uuuur
2.4 – Tích của hai phép quay:
a. Tích của hai phép quay cùng tâm.

Tích của hai phép quay
1 2
( ; ) ( ; )
à
O O
Q v Q
α α
là một phép quay
1 2
( ; ).O
Q
α α
+
Chứng minh:
Gọi
1 2
( ; ) ( ; )
à
O O
Q v Q
α α
là hai phép tâm O góc quay
1
α
và phép quay tâm O góc quay
2
α
với mỗi điểm M bất kì
Giả sử
1

2
( ; )
( ; )
( ) '
( ') ''
O
O
Q M M
Q M M
α
α
=
=
Ta có
1
'
( , ')
OM OM
OM OM
α
=


=

Và
1 2
' ''
( , '') ( , ') ( ', '') .
OM OM

OM OM OM OM OM OM
α α
=


= + = +

Vậy
1 2
( ; )
( ) ''.
O
Q M M
α α
+
=
GV: Phan Thị Thanh Huyền
9
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
b. Tích của hai phép quay khác tâm:
Phân tích:
Giả sử
1 1
2 2
( ; )
( ; ).
O
O
Q
Q

α
α
Qua O
1
,O
2
lần lượt kẻ đường thẳng d
1
, d
2
sao cho
( ) ( )
1 2
1 1 2 1 2 2
; và O O ;
2 2
d O O d
α α
= =
.
Đặt
2 2 1 1
( ; ) ( ; ).O O
f Q Q
α α
=
= (Đ
2
d
Đ

1 2
O O
)(Đ
1 2
O O
Đ
1
d
)
= Đ
2
d
(Đ
1 2
O O
Đ
1 2
O O
)Đ
1
d
= Đ
2
d
Đ
1
d
(Vì tích Đ
1 2
O O

Đ
1 2
O O
là phép đồng nhất)
Nếu d
1
// d
2
thì f là một phép tịnh tiến
Nếu d
1
cắt d
2
thì f là một phép quay.
Tóm lại:
Tích của hai phép quay
1 1 2 2
( ; ) ( ; )
à
O O
Q v Q
α α
hoặc là một phép quay
hoặc là một phép tịnh tiến.
2.5 – Tích của hai phép vị tự.
a. Tích của hai phép vị tự cùng tâm.
Tích của hai phép vị tự
1 2
( ; ) ( ; )
à

O k O k
V v V
là một phép vị tự
2
( ; ) 1 2
, .
O k
V k k k
=
Chứng minh.
Giả sử:
1
( ; )( ) 'O k M M
V
=
, M bất kì
2
( ; )( ') ''O k M M
V
=
Ta có
1
2 2 1
'
'' ' .
OM k OM
OM k OM k k OM
=
= =
uuuuur uuuur

uuuuur uuuuur uuuur
Vậy
2 1
'' , .OM kOM k k k
= =
uuuuur uuuur
Nhận xét: Nếu
1 2
. 1k k =
thì tích đó là một phép đồng nhất.
GV: Phan Thị Thanh Huyền
10
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
b. Tích của hai phép vị tự khác tâm.
Tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm thẳng hàng
với hai tâm của hai phép vị tự đã cho hoặc đặc biệt là một phép tịnh tiến hay
phép đồng nhất.
Chứng minh:
Giả sử có hai phép vị tự
1 1 2 2
( ; ) ( ; ).
à
O k O k
V v V
Với hai điểm bất kỳ A, B ta có
1 1
( ; )
( ) ' '
O k
V AB A B

=
uuur uuuuur
với
1
' 'A B k AB
=
uuuuur uuur
2 2
( ; )
( ' ') '' ''
O k
V A B A B
=
uuuuur uuuuur
với
2
'' '' ' 'A B k A B
=
uuuuur uuuuur
Do đó
2 1
'' ''A B k k AB
=
uuuuur uuur
Vậy tích
2 2 1 1
( ; ) ( ; )O k O k
V V
là
Phép vị tự nếu

2 1
. 1k k
=
Phép tịnh tiến hoặc phép đồng nhất nếu
2 1
. 1k k
=
* Cách xác định tâm vị tự O của tích
2 2 1 1
( ; ) ( ; )O k O k
V V
Ta thấy tâm O phải nằm trên đường thẳng O
1
O
2

Giả sử
1 1
( ; )
( ) '
O k
V O O
=
ta có
1 1 1
O O' O Ok
=
uuuuur uuuur
(1)
Khi đó

2 2
( ; )
( ')
O k
V O O
=
(vì
2 2
( ; )
''
O k
O O V
≡ =
)
Nên
2 2
'O O kO O
=
uuuur uuuuur
(2)
Nhưng
2 2 1 1
' 'O O O O O O
= +
uuuuur uuuuur uuuur
Do đó
2 2 2 2 1 1 2 2 1 1
" ( ') ( )O O O O k O O OO k O O kO O
= = + = +
uuuuur uuuur uuuuur uuuur uuuuur uuuur

Theo (1)
2 1 1 2 2 1 2 1 1
O O O O k O O k k O O
+ = +
uuuuur uuuur uuuuur uuuur
1 2 1 1 2 2
(1 ) (1 )O O k k O O k
− = −
uuuur uuuuur
với
2 1
1 0k k− ≠
Nên
2
1 1 2
2 1
1
1
k
O O O O
k k
−
=
−
uuuur uuuuur
(*)
Vì
1 2
,O O
đã cho nên điểm O hoàn toàn xác định nhờ (*)

Vậy:
Nếu
1 2
1k k
≠
thì
2 1 1
( ; ) ( ; )O k O k
V V
là một phép vị tự tâm O được xác định bởi
hệ thức (*), tỉ số
1 2
k k k=
.
GV: Phan Thị Thanh Huyền
11
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Nếu
1 2
1k k
=
thì
" "A B AB
=
uuuuuur uuur
, do đó
2 2 1 1
( ; ) ( ; )O k O k
V V
là một phép tịnh

tiến nếu
1 2
O O≠
và là phép đồng nhất nếu
1 2
O O
≡
.
2.6 – Tích của phép đối xứng trục Đ
d
và phép tịnh tiến
a
T
r
.
Đặt
f
=
Đ
d
a
T
r
.
a) Nếu
a d
⊥
r
Kẻ đường thẳng d
1

thỏa
1
( , )
2
d d
a
d
=
ur
uuuuur
Khi đó
a
T
=
r
Đ
d
Đ
d
1
Suy ra
f
=
Đ
d
a
T
r

=

Đ
d
(Đ
d
Đ
d
1
) = Đ
d
1
Vậy tích của phép đối xứng trục Đ
d
và phép tịnh tiến
a
T
r
,
a
r
vuông góc với trục
đối xứng d là một phép đối xứng trục.
b) Nếu
a
r
không vuông góc với d
Phân tích
1 2
a a a
= +
r ur uur

Trong đó
1 2
,a d a d
⊥
ur uur
P
f
=
Đ
d
a
T
r
= Đ
d
(
1 2
a a
T T
uur uur
)
= (Đ
d
1 2
)
a a
T T
uur uur
(với d
1

được xác định như trường hợp a)
Ta gọi tích của một phép tịnh tiến
a
T
r
và phép đối xứng trục Đ
d
, với
a d
r
P
là một
phép đối xứng trượt.
Kí hiệu: Đ
,d a
T
r
.
Nhận xét: Phép đối xứng trượt có tính chất giao hoán nghĩa là:
Đ
d
a a
T T=
r r
Đ
d

2.7 – Tích của một phép quay và một phép đối xứng trục.
Giả sử
g

=
Đ
d
( ; )O
Q
α
Kẻ d
1
, d
2
thỏa:
• d
1
cắt d
2
tại O
•
2
d dP
•
1 2
( , )
2
d d
α
=
GV: Phan Thị Thanh Huyền
12
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Khi đó:

g
=
Đ
d
( ; )O
Q
α
= Đ
d
(Đ
d
2
Đ
d
1
)
= (Đ
d
Đ
d
2
Đ
d
1
)
=
2a
T
r
Đ

d
1
Nếu
1
a d
⊥
r
thì g là phép đối xứng trục.
Nếu
a
r
không vuông góc với d
1
thì g là phép đối xứng trượt.
2.8 – Mở rộng.
a. Tích của một số chẵn các phép đối xứng có trục đối xứng song song là một
phép tịnh tiến.
b. Tích của một số lẻ các phép đối xứng trục có trục đối xứng song song là
một phép đối xứng trục.
c. Tích của một số chẵn các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy
là một phép quay.
d. Tích của một số lẻ các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là
một phép đối xứng trục.
e. Tích của hai phép đối xứng trượt có trục song song là một phép tịnh tiến.
f. tích của ba phép đối xứng trục bất kì là một phép đối xứng trượt.
* Tích của một phép dời hình và một phép vị tự là phép đồng dạng.
GV: Phan Thị Thanh Huyền
13
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Chương 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hai điểm A, B cố định trên đường tròn (O; R) cho trước. Một điểm M
di động trên (O; R). Gọi N là trung điểm của đoạn AM. Dựng hình bình hành
ABCN. Xác định phép biến hình điểm M thành C và chứng tỏ rằng tập hợp các
điểm C là một đường tròn có bán kính xác định.
Giải.
Ta có
1
2
AN AM
=
uuur uuuur
Vậy
1
( ; )
2
( )
A
V M N
=
Mặt khác:
NC AB
=
uuur uuur
Vậy
( )
AB
T N C
=
uuur
Do đó :

1
( ; )
2
. ( )
AB
A
T V M C=
uuur
Vậy phép đồng dạng là tích của một phép vị tự và một phép tịnh tiến biến M
thành C.
Vì N chạy trên đường tròn bán kính
2
R
nên C cũng chạy trên đường tròn bán kính
2
R
.
Bài 2 : Tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. S
∈
(ABC), thay đổi. I, J, K lần lượt là đối xứng của S qua M, N, P.
a) Chứng minh rằng AI, BJ, CK đồng quy tại một điểm S’.
b) Tìm quỹ tích điểm S’.
Giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Xét tích
( )
1
; 1
( ; )
2

S
G
f V V
−
−
=


1
( ; )
( ; 1)
2
G
S
V
V
A M I
−
−
a a

B N Ja a

C P Ka a
Suy ra I, J, K lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự
f
tâm S’, tỉ số
( )
1 1
. 1

2 2
k = − − =
.
GV: Phan Thị Thanh Huyền
14
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Vậy AI, BJ, CK đồng quy tại S’
b) Ta có
2
1 2
1 1 1
'
1
1
1
2
k
GS GS GS
k k
− +
= =
−
+
uuur uuur uuur

4
'
3
GS GS
=

uuur uuur

4
;
3
'
G
V
S S
 
 ÷
 
a
Vậy S’ thuộc đường tròn ảnh của (ABC) qua
4
;
3
G
V
 
 ÷
 
.
* Bài tập tự giải
Bài 1: cho hai đường tròn (O), (O’) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng d,
điểm M thay đổi trên d. từ M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP đến (O). Hai đường
thẳng AN, AP lần lượt cắt (O’) tại N’, P’. Chứng minh rằng đường thẳng N’P’
luôn qua một điểm cố định khi M thay đổi trên d.
Bài 2: Dựng hình vuông nội tiếp một tam giác đã cho. Trong đó hai đỉnh của
hình vuông nằm trên một cạnh, hai đỉnh kia nằm trên hai cạnh còn lại của tam

giác đó.
Bài 3 : Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác này hai tam giác vuông
cân ABP và ACQ tại P, Q. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam
giác MPQ là tam giác vuông cân.
Bài 4: Cho hai đường tròn cố định (O
1
), (O
2
) ngoài nhau. Đường tròn (O
3
) thay
đổi tiếp xúc với (O
1
), (O
2
) lần lượt tại M và N. Cho biết bán kính của (O
1
), (O
2
)
không bằng nhau. Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định.
Bài 5: Cho hình thanh ABCD vuông tại A và D có AB = 2AD = 2CD. M là điểm
thay đổi trên cạnh CD. Đường thẳng vuông góc với AM tại M cắt BC tại N.
Chứng minh trung điểm I của MN thuộc một đường thẳng cố định.
GV: Phan Thị Thanh Huyền
15
Tích các phép biến hình trong mặt phẳng
Tài liệu tham khảo:
1. Văn Như Cương (chủ biên), 2007, Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục.
2. Văn Như Cương (chủ biên), 2007, Bài tập hình học 11 nâng cao, NXB Giáo

dục.
3. Văn Như Cương, Trần Phương Dung, Phan Thị Minh Nguyệt, 2007, Câu hỏi
trắc nghiệm khách quan và bài tập tự luận Hình học 11, NXB Giáo dục.
4. Nguyễn Mộng Hy, 2004, Các phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo
dục.
5. Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), 2007, Hình học 11, NXB Giáo dục.
6. Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), 2007, Bài tập hình học 11, NXB Giáo dục.
7. Đỗ Thanh Sơn, 2006, Phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo dục.
8. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện, 2007, Bài tập hình học sơ cấp
9. Lê Thị Hoài Châu, 2004, Phương pháp dạy – học hình học ở trường trung học
phổ thông, NXB Đại học quốc gia tp Hồ Chí Minh.
GV: Phan Thị Thanh Huyền
16