Phép biến hình trong mặt phẳng

Bài 3. VẬN DỤNG PHÉP
Bài 3. VẬN DỤNG PHÉP
DỜI HÌNH PHẲNG VÀO
DỜI HÌNH PHẲNG VÀO
VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI
VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN HÌNH HỌC
TOÁN HÌNH HỌC


Học phần: Ứng dụng phép biến
Học phần: Ứng dụng phép biến
hình giải các bài toán Hình học
hình giải các bài toán Hình học
Lớp CĐSP Toán K06
Lớp CĐSP Toán K06


1. Ví dụ mở đầu:
1. Ví dụ mở đầu:


Ví
Ví


dụ

dụ
1:
1:
Cho đường tròn (O) và hai
Cho đường tròn (O) và hai
điểm B, C cố định trên (O). Một điểm
điểm B, C cố định trên (O). Một điểm
A thay đổi trên đường tròn đó.
A thay đổi trên đường tròn đó.
Chứng minh rằng quỹ tích của trực
Chứng minh rằng quỹ tích của trực
tâm H của tam giác ABC khi A thay
tâm H của tam giác ABC khi A thay
đổi là một đường tròn.
đổi là một đường tròn.


Lời giải 1:
Lời giải 1:


Gọi D là xuyên tâm đối của C. Khi đó
Gọi D là xuyên tâm đối của C. Khi đó
BD
BD
⊥
⊥
BC
BC
⇒

⇒
BD//AH (cùng vuông góc
BD//AH (cùng vuông góc
với BC). Tương tự DA//BH. Suy ra
với BC). Tương tự DA//BH. Suy ra
ADBH là hình bình hành
ADBH là hình bình hành
⇒
⇒


(do (O), B, C cố định nên D cố định
(do (O), B, C cố định nên D cố định
nên không đổi). Nên H = Đ(A). A
nên không đổi). Nên H = Đ(A). A
thuộc đường tròn (O) nên H thuộc
thuộc đường tròn (O) nên H thuộc
ảnh của đường tròn (O) qua phép
ảnh của đường tròn (O) qua phép
tịnh tiến theo véc tơ .
tịnh tiến theo véc tơ .
AH DB
=
uuur uuur


Lời giải 2
Lời giải 2

Gọi AI, BK là các đường cao của tam giác

Gọi AI, BK là các đường cao của tam giác
ABC, H là trực tâm. BK, AI lần lần lượt cắt
ABC, H là trực tâm. BK, AI lần lần lượt cắt
(O) tại D, E.
(O) tại D, E.



Ta có
Ta có
∆
∆
AIC ~
AIC ~
∆
∆
BKC
BKC

nên =
nên =
∠
∠
IAC
IAC

Đồng thời
Đồng thời
∠
∠

IAC = (cùng chắn cung EC).
IAC = (cùng chắn cung EC).
Do đó:
Do đó:
∠
∠
KBC=
KBC=
∠
∠
EBC . Từ đó suy ra:
EBC . Từ đó suy ra:
∆
∆
BHE
BHE
cân tại B
cân tại B
⇒
⇒
IH = IE
IH = IE
⇒
⇒
H = ĐBC(E).
H = ĐBC(E).

Khi A thay đổi trên (O) thì E thay đổi trên
Khi A thay đổi trên (O) thì E thay đổi trên

Nhận xét 1
Nhận xét 1


Bài toán trên có thể giải được chỉ
Bài toán trên có thể giải được chỉ
cần bằng các kiến thức hình học
cần bằng các kiến thức hình học
THCS nhưng đã được giải ở đây theo
THCS nhưng đã được giải ở đây theo
phương pháp biến hình. Đó là
phương pháp biến hình. Đó là
phương pháp vận dụng các tính chất
phương pháp vận dụng các tính chất
của phép biến hình (phép dời hình,
của phép biến hình (phép dời hình,
phép đồng dạng, …) vào việc khảo
phép đồng dạng, …) vào việc khảo
sát các tính chất của hình, dựng
sát các tính chất của hình, dựng
hình, tìm quỹ tích,…
hình, tìm quỹ tích,…


Nhận xét 2
Nhận xét 2
Về nguyên tắc, một bài toán hình học
Về nguyên tắc, một bài toán hình học
thông thường có thể giải bằng nhiều phương

thông thường có thể giải bằng nhiều phương
pháp khác nhau, Ở một số bài toán, phương
pháp khác nhau, Ở một số bài toán, phương
pháp biến hình sẽ cho ta một lời giải đẹp,
pháp biến hình sẽ cho ta một lời giải đẹp,
rất gọn gàng, ở một số bài toán khác,
rất gọn gàng, ở một số bài toán khác,
phương pháp dựng hình cho ta một phương
phương pháp dựng hình cho ta một phương
án, một phép thử làm công cụ kiểm tra sự
án, một phép thử làm công cụ kiểm tra sự
đúng đắn của lời giải. Vấn đề đặt ra là làm
đúng đắn của lời giải. Vấn đề đặt ra là làm
thế nào để nhận biết một bài toán có khả
thế nào để nhận biết một bài toán có khả
năng giải được bằng phương pháp biến hình.
năng giải được bằng phương pháp biến hình.


Thông thường, một bài toán giải
Thông thường, một bài toán giải
được bằng phương pháp dựng hình các
được bằng phương pháp dựng hình các
dữ kiện của nó các tính chất thường
dữ kiện của nó các tính chất thường
xuất hiện nhưng yếu tố có mối quan
xuất hiện nhưng yếu tố có mối quan
hệ đáng chú ý đến một phép biến hình
hệ đáng chú ý đến một phép biến hình
cụ thể nào đó. Từ đó vận dụng các

cụ thể nào đó. Từ đó vận dụng các
tính chất của phép biến hình này, ta
tính chất của phép biến hình này, ta
tìm ra lời giải hoặc đáp số.
tìm ra lời giải hoặc đáp số.
Ví dụ
Ví dụ
: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt
: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt
nhau tại A. Hãy dựng đường tròn tâm A cắt
nhau tại A. Hãy dựng đường tròn tâm A cắt
(O), (O’) tại hai điểm B, C sao cho A, B, C
(O), (O’) tại hai điểm B, C sao cho A, B, C
thẳng hàng.
thẳng hàng.


Phân tích:
Phân tích:
Giả sử
Giả sử
bài toán đã được
bài toán đã được
dựng xong. Khi đó
dựng xong. Khi đó
dễ thấy rằng B =
dễ thấy rằng B =
ĐA(C) nên B thuộc
ĐA(C) nên B thuộc
đường tròn ảnh

đường tròn ảnh
của (O’) qua phép
của (O’) qua phép
đối xứng tâm A,
đối xứng tâm A,
đồng thời B thuộc
đồng thời B thuộc
(O) nên B là giao
(O) nên B là giao
của (O) và
của (O) và
ĐA[(O’)]. Đường
ĐA[(O’)]. Đường
tròn cần dựng là
tròn cần dựng là
(A, AB).
(A, AB).
C
B
A
O'
O