Phương pháp tính khoảng cách trong không gian

Trêng THPT KiÕn An NguyÔn Trung
TiÕn
ĐỀ TÀI: MỘT PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Loại toán tính khoảng cách trong hình học không gian là một trong những loại toán
hay, đòi hỏi tư duy đối với học sinh THPT và thường gặp trong các đề thi đại học.
Khi gặp loại toán này học sinh thường rất lúng túng không biết hướng giải quyết.
- Nhằm giúp các em có thêm kiến thức, phát triển năng lực tư duy sáng tạo và gợi
cho các em hướng giải quyết tốt khi gặp loại toán này. Tôi mạo muội trình bày suy
nghĩ của mình trong việc giải các bài toán tính khoảng cách trong hình học không
gian dưới dạng một bài viết nhỏ, với hy vọng phần nào giúp các em học sinh không
lúng túng khi gặp dạng toán này.
Nội dung đề tài bao gồm:
+ Phần I: Lý thuyết
+ Phần II: Bài tập
1. Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. LÝ THUYẾT:
1. Cách xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng:
Trong không gian cho mp(P) và một điểm M không nằm trên mp(P), để xác định
khoảng cách từ điểm M đến mp(P) ta làm như sau:
Bước 1: Dựng mp(Q) đi qua M và vuông góc với mp(P)
Bước 2: Xác định giao tuyến d của mp(P) và mp(Q)
Bước 3: Kẻ MH vuông góc với d tại H ⇒ MH ⊥ mp(P) ⇒ d(M;(P)) = MH
2. Bổ đề (*): Cho mp(P) và 2 điểm A, H không nằm trên (P). Gọi I = AH ∩ (P) khi
đó ta có: =
3. Cách xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
+) Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau
TH1: a và b vuông góc với nhau

+) Chọn điểm M nằm trên a (thuận lợi nhất) kẻ MH ⊥ b ⇒ mp(a,H) ⊥ b
Kẻ HK ⊥ a ⇒ d(a,b) = HK
TH2: a và b bất kỳ
+) Dựng mp(α) chứa b và song song với a, d(a,b) = d(a,(α)) = d(M,(α)), trong đó M
là 1 điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng a
4. Các kỹ năng xác định hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy của hình chóp:
+) Nếu tồn tại một mặt phẳng đi qua đỉnh vuông góc với mặt đáy thì hình chiếu của
đỉnh lên mp đáy trùng với hình chiếu của đỉnh lên giao tuyến của mp đó và đáy.
+) Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên tạo với mặt đáy một
góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh lên mp đáy trùng với tâm đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy
+) Hình chóp có các mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu của
đỉnh trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
II. BÀI TẬP:
Trêng THPT KiÕn An NguyÔn Trung
TiÕn
1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Bài tập 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh
bằng a, SA=a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB).
Giải:
\S.ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥ (ABCD). Qua O kẻ OI vuông góc với AB
⇒ (SOI) ⊥ (SAB). Kẻ OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SAB) ⇒ d(O;(SAB)) = OH
Ta có: AC = BD = a, OI = . Xét ∆SAO ta có: SO = SA - AO =
Xét ∆SOI: = + = ⇒ OH = a
Vậy: d(O; (SAB)) = a.
Bình luận:
1. Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm C đến (SAB) ta sẻ làm
như thế nào:
- Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra
d(C;(SAB))

Ta có: = = 2 ⇒ d(C;(SAB)) = 2a
2. Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm K của SC
đến (SAB) ta sẻ làm như thế nào:
- Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra
d(K;(SAB))
Ta có OK∥(SAB) ⇒ d(K;(SAB)) = d(O;(SAB)) = a
Nhận xét: Qua bài tập trên ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì đến
mặt bên của khối chóp như sau:
- Tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy đến mp đó rồi sử dụng bổ đề
(*) để suy ra khoảng cách cần tính.
Bài tập 2( ĐH_D_2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B, AB=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC). Biết SB=2a, SBC=30. Tính
khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a.
Giải:
Kẻ SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ (ABC). Xét ∆SHB ta có: SH = SB.sin30 = a;
BH = SB.cos30 = 3a
Qua H kẻ HI ⊥ AC tại I
⇒ (SHI) ⊥ (SAC). Kẻ HK ⊥ SI tại K
⇒ HK ⊥ (SAC)
B
S
C
D
A
S
H
I
O
Trêng THPT KiÕn An NguyÔn Trung
TiÕn

⇒ d(H;(SAC)) = HK
Ta có ∆CHI∽∆CAB(g-g)
⇒ HI = =
= + = ⇒ HK =
⇒ d(H;(SAC)) =
Mà = = 4 ⇒ d(B;(SAC)) =
Bài tập 3(ĐH_D_2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC=BAD
= 90, BA=CB=a, AD=2a. Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA=a. Gọi H là hình
chiếu của A lên SB. Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD) theo a.
Giải:
Gọi I là trung điểm của AD ta có CI = AD
⇒ ∆ACD vuông tại C hay AC ⊥ CD
⇒ (SAC) ⊥ (SCD).
Kẻ AI vuông góc SC tại I
⇒ AI ⊥ (SCD) ⇒ d(A;(SCD)) = AI
Ta có: AC = AB + BC = 2a
= + =
⇒ AI = a ⇒ d(A;(SCD)) = a
Nối AB cắt CD tại K ⇒ B là trung điểm của AK
⇒ = =
⇒ d(B;(SCD)) =
= = = = ⇒ d(H;(SCD)) = d(B;(SCD)) =
Nhận xét: Nếu sử dụng cách giải trên mà ta gặp bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm
đến mặt phẳng mà mặt phẳng đó chứa đường cao của khối chóp ta sẻ làm như thế
nào?
Bài tập 4(ĐH_B_2011). Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình
chử nhật. AB=a, AD=a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABCD) trùng với
giao điểm của AC và BD. Góc giữa mp(ADD’A’) và (ABCD) bằng 60. Tính khoảng
cách từ điểm B’ đến mp(A’BD).
Giải:

H
C
K
I
B
C
H
A
C
D
A
B
C’
A’
B’
D’
O
S
D
B
H
K
A
Trêng THPT KiÕn An NguyÔn Trung
TiÕn
Gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒ A’O ⊥ (ABCD)
Gọi E là trung điểm của AD ⇒ OE ⊥ AD, A’E ⊥ AD
⇒ A’EO là góc giữa mp(ADD’A’) và mp(ABCD) ⇒ A’EO = 60
⇒ A’O = OE.tanA’EO = .tan60 =
Ta có B’C ∥(A’BD)

⇒ d(B’;(A’BD)) = d(C;(A’BD))
Kẻ CH ⊥ BD tại H ⇒ CH ⊥ (A’BD) ⇒ d(C;(A’BD)) = CH
Mà = + = ⇒ CH =
Vậy d(B’;(A’BD)) =
Bình luận: Qua bài tập ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ điểm I nào đó đến
mp(α) chứa đường cao của khối chóp như sau:
Bước 1: Xác định giao tuyến d của mp(α) và mặt đáy
Bước 2: Chọn 1 điểm M nằm trên mặt đáy thuận lợi nhất, rồi tính khoảng cách từ
điểm M đến mp(α), bằng cách kẻ MH ⊥ d tại M ⇒ MH ⊥ (α) ⇒ d(M;(α)) = MH
Bước 3: Sử dụng bổ đề (*) để suy ra
Bài tập 5( Đề thi thử ĐH_Trường THPT Cao Thắng_2012). Cho hình chóp S.ABC
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A, AB=a. Gọi I là trung điểm của BC,
hình chiếu vuông góc H của S lên (ABC) thỏa mãn IA = -2 , góc giữa SC và
mp(ABC) bằng 60. Tính khoảng cách từ trung điểm E của SB đến mp(SAH).
Giải:
BC = AB + AC = 4a ⇒ BC = 2a ⇒ BI = a
Kẻ BK vuông góc với AH tại K ⇒ BK ⊥ (SAH)
⇒ d(B;(SAH)) = BK
Mà = + =
⇒ d(B;(SAH)) = BK =
= =
⇒ d(E;(SAH)) =
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Bài tập 1(ĐH_A_2010). Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN
và DM. Biết SH vuông góc với mp(ABCD) và SH=a. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng DM và SC.
Giải:
Ta có: ∆CDN = ∆DAM ⇒ CN ⊥ DM; mặt khác SH ⊥ DM ⇒ DM ⊥ (SCN)
⇒ DM ⊥ SC.

Kẻ HK ⊥ SC ⇒ HK ⊥ DM
⇒ d(HK, DM) = HK
Ta có S = S - S - S =
Mặt khác S = CH.DM
⇒ CH = =
K
B
C
S
S
K
B
A
C
I
H
Trêng THPT KiÕn An NguyÔn Trung
TiÕn
= + =
⇒ HK = ⇒ d(DM, SC) =
Bài tập 2(ĐH_A_2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân
tại B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi
M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC tại N. Biết góc giữa
hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
và SN theo a.
Giải:
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC)
⇒ SA ⊥ (ABC)
AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC
⇒ SBA là góc giữa mp(SBC) và (ABC)

⇒ SBA = 60 ⇒ SA = AB.tan60 = 2a
Mặt phẳng qua SM ∥ BC cắt AC tại N
⇒ MN ∥ BC và N là trung điểm AC
MN = = a
Kẻ đường thẳng ∆ đi qua N song song AB, gọi (α) là mp chứa SN và ∆
⇒ AB ∥ (α) ⇒ d(AB, SN) = d(A;(α))
Kẻ AD ⊥ ∆ tại D ⇒ (SAD) ⊥ (α), Kẻ AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ (α) ⇒ d(A,(α)) = AH
Ta có AD = MN = a ⇒ = + = ⇒ AH =
Vậy: d(AB,SN) =
Bài tập 3(ĐH_A_2012). Cho hình chóp S.ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của S lên (ABC) là H nằm trên AB sao cho AH=2HB. Góc giữa SC và
(ABC) bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Giải:
Ta có là góc giữa SC và mp(ABC) ⇒ = 60.
Xét ∆ACH ta có: CH = AH + AC - 2AH.AC.cos60 = ⇒ CH =
⇒ SH = CH.tan60 =
Qua A kẻ đường thẳng ∆ song song với BC, gọi (α) là mp chứa SA và ∆
⇒ BC ∥ (α) ⇒ d(SA,BC) = d(B,(α)) = d(H,(α))
Kẻ HI ⊥ ∆ tại I ⇒ (SHI) ⊥ (α), kẻ HK ⊥ SI tại K ⇒ HK ⊥ (α) ⇒ d(H,(α)) = HK
Ta có HI = AH.sin60 = ⇒ = + = ⇒ HK =
⇒ d(H,(α)) = ⇒ d(B,(α)) =
Vậy: d(SA,BC) =
H
N
M
D
A
C
B
C

B
H
I
K
S
A
H
D
N
M
A
S
Trêng THPT KiÕn An NguyÔn Trung
TiÕn
Bài 4(ĐH_D_2008). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác
vuông, AB=BC=a, cạnh bên A’A=a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng B’C và AM theo a.
Giải:
Ta có: AM = AB + BM = ⇒ AM =
Qua C kẻ đường thẳng ∆ song song với AM, gọi (α) là mặt phẳng chứa B’C và ∆
⇒ AM∥(α) ⇒ d(AM,B’C) = d(M,(α)) = d(B,(α))
Kẻ BI ⊥ ∆ tại I ⇒ (B’BI) ⊥ (α), kẻ BK ⊥ B’I tại K ⇒ BK ⊥ (α) ⇒ d(B,(α)) = BK
Ta có: sin = sin = =
⇒ BI = BC.sin =
⇒ = + = ⇒ HK =
⇒ d(B,(α)) = ⇒ d(M,(α)) =
Vậy: d(B’C,AM) = .
BÀI TẬP
Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,
AB=AD=a, CD=2a, SA=a, hai mp (SCD) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy.

Gọi G là trọng tâm ∆BCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm
G đến mp(SBC) theo a.
Bài tập 2(Đề thi thử ĐH-2012-THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị)
Cho hình chóp S.ABCcos đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền bằng 3a.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, SG vuông góc mp(ABC), SB= . Tính thể tích
khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a.
Bài tập 3(Đề thi thử ĐH-2012-THPT Gia Lộc-Hải Dương)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB=2a, BC=a, =30 và thể tích lăng trụ bằng a.
Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BC) theo a.
Bài tập 4(Đề thi thử ĐH-2012-THPT chuyên Hạ Long)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều và nằm trên
mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng
cách giữa hai đường thẳng SC và AB bằng a.
Bài tập 5(Đề thi thử ĐH-2012-THPT Nguyễn Đức Cảnh-Thái Bình)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
AB=BC=a
AD=2a, các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc tạo
bởi (SAB) và (ABCD) bằng 60. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai
đường thẳng SB và CD theo a.
Bài tập 6(Đề thi thử ĐH-2013-THPT Ngô Gia Tự-Bắc Ninh)
Cho hình chóp S.ABCD có SA=a và SA vuông góc với mặt đáy. Biết ABCD là thang
vuông tại A và B, AB=a, BC=2a và SC vuông góc với BD. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM theo a với M là trung
điểm của BC.
D. KẾT LUẬN
- Chuyên đề đã rút ra được một phương pháp tính khoảng cách trong hình học không
gian.
Với mục đích nâng cao năng lực tư duy, tính sáng tạo trong giải toán của học sinh
THPT. Hy vọng với kết quả nhỏ này sẽ bổ sung được phần nào kiến thức cơ bản cho
M

K
I
C
B
A
C’
B’
A’
Trêng THPT KiÕn An NguyÔn Trung
TiÕn
học sinh, giúp các em nhận thức đầy đủ và rèn luyện tốt kỹ năng giải các bài toán
khoảng cách trong hình học không gian.
- Với kinh nghiệm nghề nghiệp chưa nhiều, song với tinh thần cầu tiến, học hỏi nên
tôi đã cố gắng trình bày bài viết của mình với tất cả những gì có thể, chắc chuyên đề
còn nhiều thiếu sót nên tôi rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp để chuyên
đề này có thể hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!