Phương trình đại số lyapunov và một số tính chất liên quan

Mục lục
Lời cảm ơn 2
Lời mở đầu 3
Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt 5
1 Phương trình Lyapunov trong lý thuyết ổn định của phương
trình vi phân 6
1.1 Hệ động lực tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Hệ động lực tuyến tính rời tạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Các phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov liên tục 10
2.1 Các phương pháp vectơ hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Phương pháp Bellman (1959) . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Phương pháp MacFalane (1963) . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Phương pháp Bingulac (1970) . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Phương pháp sử dụng hàm mũ ma trận . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Phương pháp sử dụng ma trận phản đối xứng . . . . . . . . . . . 21
3 Các tính chất của nghiệm phương trình Lyapunov 24
3.1 Đánh giá nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 Đánh giá giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Đánh giá vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Đánh giá định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Kết luận 33
Tài liệu tham khảo 34
1
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học khoa học và Tự Nhiên
Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Bình Minh, người đã tận tình hướng dẫn
và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tấm gương đam mê nghiên cứu khoa
học, nghiêm túc trong công việc, gần gũi trong cuộc sống của thầy đã giúp cho
tôi có niềm tin, ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao để hoàn thành luận văn
của mình. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy.

Tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình và bạn bè, những người đã đồng hành, hết
lòng động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như làm luận
văn thạc sĩ này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Học viên
Phạm Thanh Nga
2
LỜI MỞ ĐẦU
Phương trình ma trận Lyapunov và tựa Lyapunov xuất hiện nhiều trong các
tư tưởng toán học và kỹ thuật khác nhau như lý thuyết điều khiển, lý thuyết hệ
thống, tối ưu hóa, hệ thống điện, xử lý tín hiệu số, đại số tuyến tính, phương
trình vi phân Theo định nghĩa của Lyapunov về sự ổn định (hay được gọi là
sự ổn định theo tư tưởng Lyapunov), người ta có thể kiểm tra sự ổn định của
một hệ thống bằng cách xác định các hàm Lyapunov. Trong toán học, các hệ
thống tuyến tính xử lý rất dễ dàng và ta có thể biểu diễn xấp xỉ tuyến tính cho
các hệ thống phi tuyến, kết quả phân tích của các nhà toán học cũng như kỹ
thuật thường dựa vào mô hình tuyến tính. Vì vậy, nghiệm của phương trình ma
trận Lyapunov sẽ cho chúng ta hiểu sâu hơn về cách thức hoạt động của các hệ
thống động lực học.
Phương trình Lyapunov được ứng dụng không chỉ trong nghiên cứu tính
ổn định của các hệ thống tuyến tính mà còn được ứng dụng trong bài toán
điều khiển và bài toán lý thuyết hệ thống đều dựa vào phương trình Lyapunov
hoặc phương trình tựa Lyapunov: khái niệm về Grammian điều khiển và quan
sát(Chen, 1984), phép biến đổi cân bằng(Moore, 1981), sự tăng cường tính ổn
định để biến đổi các tham biến(Patel và Toda, 1980; Yedavalli, 1985), nghiên
cứu giảm bậc mô hình và giảm bậc điều khiển(Hyland và Bernstein, 1985, 1986;
Bernstein và Hyland, 1985; Safonov và Chiang, 1989), cấu trúc thay đổi của
không gian lớn(Balas, 1982), thiết kế dự toán(Chen, 1984).
Trong luận văn này, tôi giới thiệu phương pháp giải phương trình ma trận
Lyapunov và các phương pháp giải gần đúng cho hệ thống thời gian liên tục.

Nội dung luận văn gồm ba chương:
Chương 1. Phương trình Lyapunov trong lý thuyết ổn định của
phương trình vi phân
Trong chương này, tôi giới thiệu về tính ổn định của hệ tuyến tính, đồng
thời đưa ra và chứng minh cụ thể các định lý về tính ổn định tiệm cận, các ví
dụ minh họa.
Chương 2. Các phương pháp giải phương trình đại số Lyapunov
3
liên tục
Trong chương này, tôi trình bày các phương pháp giải phương trình đại số
Lyapunov liên tục. Đó là các phương pháp: vectơ hóa, sử dụng hàm mũ ma trận
và phương pháp sử dụng ma trận phản đối xứng.
Chương 3. Các tính chất nghiệm của phương trình Lyapunov
Trong chương này, tôi trình bày những nội dung sau: đánh giá nghiệm, đánh
giá vết và đánh giá định thức.
4
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
R
n×n
tập các ma trận cấp n × n.
||x|| chuẩn của phần tử x.
λ
i
giá trị riêng.
y = (y
1
, y
2
, · · · , y
n

)
T
vectơ riêng trong không gian R
n
tr(A) vết của ma trận A.
det(A) định thức của ma trận A.
5
Chương 1
Phương trình Lyapunov
trong lý thuyết ổn định của
phương trình vi phân
Theo lý thuyết ổn định của Lyapunov (Lyapunov 1892), sự ổn định của hệ
động lực có thể xác định bởi các hàm vô hướng được gọi là hàm Lyapunov. Hàm
Lyapunov được áp dụng cho hệ tuyến tính hoặc phi tuyến, trong miền liên tục
hoặc miền rời rạc theo thời gian.
1.1 Hệ động lực tuyến tính liên tục
Xét hệ tuyến tính, liên tục, bất biến theo thời gian được mô tả bởi phương
trình sau
˙x = Ax(t), x(t
0
) = x
0
,
(1.1)
trong đó x(t) là véctơ trạng thái, x(t) ∈ R
n
, A là ma trận trong không gian
R
n×n
.

6
Định nghĩa 1.1. Hệ động lực tuyến tính (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận
nếu tất cả các giá trị riêng của ma trận A nằm trọn trong nửa trái của mặt
phẳng phức.
Lý thuyết ổn định của Lyapunov được xây dựng như sau.
Định lý 1.1. Điểm cân bằng x = 0 của hệ động lực động lực tuyến tính (1.1)
là ổn định tiệm cận nếu tồn tại một hàm khả vi vô hướng liên tục V (x) thỏa
mãn các điều kiện sau:
V (x) ≥ 0, V (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0.
(1.2)
˙
V (x) =
dV
dx
=
∂V
∂x
dx
dt
< 0.
(1.3)
Đối với hệ động lực động lực tuyến tính (1.1), có thể có nhiều cách chọn hàm
Lyapunov. Cách đơn giản nhất là chọn hàm Lyapunov có dạng toàn phương.
Giả sử rằng, với Q là một ma trận đối xứng, xác định dương, phương trình đại
số Lyapunov (gọi tắt là phương trình Lyapunov) sau
A
T
P + P A + Q = 0
có một nghiệm P là đối xứng, xác định dương. Khi đó, ta xây dựng hàm Lya-
punov dưới dạng sau:

V (x) = x
T
P x
Ta sẽ kiểm tra V (x) = x
T
P x là hàm Lyapunov thỏa mãn các điều kiện của
Định lý 1.1. Thật vậy
• V (x) = x
T
P x ≥ 0, do P là ma trận xác định dương.
• V (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0, do P là ma trận xác định dương.
• Tính
˙
V (x), ta có:
˙
V (x) = ( ˙x)
T
P x + x
T
(P ˙x)
= x
T
A
T
P x + x
T
P Ax
= x
T
(A

T
P + P A)x
7
= −x
T
Qx
< 0, (do Q là ma trận xác định dương).
Như vậy, tính ổn định tiệm cận của hệ (1.1) liên quan đến sự tồn tại nghiệm
đối xứng, xác định dương của phương trình Lyapunov. Từ đó ta có kết quả sau:
Định lý 1.2. Hệ động lực động lực tuyến tính (1.1) là ổn định tiệm cận nếu và
chỉ nếu với mỗi Q = Q
T
> 0 tồn tại duy nhất nghiệm P = P
T
> 0 của phương
trình Lyapunov sau
A
T
P + P A + Q = 0.
Định lý 1.2 có thể mở rộng cho trường hợp Q = C
T
C ≤ 0. Ở đây không cần
thiết Q > 0. Trong trường hợp đó hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu
cặp (A, C) là quan sát được và phương trình đại số Lyapunov có nghiệm duy
nhất P = P
T
> 0. Tính quan sát được của cặp (A, C) có thể kiểm tra một cách
dễ dàng nhờ vào tiêu chuẩn Kalman.
1.2 Hệ động lực tuyến tính rời tạc
Cho một hệ tuyến tính rời rạc bất biến theo thời gian

x(k + 1) = Ax(k), x(k
0
) = x
0
.
(1.4)
Đối với hệ động lực động lực rời rạc (1.4), ta chọn hàm Lyapunov có dạng
toàn phương như sau. Giả sử rằng, với Q là một ma trận đối xứng, xác định
dương, phương trình đại số Lyapunov rời rạc sau
A
T
P A − P + Q = 0
có một nghiệm P là đối xứng, xác định dương. Khi đó, ta xây dựng hàm Lya-
punov dưới dạng sau:
V (k) = x(k)
T
P x(k)
Ta sẽ kiểm tra V (x) = x(k)
T
P x(k) là hàm Lyapunov. Thật vậy
• V (k) = x(k)
T
P x(k) ≥ 0, do P là ma trận xác định dương.
8
• V (k) = 0 khi và chỉ khi x(k) = 0, do P là ma trận xác định dương.
• Tính ∆V (k), ta có:
∆V (k) = V (k + 1) − V (k)
= x
T
(k + 1)P x(k + 1) − x

T
(k)P x(k)
= x
T
(k)(A
T
P A − P )x(k)
= −x
T
(k)Qx(k)
< 0, (do Q là ma trận xác định dương).
Như vậy, tính ổn định tiệm cận của hệ rời rạc (1.4) liên quan đến sự tồn tại
nghiệm đối xứng, xác định dương của phương trình Lyapunov rời rạc. Từ đó ta
có kết quả sau:
Định lý 1.3. Hệ động lực động lực tuyến tính (1.4) là ổn định tiệm cận nếu và
chỉ nếu với mỗi Q = Q
T
> 0 tồn tại duy nhất nghiệm P = P
T
> 0 của phương
trình Lyapunov sau
A
T
P A − P + Q = 0.
9
Chương 2
Các phương pháp giải
phương trình đại số
Lyapunov liên tục
Các phương pháp tìm nghiệm tường minh cho phương trình đại số Lyapunov

được nghiên cứu vào cuối những năm 1960 và đầu những năm 1970. Xét phương
trình sau:
A
T
P + P A + Q = 0,
(2.1)
trong đó A, P, Q ∈ R
n×n
.
Trong các phương pháp được đưa ra dưới đây, chúng ta nhóm lại thành các
phương pháp: phương pháp vectơ hóa, phương pháp sử dụng hàm mũ ma trận,
phương pháp ma trận phản đối xứng, và các phương pháp đưa ma trận A về
các dạng đặc biệt.
2.1 Các phương pháp vectơ hóa
Trong các phương pháp vectơ hóa, phương trình ma trận Lyapunov sẽ được
đưa về giải hệ phương trình đại số tuyến tính nhờ vào việc đưa ma trận cần tìm
10
P về dạng vectơ.
2.1.1 Phương pháp Bellman (1959)
Phương pháp này được lần đầu được giới thiệu bởi Bellman năm 1959. Sử
dụng tích Kronecker, phương trình (2.1) được đưa về dạng tương đương sau
đây:
Ax = −b (2.2)
trong đó
A := I ⊗ A
T
+ A
T
⊗ I, (2.3)
và

b
T
= [q
11
, q
12
, · · · , q
1n
, q
21
, q
22
, · · · , q
2n
, · · · , q
n−1,1
, · · · , q
n−1,n
, q
n,1
, · · · , q
nn
],
x
T
= [p
11
, p
12
, · · · , p

1n
, p
21
, p
22
, · · · , p
2n
, · · · , p
n−1,1
, · · · , p
n−1,n
, p
n,1
, · · · , p
nn
],
ở đây, tích Kronecker được định nghĩa như sau:
A ⊗ B =







a
11
B a
12
B . . . a

1n
B
a
21
B a
22
B . . . a
2n
B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
B a
n2
B . . . a
nn
B








∈ R
nm×nm
, (2.4)
trong đó A ∈ R
n×n
, B ∈ R
m×m
.
Ví dụ 2.1. Trường hợp 2 × 2, phương trình Lyapunov
A
T
P + P A + Q = 0
được viết dưới dạng sau:


a
11
a
21
a
12
a
22





p
11
p
12
p
21
p
22


+


p
11
p
12
p
21
p
22




a
11
a

12
a
21
a
22


=


q
11
q
12
q
21
q
22


.
Ta tính ma trận A như sau:
A = I
2
⊗ A
T
+ A
T
⊗ I
2

11
=


A
T
A
T


+


a
11
I
2
a
21
I
2
a
12
I
2
a
22
I
2



=







2a
11
a
21
a
21
0
a
12
a
11
+ a
22
0 a
21
a
12
0 a
11
+ a
22

a
21
0 a
12
a
12
2a
22







.
Do đó, việc giải phương trình Lyapunov được đưa về việc giải hệ phương
trình tuyến tính sau:







2a
11
a
21
a

21
0
a
12
a
11
+ a
22
0 a
21
a
12
0 a
11
+ a
22
a
21
0 a
12
a
12
2a
22








  
A







p
11
p
12
p
21
p
22







  
x
= −








q
11
q
12
q
21
q
22







  
b
Điều kiện để hệ phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất.
Để phương trình đại số (2.2) có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là ma
trận A không suy biến. Ta biết rằng giá trị riêng của A được tính theo giá trị
riêng của A theo công thức sau:
λ
k
(A) = λ
i

+ λ
j
, i, j = 1, 2, . . . , n, k = 1, 2, . . . , n
2
,
trong đó λ
i
, i = 1, . . . , n là các giá trị riêng của ma trận A. Rõ ràng, ta thấy
rằng, nếu ma trận A là ổn định tiệm cận (tức là tất cả các giá trị riêng của ma
trận A nằm ở nửa bên trái mặt phẳng phức), thì 0 /∈ λ(A), và do đó A là không
suy biến. Tóm lại, ta có:
Kết quả 2.1. Nếu các giá trị riêng của ma trận A nằm ở nửa bên trái mặt
phẳng phức thì hệ phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất.
2.1.2 Phương pháp MacFalane (1963)
Hệ phương trình (2.2) trong phương pháp nêu trên có nhiều ẩn số thừa. Điều
này là do ma trận cần tìm P là ma trận đối xứng, nên chỉ cần tìm
1
2
n(n + 1) số
12
phần tử của P, không cần tìm tất cả n
2
số phần tử của P . Phương pháp sau
đây được đưa ra bởi MacFalane năm 1963 cải tiến phương pháp của Bellman
1959 (ta chỉ cần giải
1
2
n(n + 1) phương trình tuyến tính để tìm
1
2

n(n + 1) ẩn
số).
Theo phương pháp này, việc giải phương trình (2.1) tương đương với việc
giải hệ phương trình tuyến tính sau:
Ap = −
1
2
q
(2.5)
trong đó A là ma trận cấp
1
2
n(n + 1) ×
1
2
n(n + 1) và p, q là các vectơ cột gồm
1
2
n(n + 1) phần tử:
p = [p
11
, p
12
, · · · , p
1n
, p
21
, p
22
, · · · , p

2n
, · · · , p
n−1,1
, · · · , p
n−1,n
, p
n,1
, · · · , p
nn
]
T
.
q = [q
11
, q
12
, · · · , q
1n
, q
21
, q
22
, · · · , q
2n
, · · · , q
n−1,1
, · · · , q
n−1,n
, q
n,1

, · · · , q
nn
]
T
.
Ma trận A được xây dựng dựa trên thuật toán sau.
Thuật toán 1. Xây dựng một bảng có chỉ số hàng là (k, l) và chỉ số cột là
(i, j). Các ô của bảng này được xác định dựa theo các điều kiện sau:
1. Nếu k = i, l = j −→ A(l, j)
Nếu k = i, l = j −→ A(k, i)
2. Nếu k = i, l = j, thì
k = j, l = i −→ A(l, i)
k = j, l = i −→ A(k, j)
k = j, l = i −→ 0
3. Nếu k = i, l = j, thì
k = j, l = i −→ A(k, i)
k = j, l = i −→ A(k, i) + A(l, j)
Ví dụ 2.2. Ta sẽ trình bày một ví dụ xác định ma trận A theo Thuật toán 1.
13
Giả sử ma trận A được cho bởi
A =




a
11
a
12
a

13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33




Từ Thuật toán 1 ta suy ra được ma trận A được cho bởi bảng sau:
(k, l)
(i, j) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 2) (2, 3) (3, 3)
(1, 1) a
11
a
21
a
31
0 0 0
(1, 2) a
12
a

11
+ a
22
a
32
a
21
a
31
0
(1, 3) a
13
a
23
a
11
+ a
33
0 a
21
a
31
(2, 2) 0 a
12
0 a
22
a
32
0
(2, 3) 0 a

13
a
12
a
23
a
22
+ a
33
a
32
(3, 3) 0 0 a
13
0 a
23
a
33
Do đó, việc giải phương trình Lyapunov được đưa về việc giải hệ phương
trình tuyến tính sau:













a
11
a
21
a
31
0 0 0
a
12
a
11
+ a
22
a
32
a
21
a
31
0
a
13
a
23
a
11
+ a
33
0 a

21
a
31
0 a
12
0 a
22
a
32
0
0 a
13
a
12
a
23
a
22
+ a
33
a
32
0 0 a
13
0 a
23
a
33













  
A










p
11
p
12
p
13
p
22

p
23
p
33










  
p
= −
1
2










q

11
2q
12
2q
13
q
22
2q
23
q
33










  
q
Ví dụ 2.3. Tìm nghiệm P của phương trình
A
T
P + P A + Q = 0,
trong đó
A =





0 1 −2
3 −4 5
−6 7 8




,
14
Q =




1 0 0
0 1 0
0 0 1




.
Sử dụng Thuật toán 1, ta xác định được ma trận A theo bảng sau:
(k, l)
(i, j) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (2, 2) (2, 3) (3, 3)
(1, 1) 0 3 −6 0 0 0
(1, 2) 1 −4 7 3 −6 0

(1, 3) −2 5 8 0 3 −6
(2, 2) 0 1 0 −4 7 0
(2, 3) 0 −2 1 5 4 7
(3, 3) 0 0 −2 0 5 8
.
Do đó
A =












0 3 −6 0 0 0
1 −4 7 3 −6 0
−2 5 8 0 3 −6
0 1 0 −4 7 0
0 −2 1 5 4 7
0 0 −2 0 5 8













,
q =












1
0
0
1
0
1













; p =












p
11
p
12
p
13
p
22

p
23
p
33












.
15
Ta đưa về việc giải hệ phương trình sau để xác định các phần tử của P :













0 3 −6 0 0 0
1 −4 7 3 −6 0
−2 5 8 0 3 −6
0 1 0 −4 7 0
0 −2 1 5 4 7
0 0 −2 0 5 8












.













p
11
p
12
p
13
p
22
p
23
p
33












=













−
1
2
0
0
−
1
2
0
−
1
2













.
Giải hệ trên ta có
































p
11
= −0.9015;
p
12
= −0.3077;
p
13
= −0.0705;
p
22
= 0.0012;
p
23
= −0.0268;
p
33
= −0.0634.
Vậy
P =





−0.9015 −0.3077 −0.0705
−0.3077 0.0012 −0.0268
−0.0705 −0.0268 −0.0634




.
2.1.3 Phương pháp Bingulac (1970)
Trong phương pháp của Bingulac, phương trình (2.1) được chuyển về hệ
tuyến tính sau:
Up = −r
(2.6)
trong đó
p := [p
11
, p
12
, p
13
, · · · , p
1n
, p
22
, p
23
, · · · , p
2n
, · · · , p
n−1,n−1

, · · · , p
nn
]
T
,
r := [q
11
, q
12
, · · · , q
1n
, q
22
, q
23
, · · · , q
2n
, · · · , q
n−1,n−1
, q
n−1,n
, q
n,1
, q
nn
]
T
.
16
Thuật toán (thuật toán 2) xác định ma trận U được xây dựng như sau.

Bước 1. Xây dựng ma trận L như sau:
L =
















1 2 3 · · · · · · n
2 n + 1 n + 2 · · · · · · 2n − 1
3 n + 2 2n 2n + 1 · · · 3n − 3
4 n + 3 2n + 1 3n − 2 · · · · · ·
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. N − 2 N − 1
n 2n − 1 3n − 3 · · · N − 1 N

















,
trong đó
N =
n(n + 1)
2
.
Bước 2. Xây dựng ma trận V = {v
xy
} cấp N × N với
V
xy
= a
ji
,
trong đó chỉ số x và y chạy từ 1, 2, · · · , N) được xác định từ ma trận L:
x = L
ik
, y = L
jk
, i, j, k = 1, 2, · · · , n.
Bước 3. Ma trận U thu được từ ma trận V bằng cách: nhân 2 với các hàng

của ma trận V có chỉ số hàng tương ứng với các phần tử đường chéo chính của
ma trận L (bao gồm hàng 1, hàng n +1, hàng 2n, hàng 3n − 2,. , hàng N − 2,
và hàng N).
Ví dụ 2.4. Với n = 3, ma trận L có dạng như sau
L =




1 2 3
2 4 5
3 5 6




.
17
Do đó
V =













a
11
a
21
a
31
0 0 0
a
12
a
11
+ a
22
a
32
a
21
a
31
0
−a
13
a
23
a
11
+ a
33

0 a
21
a
31
0 a
12
0 a
22
a
32
0
0 a
13
a
12
a
23
a
22
+ a
33
a
32
0 0 a
13
0 a
23
a
33













.
Để thu được ma trận U, ta nhân các hàng 1, 4, 6 của ma trận V với 2
U =












2a
11
2a
21

2a
31
0 0 0
a
12
a
11
+ a
22
a
32
a
21
a
31
0
−a
13
a
23
a
11
+ a
33
0 a
21
a
31
0 2a
12

0 2a
22
2a
32
0
0 a
13
a
12
a
23
a
22
+ a
33
a
32
0 0 2a
13
0 2a
23
2a
33













.
Ví dụ 2.5. Tìm nghiệm P của phương trình
A
T
P + P A + Q = 0,
trong đó
A =




0 1 2
3 −4 5
−6 7 8




và Q =




1 0 0
0 1 0

0 0 1




.
Áp dụng công thức thu được từ ví dụ trên, ta tìm được
U =












0 6 −12 0 0 0
1 −4 7 3 −6 0
−2 5 8 0 3 −6
0 2 0 −8 14 0
0 −2 1 5 4 7
0 0 −4 0 10 16













.
18
Hệ phương trình Up = −r có dạng sau












0 6 −12 0 0 0
1 −4 7 3 −6 0
−2 5 8 0 3 −6
0 2 0 −8 14 0
0 −2 1 5 4 7
0 0 −4 0 10 16













.












p
11
p
12
p
13

p
22
p
23
p
33












=













−1
0
0
−1
0
−1












.
Giải hệ, ta thu được
P =




−0.9015 −0.3077 −0.0705
−0.3077 0.0012 −0.0268
−0.0705 −0.0268 −0.0634





.
2.2 Phương pháp sử dụng hàm mũ ma trận
Nghiệm của phương trình Lyapunov
A
T
P + P A + Q = 0,
được viết dưới dạng sử dụng hàm mũ ma trận như sau:
P =

∞
0
e
A
T
t
Qe
At
dt
(2.7)
Để tính toán hàm mũ ma trận e
A
T
t
, ta sử dụng định lý Cayley - Hamilton
để biểu diễn e
A
T

t
dưới dạng tổ hợp tuyến tính của {I, A
T
, . . . , (A
T
)
n−1
}. Ma
trận mũ e
A
T
t
được xác định theo công thức sau
e
A
T
t
= a
1
(t)I
n
+ a
2
(t)I
n
A
T
+ · · · + a
n
(t)(A

T
)
n−1
,
(2.8)
trong đó a
1
(t), a
2
(t), · · · , a
n
(t) được tính toán bằng phương pháp thông thường.
Sau khi tính được ma trận mũ e
A
T
t
, ta tìm nghiệm P theo phương pháp
sau. Trước tiên ta phân tích Q = Γ Γ
T
, với Γ ∈ R
n×r
. Đặt M là ma trận sau:
M :=

Γ, A
T
Γ, (A
T
)
2

Γ, · · · , (A
T
)
n−1
Γ

.
19
Khi đó
P =

∞
0
e
A
T
t
Qe
At
dt = MHM
T
với
H := G ⊗ I
r
∈ R
nr×nr
G := G
T
= {g
ij

∈ R
n×n
}
g
ij
:=

∞
0
a
i
(t)a
j
(t)dt.
(2.9)
Ví dụ 2.6. Giải phương trình Lyapunov
A
T
P + P A + Q = 0,
với
A =


0 1
−2 −3


; Q =



1 0
0 0


.
Trước tiên, ta phân tích Q = Γ Γ
T
để thu được
Γ =


1
0


.
Gọi λ
1
, λ
2
là giá trị riêng của A. Ta có λ
1
= −1, λ
2
= −2.
Áp dụng định lý Cayley - Hamilton ta có






e
−t
= a
1
(t) − a
2
(t)
e
−2t
= a
1
(t) − 2a
2
(t)
=⇒





a
1
(t) = 2e
−t
− e
−2t
a
2
t = e

−t
− e
−2t
.
Tiếp theo ta tìm ma trận G. Ta có
g
j
=

∞
0
a
i
(t)a
j
(t)dt =⇒











g
11
=


∞
0
a
1
(t)a
1
(t)dt =
11
12
g
12
=

∞
0
a
1
(t)a
2
(t)dt =
1
4
g
22
=

∞
0
a

2
(t)a
2
(t)dt =
1
12
.
Do đó
G =


11
12
1
4
1
4
1
12


.
20
Ma trận M được tìm theo công thức
M =

Γ A
T
Γ


=


1 0
0 1


.
Cuối cùng, nghiệm P của phương trình được tính như sau:
P = MGM
T
=


11
12
1
4
1
4
1
12


.
2.3 Phương pháp sử dụng ma trận phản đối
xứng
Thuật toán sử dụng ma trận phản đối xứng được xây dựng như sau.
Thuật toán 3
Bước 1: Tìm ma trận phản đối xứng S

T
= −S là nghiệm của phương
trình đại số sau:
A
T
S + SA = A
T
Q − QA.
Bước 2: Nghiệm của phương trình Lyapunov được xác định bởi công
thức sau
P =
1
2
(S − Q)A
−1
.
Ưu điểm rõ rệt nhất của phương pháp này là để tìm ma trận phản đối xứng
S ở Bước 1, ta chỉ cần tìm 0.5n(n − 1) biến từ 0.5n(n − 1) phương trình. Như
vậy, so với các phương pháp trước, số biến cần tìm giảm từ 0.5n(n + 1) xuống
0.5n(n − 1). Điều này rất có ý nghĩa đối với các hệ cỡ lớn có hằng trăm biến.
Ví dụ 2.7. Cho
A =




0 1 −2
3 −4 5
−6 7 8





; Q =




1 0 0
0 1 0
0 0 1




.
21
Ta tìm ma trận S phản đối xứng có dạng sau:
=⇒ S =




0 s
12
s
13
−s
12
0 s

23
−s
13
−s
23
0




.
Ta có
A
T
S + SA =




0 3 −6
1 −4 7
−2 5 8




.





0 S
12
S
13
−S
12
0 S
23
−S
13
−S
23
0




+




0 S
12
S
13
−S
12
0 S

23
−S
13
−S
23
0




.




0 1 −2
3 −4 5
−6 7 8




=




0 −4s
12
+ 7s

13
+ 6s
23
5s
12
+ 8s
13
+ 3s
23
4s
12
− 6s
23
− 7s
13
0 2s
12
+ s
13
+ 4s
23
−5s
12
− 8s
13
− 3s
23
−2s
12
− s

13
− 4s
23
0




.
mà
A
T
Q − QA =




0 2 −4
−2 0 2
4 −2 0




=⇒












s
12
= −0.3286
s
13
= −0.6
s
23
= 0.814.
Do đó
S =




0 −0.3286 −0.6
0.3286 0 0.8143
0.6 −0.8143 0




.
Khi đó ta có

P =
1
2
(S − Q)A
−1
.
Trong đó,
A
−1
=




67
48
11
24
1
16
9
8
1
4
1
8
1
16
1
8

1
16




22
=⇒ P =
1
2
(S − Q)A
−1
=
1
2




−1 −0.3286 −0.6
0.3286 −1 0.8143
0.6 −0.8143 −1




.





67
48
11
24
1
16
9
8
1
4
1
8
1
16
1
8
1
16




=




−1
2

−0.1643 −1
0.1643
−1
2
0.40715
0.3 −0.40715
−1
2




.




67
48
11
24
1
16
9
8
1
4
1
8
1

16
1
8
1
16




=




−0.9015 −0.3077 −0.0705
−0.3077 0.0012 −0.0268
−0.0705 −0.0268 −0.0634




.
23
Chương 3
Các tính chất của nghiệm
phương trình Lyapunov
3.1 Đánh giá nghiệm
Do phương trình Lyapunov liên quan đến việc xây dựng hàm Lyapunov để
khảo sát sự ổn định của hệ tuyến tính, việc đánh giá nghiệm của phương trình
Lyapunov rất quan trọng trong việc khảo sát dáng diệu của hệ tuyến tính. Các

đánh giá nghiệm của phương trình Lyapunov bao gồm: đánh giá giá trị riêng,
đánh giá vết,
3.1.1 Đánh giá giá trị riêng
Định lý 3.1. Giả sử α
1
, α
2
, . . . , α
n
là các giá trị riêng của P, β
1
, β
2
, . . . , β
n
là
các giá trị riêng của Q, λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
là các giá trị riêng của A, σ
1
, σ
2
, . . . , σ
n
là các giá trị riêng của A
T

A. Giả thiết P, Q là những ma trận xác định dương
và các giá trị riêng có thứ tự sắp xếp như sau:
0 < α
n
≤ α
n−1
≤ · · · ≤ α
1
0 < β
n
≤ β
n−1
≤ · · · ≤ β
1
24
0 < σ
n
≤ σ
n−1
≤ · · · ≤ σ
1
Re[λ
1
(A)] ≤ Re[λ
n−1
(A)] ≤ · · · ≤ Re[λ
1
(A)] < 0
Khi đó ta có đánh giá sau:
λ

max
(P ) = α
1
≥
β
1
2σ
1
2
1
=
λ
max
(Q)
2λ
1
2
max
(A
T
A)
;
λ
min
(P ) = α
n
≥
β
n
2σ

1
2
1
=
λ
min
(Q)
2λ
1
2
min
(A
T
A)
.
3.1.2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 3.1. Xét hệ tuyến tính bậc 5 có:
A =










−16.11 −0.39 27.2 0 0
0.01 −16.99 0 0 12.47

15.11 0 −53.6 −16.57 71.78
−53.36 0 0 −107.2 232.11
2.27 60.1 0 2.273 −102.99










và Q = I
5
. Nghiệm của phương trình Lyapunov(2.1) cho bởi
P =










0.1423 0.0883 0.07190 −0.0122 0.0303
0.0883 0.2595 0.0512 −0.0043 0.0656
0.0710 0.0512 0.0453 −0.0064 0.0206

−0.0122 −0.0043 −0.0064 0.0057 0.0026
0.0303 0.0656 0.0206 0.0026 0.0330










Các vectơ riêng của A là
























λ
1
= −2.94,
λ
2
= −8.82,
λ
3
= −74.44,
λ
4
= −82.20,
λ
5
= −128.50.
25