skkn một số phương pháp giải hệ phương trình đại số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (415.36 KB, 52 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: Trường THPT Nguyễn Trãi
Mã số:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
Người thực hiện: KHƯƠNG NGUYỄN ĐỨC DUY
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục
Phương pháp dạy học bộ môn TOÁN
Phương pháp giáo dục
Lĩnh vực khác
Có đính kèm:
Mô hình Phần mềm Phim ảnh Hiện vật khác
Năm học: 2013 - 2014
2
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN:
1. Họ và tên: KHƯƠNG NGUYỄN ĐỨC DUY
2. Ngày tháng năm sinh: 20 - 05 - 1966
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 192/57 - Ấp Tam Hòa – Xã Hiệp Hòa – Biên Hòa, Đồng Nai
5. Điện thoại: 0919735284
6. Fax:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO:
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân
- Năm nhận bằng: 1992
- Chuyên ngành đào tạo: Giáo viên Toán THPT
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC:
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm:
- Số năm có kinh nghiệm:
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
3
SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Đơn vị: TR THPT NGUYỄN TRÃI Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Biên Hòa, ngày 28 tháng 04 năm 2014
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2013-2014
Tên sáng kiến kinh nghiệm:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
Họ và tên tác giả: KHƯƠNG NGUYỄN ĐỨC DUY
Đơn vị (Tổ): TOÁN - TIN
Lĩnh vực:
Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học bộ môn TOÁN
Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác
1. Tính mới
- Có giải pháp hoàn toàn mới
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có
2. Hiệu quả:
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong
toàn ngành có hiệu quả cao
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị
có hiệu quả
3. Khả năng áp dụng:
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Tốt Khá Đạt
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi
vào cuộc sống:
Tốt Khá Đạt
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong
phạm vi rộng:
Tốt Khá Đạt
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Mục lục
Lời nói đầu………………………………………………………………………………
1. Sử dụng phương pháp thế …………………………………………………………… …Trang 4
2. Sử dụng phương pháp thế kết hợp với phương pháp đồng bậc………………………….…… 9
3. Một trong hai phương trình đã cho biến đổi một vế thành dạng tích, vế còn lại bằng
0………………………………………………………………………………………………… 10
4. Giải hệ bằng cách sử dụng phương pháp thế, kết hợp với đặt ẩn phụ đưa hệ đã cho về hệ cơ
bản…………………………………………………………………………………………………14
5. Biến đổi hệ phương trình……………………………………………………………………….21
6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số………………………………………………………… 25
7. Phương pháp nhận xét và đánh giá hai vế kết hợp với sử dụng bất đẳng thức
Cauchy…………………………………………………………………………………………….31
8. Phương pháp lượng giác hóa………………………………………………………………… 32
9. Hệ phương trình đối xứng………………………………………………………………… … 33
10. Hệ đẳng cấp……………………………………………………………………………… ….36
LỜI NÓI ĐẦU
Bài toán hệ phương trình đại số thường gặp trong các đề thi Đại học. Khi học ở lớp 10, các
em học sinh đã biết giải một số hệ phương trình bậc hai hai ẩn, chủ yếu là các bài toán hệ phương
trình có phương pháp giải cụ thể. Sáng kiến kinh nghiệm nầy phù hợp cho học sinh lớp 10 nâng
cao, một số bài toán có sử dụng công cụ đạo hàm phù hợp với đối tương là học sinh lớp 12 Luyện
thi Đại học. Sự phân loại dạng toán và sử dụng phương pháp trong tài liệu nầy chỉ mang tính chất
tương đối, chủ yếu là biến đổi hệ phương trình để đưa về dạng có cách giải quen thuộc.
Rất mong được nhận xét và góp ý chân tình của hội đồng chấm và đánh giá sáng kiến kinh
nghiệm.
3
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
1. Sử dụng phương pháp thế
Dạng toán: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x (hoặc y), khi đó ta tìm cách rút x
theo y (hoăc
y
theo
x
), sau đó thế vào phương trình còn lại ta được phương trình một ẩn.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:
2 2
1
5 4 1
2
8 9 1 2
( )
( )
x y
x y x y
− =
+ − + =
Lời giải.
•Từ (1) ta có
10 1
8
x
y
−
=
, thế vào (2) ta được
2
164 188 135 0x x+ − =
(3)
Giải phương trình (3) tìm được nghiệm
1 135
2 82
;x x
−
= =
.
•Với
1 1
2 2
x y= ⇒ =
; với
135 179
82 82
x y= − ⇒ = −
•Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
1 1 135 179
2 2 82 82
; , ;
− −
÷ ÷
.
Bài tập tương tự
1)
2 2
2 3
2 3 4 2
x y
x y x y
− = −
+ − − = −
Đs:
1 5
1 2
3 3
( ; ), ;
÷
.
2)
2
2 3 1
24
x y
x xy
− =
− =
Đs:
19
9; ;(8;5)
3
− −
÷
3)
2 2
3 6
2 5 7 5 51
x y
x y x y
+ = −
− − + = −
. Đs:
159 219
1 3
43 43
( ; ), ;
− − −
÷
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình:
2 2
2 3 18 1
3 5 6 24 2
( )
( )
xy y x
xy x y
− + =
+ − =
Lời giải.
•Từ (2) ta có
2
2
18 2
3
y
x
y
+
=
+
, thay vào (1) và rút gọn ta được phương trình:
2
14 36 18 0y y− − =
(3)
Giải phương trình (3) tìm được nghiệm
3
3
7
;y y= = −
•
3 75
3 3
7 13
;y x y x= ⇒ = = − ⇒ =
•Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
( )
75 3
3 3
13 7
; , ;
−
÷
.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:
2 2
2
( 1)( 1) 3 4 1 (1)
1 (2)
x y x y x x
xy x x
+ + + = − +
+ + =
Lời giải.
•Ta thấy hệ không có nghiệm
( ; )x y
mà
0x
=
•Xét
0x
≠
:Từ (2) ta có
2
1
1
x
y
x
−
+ =
, thay vào (1) ta được
4
2 2
( 1)(2 1) ( 1)(3 1)x x x x− − = − −
2
0
2 ( 1) ( 2) 0 1
2
x
x x x x
x
=
⇔ − + = ⇔ =
= −
Vì
0x
≠
nên ta nhận
1; 2x x= = −
•
5
1 1 2
2
;x y x y= ⇒ = − = − ⇒ = −
.
•Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
5
(1; 1); 2;
2
− − −
÷
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:
3
2
2 5 7 (1)
3 2 3 (2)
x xy y
x x y
− + =
− + =
Lời giải.
•Từ (2) ta có
2
3 2 3y x x= − + +
, thay vào (1) ta được:
3 2
7 19 4 8 0x x x− + + =
2
( 1)(7 12 8) 0x x x⇔ − − − =
6 2 23 6 2 23
1; ;
7 7
x x x
− +
⇔ = = =
•
6 2 23 153 44 23 6 2 23 153 44 23
1 2 ; ;
7 49 7 49
x y x y x y
− − + + − −
= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
•Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là:
( )
6 2 23 153 44 23 6 2 23 153 44 23
1;2 ; ; ; ;
7 49 7 49
− − + + − −
÷ ÷
÷ ÷
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình:
3 2
4 6 2
2 ( 1) 4 (1)
5 4 (2)
x y x x
x x y
+ + =
− =
Lời giải.
•Ta thấy
1x = −
không thỏa (1)
•Xét
1x
≠ −
:Từ (1) ta có
2 3
4 2
1
x x
y
x
−
=
+
. Thay vào (2) ta được:
4 2
4 6
2
4 (2 )
5 4
( 1)
x x
x x
x
−
− =
+
2
4 2
2
4(2 )
(5 4 ) 0
( 1)
x
x x
x
−
⇔ − − =
+
2
0
( 1)(2 1)(2 7 11) 0
x
x x x x
=
⇔
− − + + =
1
0; 1;
2
x x x⇔ = = =
•
1 1
0 0 1 1
2 2
; ;x y x y x y= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
•Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
( )
1 1
0 0 1 1
2 2
; , ( ; ) ;
÷
.
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình:
5
1 (1)
2
3
2( 3) 1 (2)
4
x y
y x x
− + =
+ − + = −
5
Lời giải.
•Điều kiện:
5
2
1
x
y
≥
≥ −
.
•(1)
2
2
5 5 21
1 1 5
2 2 4
y x y x y x x
⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ = − +
÷
. Thế vào (2) ta được
2
21 3
5 2( 3) 1
4 4
x x x x− + + − + = −
2
( 5 6) 2( 3) 1 0x x x x⇔ − + + − + =
( 3)( 2 2 1) 0x x x⇔ − − + + =
3x
⇔ =
(vì
5
2
x ≥
nên:
2 2 1 0x x− + + >
)
•
3
3
4
x y= ⇒ = −
•Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
3
3
4
;
−
÷
Dạng toán. Hệ có một phương trình là hàm bậc hai của x hoặc của y, giải phương trình theo ẩn đó
sẽ rút ra x theo y (hoặc y theo x).
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 0 1
3 4 2
( )
( )
x xy y
x y y x
− − =
+ + − =
Lời giải.
•Từ (1) ta có
2 0
2
( )( )
y x
x y x y
y x
=
− + = ⇔
= −
,
•Với
y x=
, thế vào (2) ta được
2
2 2 4 0x x+ − =
⇔
1 2;x x= = −
1 1 2 2;x y x y= ⇒ = = − ⇒ = −
.
•Với
2y x= −
, thế vào (2) ta được
2
5 7 4 0x x− − =
⇔
7 129 7 129
10 10
;x x
+ −
= =
7 129 7 129 7 129 7 129
10 5 10 5
;x y x y
+ − − − − +
= ⇒ = = ⇒ =
•Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
7 129 7 129 7 129 7 129
1 1 2 2
10 5 10 5
( ; ), ( ; ), ; ; ;
+ − − − − +
− −
÷ ÷
÷ ÷
Chú ý: có thể xem (1) là phương trình bậc hai với ẩn x, tính y theo x.
Ví dụ 8. Giải hệ phương trình:
2 2
2 1 2 (1)
5 8 4 (2)
x y x
x xy y
+ + − =
+ =
Lời giải.
•Xem (2) là phương trình bậc hai với ẩn y (x là tham số), tìm được
1
2
y x= −
và
5
2
x
y =
Ta có hai hệ phương trình sau
6
•
5
2 1 2
5
1
.
2
2
x
x y x
y
y x
=
+ + − =
⇔
= −
= −
•
2 1 2
5
2
x y x
y x
+ + − =
=
vô nghiệm
Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
5
5;
2
−
÷
.
Ví dụ 9. Giải hệ phương trình:
2
3
3 15 1 4 3 (1)
2 2 5 6 3 12 (2)
y xy y x
x y
+ + = +
− + − =
Lời giải.
•Điều kiện:
2y ≤
.
•Xem (1) là phương trình bậc hai với ẩn y (x là tham số):
2
3 ( 14) 15 3 0y x y x+ − + − =
Tìm được
3y =
(loại) và
5
3
x
y
−
=
•Với
5
3
x
y
−
=
, thay vào (2) ta được
3
2 2 5 1 12 0x x− + + − =
(3).
Đặt
3
2t x= −
thì
3
1 3x t+ = +
, ta có phương trình
3
2 5 3 12 0t t+ + − =
(3)
3 2
12 2 0
(3)
25 4 48 69 0
t
t t t
− ≥
⇔
− + − =
2
6
( 1)(25 21 69) 0
t
t t t
≤
⇔
− + + =
1t
⇔ =
•Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
2
3;
3
÷
.
Chú ý. Có thể giải phương trình (3) bằng cách đặt
3
2
1 ( 0)
u x
v x v
= −
= + ≥
,
•Ta có hệ phương trình
3 2
3
2 5 12
u v
u v
− = −
+ =
.
•Giải hệ tìm được
( , ) ( 0)u v v ≥
, từ đó suy ra nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
2
3;
3
÷
.
Ví dụ 10. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
10 5 2 38 6 41 0 1
3 2 5 17 6 20 0 2
, ( )
; ( )
x y xy x y
x y xy x y
+ − − − + =
− + − − + =
Hd: Xem (2) là phương trình bậc hai với ẩn x, tính x theo y. Đs:
{ }
(2;1)
.
Ví dụ 11. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2 2 8 10 0, (1)
2 7 3 13 4 7 0;(2)
x xy y x y
x xy y x y
− + + − + =
− + + − − =
Hd: Xem (1) là phương trình bậc hai với ẩn x, tính x theo y. Đs:
{ }
(2;3)
.
Ví dụ 12. Giải hệ phương trình:
3 2 2 2 2
2
2 4 4 3 6 0, (1)
3 3 2 3 1 0; (2)
x x y x xy xy y x y
x xy x y
+ + − − + − + =
+ − − − =
7
Hd: Xem (2) là phương trình bậc hai với ẩn x, tính x theo y. Đs:
( )
1 2
; ; 1; )
9 9
y
−
÷
,
y R∈
.
Ví dụ 13. Giải hệ phương trình:
2
2
2 4 3 2 0, (1)
3 2 14 16 0; (2)
xy y x y
xy y x y
+ − − + =
+ − − + =
Hd: Xem (2) là phương trình bậc hai với ẩn x, tính x theo y. Đs:
( ) ( )
{ }
1;3 ; ;2x−
,
x R∈
.
Ví dụ 14. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 8 6 18 7 0, (1)
2 5 10 3 9 7 0; (2)
x xy y x y
x xy y x y
+ − − + − =
− − − + + =
Hd: Xem (1) là phương trình bậc hai với ẩn x, tính x theo y. Đs:
{ }
(3;1),( 1;2),(1;1),( 3; 1)− − −
.
Ví dụ 15. Giải hệ phương trình:
3 3
2 2
16 4
5 4
x x y y
x y
− = −
= −
Lời giải.
•Hệ được viết lại :
3 2
2 2
16 ( 4),
5 4;
x x y y
x y
− = −
= −
3 2
2 2
16 5 , (1)
5 4; (2)
x x x y
x y
− =
⇔
= −
(2)
2
2
0
( 5 16) 0
5 16 0
x
x x xy
x xy
=
⇔ − − = ⇔
− − =
•Với
0x
=
, thay vào (2) ta được
2y = ±
•Với
2
5 16 0x xy− − =
, kết hợp với (2), ta có hệ
2
2 2
5 16 0
5 4 0
x xy
x y
− − =
− + =
Biến đổi hệ thành
2
2 2
5 16 0 (3)
20 4 16 0 (4)
x xy
x y
− − =
− + =
Cộng theo vế của hai phương trình (3) và (4) ta được:
2 2
21 5 4 0x xy y− − =
(7 4 )(3 ) 0x y x y⇔ − + =
Đs:
{ }
(1; 3),( 1;3),(0;2),(0; 2)− − −
.
Bài tập tương tự
4)
2 2
2 2
2 0
3 7 3 0
y xy x
x xy y x y
+ − =
− − + + + =
Đs:
13 157 13 157
(1; 1),(3; 3), 13 157 ; , 13 157;
2 2
− + − −
− − − + − −
÷ ÷
÷ ÷
5)
2 2
2
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y
+ + = −
− − = −
. Đs:
{ }
(5;2)
6)
2
2 2
(5 4)(4 ) (1)
5 4 16 8 16 0 (2)
y x x
y x xy x y
= + −
− − + − + =
Đs:
4
(0;4),(4;0), ;0
5
−
÷
Hd: Xem (2) là phương trình bậc hai với ẩn y, tính y theo x
7)
2 2
2 2
( 8)( 2) (1)
(4 8) 16 16 5 0 (2)
y x x
y x y x x
= + +
− + + + − =
Đs:
( )
{ }
(0;4),( 2; 6), 19;99 ,( 2;6),( 5;9)− − − −
8
8)
2
3 3 6 5
5 5 7 .
x y
y x xy y
− + − =
+ = +
;
9)
2
2 9 4
( 4 ) 2( 2 ) 41.
x y x y
x y x y
− = − +
+ − − =
10)
2 2
2
1
3
3
3 1 1.
x y
x xy x
+ =
+ + = +
;
11)
3
2
2 3 2 3 7 3 8
3 15 3 5 10 .
x y y
y x xy y
− + − =
+ + = +
;
12)
2
3
35 5 7
2 3 2 3 6 8 0.
y x xy y
x y
+ = +
− + − − =
;
2. Sử dụng phương pháp thế kết hợp với phương pháp đồng bậc
Ví dụ 16. Giải hệ phương trình
3 3
2 2 3
1 (1)
2 2 (2)
x y
x y xy y
+ =
+ + =
Nhận xét: Vế trái của phương trình thứ hai là bậc ba, còn vế phải là bậc không. Do đó ta nghĩ
đến phương pháp đồng bậc, thế (1) vào (2) ta được:
2 2 3 3
2 2 0x y xy y x+ − − =
(3)
Lời giải.
•Ta thấy hệ không có nghiệm
( ; )x y
mà
0y =
nên (3) được viết lại:
3 2
2 2 1 0
x x x
y y y
− − + =
÷ ÷ ÷
1
1; 1;
2
x x x
y y y
⇔ = = − =
.
•Kết hợp với (1) ta có nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
3 3
3 3
1 1 3 2 3
; , ;
3 3
2 2
÷
÷
÷
.
Ví dụ 17. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 5
2
( )(4 2 ) 2
x y
x y x y xy y
+ =
+ − − =
Nhận xét: Phương trình thứ hai có
( )x y+
bậc nhất,
2 2
(4 2 )x y xy− −
có bậc bốn nhưng các hạng
tử chưa đồng bậc. Do đó ta nghĩ đến phép thế của phương trình đầu để tạo biểu thức thuần nhất
đồng bậc. Ta thực hiện phép giải sau:
Lời giải.
•Hệ được viết lại
2 2
2 2 2 2 2 2 2 5
2
( ) ( ) ( ) 2 (3)
x y
x y x y x y x y xy y
+ =
+ + − − + =
5 5
(3) x y x y⇔ = ⇔ =
•Ta có hệ phương trình
2
1
2 2
x
x
y x
x y
= ±
=
⇔
=
=
Đs:
{ }
(1;1),( 1; 1)− −
.
9
13) Ví dụ 18. Giải hệ phương trình:
3 3
2
2
4 16 (1)
1
5 (2)
1
x y y x
y
x
+ = +
+
=
+
Lời giải.
(2)
2 2
5 4y x⇔ − =
(3) , thế vào (1) ta được:
3 2 2 3 2 2
( 5 ) 4 ( 5 )x y x y y x y x+ − = + −
2 2
(21 5 4 ) 0x x xy y⇔ − − =
4
0; ;
7 3
y y
x x x⇔ = = = −
•
0 0x y= ⇒ =
•
4
7
y
x =
, (3) trở thành
2
196
31
y = −
(vô nghiệm)
•
3
y
x = −
, (3) trở thành
2
9 3y y= ⇔ = ±
Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
( ) ( ) ( ) ( )
1;3 , 1; 3 , 0;2 , 0; 2− − −
.
Ví dụ 19. Giải hệ phương trình:
3 3
7 (1)
( ) 2 (2)
x y
xy x y
− =
− =
. Đs:
( ) ( )
2;1 , 2; 1− −
.
Hd: nhận hai vế của (1) với 2 rồi thế
( ) 2xy x y− =
Bài tập tương tự
14)
3 3
2 2
8 2
3 6
x x y y
x y
− = +
− =
Đs:
6 6 6 6
(3;1),( 3; 1), 4 ; , 4 ;
13 13 13 13
− − − −
÷ ÷
÷ ÷
15)
2
3 2 2 3
5 3 3
3
x y x xy
x x y y
− = −
− = −
Đs:
( )
1 1
(0;0), ; , 1;1
2 2
−
÷
3. Một trong hai phương trình đã cho biến đổi một vế thành dạng tích, vế còn lại bằng 0
Ví dụ 20. Giải hệ phương trình sau:
3 3
2 2
7 7 (1)
2 (2)
x x y y
x y x y
+ = +
+ = + +
Lời giải.
•Biến đổi (1) thành
2 2
( )( 7) 0x y x xy y− + + + =
2
2
3
( ) 7 0
2 4
y
x y x y
⇔ − + + + =
÷
x y
⇔ =
•Thay vào (2) ta được
2
1 0x x− − =
Giải phương trình tìm được nghiệm:
1 5 1 5
;
2 2
x x
− +
= =
•Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
1 5 1 5 1 5 1 5
2 2 2 2
; , ;
− − + +
÷ ÷
÷ ÷
.
Chú ý: Có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số (sẽ giới thiệu ở phần sau)
10
Ví dụ 21. Giải hệ phương trình sau:
3 2 2 2
2 0 (1)
2 2 0 (2)
xy x
x x y x y xy y
+ − =
− + + − − =
Đại học khối D năm 2012
Lời giải.
•
2 2 2
(2) 2 ( ) ( ) ( ) 0x x y y x y x y⇔ − − − + − =
2
( )(2 1) 0x y x y⇔ − − + =
2
2 1
y x
y x
=
⇔
= +
•Kết hợp với (1) ta được hệ
2
2 0
y x
xy x
=
+ − =
(I) hoặc
2
1 0
2 1
x x
y x
+ − =
= +
(II)
•Giải các hệ (I) và (II) ta có nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là :
( )
1 5 1 5
1;1 , ; 5 , ; 5
2 2
− − − +
−
÷ ÷
÷ ÷
.
Ví dụ 22. Giải hệ phương trình sau:
2 2 3
2 2 2
5 4 3 2( ) 0 (1)
( ) 2 ( ) (2)
x y xy y x y
xy x y x y
− + − + =
+ + = +
Đại học khối A năm 2011
Lời giải.
•(2)
2 2 2 2 2 2
2 2
1
( ) 2 2 ( 1)( 2) 0
2
xy
xy x y x y xy xy x y
x y
=
⇔ + + = + + ⇔ − + − = ⇔
+ =
Trường hợp (1).
2 2 3
1
5 4 3 2( ) 0
1
1
x
x y xy y x y
y
xy
=
− + − + =
⇔
=
=
hoặc
1
1
x
y
= −
= −
.
Trường hợp (2).
2 2 3
2 2
5 4 3 2( ) 0
2
x y xy y x y
x y
− + − + =
+ =
2 2 3 2 2
2 2
2 2
5 4 3 ( )( ) 0
1
2
2
2
y x
x y xy y x y x y
y x
x y
x y
=
− + − + + =
⇔ ⇔
=
+ =
+ =
(*)
•Giải hệ phương trình (*) và kết hợp với trường hợp (1) ta có nghiệm
( ; )x y
của hệ phương trình
đã cho là:
2 2 10 2 2 10
(1;1),( 1; 1), ; , ;
5 5 5 5
− − − −
÷ ÷
÷ ÷
Chú ý. ở trường hợp 2) ta có sử dụng phương pháp đồng bậc
Ví dụ 23. Giải hệ phương trình sau:
4 2
2
2 2 2
1
1
1
4 0 2
( )
( )
x
x y x
y
xy
x y y
x
+ = +
+ + =
Lời giải. Điều kiện
0 0;x y≠ ≠
.
•
( )
3 2
4 2 3
3 2
2 2
2
1 0
1 1
1 1 0
1
0
( )
x y
x x y x y x
x y
x
y y
xy xy
y
xy
+ =
+ +
⇔ = ⇔ + − = ⇔
÷
− =
11
•Với
3 2 2
3
1
1 0x y y
x
+ = ⇔ = −
, thế vào (2) ta được
3
4
0
x
− =
(vô nghiệm)
•Với
2
2
1
1 0x y y
x
− = ⇔ =
, thế vào (2) ta được
3
1
4 0 2
4
x x x y+ + = ⇔ = − ⇒ =
Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
1
2
4
;
−
÷
.
Ví dụ 24. Giải hệ phương trình sau:
2 2 3
2 2 2
2 3 4( ) 0
( ) 1 3 ( )
x y xy y x y
xy x y xy x y
− + + − + =
+ − = − +
.
Đs: (-1; 1), (1; - 1),
2 2 2 2
; , ;
2 2 2 2
− −
÷ ÷
÷ ÷
Ví dụ 25. Giải hệ phương trình sau:
3
3 3 2
3 3 2
1 1
1
10 0
x x y
x y xy
x y y
x
+ = +
+ + =
. Đs:
1
2
4
;
−
÷
Lời giải.
•Điều kiện
0 0;x y≠ ≠
.
•Hệ được viết lại
4 3 4 3
3 3 2
4 3 2
1 1
1
1 10
0 2
( )
( )
x y x y
x y xy
x y x y
x
+ +
=
+ +
=
Biến đổi (1) thành
4 3
4 3 2
2
1 0
( 1)(1 ) 0
1 0
x y
x y x y
x y
+ =
+ − = ⇔
− =
Trường hợp (1).
4 3
4 3 2
1 0
1 10
0
x y
x y xy
x
+ =
+ +
=
(hệ vô nghiệm)
Trường hợp (2). , thế vào (2) ta được
3
10 0 2x x x+ + = ⇔ = −
;
1
2
4
x y= − ⇒ =
•Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
1
2
4
;
−
÷
.
Ví dụ 26. Giải hệ phương trình sau:
4 2
2
2
2 2
1
1 4
0 2
( )
( )
y x
xy y
x y
y
y
x x
+ = +
+ + =
. Đs:
( )
4 2;−
Hd: Biến đổi (1) thành
2 3
1
( ) 0
y
x y
x y
+ − =
÷
. Đs:
(1; 2 )−
Ví dụ 27. Giải hệ phương trình sau:
5 4 2
3
3 2
2
4 5 0 1
2
( )
( )
x x y
y
x xy y
x
+ + =
− = −
Lời giải. Điều kiện
0x ≠
12
•Từ (2 ta có
3
3 2
2
0
y
x xy y
x
− + − =
( )
2
2 2
2
0( )
y
x x y x y
x
⇔ − + − =
2
2
2
0( )
y
x y x
x
⇔ − + =
÷
2
2 3
y x
y x
=
⇔
= −
•Với
2
y x=
, thế vào (1) ta được
4
9 0 9( )x x x+ = ⇔ = −
(do điều kiện
0)x ≠
9 81x y= − ⇒ =
•Với
2 3
0( )y x x= − <
, thế vào (1) ta được
3 2
4 5 0 5( )x x x x+ − = ⇔ = −
(điều kiện
0)x <
2
5 125x y= − ⇒ =
, ta có
5 5y = ±
•Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
( ) ( )
9 81 5 5 5 5 5 5( ; ), ; , ;− − − −
Ví dụ 28. Giải hệ phương trình sau:
7 6 2
3
5 2 2
3
6 0 1
2
( )
( )
x y x
x
y x xy
y
+ − =
+ = +
Lời giải. Điều kiện
0y ≠
.
•Từ (2 ta có
( )
2
3 2
3
0
x
y x y
y
− − =
÷
3
2 5
x y
x y
=
⇔
=
•Với
3
x y=
, thế vào (1) ta được
6
5 0 5( )y y y− = ⇔ =
(do điều kiện
0)y ≠
;
5 125y x= ⇒ =
•Với
2 5
0( )x y y= >
, thế vào (1) ta được
5 2
6 0 2( )y y y y+ − = ⇔ =
(điều kiện
0)y >
2
2 32 4 2y x x= ⇒ = ⇒ = ±
•Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
( ) ( )
125 5 4 2 2 4 2 2( ; ), ; , ;−
Bài tập tương tự
16)
3 2 2 3
6 9 4 0
2
x x y xy y
x y x y
− + − =
− + + =
. Đs:
( )
{ }
(2;2), 32 8 15;8 2 15− −
17)
4 2 2 2
2
2 7 7 8
3 13 15 2 1
y xy y x x
y x x
− + = − + +
+ − − = +
Đs:
( )
3 2 3 2( ; ), ;−
Hd: Hệ được viết lại
2 2
2
( 1)( 8) 0
3 13 15 2 1
y x y x
y x x
− − − − =
+ − − = +
Đs:
( )
3 2 3 2( ; ), ;−
18)
9 8 2
3
7 2 3
4
2 0 1
2
( )
( )
x x y
y
x y yx
x
− − =
+ = +
. Đs:
( ) ( )
3 81 2 8 2 2 8 2( ; ), ; , ;−
.
19)
7 6 2
3 2
4
4
2 3 0 1
2
( )
( )
y y x
x x
y xy
y
y
+ + =
− = −
. Đs:
( ) ( )
125 5 9 3 3 9 3 3( ; ), ; , ;− − − − −
13
4. Giải hệ bằng cách sử dụng phương pháp thế, kết hợp với đặt ẩn phụ đưa hệ đã cho về hệ
cơ bản
Ví dụ 29. Giải hệ phương trình sau:
2
(2 3 )( 1) 14
3 9
x x y x
x x y
+ − =
+ + =
Lời giải.
•Hệ được viết lại:
( )
( )
2
2
(2 3 )( ) 14
2 3 9
x y x x
x x x y
+ − =
− + + =
•Đặt
2
2 3
u x x
v x y
= −
= +
, hệ trở thành
9 2 7
,
14 7 2
u v u u
uv v v
+ = = =
⇔
= = =
.
Tìm được nghiệm
( ; )x y
của hệ là
1 29 1 29 1 29 1 29
( 1;3),(2,1) ; , ;
2 3 2 3
+ − − +
−
÷ ÷
÷ ÷
Ví dụ 30. Giải hệ phương trình:
2 2
3
6
xy x y
x y x y xy
− + = −
+ − + + =
Lời giải.
•Hệ được viết lại:
2
( ) 3
( ) ( ) 3 6
y x xy
y x y x xy
− + = −
− + − + =
•Đặt
u y x
v xy
= −
=
, hệ phương trình trở thành
2
3
3 6
u v
u u v
+ = −
+ + =
Giải hệ tìm được
3 5
,
0 8
u u
v v
= − =
= = −
,
• Với
3
,
0
u
v
= −
=
tìm được
0 3
,
3 0
x x
y y
= =
= − =
.
•Với
5
8
u
v
=
= −
, ta có
2
5
5 5
8 ( 5) 8
5 8 0
y x
y x y x
xy x x
x x
= +
− = = +
⇔ ⇔
= − + = −
+ + =
(hệ vô nghiệm)
Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
0 3 3 0( ; ), ( ; )−
.
Ví dụ 31. Giải hệ phương trình:
( )
2 3
2
12
6
x x
y y
xy xy
+ =
÷ ÷
+ =
Lời giải.
•Điều kiện
0y ≠
.
Đặt
;
x
u v xy
y
= =
. Hệ trở thành
3 2
2
2
12 0 2 2
,
2
2 3
6 0
3
u
u u u u
v
v v
v v
v
=
+ − = = =
⇔ ⇔
=
= = −
+ − =
= −
14
•Với
2
2
u
v
=
=
, ta có
2
2
x
y
xy
=
=
, tìm được
2 2
,
1 1
x x
y y
= = −
= = −
•Với
2
3
u
v
=
= −
, ta có
2
3
x
y
xy
=
= −
(hệ vô nghiệm)
Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
2 1 2 1( ; ), ( ; )− −
.
Ví dụ 32. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 3 2
, ( , )
2 2
x y x y
x y R
x xy y
+ = − −
∈
− − =
Lời giải.
•Điều kiện:
2 0x y+ ≥
. Hệ được viết lại:
2 2
2 2 (2 ) 3 0 (1)
2 2 (2)
x y x y
x xy y
+ + + − =
− − =
•Đặt
2 , ( 0)t x y t= + ≥
(1) trở thành
2
0
2 3 0
1
1
0
3
t
t t
t
t
t
t
≥
+ − =
⇔ ⇔ =
=
≥
= −
1t
=
, ta có
2 1 1 2x y y x+ = ⇔ = −
Thay vào (2) ta được
2 2 2
1
2 (1 2 ) (1 2 ) 2 0 2 3 0
3
x
x x x x x x
x
=
− − − − − = ⇔ + − = ⇔
= −
•Với
1 1; 3 7x y x y= ⇒ = − = − ⇒ =
.
Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
1 1 3 7( ; ), ( ; )− −
Ví dụ 33. Giải hệ phương trình:
2 2 2
2 2
19( )
7( )
x xy y x y
x xy y x y
+ + = −
− + = −
Lời giải.
•Hệ được viết lại
2 2
2
( ) 3 19( )
( ) 7( )
x y xy x y
x y xy x y
− + = −
− + = −
•Đặt
;u x y v x y= − =
, ta có hệ phương trình:
2 2
2
3 19
7
u v u
u v u
+ =
+ =
•Giải hệ tìm được
0 1
,
0 6
u u
v v
= =
= =
.
Từ đó tìm được nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
0 0 3 2 2 3( ; ), ( ; ),( ; )− −
.
Ví dụ 34. Giải hệ phương trình:
12 3 4 16
4 5 5 6
x y xy
x y
+ − =
+ + + =
.
Lời giải.
15
•Điều kiện:
5
0, , 5
4
xy x y≥ ≥ − ≥ −
.
•Hệ được viết lại
3(4 ) 4 16
4 10 2 (4 5)( 5) 36
x y xy
x y x y
+ − =
+ + + + + =
( )
3(4 ) 4 16
4 2 4 5(4 ) 26
x y xy
x y xy x y
+ − =
⇔
+ + + + =
•Đặt
4
4
u x y
v xy
= +
=
.
Hệ trở thành
3 2 16
2 5 25 26
u v
u v u
− =
+ + + =
2
2
3 16 0
2 3 16 4 (3 16)
26 0
2 5 25 26
4( 5 25) (26 )
u
v u v u
u
v u u
v u u
− ≥
= − = −
⇔ ⇔
− ≥
+ + = −
+ + = −
2 2
2 2 2
16 16
16 16
3 3
8
4 9 96 256 4 9 96 256
6
4 20 100 676 52 3 40 0
u u
u
v u u v u u
v
v u u u u u
≤ ≤ ≤ ≤
=
⇔ = − + ⇔ = − + ⇔
=
+ + = − + − − =
Khi đó ta có
4 8 1
4 6 4
x y x
xy y
+ = =
⇔
= =
.
•Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
1 4( ; )
Ví dụ 35. Giải hệ phương trình:
2
2 2
2 6 1
7
x x y
x xy y
+ + − =
+ + =
Lời giải.
•Điều kiện:
1y ≥ −
. Hệ được viết lại
2 2
2 2
2 6 1 2
1
3( ) ( ) 7
4
x x y y
x y x y
+ + = + +
+ + − =
2 2
2 2
2( ) 5
1
3( ) ( ) 7
4
x y x y
x y x y
− + − = −
⇔
+ + − =
2 2
( )( 2) 5
3( ) ( ) 28
x y x y
x y x y
− + + = −
⇔
+ + − =
Đặt
u x y
v x y
= +
= −
, hệ phương trình trở thành
2
2 2
2
1
5
2
5
( 2) 5
5
3 28
3
3 28
2
1
u
v
u
v
v u
u v
u
u
u
v
= −
= −
+
= −
+ = −
⇔ ⇔
+ =
=
+ − =
÷
+
= −
•Với
1
5
u
v
= −
= −
, ta có
1 3
5 2
x y x
x y y
+ = − = −
⇔
− = − =
.
16
•Với
3
1
u
v
=
= −
, ta có
3 1
1 2
x y x
x y y
+ = =
⇔
− = − =
.
•So với điều kiện ta có nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
3 2 1 2( ; ),( ; )−
.
Ví dụ 36. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2
6
1 5
y xy x
x y x
+ =
+ =
.
Lời giải.
•Ta thấy hệ không có nghiệm
( ; )x y
mà
0x
=
•Xét
0x
≠
, hệ phương trình được viết lại
2
2
2
2
2
1
6
6
1
1
5
2 5
y
y y
y
x x
x
x
y
y
y
x
x x
+ =
÷
+ =
⇔
+ =
+ − =
÷
Đặt
1
y
u
x
v y
x
=
= +
, hệ phương trình trở thành
2
3
5
2
3
3
5 12 0
v
u
u
v
v v
−
=
=
⇔
=
− − =
Khi đó ta có
1
1
1
1
2
. 2
2
1
1
1
3
2
2
1
1
x
x
y
y
y
x
x
y
x
x
y
y
=
=
=
=
=
⇔ ⇔
=
+ =
=
=
=
•Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
1
1 2 1
2
( ; ), ;
÷
.
Ví dụ 37. Giải hệ phương trình:
2
2
1 ( ) 4
( 1)( 2)
x y y x y
x y x y
+ + + =
+ + − =
.
Lời giải.
•Ta thấy hệ không có nghiệm
( ; )x y
mà
0y =
.
•Xét
0y ≠
, hệ phương trình được viết lại
2
2
2
1
( 2 ) 2
1
1
1 2
,
2 5
1
( 2) 1
2 1
x
y x
x
y
x x
y
y y
x
y x
y x
y
+
+ + − =
+
=
= = −
⇔ ⇔
= =
+
+ − =
+ − =
÷
•
Ví dụ 38. Giải hệ phương trình:
3 3 3
2 2
1 19
6
x y x
y xy x
+ =
+ = −
.
Lời giải.
•Ta thấy hệ không có nghiệm
( ; )x y
mà
0x
=
.
17
•Xét
0y ≠
, hệ phương trình được viết lại:
3
3
3
2
2
1 1
1
3 19
19
1
6
6
y
y y
y
x x x
x
y y
y
y
x
x
x x
+ − + =
+ =
÷ ÷
⇔
+ = −
+ = −
÷
Đặt
1
u y
x
y
v
x
= +
=
, hệ phương trình trở thành
3
1
3 19
6
6
u
u uv
v
uv
=
− =
⇔
= −
= −
Khi đó ta có
1
1
1
1
,
3
2
3
2
6
y
x x
x
y
y
y
x
+ =
= = −
⇔
=
= −
= −
•Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
1 1
; 2 , ;3
3 2
− −
÷ ÷
.
Ví dụ 39. Giải hệ phương trình:
2 2
2
3
4 4( ) 7
( )
1
2 3
xy x y
x y
x
x y
+ + + =
+
+ =
+
.
Lời giải.
•Điều kiện:
0x y+ ≠
, Hệ phương trình được viết lại:
2 2
2
1
3 ( ) ( 7
( )
1
( ) ( 3
( )
x y x y
x y
x y x y
x y
+ + + − =
+
+ + + − =
+
•Đặt
1
( )
( )
u x y
x y
v x y
= + +
+
= −
, ta có
2
2
1
( ) 2
( )
u x y
x y
= + + +
+
, điều kiện
2u ≥
.
Hệ phương trình trở thành
2 2 2 2 2
3( 2) 7 3 (3 ) 13 4 6 4 0
3 3 3
u v u u u u
u v v u v u
− + = + − = − − =
⇔ ⇔
+ = = − = −
1
2
2
1
u
u
v
= −
⇔
=
=
, do điều kiện
2u ≥
nên ta nhận
2
1
u
v
=
=
Khi đó ta có
1
( ) 2
1 1
( )
1 0
1
x y
x y x
x y
x y y
x y
+ + =
+ = =
⇔ ⇔
+
− = =
− =
•Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ đã cho là
( )
1;0
.
18
Ví dụ 40. Giải hệ phương trình:
2 2
2
5
8( ) 4 13
( )
1
2 1
x y xy
x y
x
x y
+ + + =
+
+ =
+
.
Hd: Điều kiện:
0x y+ ≠
, Hệ phương trình được viết lại:
2 2
2
1
5 ( ) 3( ) 13
( )
1
( ) ( ) 1
( )
x y x y
x y
x y x y
x y
+ + + − =
+
+ + + − =
+
Đs:
( )
{ }
1;0S =
Ví dụ 41. Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
(3 ) 3(9 ) 10(3 ) 0
1
3 6
3
x y x y x y
x y
x y
+ − − − − =
+ + =
−
.
Hd: Điều kiện:
3 0x y− ≠
, Hệ phương trình được viết lại:
2
3 3
3 10 0
3 3
1
(3 ) 6
(3 )
x y x y
x y x y
x y
x y
+ +
− − =
÷ ÷
− −
+ + =
−
Đs:
( ) ( )
3 3 11 3 3 11
3 11 3 1 1
; , ;
12 4 12 4
S
+ −
+ −
÷ ÷
=
÷ ÷
÷ ÷
.
Bài tập tương tự
20)
2 2 2 2
(2 ) 5(4 ) 6(2 ) 0
1
2 3
2
x y x y x y
x y
x y
+ − − + − =
+ + =
−
Đs:
3 1 3 1
; , ;
8 4 4 2
S
=
÷ ÷
21)
2 2
3 2 16
2 4 33
xy x y
x y x y
− − =
+ − − =
Đs:
( ) ( )
{ }
3 3; 2 3 , 3 3; 2 3S = − − − + − + − −
Hướng dẫn: Hệ được viết lại
2
3( ) 16
( ) 2( ) 2( ) 33
xy y x y
x y xy y x y
+ − + =
+ − + − + =
Đặt
u x y
v xy y
= +
= +
, hệ trở thành
2
3 16
2 2 33
v u
u v u
− =
− − =
Cách khác: Hệ được viết lại
2 2
( 1)( 2) ( 1) ( 2) 21
( 1) ( 2) 38
x y x y
x y
− − − − − − =
− + − =
. Đặt
1
2
u x
v y
= −
= −
22)
3
3
(2 3 ) 8
( 2) 6
x y
x y
+ =
− =
Đs:
{ }
(1;2);( 2; 1)S = − −
•Ta thấy hệ không có nghiệm
( ; )x y
mà
0x
=
.
19
Xét
0x ≠
, hệ được viết lại
3
3
8
2 3
6
2
y
x
y
x
+ =
− =
. Đặt
2
u
x
v y
=
=
.
23)
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
+ + − =
− =
. Đs:
( ) ( )
{ }
5;3 , 5;4S =
Hd: Đặt
2
2 2
1
( 0)
2
u
u x y u
y v
v
v x y
= − ≥
⇒ = −
÷
= +
.
24)
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
− + =
− + =
. Đs:
( ) ( )
{ }
1;1 , 1; 1S = − −
.
Hd: Đặt
2
3
u x xy
v x y
= +
=
25)
3
2 3
4
2 0
1 (4 2) 0
x x
y
y y x
+ + − =
+ − − =
Đs:
( )
1
1;1 , 2;
2
S
= − −
÷
.
26)
2
2
( 1) 3 0
5
( ) 1 0
x x y
x y
x
+ + − =
+ − + =
Đs:
( )
3
1;1 , 2;
2
S
= −
÷
.
Hd: Đặt
1
u x y
v
x
= +
=
27)
3
(3 ) 2 2 2 1 0
2 2 (2 1) 1
x x y y
x y
− − − − =
− − − =
Đs:
( )
1 5 5 5
1;1 , ;
2 4
S
+ −
=
÷
÷
.
Hd: Đặt
2
( , 0)
2 1
u x
u v
v y
= −
≥
= −
28)
2 3 2
4 2
5
4
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x
+ + + + = −
+ + + = −
Đs:
3
3
5 2 5 3
; , 1;
4 16 2
S
= − −
÷
÷
÷
Hd: Đặt
2
u x y
v xy
= +
=
29)
2 2
2 2
1 1
5
1 1
9
x y
x y
x y
x y
+ + + =
+ + + =
Đs:
3 5 3 5
1; , ;1
2 2
S
± ±
=
÷ ÷
÷ ÷
.
20
Hd: Đặt
1
1
u x
x
v y
y
= +
= +
30)
2 2
41
2 1
x y
x y x y
+ =
+ − − =
Đs:
( )
{ }
5;4S =
.
Hd: Đặt
u x y
v x y
= +
= −
31)
2 2
2 2
2 ( ) 3
( ) 10
y x y x
x x y y
− =
+ =
Đs:
( )
5 1 5 3 15 5 15 3 15
0;0 ,(2;1),( 2; 1); ; , ;
2 2 2 2
S
÷ ÷
= − − − −
÷ ÷
32)
2 2
1 3
2
xy x y
x y x y
+ − =
− =
Đs:
( ) ( )
1
1 2;1 2 , 1 2;1 2 ,(2;1), 1;
2
S
= + + − − − −
÷
.
Hd: Đặt
1
u x
y
x
v
y
= −
=
5. Biến đổi hệ phương trình
Dạng toán. Biến đổi hệ phương trình để xuất hiện một biểu thức có dạng tam thức bậc hai,
sau đó kết hợp với một trong hai phương trình còn lại
Ví dụ 42. Giải hệ phương trình sau:
4 12 (1)
2( 1) 2 2 ( 1) 3 (2)
x x y y
x y x y
+ − = +
− + + + − =
Lời giải.
•Biến đổi (1) thành
( ) 4 12 0x y x y− + − − =
2; 6x y x y− = − = −
(vô nghiệm)
2 4x y x y− = ⇔ = +
, thay vào (2) ta được
3 10 2 3 7 3y y+ + + =
(3)
•Lập bảng xét dấu ta tìm được nghiệm (3) là
7
3
y = −
.
•Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là
5 7
( ; ) ;
3 3
x y
= −
÷
Ví dụ 43. Giải hệ phương trình sau:
2 15 (1)
2(2 1) 3 4( 1) 6 (2)
y x y x
x y x y
+ + = −
− + + − − =
. Đs:
32 13
;
5 5
÷
Ví dụ 44. Giải hệ phương trình sau:
2 2
3 18
125
x y x y
x y
+ + + =
+ =
. Đs:
{ }
( 2;11), (11; 2)− −
Ví dụ 45 Giải hệ phương trình sau:
2 2 4
2 2 4
2 1 (1)
2 3 2 4 (2)
x y x y
x y y x
+ + + =
+ + + =
21
Lời giải.
•Trừ theo vế của hai phương trình (1) và (2) ta được:
4 2
2 3 0y y+ − =
2 2
3
1;
2
y y⇔ = −
(vô nghiệm)
•Với
2
1 1y y= ⇔ = ±
, thay vào (1) ta được
1x
=
.
Vậy nghiệm
( ; )x y
của hệ phương trình đã cho là
( 1;1),( 1; 1)− − −
.
Ví dụ 46. Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2
1 4 1 4 2( ) (1)
1
4 (2)
4
x y x y
x y xy
− − − = +
+ + = −
Lời giải.
Điều kiện:
1 1 1 1
;
2 2 2 2
x y− ≤ ≤ − ≤ ≤
;
2 2
(1) 1 4 2 1 4 2x x y y⇔ − − = − +
(3)
Bình phương hai vế của (3) ta được:
2 2
1 4 1 4x x y y− − = −
2 4 2 4
0
1 1
,
2 2
4 4
xy
x y
x x y y
≤
⇔ − ≤ ≤
− = −
( )
2 2 2 2
2 2
1 1
0 ,
1 1
2 2
0; ,
2 2
0 0
1 4( )
1
4
xy x y
xy x y
x y
x y x y
x y
≤ − ≤ ≤
≤ − ≤ ≤
⇔ = = ⇔
= ±
− − +
+ =
•
x y=
không thỏa (2)
•
x y= −
, thế vào (2) ta tìm được
2 2
;
4 4
y y= = −
2 2 2 2
;
4 4 4 4
y x y x= ⇒ = = − ⇒ = −
•
2 2
1
4
x y+ =
, kết hợp với (2) ta được hệ
2 2
1
4
1
8
x y
xy
+ =
= −
ta có nghiệm
2 2 2 2
; , ;
4 4 4 4
− −
÷ ÷
÷ ÷
.
Thử lại ta có nghiệm
( ; )x y
của hệ phương trình đã cho là
2 2 2 2
; , ;
4 4 4 4
− −
÷ ÷
÷ ÷
.
Chú ý. Ở đây ta thực hiện phép biến đổi hệ phương trình không phải là phép biến đổi tương
đương nên sau khi tìm được nghiệm phải thử lại.
22
