Hình học 11. Bài tập chương 1

********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn
1
Ơ
PHẦN 1: ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I :
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC

BÀI 1 :
KHẢO SÁT CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC

1. y=sinx TXĐ: D = R Chu kỳ 2
2. y=cosx TXĐ: D = R Chu kỳ 2
3. y=tanx TXĐ: D = / ,
2
x R x k k Z


 
   
 
 
Chu kỳ 
4. y=cotx
TXĐ: D =


x R x k k Z  
/
, Chu kỳ 

BÀI TẬP

1) Tìm miền xác đònh các hàm số sau:
a/
1
13
2



x
x
siny b/
xcosy
2
1
c/ tan 2
4
y x

 
 
 
 
d/
xsiny 

e/
cot 2

4
x
y

 
 
 
 
f/
 


xcos
xsin
y

2) Tìm chu kỳ các hàm số sau:
a/








4
2xsiny b/
xcosy
2



c/








6
2
2
xsiny d/ y = sin2x + cos3x

3) Tính các giá trò lượng giác còn lại của góc  nếu biết:
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn
2
a) cos =
4
5
( 270
0
<  < 360
0
)
b) sin =
5

13
(

2
<  <  )
c) tan = 3 (  <  <
3
2

)
d) cot 15
0
= 2 +
3


4) Tính giá trò các biểu thức:
A =
2
3
sin cot
cos
x gx
x

nếu tanx = 2 (90
0
< x < 180
0
)

B =
sin sin cos
cos sin cos
2
2
2
4 3
x x x
x x x


nếu cotx = 3
C =
sin cos
sin cos sin
3 3
2
x x
x x x


nếu tanx = 2

5) Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) f(x) = xsinx
b) f(x) = sin
2
x + x
c) f(x) =
62

sin
24
 xx
x

6) . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau.
1.
2cos 3
3
y x

 
  
 
 

2. 3 sin 1y x 
3. 4 sin cosy x x 
4. 2 3| cos |y x 
5.
3
2 sin
3
y
x


 
 
 

 

6.
2
2cos cos2y x x 
7.
2
1 2sin
3
x
y


8.
2 2
2 4sin cosy x x 
9.
4
3 1 cos 2
y
x

 

10.
2
2
4 cos
y
x




www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn
3
7.(*) Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau.
a) 3sin 4cos 7y x x  
b)
2
sin 4sin cos 5y x x x  
c)
2 2
2sin s cos 3in2y x x x   
d)
sin 3cos 5
sin cos 2
x x
y
x x
 

 


BÀI 2 :
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN – PHƯƠNG
TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC.

1. sinx = a D = R
 a > 1 : phương trình vô nghiệm vì sin x  1.
 a  1 : ta có

sinx = a  sinx = sin 
x k
x k
 
  



 
  
2
2
(k  Z)
Trường hợp đặc biệt :

sinx = 1  x =

2
+ k2 (k  Z)
sinx = 1  x = 

2
+ k2 (k  Z)
sinx = 0  x = k (k  Z)

2. cosx = a D = R

 a > 1 : phương trình vô nghiệm vì cos x  1.
 a  1 : ta có
cosx = a  cosx = cos  x =   + k2 (k  Z)
Trường hợp đặc biệt :
cosx = 1  x = k2 (k  Z)
cosx =  1  x =  + k2 (k  Z)
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn
4
cosx = 0  x =

2
+ k (k  Z)

3. tanx = a
D = / ,
2
x R x k k Z


 
   
 
 

tanx = a  tanx = tan  x =  + k (k  Z)
Trường hợp đặc biệt :

tanx = 1  x =


4
+ k (k  Z)
tanx = 1  x = 

4
+ k (k  Z)
tanx = 0  x = k (k  Z)

4. cotx = a
D =


x R x k k Z  
/
,
cotx = a  cotx = cot  x =  + k (k  Z)
Trường hợp đặc biệt :
cotx = 1  x =

4
+ k (k  Z)
cotx = 1  x = 

4
+ k (k  Z)
cotx = 0  x =

2
+ k (k  Z)

BÀI TẬP

1) Giải các phương trình sau:
a/ sin(2x + 15
0
) =
1
2

b/ cot (4x + 2) =  3

2) Giải các phương trình sau:
a/
















 xsinxcos

24
3
2
www.VNMATH.com
********* Cn cự bự thụng minh***
Giỏo viờn: Ninh Cụng Tun
5
b/ 0323 xsin
c/ cot 1
4
x






d/ tanx
2
= -1
e/ cos3x sin4x = 0
f/ cot2x =
cot
4
x

g/ tan8x = cot2x
h/
03
2
4
2

x
cos
i/ 0
45
2
5
22

x
cosxsin
j/
cot 2 .cot 1
4
x x






k/

366
22
xcosxsinxcos
l/ sin(x + 24
0
) + cos(x + 144
0
) = cos20
0

m/
2
23
44
2

xcosxsin
3) Giaỷi vaứ bieọn luaọn phửụng trỡnh: msinx 2m + 1 = 0.
BI TP TNG HP
Bi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau.
a)
1
sin
2
x
b)
2cos 1 0x

c)
3cos 4 0x

d)
sin 2 1
3
x

e)
3 3
sin
2
x


f)
t 1an2x

g)
3
cos6
2
x
h)
3
cot
3
x
********* Cn cự bự thụng minh***
Giỏo viờn: Ninh Cụng Tun
6
i)

2
cos 1

3
x
j)
cos cos 2
4
x x






k)
s sin 3 0
2
in2x x






l)
s cos3in2x x

m)
tan 3 3
8
x

n)
cos 2 sin 0
4
x x





Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau.
a)

0
3
sin 2 10
2
x

b)


0
sin 3 60 2 0x

c)

2
1
cos 2
4
x
d)
cos 2 sin 0
3
x x






e)
2
3
sin 2
4
x
f) 2 sin s 0in2x x

g)
1
sin
5 2
x

h)
0
cot 20 3
4
x





i) s sin 0in5x x


j)
tan t 0
3
an2x x





www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

7

Bài 3. Giải các phương trình sau.
a)
 
0 0
1
s 0 180
2
in2x x   
b)
   
3
cos 5
2
x x
 
    
c)
1
cot3 0
2
3
x x

 
     
 
 

d)
   
0 0 0
tan 2 15 1 180 180x x    

e)
3 3
| sin |
2 2
x  
f)
   
0 0 0
2
cos 2 15 0 180
2
x x   
Bài 4. (*) Giải các phương trình sau.
a)
 
 
3tan 3 sin 1 0x x  
b)
 
s cot 1 0in2x x  
c)
tan cos2 0x x 

d)

s cot 0in3x x 

e)
2cos2
0
1 sin2
x
x



f)
   
0 0
tan 30 cos 2 150 0x x   

g)
3
sin cos sin cos
3 6 6 3 2
x x
 
   
h)
2
2cos 1 sin2x x 

********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

8
BÀI 3 :
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN

3.1/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX

Dang tổng quát
: Asinx + Bcosx = C (A  0 , B  0)
Đk có nghiệm : A
2
+ B
2
 C
2

Cách giải 1:
* Chia phương trình cho
22
BA 
* Đặt 



sin
BA

B
;cos
BA
A
2222
(hoặc
ngược lại)

Cách giải 2:

* Chia hai vế cho A.
* Đặt
sin
tan
cos
B
A



 
* Đưa phương trình về dạng cơ bản để giải.


BÀI TẬP

1) Giải các phương trình :
a/ sinx + 3 cosx = 2
b/ 23  xsinxcos
c/ 3232

2
 xsinxsin
d/ 1
66
















 xsinxcos
e/ 2sinx – 5cosx = 5
f/
3
cos3x + sin3x =
2
www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

9
g/








 xcosxsinxcos
3
23
h/ cos
2
x
+
3
sin
2
x
= 1
i/ cos( -2x) –cos(2x +
2

) =
2
j/ 22
6
22223 








 xsinxsinxcos
k/
xsinxcosxcosxsin 32332 
l/ 3
643
2
43 


xsinxcos
xsinxcos
2) Giải và biện luận phương trình:
a/ (m + 2)sinx + mcosx = 2
b/ (2m – 1)cosx + msinx = 3m – 1
c/ mcosx – (m + 1)sinx = m

3.2/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ
LƯNG GIÁC

Dạng tổng quát
: A[f(x)]
2
+ Bf(x) + C = 0 (A  0)

Cách Giải:
* Đặt ẩn số phụ t = f(x), đưa phương trình về dạng :
At
2
+ Bt + C = 0
* Chú ý : khi đặt t = sinx hay t = cosx phải có điều
kiện 1 1  t



BÀI TẬP

1) Giải các phương trình sau:
a/ 4sin
2
x – 4sinx – 3 = 0
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

10
b/


031324
2
 xcosxcos

c/
 
2

tan 1 3 tan 3 0x x   

d/
   
2
3 cot 5 3 cot
x x
  
2) Đònh m để phương trình: cos2x + (2m + 1) sinx + m = 0 có
nghiệm số x  [0,].
3) Giải các phương trình sau:
a/ 4cos
2
x  4cosx  3 = 0
b/ 12cos
2
x + sinx – 11 = 0
c/ cos4x + 6 = 7cos2x
4) Giải phương trình sau:
tan
2
x + cot
2
x + 2(tanx + cotx ) = 6
Hướng dẫn : đặt t = tanx + cotx, điều kiện t  2

3.3/ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT (ĐẲNG CẤP) BẬC HAI
ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

Dạng tổng quát : A.sin

2
x + B.sinx.cosx + C.cos
2
x = 0
Nếu vế phải là D  0 ta thay D = D.(sin
2
x + cos
2
x) rồi chuyển
vế đưa về dạng tổng quát.
Cacùh Giải 1:
* Xét cos x = 0 có là nghiệm của phương trình không?
* Nếu cosx

0. Chia phương trình cho cos
2
x ; Đưa về
phương trình bậc hai theo tanx để giải.

Cacùh Giải 2:
* Dùng công thức : *
2
1 cos2x
cos x
2


*
2
1 cos2x

sin x
2


* sin2x = 2sinx.cosx
* Đưa phương trình về dạng :
www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

11
B.sin2x + (C – A)cos2x + A + C = 0

BÀI TẬP

1) Giải các phương trình sau:
a/ 2cos
2
x – 3sinx.cosx + sin
2
x = 0
b/ 4sin
2
x + 3 3 sin2x – 2cos
2
x = 0
c/ 2233
22
 xcosxcos.xsinxsin

2) Giải các phương trình sau:
a/ sin
2
x  8sinxcosx + 7cos
2
x = 0
b/ 3 sin
2
x + (1 – 3 )sinxcosx – cos
2
x = 3 – 1
c/ sin2x + cos2x + sin
2
x + 1 = 0

3) Giải các phương trình sau:
a/ ( 3 + 1)sin
2
x – 2 3 sinxcosx + ( 3 – 1) cos
2
x = 0
b/ 9sin
2
x – 30sinxcosx + 25cos
2
x = 25
c/ cos2x + 3sin2x + 2 3 sinxcosx = 1
d/
x
cos

1
= 4sinx + 6cosx

3.4/ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ
TÍCH HAY TỔNG

1/ Công thức biến đổi tích thành tổng
cosacosb =
1
2
[cos(a + b) + cos(a  b)].
sinacosb =
1
2
[sin(a + b) + sin(a  b)]
sinasinb =
1
2
[cos(a  b)  cos(a + b)].

********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

12
2/ Công thức biến đổi tổng thành tích
a) cosa + cosb = 2cos
a b
2
cos
a b

2

cosa  cosb = 2sin
a b
2
sin
a b
2

sina + sinb = 2sin
a b
2
cos
a b
2

sina  sinb = 2cos
a b
2
sin
a b
2

b) tana  tanb =
sin( )
cos cos
a b
a b

với a, b 


2
+ k, k  Z
cota  cotb =

sin( )
sin sin
a b
a b
với a, b  k, k Z

3/ Các cơng thức thường dùng :
sina  cosa =
2 sin (a 

4
) = 
2 cos (a 

4
)
sinacosa =
1
2
sin2a
1 + cos2a = 2cos
2
a 1  cos2a = 2sin
2
a

BÀI TẬP


1) Giải các phương trình sau:
a/ sin5x – sin3x – sinx = 0
b/ cosx + cos2x + cos3x = -1
c/ sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x + sin
2
4x = 2
d/
0
2
221


xtg
xcosxsinxcosxsin

e/
xsinxsinxcos 4
2
2
11


f/ sin
6
x + cos
6
x = sin
4
x + cos
4
x
g/ 2sin
6
x + cos
4
x – cos2x = 0
www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

13

2) Giaûi caùc phöông trình sau:
a/ 1 + 2sinx.cos2x = sinx + cos2x
b/ tan3x – tanx = sin2x
c/ (1 – tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
d/
2
1 sin 2
1 tan 2
cos 2

x
x
x

 
e/ tan2x – tan3x – tan5x = tan2x.tan3x.tan5x

3) Giaûi caùc phöông trình sau
a/ cos6xcos4x = cos7xcos3x
b/ 4sinxcosxcos2x = 1
c/(sinx + cosx)
2
= 2sin2x
d/ sinx + sin3x + sin5x = 0
BÀI TẬP TỔNG HỢP TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Bài 1: Giải các phương trình sau
1. (KA2002) Tìm các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương
trình:
cos3x + sin3x
5(sinx + ) os2x + 3
1+2sin2x
 c
ĐS
5
;
3 3
 


2. (Dự bị2002)

4 4
sin cos 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x x
x
x x

 
ĐS:
6
x k


  

3. (Dự bị2002)tanx + cosx - cos
2
x = sinx(1 + tanxtan
2
x
)
ĐS:
2
x k




********* Cần cù bù thông minh***

Giáo viên: Ninh Công Tuấn

14
4. (KB2003) ) cotx - tanx + 4sin2x =
2
sin 2
x

ĐS x =
3
k


 
5. (Dự bị2003)
2cos4x
cotx = tanx +
sin2x

ĐS
3
x k


  

6. (KB2004) 5sinx  2 = 3(1  sinx)tan
2
x.
ĐS

5
2 ; 2
6 6
x k k
 
 
  
7. (KA2005) cos
2
3xcos2x - cos
2
x = 0 ĐS
2
x k


8. (KD2005) sin
4
x + cos
4
x + cos(x-
4

)sin(3x-
4

) -
3
2
= 0

ĐS
4
x k


 
9. (KA2006)


6 6
2 os sin sinxcosx
0
2 2sinx
c x x 



ĐS
5
2
4
x k


 
10. (KB2006)
x
cotx + sinx(1 + tanxtan ) 4
2


ĐS
5
;
12 12
x k k
 
 
  
11. (KD2006 ) Cos3x + cos2x  cosx  1 = 0
ĐS
2
2 ;
3
x k k

 
  
12. (KA2010)
(1 sin x cos 2x)sin x
1
4
cos x
1 tan x
2

 
  
 
 




www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

15
Bài 2: Giải các phương trình sau
1.KA2009
(1 2sin x)cosx
3
(1 2sin x)(1 sin x)


 

ĐS:
2
18 3
  x k
 

2.KB 2009
3
sin x cosxsin2x 3cos3x 2(cos4x sin x)   
ĐS:x=
7
2
42
;2

6



kk 
3.KD2009 3 cos5x 2sin3xcos2x sin x 0  
ĐS: x k
18 3
 
  ;
x k
6 2
 
  
4.(KB2008)
3 3 2 2
sin 3 os sinxcos 3sin osxx c x x xc   ĐS
; ;
4 4 3
x k x k k
  
  
      

5.(KD)
2
x
sin os 3 osx = 2
2 2
x

c c
 
 
 
 

6. (Dự bị2005) Tìm nghiệm trên khoảng


0;

của pt
2 2
3
4sin 3 os2x = 1 + 2cos x -
2 4
x
c

 

 
 

ĐS
5 17 5
; ;
18 18 6
  

Bài 2: Giải các phương trình sau

1. (KB2002) sin
2
3x - cos
2
4x = sin
2
5x - cos
2
6x
ĐS ;
9 2
k k
x x
 
 
2. (KD2003)
2 2 2
sin tan os 0
2 4 2
x x
x c

 
  
 
 
ĐS
2 ;

4
x k k

  
   
********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

16
3.(KA2003) cotx - 1 =
2
1 tan
cos x
x
+ sin
2
x -
1
2
sin2x
ĐS
4
x k


 
4.(Dự bị2003) 3 - tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0
ĐS
3
x k



  
5.(Dự bị2003) cos2x + cosx(2tan
2
x - 1) = 2
ĐS 2 ; 2
3
x k k

  
   
6.( KD2004) (2cosx  1)(2sinx + cosx) = sin2x  sinx
ĐS 2 ;
3 4
x k k
 
 
    
7. (KB2005) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
ĐS
2
2 ;
3 4
x k k
 
 
    
8.(KA2007) (1 + sin
2

x)cosx + (1 + cos
2
x)sinx = 1 + sin2x
ĐS ; 2 ; 2
4 2
x k x k k
 
  
    
9. (KB2007) 2sin
2
2x + sin7x  1 = sinx
10.(KA2008)
1 1 7
4sin( )
3
sinx 4
sin( )
2
  

x
x



ĐS
5
; ;
4 8 8

x k x k k
  
  
      
11.(KB2008)
3 3 2 2
sin 3 os sinxcos 3sin osxx c x x xc  
ĐS ; ;
4 4 3
x k x k k
  
  
      
12. (KD2008) 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
ĐS
2
2 ;
3 4
x k k
 
 
   
13. KB2010 (sin 2x + cos 2x) cosx + 2cos2x – sin x = 0
x =
4 2
k
 
 (k  Z)
www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thông minh***

Giáo viên: Ninh Công Tuấn

17
14. KD2010
sin 2 cos2 3sin cos 1 0x x x x    

ĐS


2
6
kx 


2
6
5
kx 

15. KA2011
2
1 sin 2 cos2
2 sin sin 2
1 cot
x x
x x
x
 



ĐS:


kx 
2
,


2
4
kx 
16. KB2011 sin 2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x   
ĐS:


2
2
kx 
3
2
3

k
x 
17. KD2011
sin2x 2cos x sin x 1
0
tan x 3
  




ĐS:


2
3
kx 

18.(ĐH B2012) Giải phương trình:
2(cos 3 sin ) cos cos 3 sin 1.x x x x x   
ĐS :
2 2
2 ;
3 3
k
x k x
 

   (
k Z
)
19. (ĐH D2012) Giải phương trình:
sin3x + cos3x – sinx + cosx =
2
cos2x

ĐS :
7

; 2 ; 2
4 2 12 12
k
x x k x k
   
 
       (
k Z
)
20. (ĐH A2013) Giải phương trình:
1 tan x 2 2 sin x
4

 
  
 
 

ĐS :
; 2
4 3
x k x k
 
 
      (
k Z
)
21. (ĐH B2013) Giải phương trình:

2

sin 5x 2cos x 1 
********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

18
ĐS :
2 2
;
6 3 14 7
k k
x x
   
      (
k Z
)
22. (ĐH D2013) Giải phương trình
sin 3x cos2x sinx 0  

ĐS :
7
; 2 ; 2
4 2 6 6
k
x x k x k
   
 
       (
k Z
)
23. (ĐH A2012) Giải phương trình :

3sin2x+cos2x=2cosx-1

ĐS :
2
; 2 ; 2
2 3
x k x k x k
 
  
     (
k Z
)
24. Giải phương trình cos3
x
cos
3
x
– sin3
x
sin
3
x
=
2 3 2
8


HD: Ta có:
cos3
x

cos
3
x
– sin3
x
sin
3
x
=
2 3 2
8

 cos3
x
(cos3
x
+ 3cos
x
) –
sin3
x
(3sin
x
– sin3
x
) =
2 3 2
2



 
2 2
2 3 2
cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin3 sin
2
x x x x x x

   

2
cos4 ,
2 16 2
x x k k Z
 
      .

25. Giải phương trình:
 


3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x      
.
HD:
www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

19

3
2 3 2
sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0
2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0
x x x x x x
x x x x x x x x
      
        
0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2
2
 xxxxxxxx
: ,
3
2

 





x k
KQ k
x k





CHƯƠNG II :

TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

BÀI 1 :
HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

1 / Để đếm số cách lựa chọn để thực hiện công việc A bằng quy tắc
cộng ta thực hiện các bước sau :
 Bước 1 : Phân tích xem có bao nhiêu phương án riêng biệt
để tiến hành thực hiện A ( A chỉ có thể được thực hiện
theo một trong các phương án A
1,
A
2
,A
3
, … ,A
n
).
 Bước 2: Trong từng phương án A
1,
A
2
,A
3
, … ,A
n,
đếm
số cách chọn, giả sử được x
1
,x

2
,x
3
,……x
n
.
 Bước 3: Theo quy tắc cộng ta có được số cách lựa chọn
để thực hiện A là x = x
1
+ x
2
+ x
3
+……x
n
.
2/ Muốn đếm số cách lựa chọn để thực hiện công việc A bằng quy
tắc nhân ta thực hiện các bước sau :
 Bước 1 : Phân tích xem có bao nhiêu công đoạn liên
tiếp cần phải tiến hành để thực hiện A (A chỉ có thể được
hoàn thành sau khi thực hiện toàn bộ các công đoạn A
1,

A
2
,A
3
, … ,A
n
) .

 Bước 2: Trong các công đoạn A
1,
A
2
,A
3
, … ,A
n
,
đếm số cách chọn, giả sử được x
1
,x
2
,x
3
,……x
n
.
 Bước 3: Theo quy tắc nhân ta có được số cách lựa
chọn để thực hiện A là x = x
1
.x
2
x
3
……x
n
.

********* Cần cù bù thông minh***

Giáo viên: Ninh Công Tuấn

20
BÀI TẬP

1/ Có 10 quyển sách toán khác nhau , có 8 quyển sách lý khác nhau
và 6 quyển sách hóa khác nhau .Một học sinh được chọn 1 quyển .
Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

2/ Cho tập hợp X =


1;2;3
a/ Hỏi tập hợp X có bao nhiêu tập hợp con ?
b/ Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau có
những chữ số khác nhau lấy từ tập X ?

3/ Một lớp học có 30 học sinh, cần cử một ban cán sự lớp gồm một
lớp trưởng, một lớp phó, một thủ quỷ . Hỏi có bao nhiêu cách chọn,
biết rằng mỗi học sinh không thể làm quá một nhiệm vụ trong ban
cán sự ?

4/ Cho tập hợp X =


1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Từ các phần tử của tập hợp
X có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên trong các trường hợp sau :
a/ số đó có 3 chữ số ?
b/ số đó có 4 chữ số khác nhau từng đôi một ?
c/ số đó là số chẵn và có 5 chữ số khác nhau từng đôi một ?

5/ Chợ Bến Thành có 4 cổng ra vào . Hỏi 1 người đi chợ
a/ có mấy cách vào và ra chợ ?
b/ có mấy cách vào ra chợ bằng 2 cổng khác nhau ?

6/ Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số :
a/ gồm 2 chữ số ?
b/ gồm 2 chữ số khác nhau ?
c/ gồm 2 chữ số lẻ ?
d/ gồm 2 chữ số chẵn khác nhau ?

7/Tìm tổng của tất cả các số gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ các
chữ số 1, 2, 3, 4.

8/ Từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9 có thể lập được bao nhiêu
a/ số tự nhiên có 5 chữ số ?
b/ số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau ?
c/ số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau ?
www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

21
d/ số tự nhiên chia hết cho 3 và có 3 chữ số khác nhau ?
BÀI 2 :
HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP


1/ Hoán vị :
Khi giải 1 bài toán chọn trên một tập X có n phần tử , ta sẽ

dùng hoán vị nếu có 2 dấu hiệu sau :
- Chọn hết các phần tử của X
- Có sắp thứ tự
Số các hoán vị n phần tử là !
n
P n
2/ Chỉnh hợp :
Khi giải một bài toán chọn trên một tập X gồm n phần tử ta
dùng chỉnh hợp nếu có 2 dấu hiệu sau :
- Chỉ chọn k phần tử của X (1 k n  )
- Có sắp thứ tự
Số các chỉnh hợp n chập k là :
!
( )!
k
n
n
n k
A



3/ Tổ hợp
:
Khi giải một bài toán chọn trên một tập hợp có n phần tử , ta sẽ
dùng tổ hợp nếu có 2 dấu hiệu sau :
- Chỉ chọn k phần tử của X (1 k n  )
- Không sắp thứ tự các phần tử đã chọn
Số các tổ hợp n chập k là :
!

( )! !
k
n
n
n k k
C




BÀI TẬP

*1/ Từ tập các chữ số X =


1, 2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số
có 5 chữ số khác nhau từng đôi một ?
*2/ Có 7 quyển sách toán, 6 quyển sách lý và 4 quyển sách hóa . Hỏi
có bao nhiêu cách xếp số sách trên lên một kệ sách dài sao cho
a/ các quyển sách được xếp tùy ý ?
b/ các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau ?
********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

22

*3/
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau
và đều lớn hơn 5 ?
b/ Tính tổng của tất cả các số đó .

*4/ Một đoàn khách du lịch đến tham quan 10 địa điểm tại TP Hồ
Chí Minh .Hỏi có bao nhiêu cách tham quan biết rằng mỗi địa điểm
chỉ đến một lần ?

*5/ Có bao nhiêu cách bầu 1 ban cán sự lớp gồm 3 người : 1 lớp
trưởng ,1 lớp phó học tập và 1 thủ quỹ trong lớp học có 30 học sinh?

*6/
a/ Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên gồm 4 chữ số khác nhau ?
b/ Tính tổng của chúng .

*7/ Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ
khác vectơ không, có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập các điểm đã
cho ?

*8/ Trong mặt phẳng cho một tập hợp X gồm 10 điểm ,trong đó
không có 3 điểm nào thẳng hàng.
a/ Hỏi có bao nhiêu đường thẳng mà mỗi đường thẳng đi qua hai
điểm phân biệt thuộc tập X ?
b/ Hỏi có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh thuộc tập X ?

*9/ Một lớp có 50 học sinh , phải chọn 3 học sinh vào ban trực xe.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
*10/ Một chi đoàn có 8 đoàn viên nam và 4 đoàn viên nữ .Có bao
nhiêu cách lập một tổ công tác gồm 7 người sao cho trong đó có
đúng 2 nữ ?

11/ Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

gồm 6 chữ số phân biệt mà :
a/ các chữ số chẵn đứng cạnh nhau ?
b/ các chữ số chẵn đứng cạnh nhau và các chữ số lẻ đứng cạnh
nhau ?

www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

23
12/ Có 6 bài toán đại số , 5 bài hình học và 4 bài lượng giác .Từ các
bài toán trên có bao nhiêu cách tạo một đề kiểm tra gồm 3 bài toán :
1 bài đại số ,1 bài hình học và 1 bài lượng giác ?

13/ Xếp 3 nam 2 nữ vào 8 ghế xếp thành hàng ngang. Có bao nhiêu
cách nếu
a/ xếp tùy ý ?
b/ xếp 5 người ngồi kề nhau ?
c/ xếp 3 nam ngồi kề , 2 nữ ngồi kề và ở giữa 2 nhóm có ít nhất 1
ghế trống ?

BÀI 3 :
NHỊ THỨC NEWTON


Bài toán 1: Tìm hệ số một lũy thừa trong khai triển nhị thức (a+b)
n

Bước 1: Viết số hạng tổng quát của khai triển:
k n k k

n
C a b


Bước 2: Xác định k bằng cách giải phương trình .

Bài toán 2
: Tính tổng các số hạng chứa
k
n
C

Ta khai triển một nhị thức Newton với các giá trị của a, b thích hợp.


BÀI TẬP


1/ Tìm hệ số của x
10
trong khai triển P(x) =(2+x)
15
2/ Trong khai triển biểu thức
20
2
1
( )P x x
x
 
 

 
 
hãy tìm số hạng
a/ không chứa x .
b/ chứa x
10
.

3/ Tìm hệ số của x
9
trong khai triển P(x) = (2 - x)
19


4/ Cho n là số nguyên dương chẵn .Hãy tính
A=
0 1 2
2
3 3 3   
n
n
n n n n
C C C C

********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

24
B =
0 2 4

2 4
3 3 3   
n
n
n n n n
C C C C

C =
1 3 5 1
3 5 1
3 3 3 3


  
n
n
n n n n
C C C C


4/Chứng minh rằng :
0 2 4 2
2 2 2 2

n
n n n n
C C C C
    
1 3 2 1
2 2 2

n
n n n
C C C

  

5/ Tính S =
2 4 6 2
2 2 2 2

n
n n n n
C C C C
   

6/ Trong khai triển
12
1
x
x
 

 
 
. Hãy tìm số hạng tự do (không chứa x).

7/ Tính :
0 1

n
n n n
C C C
  

8/ Tính :
0 1 2
( 1)
n
n
n n n n
C C C C
    

9/ CMR :
1 2 3 2 1
2 3 2 1 2
2 2 2 2
1 10 10 10 10 10 81
n
n n
n n n n
C C C C


      

10/ Rút gọn :
A =
0 1 2

1 2
4 4 4 ( 1)
n
n n n n
n n n n
C C C C
 
    

www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

25
BÀI 4 :
BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ


I. Biến cố và xác suất của biến cố :
1/ Để tìm không gian mẫu của một phép thử T ta liệt kê tất cả các
kết quả có thể xẩy ra của T .
2/ Để tính số kết quả thuận lợi cho một biến cố A , ta dùng quy tắc
đếm cơ bản , công thức hoán vị , chỉnh hợp và tổ hợp.


3/ Để tính xác suất P(A) của một biến cố A ta thực hiện các bước sau
:
- Bước 1 : Đếm số phần tử của không gian mẫu .
- Bước 2 : Đếm số phần tử của tập
A

 .
- Bước 3 : Tính P(A) Theo công thức : P(A) =
A





II. Các tính chất của xác suất :
1/ Để xét tính xung khắc của 2 biến cố A và B trên cùng không gian
mẫu  ta tìm A B
.

- Nếu
A B
    thì A và B xung khắc.
- Nếu
A B
    thì A và B không xung khắc .
Chú ý A và
A luôn luôn xung khắc
2/ Để tính xác suất hợp của 2 biến cố A và B ta thực hiện các bước
sau :
- Nếu A và B xung khắc thì ( ) ( ) ( )P A B P A P B 
- Nếu A và B không xung khắc thì
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B   


********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

26
4/ Để xét tính độc lập của A và B ta phải xét xem sự xảy ra hoặc
không xảy ra của A có ảnh hưởng đến sự xảy ra hay không xảy
ra của B hay không ?
- Nếu câu trả lời là có thì A và B không độc lập .
- Nếu câu trả lời là không thì A và B độc lập .
5/ Để tính xác suất của giao 2 biến cố độc lập A và B ta dùng công
thức nhân xác suất : P(AB) = P(A).P(B)
III. Biến ngẫu nhiên rời rạc :
Để lập bảng phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc
X ta thực hiện các bước sau :
- Liệt kê các giá trị của X theo thứ tự tăng dần x
1
,x
2
,x
3

,……x
n

- Tính các xác suất ( )
i i
p P X x  với i= 1,2,3,4,….,n
- Trình bầy bảng phân bố xác suất theo dạng sau
X x
1
x
2

x
3
x
n

P p
1
p
2
p
3
… … p
n

1
n
i
p


Chú ý :
1
1
n
i
p 



2/ Để tính xác suất tích lũy P(X

k
x
 )từ bảng phân bố xác suất của
một biến ngẫu nhiên rời rạc X sau khi đã có bảng phân bố xác suất
ta dùng công thức :
1
( )
k
k i
i
P X x p

 


3/ Để tính kỳ vọng , phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu
nhiên rời rạc X ta dùng các công thức
n n
2
i i i i
i 1 i 1
n
2 2
i i
i 1
E(X) x p V(X) (x ) p ; E(X)
V(X) x p (X) V(X)
 

     

    
 


Ô




www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

27
BÀI TẬP

4.1/ BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ :

1/ Gieo một con súc sắc . Tính xác suất để có mặt mang số chẵn

2/ Từ một hộp chứa 4 quả cầu mang chữ T , 3 quả cầu ghi chữ Đ và
quả cầu ghi chữ H .Tính xác suất của các biến cố sau:
a/ Lấy được quả cầu ghi chữ T
b/ Lấy được quả cầu ghi chữ Đ
c/Lấy được quả cầu ghi chữ H

3/ Bình mua 1 vé số tỉnh Sông Bé có 6 chữ số .Biết điều lệ giải
thưởng như sau :
- Giải đặc biệt 6 số và chỉ có một giải.
- Giải khuyến khích dành cho những vé chỉ sai 1 chữ số ở bất

cứ hàng nào so với số trúng giải đặc biệt
Tính xác suất để Bình trúng
a/ giải đặc biệt.
b/ giải khuyến khích.

4/ Gieo ngẫu nhiên 1 con súc sắc cân đối và đồng chất . Tính xác suất
của các biến cố sau
a/ A: “Mặt lẻ xuất hiện”.
b/ B: “Xuất hiện mặt có số điểm chia hết cho 3”.
c/ C: “Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 2”.

5/ Gieo một con súc sắc 2 lần.
a/ Hảy mô tả không gian mẫu.
b/ Hãy xác định các biến cố sau
A: “Lần đầu xuất hiện mặt 6 chấm” .
B: “Tổng số chấm của 2 lần gieo là 4”.
c/ Tính p(A) , p(B) .

6/ Gieo một đồng tiền 2 lần .
a/ Hãy mô tả không không gian mẫu
b/ hãy xác định các biến cố
A:”Lần thứ 2 xuất hiện mặt ngữa”.
B: “Kết quả 2 lần khác nhau “.
c/ Tính p(A) ,p(B.

********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

28
7/ Một hộp chứa 3 tấm bìa xanh , 3 tấm bìa đỏ , 3 tấm bìa vàng .

Lấy ngẫu nhiên ra 2 tấm bìa .
a/ Mô tả không gian mẫu
b/ Xác định các biến cố sau :
A: “Hai tấm bìa được lấy ra cùng màu “.
B:” Hai tấm bìa được lấy ra khác màu “.
c/ Tính p(A) ,p(B)

8/ Gieo 2 con súc sắc , tính xác suất để có tổng số chấm xuất hiện
trên 2 con súc sắc là 6.

9/ Chọn ngẫu nhiên 1 số nguyên dương nhỏ hơn 36.
a/ Mô tả không gian mẫu .
b/ Gọi A là biến cố “ Số được chọn là số nguyên tố” . Hãy liệt
kê các phần tử của A .
c/ Tính xác suất của A.
d/ Tính xác suất để số được chọn nhỏ hơn 6 .

10/ Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất . Gọi A là biến cố “Có
ít nhất 1 con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm”và B là biến cố “Có
đúng 1 con xuất hiện mặt 1 chấm”.
.Tính p(A) ,p(B).

4.2/ CÁC TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT

1/ Xếp ngẫu nhiên 3 nam và 3 nữ ngồi vào 6 ghế xếp thành hàng
ngang .Tìm xác suất sao cho :
a/ Nam nữ ngôi xen kẽ nhau .
b/ Ba nam ngồi cạnh nhau .

2/ Gieo 2 đồng xu cân đối một cách độc lập . Tính xác suất để

a/ Cả 2 đồng xu đều xấp .
b/ Có ít nhất 1 đồng xu xấp .
c/ Có đúng 1 đồng xu ngữa .
3/ Từ 1 hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen , lấy ra ngẫu
nhiên cùng 1 lúc 4 quả . Tính xác suất sao cho
a/ Bốn quả lấy ra cùng màu .
b/ Có ít nhất một quả trắng .

www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

29
4/ Một chiếc hộp có 9 thẻ đánh số từ 1 đến 9 . Rút ngẫu nhiên 2 thẻ
rồi nhân 2 số ghi trên 2 thẻ với nhau.
a/ Tính xác suất để kết quả nhận được là 1 số lẻ .
b/ Tính xác suất để kết quả nhận được là 1 số chẵn .

5/ Một hộp đựng 4 viên bi đen và 3 viên bi trắng . Chọn ngẫu nhiên
2 viên bi . Tính xác suất sao cho 2 viên bi đó
a/ Cùng màu .
b/ Khác màu .

6 / Chọn ngẫu nhiên 1 số nguyên x từ 1 đện 30 . Tính xác suất để
a/ x là số lẻ ;
b/ x là số chẵn ;
c/ x chia hết cho 3;
d/ x không chia hết cho 6 .

7/ Gieo 1 đồng tiền và 1con súc sắc độc lập với nhau . Tính xác suất

để đồng tiền xuất hiện mặt ngữa và con súc sắc xuất hiện mặt 1
chấm.

8/ Gieo ngẫu nhiên 2 con súc sắc cân đối và đồng chất . Tính xác
suất của các biến cố sau :
a/ Có ít nhất 1 con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm
b/ Không có con súc sắc nào xuất hiện mặt 1 chấm

********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

30

PHẦN 2: HÌNH HỌC
CHƯƠNG I :
CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 1 :
PHÉP TỊNH TIẾN

   

 
v
T (M) M' MM' v
 Phép tịnh tiến vectơ không (

0
) chính là phép đồng nhất.
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x;y) và 


v (a; b) .
Gọi điểm M’(x’;y’) =

v
T (M) .
Khi đó
 


 

x' x a
y' y b
.
 Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng
cách giữa hai điểm bất kì.
 Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng
hàng và không làm thay đổi thứ tự 3 điểm đó, biến đường thẳng
thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành
đoạn thẳng bằng nó, biến góc thành góc bằng nó, biến tam giác
thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có
cùng bán kính.
 Phép tịnh tiến là một phép dời hình.
BÀI TẬP
1) mặt phẳng tọa độ Oxy cho v (2; 1) 

và điểm M(3; 2). Tìm tọa
độ các điểm A sao cho:
a)

v
A T (M)

b)
v
N T (A)


2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho u (3; 4) 

. Tìm ảnh của các
hình sau:
www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

31
a) Các đường thẳng: (d
1
): x + 2y – 3 = 0
(d
2
): 4x + 3y + 5 = 0
b) Các đường tròn: (C
1
): (x – 3)
2
+ (y + 2)
2
= 16

(C
2
): x
2
+ y
2
– 4x + 2y – 4 = 0
c) Parabol: (P): y = 3x
2


BÀI 2:
PHÉP QUAY




 

 

(O, )
OM OM'
Q (M) M'
(OM,OM')

 Phép quay là một phép dời hình.
BÀI TẬP
1) Cho hình vuông ABCD tâm O có M là trung điểm của AB, N là
trung điểm của OA. Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép quay

tâm O góc 90
0
.
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3; 4) và đường thẳng d:
2x – 3y + 6 = 0. Hãy xác định tọa độ điểm A’ và phương trình
đường thẳng d’ theo thứ tự là ảnh của điểm A và đường thẳng d
qua phép qua tâm O góc quay - 90
0
.
3) Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao
cho O nằm trên đoạn thẳng AB’ và nằm ngoài đoạn thẳng A’B.
Gọi G và G’ theo thứ tự là trọng tâm tam giác OAA’ và OBB’.
Chứng minh rằng: tam giác GOG’ là tam giác vuông cân.
4) Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C (B nằm giữa A và C). Dựng về
một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF.
a) Chứng minh rằng: AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF
và FC bằng 60
0
.
b) Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AF và EC. Chứng
minh rằng: tam giác BMN đều.
5) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC và điểm A chạy trên
nửa đường tròn đó. Về phía ngoài tam giác ABC, dựng hình
********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

32
vuông ABEF. Chứng minh rằng: F chạy trên một nửa đường tròn
cố định.
BÀI 3 :

HAI HÌNH BẰNG NHAU

 Hai hình H và H’ gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình
biến hình này thành hình kia.
BÀI TẬP
1) Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E trên cạnh BC. Từ E vẽ
CF song song với AE (F thuộc cạnh AD). Chứng minh rằng: hình
thang ABCF bằng hình thang CDAE.
2) Cho hình vuông ABCD có I là tâm đối xứng. Gọi E, F, G, H theo
thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh
rằng: hai hình thang AEID và FBEH bằng nhau.
BÀI 4 :
PHÉP VỊ TỰ

    
 
(O, k)
V (M) M' OM' kOM (k 0) .
 Phép vị tự biến tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng
song song (hoặc trùng với đường thẳng đó), biến tia thành
tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân
lên với
k , biến góc thành góc bằng nó, biến tam giác
thành tam giác đồng theo tỉ số đồng dạng k , biến đường
tròn thành đường tròn có bán kính k R.
BÀI TẬP
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình
2x + y – 4 = 0.
a) Viết phương trình đường thẳng d
1

là ảnh của d qua phép vị tự
tâm O tỉ số k = 3.
www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

33
b) Viết phương trình đường thẳng d
2
là ảnh của d qua phép vị tự
tâm I(-1; 2) tỉ số k = -2
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x – 3)
2
+ (y +
1)
2
= 9. Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn
(C) qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = -2.
3) Cho đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Hãy dựng qua A
một đường thẳng d cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N sao cho M là
trung điểm của AN.
4) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B và C cố định, đỉnh A di dộng
trên đường tròn (O) cho trước. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam
giác ABC.
5) Cho đường tròn (O; R), cho một điểm I cố định (không trùng với
O) và một điểm M di động trên đường tròn (O). Tia phân giác
của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích điểm N.

BÀI 5 :
PHÉP ĐỒNG DẠNG

 Phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) là phép biến hình biến hai
điểm tùy ý M, N thành hai điểm M’, N’ sao cho M’N’ =
k.MN.
 Mọi phép đồng dạng F tỉ số k là hợp thành của một phép
vị tự V tỉ số k và một phép dời hình D.
 Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng
dạng biến hình này thành hình kia.

BÀI TẬP
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương
trình x + 2y – 2 = 0. viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của
d qua phép đồng dạng là hợp thành của phép vị tự tâm I(2; -1) tỉ
số 3 và phép đối xứng qua trục Oy.
********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

34
2) Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có
A' B' B'C' C' A'
k
AB BC CA
   .
Chứng minh rằng: luôn có một phép đồng dạng biến tam giác này
thành tam giác kia.
3) Cho điểm A thuộc nửa đường tròn đường kính BC. Dựng về phía
ngoài của tam giác ABC một tam giác ABD vuông cân ở D. Tìm quỹ
tích điểm D khi A di dộng trên nửa đường tròn đường kính BC.
ÔN TẬP CHƯƠNG I
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1; 2) và đường thẳng d
có phương trình : 3x + y + 1 = 0. Tìm ảnh của A và d qua:

a) Phép tịnh tiến theo vectơ v (2;1)

.
b) Phép đối xứng qua trục Oy.
c) Phép đối xứng qua gốc tọa độ.
d) Phép quay tâm O góc 90
0
.
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I(3; -2) bán
kính 3.
a) Viết phương trình đường tròn đó.
b) Viết phương trình ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến theo
vectơ v ( 2;1) 

.
c) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép đối
xứng qua gốc tọa độ.
3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình
3x – 2y – 6 = 0. viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của
đường thẳng d qua phép đối xứng qua đường thẳng có phương
trình x + y – 2 = 0.
4) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và điểm M di
động trên đường tròn (O). Gọi M
1
là điểm đối xứng của M qua A,
M
2
là điểm đối xứng của M
1
qua B, M

3
là điểm đối xứng của M
2

qua C.
www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

35
a) Chứng minh rằng: phép biến hình F biến điểm M thành điểm
M
3
là một phép đối xứng tâm.
b) Tìm quỹ tích điểm M
3
khi M di động trên đường tròn (O).
5) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng của
A qua B và PQ là đường kính thay đổi của (O) (khác đường kính
AB). Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại điểm M và N.
a) Chứng minh rằng: Q là trung điểm của CM, N là trung điểm
của CQ.
b) Tìm quỹ tích các điểm M và N khi đường kính PQ thay đổi.
6) Cho hai điểm A, B cố định trên đường tròn (O; R) cho trước. Một
điểm M di động trên đường tròn đó. Gọi N là trung điểm của
đoạn AM. Dựng hình bình hành ABCN.
a) Xác định phép đồng dạng biến điểm M thành điểm C.
b) Tìm quỹ tích các điểm C khi M di động trên đường tròn
(O; R).
7) Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định. Một dây cung BC

thay đổi của (O; R) có độ dài không đổi BC = m. Tìm quỹ tích
điểm G sao cho
GA GB GC 0  
   
.

********* Cần cù bù thông minh***
Giáo viên: Ninh Công Tuấn

36
CHƯƠNG II :
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN –
QUAN HỆ SONG SONG

BÀI 1 :
ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1/ Các tính chất thừa nhận :
a. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước
b. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho
trước
c. Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng
d. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có môt
đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt
phẳng đó ( đường thẳng chung này gọi là giao tuyến của hai mặt
phẳng )
e. Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều
đúng
2/ Định lý : Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một
mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trên mặt phẳng đó

.3/ Các điều kiện xác định mặt phẳng :
Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một trong ba điều
kiện sau đây:
a. Đi qua ba điểm không thẳng hàng .
b. Đi qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó
c. Đi qua hai đường thẳng cắt nhau .
4/ Hình chóp có đáy là một đa giác và các mặt bên đều là tam giác có
chung một đỉnh (đỉnh của hình chóp)
5/ Hình tứ diện ABCD là hình gồm bốn tam giác : ABC , ACD ,
ABD , BCD trong đó A ,B , C , D là bốn điểm không đồng phẳng .
 Tứ diện đều là hình tứ diện có bốn mặt là những tam giác
đều .


www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

37
VẤN ĐỀ 1,1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG (cách 1)
Phương pháp :
Ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng ; Đường thẳng
qua hai điểm đó là giao tuyến cần tìm .
Lưu ý : Điểm chung là điểm thuộc cả hai mp và có thể là giao điểm
của hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mp

BÀI TẬP
1) Cho hình thang ABCD có đáy lớn là AB, đáy nhỏ là CD. Điểm
S  (ABCD). Xác đònh giao tuyến của 2 mặt phẳng.
a) (SAC) và (SBD)

b) (SAD) và (SBC)
2) Cho tứ diện SABC. Gọi M, N lần lượt là 2 điểm trên các đoạn
SB và SC sao cho MN // BC
a) Tìm giao tuyến của (AMN) và (ABC)
b) Tìm giao tuyến của (ABN) và (ACM)
3) Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và
BC. K là điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD. Tìm giao
tuyến của các mặt phẳng :
a) (IJK) và (ACD)
b) (IJK) và (ABD)
4) Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và
BC.
a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD)
b) M là 1 điểm thuộc cạnh AB, N là 1 điểm thuộc cạnh AC.
Tìm giao tuyến (IBC) và (DMN)
5) Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm trên cạnh AB, N thuộc cạnh
AC sao cho MN // BC. P là 1 điểm nằm trong BCD. Tìm giao
tuyến của các cặp mặt phẳng sau :
a) (MNP) và (BCD)
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

38
b) (MNP) và (ABD)
c) (MNP) và (ACD)
6) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang có AB // CD.
Lấy M thuộc cạnh SC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng
sau :
a) (SAC) và (SBD)
b) (SAD) và (SBC)

c) (ADM) và (SBC)
7) Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành ABCD tâm O.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao
tuyến của các cặp mặt phẳng sau :
a) (MNP) và (SAB)
b) (MNP) và (SAD)
c) (MNP) và (SBC)
d) (MNP) và (SCD)

VẤN ĐỀ
1,2
: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG


Phương pháp :
1) Để tìm giao điểm M của đường thẳng a và mặt phẳng () ta tìm
giao điểm M của a với 1 đường thẳng b chứa trong ().

2) Nếu b chưa có sẵn trên hình thì ta dùng “Phương pháp mp phụ”
– Tìm mặt phẳng () chứa a.
– Tìm giao tuyến b = ()  ()
– Trong () tìm a  b ={M}
– Suy ra a  () ={M}

www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

39

BÀI TẬP

1) Cho tứ diện ABCD và 2 điểm I, J lần lượt ở trên AB và AD.
Giả sử IJ // BD. Hãy đònh rõ giao điểm của IJ với mặt phẳng
(BCD).

2) Cho tứ diện SABC. Gọi I, J là 2 điểm bất kỳ lần lượt nằm trong
2 mặt phẳng (SAB) và (ABC). Giả sử không có sự song song
giữa các phần tử của bài toán, hãy xác đònh giao điểm của IJ
với mặt phẳng (SBC).

3) Cho tứ diện SABC. Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA và
AB. Trên đoạn SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS.
a) Tìm giao điểm của BC và (IHK).
b) Gọi M là trung điểm IH. Tìm giao điểm của KM và (ABC).
4) Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có cạnh đáy lớn là
AB. Gọi I, J, K lần lượt là 3 điểm thuộc cạnh SA, AB, BC.
a) Tìm giao điểm của IK với (SBD).
b) Tìm giao điểm của SD với (IJK).
c) Tìm giao điểm của SC với (IJK).

5) Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình hình hành. Gọi M là trung
điểm của SC.
a) Tìm giao điểm I của AM với (SBD), chứng minh IA = 2IM.
b) Tìm giao điểm F của SD với (ABM), chứng minh F là trung
điểm của SD.
c) Gọi N là điểm tùy ý trên AB. Tìm giao điểm MN với (SBD).

********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

40
VẤN ĐỀ 1,3 : CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – BA
ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

Phương pháp :
1) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :
Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh A, B,
C là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt () và () ; Từ đó
suy ra chúng thẳng hàng trên giao tuyến của 2 mặt đó .
2) Chứng minh 3 đường đồng quy :
Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao
điểm của hai đường này là điểm chung của hai mp mà giao tuyến
là đường thẳng thứ ba .



BÀI TẬP
1) Cho mặt phẳng () và đường thẳng a cắt () tại I. Trên đường
thẳng a lấy 2 điểm A và B khác nhau và khác I. Một điểm S
trong không gian sao cho SA và SB cắt () tại J và K.
Chứng minh : I, J, K thẳng hàng.
2) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Một mặt phẳng () cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’,
B’, C’, D’. Giả sử AB cắt CD tại E, A’B’ cắt C’D’ tại E’.
a) Chứng minh : S, E, E’ thẳng hàng.
b) Chứng minh : A’C’, B’D’, SO đồng quy.
3) Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là 3 điểm trên 3 cạnh
AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H (I  C,
H  D).

a) Tìm giao tuyến (EFG) và (BCD).
Tìm giao tuyến (EFG) và (ACD).
www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

41
b) Chứng minh : CD, IG, HF đồng quy.
4) Cho tứ diện ABCD và điểm I thuộc BD kéo dài. Một đường
thẳng qua I, cắt AB và AD tại K và L. Một đường thẳng khác
qua I cắt BC và CD tại M và N. Gọi O
1
= BN  DM,
O
2
= BL  DK , J = ML  KN.
a) Chứng minh : A, J, O
1
thẳng hàng và C, J, O
2
thẳng hàng.
b) Giả sử KM và LN cắt nhau tại H. Chứng minh H thuộc
đường thẳng AC.
5) Cho bốn điểm khơng đồng phẳng A , B , C , D ; G là trọng tâm
của tam giác ACD . Các điểm M , N , P lần lượt thuộc các đoạn
thẳng AB , AC , AD sao cho
MA NC PD 1
MB NA PA 2
   . Gọi I , J lần
lượt là các giao điểm của đường thẳng MN với BC và MP với BD.

a) CMR các đường thẳng MG ,PI , NJ đồng phẳng
b) Gọi E , F lần lượt là các trung điểm của CD , NI ; H là giao
điểm của MG với BE ; K là giao điểm của GF với mp(BCD) .
CMR các điểm H , K , I , J thẳng hàng .

6) Cho hình chóp S.ABCD . Gọi I , J là hai điểm trên cạnh AD và
SB
a) Tìm các giao điểm K , L của IJ và DJ với mp(SAC)
b) AD cắt BC tại O , OJ cắt SC tại M . Chứng minh A , K , L , M
thẳng hàng .


VẤN ĐỀ 1,4 : XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN


Phương pháp : Để xác đònh thiết diện giữa mặt phẳng () với 1
hình chóp ta tìm các đoạn giao tuyến của () với các mặt của
hình chóp (nếu có). Các đoạn giao tuyến nối liên tiếp với nhau
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

42
tạo thành 1 đa giác phẳng gọi là thiết diện của hình chóp với
mặt phẳng ().

BÀI TẬP

1) Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC. Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM //
BD. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (HKM) với tứ diện

ABCD trong các trường hợp :
a) M ở trong đoạn CD.
b) M ở ngoài đoạn CD.

2) Cho hình chóp S.ABCD ; Δ là mơt đường thẳng nằm trong
mp(ABCD) sao cho Δ song song với BD , M là trung điểm cạnh
SA . Hãy xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi
mp(M, Δ) trong các trường hợp sau đây :
a) Δ khơng cắt cạnh nào của đáy ABCD
b) Δ đi qua điểm C
c) Δ cắt hai cạnh BC và CD tại hai điểm I và J
d) Δ cắt hai cạnh AB và AD tại hai điểm I’ và J’ .
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi
M, N, P là 3 điểm lấy trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình
chóp S.ABCD với mặt phẳng (MNP).
4) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Trong tam giác SCD ta lấy 1
điểm M. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ABM).
5) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang, có AB là
đáy lớn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và SC.
a) Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC).
b) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng
(AMN).
www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

43
6) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi H
và K lần lượt là trung điểm của các cạnh CB và CD, M là điểm
bất kỳ trên cạnh SA. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt

phẳng (MHK).
7) Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a . Gọi G , G’ lần lượt là trọng
tâm của tam giác ABC , ABD . Tính diện tích thiết diện tạo bởi tứ
diện với mp(BGG’)
8) Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a . Gọi I là trung điểm AD , J là
điểm đối xứng với D qua C , K là điểm đối xứng với D qua B.
a)Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(IJK)
b) Tính diện tích thiết diện được xác định ở câu a)

BÀI TẬP LÀM THÊM

1) Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm AC và BC.
Trên BD ta lấy điểm K sao cho BK = 2KD.
a) Tìm giao điểm E của đường thẳng CD với mặt phẳng (IJK).
Chứng minh DE = CD.
b) Tìm giao điểm F của AD với (IJK). Chứng minh FA = 2FD.
c) Chứng minh FK // IJ.
d) Gọi M và N là 2 điểm bất kỳ lần lượt nằm trên 2 cạnh AB và
CD. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (IJK).
2) Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm BCD và F nằm trên đoạn
AB sao cho AF = 2BF. M là một điểm di động trên cạnh BC.
a) Xác đònh giao tuyến của (ABG) và (FCD).
b) Xác đònh giao điểm H của AG và (FCD).
c) AM cắt FC tại P và CD cắt (AMG) tại Q. Chứng minh P, Q,
H thẳng hàng.



********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

44

BÀI 2 :
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

1. Hai đường thẳng được gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và
khơng có điểm chung .
2. Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng khơng cùng
nằm trong một mặt phẳng .
3. Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng : Nếu ba mặt phẳng cắt
nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng
quy hoặc đơi một song song .
4. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song
song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường
thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó)

MỘT VÀI BÀI TỐN

1) Chứng minh 2 đường thẳng song song :
a) Nếu chúng đồng phẳng thì ta áp dụng các kiến thức trong
Hình Học phẳng để chứng minh ( Vd : Đònh lý về đường trung bình
, Đònh lý Thalès đảo , …)
b) Ta chứng minh chúng cùng song song với một đường thẳng thứ ba .
c) Dùng Đònh lý (4.) :
d
a ,b d// a // b
a // b
  



    




2) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2) : Tìm một điểm
chung và “phương” của giao tuyến .


M
a ,b Mx //a // b
a // b
 


      




BÀI TẬP

www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

45
1) Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của các tam
giác ABC, ABD. Chứng minh : IJ // CD.

2) Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Lấy M trên SC, mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tứ giác
ABMN là hình gì ?
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi
H, K, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD.
a) Chứng minh : HKIJ là hình bình hành.
b) Gọi M là điểm bất kỳ trên BC. Tìm giao tuyến của 2 mặt
phẳng (ABCD) và (HKM).
4) Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có đáy lớn AB. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm SA, SB.
a) Chứng minh : MN // CD.
b) Tìm giao điểm P của SC với (ADN).
c) Gọi I là giao điểm AN và DP. Chứng minh SI // AB // CD.
d) Hình tính của tứ giác SABI.
5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật . Gọi M , N , E ,
F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA
. Chứng minh rằng :
a)Bốn điểm M , N , E , F đồng phẳng
b)Tứ giác MNEF là hình thoi
c)Ba đường thẳng ME , NF , SO đồng quy ( O là giao điểm của
AC và BD )
6) Cho tứ diện ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và
BD ; E là một điểm thuộc cạnh AD khác với A và D .
a)Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(IJK)
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

46
b)Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình

hành
c)Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí điểm E trên cạnh AD
để thiết diện là hình thoi
BÀI 3 : ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG

1. Một đường thẳng và một mặt phẳng được gọi là song song với
nhau nếu chúng khơng có điểm chung .
2. Một đường thẳng (khơng nằm trên mp()) song song với
mp() khi và chỉ khi nó song song với một đường thẳng nằm
trong () .
3. Nếu mp() đi qua đường thẳng a (mà a song song với mp())
thì giao tuyến của mp() và mp() (nếu có) song song với a .
4. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường
thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó .
5. Qua 1 trong 2 đường thẳng chéo nhau ta dựng được duy nhất
một mặt phẳng song song với đường thẳng kia.

Lưu ý :
1) a // ()  a  () ; b  ()
a // b
2) a // ()
()  a  a // b
()  () = b
3)
( ) ( ) b
( ) // a, ( ) // a
   


 



 b // a

BÀI TẬP


1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi
M, N là trung điểm của các cạnh AB và CD.
www.VNMATH.com
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

47
a) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (SBC) và
(SAD).
b) Gọi P là trung điểm SA. Chứng minh rằng SB và SC đều
song song với mặt phẳng (MNP).

2) Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm  ABD. M là 1 điểm trên
cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh : MG // (ACD).

3) Cho tứ diện ABCD lấy lần lượt EAD, FAB , GBC, HCD
sao cho :

HD
HC
GB
GC
FB

FA
ED
EA

a) Chứng minh rằng : EFGH là hình bình hành.
b) Chứng minh : AC // (EFGH) và BD // (EFGH).

4) Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD ta lấy trung điểm M, trên
cạnh BC ta lấy điểm N bất kỳ. Gọi () là mặt phẳng chứa
đường thẳng MN và song song với CD.
a) Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng () với tứ diện ABCD.
b) Xác đònh vò trí của N trên BC sao cho thiết diện là 1 hình
bình hành.

5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là
trung điểm của AB. Mặt phẳng () qua M, () // AC và () //
SB. Hãy xác đònh giao tuyến của () với các mặt phẳng
(ABCD), (SBD), (SAB), (SBC), (SAD), (SCD).
6) Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang ABCD với AB là
đáy lớn. Gọi M là trung điểm CD, () là mặt phẳng qua M song
song với SA và BC.
********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

48
a) Hãy tìm thiết diện của () với hình chóp S.ABCD. Thiết
diện này là hình gì ?
b) Tìm giao tuyến của () với (SAD).
7) Cho tứ diện ABCD . Mơt mp(P) di động ln song song với AB
và CD lần lượt cắt các cạnh AC , AD , BD , BC tại M , N , E , F .

a) CMR tứ giác MNEF là một hình bình hành .
b) Tìm tập hợp tâm I của hình bình hành MNEF.


BÀI 4 :
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng khơng có
điểm chung .

2. Nếu mp() chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng song
song với mp() thì () song song với () .

3. Qua một điểm nằm ngồi một mặt phẳng có một và chỉ một mặt
phẳng song song với mặt phẳng đó .

4. Nếu đường thẳng a song song với mp() thì qua a có một và chỉ
một mp() song song với mp() .
5. Nếu hai mp () và () song song thì mọi mp(γ) đã cắt () thì cắt
() và các giao tuyến của chúng song song .

6. Định lý Thalès : Ba mặt phẳng đơi một song song chắn trên hai
cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ .

7. Định lý Thalès đảo : Giả sử trên hai đường thẳng a và a’ chéo
nhau lần lượt lấy các điểm A , B , C và A’ , B’ , C ‘ sao cho
AB BC CA
A'B' B'C' C'A'
  . Khi đó , ba đường thẳng AA’ , BB’ , CC’
www.VNMATH.com

********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

49

lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song , tức là chúng cùng song
song với một mặt phẳng .

8. Hình lăng trụ có hai đáy là hai đa giác nằm trên hai mp song song;
Các mặt bên đều là hình bình hành ; Các cạnh bên bằng nhau và
đơi một song song .

9. Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành ; Bố đường
chéo của hình hộp đồng quy tại trung điểm của mỗi đường ; điểm
đó gọi là tâm của hình hộp .

10. Hình chóp cụt có hai đáy nằm trên hai mp song song ; Các mặt
bên đều là hình thang ; Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng
quy tại một điểm .

Lưu ý :
1) a  (), b  ()
a , b cắt nhau  () // ()
a // (), b // ()

********* Cần cù bù thơng minh***
Giáo viên: Ninh Cơng Tuấn

50
2) ()  ()

() // ()  () // ()
() // ()

3) () // ()
()  () = a  a // b
()  () = b

4)
( ) // ( )
a // ( )
a ( )
 

 

 




BÀI TẬP

1) Cho 2 hình vuông ABCD và ABEF ở trong 2 mặt phẳng khác
nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M,
N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ
M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’.
a) Chứng minh : (CBE) // (ADF)
b) Chứng minh : (DEF) // (MNN’M’)

2) Trong mặt phẳng () cho hình bình hành ABCD. Ta dựng các

nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về cùng phía đối
với (), lần lượt đi qua các điểm A, B, C, D. Một mặt phẳng ()
cắt 4 nửa đường thẳng trên tại A’, B’, C’, D’.
a) Chứng minh mặt phẳng (AA’, BB’) // (CC’, DD’).
b) Chứng minh tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
c) Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’.
3) Cho tứ diện ABCD. Gọi G
1
, G
2
, G
3
lần lượt là trọng tâm của các
tam giác ABC, ACD, ABD.
Chứng minh mặt phẳng (G
1
G
2
G
3
) // (BCD).
www.VNMATH.com