PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẠI SỐ 12

GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12
HTTP://THAYTOAN.NET Trang 1





1. Đinh nghóa:
Hàm số f đồng biến trên K  (x
1
, x
2
 K, x
1
< x
2
 f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm số f nghòch biến trên K  (x
1
, x
2
 K, x
1
< x
2
 f(x
1

) > f(x
2
)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
b) Nếu f nghòch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghòch biến trên I.
c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác đònh của hàm số.
– Tính y

. Tìm các điểm mà tại đó y

= 0 hoặc y

không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y

(bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghòch biến
của hàm số.

Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a)
2
4 3y x x   b)
3 2
2 2y x x x    c)
4 2
1
2 1
4
y x x  
d)
2 1
5
x
y
x



e)
2
4 15 9
3
x x
y
x
 

Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a)

4 3 2
6 8 3 1y x x x     b)
2
2
1
4
x
y
x



c)
2
2
1
1
x x
y
x x
 

 

d)
2
2 1x
y
x


 e)
2
3 2
x
y
x x

 
f) 3 2 2y x x   
g) 2 1 3y x x    h)
2
2y x x  i)
2
2y x x 
CHƯƠNG I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97
Trang 2 HTTP://THAYTOAN.NET

k) sin2
2 2
y x x
 
   
 

 
 
l) sin2
2 2
y x x x
 
    
 
 
 


VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến
trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh)
Cho hàm số
( , )
y f x m

, m là tham số, có tập xác đònh D.


Hàm số f đồng biến trên D

y



0,

x


D.


Hàm số f nghòch biến trên D

y



0,

x

D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:
1) y

= 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu
y ax bx c
2
'
  
thì:



0

0
' 0,
0
0
a b
c
y x R
a


 




    












0
0

' 0,
0
0
a b
c
y x R
a


 




    










3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai
2
( )
g x ax bx c
  

:


Nếu

< 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.


Nếu

= 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =
2
b
a
 )


Nếu

> 0 thì g(x) có hai nghiệm x
1
, x
2
và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a,
ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
4) So sánh các nghiệm x
1
, x
2
của tam thức bậc hai

2
( )
g x ax bx c
  
với số 0:



1 2
0
0 0
0
x x P
S



   








1 2
0
0 0
0

x x P
S



   








1 2
0 0
x x P
   

5) Để hàm số
3 2
y ax bx cx d
   
có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x
1
; x
2
) bằng d thì
ta thực hiện các bước sau:


Tính y

.


Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến:

0
0
a






(1)


Biến đổi
1 2
x x d
 
thành
2 2
1 2 1 2
( ) 4
x x x x d
  

(2)


Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.


Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập
xác đònh) của nó:
a)
3
5 13
y x x
  
b)
3
2
3 9 1
3
x
y x x
   
c)
2 1
2
x
y
x





GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12
HTTP://THAYTOAN.NET Trang 3

d)
2
2 3
1
x x
y
x
 


e)
3 sin(3 1)
y x x
  
f)
2
2 1
x mx
y
x m
 



Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghòch biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập
xác đònh) của nó:
a)
5 cot( 1)
y x x
   
b)
cos
y x x
 
c)
sin cos 2 2
y x x x
  
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác đònh (hoặc từng khoảng xác đònh)
của nó:
a)
3 2
3 ( 2)
y x mx m x m
    
b)
3 2
2 1
3 2
x mx
y x
   
c)
x m

y
x m




d)
4
mx
y
x m



e)
2
2 1
x mx
y
x m
 


f)
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m

 



Bài 4. Tìm m để hàm số:
a)
3 2
3
y x x mx m
   
nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
b)
3 2
1 1
2 3 1
3 2
y x mx mx m
    
nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
c)
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x
      
đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.
Bài 5. Tìm m để hàm số:
a)
3

2
( 1) ( 1) 1
3
x
y m x m x
     
đồng biến trên khoảng (1; +).
b)
3 2
3(2 1) (12 5) 2
y x m x m x
     
đồng biến trên khoảng (2; +).
c)
mx
y m
x m
4
( 2)

  

đồng biến trên khoảng (1; +).
d)
x m
y
x m




đồng biến trong khoảng (–1; +).
e)
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
 


đồng biến trên khoảng (1; +).
f)
2
2 3
2 1
x x m
y
x
  


nghòch biến trên khoảng
1
;
2
 
 
 
 

.

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:


Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <,

,

). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác
đònh do đề bài chỉ đònh.


Xét dấu f

(x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến.


Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận.
Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f

(x) thì ta đặt h(x) = f

(x) và quay lại tiếp tục
xét dấu h

(x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).

Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97
Trang 4 HTTP://THAYTOAN.NET

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
3
sin , 0
6
x
x x x với x    b)
2 1
sin tan , 0
3 3 2
x x x với x   


c) tan , 0
2
x x với x  

d) sin tan 2 , 0
2
x x x với x   


Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
tan

, 0
tan 2
a a
với a b
b b
   

b) sin sin , 0
2
a a b b với a b     


c) tan tan , 0
2
a a b b với a b     


VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:


Chọn được nghiệm x
0
của phương trình.


Xét các hàm số y = f(x) (C
1
) và y = g(x) (C
2

). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và
một hàm số nghòch biến. Khi đó (C
1
) và (C
2
) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x
0
.
Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.

Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 5 5x x   b)
5 3
1 3 4 0x x x    
c) 5 7 16 14x x x x       d)
2 2
15 3 2 8x x x    



I. Khái niệm cực trò của hàm số
Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D  R) và x
0
 D.
a) x
0
– điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x
0
 (a; b) sao cho

f(x) < f(x
0
), với x  (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trò cực đại (cực đại) của f.
b) x
0
– điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x
0
 (a; b) sao cho
f(x) > f(x
0
), với x  (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x
0
là điểm cực trò của f thì điểm (x
0
; f(x
0
)) đgl điểm cực trò của đồ thò hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x

0
và đạt cực trò tại điểm đó thì f (x
0
) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có
đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò
1. Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
và có đạo hàm trên (a;
b)\{x
0
}
a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x
0
thì f đạt cực tiểu tại x
0
.
I
I
.
CỰC TRỊ

CỦA HÀM SỐ

GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12
HTTP://THAYTOAN.NET Trang 5

b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x
0

thì f đạt cực đại tại x
0
.
2. Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
, f (x
0
) = 0 và có
đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x
0
.
a) Nếu f (x
0
) < 0 thì f đạt cực đại tại x
0
.
b) Nếu f (x
0
) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x
0
.

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số
Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1.


Tìm f

(x).


Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.


Xét dấu f

(x). Nếu f

(x) đổi dấu khi x đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trò tại x
i
.
Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2.


Tính f

(x).


Giải phương trình f

(x) = 0 tìm các nghiệm x
i
(i = 1, 2, …).



Tính f

(x) và f

(x
i
) (i = 1, 2, …).
Nếu f

(x
i
) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x
i
.
Nếu f

(x
i
) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x
i
.
Bài 1. Tìm cực trò của các hàm số sau:
a)
2 3
3 2
y x x
  b)
3 2
2 2 1
y x x x

   
c)
3 2
1
4 15
3
y x x x
   
d)
4
2
3
2
x
y x
  
e)
4 2
4 5
y x x
  
f)
4
2
3
2 2
x
y x
   

g)
2
3 6
2
x x
y
x
  


h)
2
3 4 5
1
x x
y
x
 


i)
2
2 15
3
x x
y
x
 



Bài 2. Tìm cực trò của các hàm số sau:
a)
3 4
( 2) ( 1)
y x x
  
b)
2
2
4 2 1
2 3
x x
y
x x
 

 
c)
2
2
3 4 4
1
x x
y
x x
 

 

d)
2
4
y x x
 
e)
2
2 5
y x x
  
f)
2
2
y x x x
  
Bài 3. Tìm cực trò của các hàm số sau:
a)
3
2
1
y x
 
b)
3
2
2 1
x
y
x



c) 4
x x
y e e

 
d)
2
5 5 2ln
y x x x
    e)
2
4sin
y x x
  f)
2
ln(1 )
y x x
  

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x
0
thì f

(x
0
) = 0 hoặc tại x
0
không có đạo hàm.

2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x
0
thì f

(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
.
Chú ý:


Hàm số bậc ba
3 2
y ax bx cx d
   
có cực trò

Phương trình y

= 0 có hai nghiệm phân
biệt.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x
0
) bằng hai cách:
Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97
Trang 6 HTTP://THAYTOAN.NET

+
3 2

0 0 0 0
( )
y x ax bx cx d
   

+
0 0
( )
y x Ax B
 
, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y

.


Hàm số
2
' '
ax bx c
y
a x b
 


=
( )
( )
P x
Q x
(aa


0) có cực trò

Phương trình y

= 0 có hai nghiệm
phân biệt khác
'
'
b
a

.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x
0
) bằng hai cách:

0
0
0
( )
( )
( )
P x
y x
Q x
 hoặc
0

0
0
'( )
( )
'( )
P x
y x
Q x



Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm
ngoại lai.


Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là đònh lí
Vi–et.


Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:
a)
3 2 2 3
3 3( 1)
y x mx m x m
    
b)
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x
     

c)
2 2 4
( 1) 1
x m m x m
y
x m
   


d)
2
2
1
x mx m
y
x m
  

 

Bài 2. Tìm m để hàm số:
a)
3 2
( 2) 3 5
y m x x mx
    
có cực đại, cực tiểu.
b)
3 2 2

3( 1) (2 3 2) ( 1)
y x m x m m x m m
       
có cực đại, cực tiểu.
c)
3 2 2
3 ( 1) 2
y x mx m x
    
đạt cực đại tại x = 2.
d)
4 2
2( 2) 5
y mx m x m
     
có một cực đại
1
.
2
x


e)
2
2 2
x mx
y
x m
 



đạt cực tiểu khi x = 2.
f)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
    


có cực đại, cực tiểu.
g)
2
1
x x m
y
x
 


có một giá trò cực đại bằng 0.
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trò:
a)
3 2
3 3 3 4
y x x mx m
    
b)

3 2
3 ( 1) 1
y mx mx m x
    

c)
2
5
3
x mx
y
x
  


d)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
    



Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:
a)
3 2
y ax bx cx d

   
đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng
4
27
tại x =
1
3

b)
4 2
y ax bx c
  
có đồ thò đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trò bằng –9 tại x =
3
.
GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12
HTTP://THAYTOAN.NET Trang 7

c)
2
1
x bx c
y
x
 


đạt cực trò bằng –6 tại x = –1.
d)
2

ax bx ab
y
bx a
 


đạt cực trò tại x = 0 và x = 4.
e)
2
2
2
1
ax x b
y
x
 


đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
Bài 5. Tìm m để hàm số :
a)
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1)
y x m x m m x m
       
đạt cực trò tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:

1 2
1 2
1 1 1
( )
2
x x
x x
   .
b)
3 2
1
1
3
y x mx mx
   
đạt cực trò tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
1 2
8
x x
 
.
c)
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3

y mx m x m x
     
đạt cực trò tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
1 2
2 1
x x
 
.
Bài 6. Tìm m để đồ thò hàm số :
a)
3 2
4
y x mx
   
có hai điểm cực trò là A, B và
2
2
900
729
m
AB  .
b)
4 2
4
y x mx x m
   

có 3 điểm cực trò là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O
làm trọng tâm.

Bài 7. Tìm m để đồ thò hàm số :
a)
3 2
2 12 13
y x mx x
   
có hai điểm cực trò cách đều trục tung.
b)
3 2 3
3 4
y x mx m
   có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác
thứ nhất.
c)
3 2 3
3 4
y x mx m
   có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d):
3 2 8 0
x y
  
.

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trò
1) Hàm số bậc ba
3 2
( )

y f x ax bx cx d
    
.


Chia f(x) cho f

(x) ta được: f(x) = Q(x).f

(x) + Ax + B.


Khi đó, giả sử (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) là các điểm cực trò thì:

1 1 1
2 2 2
( )
( )
y f x Ax B
y f x Ax B

  


  




Các điểm (x
1
; y
1
), (x
2
; y
2
) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
2) Hàm số phân thức
2
( )
( )
( )
P x ax bx c
y f x
Q x dx e
 
  

.


Giả sử (x

0
; y
0
) là điểm cực trò thì
0
0
0
'( )
'( )
P x
y
Q x
 .


Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò
Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97
Trang 8 HTTP://THAYTOAN.NET

ấy là:
'( ) 2
'( )
P x ax b
y
Q x d

  .

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số :
a)

3 2
2 1y x x x    b)
2 3
3 2y x x  c)
3 2
3 6 8y x x x   
d)
2
2 1
3
x x
y
x
 


e
2
1
2
x x
y
x
 



Bài 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò
của đồ thò hàm số:
a)

3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m     b)
2
6
x mx
y
x m
 



c)
3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m        d)
2
2
1
x mx m
y
x m
  

 

Bài 3. Tìm m để hàm số:
a)
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x      có đường thẳng đi qua hai điểm cực trò song song với
đường thẳng y = –4x + 1.
b)

3 2
2 3( 1) 6 (1 2 )y x m x m m x     có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thò nằm trên
đường thẳng y = –4x.
c)
3 2
7 3y x mx x    có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với
đường thẳng y = 3x – 7.
d)
3 2 2
3y x x m x m    có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng
():
1 5
2 2
y x
 
.



1. Đònh nghóa:
Giả sử hàm số f xác đònh trên miền D (D  R).
a)
0 0
( ) ,
max ( )
: ( )
D
f x M x D
M f x
x D f x M


  
 

  


b)
0 0
( ) ,
min ( )
: ( )
D
f x m x D
m f x
x D f x m

  
 

  


2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f b f x f a 
.

b) Nếu hàm số f nghòch biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f a f x f b 
.

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12
HTTP://THAYTOAN.NET Trang 9



Tính f

(x).


Xét dấu f

(x) và lập bảng biến thiên.


Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].


Tính f

(x).


Giải phương trình f

(x) = 0 tìm được các nghiệm x
1
, x
2
, …, x
n
trên [a; b] (nếu có).


Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
).


So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.

 
1 2

[ ; ]
max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
M f x f a f b f x f x f x 

 
1 2
[ ; ]
min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
m f x f a f b f x f x f x 

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
4 3y x x   b)
3 4
4 3y x x  c)
4 2
2 2y x x  
d)
2
2y x x   e)
2
1
2 2
x
y

x x


 
f)
2
2
2 4 5
1
x x
y
x
 



g)
2
1
( 0)y x x
x
   h)
2
2
1
1
x x
y
x x
 


 
i)
4 2
3
1
( 0)
x x
y x
x x
 
 


Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
3 2
2 3 12 1y x x x    trên [–1; 5] b)
3
3y x x  trên [–2; 3]
c)
4 2
2 3y x x   trên [–3; 2] d)
4 2
2 5y x x   trên [–2; 2]
e)
3 1
3
x
y

x



trên [0; 2] f)
1
1
x
y
x



trên [0; 4]
g)
2
4 7 7
2
x x
y
x
 


trên [0; 2] h)
2
2
1
1
x x

y
x x
 

 
trên [0; 1]
i)
2
100y x  trên [–6; 8] k) 2 4y x x   
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2sin 1
sin 2
x
y
x



b)
2
1
cos cos 1
y
x x

 
c)
2
2sin cos 1y x x  

d) cos2 2sin 1y x x   e)
3 3
sin cosy x x  f)
2
4 2
1
1
x
y
x x


 

g)
2 2
4 2 5 2 3y x x x x      h)
2 2
4 4 3y x x x x     



1. Đònh nghóa:
Điểm
 
0 0
; ( )U x f x đgl điểm uốn của đồ thò hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b)
chứa điểm x
0
sao cho trên một trong hai khoảng (a; x

0
) và (x
0
; b) tiếp tuyến của đồ thò tại
điểm U nằm phía trên đồ thò còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thò
2. Tính chất:
IV
.
ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ


Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97
Trang 10 HTTP://THAYTOAN.NET

 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x
0
, f(x
0
) = 0 và f(x)
đổi dấu khi x đi qua x
0
thì
 
0 0
; ( )U x f x là một điểm uốn của đồ thò hàm số.
 Đồ thò của hàm số bậc ba
3 2
y ax bx cx d    (a  0) luôn có một điểm uốn và đó là tâm
đối xứng của đồ thò.

Bài 1. Tìm điểm uốn của đồ thò các hàm số sau:
a)
3 2
6 3 2y x x x    b)
3 2
3 9 9y x x x    c)
4 2
6 3y x x  
d)
4
2
2 3
4
x
y x
  
e)
4 3 2
12 48 10y x x x    f)
5 4
3 5 3 2y x x x   
Bài 2. Tìm m, n để đồ thò của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra:
a)
3 2
3 3 3 4y x x mx m     ; I(1; 2). b)
3
2
8
( 1) ( 3)
3 3

x
y m x m x
      
; I(1; 3)
c)
3 2
1y mx nx   ; I(1; 4) d)
3 2
2y x mx nx    ;
2
; 3
3
I
 

 
 

e)
3
2
3 2
x
y mx
m
    ; I(1; 0) f)
3 2
3 4y mx mx   ; I(–1; 2)
Bài 3. Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có 3 điểm uốn:
a)

5
4 3
4
(4 3) 5 1
5 3
x
y x m x x      b)
2
2
1
1
x mx
y
x
 



Bài 4. Chứng minh đồ thò của các hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng:
a)
2
2 1
1
x
y
x x


 
b)

2
1
1
x
y
x



c)
2
2
2 3
1
x x
y
x




d)
2
2 1
1
x
y
x




e)
2
1
x
y
x


f)
2
2
2 5
1
x x
y
x x
 

 

g)
2
2
2 3
3 3
x x
y
x x



 
h)
2
2
3
1
x x
y
x



i)
3
2
4 5
x
y
x x

 

Bài 5. Tìm m, n để đồ thò của các hàm số:
a)
4 3 2
2 6 2 1y x x x mx m      có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2).
b)
3
2

2
3 3
x
y x mx
    
có điểm uốn ở trên đường thẳng 2y x  .
c)
4 2
1
4
y x mx n    có điểm uốn ở trên Ox.



1. Đònh nghóa:
 Đường thẳng
0
x x đgl đường tiệm cận đứng của đồ thò hàm số ( )y f x nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau được thoả mãn:

0
lim ( )
x x
f x


 ;
0
lim ( )
x x

f x


 ;
0
lim ( )
x x
f x


  ;
0
lim ( )
x x
f x


 
 Đường thẳng
0
y y đgl đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số ( )y f x nếu ít nhất
V
.
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ


GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12
HTTP://THAYTOAN.NET Trang 11

một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

0
lim ( )
x
f x y


;
0
lim ( )
x
f x y



 Đường thẳng
, 0
y ax b a
  
đgl đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số
( )
y f x

nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:



lim ( ) ( ) 0
x

f x ax b

  
;


lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b

  

2. Chú ý:
a) Nếu
( )
( )
( )
P x
y f x
Q x
  là hàm số phân thức hữu tỷ.
 Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x
0
thì đồ thò có tiệm cận đứng
0
x x

.
 Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) thì đồ thò có tiệm cận ngang.
 Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thò có tiệm cận xiên.

b) Để xác đònh các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các
công thức sau:

 
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x
 
  
hoặc
 
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x
 
  

Bài 1. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
2 5
1
x
y
x




b)
10 3
1 2
x
y
x



c)
2 3
2
x
y
x




d)
2
4 3
1
x x
y
x
 



e)
2
( 2)
1
x
y
x



f)
2
7 4 5
2 3
x x
y
x
 



Bài 2. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
2
4 5
x
y
x x


 
b)
2
2
9
x
y
x



c)
2
2
4 5
1
x x
y
x
 



d)
2
2
2 3 3
1
x x

y
x x
 

 
e)
3
2
1
1
x x
y
x
 


f)
4
3
4
1
x x
y
x
 



Bài 3. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)

2
4
y x x
  b)
2
4 2
9
x
y
x



c)
2
1
4 3
y
x x

 

d)
1
1
x
y x
x




e)
3
2 3
3
y x x
 
f)
2
3 2
2
x x
y
x
 



Bài 4. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
a)
2 1
2 1
x
x
y



b) ln
2

x x
e e
y


 c)
2
ln( 5 6)
y x x
  

Bài 5. Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:
a) y
x m x m
2 2
3
4 2(2 3) 1

   
b)
2
2
2
3 2( 1) 4
x
y
x m x


  

c)
2
3
2
x
y
x x m


  

d)
x
y
x m x m
2 2
3
2( 2) 1


   
e)
x
y
x m x m
2 2
1
2( 1) 2



   
f)
2
3
2 2 1
y
x mx m

  

Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97
Trang 12 HTTP://THAYTOAN.NET

Bài 6. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thò của các hàm số
đến hai tiệm cận bằng một hằng số:
a)
2
1
1
x x
y
x
 


b)
2
2 5 4
3
x x

y
x
 


c)
2
7
3
x x
y
x
 






1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
 Tìm tập xác đònh của hàm số.
 Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác đònh.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trò của hàm số.
 Vẽ đồ thò của hàm số:
+ Tìm điểm uốn của đồ thò (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương).
– Tính y.
– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y.

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thò.
+ Xác đònh một số điểm đặc biệt của đồ thò như giao điểm của đồ thò với các trục toạ độ
(trong trường hợp đồ thò không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp
thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thò để có thể vẽ chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thò: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thò.
2. Hàm số bậc ba
3 2
( 0)y ax bx cx d a     :
 Tập xác đònh D = R.
 Đồ thò luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
 Các dạng đồ thò:

a > 0 a < 0
y’ = 0 có 2 nghiệm phân
biệt
 ’ = b
2
– 3ac > 0


y’ = 0 có nghiệm kép

 ’ = b
2
– 3ac = 0


y

x

0

I

y

x

0

I

VI
.
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12
HTTP://THAYTOAN.NET Trang 13

y’ = 0 vô nghiệm

 ’ = b
2
– 3ac < 0


3. Hàm số trùng phương
4 2

( 0)
y ax bx c a
   
:
 Tập xác đònh D = R.
 Đồ thò luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.
 Các dạng đồ thò:

4. Hàm số nhất biến
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d

   

:
 Tập xác đònh D = \
d
R
c
 

 
 
.
 Đồ thò có một tiệm cận đứng là
d
x
c

 
và một tiệm cận ngang là
a
y
c

. Giao điểm của
hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thò hàm số.
 Các dạng đồ thò:



Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
y

x

0

I

y

x

0

I

a > 0

a < 0

y’ = 0 có 3 nghiệm
phân biệt
 ab < 0







y’ = 0 chỉ có
1 nghiệm
 ab > 0








y

x

0

y

x

0

y

x

0

y

x

0

0
ad – bc > 0

x
y
0
ad – bc < 0

x
y
Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97

Trang 14 HTTP://THAYTOAN.NET

a)
3 2
3 9 1y x x x    b)
3 2
3 3 5y x x x    c)
3 2
3 2y x x   
d)
2
( 1) (4 )y x x   e)
3
2
1
3 3
x
y x   f)
3 2
3 4 2y x x x    
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
4 2
2 1y x x   b)
4 2
4 1y x x   c)
4
2
5
3

2 2
x
y x  
d)
2 2
( 1) ( 1)y x x   e)
4 2
2 2y x x    f)
4 2
2 4 8y x x   
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
1
2
x
y
x



b)
2 1
1
x
y
x



c)

3
4
x
y
x




d)
1 2
1 2
x
y
x



e)
3 1
3
x
y
x



f)
2
2 1

x
y
x







1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1. Cho hai đồ thò (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
) ta
giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thò.
2. Đồ thò hàm số bậc ba
3 2
( 0)y ax bx cx d a     cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
 Phương trình
3 2
0ax bx cx d    có 3 nghiệm phân biệt.
 Hàm số
3 2

y ax bx cx d    có cực đại, cực tiểu và . 0
CĐ CT
y y  .

Bài 3. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thò của các hàm số sau:
a)
2
3
3
2 2
1
2 2
x
y x
x
y

   




 


b)
2
2 4
1
2 4

x
y
x
y x x




 

   

c)
3
4 3
2
y x x
y x

 

  


d)
4 2
2
1
4 5
y x x

y x


  

 


e)
3 2
2
5 10 5
1
y x x x
y x x


   

  


f)
2
1
3 1
x
y
x
y x







  


Bài 4. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thò của các hàm số sau:
a)
y x x
y m x
3
3 2
( 2)

  

 

b)
3 2
2
3 2
1 13
2 12
x x
y x
y m x


  



 

  
 

 

c)
3
3
3
( 3)
x
y x
y m x


  


 


d)
2 1

2
2
x
y
x
y x m







 

e)
1
1
2
x
y
x
y x m








  

f)
2
6 3
2
x x
y
x
y x m

 





 


VII. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12
HTTP://THAYTOAN.NET Trang 15

g)
1
3
1
3

y x
x
y mx


   



 

h)
2
3 3
2
4 1
x x
y
x
y mx m

 





  

i)

y x x
y m x
3
2
2 1
( 1)


  

 



Bài 5. Tìm m để đồ thò các hàm số:
a)
2
( 2) 1
; 1
2
x
y y mx
x
 
  

cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b)
2
2 3

; 2
1
x x m
y y x m
x
 
  

cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
c)
2
; 2
1
mx x m
y y mx
x
 
  

cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
d)
2
4 5
; 2
2
x x
y y mx
x
 
  


cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
e)
2
( 2)
; 3
1
x
y y mx
x

  

cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau.
f)
2
1
mx x m
y
x
 


cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 6. Tìm m để đồ thò các hàm số:
a)
3 2
3 2 ; 2
y x x mx m y x
      

cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
b)
3 2
3 (1 2 ) 1
y mx mx m x
    
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c)
2 2
( 1)( 3)
y x x mx m
    
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
d)
3 2 2
2 2 2 1; 2 2
y x x x m y x x
       
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
e)
3 2 2 2
2 3 ; 2 1
y x x m x m y x
     
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Bài 7. Tìm m để đồ thò các hàm số:
a)
4 2
2 1;
y x x y m

   
cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.
b)
4 2 3
( 1)
y x m m x m
    cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
c)
4 2 2
(2 3) 3
y x m x m m
     cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Bài 8. Tìm m để đồ thò của các hàm số:
a)
3 1
; 2
4
x
y y x m
x

  

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB ngắn
nhất.
b)
4 1
;
2
x

y y x m
x

   

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn AB ngắn
nhất.
c)
2
2 4
; 2 2
2
x x
y y mx m
x
 
   

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính AB theo
m.
Bài 9. Tìm m để đồ thò của các hàm số:
a)
3 2
3 6 8
y x mx mx
   
cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
b)
3 2
3 9 1; 4

y x x x y x m
     
cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của đoạn
AC.
c)
4 2 2
(2 4)
y x m x m
    cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp số
Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97
Trang 16 HTTP://THAYTOAN.NET

cộng.
d)
3 2
( 1) ( 1) 2 1
y x m x m x m
      
cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một
cấp số nhân.
e)
3 2
3 (2 2) 9 192
y x m x mx     cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp
số nhân.

2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

 Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C

1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)

 Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thò ta biến đổi (*) về một
trong các dạng sau:
Dạng 1: F(x, m) = 0  f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m
 d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
 Dựa vào đồ thò (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Dạng 2: F(x, m) = 0  f(x) = g(m) (2)
Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k.
Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.
Dạng 3: F(x, m) = 0  f(x) = kx + m (3)
(k: không đổi)
Khi đó (3) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = kx + m
 Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương

với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m).
 Viết phương trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, … của (C)
có hệ số góc k.
 Dựa vào các tung độ gốc m, b
1
, b
2
, … của d, d
1
, d
2
, …
để biện luận.
Dạng 4: F(x, m) = 0  f(x) = m(x – x
0
) + y
0
(4)
Khi đó (4) có thể xem là phương trình
hoành độ giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m(x – x
0
) + y
0

 d quay quanh điểm cố đònh M
0
(x
0
; y
0
).
 Viết phương trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, …
của (C) đi qua M
0
.
 Cho d quay quanh điểm M
0
để biện luận.
y

x

m

A

(C)

c.
(d) : y = m

c.
y
CĐ

y
CT

x
A

y

x

A

y = kx

c.
m

(C)

M
1

M
2

b
1

b
2

d
1

d
d


O

y

x
0

d
3

d
1

y
0

0

(C)

c.
M
1

M
2

d
2

m =
–


m = +


m > 0
m = 0

m < 0
d


I

IV

(
–
)

(+)

M
x

GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12
HTTP://THAYTOAN.NET Trang 17

Chú ý:


Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện:



x



thì ta chỉ vẽ đồ thò (C): y = f(x) với




x



.


Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.

VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò
Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các dạng như
trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thò.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo m số
nghiệm của phương trình:
a)
3 3
3 1; 3 1 0
y x x x x m
      
b)
3 3
3 1; 3 1 0
y x x x x m
       

c)
3 3 2
3 1; 3 2 2 0
y x x x x m m

       
d)
3 3
3 1; 3 4 0
y x x x x m
       

e)
4
2 4 2
2 2; 4 4 2 0
2
x
y x x x m
       
f)
4 2 4 2
2 2; 2 2 0
y x x x x m
      

Bài 2. Cho hàm số
2
( )
1
x
y f x
x

 


.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng
3 0
x y
 
.
c) Dùng đồ thò (C), biện luận số nghiệm của phương trình:

2
3 ( 2) 2 0
x m x m
    

Bài 3. Cho hàm số
1
( )
1
x
y f x
x

 

.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng
2 0
x y

 
.
c) Dùng đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2
2 ( 1) 1 0
x m x m
    

Bài 4. Cho hàm số
2
( )
1
x
y f x
x
 

.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1).
c) Dùng đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2
(1 ) (1 ) 1 0
m x m x
    


VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thò

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba:
3 2
0
ax bx cx d
   
(a

0) (1)
Gọi (C) là đồ thò của hàm số bậc ba:
3 2
( )
y f x ax bx cx d
    

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành
Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3


Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm

(C) và Ox có 1 điểm chung



CĐ CT
f không có cực trò h a
f có cực trò
h b
y y
( .1 )

2
( .1 )
. 0










Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97
Trang 18 HTTP://THAYTOAN.NET




Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm

(C) tiếp xúc với Ox



2
( .2)
. 0
CĐ CT
f có cực trò

h
y y










Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt

(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt



2
( .3)
. 0
CĐ CT
f có cực trò
h
y y





Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu


Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt


(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương



2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trò
y y
x x
a f hay ad





 

 









Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt


(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm



2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trò
y y
x x
a f hay ad





 


 




(C)
A
x
0

O
x
y
(h.1a)

(C)
A
x
0

x
y
(h.1b)

x
1
o

x

2

y
CT

y
CĐ

(C)

y
CĐ

y

A

x
0

o
x
1

B
x'
0

(y
CT

= f(x
0
) = 0)

x
(H.2)
x"
0

C

x
1

(C)

y
CĐ

y
A

o

x
2

x

(H.3)

y
CĐ

x
0

x'
0

B

x
1

x
A

x
B

x
C

C

(C)

y
CĐ

y
A

o

x
2

x

a > 0

y
CT

B

f(0)

x
1

x
A

x
B

x

C

C

(C)

y
CĐ

y
A

o

x
2

x

a < 0

y
CT

B

f(0)

GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12
HTTP://THAYTOAN.NET Trang 19

Bài 6. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:
a)
3 2
2 3( 1) 6 2 0
x m x mx
    
b)
3 2
3 3(1 ) 1 3 0
x x m x m
     

c)
3 2
2 3 6( 1) 3 12 0
x mx m x m
     
d)
3 2
6 3( 4) 4 8 0
x x m x m
     

e)
3 2
2 3( 1) 6( 2) 2 0
x m x m x m

      
f)
3
3 2 0
x mx m
  

Bài 7. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm:
a)
3 2 2
( 1) (2 3 2) 2 (2 1) 0
x m x m m x m m
       
b)
3
3 2 0
x mx m
  

c)
3 2
(2 1) (3 1) ( 1) 0
x m x m x m
      
d)
3 2
3 3(1 ) 1 3 0
x x m x m
     

Bài 8. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a)
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1) 0
x mx m x m
     
b)
3 2
6 3( 4) 4 8 0
x x m x m
     

c)
3 2
2 3( 1) 6( 2) 2 0
x m x m x m
      
d)
3
1
0
3
x x m
  

Bài 9. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:
a)
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1) 0
x mx m x m

     
b)
3 2
6 3( 4) 4 8 0
x x m x m
     

c)
3 2
1 5 7
4 0
3 2 6
x x x m
    
d)
3 2
(2 1) 2 0
x mx m x m
     

Bài 10. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt:
a)
3 2
2 3( 1) 6( 2) 2 0
x m x m x m
      
b)
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1) 0
x mx m x m

     

c)
3 2
3 9 0
x x x m
   
d)
3 2
18 2 0
x x mx m
   


3. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG.

1. Ý nghóa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
là hệ số góc của tiếp
tuyến với đồ thò (C) của hàm số tại điểm


0 0 0
; ( )
M x f x
.
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm


0 0 0

; ( )
M x f x
là:
y – y
0
= f (x
0
).(x – x
0
) (y
0
= f(x
0
))
2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương
trình sau có nghiệm:

( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x






(*)
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
3. Nếu (C
1
): y = px + q và (C
2
): y = ax
2
+ bx + c thì
(C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau  phương trình
2
ax bx c px q
   
có nghiệm kép.

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)
x
1

x
A

x
B

x

C

C

(C)

y
CĐ

y
A

o
x
2

x

a > 0
y
CT

B
f(0)

x
C

x
2

x
1

x
A

x
B

C

(C)

y
CĐ

y
A

o
x

a < 0
y
CT

B

f(0)

Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97
Trang 20 HTTP://THAYTOAN.NET

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến

của (C): y =f(x) tại điểm


0 0 0
;
M x y
:


Nếu cho x
0
thì tìm y
0
= f(x
0
).
Nếu cho y
0
thì tìm x
0
là nghiệm của phương trình f(x) = y
0
.


Tính y

= f

(x). Suy ra y

(x
0
) = f

(x
0
).


Phương trình tiếp tuyến

là: y – y
0
= f

(x
0
).(x – x
0
)
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến

của (C): y =f(x), biết


có hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.


Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm. Tính f

(x
0
).




có hệ số góc k

f

(x
0
) = k (1)


Giải phương trình (1), tìm được x
0
và tính y

0
= f(x
0
). Từ đó viết phương trình của

.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.


Phương trình đường thẳng

có dạng: y = kx + m.




tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( )
'( )
f x kx m
f x k

 



(*)



Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của

.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến

có thể được cho gián tiếp như sau:
+

tạo với chiều dương trục hoành góc

thì k = tan


+

song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+

vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a

0) thì k =
1
a


+

tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc

thì

tan
1
k a
ka





Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến

của (C): y = f(x), biết

đi qua điểm
( ; )
A A
A x y
.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.


Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm. Khi đó: y
0
= f(x
0
), y


0
= f

(x
0
).


Phương trình tiếp tuyến

tại M: y – y
0
= f

(x
0
).(x – x
0
)




đi qua
( ; )
A A
A x y
nên: y
A

– y
0
= f

(x
0
).(x
A
– x
0
) (2)


Giải phương trình (2), tìm được x
0
. Từ đó viết phương trình của

.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.


Phương trình đường thẳng

đi qua
( ; )
A A
A x y
và có hệ số góc k: y – y
A
= k(x – x

A
)




tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( ) ( )
'( )
A A
f x k x x y
f x k

  



(*)


Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến

.

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
a) (C):
3 2
3 7 1
y x x x

   
tại A(0; 1) b) (C):
4 2
2 1
y x x
  
tại B(1; 0)
c) (C):
3 4
2 3
x
y
x



tại C(1; –7) d) (C):
2
1
2 1
y x
x
  

tại D(0; 3)
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
a) (C):
2
3 3
2

x x
y
x
 


tại điểm A có x
A
= 4
b) (C):
3( 2)
1
x
y
x



tại điểm B có y
B
= 4
GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12
HTTP://THAYTOAN.NET Trang 21

c) (C):
1
2
x
y
x




tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
d) (C):
2
2 2 1
y x x
  
tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
e) (C):
3
3 1
y x x
  
tại điểm uốn của (C).
f) (C):
4 2
1 9
2
4 4
y x x
  
tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra:
a) (C):
3 2
2 3 9 4
y x x x
   

và d:
7 4
y x
 
.
b) (C):
3 2
2 3 9 4
y x x x
   
và (P):
2
8 3
y x x
   
.
c) (C):
3 2
2 3 9 4
y x x x
   
và (C’):
3 2
4 6 7
y x x x
   
.
Bài 4. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm được
chỉ ra:
a) (C):

5 11
2 3
x
y
x



tại điểm A có x
A
= 2 .
b) (C):
2
7 26
y x x
  
tại điểm B có x
B
= 2.
Bài 5. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thò (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam giác
có diện tích bằng S cho trước:
a) (C):
2
1
x m
y
x




tại điểm A có x
A
= 2 và S =
1
2
.
b) (C):
3
2
x m
y
x



tại điểm B có x
B
= –1 và S =
9
2
.
c) (C):
3
1 ( 1)
y x m x
   
tại điểm C có x
C
= 0 và S = 8.
Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  có hệ số góc k được chỉ ra:

a) (C): y x x
3 2
2 3 5
  
; k = 12 b) (C):
2 1
2
x
y
x



; k = –3
c) (C):
2
3 4
1
x x
y
x
 


; k = –1 d) (C):
2
4 3
y x x
  
; k = 2

Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  song song với đường thẳng d cho trước:
a) (C):
3
2
2 3 1
3
x
y x x
   
; d: y = 3x + 2 b) (C):
2 1
2
x
y
x



; d:
3
2
4
y x
  

c) (C):
2
2 3
4 6
x x

y
x
 


; d:
2 5 0
x y
  
d) (C):
4 2
1 3
3
2 2
y x x
  
; d: y = –4x + 1
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  vuông góc với đường thẳng d cho trước:
a) (C):
3
2
2 3 1
3
x
y x x
   
; d:
2
8
x

y
  
b) (C):
2 1
2
x
y
x



; d:
y x


c) (C):
2
3
1
x
y
x



; d: y = –3x d) (C):
2
1
2
x x

y
x
 


; d: x – 2
Bài 9. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với chiều dương trục Ox góc :
a) (C):
3
2 0
2 4; 60
3
x
y x x    

b) (C):
3
2 0
2 4; 75
3
x
y x x    


c)
0
3 2
( ) : ; 45
1
x

C y
x

 



Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97
Trang 22 HTTP://THAYTOAN.NET

Bài 10. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với đường thẳng d một góc :
a) (C):
3
2 0
2 4; : 3 7; 45
3
x
y x x d y x      


b) (C):
3
2 0
1
2 4; : 3; 30
3 2
x
y x x d y x       


c)
0
4 3
( ) : ; : 3 ; 45
1
x
C y d y x
x

  



d)
0
3 7
( ) : ; : ; 60
2 5
x
C y d y x
x

   
 


e)
2
0
3

( ): ; : 1; 60
2
x x
C y d y x
x
 
    



Bài 11. Tìm m để tiếp tuyến  của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường thẳng d cho trước:
a) (C):
2
(2 1) 2
1
x m x m
y
x
   


tại điểm A có x
A
= 0 và d là tiệm cận xiên của (C).
b) (C):
2
2 1
3
x mx
y

x
 


; tại điểm B có x
B
= 4 và d: x – 12y + 1 = 0 .
Bài 12. Tìm m để tiếp tuyến  của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho trước:
a) (C):
2
(3 1)
( 0)
m x m m
y m
x m
  
 

tại điểm A có y
A
= 0 và d:
10
y x
 
.
Bài 13. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  đi qua điểm được chỉ ra:
a) (C):
3
3 2
y x x

   
; A(2; –4) b) (C):
3
3 1
y x x
  
; B(1; –6)
c) (C):
 
2
2
2
y x
  ; C(0; 4) d) (C):
4 2
1 3
3
2 2
y x x
  
;
3
0;
2
D
 
 
 

e) (C):

2
2
x
y
x



; E(–6; 5) f) (C):
3 4
1
x
y
x



; F(2; 3)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc
1. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương
trình sau có nghiệm:

( ) ( )
'( ) '( )
f x g x

f x g x





(*)
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
2. Nếu (C
1
): y = px + q và (C
2
): y = ax
2
+ bx + c thì
(C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau

phương trình
2
ax bx c px q
   
có nghiệm kép.

Bài 3. Tìm m để hai đường (C
1
), (C

2
) tiếp xúc nhau:
a)
3 2
1 2
( ): (3 ) 2; ( ):
C y x m x mx C trục hoành
    
b)
3 2
1 2
( ): 2 ( 1) ; ( ):
C y x x m x m C trục hoành
    
c)
3
1 2
( ): ( 1) 1; ( ): 1
C y x m x C y x
     

d)
3 2
1 2
( ): 2 2 1; ( ):
C y x x x C y x m
     

Bài 4. Tìm m để hai đường (C
1

), (C
2
) tiếp xúc nhau:
a)
4 2 2
1 2
( ): 2 1; ( ): 2
C y x x C y mx m
    

GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12
HTTP://THAYTOAN.NET Trang 23

b)
4 2 2
1 2
( ): 1; ( ):
C y x x C y x m
      

c)
4 2 2
1 2
1 9
( ): 2 ; ( ):
4 4
C y x x C y x m
      

d)

2 2 2
1 2
( ): ( 1) ( 1) ; ( ): 2
C y x x C y x m
    

e)
2
1 2
(2 1)
( ): ; ( ):
1
m x m
C y C y x
x
 
 


f)
2
2
1 2
1
( ): ; ( ):
1
x x
C y C y x m
x
 

  



VẤN ĐỀ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thò
(C
1
): y = f(x) và C
2
): y = g(x)
1. Gọi

: y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C
1
) và (C
2
).
u là hoành độ tiếp điểm của

và (C
1
), v là hoành độ tiếp điểm của

và (C
2
).





tiếp xúc với (C
1
) và (C
2
) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

( ) (1)
'( ) (2)
( ) (3)
'( ) (4)
f u au b
f u a
g v av b
g v a

 




 







Từ (2) và (4)


f

(u) = g

(v)

u = h(v) (5)


Thế a từ (2) vào (1)

b =

(u) (6)


Thế (2), (5), (6) vào (3)

v

a

u

b. Từ đó viết phương trình của

.
2. Nếu (C
1
) và (C

2
) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x
0
thì một tiếp tuyến chung của (C
1
) và (C
2
)
cũng là tiếp tuyến của (C
1
) (và (C
2
)) tại điểm đó.

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thò:
a)
2 2
1 2
( ): 5 6; ( ): 5 11
C y x x C y x x
      

b)
2 2
1 2
( ): 5 6; ( ): 14
C y x x C y x x
      

c)

2 3
1 2
( ): 5 6; ( ): 3 10
C y x x C y x x
     


VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thò (C): y = f(x) sao cho tại đó
tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước


Gọi M(x
0
; y
0
)

(C).

là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f

(x
0
).


Vì

// d nên f


(x
0
) = k
d
(1)
hoặc



d nên f

(x
0
) =
1
d
k
 (2)


Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x
0
. Từ đó tìm được M(x
0
; y
0
)

(C).

Bài 1. Tìm các điểm trên đồ thò (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d cho trước:
a) (C):
2
3 6
1
x x
y
x
 


; d:
1
3
y x

b) (C):
2
1
1
x x
y
x
 


; d là tiệm cận xiên của (C)
Đại số lớp 12 GV: Nguyễn Văn Huy - 0968 64 65 97
Trang 24 HTTP://THAYTOAN.NET

c) (C):
2
1
1
x x
y
x
 


; d là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C).
d) (C):
2
1
x x
y
x
 
 ; d: y = x
Bài 2. Tìm các điểm trên đồ thò (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng d cho trước:
a) (C):
3 2
10
y x x x
   
; d:
2
y x

b) (C):

2
1
x x
y
x
 
 ; d: y = –x

VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được
1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thò (C): y = f(x)
Giả sử d: ax + by +c = 0. M(x
M
; y
M
)

d.


Phương trình đường thẳng

qua M có hệ số góc k: y = k(x – x
M
) + y
M






tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( ) (1)
'( ) (2)
M M
f x k x x y
f x k

  






Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x
M
).f

(x) + y
M
(3)


Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)
Bài 1. Tìm các điểm trên đồ thò (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
a)
3 2
( ) : 3 2
C y x x

   
b)
3
( ) : 3 1
C y x x
  

Bài 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
a)
1
( ):
1
x
C y
x



; d là trục tung b)
2
2
( ):
1
x x
C y
x
 


; d là trục hoành

c)
2
2
( ):
1
x x
C y
x



; d: y = 1 d)
2
3 3
( ):
2
x x
C y
x
 


; d: x = 1
e)
3
( ):
1
x
C y
x




; d: y = 2x + 1
Bài 3. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ít nhất một tiếp tuyến với (C):
a)
2
6 9
( ):
2
x x
C y
x
 

 
; d là trục tung b)
2
3 3
( ):
1
x x
C y
x
 


; d là trục tung
c)
2 1

( ) :
2
x
C y
x



; d: x = 3 d)
3 4
( ):
4 3
x
C y
x



; d: y = 2
Bài 4. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với (C):
a)
2
2
( ):
2
x x
C y
x
 



; d là trục hoành b)
2
1
( ):
1
x x
C y
x
 


; d là trục tung
c)
2
3 3
( ):
2
x x
C y
x
 


; d: y = –5
Bài 5. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến với (C):
a)
3 2
( ) : 3 2
C y x x

   
; d: y = 2 b)
3
( ) : 3
C y x x
 
; d: x = 2
c)
3
( ): 3 2
C y x x
   
; d là trục hoành d)
3
( ) : 12 12
C y x x
  
; d: y = –4
e)
4 2
( ) : 2
C y x x
  
; d là trục tung e)
4 2
( ) : 2 1
C y x x
   
; d là trục tung
Bài 6. Từ điểm A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C):

a)
3 2
( ) : 9 17 2
C y x x x
   
; A(–2; 5) b)
3 2
1 4 4
( ) : 2 3 4; ;
3 9 3
C y x x x A
 
   
 
 

GV: Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Đại số lớp 12
HTTP://THAYTOAN.NET Trang 25

c)
3 2
( ) : 2 3 5; (1; 4)
C y x x A
   

Bài 7. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng d có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C):
a)
3 2
( ) : 6 9 1
C y x x x

   
; d: x = 2 b)
3
( ) : 3
C y x x
 
; d: x = 2


VẤN ĐỀ 6: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được
2 tiếp tuyến với đồ thò (C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
Gọi M(x
M
; y
M
).


Phương trình đường thẳng

qua M có hệ số góc k: y = k(x – x
M
) + y
M





tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( ) (1)
'( ) (2)
M M
f x k x x y
f x k

  






Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – x
M
).f

(x) + y
M
(3)


Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)

(3) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.


Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

f

(x
1
).f

(x
2
) = –1
Từ đó tìm được M.
Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì
1 2
(3) 2
( ). ( ) 0
có nghiệm phân biệt
f x f x






Bài 1. Chứng minh rằng từ điểm A luôn kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau. Viết
phương trình các tiếp tuyến đó:
a)
2

1
( ): 2 3 1; 0;
4
C y x x A
 
   
 
 
b)
2
1
( ): ; (1; 1)
1
x x
C y A
x
 
 


c)
2
2 2
( ): ; (1;0)
1
x x
C y A
x
 




Bài 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với (C) vuông
góc với nhau:
a)
3 2
( ) : 3 2
C y x x
  
; d: y = –2 b)
3 2
( ) : 3
C y x x
  ; d là trục hoành
c)
2
2 1
( ):
1
x x
C y
x
 


; d là trục tung d)
2
2 1
( ):
1

x x
C y
x
 


; d là trục tung
e)
2
3 2
( ):
x x
C y
x
 
 ; d: x = 1
Bài 3. Tìm m để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với
trục hoành;
a)
2
( ) : ; (0; )
1
x
C y A m
x




4. HỌ ĐỒ THỊ

Cho họ đường (C
m
): y = f(x, m) (m là tham số).
M(x
0
; y
0
)

(C
m
)

y
0
= f(x
0
, m) (1)
Xem (1) là phương trình theo ẩn m.
Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thò của họ (C
m
) đi qua M.
 Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thò của họ (C
m
) đều đi qua M.