sơ lược về lý thuyết biểu diễn

Lûn vàn täút nghiãûp & GVHD: Nguùn Xn Tỉ
SVTH: Nguùn Thë Nga ? Trang 1

Chỉång 1
:
SÅ LỈÅÜC L THUÚT BIÃØU DIÃÙN

I. BIÃØU DIÃÙN CẠC TRẢNG THẠI LỈÅÜNG TỈÍ:

Hm sọng
(
)
r
ρ
Ψ m ta thỉåìng viãút tỉì trỉåïc âãún nay l pháưn phủ thüc toả
âäü ca hm sọng. Hay ta cọ thãø nọi âo lï hm sọng trong “biãøu diãùn ta âäü” hay “r
- biãøu diãùn”.
Vê dủ:
(
)
r
ρ
Ψ =
2
x
e
−
l hm sọng trong r - biãøu diãùn, nọ chè phủ thüc toả
âäü x. Båíi le ỵcỉï cho x mäüt giạ trë xạc âënh thç ta xạc âënh âỉåüc hm sọng.
Ta biãút ràòng mäùi toạn tỉí
L

)
biãøu diãùn biãún säú âäüng lỉûc L thç hãû hm riãng
ca
L

)
láûp thnh mäüt hãû âáưy â âãø hm sọng Ψ (
r
ρ
) co thãø viãút dảng mäüt täø håüp
tuún tênh ca cạc hm riãng ny l:
Ψ(
r
ρ
)
)r(UC
n
nn
ρ
∑
=

Trong âọ C
n
l hãû säú hàòng säú, cạc hm
)
r
(
U

n
ρ
l hm riãng ca toạn tỉí
L

)
.
Cạc hm riãng ny l â biãút. Váûy nãúu cạc hãû säú phán têch C
n
thç hm sọng
Ψ(
r
ρ
) hon toạn âỉåüc xạc âënh. Nhỉ váûy táûp håüp cạc säú C
n
hon tan cọ thãø thay
thãú choΨ(
r
ρ
) âã mä t trảng thại ca hảt. Ta nọi ràòng táûp håüp cạc C
n
l hm sng
mä t trảng thại ca hảt trong L - biãøu diãùn.
Nhỉ váûy, âãø mä t trảng thại ca hãû lỉåüng tỉí ta cọ thãø mä t bàòng hm sọng
cho trong toả âäü biãøu diãùn hay trong biãøu diãùn no âọ cng âỉåüc.
Sau âáy, ta s xẹt hm sọng trong mäüt säú biãøu diãùn củ thãø v sỉû biãún âäøi
hm sọng tỉì biãøu diãùn ny sang biãøu diãùn khạc.

1.Hm sọng trong biãøu diãùn ta âäü (r - biãøu diãùn):

Trong biãøu diãùn toả âäü, trảng thại lỉåüng tỉí ca hãû âỉåüc kê hiãûu bàòng chè säú
a (trảng thại a) v hm sọng trong biãøu diãùn toả âäü ta âáù lm quen v thỉåìng âỉåüc
viãút l Ψ
a
(
r
ρ
) . Âọ l pháưn phủ thüc toả âäü ca hm sọng.
Trong âọ (
r
ρ
) l mäüt táûp håüp toả âäü (x,y,z). Ta cng â biãút
2
a
)r(
ρ
ψ máût âäü
xạc sút tçm tháúy hảt cọ toả âäü (
r
ρ
) khi hm sọng â chøn hoạ. Thỉûc tãú ta â lm
viãûc våïi hm sọng trong biãøu diãùn toả âäü (r - biãøu diãùn) tỉì âáưu giạo trçnh âãún giåì.
Luỏỷn vn tọỳt nghióỷp & GVHD: Nguyóựn Xuỏn Tổ
SVTH: Nguyóựn Thở Nga ? Trang 2
2. Haỡm soùng trong bióứu dióựn nng lổồỹng (E - bióứu dióựn):

óứ dóứ hióứu vỏỳn õóử, ta xeùt traỷng thaùi cuớa mọỹt haỷt chuyóứn õọỹng trong õióỷn
trổồỡng ngoaỡi, nng lổồỹng cuớ haỷt laỡ ỏm vaỡ do õoù nng lổồỹng cuớa haỷt laỡ giaùn õoaỷn.
Caùc trở rióng cuớa nng lổồỹng laỡ E
n

(n=1,2,3,4 ) vaỡ haỡm rióng tổồng ổùng laỡ
U
n
(
r

). Theo tờnh chỏỳt õuớ cuớa hóỷ haỡm rióng ta coù:
)r(UC)r(
n
nna



=
Nhổ ta õaợ noùi ồớ phỏửn trón, tỏỷp hồỹp caùc C
n
laỡ haỡm soùng mọ taớ traỷng thaùi a
cuớa haỷt trong E - bióứu dióựn vaỡ vỗ laỡ haỡm soùng nón cuợng vióỳt laỡ:
a
(E
n
).
Nhổ vỏỷy tổỡ tờnh chỏỳt õuớ cuớa hóỷ caùc haỡm rióng, ta coù cọng thổùc chuyóứn õọứi
tổỡ haỡm soùng trong E - bióứu dióựn sang r -bióứu dióựn nhổ sau:

a
(
r

)=

n

a
(E
n
).U
n
(
r

) (1.1)
Vaỡ tổỡ cọng thổùc tờnh hóỷ sọỳ phỏn tờch, ta coù cọng thổùc chuyóứn õọứi tổỡ haỡm
soùng trong r - bióứu dióựn sang E -bióứu dióựn nhổ sau:
)r(d)r(U)E(
a
*
nna


=

(1.2)
Trong õoù U
n
(
r

) haỡm rióng cuớa toaùn tổớ nng lổồỹng,
a

(E
n
),
a
(
r

) laỡ haỡm
soùng mọ taớ traỷng thaùi a cuớa hóỷ lổồỹng tổớ trong E -bióứu dióựn vaỡ r -bióứu dióựn.
Bióỳt traỷng thaùi
a
(
r

) cuớa hóỷ vaỡ caùc haỡm rióng U
n
(
r

) cuớa nng lổồỹng ta tỗm
õổồỹc haỡm soùng trong E - bióứu dióựn maỡ nhổ sau naỡy ta seợ bióỳt, noù õổồỹc mọ taớ bũng
mọỹt ma trỏỷn k haỡng vaỡ mọỹt cọỹt.
Nóỳu haỡm soùng trong r - bióứu dióựn õaợ õổồỹc chuỏứn hoaù thỗ haỡm soùng trong E -
bióứu dióựn cuợng õổồỹc chuỏứn hoaù.
Thỏỷt vỏy, haỡm soùng õaợ õổồỹc chuỏứn hoaù nón:

1)r(d
a
*
a

=



Hay
1)r(d)r(UC)r(UC
n
nn
n
*
m
*
m
=






Hay
()
1)r(d)r(U)r(U)E()E(
n
*
mn
n
m
n
*

r
a
a
=










1)E()E(
n,mm
n
*
n
n
*
aa
=




1)E()E(
n
n

*
n
n
*
aa
=




1)E(
2
n
n
a
=


Lûn vàn täút nghiãûp & GVHD: Nguùn Xn Tỉ
SVTH: Nguùn Thë Nga ? Trang 3
Âàóng thỉïc ny chênh l âiãưu kiãûn chøn hoạ ca hm sọng trong
E - biãøu diãùn.

3. Hm sọng trong biãøu diãùn xung lỉåüng (P - biãøu diãùn):

Tọan tỉí xung lỉåüng cọ phäø liãn tủc nãn hm riãng ỉïng våïi trë riãng
P
ρ
ca
toạn tỉí xung lỉåüng trong r - biãøu diãùn âỉåüc viãút l:

P
ρ
Ψ (
r
ρ
) v hm phi âỉåüc
chøn hoạ vãư hm âenta. Tỉïc l:
∫
P
ρ
Ψ
*
(
r
ρ
)
P
ρ
Ψ (
r
ρ
) d(
r
ρ
) =
)pp(
ρρ
′
−
δ =

ppkhi
p
p
khi
0
′
=∞
′
≠
ρρ
ρ
ρ

Tỉång tỉû nhỉ trong E - biãøu diãùn, hm sọng mä t trảng thại a ca hãû lỉåüng
tỉí trong P - biãøu diãùn cng âỉåüc viãút l ϕ
a
(
p
ρ
)
Do âọ ta cọ cäng thỉïc chuøn âäøi hm sọng tỉì P - biãøu diãùn sang r - biãøu
diãùn nhỉ sau:

)p(d)r()p()r(
P
aa
ρ
ρ
ρ
ρ

ρ
ψϕ=Ψ
∫
(1.3)
(Thay cäng thỉïc )r(UC)r(
n
nna
ρ
ρ
∑
=Ψ âäúi våïi toạn tỉí cọ phäø cọ phäø giạn
âoản).
Tỉì cäng thỉïc tênh hãû säú phán têch ta cng cọ:

(
)
(
)
(
)
(
)
rdrrp
apa
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ΨΨ=ϕ

∫
(1.4)
(1.4) l cäng thỉïc chuøn trảng thại tỉì r - biãøu diãùn sang p - biãøu diãùn. Våïi
2
a
)P(
ρ
ϕ
cng l máût âäü xạc sút tçm tháúy hảt cọ xung lỉåüng l
P
ρ
.
Ta lỉu ràòng trong r - biãøu diãùn thç phỉång trçnh trë riãng ca toạn tỉí xung
lỉåüng, ta cọ thãø tçm âỉåüc pháưn phủ toả âäü ca hm riãng l:

p
ρ
Ψ
(
r
ρ
) =






πη2
1

2
3
e
)r,p(
1
ρρ
η


II.DẢNG CA TOẠN TỈÍ TRONG CẠC BIÃØU DIÃÙN:

Ta hy xẹt toạn tỉí tuún tênh
A
)
. Toạn tỉí ny tạc dủng lãn hm sọng Ψ
a
(
r
ρ
)
( trảng thại a) s cho hm Ψ
b
(
r
ρ
) nhỉ sau:

A
)
Ψ

a
(
r
ρ
) = Ψ
b
(
r
ρ
) (1.5)
Luỏỷn vn tọỳt nghióỷp & GVHD: Nguyóựn Xuỏn Tổ
SVTH: Nguyóựn Thở Nga ? Trang 4
Ta haợy xeùt phổồng trỗnh naỡy trong L - bióứu dióựn naỡo õoù .Muọỳn vỏỷy caùc
haỡm soùng
a
(
r

),
b
(
r

) phaới õổồỹc chuyóứn sang L - bióứu dióựn (theo caùc hóỷ sọỳ phỏn
tờch bón caỷnh caùc haỡm rióng cuớa toaùn tổớ
L
)
. Giaớ sổớ
L
)

coù phọứ giaùn õoaỷn thỗ caùc
haỡm
a
(
r

),
b
(
r

) õổồỹc vióỳt nhổ sau:

a
(
r

) =

n
(
)
na
L
U
n
(
r

) (1.6)

b
(
r

) =

n
(
)
nb
L U
n
(
r

) (1.7)
Trong õoù U
n
(
r

) laỡ caùc haỡm rióng ổùng vồùi trở rióng L
n
cuớa toaùn tổớ
L
)
. Coỡn
)L(),L(
nbna

laỡ caùc haỡm soùng mọ taớ traỷng thaùi a vaỡ traỷng thaùi b trong L- bióứu
dióựn. Ta haợy tỗm mọỳi lión hóỷ giổợa
)L(
na

vaỡ
nb
L( )
Vióỳt laỷi phổồng trỗnh(1.4) dổồùi daỷng cỏửn quan tỏm ta coù:

)r(U)L()r(U)L(A
n
m
nbn
n
na


)


=
(1.8)
Nhỏn hai vóỳ cuớa phổồng trỗnh (1.8) vồùi U
m
*
(
r

) laỡ haỡm rióng tổồng ổùng vồùi
trở rióng L
m
cuớa toaùn tổớ
L
)
ta õổồỹc:

)r(U)L()r(U)r(U)L(A)r(U
n
m
nb
*
n
n
na
*
m
m



)



=

Lỏỳy tờch phỏn theo
r

ta õổồỹc:


[
]
[
]
)L()r(d)r(U)r(U)L()r(d)r(UA)r(U
nb
n
n
*
na
n
n
*
m
m
=









)

Tờch phỏn ồớ vóỳ traùi giọỳng nhổ trở trung bỗnh cuớa A
ỷt

= )r(d)r(UA)r(UA
n
*
mmn


)

. Thỗ phổồng trỗnh trón trồớ thaỡnh:

mnn
n
bn
n
amn
)L()L(A =



Vồùi
nmkhi1
n
m
khi
0

mn
=

=
Nón: )L()L(A
m
n
bn
n
amn


= (1.9)
Ta chuù yù
)
r
(
U
n

laỡ haỡm rióng cuớa toaùn tổớ
L
)
chổù khọng phaới cuớa
A

. Cọng
thổùc (1.9) cho ta mọỳi lión hóỷ cuớa caùc haỡm soùng trong L - bióứu dióựn maỡ ta cỏửn tỗm.
Quay laỷi kyù hióỷu:
mmb

nna
b)L(
a
)
L
(
=
=

Thỗ cọng thổùc(1.9) seợ laỡ:

n
A
mn
a
n
=

b
m
Luỏỷn vn tọỳt nghióỷp & GVHD: Nguyóựn Xuỏn Tổ
SVTH: Nguyóựn Thở Nga ? Trang 5
Vồùi m, n laỡ chố sọỳ caùc haỡm rióng cuớa toaùn tổớ
L
)

Nóỳu
L
)
coù k haỡm rióng thỗ ta coù:

=
k
1n
mn
A
a
n
=

b
m
(m=1,2,3 k)
Ta coù hóỷ phổồng trỗnh:


A
11
a
1
+ A
12
a
2
+ +A
1k
a
k
= b

1
(m=1)
A
21
a
1
+ A
22
a
2
+ +A
2k
a
k
= b
2
(m=2)
(1.10)
A
k1
a
1
+ A
k2
a
2
+ +A
kk
a
k

= b
k
(m=k)
Vóỳ traùi cuớa mọựi phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh cuớa hóỷ phổồng trỗnh (1.10) coù k sọỳ
haỷng vaỡ caùc hóỷ sọỳ A
mn
thỗ õỷc trổng cho toaùn tổớ
A

. Nhổ vỏỷy trong L - bióứu dióựn,
A


õổồỹc bióứu dióựn bũng mọỹt ma trỏỷn vuọng k haỡng, k cọỹt vồùi caùc phỏửn tổớ
mn
A nhổ
sau:

A

= (A) =
A

AA
A

AA
A

A

A
kk2k1k
k22221
k11211


Ta mọ taớ caùc haỡm soùng a
n
, b
n
trong L- bióứu dióựn cuợng bũng ma trỏỷn k haỡng,
k cọỹt nhổng chố coù caùc phỏửn tổớ cuớa cọỹt thổù nhỏỳt laỡ khaùc khọng, coỡn caùc phỏửn tổớ
khaùc õóửu bũng khọng

[]
k
2
1
1k
21
11
1k
21
11
anan
a

a
a
a

a
a
0 0a

0 0a
0 0a
)L()L()a( =====
Tổồng tổỷ:
()()
k
2
1
bmbm
b

b
b
)L()L()b( ===
Ta thỏỳy roợ raỡng hóỷ phổồng trỗnh (1.10) chờnh laỡ daỷng khai trióứn cuớa
phổồng trỗnh ma trỏỷn sau:
mn
b
)
a
)(
A
(
= (1.11)
Hay (A)(

a
(L)) = (
b
(L)]
Luỏỷn vn tọỳt nghióỷp & GVHD: Nguyóựn Xuỏn Tổ
SVTH: Nguyóựn Thở Nga ? Trang 6
Trong õoù (A), (
b
(L)), (
a
(L)) laỡ caùc ma trỏỷn bióứu dióựn toaùn tổớ vaỡ caùc haỡm
soùng trong L- bióứu dióựn, phổồng trỗnh naỡy giọỳng nhổ phổồng trỗnh bióỳn õọứi haỡm
soùng cuớa toaùn tổớ
A

)
trong r- bióứu dióựn maỡ ta quen thuọỹc laỡ:
)r()r(A


)
=
Nhổ vỏỷy trong L- bióứu dióựn ta cuợng vióỳt tổồng tổỷ phổồng trỗnh bióỳn õọứi haỡm
soùng cho toaùn tổớ
A
)
laỡ:

A
)

a
(L) =
b
(L) (1.12)
Nhổng trong phổồng trỗnh (1.12) thỗ
A
)
,
a
(L),
b
(L) laỡ caùc ma trỏỷn.
Nóỳu ta xeùt toaùn tổớ
A
)
trong bióứu dióựn cuớa chờnh noù thỗ caùc haỡm rióng laỡ cuớa
A
)
. Do õoù caùc phỏửn tổớ ma trỏỷn (A) bióứu dióựn toaùn tổớ
A
)
seợ laỡ:
A
mn
=
()

r

U
m
*
(
r

)
A
)
U
n
(
r

)d(
r

) = A
n

()

r

U
m
*
(
r

) U
n
(
r

)d(
r

) = A
n

mn
A
mn
= A
n
khi m = n. Coỡn khi m n thỗ A
mn
= 0. Vỏỷy trong bióứu dióựn cuớa
chờnh mỗnh toaùn tổớ
A
)
laỡ mọỹt ma trỏỷn cheùo, caùc phỏửn tổớ cuớa ma trỏỷn laỡ caùc trở rióng
cuớa toaùn tổớ
A
)
. Daỷng caùc toaùn tổớ trong bióứu dióựn toaỷ õọỹ ta õaợ bióỳt, bỏy giồỡ ta haợy
nghión cổùu daỷng cuớa caùc toaùn tổớ trong mọỹt vaỡi bióứu dióựn quen thuọỹc.

1.Toaùn tổớ nng lổồỹng trong bióứu dióựn nng lổồỹng:

Nhổ trón ta õaợ noùi, toaùn tổớ nng lổồỹng trong bióứu dióựn nng lổồỹng seợ laỡ mọỹt
ma trỏỷn cheùo coù caùc phỏửn tổớ laỡ caùc trở rióng cuớa cuớa nng lổồỹng nhổ sau:
()
k
2
1
E 00

0 E0
0 0E
HH ==
)

Phổồng trỗnh bióỳn õọứi haỡm soùng trong bióứu dióựn nng lổồỹng laỡ:
)E()E(H
aa
=
)
(1.13)

Mỷt khaùc theo mọỳi lión hóỷ cuớa caùc
haỡm soùng trong E- bióứu dióựn ta laỷi coù:
)E(H)E(
na
n
mnmb
=

Trong tọứng ồớ vóỳ phaới tỏỳt caớ caùc sọỳ haỷng õóửu bũng khọng trổỡ sọỳ haỷng coù
n=m. Do õoù ta coù:
Luỏỷn vn tọỳt nghióỷp & GVHD: Nguyóựn Xuỏn Tổ
SVTH: Nguyóựn Thở Nga ? Trang 7


Hay ta coù thóứ vióỳt:

)
E
(
E
)
E
(
ab
=
Nhổ vỏỷy (1.13) trồớ thaỡnh:
)E(E)E(H
aa
=
)

Ta thỏỳy trong bióứu dióựn nng lổồỹng thỗ toaùn tổớ nng lổồỹng chố laỡ pheùp nhỏn
vồùi nng lổồỹng maỡ thọi. Giọỳng nhổ toaùn tổớ toaỷ õọỹ cuợng chố laỡ pheùp nhỏn vồùi toaỷ
õọỹ.
2. Caùc toaùn tổớ trong bióứu dióựn xung lổồỹng:
2.1 Toaùn tổớ xunglổồỹng:
Phổồng trỗnh bióỳn õọứi haỡm soùng cuớa toaùn tổớ xung lổồỹng trong bióứu dióựn
xung lổồỹng laỡ:

)p()p(P
ba


)
= (1.14)
Mỷt khaùc mọỳi lión hóỷ caùc haỡm soùng trong bióứu dióựn xung lổồỹng cho ta:

pd)p(P)p(
a
p
pp
'
b




=



(Tổồng tổỷ nhổ )L(A)L(
na
n
mnmb
=

, p laỡ lión tuỷc)
Trong õoù

()()
)pp(P)r(dr)r(P)r(drp)r(P
p
)r(
*
pp
)r(
*
p
pp

===











)

()()
)p(P)p(dppp
a
)p(
'
a
)p(
'
b P







=

=



Hay
)
p
(

p
)
p
(
ab



= (1.15)
Tổỡ (1.14), (1.15) ta suy ra:
)p(P)p(P
ab



)

=
Tổùc laỡ trong bióứu dióựn xung lổồỹng, toaùn tổớ xung lổồỹng cuợng chố laỡ pheùp
nhỏn vồùi xung lổồỹng maỡ thọi. Ta lổu yù rũng toùan tổớ xung lổồỹng coù phọứ lión tuỷc
nón noù laỡ mọỹt ma trỏỷn cheùo lión tuỷc trong bióứu dióựn xung lổồỹng.
2.2 Toaùn tổớ toaỷ õọỹ:

Xeùt haỷt chuyóứn õọỹng trón truỷc Ox. Trong (p
x
- bióứu dióựn) thỗ phổồng trỗnh
bióỳn õọứi haỡm soùng cuớa toaùn tổớ toaỷ õọỹ x
)
laỡ:

(
)
(
)
xbxa
p
p
x
=
)
(1.17)
)E(E)E(H)E(
mammamnmb
==
Luỏỷn vn tọỳt nghióỷp & GVHD: Nguyóựn Xuỏn Tổ
SVTH: Nguyóựn Thở Nga ? Trang 8
Mọỳi lión hóỷ haỡm soùng cho ta:

(
)
(
)
xxa
p
pp
x
'
b
dppXp
x

xx
=



Vồùi
()
dx)x()x(X
x
p
x
pxx
x
*
pp
=



)

Chuù yù caùc phỏửn tổớ dổồùi dỏỳu tờch phỏn theo (x) laỡ trong bióứu dióựn toaỷ õọỹ nón:
xx
=
)
vaỡ
e
x
ip
p

x
x
2
1
)x(


=
Do õoù:
e
xip
p
x
x
2
x
)x(x



=

=
e
xip
x
x
2
1
p
i




)x(
p
i
x
p
x



=
() ()
dx)x()x(
p
idx)x(
p

i)x(X
x
x
px
x
pxx
p
x
*
x
p
x
x
*
pp



=









=

()
xx
x
pp
pp
p
iX
xx





=


Dổỷa vaỡo bióứu thổùc cuớa
)
p
(
xb


ta õổồỹc:
()
xxx
x

p
xaxb
dppp
p
i)p()p(
x













=





(
)
[
]
xx

p
xa
ppd)p(i
x


=



(
)
() ()
xxx
p
x
xa
p
'
xxxaxb
dppp
p
)
p
(
ipp)p(i)p(
x
x

=




Chuù yù rũng tờch phỏn lỏỳy theo
x
p
vaỡ trong mióửn bióỳn thión cuớa
x
p coù chổùa
giaù trở
x
p

. Nhổ vỏỷy thỗ sọỳ haỷn õỏửu cuớa vóỳ phaới bũng khọng (theo tờnh chỏỳt haỡm
õenta).
)p(
p
i)p(
xa
'
x
xb

=


(Tờnh chỏỳt haỡm õenta)
Hay )p(
p
i)p(
xa
x
xb



= (1.18)
So saùnh (1.18), (1.17), ta õổồỹc:
x
p
ix


=
)

Tổồng tổỷ vồùi caùc toaùn tổớ toaỷ õọỹ khaùc vaỡ ta coù:
Luỏỷn vn tọỳt nghióỷp & GVHD: Nguyóựn Xuỏn Tổ
SVTH: Nguyóựn Thở Nga ? Trang 9
x
p

ix


=
)

y
p
iy


=
)

z
p
iz


=
)

Tổỡ õoù ta suy ra:
kzjyixr

)

)

)

)
++=










+


+


= k
p
j
p
i
p
i
zyx



p

ir



)

=
Tổỡ daỷng caùc toaùn tổớ õaợ bióỳt trong bióứu dióựn xung lổồỹng , ta coù thóứ suy ra
daỷng caùc toaỡn tổớ khaùc trong bióứu dióựn xung lổồỹng bũng nguyón lyù tổồng ổùng.
Vờ duỷ nng lổồỹng:
)z,y,x(V
m
2
PPP
H
2
z
2
y
2
x
+
++
=
Ta suy ra toaùn tổớ nng lổồỹng coù daỷng:

+=
zyx
2
p
i,
p
i,
p
iV
m2
p
H
)

Tổỡ õoù ta vióỳt õổồỹc phổồng trỗnh Schrodinger trong (p- bióứu dióựn) nhổ sau:
)p(E)p(
p
i,
p
i,
p

iV
m2
p
EE
zyx
2

=

+
Ta thỏỳy ngay nóỳu haỷt chuyóứn õọỹng tổỷ do thỗ nng lổồỹng laỡ:
m
2
p
E
2
=









Lûn vàn täút nghiãûp & GVHD: Nguùn Xn Tỉ
SVTH: Nguùn Thë Nga ? Trang 10
Chỉång2: NÀNG LỈÅÜNG CA NGUN TỈÍ
TRONG ÂIÃÛN TRỈÅÌNG

Âäü biãún thiãn nàng lỉåüng ca cạc trảng thại dỉìng ca cạc ngun tỉí dỉåïi
nh hỉåíng ca âiãûn trỉåìng ngoi gi l hiãûu ỉïng Stark.

Khi khäng cọ âiãûn trỉåìng ngoi, cạc trảng thại dỉìng tỉång ỉïng våïi mäüt
mỉïc nàng lỉåüng E
n
. Khi cọ âiãûn trỉåìng ngoi våïi cỉåìng âäü
ε

tạc dủng, trong toạn
tỉí Haminton cọ xút hiãûn säú hảng phủ:
W=-
ε
.d
Trong âọ: d= e.r l toạn tỉí mämen lỉåỵng cỉûc âiãûn ca electron. Nãúu hỉåïng
z dc theo vectå âiãûn trỉåìng thç toạn tỉí Haminton ca ngun tỉí cọ dảng:
WHH
O
)
)
)
+=
Trong âọ toạn tỉí W
)
l mäüt toạn tỉí nh gi l toạn tỉí nhiãùu loản.
Khi cọ âiãûn trỉåìng ngoi tạc dủng, trỉåïc hãút sỉû âäúi xỉïng ca hãû thay âäøi, sỉû
âäúi xỉïng xun tám thay thãú bàòng sỉû âäúi xỉïng trủc, khi âọ tênh cháút ca thãú nàng
thay âäøi khi
±∞
→
z
. Thãú nàng gim khi
−∞
→
z
(electron<0) nãn s xút hiãûn
xạc sút ca electron truưn truưn qua hng ro thãú, nghéa l sỉû ion hoạ tỉû phạt
ca ngun tỉí dỉåïi nh hỉåíng ca âiãûn trỉåìng ngoi, kh nàng ca electron trỉưn
qua hng ro thãú xút hiãûn trong sỉû måí räüng ca cạc mỉïc nàng lỉåüng.

Cạc tênh toạn âënh lỉåüng vãư âäü biãún thiãn nàng lỉåüng ca ngun tỉí khi cọ
âiãûn trỉåìng ngoi tạc dủng cọ thãø tiãún hnh bàòng phỉång phạp l thuút nhiãùu
loản, nãúu cỉåìng âäü ca trỉåìng â nh, nghéa l trong trỉåìng håüp âäü biãún thiãn ca
cạc mỉïc nh so våïi khong cạch ca cạc mỉïc lán cáûn ca ngun tỉí khi khäng cọ
trỉåìng.

Trong phẹp gáưn âụng cáúp mäüt ca l thuút nhiãùu loản säú hiãûu chênh cho
nàng lỉåüng ca hãû khäng nhiãùu loản âỉåüc xạc âënh båíi giạ trë trung bçnh ca toạn
tỉí nhiãùu loản trong trảng thại âọ. Âäü biãún thiãn nàng lỉåüng trong thại dỉåïi nh
hỉåíng ca nhiãùu loản:

d
.
E
ε
=
∆

Trảng thại kêch thêch âáưu tiãn ca ngun tỉí Hydro tỉång ỉïng våïi trảng thại
ny cọ hm sọng dỉåïi dảng täø håüp tuún tênh nhỉ sau:
21
βψ+αψ=Ψ
Lûn vàn täút nghiãûp & GVHD: Nguùn Xn Tỉ
SVTH: Nguùn Thë Nga ? Trang 11
Mämen lỉåỵng cỉûc trung bçnh khạc khäng cọ thãø cọ trong c cạc hãû lỉåüng tỉí
cọ nhọm cạc trảng thại háưu nhỉ suy biãún. Nãúu mäüt hãû nhỉ thãú khäng cọ nàng lỉåüng
hon ton xạc âënh. Do âọ âäü báút âënh ca nàng lỉåüng låïn hån khong cạch giỉỵa
cạc mỉïc cọ tênh chàón l khạc nhau.

Ta s nghiãn cỉïu hiãûu ỉïng Stark âäúi våïi ngun tỉí Hydrä trong âiãûn trỉåìng
trong sỉû gáưn âụng phi tỉång âäúi tênh khäng tạc âäüng lãn spin ca electron.

Do âọ trong phẹp tênh gáưn âụng cáúp mäüt ca l thuút nhiãùu loản trảng thại
cå bn 1s ca ngun tỉí Hydro cọ tênh chàơn l dỉång trong phẹp tênh gáưn âụng
cáúp mäüt.
Nàng lỉåüng ca trảng thại ny khäng âäøi khi âiãûn trỉåìng tạc dủng. Khi
nghiãn cỉïu trảng thại kêch thêch âáưu tiãn ỉïng våïi n=2, cáưn chụ ràòng trảng thại ny
suy biãún bäüi g (báûc 4). Âãø xạc âënh sỉû dëch chuøn ca cạc mỉïc trong phẹp gáưn
âụng cáúp mäüt ca l thuút nhiãùu loản cáưn phi kho sạt täø håüp tuún tênh ca cạc
trảng thại suy biãún.

Lûn vàn täút nghiãûp & GVHD: Nguùn Xn Tỉ
SVTH: Nguùn Thë Nga ? Trang 12

Chỉång 3: L THUÚT NHIÃÙU LOẢN

I.BI TOẠN NHIÃÙU LOẢN DỈÌNG KHÄNG SUY BIÃÚN:

Pháưn låïn cạc bi toạn trong cå hc lỉåüng tỉí âãưu khäng gii mäüt cạch chênh
xạc. Vç váûy, trong nhiãưu trỉåìng håüp ta phi dng phỉång phạp gáưn âụng âãø tçm cạc
hm riãng v trë riãng ca cạc toạn tỉí biãøu diãùn biãún säú âäüng lỉûc. Phỉång phạp
nhiãùu loản m ta nghiãn cỉïu dỉåïi âáy l mäüt phỉång phạp quan trng âãø gii cạc
bi toạn cå hc lỉåüng tỉí. Phỉång phạp áúy củ thãø nhỉ sau:
Xẹt hãû lỉåüng tỉí cọ toạn tỉí nàng lỉåüng
H
)
khäng phủ thüc thåìi gian thç
phỉång trçnh Schrodinger khäng phủ thüc thåìi gian l:

(
)
(
)
rErH
kkk
ρ
ρ
)
ψ=ψ (3.1)
Âáy l phỉång trçnh vi phán hảng hai, mỉïc âäü phỉïc tảp ca phỉång trçnh phủ
thüc vo cạc úu täú:
Säú ta âäü nhiãưu hay êt.
Dảng ca thãú nàng l phỉïc tảp hay âån gin.
Cạc bi toạn âån gin ta â gii nhỉ bi toạn chuøn âäüng mäüt chiãưu, bi
toạn dao âäüng tỉí âiãưu ho, bi toạn chuøn âäüng ca electron trong ngun tỉí
hidro. Cn nọi chung viãûc gii phỉång vi phán trãn l phỉïc tảp v khäng thỉûc hiãûn
âỉåüc bàòng phỉång phạp gii têch. Khi âọ ta phi gii bi toạn bàòng phỉång phạp
gáưn âụng.
Näüi dung ca phỉång phạp nhiãùu loản âãø gii phỉång vi phán trãn l ta tçm
mäüt toạn tỉí
0
H

)
gáưn bàòng
H
)
sau cho phỉång trçnh trë riãng )r(E)r(H
0

n
0
n
0
n
0
ρ
ρ
)
ψ=ψ
ca
0
H

)
l gii âỉåüc.
Nghéa l ta tçm âỉåüc trë riãng
0
n
E v cạc hm riãng )r(
0
n
ρ
ψ räưi dỉûa vo
0
n
E
v )r(
0
n

ρ
ψ âãø suy ra
k
E
v
)
r
(
k
ρ
ψ ca phỉång trçnh (3.1).
Khi âọ ta âàût WHH
0
)
)
)
+= . Trong âọ toạn tỉí W
)
l mäüt toạn tỉí nh gi l
nhiãùu loản. Nhỉ váûy phỉång trçnh (3.1) tråí thnh:

(
)
(
)
)r(ErWH

kkk
0
ρ

ρ
)
)
Ψ=Ψ+ (3.2)
Âãø gii phỉång trçnh ny ta hy chuøn nọ sang E
o
- biãøu diãùn
Ta cọ:
(
)
(
)
∑
ψ=ψ
n
0
nk
rCr
k
ρ
ρ
v thay vo (3.2) ta âỉåüc:
Luỏỷn vn tọỳt nghióỷp & GVHD: Nguyóựn Xuỏn Tổ
SVTH: Nguyóựn Thở Nga ? Trang 13

(
)
(
)
(

)
rCErCWH
n
0
n
nk
0
n
n
n
0


)
)
=+



Hay
(
)
(
)
(
)
(
)
rCErWrHC
n

0
n
nk
n
0
n
0
n
0
n


)

)
=+


(3.2)
Nhỏn hai vóỳ (3.2) vồùi )r(
*0
m

rọửi lỏỳy tờch phỏn theo
(
)
r

ta õổồỹc
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)






=
/
+
n
)r(
0
n
*0
mnk
n
)r(
0
n

*0
mn
n
)r(
0
n
*0
m
0
nn
)r(drrCE)r(drWrC)r(drrEC





)





Hay
mn
n
nkmnnmn
0
n
n
n

CEWCEC =+




Suy ra
mkmn
n
n
0
mm
CEWCEC =+

(3.3)
Trong õoù W
mn
laỡ phỏửn tổớ ma trỏỷn
(
)
W
)
trong E
0
- bióứu dióựn caùc chố sọỳ m, n
laỡ chaỷy suọỳt caùc haỡm rióng cuớa
0
H
)
.
Bỏy giồỡ ta bióứu dióựn E

k
vaỡ caùc C
n
(cuợng laỡ C
m
) dổồùi daỷng chuọựii vaỡ chuù yù
caùc
0
k
E laỡ õaợ bióỳt:

CCCC
EEEE
2
n
1
n
0
nn
2
k
1
k
0
kk
+++=
+++=

Trong õoù caùc
i

k
i
k
C,E laỡ caùc sọỳ hióỷu chờnh bỏỷc i, quy õởnh bỏỷc gỏửn õuùng cuớa c
yóỳu tọỳ nhióựu loaỷn, chuùng ta coù caùc vọ cuỡng beù bỏỷc i (i= 1,2 vaỡ W laỡ caùc vọ beù
bỏỷc 1)
ổa
mnk
C,C,E vaỡo (3.3) ta õổồỹc
(
)
(
)
(
)
mn
n
2
n
1
n
0
nm
2
k
1
k
0
k
2

m
1
m
0
m
W CCCE EEE CCC

+++=++++++
Khai trióứn tờch thổỡa sọỳ vaỡ cỏn bũng caùc sọỳ haỷng cuỡng bỏỷc ồớ hai vóỳ õổồỹc hóỷ
caùc phổồng trỗnh:

(
)
0EEC
0
m
o
k
0
m
= (3.4)

(
)

=+
n
mn
0
n

0
m
0
k
1
m
1
k
0
m
WCEECEC (3.5)

(
)

=++
n
mn
1
n
0
m
0
k
2
m
1
k
1
m

2
k
0
m
WCEECECEC (3.6)

Giaới hóỷ phổồng trỗnh trón ta tỗm õổồỹc caùc giaù trở
0
n
0
k
C,E vaỡ caùc sọỳ hióỷu chờnh
bỏỷc 1, bỏỷc 2 cuớa chuùng. Nóỳu ta dổỡng laỷi ồớ sọỳ hióỷu chờnh bỏỷc naỡo thỗ baỡi toaùn
dổỡng laỷi ồớ gỏửn õuùng bỏỷc ỏỳy.
Chúng haỷn ta haợy giaới baỡi toaùn trong gỏửn õuùng bỏỷc mọỹt, khi ỏỳy ta phaới tỗm
õổồỹc :
1
k
0
kk
EEE += vaỡ
1
n
0
nn
CCC += õóứ suy ra haỡm soùng tổồng ổùng vồùi
k
E
laỡ:
)r(C)r(

0
n
n
nk


=

Luỏỷn vn tọỳt nghióỷp & GVHD: Nguyóựn Xuỏn Tổ
SVTH: Nguyóựn Thở Nga ? Trang 14
óứ tỗm
0
k
E ta haợy giaới (3.4) laỡ phổồng trỗnh gỏửn õuùng bỏỷc khọng hay baỡi
toaùn khọng coù nhióựu loaỷn.
Maỡ baỡi toaùn khọng coù nhióựu loaỷn thỗ ta õaợ giaới õổồỹc nón caùc trở rióng
0
k
E vaỡ
caùc haỡm rióng )r(
0
k

tổồng ổùng laỡ õaợ bióỳt
Khi õoù trong (3.4) ta cho m=k thỗ 0CC
0
k
0
m
=

Mỷt khaùc khi khọng coù nhióựu loaỷn thỗ )r(C)r(
0
n
n
0
n
0
n


=

.Trong õoù tỏỳt caớ
caùc sọỳ haỷng coù
m
k
n
=

thỗ
0
n
C õóuử bũng khọng chố coù mọỹt sọỳ duy nhỏỳt coù
m
k
n
=
=
laỡ

0, õoù laỡ
0
k
C

1C
)r(C)r(
0
k
0
n
0
k
0
n
=
=



Vỏỷy ồớ gỏửn õuùng bỏỷc 0, ta coù:

)r()r(
EEE
0
kk
0
m
0
kk

=
=

laỡ trở rióng vaỡ haỡm rióng tổồng ổùng cuớa nng lổồỹng khi khọng coù nhióựu loaỷn
maỡ ta õaợ bióỳt vaỡ )kmn(,1C
0
k
=== .
óứ tỗm caùc hóỷ sọỳ chờnh
1
n
1
k
C,E ta phaới giaới phổồng trỗnh gỏửn õuùng (3.5) tióỳp
theo.

Cho m =k phổồng trỗnh (3.5) trồớ thaỡnh

(
)
kn
n
0
n
0
k
0
k
1

n
1
k
0
k
WCEECEC

=+
Vồùi
m
k
n
=

thỗ 0C
0
n
= ,coỡn vồùi
m
k
n
=
=
thỗ 1CCC
0
m
0
k
0
n

=== . Tổỡ õoù
suy ra:

kk
1
k
WE = (3.7)
Vồùi

k
n
m

=
vaỡ chuù yù khi õoù 0C
0
n
= , 0C
0
m
= ta coù phổồng trỗnh

(
)
mk
n
0
k
0
m

0
k
1
m
WCEEC

=
Maỡ 1C
0
k
=
km
EE
W
C
0
m
0
k
mk
1
m


= (3.8)
õỏy ta hióứu vai troỡ cuớa m vaỡ n laỡ nhổ nhau nón ta coù thóứ thay n cho m ồớ
cọng thổùc trón.
Nhổ vỏỷy trong gỏửn õuùng bỏỷc mọỹt thỗ giaù trở cuớa nng lổồỹng vaỡ bióứu thổùc cuớa
haỡm soùng tổồng ổùng laỡ:

kk
0
k
1
k
0
kk
WEEEE +=+= (3.9)
Lûn vàn täút nghiãûp & GVHD: Nguùn Xn Tỉ
SVTH: Nguùn Thë Nga ? Trang 15
(
kk
W
l pháưn tỉí ma tráûn W
)
trong E
0
biãøu diãùn)
V:
(
)
(
)
rC)r(C)r(CC)r(
n
k
01
n
n
k

00
n
n
0
n
1
n
0
nk
ρ
ρ
ρ
ρ
∑
∑
∑
Ψ+Ψ=Ψ+=Ψ
Chụ
0C
0
0
=
khi
k
n
≠
v
0
n
0

k
nk
1
n
EE
W
C
−
= Ta âỉåüc:

∑
Ψ
−
+Ψ=Ψ
n
0
n
0
m
0
k
nk
0
kk
)r(
EE
W
)r()r(
ρρρ
(3.10)

Âãø phẹp tênh gáưn âụng cọ nghéa thç
0
n
0
knk
EEW −<< . Âọ cng l mäüt
âiãưu kiãûn âãø ta chn nhiãùu loản W.
Mún tênh cạc säú hiãûu chênh báûc cao hån, ta tiãúp tủc gii cạc phỉång trçnh
gáưn âụng báûc cao hån.

II.NHIÃÙU LOẢN DỈÌNG CỌ SUY BIÃÚN:

ÅÍ trãn ta â xẹt bi toạn khäng suy biãún, nghéa l ỉïng våïi mäüt mỉïc nàng
lỉåüng thç cọ mäüt hm sọng duy nháút, Báy giåì ta xẹt trong trỉåìng håüp
0
H
)
cọ suy
biãún, tỉïc l ỉïng våïi mäüt mỉïc nàng lỉåüng thç cọ nhiãưu hm sọng tỉång ỉïng khạc
nhau .
Ta gi sỉí mỉïc nàng lỉåüng ca
0
n
E hãû lỉåíng tỉí cọ g hm sọng tỉång ỉïng
)r(), r(),r(
0
ng
0
2n
0

1n
ρ
ρ
ρ
ψψψ . Ta k hiãûu cạc hm sọng âọ l
(
)
r
0
n
ρ
α
ψ . Nhỉ váûy hm sọng
(
)
r
k
ρ
ψ trong E
o
- biãøu diãùn cọ dảng.
)r(C)r(
n
0
na
,
nk
ρ
ρ
∑

∑
ψ=ψ
α
α

Âỉa vo phỉång trçnh (3.2) ta âỉåüc:
)r(CE)r(C)WH(
0
n
n
nk
0
n
n
n
0
ρ
ρ
)
)
α
α
αα
α
α
ψ=ψ+
∑
∑
∑
∑

Hay
[
]
)r(CE)r(W)r(HC
0
n
n
nk
0
n
0
n
0
n
n
ρ
ρ
)
ρ
)
α
α
ααα
α
α
ψ=ψ+ψ
∑
∑
∑

∑

Nhán c hai vãú phỉång trçnh trãn våïi )r(
*0
m
ρ
β
ψ räưi láúy têch phán theo
(
)
r
ρ
ta
âỉåüc:

)r(d)r()r(CE
)r(d)r(W)r(C)r(d)r()r(EC
0
n
n
)r(
*0
m
,
nk
0
n
n
)r(
*0

m
,
n
0
n
n
)r(
*0
m
0
n
,
n
ρρρ
ρ
ρ
)
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρ
αβ
α
α
αβ
α
ααβ
α

α
ψψ=
ψψ+ψψ
∑
∫
∑
∑
∫
∑
∑
∫
∑

Hay
αβ
α
ααβ
α
ααβ
α
α
δ=+δ
∑
∑
∑
∑
∑
∑
n,m
n,

nkn,m
n,
nn,m
n
0
n
,
n
CEWCEC
Luỏỷn vn tọỳt nghióỷp & GVHD: Nguyóựn Xuỏn Tổ
SVTH: Nguyóựn Thở Nga ? Trang 16
(
)
(
)
g1,WCEEC
n,m
n,
n
0
mkm
ữ==





(3.11)
Trong õoù:
()

)r(d)r(W)r(W
n
r
*
mn,m


)



=


Bỏy giồỡ ta bióứu dióựn E
k
vaỡ caùc
n
C
(cuợng nhổ
m
C
) dổồùi daỷng chuọựi vaỡ chuù
yù caùc
0
k
E laỡ õaợỡự bióỳt:
CCCC
EEEE
2

n
1
n
0
nn
2
k
1
k
0
kk

++=
++=

ổa
mnk
C,C,E vaỡo (3.11) ta õổồỹc:
(
)
(
)
(
)




+++=++++
n

2
n
1
n
0
n
0
m
2
k
1
k
0
k
2
m
1
m
0
m
CCCE EEE CCC
Khai trióứn tờch caùc thổỡa sọỳ vaỡ cỏn bũng caùc sọỳ haỷng cuỡng bỏỷc ồớ hai vóỳ ta
õổồỹc hóỷ caùc phổồng trỗnh gỏửn õuùng lión tióỳp nhổ sau:

(
)
0EEC
0
m
0

k
0
m
=

(3.12)

(
)




=+
n
n,m
0
n
0
m
0
k
1
m
1
k
0
m
WCEECEC (3.13)
Ta haợy tờnh caùc trở rióng E

k
vaỡ caùc haỡm rióng tổồng ổùng
)
r
(
k

. Baỡi toaùn rỏỳt
phổùc taỷp nón ta chố dổỡng laỷi ồớ gỏửn õuùng bỏỷc mọỹt thọi.
Khi khọng coù nhióựu loaỷn (hay nhióựu loaỷn bỏỷc khọng) thỗ phổồng trinh (3.12)
cho ta kmEE
0
m
0
k
== . Nhổng ồớ õỏy 0CC
1
k
0
m
=

chổù khọng bũng mọỹt nhổ
trổồùc õổồỹc (vỗ coỡn suy bióỳn theo

). Nhổ vỏỷy ta coù g giaù trở 0C
0
m

.
Thay m=k vaỡo phổồng trỗnh (3.13) ta õổồỹc.

0
k
n
n,k
0
n
1
k
n
n,k
0
n
1
k
0
k
C
WC
E
WCEC

=
=

Chuù yù:
k
n

thỗ
0
n
C

= 0 nón
0
k
k,k
0
k
1
k
C
W
C
E




= (3.14)

Vỗ
0
k
C

coù g coù giaù trở khaùc nhau vaỡ khaùc khọng noùi chung sọỳ hióỷu chờnh
1
k
E coù g giaù trở khaùc nhau, nhổợng giaù trở naỡy thỗ gỏửn bũng nhau vaỡ ta kờ hióỷu chuùng
laỡ:
)g(E), ,2(E),1(E
1
k
1
k
1
k

Nhổ vỏỷy trong gỏửn õuùng bỏỷc mọỹt, mổùc nng lổồỹng E
k
coù g giaù trở tổồng ổùng
laỡ:
(
)
(
)
(
)
1
kg

0
kkg
1
2k
0
k2k
1
1k
0
k1k
EEE; ;EEE;EEE +=+=+=
Luỏỷn vn tọỳt nghióỷp & GVHD: Nguyóựn Xuỏn Tổ
SVTH: Nguyóựn Thở Nga ? Trang 17
Coù haỡm soùng cuớa hóỷ lổồỹng tổớ õổồỹc tỗm dổồùi daỷng:
(
)




+=
n
0
n
1
n
0
nk
)r(CC)r(

Chuù yù rũng
k
n

thỗ 0C
0
n
=


Suy ra







+=
n
0
n
1
n
0
k
0
kk

)r(C)r(C)r(




Vióỷc tờnh caùc sọỳ hióỷu chờnh
1
n
C

laỡ phổùc taỷp nón vồùi haỡm soùng chố dổỡng laỷi ồớ
gỏửn õuùng bỏỷc khọng. Khi õoù haỡm soùng coù daỷng:




= )r(C)r(
0
k
0
kk


(3.15)



Lûn vàn täút nghiãûp & GVHD: Nguùn Xn Tỉ
SVTH: Nguùn Thë Nga ? Trang 18

Chỉång 4:ỈÏNG DỦNG L THUÚT NHIÃÙU LOẢN
TÇM HM SỌNG V NÀNG LỈÅÜNG CA NGUN
TỈÍ HRÄ TRONG ÂIÃÛN TRỈÅÌNG


Thỉûc nghiãûm cho tháúy khi âàût ngun tỉí hydro phạt xả trong âiãûn trỉåìng
thç cọ hiãûn tỉåüng mäüt säú vảch quang phäø bë tạch ra. Hiãûn tỉåüng ny gi l hiãûu
ỉïng Stark. Sỉû tạch vảch trong quang phäø chỉïng t cọ sỉû tạch mỉïc nàng lỉåüng.
Ta hy xẹt âiãûn trỉåìng ngoi cọ cỉåìng âäü F hỉåïng theo trủc Oz. Pháưn nàng
cọ thãm ca ngun tỉí l W, nọ âỉåüc coi nhỉ nhiãùu loản v ta s gii bi toạn bàòng
lê thuút nhiãùu loản âãø tçm cạc trë riãng v hm riãng tỉång ỉïng ca nàng lỉåüng.
Mỉïc nàng lỉåüng ca ngun tỉí khi khäng cọ nhiãùu loản, tỉïc khäng cọ âiãûn
trỉåìng ngoi
0
n
E v hm sọng tỉång ỉïng l
m,l,n
ψ våïi l = 0 y(n-1). Chụ ràòng chè
säú l cọ nhiãưu giạ trë ỉïng våïi mäùi n xạc âënh, âiãưu âọ chỉïng t ràòng mỉïc nàng lỉåüng
0
n
E cọ cạc trảng thại suy biãún theo l v do âọ theo c m. Cạc trảng thại ny âỉåüc
viãút l:

(
)
ϕ
θ=ψ
imm
lnl

0
nlm
e)(cosPrR
Trong âọ
(
)
ϕθ=θ
ϕ
,YecosP
m
l
imm
l
l cạc hm cáưu ta â biãút.

Báy giåì ta xẹt mỉïc nàng lỉåüng
0
2
E ca ngun tỉí.
Våïi n=2 thç ngun tỉí cọ bäún trảng thại:
0
020
o
200
YR=ψ ta kê hiãûu l:
o
1
ψ
0
121

o
210
YR=ψ ta kê hiãûu l:
o
2
ψ
1
121
o
211
YR=ψ ta kê hiãûu l:
o
3
ψ
1
121
o
121
YR
−
−
=ψ ta kê hiãûu l:
o
4
ψ
Nghéa l mỉïc nàng lỉåüng
o
2
E cọ suy biãún bäüi bäún.Cạc hm
m

lnl
Y,R ta â
biãút nhỉ sau:
π
=
4
1
Y
0
0

θ
π
= cos
4
3
Y
0
1

ϕ±±
θ
π
±=
i1
1
esin
8
3
Y

Luỏỷn vn tọỳt nghióỷp & GVHD: Nguyóựn Xuỏn Tổ
SVTH: Nguyóựn Thở Nga ? Trang 19
a2
r
3
20
e)
a2
r
1(
a2
1
R

=
a2
r
3
21
e
a2
r
a6
1
R

=
Trong õoù
2
2

me
a

= laỡ baùn kờnh Bohr thổù nhỏỳt.
1. Giaù trở caùc mổùc nng lổồỹng :

Khi õỷt nguyón tổớ trong õióỷn trổồỡng ngoaỡi thỗ mổùc nng lổồỹngóỳneợ bở taùch
thaỡnh mọỹt sọỳ mổùc. Ta haợy tỗm giaù trở caùc mổùc bở taùch ra naỡy trong nhióựu loaỷn bỏỷc
mọỹt. Tổùc laỡ phaới tỗm caùc sọỳ hióỷu chờnh
1
2
E . Vỏỷy ta phaới giaới trong gỏửn õuùng bỏỷc mọỹ
õọiỳ vồùi baỡi toaùn nhióựu loaỷn.
Khi khọng coù nhióựu loaỷn, giaới (3.12) thỗ ta coù:
0)EE(C
0
m
0
2
0
m
=

0
m
0
2
EE =
2
m

=


Thay m = 2 vaỡo phổồng trỗnh gỏửn õuùng bỏỷc mọỹt (3.13) vaỡ chuù yù
2
n

thỗ
0C
0
n
=

ta õổồỹc:

=


=
2,2
4
1
0
2
1
2
0
2
WCEC

Ta coù thóứ boớ chố sọỳ 2 ồớ hóỷ sọỳ phỏn tờch vaỡ yóỳu tọỳ nhióựu loaỷn cho õồợ rổồỡm raỡ,
ta õổồỹc:
)41(0ECWC
1
2
0
4
1
0
ữ==

=



Cuỷ thóứ ta coù hóỷ 4 phổồng trỗnh sau:
0WCWCWC)EW(C1
14
0
413
0
312
0
2
1
211
0
1
=+++=
0WCWC)EW(CWC2

24
0
423
0
3
1
222
0
221
0
1
=+++= (4.16)
0WC)EW(CWCWC3
34
0
4
1
233
0
332
0
231
0
1
=+++=
0)EW(CWCWCWC4
1
244
0
443

0
342
0
241
0
1
=+++=
ỏy laỡ hóỷ phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh õọỳi vồùi
0
C

. óứ baỡi toaùn khọng nhỏỷn
nghióỷm tỏửm thổồỡng ( 0C
0
=

) thỗ õởnh thổùc cuớa noù phaới bũng khọng. Tổùc laỡ:
0
)EW(WWW
W)EW(WW
WW)EW(W
WWW)EW(
1
244434241
34
1
2333231
2423
1
22221

141312
1
211
=





Luỏỷn vn tọỳt nghióỷp & GVHD: Nguyóựn Xuỏn Tổ
SVTH: Nguyóựn Thở Nga ? Trang 20
Muọỳn giaới baỡi toùan õởnh thổùc trón õóứ tỗm
1
2
E ta phaới tờnh caùc phỏửn tổớ ma
trỏỷn

W
.
dvWW
o*o

=

)

Trong õoù caùc
0

laỡ õaợ bióỳt, õoù laỡ:

0
4
0
3
0
2
0
1
,,, , chuùng laỡ caùc haỡm rióng
tổồng ổùng vồùi mổùc nng lổồỹng
0
2
E khi khọng coù nhióựu loaỷn. Tờch phỏn lỏỳy theo thóứ
tờch vỗ electron chuyóứn õọỹng trong khọng gian.
Chuù yù rũng: = ddsindrrdv
2
. Trong õoù:

ữ
=

ữ
=


ữ
=

0
r

,
2
0
,
0

Coỡn

=
=
cos
eFr
eFz
W

Ta seợ tờnh 16 tờch phỏn trón:
Tờch phỏn thổù 1:

dVWW
o
1
*o
111
=

)
=

2
000
2o
1
*o
1
d.d.sin.dr.rW
)

Vồùi:
a2
r
3
a2
r
3
0
020
o
1
e
a2
r
1
a8
1
4
1
e
a2

r
1
a2
1
YR









=







==

=

d.d.sin.dr.re
a2
r
1
a8
1
cos.r.F.ee
a2
r
1
a8
1
W
2
a2
r
3
2
000
a2
r
3
11

=



d.d.sin.cos.dr.r F.ee
a2
r
1
a8
1
3
2
000
a
r
2
3

dr.r.F.ee
a2
r
1
a8
1

dsin.cosd
3
2
000
a
r
2
3











=
dr.re
a2
r
1dsin.cosd
a8
F.e
3
2
000
a

r
2
3











=
Do
()
0
2
cos
cosdcosdsin.cos
0
2
00
=

==

0
W
11
=
Tờch phỏn thổù 2:
dVWW
o
2
*o
112
=

)
=


ddsindrrW
2o
2
2
000
*o
1
)


a2
r

3
a2
r
3
0
021
o
1
e
a2
r
1
a8
1
4
1
e
a2
r
1
a2
1
YR

=







==


=

==

cose
a2
r
a8
1
cos
4
3
e
a2
r
a6
1

YR
a2
r
3
a2
r
3
0
121
o
2

Luỏỷn vn tọỳt nghióỷp & GVHD: Nguyóựn Xuỏn Tổ
SVTH: Nguyóựn Thở Nga ? Trang 21

=




d.d.sin.dr.rcose
a2
r
a8
1
cos.r.F.ee
a2
r
1
a8
1
W
2

a2
r
3
2
000
a2
r
3
12

dr.r.F.ee
a2
r
a2
r
1
a8
1
d.sin.cosd
3
2
000
a
r
3
2

=

()
dr.e
a2
r
a2
r
1cosdcosd
8
F.e
2
000
a
r
4
4
2

=
dre
a2
r
a2
r
1
3
cos
4
F.e
0
a
r
4
4
0
3

=
dre
a
r
a2
r
1
12
F.e
0
a
r
4
4









=

ỷt:
a
r
= ta õổồỹc
a
dr
d =












=
0
4
12
de
2
1
12
eFa
W
Tờnh: =

=







de
2
1
dede
2
1I
0
5
0
4
0
4

Tờnh =

deI
0
4
1

ỷt

==
==
evdedv
d4du u
34

[]











+=
+=
0

3
0
4
b
0
3
0
4
1
de4elim
de4eI

Vồùi
[]








=



b
4
b
b

0
4
b
e
b
limelim daỷng



0
e
24
lim
e
b24
lim
e
b12
lim
e
b4
lim
e
b
lim
b
b
b
b
b

2
b
b
3
b
b
4
b
=






=








=

=








=














=
0
3

1
de4I
ỷt

==
==
evdedv
d3du u
23

Luáûn vàn täút nghiãûp & GVHD: Nguyãùn Xuán Tæ
SVTH: Nguyãùn Thë Nga ? Trang 22

[]
∫
∫
∞
ξ−ξ−
∞→
∞
ξ−
∞
ξ−
ξξ+ξ−=
ξξ+ξ−=⇒
0
2
b
0
3

b
0
2
0
3
1
de12e4lim
de12e4I

Våïi
[]








−=ξ−
∞→
ξ−
∞→
b
3
b
b
0
4
b

e
b4
lime4lim daûng
∞
∞

0
e
24
lim
e
b24
lim
e
b12
lim
e
b4
lim
b
b
b
b
b
2
b
b
3
b
=







−=






−=








−=









−⇒
∞→∞→∞→∞→

∫
∞
ξ−
ξξ=⇒
0
2
1
de12I
Âàût
ξ−ξ−
−=⇒=
ξξ=⇒ξ=
evedv
d2du u
2

[]
∫
∫
∞
ξ−ξ−
∞→
∞
ξ−
∞
ξ−

ξξ+ξ−=
ξξ+ξ−=⇒
0
b
0
2
b
0
0
2
1
de24e12lim
de24e12I

Våïi
[]








−=ξ−
∞→
ξ−
∞→
b
2

b
b
0
2
b
e
b12
lime12lim daûng
∞
∞

0
e
24
lim
e
b24
lim
e
b12
lim
b
b
b
b
b
2
b
=







−=






−=








−⇒
∞→∞→∞→


∫
∞
ξ−
ξξ=⇒
0

1
de24I
Âàût
ξ−ξ−
−
=
⇒
=
ξ
=
⇒
ξ
=
e
v
e
dv
du
u


[]
∫
∫
∞
ξ−ξ−
∞→
∞
ξ−
∞

ξ−
ξ+ξ−=
ξ+ξ−=⇒
0
b
0
b
0
0
1
de24e24lim
de24e24I

Våïi
[
]






−=ξ−
∞→
ξ−
∞→
b
b
b
0

b
e
b24
lime24lim
daûng
∞
∞

0
e
24
lim
e
b
24
lim
b
b
b
b
=






−=







−
∞→∞→

24e24de24I
0
0
1
=−=ξ=⇒
∞
ξ−
∞
ξ−
∫

Luáûn vàn täút nghiãûp & GVHD: Nguyãùn Xuán Tæ
SVTH: Nguyãùn Thë Nga ? Trang 23
Tênh ξξ=
ξ−
∞
∫
de
2
1
I
0
5

2

Âàût
ξ−ξ−
−=⇒ξ=
ξξ=⇒ξ=
evdedv
d5du u
45


∫
∞
ξ−
∞
ξ−
ξξ+ξ−=⇒
0
4
0
5
2
de
2
5
e
2
1
I
Våïi









=






ξ−
∞→
ξ−
∞→
b
5
b
b
0
5
b
e2
b
lime
2

1
lim daûng
∞
∞


0
e2
120
lim
e2
b120
lim
e2
b60
lim
e2
b20
lim
e2
b5
lim
e2
b
lim
b
b
b
b
b

2
b
b
3
b
b
4
b
b
5
b
=






=






=









=








=








=









⇒
∞→∞→∞→
∞→∞→∞→


6024
2
5
I
2
5
de
2
5
I
1
0
4
2
===ξξ=⇒
∫
∞
ξ−


()
eFa336
12
eFa

I
12
eFa
W
36
60
24
I
I
I
12
21
=−==⇒
−=−=−=⇒

Têch phán thæï 3:
ϕθθψψ=ψψ=
∫∫∫∫∫∫
ππ∞ππ∞
d.d.sin.dr.rWdVWW
2o
3
2
000
*o
1
o
3
2
000

*o
113
))

Våïi:
a2
r
3
a2
r
3
0
020
o
1
e
a2
r
1
a8
1
4
1
e
a2
r
1
a2
1
YR

−−






−
π
=
π






−==ψ

ϕ
−
ϕ
−
θ
π
=θ
π
==ψ
i
a2

r
3
i
a2
r
3
1
121
o
3
esine
a2
r
a4
1
esin
8
3
e
a2
r
a6
1
YR
ϕθθ









θ
π
θ














−
π
=
ϕ
−
ππ∞
−
∫∫∫
d.d.sin.dr.resine
a2

r
a4
1
cos.r.F.ee
a2
r
1
a8
1
W
2i
a2
r
3
2
000
a2
r
3
13
dr.r.F.ee
a2
r
a2
r
1
a28
1
d.sin.cosde
3

2
000
a
r
3
2i
∫∫∫
ππ∞
−
ϕ






−
π
θθθϕ=
dr.r.e
a2
r
a2
r
1d.sin.cosde
a28
F.e
3
2
000

a
r
2i
3
∫∫∫
ππ∞
−
ϕ






−θθθϕ
π
=
Do 0
3
sin
d.sin.cos
0
2
0
2
=
θ
=θθθ
π
π

∫


0
W
13
=⇒
Têch phán thæï 4:
Luáûn vàn täút nghiãûp & GVHD: Nguyãùn Xuán Tæ
SVTH: Nguyãùn Thë Nga ? Trang 24
ddsindrrWdVWW
2o
4
2
000
*o
1
V
o
4
*o
114
θθψψ=ψψ=
∫∫∫∫
ππ∞
))

Våïi:
0
020

o
1
YR=ψ
a2
r
3
e
a2
r
1
a8
1
−






−
π
=
ϕ−
−
ϕ−
−
−
θ
π
−=









θ
π
−==ψ
i
a2
r
3
i
a2
r
3
1
121
o
4
esine
a2
r
a4
1
esin
8

3
e
a2
r
a6
1
YR

ϕθθ






θ
π
θ













−
π
−=
ϕ−
−
ππ∞
−
∫∫∫
d.d.sin.dr.resine
a2
r
a4
1
cos.r.F.ee
a2
r
1
a8
1
W
2i
a2
r
3
2
000
a2
r
3
14

dr.r.F.ee
a2
r
a2
r
1
a28
1
d.sin.cosde
3
2
000
a
r
3
2i
∫∫∫
ππ∞
−
ϕ−






−
π
θθθϕ−=
Do 0

3
sin
d.sin.cos
0
2
0
2
=
θ
=θθθ
π
π
∫


0
W
14
=⇒
Têch phán thæï 5:
ϕθθψψ=ψψ=
∫∫
d.d.sin.dr.rWdVWW
2o
1
V
*o
2
o
1

V
*o
221
)
)

Våïi
a2
r
3
a2
r
3
0
020
o
1
e
a2
r
1
a8
1
4
1
e
a2
r
1
a2

1
YR
−−






−
π
=
π






−==ψ
θ
π
=θ
π
==ψ
−−
cose
a2
r
a8

1
cos
4
3
e
a2
r
a6
1
YR
a2
r
3
a2
r
3
0
121
o
2


ϕθθ













−
π
θ






θ
π
=
−
ππ∞
−
∫∫∫
d.d.sin.dr.re
a2
r
1
a8
1
cos.r.F.ecose
a2
r

a8
1
W
2
a2
r
3
2
000
a2
r
3
21

dr.r.F.ee
a2
r
a2
r
1
a8
1
d.sin.cosd
3
2
000
a
r
3
2

∫∫∫
ππ∞
−






−
π
θθθϕ=

()
dr.e
a2
r
a2
r
1cosdcosd
8
F.e
2
000
a
r
4
4
2
∫∫∫

ππ∞
−






−θθ−ϕ
π
=
dre
a2
r
a2
r
1
3
cos
4
F.e
0
a
r
4
4
0
3
∫
∞

−
π






−
θ
−=
dre
a
r
a2
r
1
12
F.e
0
a
r
4
4
∫
∞
−







−=
Âàût:
a
r
=ξ ta âæåüc
a
dr
d =ξ
∫
∞
ξ−
ξξ






ξ
−=
0
4
12
de
2
1
12

eFa
W
Luáûn vàn täút nghiãûp & GVHD: Nguyãùn Xuán Tæ
SVTH: Nguyãùn Thë Nga ? Trang 25
Tênh: ξξ−ξξ=ξξ






ξ
−=
∫∫∫
∞
ξ−
∞
ξ−
∞
ξ−
de
2
1
dede
2
1I
0
5
0
4

0
4

Tênh ξξ=
ξ−
∞
∫
deI
0
4
1

Âàût
ξ−ξ−
−=⇒ξ=
ξξ=⇒ξ=
evdedv
d4du u
34


[]
∫
∫
∞
ξ−
∞
ξ−
∞→
∞

ξ−
∞
ξ−
ξξ+ξ−=
ξξ+ξ−=⇒
0
3
0
4
b
0
3
0
4
1
de4elim
de4eI

Våïi
[]








−=ξ−=
∞→

ξ−
∞→
b
4
b
b
0
4
b
e
b
limelim daûng
∞
∞

0
e
24
lim
e
b24
lim
e
b12
lim
e
b4
lim
e
b

lim
b
b
b
b
b
2
b
b
3
b
b
4
b
=






−=









−=








−=








−=








−=
∞→∞→∞→∞→∞→

∫
∞
ξ−
ξξ=⇒
0
3
1
de4I
Âàût
ξ−ξ−
−=⇒ξ=
ξξ=⇒ξ=
evdedv
d3du u
23



[]
∫
∫
∞
ξ−ξ−
∞→
∞
ξ−
∞
ξ−
ξξ+ξ−=

ξξ+ξ−=⇒
0
2
b
0
3
b
0
2
0
3
1
de12e4lim
de12e4I

Våïi
[]








−=ξ−=
∞→
ξ−
∞→
b

3
b
b
0
4
b
e
b4
limelim daûng
∞
∞

0
e
24
lim
e
b24
lim
e
b12
lim
e
b4
lim
b
b
b
b
b

2
b
b
3
b
=






−=






−=








−=









−=
∞→∞→∞→∞→

∫
∞
ξ−
ξξ=⇒
0
2
1
de12I
Âàût
ξ−ξ−
−=⇒ξ=
ξξ=⇒ξ=
evdedv
d2du u
2