20 dạng con lắc lò xo

1
Dng 1. Xác đnh các đc đim trong dao đng điu hoà 1
Dng 2. Xác đnh Li đ, vn tc, gia tc, lc phc hi  mt thi đim hay ng vi pha
đã cho 3
Dng 3. Ct ghép lò xo 5
Dng 4. vit phng trình dao đng điu hoà 8
Dng 5. Chng minh mt vt dao đng điu hoà 16
Dng 6. Tìm chiu dài ca lò xo trong quá trình dao đng. Nng lng trong dao đng
điu hoà 17
Dng 7.Bài toán v lc 18
Dng 8: Xác đnh thi đim ca vt trong quá trình dao đng 20
Dng 9 Xác đnh Vn tc, gia tc ti mt đim trên qu đo 28
Dng 10 xác đnh quãng đng đi đc sau khong thi gian đã cho 29
Dng 11: H mt lò xo ( mt vt hoc hai vt ) có liên kt ròng rc 32
Dng 12 : iu kin hai vt chng lên nhau dao đng cùng gia tc( Tìm K ca biên
đ) 34
Dng 13: Bài toán v va chm 36
Dng 14 :bài toán v dao đng ca vt sau khi ri khi giá đ 46
Dng 15 tng hp hai dao đng điu hoà cùng phng, cùng tn s 48
Dng 16 hin tng cng hng c hc 52
Dng 17: Dao đng ca con lc lò xo trong trng lc l- 52
Dng 18: Dao đng ca mt vt ( hoc hai vt ) gn vi h hai lò xo 54
Dng 19: Mt s bài toán v h hai vt gn vi lò xo 56
DNG 20: DAO NG TT DN 58


BÀI TP ÔN THI DAO NG IU HOÀ
Dng 1. Xác đnh các đc đim trong dao đng điu hoà
I.Phng pháp.

+ Nu đu bài cho phng trình dao đng ca mt vt di dng c bn :
.sin( . ),x A t


thì ta ch cn đa ra các đi lng cn tìm nh : A, x,

,

,…
+ Nu đu bài cho phng trình dao đng ca mt vt di dng không c bn thì ta phi
áp dng các phép bin đi lng giác hoc phép đi bin s ( hoc c hai) đ đa phng
trình đó v dng c bn ri tin hành làm nh trng hp trên.
II. Bài Tp.
Bài 1. Cho các phng trình dao đng điu hoà nh sau :
a)
5.sin(4. . )
6
xt



(cm). b)
5.sin(2. . )
4
xt


  
(cm).
c)

5.sin( . )xt


(cm). d)
10. (5. . )
3
x cos t



(cm).
Xác đnh biên đ, tn s góc, pha ban đu,chu k, tn s, ca các dao đng điu hoà đó?
Li Gii
a)
5.sin(4. . )
6
xt



(cm).
5( ); 4. ( / ); ( );
6
A cm Rad s Rad

  
   


2. 2. 1 1

0,5( ); 2( )
4. 0,5
T s f Hz
T


     



2
b)
5.
5.sin(2. . ) 5.sin(2. . ) 5.sin(2. . ).
4 4 4
x t t t
  
   
       
(cm).
5.
5( ); 2. ( / ); ( )
4
A cm rad s Rad

  
   
2. 1
1( ); 1( ).T s f Hz
T



    

c)
5.sin( . )( ) 5.sin( . )( )x t cm t cm
  
   

2.
5( ); ( / ); ( ); 2( ); 0,5( ).A cm Rad s Rad T s f Hz

   

      

d)
5.
10. (5. . ) 10.sin(5. . ) 10.sin(5. . )
3 3 2 6
x cos t cm t cm t cm
   
  
      
.
5. 2. 1
10( ); 5. ( / ); ( ); 0.4( ); 2,5( )
6 5. 0,4
A cm Rad s Rad T s f Hz


  

       
.
Bài 2. Cho các chuyn đng đc mô t bi các phng trình sau:
a)
5. ( . ) 1x cos t


(cm) b)
2
2.sin (2. . )
6
xt



(cm) c)
3.sin(4. . ) 3. (4. . )x t cos t


(cm)
Chng minh rng nhng chuyn đng trên đu là nhng dao đng điu hoà. Xác đnh biên
đ, tn s, pha ban đu, và v trí cân bng ca các dao đng đó.
Li Gii
a)
5. ( . ) 1x cos t



1 5. ( . ) 5.sin( . )
2
x cos t t


    
.
t x-1 = X. ta có
5.sin( . )
2
Xt





ó là mt dao đng điu hoà
Vi
5( ); 0,5( ); ( )
2. 2. 2
A cm f Hz Rad
  


    

VTCB ca dao đng là :
0 1 0 1( ).X x x cm     

b)

2
2.sin (2. . ) 1 (4. . ) 1 sin(4. . ) 1 sin(4. . )
6 3 3 2 6
x t cos t t t
    
   
           

t X = x-1
sin(4. . )
6
Xt


  


ó là mt dao đng điu hoà.
Vi
4.
1( ); 2( ); ( )
2. 2. 6
A cm f s Rad
  


     

c)
3.sin(4. . ) 3. (4. . ) 3.2sin(4. ). ( ) 3. 2.sin(4. . )( )

4 4 4
x t cos t t cos x t cm
  
   
       


ó là mt dao đng điu hoà. Vi
4.
3. 2( ); 2( ); ( )
2. 4
A cm f s Rad



   

Bài 3. Hai dao đng điu hoà cùng phng , cùng tn s, có các phng trình dao đng là:
1
3.sin( . )
4
xt



(cm) và
2
4.sin( . )
4
xt




(cm) . Biên đ ca dao đng tng hp hai dao
đng trên là:
A. 5 cm. B. 7 cm. C. 1 cm. D. 12 cm.
Bài 4. Hai dao đng cùng phng , cùng tn s :
1
2 .sin( . )
3
x a t



(cm) và
2
.sin( . )x a t


(cm) . Hãy vit phng trình tng hp ca hai
phng trình thành phn trên?
A.
. 2.sin( . )
2
x a t



(cm). B.
. 3.sin( . )

2
x a t



(cm).
C.
3.
.sin( . )
24
a
xt



(cm). D.
2.
.sin( . )
46
a
xt



(cm).


3
Dng 2. Xác đnh Li đ, vn tc, gia tc, lc phc hi  mt thi đim hay ng vi pha
đã cho

I. Phng pháp.
+ Mun xác đnh x, v, a, F
ph
 mt thi đim hay ng vi pha dã cho ta ch cn thay t hay
pha đã cho vào các công thc :
. ( . )x Acos t


hoc
.sin( . )x A t


;
. .sin( . )v A t
  
  
hoc
. . ( . )v A cos t
  


2
. . ( . )a A cos t
  
  
hoc
2
. .sin( . )a A t
  
  

và
.
ph
F k x
.
+ Nu đã xác đnh đc li đ x, ta có th xác đnh gia tc, lc phc hi theo biu thc nh
sau :
2
.ax


và
2
. . .
ph
F k x m x

   

+ Chú ý : - Khi
0; 0;
ph
v a F o  
: Vn tc, gia tc, lc phc hi cùng chiu vi chiu
dng trc to đ.
- Khi
0; 0; 0
ph
v a F  
: Vn tc , gia tc, lc phc hi ngc chiu vi chiu

dng trc to đ.
II. Bài Tp.
Bài 1. Mt cht đim có khi lng m = 100g dao đng điu hoà theo phng trình :
5.sin(2. . )
6
xt



(cm) . Ly
2
10.


Xác đnh li đ, vn tc, gia tc, lc phc hi trong các
trng hp sau :
a)  thi đim t = 5(s).
b) Khi pha dao đng là 120
0
.
Li Gii
T phng trình
5.sin(2. . )
6
xt



(cm)
5( ); 2. ( / )A cm Rad s


  

Vy
22
. 0,1.4. 4( / ).k m N m

  

Ta có
'
. . ( . ) 5.2. . (2. . ) 10. . (2. . )
66
v x A cos t cos t cos t

      
      

a) Thay t= 5(s) vào phng trình ca x, v ta có :

5.sin(2. .5 ) 5.sin( ) 2,5( ).
66
x cm


   


3
10. . (2. .5 ) 10. . ( ) 10. . 5. 30

6 6 2
v cos cos

   
    
(cm/s).

22
22
. 4. .2,5 100( ) 1( )
cm m
ax
ss

       
.
Du “ – “ chng t gia tc ngc chiu vi chiu dng trc to đ.

2
. 4.2,5.10 0,1( ).
ph
F k x N

     

Du “ – “ chng t Lc phc hi ngc chiu vi chiu dng trc to đ.
b) Khi pha dao đng là 120
0
thay vào ta có :
- Li đ :

0
5.sin120 2,5. 3x
(cm).
- Vn tc :
0
10. . 120 5.v cos

  
(cm/s).
- Gia tc :
22
. 4. .2,5. 3 3ax

     
(cm/s
2
).
- Lc phc hi :
. 4.2,5. 3 0,1. 3
ph
F k x     
(N).
Bài 2. To đ ca mt vt bin thiên theo thi gian theo đnh lut :
4. (4. . )x cos t


(cm). Tính
tn s dao đng , li đ và vn tc ca vt sau khi nó bt đu dao đng đc 5 (s).
Li Gii

4
T phng trình
4. (4. . )x cos t


(cm)
Ta có :
4 ; 4. ( / ) 2( )
2.
A cm Rad s f Hz



    
.
- Li đ ca vt sau khi dao đng đc 5(s) là :
4. (4. .5) 4x cos


(cm).
- Vn tc ca vt sau khi dao đng đc 5(s) là :
'
4. .4.sin(4. .5) 0vx

   

Bài 3. Phng trình ca mt vt dao đng điu hoà có dng :
6.sin(100. . )xt



.
Các đn v đc s dng là centimet và giây.
a) Xác đnh biên đ, tn s, vn tc góc, chu k ca dao đng.
b) Tính li đ và vn tc ca dao đng khi pha dao đng là -30
0
.
Bài 4. Mt vt dao đng điu hoà theo phng trình :
4.sin(10. . )
4
xt



(cm).
a) Tìm chiu dài ca qu đo, chu k, tn s.
b) Vào thi đim t = 0 , vt đang  đâu và đang di chuyn theo chiu nào? Vn tc bng
bao nhiêu?
Bài 5: Cho các phng trình dao đng sau:
a)
1
3x 
cos 4
t

( cm) b) x
2
= -sin t ( cm )
c) x
3

= -2 cos
5
6
t






( cm ) d) x
4
= 5 cos
23t


( mm )
Hãy xác đnh chu kì, biên đ, pha ban đu ca mi dao đng
S: a) A = 3cm; T = 0,5(s);
0


; b) A = 1cm; T= 2

(s);
2



( rad)

c) A = 2cm; T = 0,4s;
5
6



(rad); d) A = 5 cm; T= 1s;
0



Bài 6: Mt vt dao đng điu hoà xung quanh v trí cân bng, dc theo trc x
’
ox có li đ tho
mãn phng trình:

3 (5 )
6
x cos t



(cm)
a) Tìm biên đ, chu k. pha ban đu ca dao đng
b) Tính vn tc ca vt khi nó đang dao đng  v trí có li đ x = 3 ( cm)
S: a) A = 3cm;T = 0,4 s;
6




; b) v = 0
Bài 7: Mt vt dao đng điu hoà theo phng trình: x =5cos 2
t

( cm)
a) Xác đnh biên đ dao đng, chu k, pha ban đu ca dao đng
b) Lp biu thc ca vn tc và gia tc
c) Tính vn tc và gia tc  thi đim
5
12
ts
. Nhn xét v tính cht chuyn đng lúc đó
S: a) A = 5cm; T = 1s;
0


; b) v = -10
sin2 t

(cm/s); a =
2
20


cos 2
t

(cm/s
2
)

c) v =
5


(cm/s); a =
2
10 3

(cm/s
2
); chuyn đng chm dn
Bài 8: Phng trình dao đng ca mt vt là:
5 4 ( )
2
x cos t cm







a) Xác đnh biên đ, tn s góc, chu kì và tn s ca dao đng
b) Xác đnh pha ca dao đng ti thi đim t = 0,25s, t đó suy ra li đ x ti thi đim y
S: a) A = 5(cm),
4 ( )rad


, T = 0,5(s), f=2(Hz); b)
3

2

; x = 0


5
Bài 9: Mt vt dao đng điu hoà: khi vt có li đ x
1
= 3 cm thì vn tc ca vt là v
1
= 40(
cm/s) khi vt qua v trí cân bng thì vn tc vt là v
2
= 50 ( cm/s)
a) Tính tn s góc và biên đ dao đng ca vt
b) Tìm li đ ca vt khi vn tc ca vt là 30 cm/s
S: a) A = 5(cm);
10


(rad/s); b)
4( )cm

Bài 10: Mt cht đim có khi lng m = 200 g dao đng điu hoà vi phng trình li đ:

4 s10x co t
( cm )
a) Tính vn tc ca cht đim khi pha dao đng là
2
3



b) Tính giá tr cc đi ca lc hi phc tác dng lên vt
c) Tính vn tc ca cht đim khi nó có li đ x = 2cm
S: a) v = -20
3
(cm/s); b) F
hp max
= 0,8(N) ; c)
20 3v
(cm/s)
Bài 11: Phng trình dao đng có dng
6 (10 )x cos t


( cm)
a) Xác đnh biên đ, tn s, chu k ca dao đng
b) Tính li đ ca dao đng khi pha dao đng bng 30
0
, 60
0

S: a) A = 6(cm); T = 0,2(s); f = 5(Hz); b) x = 3
3
(cm); x =
3
(cm)
Bài 12: Mt vt dao đng điu hoà có phng trình
5cos(4 )
3

xt



( cm)
a) Xác đnh biên đ, pha ban đu, chu k ca dao đng
b) Khi vt đi qua v trí cn bng, v trí biên cht đim có vn tc bao nhiêu?
c) Tính gia tc ca cht đim ti thi đim nó có vn tc là
10

(cm/s)
S: a) A = 5cm;
3



; T = 0,5 s; b) v =
20


cm/s; v = 0; c) a =
2
40 3


cm/s
2

Bài 13: Mt vt dao đng điu hoà xung quanh v trí cân bng, dc theo trc x
’

Ox có li đ
tho mãn phng trình:
2
3 (5 )
3
x cos t



+
3 (5 )
6
cos t



( cm)
a) Tìm biên đ và pha ban đu ca dao đng
b) Tính vn tc ca vt khi nó đang dao đng  v trí có li đ x = 3 cm
S: a) A = 3
2
(cm);
5
12



(rad); b) v =
15



(cm/s)

Dng 3. Ct ghép lò xo
I. Phng pháp.
Bài toán : Mt lò xo có chiu dài t nhiên l
0
, đ cng là k
0
, đc ct ra thành hai lò xo có
chiu dài và đ cng tng ng là : l
1
, k
1
và l
2
, k
2
. Ghép hai lò xo đó vi nhau. Tìm đ cng
ca h lò xo đã đc ghép.

1. Ghép hai lò xo song song:
Di tác dng ca lc
F
đ giãn ca mi lò xo là:
12
x x x

Ta có:
12

F F F
1 1 2 2 1 2
()F k x k x k k x      
(1)
Gi k là đ cng tng đng ca hai lò xo ghép
F kx  
(2)
T (1) và (2)
12
k k k  

2. Hai lò xo ni tip:
Di tác dng ca lc
F
đ giãn ca mi lò xo là
1
x
và
2
x


k


m
k
1
,l
1

k
2
,l
2



6
 giãn tng cng ca hai lò xo:
12
1 2 1 2
11
()
FF
x x x F
k k k k
       
(3)
Gi k là đ cng tng đng ca hai lò xo ghép
F
x
k
  
(4)
T (3) và (4)
12
1 1 1
k k k
  

3. Ct lò xo:
Ban đu lò xo có chiu dài l
0
, ct lò xo thành hai lò xo có chiu dài l
1
và l
2
( vi l
0
= l
1
+ l
2
)
Di tác dng ca lc F:
+ Lò xo chiu dài l
0
, đ cng k
0
dãn ra đon x
0
=
0
F
k


mi đn v chiu dài giãn ra đon
0

0 0 0
x
F
x
l k l
  

+ Lò xo chiu dài l
1
, đ cng k
1
giãn ra đon x
1
=
1
F
k
(5)
Vi x
1
=
11
00

F
xl l
kl

(6)
T ( 5) và ( 6)

00
1
1
kl
k
l


Tng t, lò xo chiu dài l
2
có đ cng
00
2
2
kl
k
l



0 0 1 1 2 2
k l kl k l  

Chú ý :  cng ca vt đàn hi đc xác đnh theo biu thc :
.
S
kE
l

(3)

Trong đó : + E là sut Yâng, đn v : Pa,
22
;1 1
NN
Pa
mm

.
+ S là tit din ngang ca vt đàn hi, đn v : m
2
.
+ l là chiu dài ban đu ca vt đàn hi, đn v : m.
T (3) ta có : k
0
.l
0
= k
1
.l
1
= k
2
.l
2
= Const = E.S.



II. Bài Tp.
Bài 1. Mt vt khi lng m treo vào lò xo có đ cng k

1
= 30(N/m) thì dao đng vi chu
k T
1
= 0,4(s) .Nu mc vt m trên vào lò xo có đ cng k
2
= 60(N/m) thì nó dao đng vi
chu k T
2
= 0,3(s). Tìm chu k dao đng ca m khi mc m vào h lò xo trong hai trng
hp:
a) Hai lò xo mc ni tip. b) Hai lò xo mc song
song.
Bài 2. Hai lò xo L
1
,L
2
có cùng chiu dài t nhiên. khi treo mt vt có khi lng m=200g
bng lò xo L
1
thì nó dao đng vi chu k T
1
= 0,3(s); khi treo vt m đó bng lò xo L
2
thì nó
dao đng vi chu k T
2
=0,4(s).

7
1.Ni hai lò xo trên vi nhau thành mt lò xo dài gp đôi ri treo vt m trên vào thì vt m s
dao đng vi chu k bao nhiêu? Mun chu k dao đng ca vt
'
12
1
()
2
T T T
thì phi tng
hay gim khi lng m bao nhiêu?
2. Ni hai lò xo vi nhau bng c hai đu đ đc mt lò xo có cùng đ dài ri treo vt m 
trên thì chu k dao đng là bng bao nhiêu? Mun chu k dao đng ca vt là 0,3(s) thì phi
tng hay gim khi lng vt m bao nhiêu?
Bài 3. Mt lò xo OA=l
0
=40cm, đ cng k
0
= 100(N/m). M là mt đim treo trên lò xo vi
OM = l
0
/4.
1. Treo vào đu A mt vt có khi lng m = 1kg làm nó dãn ra, các đim A và M đn v trí
A
’
và M
’
.Tính OA
’
và OM

’
.Ly g = 10 (m/s
2
).
2. Ct lò xo ti M thành hai lò xo . Tính đ cng tng ng ca mi đon lò xo.
3. Cn phi treo vt m  câu 1 vào đim nào đ nó dao đng vi chu k T =
.2
10

s.
Bài 4. Khi gn qu nng m
1
vào lò xo , nó dao đng vi chu k T
1
= 1,2s. Khi gn qu nng
m
2
vào lò xo , nó dao đng vi chu k T
2
= 1,6s. Hi sau khi gn đng thi c hai vt nng
m
1
và m
2
vào lò xo thì chúng dao đng vi chu k bng bao nhiêu?
Bài 5: Cho lò xo có chiu dài ban đu l
0
= 50 cm, đ cng k
0
= 24 N/m.

Ct lò xo trên thành hai lò xo có chiu dài ln lt là 20 cm và 30 cm
a) Tính đ cng ca hai lò xo
b) Ghép hai lò xo trên li vi nhau. Tính đ cng ca lò xo h:
 Ghép ni tip
 Ghép song song
S: a) k
1
= 60 N/m; k
2
= 40 N/m; b) k = 24 N/m; k = 100 N/m
Bài 6: Mot lo xo co chieàu dai tù nhieõn l
0
= 60 cm, o cng k
0
=18 N/m ùc
cat thanh hai lo xo co chieàu dai laàn lùt la 20 cm va 40 cm.
Sau o mac hai lo xo vi vat nang co khoi lùng m = 400 g nh hnh ve:
(lay
10
2


). Chu k dao ong cua vat co gia tr S.
T =
s
9
4

Bài 7: Mt lò xo nh có đ cng k
0

= 30 N/m đc ct làm hai phn có
chiu dài l
1
; l
2
vi
1
2
2
3
l
l

. B trí h nh hình v (1) và (2) là các lò
xo có chiu dài l
1
; l
2
. Mt phng không ma sát. Cho m = 800g
a) Tính đ cng ca hai lò xo l
1
; l
2

b) Di vt t v trí cân bng ti v trí mà (1) b dãn 6 cm và (2)
b nén 1 cm ri truyn cho vn tc v
0
= 0,50 m/s hng v v trí cân bng. Chn chiu (+) là
chiu di vt gc thi gian là lúc truyn vn tc v
0

. Vit phng trình dao đng ca con lc
c) Tính lc đàn hi cc đi tác dng vào đim M. Ly
2 1,4

S: a) k
1
= 75 N/m; k
2
= 50 N/m; b)
4 2 (12,5 )
4
x cos t


c) 5,7 N
Bài 8: Ghép song song hai lò xo ging nhau có đ cng k
0
= 50 N/m, chiu dài l
0
vào gía đ
và treo qu cu khi lng m = 1kg vào đu di ca hai lò xo. Sau đó kéo qu cu thng
đng xung di khi v trí cân bng đon 5 cm, khi buông truyn cho qu cu vn tc ban
đu v
0
= 0,5 m/s theo phng thng đng lên trên đ vt dao đng điu hoà. Vit phng


K
1
K

2



8
trình dao đng ca con lc. Chn gc O  v trí cân bng, chiu dng hng xung, gc
thi gian lúc buông qu cu. S:
5 2 (10 )
4
x cos t


(cm)
Bài 9: Mt lò xo nh, đ cng k = 200 N/m. u A  trên c đnh, đu di treo vt m =
200g
a) Cho vt m dao đng thng đng vi vn tc cc đi là 62,8 cm/s. Vit phng trình dao
đng ca vt m, chn gc O  v trí cân bng, chiu dng hng lên, gc thi gian là lúc
vt qua v trí cân bng và đang đi lên. Cho
2
10


; g = 10 m/s
2

b) Ly 1 lò xo khác ging ht lò xo trên ri ni 2 lò xo thành 1 lò xo dài gp đôi. Treo vt m
vào lò xo mi ri cho nó dao đng. Bit c nng ca vt m trong trng hp này vn bng
c nng  trng hp câu a). Tính biên đ dao đng
S: a) x = 2cos
()

2
t



(cm); b) A
’
= 2
2
cm
Bài10: Có 2 lò xo cùng chiu dài t nhiên nhng có các đ cng là k
1
, k
2
. Treo vt nng ln
lt vào mi lò xo thì chu kì dao đng ln lt là: T
1
= 0,9 s; T
2
= 1,2 s
a) Ni hai lò xo thành mt lò xo dài gp đôi. Tính chu kì dao đng khi treo vt vào lò xo
ghép này
b) Ni hai lò xo  hai đu đ có 1 lò xo có cùng chiu dài t nhiên. Tính chu kì dao đng khi
treo vt vào lò xo ghép này. S: a) T = 1,5 s; b) T = 0,72 s
Bài 11: Có 2 lò xo cùng chiu dài t nhiên nhng có các đ cng là k
1
, k
2
. Treo vt nng ln
lt vào mi lò xo thì chu kì dao đng ln lt là: T

1
= 0,60 s; T
2
= 0,80 s
a) Ni hai lò xo thành mt lò xo dài gp đôi. Tính chu kì dao đng khi treo vt vào lò xo
ghép này?
b) Ni hai lò xo  hai đu đ có 1 lò xo có cùng chiu dài t nhiên. Tính chu kì dao đng khi
treo vt vào lò xo ghép này? S: a) T = 1,00 s; b) T = 0,48
s
Bài 12: Cho mt lò xo dài OA = l
0
= 50 cm, đ cng k
0
= 20 N/m.Treo lò xo OA thng
đng, O c đnh. Móc qu nng m = 1 kg vào đim C ca lò xo. Cho qu nng dao đng theo
phng thng đng. Bit chu kì ca con lc là 0,628 s. Hãy tính chiu dài l = OC ca lò xo
S: OC = 10 cm
Dng 4. vit phng trình dao đng điu hoà
I. Phng pháp.
Phng trình dao đng có dng :
. ( . )x Acos t


hoc
.sin( . )x A t


.
1. Tìm biên đ dao đng A: Da vào mt trong các biu thc sau:
+

2
2 2 2 2 2
2
1
. ; . ; . . . ; . . ;
2
max max max
v
v A a A F m A k A E k A A x
  

      
(1)
+ Nu bit chiu dài ca qu đo là l thì
2
l
A
.
+ Nu bit quãng đng đi đc trong mt chu k là s thì
4
s
A
.
Chú ý : A > 0.
2. Tìm vn tc góc

: Da vào mt trong các biu thc sau :
+
2.
2. .

k
f
Tm


  
.
+ T (1) ta cng có th tìm đc

nu bit các đi lng còn li.


9
Chú ý: -Trong thi gian t vt thc hin n dao đng, chu k ca dao đng là :
t
T
n


-

> 0 ; đn v : Rad/s
3. Tìm pha ban đu

: Da vào điu kin ban đu ( t = 0 ).
Giá tr ca pha ban đu (

) phi tho mãn 2 phng trình :
0
0

.sin

xA
v A cos





Chú ý : Mt s trng hp đc bit :
+ Vt qua VTCB : x
0
= 0.
+ Vt  v trí biên : x
0
= +A hoc x
0
= - A.
+ Buông tay ( th nh ), không vn tc ban đu : v
0
= 0.
Vit phng trình dao đng
4. Phng trình dao đng có dng: x = Acos(
)t



+Tìm
2
: ; ;

kg
m T l

   


  





+ Tìm A:
 T v trí cân bng kéo vt ra đon x
0
ri buông nh cho vt dao đng
0
Ax

 Ti li đ x vt có vn tc v:
2
22
2
v
Ax



 A =
2

L
(vi L là qu đo vt)
 A =
min
2
max
ll

 A =
max
v


+ Tim

: chn t = 0; x =
 
; v = ?
 
sin ?
cos
A
vA









  



thích hp
Cách khác: Khi đ cho t = 0; x = x
0
; v = v
0

T
()
sin( )
x Acos t
v A t

  



  

0
0
sin
x Acos
vA









gii h tìm đc A;



II. Bài Tp.
Bài 1. Mt con lc lò xo dao đng vi biên đ A = 5cm, chu k T = 0,5s. Vit phng trình
dao đng ca con lc trong các trng hp:
a) t = 0 , vt qua VTCB theo chiu dng.
b) t = 0 , vt cách VTCB 5cm, theo chiu dng.
c) t = 0 , vt cách VTCB 2,5cm, đang chuyn đng theo chiu dng.
Li Gii
Phng trình dao đng có dng :
.sin( . )x A t


.
Phng trình vn tc có dng :
'
. . ( . )v x A cos t
  
  
.
Vn tc góc :
2. 2.

4 ( / )
0,5
Rad s
T



.


10
a) t = 0 ;
0
0
.sin

xA
v A cos







0
0 5.sin
5.4. . 0v cos






0


. Vy
5.sin(4. . )xt


(cm).
b) t = 0 ;
0
0
.sin

xA
v A cos







0
5 5.sin
5.4. . 0v cos






()
2
rad



.
Vy
5.sin(4. . )
2
xt



(cm).
c) t = 0 ;
0
0
.sin

xA
v A cos







0
2,5 5.sin
5.4. . 0v cos





()
6
rad



.
Vy
5.sin(4. . )
6
xt



(cm).
Bài 2. Mt con lc lò xo dao đng vi chu k T = 1(s). Lúc t = 2,5(s), vt qua v trí có li đ
5. 2x
(cm) vi vn tc
10. . 2v



(cm/s). Vit phng trình dao đng ca con lc.
Li Gii
Phng trình dao đng có dng :
.sin( . )x A t


.
Phng trình vn tc có dng :
'
. . ( . )v x A cos t
  
  
.
Vn tc góc :
2. 2.
2 ( / )
1
Rad s
T



.
ADCT :
2
22
2
v
Ax




22
22
22
( 10. . 2)
( 5. 2)
(2. )
v
Ax



     
= 10 (cm).
iu kin ban đu : t = 2,5(s) ;
.sin

xA
v A cos







5. 2 .sin
10. . 2 .2. .

A
A cos

  




tan 1



()
4
rad



. Vy
10.sin(2. . )
4
xt



(cm).
Bài 3. Mt vt có khi lng m = 100g đc treo vào đu di ca mt lò xo có đ cng k
= 100(N/m). u trên ca lò xo gn vào mt đim c đnh. Ban đu vt đc gi sao cho lò
xo không b bin dng. Buông tay không vn tc ban đu cho vt dao đng. Vit phng
trình daô đng ca vt. Ly g = 10 (m/s

2
);
2
10


.
Li Gii
Phng trình dao đng có dng :
.sin( . )x A t


.


100
10.
0,1
k
m

  
(Rad/s).
Ti VTCB lò xo dãn ra mt đon là :
2
. 0,1.10
10 ( ) 1 1
100
mg
l m cm A l cm

k

        
.
iu kin ban đu t = 0 , gi lò xo sao cho nó không bin dng tc x
0
= -
l
. Ta có
t = 0 ;
0
0
1 .sin
. . 0
x l A
v A cos


    


()
2
rad


  
. Vy
sin(10. . )
2

xt



(cm).
Bài 4. Mt vt dao đng điu hoà dc theo trc Ox. Lúc vt qua v trí có li đ
2x 
(cm)
thì có vn tc
.2v


(cm/s) và gia tc
2
2.a


(cm/s
2
). Chn gc to đ  v trí trên. Vit
phng trình dao đng ca vt di dng hàm s cosin.
Li Gii
Phng trình có dng : x = A.cos(
.t


).
Phng trình vn tc : v = - A.
.sin( . )t
  


.
Phng trình gia tc : a= - A.
2
. ( . )cos t
  

.
Khi t = 0 ; thay các giá tr x, v, a vào 3 phng trình đó ta có :


11
22
2 . ; . 2 . .sin ; . 2 .x Acos v A a Acos
      
         
.
Ly a chia cho x ta đc :
( / )rad s


.
Ly v chia cho a ta đc :
3.
tan 1 ( )
4
rad


   

(vì
cos

< 0 )
2A cm
. Vy :
3.
2.sin( . )
4
xt



(cm).
Bài 5. Mt con lc lò xo lí tng đt nm ngang, t VTCB kéo đ lò xo dãn 6 cm . Lúc t = 0
buông nh , sau
5
12
s
đu tiên , vt đi đc quãng đng 21 cm. Phng trình dao đng ca
vt là :
A.
6.sin(20. . )
2
xt



(cm) B.
6.sin(20. . )

2
xt



(cm)
C.
6.sin(4. . )
2
xt



(cm) D.
6.sin(40. . )
2
xt



(cm)
Bài 6. Mt con lc lò xo treo thng đng gm mt vt m = 100g, lò xo có đ cng k =
100(N/m). Kéo vt ra khi VTCB mt đon x= 2cm và truyn vn tc
62,8. 3v
(cm/s)
theo phng lò xo .Chn t = 0 lúc vt bt đu dao đng ( ly
2
2
10; 10
m

g
s


) thì phng
trình dao đng ca vt là:
A.
4.sin(10. . )
3
xt



(cm) B.
4.sin(10. . )
6
xt



(cm)
C.
5.
4.sin(10. . )
6
xt



(cm) D.

4.sin(10. . )
3
xt



(cm)
Bài 7. Mt qu cu khi lng m = 100g treo vào lò xo có chiu dài t nhiên
l
0
= 20cm, đ cng k = 25 (N/m).
a) Tính chiu dài ca lò xo to v trí cân bng. Ly g = 10 (m/s
2
).
b) Kéo qu cu xung di, cách v trí cân bng mt đon 6cm ri buông nh ra cho nó
dao đng. Tìm chu k dao đng, tn s . Ly
2
10


.
c) Vit phng trình dao đng ca qu cu chn gc thi gian là lúc buông vt; gc to
đ ti v trí cân bng, chiu dng hng xung.
Bài 8. Mt qu cu khi lng m = 500g đc treo vào lò xo có chiu dài t nhiên l
0

= 40cm.
a) Tìm chiu dài ca lò xo ti v trí cân bng, bit rng lò xo trên khi treo vt
m
0

= 100g, lò xo dãn thêm 1cm. Ly g = 10 (m/s
2
). Tính đ cng ca lò xo.
b) Kéo qu cu xung di cách v trí cân bng 8cm ri buông nh cho dao đng.
Vit phng trình dao đng (Chn gc thi gian là lúc th vt, chiu dng
hng xung).
Bài 9. Vt có khi lng m treo vào lò xo có đ cng k = 5000(N/m). Kéo vt ra khi v trí
cân bng
mt đon 3cm ri truyn vn tc 200cm/s theo phng thng đng thì vt dao đng vi chu
k
25
Ts


.
a) Tính khi lng m ca vt.
b) Vit phng trình chuyn đng ca vt . Chn gc thi gian là lúc vt qua v trí có li
đ x = -2,5cm theo chiu dng.
m


12
Bài 10: Cho con lc lò xo dao đng điu hoà theo phng thng đng vt nng có khi
lng m = 400g, lò xo có đ cng k, c nng toàn phn E = 25mJ. Ti thi đim t = 0, kéo
vt xung di VTCB đ lò xo dãn 2,6cm đng thi truyn cho vt vn tc 25cm/s hng
lên ngc chiu dng Ox (g = 10m/s
2
). Vit phng trình dao đng?
Bài 11: Mt lò xo đc treo thng đng, đu trên ca lò xo đc gi chuyn đng đu di
theo vt nng có khi lng m = 100g, lò xo có đ cng k = 25 N/m. Kéo vt ri khi VTCB

theo phng thng đng hng xung mt đon 2cm, truyn cho nó vn tc
310
.

(cm/s)
theo phng thng đng hng lên. Chn góc tg là lúc th vt, gc to đ là VTCB, c dng
hng xung.
a. Vit PTD.
b. Xác đnh thi đim vt đi qua v trí mà lò xo giãn 2 cm ln th nht.

Li gii
a) Ti VTCBO
kl = mg
 l =
0,04
25
0,1.10
k
mg


(m
+  =
 5105
1,0
25
m
k
(Rad/s)
+ m dao đng điu hoá vi phng trình

x = Asin (t + )
Ti thi đim t = 0 x = 2 cm > 0
v = 10
3
(cm/s) <0


Ta có h 2 = Acos  Sin  >0
-10
3
= 5.ASin Sin <0
Chia 2 v tg =
3
  =
3


(Rad)  A = 4(cm)
Vy PTD:
x = 4sin (5t -
3

) (cm)
b) Ti VTCB lò xo dãn 
l = 4cm
+  thi đim t = 0, lò xo b dãn l = 4 + 2 = 6 (cm)
+  thi đim t = 0 , vt đi lên v<0, ti v trí lò xo b dãn 2cm ln đu tiên thì v<0.
Vy lúc đó x = -2 (cm)

l

l
0
0(VTCB)
)
x
- l
•
•
•


13
Ta có: -2 = 4cos (5t -
3

)
 cos (5t -
3

) =
2
1


5t -
3

=
2
3


 t =
15
1
(s)
( Có th gii bng mi liên h gia dao đng điu hoà và chuyn đng tròn đu)
Bài 12: Cho con lc lò xo dđđh theo phng thng đng vt nng có khi lng m = 400g,
lò xo có đ cng K, c nng toàn phn E = 25mJ. Ti thi đim t = 0, kéo m xung di
VTCB đ lò xo giãn 2,6cm đng thi truyn cho m vn tc 25cm/s hng lên ngc chiu
dng Ox (g = 10m/s
2
)
a. CM vt dđđh.
b. Vit PTD

Li gii
a. Ti VTCB kl = mg  kl = 0,4.10 = 4  l =
k
4
(mét)
Ti thi đim t = 0, kéo m xung di VTCB, lò xo dãn 2,6 cm
 x = 2,6 - l = 0,026 -
k
4
( mét)
Chiu dng 0x hng xung  x >0
Ti t = 0 x = 0,026 m/s > 0
v = -0,25 m/s <0
C nng toàn phn E =
3

10.25
2
2
1
2
2
1

 mvkx
(J)
Ta có phng trình:

322
25.10).0,4.(0,25
2
1
)
k
4
k(0,026
2
1



 k(2,6.10
-2
-
025,0)
4

2

k

 0,026
2
.k
2
- 0,233k + 16 = 0  k = 250 (N/m) TM
k = 94,67 (N/m) loi
Vy k = 250 N/m   =
25
4,0
250


m
k
(Rad/s)
Ti t = 0 x = 1cm > 0
v = -25cm/s < 0
=> k > 153,8 N/m


14
1 = Asin ; sin >0  =
4
3
Rađ
-25 = 25Acos; cos<0 A =

2
cm
Vy phng trình điu hoà là x =
)
4
3
t25sin(2


(cm)
Bài 13: Mt vt có khi lng m = 1kg đc treo vào mt lò xo có đ cng k = 1 N/cm,
đc gi c đnh  mt đu, treo lò xo theo phng thng đng. Ly g = 10m/s
2

a) Kich thích cho vt dao đng. Chng minh dao đng ca vt là dao đng điu hoà
b) Tính chu kì dao đng, đ bin dng ban đu ca lò xo
S: a) x = Acos(
)t


. b) T =
5

;
l
10cm
Bài 14: Lò xo có đ cng k = 80 N/m. Vt có khi lng 200g
a) Tính đ bin dng ca lò xo khi vt  v trí cân bng. Ly g = 10 m/s
2
m

b) T v trí cân bng, n nh vt xung thng đng.
Chng minh vt dao đng điu hoà và vit phng trình k
dao đng. Bit ti thi đim t = 0 lò xo nén 5cm; v = 0; chiu (+) xung di
S: a)
l
2,5cm; b) x = 2,5cos20t (cm)
Bài 15: Mt vt dao đng điu hoà vi biên đ A = 8cm, chu k T = 2s
a) Vit phng trình dao đng ca vt, chn gc thi gian là lúc vt qua v trí cân bng
theo chiu (+)
b) Tính li đ ca vt ti thi đim t = 7,5 s
S: a) x = 8cos
()
2
t



; b) x = -8 cm
Bài 16: Mt vt dao đng điu hoà vi biên đ A = 5 cm, tn s f = 2 Hz
a) Vit phng trình dao đng ca vt chn gc thi gian là lúc nó đt li đ cc đi ( x = A )
b) Tính li đ ca vt ti thi đim t = 2,5s
S: a) x = 5cos
4 t

; b) x = 5 cm
Bài 17: Mt con lc lò xo dao đng điu hoà vi biên đ A = 3 cm chu kì T = 0,5(s). Ti thi
đim t = 0 hòn bi đi qua v trí cân bng theo chiu (+)
a) Vit phng trình dao đng ca con lc lò xo
b) Hòn bi đi t v trí cân bng ti các li đ x = 1,5 cm, x = 3 cm vào nhng thi đim nào
c) Tính vn tc ca hòn bi khi nó có li đ x = 0, x = 3 (cm)

S: a) x = 3cos
(4 )
2
t



; b) t =
1
24 2
k

; t =
5
24 2
l

; t =
1
82
m


c) v=

12

(cm/s); 0
Bài 18: Vt dao đng điu hoà thc hin 5 dao đng trong thi gian 2,5 s, khi qua v trí cân
bng vt có vn tc 62,8 (cm/s). Lp phng trình dao đng điu hoà ca vt, chn gc thi

gian lúc vt có li đ cc đi (+)
S: x = 5cos
4 t

(cm)
Bài 19: Vt dao đng điu hoà: khi pha dao đng là
3

thì vt có li đ là
53
cm, vn tc -
100 cm/s. Lp phng trình dao đng chn gc thi gian lúc vt có li đ
53
và đang
chuyn đng theo chiu (+)
S: x = 10
3
cos
20
()
33
t


(cm)


15
Bài 20: Vt dao đng điu hoà vi tn s f = 0,5 Hz, ti t = 0 vt có li đ x = 4cm và vn tc
v = -12,56 cm/s. Lp phng trình dao đng ca vt

S: x =
42
cos
()
4
t



(cm)
Bài 21: Vt dao đng điu hoà có vn tc cc đi bng 16 cm/s và gia tc cc đi bng 128
cm/s
2
. Lp phng trình dao đng chn gc thi gian là lúc vt có li đ 1 cm và đang đi v
v trí cân bng
S: x = 2cos
(8 )
3
t


(cm)
Bài 22: Xét 1 h dao đng điu hoà vi chu kì dao đng T = 0,1
()s

. Chn gc to đ là v
trí cân bng thì sau khi h bt đu dao đng đc t = 0,5T vt  to đ x = -
23
cm và đang
đi theo chiu (-) qu đo và vn tc có giá tr 40cm/s. Vit phng trình dao đng ca h

S: x = 4cos
(20 )
6
t


(cm)
Bài 23: Mt vt dao đng điu hoà trên qu đo 4cm, thi gian ngn nht vt đi t v trí biên
đn v trí cân bng là 0,1s. Lp phng trình dao đng ca vt chn gc thi gian là lúc vt
đi qua v trí cân bng theo chiu (–)
S: x = 2cos
(5 )
2
t



(cm)
Bài 12: Con lc lò xo dao đng thng đng. Thi gian vt đi t v trí thp nht ti v trí cao
nht cách nhau 10cm là 1,5s. Chn gc thi gian là lúc vt có v trí thp nht và chiu (+)
hng xung di. Lp phng trình dao đng
S: x = 5cos
2
3
t

(cm)
Bài 13: Vt dao đng điu hoà vi tn s f = 2Hz và biên đ A = 20cm. Lp phng trình
dao đng ca vt trong các trng hp sau;
a) Chn gc thi gian lúc vt qua v trí cân bng theo chiu (+)

b) Chn gc thi gian lúc vt đi qua v trí có li đ +10cm ngc chiu (+)
c) Chn gc thi gian lúc vt đang  v trí biên dng
S: a) x = 20cos
(4 )
2
t



(cm); b) x = 20cos
(4 )
3
t



(cm); c) x = 20cos
4 t

(cm)
Bài 14: Mt con lc lò xo gòm mt qu nng có khi lng 0,4kg và 1 lò xo có đ cng
40N/m. Ngi ta kéo qu nng ra khi v trí cân bng 1 đon bng 8 cm theo chiu(+) và th
cho nó dao đng
a) Vit phng trình dao đng ca qu nng
b) Tìm giá tr cc đi ca vn tc qu nng
c) Tìm nng lng ca qu nng
S: a) x = 8cos
10t
(cm); b) v
max

=

80(cm/s);c) E = 0,128J
Bài 15: Mt vt dao đng điu hoà có đ th v(t) nh hình v
a) Lp phng trình dao đng ca vt v(cm/s)
b) Tính li đ ca vt sau thi gian t = 0,2s
S: a) x = 10cos
(5 )
2
t



cm ; b) x = 0 50



O 0.4 t(s)



16
-50


Dng 5. Chng minh mt vt dao đng điu hoà
I. Phng pháp.
1. Phng pháp đng lc hc.
+ Chn HQC sao cho vic gii bài toán là đn gin nht.( Thng chn là TT Ox, O
trùng vi VTCB ca vt, chiu dng trùng vi chiu chuyn đng).
+ Xét vt  VTCB :
12
0 0
hl
n
F F F F     

chiu lên HQC đ thu đc phng trinh vô hng:

1 2 3
0
n
F F F F    
(1)
+ Xét vt  thi đim t, có li đ là x : áp dng đnh lut 2 Newton, ta có:

12
. .
hl n
F ma F F F ma     

chiu lên HQC đ thu đc phng trinh vô hng:

12
.

n
F F F ma   
(2)
Thay (1) vào (2) ta có dng :
"2
.0xx


. Phng trình này có nghim dng:
. ( . )x Acos t


hoc
.sin( . )x A t



t dao đng điu hoà, vi tn s góc là

.

2. Phng pháp nng lng.
+ Chn mt phng làm mc tính th nng, sao cho vic gii bài toán là đn gin nht.
+ C nng ca vt dao đng là : E = E
đ
+ E
t

2 2 2
1 1 1

. . . . . .
2 2 2
k A mv k x  
(3)
+ Ly đo hàm hai v theo thi gian t , ta đc :
' ' ' '
11
0 . .2. . . .2. . 0 . . . .
22
m vv k xx mvv k x x    
.
Mt khác ta có : x
’
= v ; v
’
= a = x
”
, thay lên ta đc : 0 = m.v.a + k.x.v
""
0 . . . 0
k
mx k x x x
m
     
. t
2
k
m



. Vy ta có :
"2
.0xx



Phng trình này có nghim dng:
. ( . )x Acos t


hoc
.sin( . )x A t




Vt dao đng điu hoà, vi tn s góc là

.

đpcm.
II. Bài Tp.
Bài 1. Mt lò xo có khi lng nh không đáng k, đc treo vào mt đim c đnh O có đ
dài t nhiên là OA = l
0
. Treo mt vt m
1
= 100g vào lò xo thì đ dài lò xo là OB = l
1
=

31cm. Treo thêm vt m
2
= 100g vào thì đ dài ca nó là
OC = l
2
=32cm.
1. Xác đnh đ cng k và đ dài t nhiên l
0
.
2. B vt m
2
đi ri nâng vt m
1
lên sao cho lò xo  trng thái t nhiên l
0
, sau đó th cho h
chuyn đng t do. Chng minh vt m
1
dao đng điu hoà. Tính chu k và vit phng trình
dao đng đó. B qua sc cn ca không khí.
3. Tính vn tc ca m
1
khi nó

nm cách A 1,2 cm. Ly g=10(m/s
2
).
Bài 2. Mt vt khi lng m = 250g treo vào lò xo có đ cng k = 25 (N/m) và đt trên mt
phng nghiêng mt góc  = 30
0

so vi phng ngang.
a. Tính chiu dài ca lò xo ti VTCB. Bit chiu dài t


17
nhiên ca lò xo là 25cm. Ly g=10(m/s
2
).
b. Kéo vt xung di mt đon là x
0
= 4cm ri th ra cho
vt dao đng. Chng minh vt dao đng điu hoà. B qua
mi ma sát.Vit phng trình dao đng.



Bài 3. Mt lò xo có đ cng k = 80(N/m) đc đt thng đng, phía trên có vt khi lng
m = 400g. Lò xo luôn gi thng đng.
a) Tính đ bin dng ca lò xo khi vt cân bng. Ly g = 10(m/s
2
).
b) T v trí cân bng n vt m xung mt đon x
0
= 2cm ri buông nh.
Chng minh vt m dao đng điu hoà. Tính chu k dao đng. Vit
phng trình dao đng ca vt m.
c) Tính lc tác dng cc đi và cc tiu mà lò xo nén lên sàn.

Bài 4. Mt vt nng có khi lng m = 200g đc gn trên lò xo có đ cng
k = 100(N/m), chiu dài t nhiên l

0
= 12cm,theo s đ nh hình v. Khi vt cân bng , lò xo
dài 11cm. B qua mi ma sát, ly g = 10(m/s
2
).
1.Tính góc .
2.Chn trc to đ song song vi đng dc và có
gc to đ O trùng vi VTCB ca vt. Kéo vt ri
khi VTCB đn v trí có li đ x = +4,5cm ri th nh
cho vt dao đng.


a) Chng minh vt dao đng điu hoà và vit phng trình dao đng ca vt, chn gc thi
gian là lúc th vt.
b) Tính chiu dài ln nht và nh nht ca lò xo khi vt dao đng.
Bài 5. Cho h dao đng nh hình v, chiu dài t nhiên ca lò xo là l
0
,
sau khi gn m vào đu còn li thì chiu dài ca lò xo là l
1
. T v trí cân
bng n m xung sao cho lò xo có chiu dài l
2
, ri th nh. B qua mi
ma sát.
a) Chng minh vt m dao đng điu hoà. Vit phng trình dao đng.
b) áp dng bng s: l
0
= 20cm; l
1

=18cm; l
2
=15cm; g=10m/s
2
;  =30
0
.


Dng 6. Tìm chiu dài ca lò xo trong quá trình dao đng. Nng lng trong dao
đng điu hoà
I. Phng pháp.
1. Chiu dài:
+ Nu con lc lò xo đt nm ngang : l
max
= l
0
+ A; l
min
= l
0
- A.
+ Nu con lc lò xo đt thng đng :
0max
l l l A  
;
min 0
l l l A  
.
2. Nng lng :

+ ng nng ca vt trong dao đng điu hoà

2 2 2 2
11
. . . . . . ( . )
22
d
E mv mA cos t
  
  
hoc
2 2 2 2
11
. . . . . .sin ( . )
22
d
E mv mA t
  
  

+ Th nng ca vt trong dao đng điu hoà :

2 2 2 2
11
. . . . . .sin ( . )
22
t
E k x m A t
  
  

hoc
2 2 2 2
11
. . . . . . ( . )
22
t
E k x mA cos t
  
  

+ C nng ca vt trong dao đng điu hoà:
2 2 2
11
. . . . .
22
dt
E E E k A m A Const

    
.
II. Bài Tp.


18
Bài 1. Mt vt khi lng m = 500g treo vào lò xo thì dao đng vi tn s f= 4(Hz).
a) Tìm đ cng ca lò xo, ly
2
10.



b) Bit lò xo có chiu dài t nhiên l
0
= 20cm và dao đng vi biên đ 4cm. Tính chiu dài
nh nht và ln nht ca lò xo trong quá trình dao đng. Ly g = 10(m/s
2
).
c) Thay vt m bng m
’
= 750g thì h dao đng vi tn s bao nhiêu?
Bài 2. Mt qu cu khi lng m =1 kg treo vào mt lò xo có đ cng
k = 400(N/m). Qu cu dao đng điu hoà vi c nng E = 0,5(J) ( theo phng thng
đng).
a) Tính chu k và biên đ ca dao đng.
b) Tính chiu dài cc tiu và cc đi ca lò xo trong quá trình dao đng. Bit l
0
= 30cm.
c. Tính vn tc ca qu cu  thi đim mà chiu dài ca lò xo là 35cm. Ly g=10(m/s
2
).
Bài 3. Mt qu cu khi lng m = 500g gn vào mt lò xo dao đng điu hoà vi biên đ
4cm. đ cng ca lò xo là 100(N/m).
a) Tính c nng ca qu cu dao đng.
b) Tìm li đ và vn tc ca qu cu ti mt đim, bit rng ni đó, đng nng ca qu cu
bng th nng.
c) Tính vn tc cc đi ca qu cu.
Bài 4. Mt vt có khi lng m = 500g treo vào mt lò xo có đ cng k = 50(N/m). Ngi
ta kéo vt ra khi v trí cân bng mt đon 2(cm) ri truyn cho nó mt vn tc ban đu v
0
=

20(cm/s) dc theo phng ca lò xo.
a) Tính nng lng dao đng.
b) Tính biên đ dao đng.
c) Vn tc ln nht mà vt có đc trong quá trình dao đng.
Bài 5. Môt con lc lò xo có khi lng m = 50g dao đng điu hoà theo phng trình :
10.sin(10. . )
2
xt



(cm) .
a) Tìm biên đ, tn s góc, tn s, pha ban đu ca dao đng.
b) Tìm nng lng và đ cng ca lò xo.
Bài 6. Mt con lc lò xo dao đng điu hoà bit vt có khi lng m = 200g, tn s f = 2Hz.
Ly
2
10


,  thi đim t
1
vt có li đ x
1
= 4cm, th nng ca con lc  thi đim t
2
sau thi
đim t
1
1,25s là :

A. 256mJ B. 2,56mJ C. 25,6mJ D. 0,256mJ


Dng 7.Bài toán v lc
I. Phng pháp.
Bài toán: Tìm lc tác dng ln nht, nh nht vào đim treo hay nén lên sàn
Hng dn:
+ Bc 1: Xem lc cn tìm là lc gì? Ví d hình bên :
dh
F

+ Bc 2: Xét vt  thi đim t, vt có li đ x, áp dng đnh lut
2 Newton  dng vô hng, ri rút ra lc cn tìm.
"
. . . .
dh dh
ma P F F P ma mg mx      
(1)
+ Bc 3: Thay
"2
.xx


vào (1) ri bin lun lc cn tìm theo
li đ x. Ta có
2
. . .
dh
F mg m x



.
*
2
( ) . . .
dh
F Max mg m A


khi x = +A (m)
O(VTC
B)
x(+)
P

dh
F
A


19
* Mun tìm giá tr nh nht ca F
đh
ta phi so sánh
l
(đ bin dng ca lò xo ti v trí cân bng) và A (biên đ dao đng)
- Nu
l
< A
2

( ) . . .
dh
F Min mg m l

   
khi
xl 
.
- Nu
l
> A
2
( ) . . .
dh
F Min mg m A

  
khi x = -A.
II. Bài Tp.
Bài 1. Treo mt vt nng có khi lng m = 100g vào đu mt lò xo có đ cng k = 20
(N/m). u trên ca lò xo đc gi c đnh. Ly g = 10(m/s
2
).
a) Tìm đ dãn ca lò xo khi vt VTCB.
b) Nâng vt đn v trí lò xo không b nin dng ri th nh cho vt dao đng. B qua mi
ma sát. Chng t vt m dao đng điu hoà. Vit phng trình dao đng ca vt. Chon
gc thi gian là lúc th.
c) Tìm giá tr ln nht và nh nht ca lc phc hi và lc đàn hi ca lò xo.
Bài 2. Mt lò xo đc treo thng đng, đu trên ca lò xo đc gi c đnh, đu di ca lò
xo treo mt vt m = 100g. Lò xo có đ cng k = 25(N/m). Kéo vt ra khi VTCB theo

phng thng đng và hng xung di mt đon 2cm ri truyn cho nó mt vn tc
0
10. . 3v


(cm/s) hng lên. Chn gc thi gian là lúc truyn vn tc cho vt, gc to đ là
VTCB, chiu dng hng xung. Ly g = 10(m/s
2
).
2
10


.
a) Vit phng trình dao đng.
b) Xác đnh thi đim mà vt qua v trí lò xo dãn 2cm ln đu tiên.
c) Tìm đ ln lc phc hi nh  câu b.
Bài 3. Cho mt con lc lò xo đc b trí nh hình v. Lò xo có đ cng
k=200(N/m); vt có khi lng m = 500g.
1) T v trí cân bng n vt m xung mt đon x
0
= 2,5cm theo phng
thng đng ri th nh cho vt dao đng.
a) Lp phng trình dao đng.
b) Tính lc tác dng ln nht và nh nht mà lò xo nén lên mt giá đ.
2) t lên m mt gia trng m
0
= 100g. T VTCB n h xung mt đon x
0
’

ri th nh.
a) Tính áp lc ca m
0
lên m khi lò xo không bin dng.
b)  m
0
nm yên trên m thì biên đ dao đng phi tho mãn điu kin gì? Suy ra giá tr
ca x
0
’
. Ly
g =10(m/s
2
).
Bài 4. Mt lò xo có đ cng k = 40(N/m) đc đt thng đng ,
phía trên có vt khi lng m = 400g. Lò xo luôn gi thng đng.
a) Tính đ bin dng ca lò xo khi vt cân bng. Ly g = 10 (m/s
2
).
b) T VTCB n xung di mt đon x
0
= 2cm ri buông nh. Chng t vt m dao đng
điu hoà. Tính chu k dao đng.
c) Tính lc tác dng ln nht và nh nht mà lò xo nén lên sàn
Bài 5. Mt lò xo k = 100(N/m) phía trên có gn vt khi lng m = 100g. Mt vt khi lng
m
0
= 400g ri t do t đ cao h = 50cm xung đa. Sau va chm chúng
dính vào nhau và dao đng điu hoà. Hãy tính :

a) Nng lng dao đng.
b) Chu k dao đng.
c) Biên đ dao đng.
h
m
m
k
m
0

m


20
d) Lc nén ln nht ca lò xo lên sàn. Ly g = 10 (m/s
2
).


Dng 8: Xác đnh thi đim ca vt trong quá trình dao đng
I. Phng pháp.
Bài toán 1: Xác đnh thi đim vt đi qua v trí cho trc trên qu đo.
Hng dn: Gi s phng trình dao đng ca vt có dng:

.sin( . )x A t


, trong đó A,
,


đã bit. Thi đim vt đi qua v trí có li đ x
0
đc xác
đnh nh sau:
0
0
.sin( . ) sin( . )
x
x A t x t
A
   
     
. t
0
sin
x
A





( . ) sinsin t
  


Vi
;
22







.
*) Nu vt đi qua v trí có li đ x
0
theo chiu dng thì :
. . ( . )v A cos t
  

> 0 . Vy thi đim vt đi qua v trí có li đ x
0
đc xác đnh :

.2
. .2 .
k
t k t kT
    
   
  

       

(Vi điu kin t > 0; k là s nguyên, T là chu k dao đng).
*) Nu vt đi qua v trí có li đ x
0
theo chiu âm thì :

. . ( . )v A cos t
  

< 0 . Vy
thi đim vt đi qua v trí có li đ x
0
đc xác đnh :

.2
. .2 .
k
t k t kT
      
    
  
   
        

(Vi điu kin t > 0; k là s nguyên, T là chu k dao đng).
Chú ý: Tu theo điu kin c th ca đu bài mà ly k sao cho phù hp.
Bài toán 2: Xác đnh khong thi gian ngn nht đ vt đi t v trí có li đ x
1
đn v trí có li
đ x
2
.
Hng dn:
+ Cách 1: Khi chn thi đim ban đu t = 0 không phi là thi đim vt  v trí
có li đ x
1

thì khong thi gian t cn tính đc xác đnh t h thc t = t
2
- t
1
, trong đó t
1
, t
2

đc xác đnh t h thc :
1
1 1 1
.sin( . ) sin( . )
x
x A t t
A
   
    

1
t

2
2 2 2
.sin( . ) sin( . )
x
x A t t
A
   
    



2
t 

+ Cách 2: Khi chn thi đim ban đu t = 0 là thi đim vt  v trí có li đ x
1

và chuyn đng theo chiu t x
1
đn x
2
thì khong thi gian cn xác đnh đc xác đnh t
phng trình sau :
2
2
.sin( . ) sin( . )
x
x A t x t
A
   
     

t

+ Cách 3: Da vào mi liên h gia chuyn đng tròn đu
và dao đng điu hoà. Khong thi gian đc xác đnh theo biu thc :

t





Bài toán 3: Xác đnh thi đim vt có vn tc xác đnh.
Hng dn: Gi s vt dao đng vi phng trình
.sin( . )x A t


, vn tc ca vt có dng
:
. . ( . )v A cos t
  

.

A
x(cm)
O
x
1
x




21
Thi đim vn tc ca vt là v
1
đc xác đnh theo phng trình:
1

1
. . ( . ) ( . )
.
v
v A cos t v cos t
A
    

     
.
*) Nu vt chuyn đng theo chiu dng : v
1
> 0.
t
1
.
v
cos
A






( . )cos t cos
  

.


1
2
. .2
. .2
tk
tk
   
   
  
   



1
2
.
.
t kT
t kT









Chú ý: - Vi k là s nguyên, t > 0, T là chu k

- H thc xác đnh t
1
ng x > 0, h thc xác đnh t
2
ng vi x < 0.
*) Nu vt chuyn đng ngc chiu dng : v
1
< 0.
t
1
.
v
cos
A






( . )cos t cos
  

.
1
2
. .2
. .2
tk
tk

    
    
   
    



1
2
.
.
t kT
t kT
  

  



  


Chú ý: - Vi k là s nguyên, t > 0, T là chu k
- H thc xác đnh t
1
ng x > 0, h thc xác đnh t
2
ng vi x < 0.
-  xác đnh ln th bao nhiêu vn tc ca vt có đ ln v
1

khi chuyn đng theo
chiu dng hay chiu âm, cn cn c vào v trí và chiu chuyn đng ca vt  thi đim
ban đu t = 0.
II. Bài Tp.
Bài 1. Mt vt dao đng vi phng trình :
10.sin(2. . )
2
xt



(cm). Tìm thi đim vt đi qua
v trí có li đ x = 5(cm) ln th hai theo chiu dng.
Li Gii
các thi đim vt đi qua v trí có li đ x = 5cm đc xác đnh bi phng trình:
1
10.sin(2. . ) 5 sin(2 )
2 2 2
x t t


     



2. . .2
26
5.
2. . .2
26

tk
tk




  
  
(
;kZ
t > 0)
Ta có :
'
2. .10. (2 )
2
v x cos t


  
. Vì vt đi theo chiu dng nên v > 0


'
2. .10. (2 )
2
v x cos t


  
> 0.  tho mãn điu kin này ta chn

2. . .2
26
tk


  



1
6
tk


vi k = 1, 2, 3, 4, (vì t > 0)
Vt đi qua v trí x = 5cm ln hai theo chiu dng

k = 2. Vy ta có
t =
1 11
2
66
  
(s).
Bài 2. Mt vt dao đng điu hoà vi phng trình :
10.sin( . )
2
xt




(cm) . Xác đnh thi
đim vt đi qua v trí có li đ x = -
52
(cm) ln th ba theo chiu âm.
Li Gii


22
Thi đim vt đi qua v trí có li đ x = -
52
(cm) theo chiu âm đc xác đnh theo phng
trình sau :
2
10.sin( . ) 5 2 sin( ) sin( )
2 2 2 4
x t t
  

         
. Suy ra
.2
24
.2
24
tk
tk




  
   
   
(
kZ
) . Ta có vn tc ca vt là :
'
.10. ( )
2
v x cos t


  

Vì vt đi qua v trí có li đ x = -
52
(cm) theo chiu âm nên v < 0. Vy ta có:
'
.10. ( )
2
v x cos t


  
< 0.  tho mãn điu kin này ta chn
.2
24
tk

  

   



7
2.
4
tk
(
0,1,2,3, k 
; t > 0 )

Vt đi qua v trí có li đ x = -
52
(cm) theo chiu âm,
ln 3 là :
7 23
2.2
44
t   
(s).
Bài 3. Mt vt dao đng điu hoà vi phng trình :
10.sin(10. . )
2
xt



(cm). Xác đnh thi
đim vt đi qua v trí có li đ x = 5cm ln th 2008.

Li Gii
Thi đim vt đi qua v trí có li đ x = 5cm đc xác đnh t phng trình:

1
10.sin(10. . ) 5 sin(10. . )
2 2 2
x t t


     



10. . .2
26
5
10. . .2
26
tk
tk




  
  
vì t > 0 nên ta có
1
30 5
k

t   
vi k = 1, 2, 3, 4, (1)
Hoc
1
30 5
k
t 
vi k = 0, 1, 2, 3, 4, (2)
+ (1) ng vi các thi đim vt đi qua v trí x = 5cm theo chiu dng ( v > 0 ).

'
100 . (10 )
2
v x cos t


  
> 0 và t > 0
+ (2) ng vi các thi đim vt đi qua v trí x = 5cm theo chiu âm ( v < 0 ).

'
100 . (10 )
2
v x cos t


  
< 0 và t > 0
+ Khi t = 0


10.sin 10
2
x cm


, vt bt đu dao đng t v trí biên dng. Vt đi qua v trí
x = 5cm ln th nht theo chiu âm, qua v trí này ln 2 theo chiu dng. Ta có ngay vt
qua v trí x = 5cm ln th 2008 theo chiu dng, trong s 2008 ln vt qua v trí x = 5cm thì
có 1004 ln vt qua v trí đó theo chiu dng. Vy thi đim vt qua v trí x = 5cm ln th
2008 là :
1
30 5
k
t   
vi k = 1004.

1 1004 6024 1 6023
30 5 30 30
t

    
(s).
Bài 4. Mt vt dao đng điu hoà có biên đ bng 4 (cm) và chu k bng 0,1 (s).
a) Vit phng trình dao đng ca vt khi chn t = 0 là lúc vt đi qua v trí cân bng theo
chiu dng.


23
b) Tính khong thi gian ngn nht đ vt đi t v trí có li đ x

1
= 2 (cm) đn v trí x
2
= 4
(cm).
Li Gii
a) Phng trình dao đng : Phng trình có dng :
.sin( . )x A t



Trong đó: A = 4cm,
22
20 ( / )
0,1
rad s
T



.
Chn t = 0 là lúc vt qua VTCB theo chiu dng, ta có :
x
0
= A.sin

= 0, v
0
= A.


.cos

> 0


0( )rad


. Vy
4.sin(20 . )xt


(cm)
b) Khong thi gian ngn nht đ vt đi t v trí có li đ x
1
= 2 (cm) đn v trí
x
2
= 4 (cm).
+ Cách 1: -
1
1
4sin(20 . ) 2 sin(20 . )
2
x x t t

    

1
1

()
120
ts
( vì v > 0 )
-
2
4sin(20 . ) 4 sin(20 . ) 1x x t t

    

2
1
()
40
ts
( vì v > 0 )
Kt lun : Khong thi gian ngn nht đ vt đi t v trí có li đ x
1
= 2 (cm) đn v trí
x
2
= 4 (cm) là : t = t
2
ậ t
1
=
1 1 1
()
40 120 60
s

.
+ Cách 2: Chn t = 0 là lúc vt đi qua v trí có li đ x
0
= x
1
= 2cm theo chiu dng, ta có
:
01
1
4.sin( ) 2 sin
26
x x x

  
       
(rad) ( vì v > 0 )


4.sin(20 . )
6
xt



(cm).
Thi gian đ vt đi t v trí x
0
đn v trí x = 4cm đc xác đnh bi phng trình:
1
4.sin(20 . ) 4 sin(20. . ) 1 ( )

6 6 60
x t t t s


       
( vì v > 0 )
+ Cách 3 : Da vào mi liên h gia chuyn đng tròn đu và dao đng điu hoà:
Da vào hình v ta có : cos

=
21
4 2 3


  
(rad).
Vy t =
1
()
3.20 60
s



.



Bài 5. Mt vt dao đng điu hoà theo phng trình :
10.sin(10 . )xt



(cm). Xác đnh thi
đim vn tc ca vt có đ ln bng na vn tc cc đi ln th nht, ln th hai.
Li Gii
+ T phng trình
10.sin(10 . )xt


(cm)
'
100. . (10. . )( / )v x cos t cm s

  
. Suy ra vn tc cc đi
là:
. 10 .10 100 ( / )
max
v A cm s
  
  
.
+ Khi t = 0, v > 0 vt bt đu chuyn đng t VTCB, theo chiu dng. Ln th nht vt
chuyn đng theo chiu dng và có đ ln vn tc bng na vn tc cc đi. Ln th hai
vt chuyn đng ngc chiu dng.
+ Khi vt chuyn đng theo chiu dng, ta có :
1
100. . (10. . ) .100
2
v cos t

  


O
2
4
x(c





24
1
(10. . )
2
cos t




10. . .2
3
10. . .2
3
tk
tk






  
( vi
;kZ
t > 0 )
1
30 5
k
t  
vi k = 0, 1, 2, 3, (1)

1
30 5
k
t   
vi k =1, 2, 3, (2)
H thc (1) ng vi li đ ca vt
10.sin(10 . )xt


> 0.
H thc (2) ng vi li đ ca vt
10.sin(10 . )xt


< 0.
Do vt bt đu chuyn đng t VTCB theo chiu dng nên ln đu tiên vn tc ca vt
bng na vn tc cc đi  thi đim,
1

()
30
ts
( k = 0 ).
+ Khi vt chuyn đng ngc chiu dng:
1
100. . (10. . ) .100
2
v cos t
  
  


1
(10. . )
2
cos t

  


2
10. . .2
3
2
10. . .2
3
tk
tk






  
( vi
;kZ
t > 0 )

1
15 5
k
t  
(vi k = 0, 1, 2, 3, ; t > 0 ) (3)

1
15 5
k
t   
(vi k =1, 2, 3, ; t > 0 ) (4)
H thc (3) ng vi li đ ca vt
10.sin(10 . )xt


> 0.
H thc (4) ng vi li đ ca vt
10.sin(10 . )xt


< 0.

Do vt bt đu chuyn đng t VTCB theo chiu dng nên ln th hai vn tc ca vt có đ
ln bng na vn tc cc đi  thi đim,
1
()
15
ts
( k = 0 ).
Bài 6. Mt vt dao đng điu hoà theo phng trình :
10.sin(5 . )
2
xt



(cm). Xác đnh thi
đim vn tc ca vt có đ ln bng
25 2.

(cm/s) ln th nht, ln th hai và ln th ba.
Li Gii
- Khi t = 0
10x cm  
. Vt btt đu chuyn đng t v trí biên âm ( x= -A). Do đó khi vt
chuyn đng theo chiu dng thì c ln 1 và ln th 2 vn tc đu có đ ln
25 2.

(cm/s), nhng ln 1 ng vi x < 0, còn ln 2 ng vi x > 0. Ln th 3 vn tc ca
vt bng
25 2.


(cm/s) khi vt chuyn đng theo chiu âm.
- Vt chuyn đng theo chiu dng, thi đim ca vt đc xác đnh nh sau:

2
50. . (5 ) 25 2. (5 )
2 2 2
v cos t cos t

   
     



5 .2
24
5 .2
24
tk
tk





   
(
kZ
)


3
0,4.
20
tk
(vi k = 0, 1, 2, 3, 4, ); ng vi x > 0 (1)


1
0,4.
20
tk
(vi k = 0, 1, 2, 3, 4, ); ng vi x < 0 (2)


25
Vt bt đu chuyn đng t v trí biên âm nên ln th 1 và ln th 2 vn tc ca vt bng
25 2.

(cm/s)  các thi đim tng ng là :

1
1
( ) 0,05( )
20
t s s
( theo h thc (2), ng k = 0 ).

2
3
( ) 0,15( )

20
t s s
( theo h thc (1), ng k = 0 ).
- Vt chuyn đng theo chiu âm, thi đim ca vt đc xác đnh nh sau :
2
50. . (5 ) 25 2. (5 )
2 2 2
v cos t cos t

   
       



3
5 .2
24
3
5 .2
24
tk
tk




  
   
(
kZ

)


1
0,4.
4
tk
(vi k = 0, 1, 2, 3, 4, ; t > 0 ); ng vi x > 0 (3)


1
0,4.
20
tk  
(vi k = 1, 2, 3, 4, ; t > 0 ); ng vi x < 0 (4)
Vy vt bt đu chuyn đng t v trí biên âm nên ln th 3 vn tc ca vt bng
25 2.

(cm/s)  thi đim tng ng là :

3
1
( ) 0,25( )
4
t s s
( theo h thc (3), ng k = 0 ).
Bài 7: Mt vt dao đng điu hoà vi tn s 5 Hz. Thi gian ngn nht đ vt đi t v trí có li
đ x
1
= - 0,5A đn v trí có li đ x

2
= + 0,5A
S: 1/30 s
Bài 8: Mt con lc có biên đ dao đng 4 cm và chu k bng 0,1s. Vit phng trình dao
đng ca con lc đó bit ti thi đim ban đu vt  v trí cân bng và đang chuyn đng
theo chiu (+). Tính khong thi gian ngn nht đ nó dao đng t li đ x
1
= 2 cm đn li đ x
2
= 4 cm.
S:
4 (20 )
2
x cos t



; t =
1
60
s

Bài 9: Xét mt vt dao đng điu hoà theo phng trình:
10 (2 )
2
x cos t




a) Hãy tính thi gian ngn nht mà vt đi t v trí cân bng đn li đ
5x
.
b) T đó so sánh thi gian vt đi t v trí v trí cân bng dn li đ
5x
vi thi gian vt đi t
li đ
5x
đn biên đ A
S: a) t
1
=
1/12( )s
; b) t
1
< t
2
=
1/6( )s

Bài 10: Mt con lc lò xo thng đng gm vt nng khi lng m = 100 g và mt lò xo nh
có đ cng k = 100 N/m. Kéo vt xung di theo phng thng đng đn v trí lò xo giãn 5
cm ri truyn cho nó mt vn tc 40

cm/s theo phng thng đng t di lên. Coi vt dao
đng điu hoà theo phng thng đng
a) Tính đ bin dng ban đu ca lò xo
b) Vit phng trình dao đng ca vt. Chn gc thi gian là lúc bt đu kích thích, chiu
dng hng xung di
c) Tính thi gian ngn nht đ vt chuyn đng t v trí thp nht đn v trí lò xo b nén 3 cm

S: a)
1l cm
; b)
4 2 (10 )
4
x cos



; c)
3
40
ts