ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 MÔN TOÁN NĂM HỌC 20122013

UBND HUYỆN NGỌC HỒI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán
Khóa thi ngày: 24/01/2013
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI:
(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1: (2 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức: A =
2 2 4 2 2 4x x x x+ − + − −
với x
≥
2
b/ Tính giá trị biểu thức D =
1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 24 25
− + − −
− − − −
Bài 2: (2 điểm) Cho hệ phương trình:
1 m
2
x 1 y 2
2 3m
1
y 2 x 1

+ =


− −



− =

− −

a/ Giải hệ phương trình với m = 1
b/ Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.
Bài 3: (2 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức M =
( ) ( )
3 5. 10 2 3 5− − +

b/ Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức C =
2
3
2
x
x
−
−
là số nguyên
Bài 4: (2 điểm)
Cho ABC, biết phân giác trong AD, đường cao CH và trung tuyến BM đồng quy tại điểm I.
Chứng minh rằng: AB.cosA = BC.cosB
Bài 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC vuông góc ở A, đường cao AH.Vẽ đường tròn (I) đường kính BH cắt
AB tại D. Vẽ đường tròn (K) đường kính CH cắt AC tại E. Chứng minh rằng:

a/ AD.AB = AE.AC.
b/ DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
c/ Diện tích tứ giác DEKI bằng nửa diện tích tam giác ABC.
Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC
UBND HUYỆN NGỌC HỒI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC KỲ THI
CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN
BÀI ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM
1
a/ A =
2 2 4 2 2 4x x x x+ − + − −
với x
≥
2
=
2 2 2 4 2 2 2 2 4 2x x x x− + − + + − − − +
=
2 2
( 2 2) ( 2 2)x x− + + − −
=
2 2 2 2x x− + + − −
+) 2
≤
x < 4: B = 2
2
+) x

≥
4: B = 2
2x −
0.25
0.25
0.5
1.0
b/ B =
1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 24 25
− + − −
− − − −
.
= -
1 2−
+
2 3+
-
3 4−
+ +
24 25+
= -1 + 5 = 4
0.5
0.5
1.0
2
a/ Điều kiện:
x 1
y 2

≠


≠

Đặt:
1
u
x 1
1
v
y 2

=

−



=
 −

Điều kiện
u 0
v 0
≠


≠


0,25
1.0
Ta có hệ phương trình:
u mv 2(1)
2v 3mu 1(2)
+ =


− =

0,25
Với m = 1 ta có
1 3
3 8
u x
u v 2
x 1 5
5 3
1 7
2v 3u 1 7 19
v y
y 2 5
5 7

 
=
= =

 
+ =


−
  
⇔ ⇒ ⇔
   
− =

  
=
= =
 

−
 

0,25
Vậy với m = 1, hệ phương trình có nghiệm là
8
x
3
19
y
7

=




=



0,25
b/ Từ (1)
u 2 mv⇒ = −
. Thế vào (2) ta có:

2
2
2
2 2
2v 6m 3m v 1
(3m 2)v 1 6m
1 6m
v , m R
3m 2
1 6m 4 m
u 2 m( )
3m 2 3m 2
− + =
⇔ + = +
+
⇔ = ∀ ∈
+
+ −
⇒ = − =
+ +
0,5
1.0
Để hệ có nghiệm thì

m 4
u 0 4 m 0
1
v 0 1 6m 0
m
6
≠

≠ − ≠
 

⇔ ⇔
−
  
≠ + ≠
≠
 


0,25
Vậy với
m 4
1
m
6
≠


−


≠


thì hệ phương trình có nghiệm
0,25
3
a/ Rút gọn biểu thức M =
( ) ( )
3 5. 10 2 3 5− − +
M =
( )
(
)
2
3 5. 10 2 3 5− − +

M =
( ) ( ) ( )
3 5 3 5 . 10 2 3 5− + − +
M =
(
)
2. 5 6 2 5 6 2 5+ − +
M =
( ) ( )
2. 5 5 1 5 1
 
+ − +
 

M =
( )
2. 5 5 5 1+ − −
M = 2. 4 = 8
0,25
0,25
0,25
0,25
1.0
b/ Điều kiện để biểu thức C có nghĩa: x – 2
≠
0
⇔
x
≠
2
Ta có: C =
2
3
2
x
x
−
−
=
2
4 1 ( 2)( 2) 1 1
2
2 2 2
x x x

x
x x x
− + + − +
= = + +
− − −
Biểu thức C có giá trị nguyên khi x – 2 là ước của 1
Khi đó: x – 2 = 1
⇔
x = 3 (thoả ĐK)
hoặc x – 2 = -1
⇔
x = 1 (thoả ĐK)
Vậy x = 3; x = 1
0.5
0.25
0.25
1.0
4
I
M
B
C
A
D
H
N
Vẽ MN
⊥
CH. Vì MN // AH và M là trung điểm của AC
nên MN =

1
2
AH.
Ta có: BHI ~ MNI
⇒

BH BI
MN MI
=
AD là phân giác ta có:
BI AB
IM AM
=
⇒
BH AB
MN AM
=

⇒

BH
AH
=
AB
AC
hay
BH AH
AB AC
=

⇒
BH = AB.
AH
AC
= AB.cosA
Mặt khác BH = BC.cosB.
Vậy, AB.cosA = BC.cosB.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
2.0
5 Vẽ hình
a/ Nối HD, HE thì:
Góc BDH = 90
0
; góc CEH = 90
0
Áp dụng hệ thức b
2
= ab’ ta được;
AD.AB = AE.AC (= AH
2
)
0,25
0,25

0.5
Tứ giác AEHD là hình chữ nhật.
Góc IDE =
ˆ
D
1
+
ˆ
D
2
=
ˆ
H
1
+
ˆ
H
2
= 90
0
Suy ra ID
⊥
DE nên DE là tiếp tuyến của đường tròn (I).
0,25
0.5
Tương tự, DE là tiếp tuyến của đường tròn (K). 0,25
DEKI là hình thang vuông.
S
DEKI
( )

2
DI EK DE+
=


( )
2
IH HK AH+
=

1 .
.
2 2
BC AH
=

1
2
S=
ABC
0,25
0.25
0,25
0.25
1.0
Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa phần đó