Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ cho học sinh khá giỏi lớp 12 trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC



NGUYỄN VĂN THI



RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÔ TỶ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 12
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG



LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN




HÀ NỘI - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC



NGUYỄN VĂN THI

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÔ TỶ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 12
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Anh Vinh




HÀ NỘI – 2014
i


Lời cảm ơn
Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài luận văn của em
được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS.TS. Lê Anh Vinh.
Trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và
Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán, trường Đại học Giáo Dục, Đại học
Quốc Gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện cho em trong
suốt thời gian của khóa học.
Trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Bất Bạt
đã tạo điều kiện, giúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa học với luận văn này.
Em xin trân trọng gửi tới các thầy cô giáo lời biết ơn chân thành và sâu
sắc nhất.

Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên em thêm
nghị lực hoàn thành Luận văn này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn này chắc chắn không
tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy cô giáo và bạn đọc.


Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả luận văn


Nguyễn Văn Thi






ii



MỤC LỤC
Trang

Lời cảm ơn


Mục lục

Danh mục các bảng


MỞ ĐẦU


Chương1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

5
1.1. Kỹ năng

5
1.1.1. Khái niệm kỹ năng

5
1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng

6
1.1.3. Sự hình thành kỹ năng

6
1.2. Rèn luyện kỹ năng giải toán

7
1.2.1. Khái niệm

7
1.2.2. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

7
1.2.3. Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

8
1.2.4. Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán

9
1.3. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ

9
1.3.1. Rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán phương trình vô tỷ

9
1.3.2. Phương pháp tìm lời giải các bài toán phương trình vô tỷ

10
1.3.3. Cách thức dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán

14
1.3.4.Yêu cầu đối với lời giải bài toán phương trình vô tỷ

14
1.3.5. Các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi giải toán phương trình
vô tỷ


16
1.3.6. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng giải phương trình vô tỷ

20

1.4. Kết luận Chương 1

21
Chương 2: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO
HỌC SINH KHÁ GIỎI THÔNG QUA DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ



22
2.1. Biện pháp 1: Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải phương
trình vô tỷ


22
2.1.1. Rèn luyện kỹ năng biến đổi tương đương

22
iii

2.1.2. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua đặt ẩn phụ

24
2.1.3. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua lượng giác

26
2.1.4. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua tính chất của
vectơ

29
2.1.5. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá giá trị
các biểu thức thành phần


30
2.1.6. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến
thiên của hàm số


33
2.2. Biện pháp 2: Hình thành khả năng phát hiện sự tương ứng để từ
đó rèn luyện kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán


35
2.2.1. Chỉ rõ cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc tìm điều kiện
cho ẩn phụ


38
2.2.2. Khắc sâu mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ

42
2.2.3. Rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách
phát biểu bài toán


47
2.3. Biện pháp 3: Trang bị kiến thức về các phép biến đổi phương

trình cho học sinh, giúp học sinh ý thức được diễn biến của tập
nghiệm trong quá trình biến đổi



50
2.3.1. Giúp học sinh hiểu và sử dụng đúng các phép biến đổi cơ bản
thường dùng trong dạy học phương trình


50
2.3.2. Hình thành kĩ năng biến đổi phương trình

54
2.3.3. Giúp học sinh ý thức được diễn biến của tập hợp nghiệm khi biến đổi
phương trình


57
2.4. Biện pháp 4: Khắc phục những sai lầm của học sinh trong quá
trình giải phương trình vô tỷ


60
2.4.1. Biện pháp 1: Trang bị đầy đủ chính xác các kiến thức về bộ môn Toán

61
2.4.2. Học sinh được thử thách thường xuyên với những bài toán dễ
dẫn đến sai lầm trong lời giải

62
2.4.3. Theo dõi một sai lầm của học sinh khi giải toán qua các giai đoạn

63
2.5. Biện pháp 5: Hình thành khả năng phân tích, định hướng phương
pháp giải


71
iv

2.6. Kết luận chương 2

79
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

80
3.1. Mục đích, nhiệm vụ thực nghiệm

80
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm

80
3.2.1. Lớp thực nghiệm

80
3.2.2. Tiến trình thực nghiệm

80

3.2.2. Giáo án thực nghiệm

80
3.2.3. Đề kiểm tra

90
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm

90
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm

92
KẾT LUẬN

93
TÀI LIỆU THAM KHẢO

94

1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói
riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện nay. Một
trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và
phương pháp dạy học. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được chỉ rõ
trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà nước và ngành Giáo dục nước ta.
Có thể dẫn ra một vài văn bản đã được ban hành trong những năm qua như sau:
- Luật Giáo dục (1998) quy định: “…Phương pháp giáo dục phổ thông

phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp
với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…”.
- Dự thảo chương trình (1989) môn Toán nêu rõ: “ Góp phần phát triển năng lực
trí tuệ, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian, tư duy biện chứng, tư duy
hàm…; đồng thời rèn luyện các phẩm chất của tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo…”.
- Còn theo chương II điều 28 Luật Giáo dục 2006 thì: " Phương pháp giáo dục
phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù
hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả
năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác
động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh".
Trong quá trình dạy học ở trường Trung học phổ thông tôi nhận thấy việc rèn
luyện kỹ năng giải toán, mục tiêu giáo dục học sinh của những người làm công tác
giáo dục là hết sức quan trọng. Điều đó được nêu cụ thể trong Luật giáo dục,
chương I, điều 2: "Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con người Việt Nam
phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung
thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng
nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng nhu cầu xây dựng và bảo
vệ Tổ quốc". Cụ thể hóa điều này, mục tiêu dạy học của môn Toán là:
2

- Trang bị kiến thức cơ bản, cần thiết nhất cho học sinh;
- Rèn luyện kỹ năng giải toán để phát triển tư duy cho học sinh;
- Rèn luyện kỹ năng ứng dụng khoa học nói chung và toán học nói riêng
vào thực tiễn cuộc sống;
- Phát triển và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán học.
Trong chương trình toán Trung học phổ thông, các em học sinh đã được
tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và được tiếp cận với một vài
cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản đơn giản. Tuy nhiên trong
thực tế các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa

dạng và đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng, các em sẽ gặp một lớp
các bài toán về phương trình vô tỷ mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải
nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm chí còn mắc
một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày và cũng có khi không biết bắt
đầu từ đâu,hướng giải quyết như thế nào? Tại sao lại như vậy?
Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung dạy học.
Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kỹ năng thực hiện một loại hoạt động nào đó
nếu không chú ý trang bị kiến thức về lĩnh vực đó một cách vững chắc. Ngược lại,
việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động trong mỗi lĩnh vực có tác dụng củng
cố và mở rộng kiến thức, giúp cho người học tìm thấy những tác dụng to lớn của
kiến thức học được trong việc giải quyết các tình huống trong thực tiễn và trong
khoa học. Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phương
trình vô tỷ một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việc rèn luyện kỹ năng
giải phương trình vô tỷ cho học sinh có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất
lượng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trường THPT.
Dạy Toán là dạy kiến thức, kỹ năng, tư duy và tính cách; trong đó dạy kỹ
năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kỹ năng thì sẽ
không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết
vấn đề. Trong quá trình dạy học, việc rèn luyện cho học sinh có nhiều cách
3

khác nhau như rèn cách trình bày, rèn luyện tính cẩn thận, rèn luyện kỹ năng
phân tích, rèn luyện kỹ năng tổng hợp, kỹ năng đánh giá một bài toán hoặc
một vấn đề khoa học là rất quan trọng.
Có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất lượng dạy
học nội dung Phương trình vô tỷ. Nhiều công trình nghiên cứu về phát triển tư
duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học các chủ đề kiến thức cụ thể. Dựa
trên những kết quả nghiên cứu đó, tôi tập trung xét vấn đề rèn luyện kỹ năng
giải toán phương trình vô tỷ cho học sinh.
Vì vậy, tôi chọn đề tài của luận văn là: “Rèn luyện kỹ năng giải

phương trình vô tỷ cho học sinh khá giỏi lớp 12 trung học phổ thông ".
2. Mục đích nghiên cứu
Đề ra một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khá
giỏi trong dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ nhằm góp phần nâng cao
chất lượng dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống hoá các vấn đề lý luận về kỹ năng và quan điểm rèn luyện kỹ
năng toán học cho học sinh.
Hệ thống hoá các kỹ năng giải toán phương trình vô tỷ cần rèn luyện cho
học sinh khá giỏi.
Đề xuất một số biện pháp tổ chức thực hiện giảng dạy chuyên đề phương trình vô tỷ.
Thiết kế các hoạt động, các ví dụ về nội dung phương trình vô tỷ.
Thực nghiệm sư phạm, kiểm tra tính khả thi và hiệu quả áp dụng.
4. Phạm vi nghiên cứu
Qua quá trình dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ ở trường phổ thông.
5. Mẫu khảo sát
Lớp 12A3 và 12A5 trường THPT Bất Bạt - Ba Vì - Hà Nội.
6. Vấn đề nghiên cứu
Ở trường phổ thông dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ như thế nào
để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khá giỏi.
4

7. Giả thuyết khoa học
Nếu giảng dạy chuyên đề phương trình vô tỷ cho học sinh khá giỏi theo
định hướng rèn luyện kỹ năng giải toán thì có thể nâng cao chất lượng dạy
học chuyên đề này ở trường phổ thông.
8. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các vấn đề về Tâm lý học, Giáo dục học, Lý
luận dạy học, Toán học, Triết học, Thống kê trong giáo dục có liên quan đến đề tài.
Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra

Thực nghiệm sư phạm.
9. Dự kiến luận cứ
9.1. Luận cứ lý thuyết
Đưa ra những cơ sở lý luận về rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
9.2. Luận cứ thực tế
Thực trạng việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh về chuyên đề
phương trình vô tỷ.
Kết quả phân tích một số tiêu chí sau thực nghiệm sư phạm.
10. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham
khảo, nội dung chính của luận văn gồm có 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Biện pháp rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ cho học
sinh khá giỏi thông qua dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm





5

CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng
1.1.1. Khái niệm kỹ năng
Trong thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức hay thực
hành nhất định cho con người. Để giải quyết được công việc con người vận dụng
vốn hiểu biết, kinh nghiệm của mình nhằm tách ra những mặt của hiện thực là
bản chất đối với nhiệm vụ và thực hiện những biến đổi có thể dẫn tới chỗ giải

quyết được nhiệm vụ. Với quá trình đó con người dần hình thành cho mình cách
thức (kỹ năng) để giải quyết các vấn đề đặt ra. Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm
lý học sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách
thức, phương pháp…) để giải quyết một nhiệm vụ mới” [23, tr.131].
Còn Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các
dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát
hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những
nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”[17, tr.149].
Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những
kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[27, tr. 426].
Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm
vụ mới. Trong thực tế dạy học, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng
kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp ) vào giải quyết các bài tập cụ
thể. Học sinh thường khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra
khỏi đối tượng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn
có giữa kiến thức và đối tượng. Sở dĩ như vậy là do kiến thức không chắc
chắn, khái niệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ sở của kỹ năng.
Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc
tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định.
Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trước hành
6

động, để hành động biến đổi đối tượng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt ra
thu được thông tin mới). Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức
(hình thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát
hiện, nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và
những quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho.
1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng
Bất kỳ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức,
bởi vì cấu trúc của kỹ năng gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết

quả - hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó.
Kiến thức là cơ sở của các kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc
tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức
với tư cách của hành động. Cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần thấy rõ tầm quan
trọng của kỹ năng. Vì vậy, cần hướng mạnh vào việc vận dụng những tri thức và rèn
luyện kỹ năng, vì kỹ năng chỉ có thể được hình thành và phát triển trong lao động.
1.1.3. Sự hình thành kỹ năng
Để hình thành được kỹ năng trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho
việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được
hành động theo đúng mục đích yêu cầu…Kỹ năng chỉ được hình thành thông
qua quá trình tư duy để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra.
Sự hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các
thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đụng trong các bài tập.
Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng (chủ yếu là kỹ năng học tập) cho học sinh cần:
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm
và mối quan hệ giữa chúng;
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài
tập, các đối tượng cùng loại;
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến
thức tương ứng.
7

1.2. Rèn luyện kỹ năng giải toán
1.2.1. Khái niệm
Giải một bài toán tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó chủ
thể giải toán còn phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện hành động theo
các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều
kiện khác nhau. Trong giải toán, theo tôi quan niệm về kỹ năng giải toán của học
sinh như sau: "Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh
nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống

hành động giải toán để đi đến lời giải bài toán một cách khoa học".
1.2.2. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trường phổ thông thì việc truyền
thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn thực hiện
được phải dựa trên mục đích này. Và kiến thức về một mặt nào đó sẽ không được
củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng như vào các ngành khoa học khác,
nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động tương ứng.
Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói riêng
là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều này
đã được nhiều tác giả đề cập như:
“ Suy nghĩ tức là hành động” ( J. Piaget);
“ Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm” ( Kant);
“ Học để hành, học và hành phải đi đôi” ( Hồ Chí Minh).
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành
thạo vào việc giải bài tập.
Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và tính cách cho học sinh. Việc
hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một trong những
yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp học sinh hiểu sâu sắc
kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thời rèn luyện cho học sinh các
8

thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ,
phát triển năng lực giải toán cho học sinh.
Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các
thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài
tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể.
Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đường khác nhau như:
Con đường thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri
thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài toán

liên quan theo mức độ tăng dần;
Con đường thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trưng, từ đó có thể định
hướng một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó;
Con đường thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với
việc vận dụng tri thức;
Việc hình thành và rèn luyện cho học sinh cần được tiến hành trên các
bình diện khác nhau.
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán, thể hiện rõ dưới dạng giải bài tập toán.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác như vật lý, hoá học.
- Kỹ năng vận dụng vào đời sống.
Có thể nói, bài tập toán chính là ''mảnh đất'' để rèn luyện kỹ năng toán.
Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cường hoạt
động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể
hơn thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh cần
quan tâm chú trọng những vấn đề sau: Cần hướng cho học sinh biết cách tìm
tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng.
Nói cách khác, hướng cho học sinh biết cách phân tích đặc điểm bài toán.
1.2.3. Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của
môn Toán. Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực
tiễn mà trước tiên là kỹ năng giải toán nhằm đạt được những yêu cầu cần thiết sau:
9

- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản
xuyên suốt chương trình.
- Giúp học sinh phát triển trí tuệ, cụ thể là:
+ Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán;
+ Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian;
+ Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa…;
+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.

- Coi trọng việc rèn luyện khả năng tính toán trong giờ học, đó là sự phát triển
trí tuệ cho học sinh qua môn Toán gắn bó với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành
- Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ: tính kiên trì, cẩn
thận chính xác, các thói quen tự kiểm tra, đánh giá để tránh sai lầm có thể gặp.
1.2.4. Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán
Hệ thống kỹ năng giải toán cho học sinh có thể chia làm ba cấp độ: Biết
làm, thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể.
Trong giải toán học sinh cần có nhóm kỹ năng sau:
+ Nhóm kỹ năng vận dụng chung;
+ Nhóm kỹ năng thực hành;
+ Nhóm kỹ năng về tư duy.
- Kỹ năng tổ chức các hoạt động nhận thức trong giải toán:
+ Kỹ năng tổng hợp: Liên hệ các dữ kiện trong bài toán, tóm tắt
nội dung bài toán, kết cấu lại đề toán đã định hướng giải;
+ Kỹ năng phân tích;
+ Kỹ năng mô hình hóa;
+ Kỹ năng sử dụng thông tin.
1.3. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình vô tỷ
1.3.1. Rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán phương trình vô tỷ
Đây là khâu rất quan trọng có tính chất quyết định trong việc rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh. Vì vậy, trong quá trình dạy học giải bài tập phương
10

trình vô tỷ, giáo viên cần tổ chức cho học sinh tập luyện khâu này thật kỹ lưỡng,
làm cho họ ý thức được vai trò đặc biệt quan trọng của khâu này, thể hiện ở chỗ:
- Khi giải bài tập toán, dù có kỹ thuật cao, có thành thạo trong thực hiện các
thao tác, các phép tính hay các phép biến đổi nhưng khi chưa có phương hướng
giải hoặc chưa có phương hướng giải tốt thì chưa thể có lời giải hoặc lời giải tốt.
- Khi đã có phương hướng giải thì việc thực hiện các thao tác khi trình
bày lời giải có tính chất kỹ thuật, không thể có những sáng tạo, những phân

tích quan trọng lớn như khi tìm phương hướng giải.
- Mặt khác, ý thức được tầm quan trọng của khâu rèn luỵên phương pháp tìm
lời giải của bài toán chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc
độc lập sáng tạo, một khả năng không thể thiếu được đối với người giải toán.
Như vậy, từ hai vấn đề đã nêu trên, ta có thể khẳng định: Trong quá trình
rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thì khâu giải bài toán tuy rất quan
trọng nhưng quyết định vẫn là khâu tìm lời giải của các bài toán.
1.3.2. Phương pháp tìm lời giải các bài toán phương trình vô tỷ
Chúng ta không thể có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán phương
trình vô tỷ. Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có
trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý
cách suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết.
Sau đây ta có thể nêu phương pháp chung để tìm lời giải các bài toán
phương trình vô tỷ:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài.
Với một bài toán công việc của người giải toán cần đặt ra là tìm hiểu nội
dung bài toán: phân biệt cái đã cho bao gồm các giả thiết, các điều kiện cho
trong bài toán để từ đó xác định được dạng bài toán, tìm được phương hướng
giải bài toán và lựa chọn công cụ thích hợp.
Bước 1 là một yêu cầu quan trọng và quyết định trong việc tìm lời giải bài
toán. Năng lực của người giải toán thể hiện rõ ở bước này. Nhiều người khi giải
11

toán, không tìm hiểu kỹ nội dung đề ra, không phân tích các giả thiết hay tìm ra mối
liên hệ quan trọng trong bài toán mà cứ ghi chép, nháp lia lịa, mặc dù chưa biết
mình giải quyết cái gì. Đó là cách tìm lời giải máy móc và không hiệu quả. Có thể
nói bước này là thước đo năng lực của người giải toán, vì rằng không thể đánh giá
kỹ năng giải toán tốt mà chỉ thể hiện ở khâu tiếp thu và vận dụng tốt.
Bước 2: Tìm cách giải
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:

Dựa vào việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài toán hay liên hệ
các giả thiết, các điều kiện đã cho với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán
cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán
tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan.
Bước này nhằm rèn luyện những kỹ năng đi sâu vào mỗi bài toán:
Việc phân tích các giả thiết, các điều kiện bài toán và cả kết quả của nó
giúp cho người giải toán hiểu rõ quá trình xảy ra có tính quy luật của mọi bài
toán. Nghĩa là, người giải toán sẽ biết được với các giả thiết, các điều kiện đã
cho như vậy thì tất yếu kết quả phải diễn ra như thế nào?
Làm tốt bước này người giải toán có đủ lòng tin vào đường lối mình đã
tiến hành và hy vọng ở tính đúng đắn của mọi thao tác, biến đổi. Ngoài ra, nó
còn giúp ích nhiều cho người giải toán trong việc tìm kiếm các bài toán liên
quan, sáng tạo ra các bài toán mới.
Bước 3: Trình bày cách giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự nhất định và thực hiện các bước đó.
Bước này nhằm rèn luyện cho người giải toán khả năng trình bày một lời
giải chính xác, chặt chẽ, lôgic và thẩm mỹ.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải, nghiên cứu giải
những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề, từ đó sáng tạo ra bài
12

toán mới. Để làm tốt việc này trước hết người giải toán phải phân tích kỹ để
nắm được đặc điểm và bản chất của bài toán, các yếu tố tạo nên bài toán đó.
Như thế mới có thể thấy được mối liên hệ giữa các bài toán trong cùng một
loại bài toán và giữa các loại bài toán khác nhau.
Ví dụ1.1: Giải phương trình
2 2
5x 14x 9 x x 20 5 x 1      

(1.1).
Điều kiện: x  5.
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài
Phương trình có vẻ khá phức tạp, nếu bình phương hai vế của phương trình
(1.1) thì sẽ thu được một phương trình phức tạp và không có hướng giải tiếp.
Tuy nhiên có thể biến đổi phương trình về dạng tương đương:

2 2
5x 14x 9 x x 20 5 x 1      
.
Do hai vế không âm, bằng cách bình phương hai vế, rút gọn ta thu được:
2x
2
- 5x + 2 =
 
 
2
x x 20 x 1  
. (1.1.2)
Nếu bình phương hai vế lần nữa ta thu được phương trình mới tương đương
nhưng có bậc 4 nên việc giải chắc chắn khó khăn.
Bước 2: Tìm cách giải
Việc giải bài toán sẽ dễ dàng hơn nếu ta xác định được mối liên hệ giữa các
biểu thức có mặt trong hai vế của phương trình (1.1.2).
Ta có: x
2
- x - 20 = (x + 4) (x -5).
(x
2
- x - 20)(x+ 1) = (x + 4) (x -5) (x + 1)

= (x + 4) (x
2
-4x - 5).
và 2x
2
- 5x + 2 = 2(x
2
- 4x - 5) + 3 (x+4).
Việc phát hiện ra được mối liên hệ đó cho phép ta thu được phương trình:
2(x
2
- 4x - 5) + 3 (x+4) =
2
5 x 4x 5 x 4  
.
Để giải phương trình này, ta có thể chuyển về phương trình bậc hai hay
phương trình thuần nhất.
Bước 3: Trình bày cách giải
13

Ta có phương trình (1.1) 
2 2
5x 14x 9 x x 20 5 x 1      
.
Do hai vế không âm, bình phương hai vế ta thu được:
Phương trình (1.1)  2x
2
- 5x + 2 = 5
 
 

2
x x 20 x 1  
;
 2x
2
- 5x + 2 =
   
5 x 4 x 5 x 1  
;
 2x
2
- 5x + 2 =
 
 
2
5 x 4 x 4x 5  
;
 2(x
2
- 4x - 5) + 3 (x+4) =
2
5 x 4x 5 x 4  
.
(Chú ý 2x
2
- 5x + 2 > 0,  x  5).
Do x  5 nên x + 4 > 0, chia hai vế cho (x + 4) ta được:
2.
2 2
x 4x 5 x 4x 5

3 5
x 4 x 4
   
 
 
.
Đặt t =
2
x 4x 5
x 4
 

 0, ta được:
2t
2
- 5t + 3 = 0, t  0  t = 1 hoặc t =
3
2
.
Với t = 1 
2
x 4x 5
x 4
 

=1. 
2
x 4x 5
x 4
 


= 1;
 x
2
- 4x - 5 = x +4  x
2
- 5x - 9 = 0  x =
5 61
2

.
Đối chiếu điều kiện x 5, chỉ có x =
5 61
2

thoả mãn.
Với t =
3
2

2
x 4x 5
x 4
 

=
3
2

2

x 4x 5
x 4
 

=
9
4
.
 4x
2
- 25x - 56 = 0  x = 8 hoặc x= -
7
4
.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 8 và x =
5 61
2

.
14

Bước 4: Nghiên cứu sau lời giải.
Từ ví dụ này ta có thể đưa ra một phương pháp chung để giải những phương trình
tương tự: Chuyển vế, luỹ thừa hai vế và phân tích theo các biểu thức trong dấu căn.
1.3.3. Cách thức dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán
Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được và vận dụng
được phương pháp tìm lời giải bài toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà
họ gặp trong chương trình. Học phương pháp tìm lời giải không phải là học
một thuật giải mà học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi,
phát hiện. Theo [19], tác giả Nguyễn Bá Kim, cách thức dạy học phương pháp

để tìm lời giải bài toán như sau:
- Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học sinh
nắm được phương pháp tìm lời giải các bài toán và có ý thức vận dụng 4 bước
của phương pháp này trong quá trình giải toán.
- Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho học sinh
những câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng những
câu hỏi này như những phương tiện kích thích, tìm tòi, dự đoán, phát hiện để
thực hiện từng bước của phương pháp tìm lời giải bài toán.
Như vậy, quá trình học sinh học phương pháp tìm lời giải bài toán là một
quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải
toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể.
Từ phương pháp tìm lời giải bài toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể
còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh,
trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo.
1.3.4.Yêu cầu đối với lời giải bài toán phương trình vô tỷ
Đây là vấn đề quan trọng trong quá trình rèn luyện kỹ năng giải toán. Vì
rằng, từ chỗ tìm ra được phương hướng giải bài toán đến việc giải hoàn chỉnh
bài toán là cả một quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: Từ việc nắm vững
các kiến thức cơ bản về nội dung lý thuyết và các phương pháp thực hành đến
15

việc luyện tập thành thạo các quy trình và thao tác có tính chất kỹ thuật. Nói
một cách ngắn gọn lời giải phải đúng và tốt. Điều này đòi hỏi người giải toán
phải học tập nghiêm túc, chăm chỉ và hiệu quả.
Để phát huy tác dụng của việc giải bài toán trước hết cần nắm vững các
yêu cầu của lời giải. Theo [19], tác giả Nguyễn Bá Kim, để thuận tiện cho
việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá
học sinh, có thể cụ thể hoá các yêu cầu sau:
1.3.4.1. Lời giải không mắc phải những sai lầm
Lời giải không mắc phải những sai lầm về kiến thức toán học, phương

pháp suy luận, kỹ năng tính toán. Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng,
một biểu thức một hàm số thoả mãn yêu cầu bài ra
Yêu cầu này cũng đảm bảo lời giải phải đầy đủ, không được thiếu một trường
hợp nào, một chi tiết nào. Đặc biệt giải phương trình không được thiếu nghiệm.
Ngôn ngữ dùng phải chính xác.
Lập luận phải chặt chẽ.
+ Luận đề phải nhất quán: Luận đề là một yêu cầu hoặc một điều phải
chứng minh. Luận đề phải nhất quán nghĩa là không được đánh tráo đề bài,
đánh tráo điều phải chứng minh.
+ Luận cứ phải đúng: Luận cứ là những tiên đề, định nghĩa định lý đã
biết .Trong quá trình giải bài tập phải sử dụng những tiên đề, định nghĩa định
lý đã biết một cách chính xác, đầy đủ các điều kiện.
+ Luận chứng phải hợp lôgic: Luận chứng là phép suy luận được sử dụng
trong chứng minh, luận chứng phải hợp lôgic nghĩa là phép suy luận phải hợp lôgic.
1.3.4.2. Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất
Được làm việc với các bài toán có nhiều lời giải khác nhau, học sinh sẽ vận
dụng được nhiều kiến thức khác nhau để di đến cùng một đích, chính quá trình tìm
được lời giải dẫn đến học sinh biết cách so sánh các lời giải với nhau tìm ra lời
giải hay nhất, ngắn nhất, dễ hiểu nhất và dùng kiến thức đơn giản nhất.
16

Tìm được những lời giải khác nhau cho một phương trình là rất tốt.
Xong vấn đề chỉ có thể thực hiện được có hiệu quả khi học sinh đã giải đúng
được bài toán theo một phương pháp nhất định. Đứng trước một phương trình
đầu tiên cần lo giải được nó rồi mới giải theo một cách khác.
1.3.4.3. Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề
Bài toán khái quát hoá là từ một bài toán ban đầu ta xây dựng bài toán
mới nhờ bỏ bớt đi một số yếu tố của bài toán cũ, hoặc bỏ đi một số điều kiện
ràng buộc, hoặc một số đòi hỏi của kết luận, thay hằng bởi biến. Khi đó ta có
bài toán mở rộng hoặc tăng thêm độ phức tạp của bài toán cũ.

1.3.4.4. Một yêu cầu quan trọng về hình thức là trình bày lời giải rõ ràng đảm bảo mĩ thuật
Quá trình phân tích trên chứng tỏ tính chất quan trọng trong việc rèn
luỵện giải bài toán (khi đã có đường lối giải). Nhưng dù sao vẫn phải xem
việc rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán là khâu có tính chất quyết
định trong toàn bộ công việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
1.3.5. Các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi giải toán phương trình vô tỷ
Có nhiều kiểu phân chia kỹ năng phù hợp với từng “mảng” kiến thức,
từng nội dung môn học. Nhưng tựu trung lại cần rèn cho học sinh các kỹ năng
cơ bản như: kỹ năng nhắc lại, kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt động chân tay,
kỹ năng xử sự (theo cách phân loại của De Ketele). Đây là những kỹ năng
không chỉ được rèn luyện khi giải toán phương trình vô tỷ mà còn được rèn
luyện trong suốt chương trình phổ thông, ở tất cả các nội dung và tất cả các
môn học. Tất nhiên sự phân chia này chỉ có tính chất tương đối, khi dạy học
ta thường rèn luyện kỹ năng ở dạng “phức hợp’ tức là trên một nội dung kiến
thức cụ thể, ta không chỉ rèn một loại kỹ năng cơ bản đơn lẻ, vì một kỹ năng
có thể là hỗn hợp của nhiều loại kỹ năng cơ bản. Chẳng hạn kỹ năng vẽ đồ thị
bao gồm cả kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt động chân tay và kỹ năng xử sự.
Vì để vẽ được đồ thị người ta không những cần phải biết vẽ như thế nào (kỹ
năng nhận thức) mà còn phải biết những động tác để vẽ được đồ thị (kỹ năng
17

hoạt động chân tay) và cần vẽ đồ thị chính xác, đẹp (kỹ năng xử sự). Đối với
chủ đề phương trình vô tỷ ta cần rèn luyện cho học sinh những kỹ năng thuộc
về nhóm kỹ năng nhận thức và vận dụng. Có thể kể ra một số kỹ năng sau:
- Kỹ năng tính toán: Trước hết cần phải nói rằng học toán gắn liền với tính
toán, tính chính xác nhanh và ngắn gọn là những yêu cầu cơ bản, đầu tiên để
học tốt môn Toán. Đồng thời kỹ năng này có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong
thực tế của đời sống, trong sản xuất kinh doanh, trong kỹ thuật. Khi giải toán
phương trình tính toán có tính số và tính biểu thức, dặc biệt đối với các bài toán
phương trình chứa tham số mức độ yêu cầu cao, vừa khó vừa trừu tượng, tầng

lớp nhiều, chỉ cần tính toán sai một bước sẽ dẫn đến tất cả đều sai. Do đó cần
rèn luyện cho học sinh khả năng tính toán ở nhiều mức độ khác nhau.
Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh khi giải phương
trình cần chú trọng rèn luyện kỹ năng này trong tất cả các nội dung kiến thức
khác. Cần rèn luyện các đức tính như cẩn thận, chu đáo, kiên trì, nhanh trí nhằm
tiến tới thói quen tính toán chính xác, đồng thời một đề ra có thể có nhiều cách
giải từ các khía cạnh khác nhau, cần khai thác triệt để làm như vậy học sinh có
cơ hội tính toán linh hoạt đa dạng. Từ đó tìm ra cách giải ngắn và hay nhất.
- Kỹ năng thực hiện các phép biến đổi, đặc biệt là các phép biến đổi đồng
nhất, các phép biến đổi tương đương.
- Kỹ năng vận dụng các phương trình mẫu.
Thứ nhất: đây là những kiến thức cơ bản, yêu cầu học sinh cần nắm được.
Thứ hai: đây là nền tảng, là bài toán gốc để giải bài toán ở mức độ cao hơn.
(Quá trình giải phương trình phần lớn “biến đổi” đưa về các phương trình
dạng đơn giản, cơ bản đã có sẵn cách giải).
- Kỹ năng sử dụng đồ thị: Học sinh không khỏi thắc mắc giải toán
phương trình sao cần đến kỹ năng sử dụng đồ thị, họ cho rằng kỹ năng này chỉ
cần khi học nội dung “hàm số”. Thực ra nhiều bài toán phương trình, bất
phương trình giải bằng phương pháp đồ thị, nhất là các bài toán xác định số
18

nghiệm hay biện luận số nghiệm giải bằng phương pháp này dễ nhận ra kết
quả, nhanh chóng, trực quan.
Ví dụ 1.2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
  
2
4+ x 6- x = x -2x + m
.
Điều kiện :
4 x 6  

.
Đặt
  
y = 4+ x 6- x
thì ta có
y 0
và
 
2
2
x -1 + y 25
. Vậy đồ thị của
hàm số
  
4+ x 6- x
y 
là nửa đường tròn (phần nằm trên trục hoành) tâm
tại điểm 0
1
(1 ; 0) và bán kính 5. Còn
2
x -2x + m
y 
là Parabal luôn có cực
tiểu nằm trên đường x = 1.
Để phương trình có 1 nghiệm duy nhất thì y
đỉnh của Parabal ở trên đường thẳng: x = 1,
phải nằm trùng điểm M(1 ; 5).
5
4a


  

m 1 5  

m 6 
. 5 M(1;5)
Phương pháp sử dụng đồ thị hàm số

đặc biệt phát huy tác dụng khi biện luận O
về số nghiệm của phương trình. Mặc dù -4 0 1 6 x
phương pháp này không chỉ ra được chính xác nghiệm của phương trình
nhưng số nghiệm của phương trình được nhận ra khá dễ dàng và trực quan.
- Kỹ năng suy luận: Kỹ năng này không chỉ cần khi giải toán phương
trình mà có thể nói đây là kỹ năng chung cần để giải bài tập toán.
Kỹ năng suy luận vừa thể hiện khía cạnh nhận thức vừa thể hiện khía
cạnh xử sự của kỹ năng. Để đưa ra những suy luận học sinh phải dựa vào đặc
điểm, nhận thức dự đoán, phân tích riêng của bản thân để đưa ra nhiều cách
làm khác nhau.
Ví dụ 1.3: Giải phương trình sau
x -1+ 3- x 2
( 1.3).
Bằng suy luận của mình học sinh có thể đưa ra các cách giải sau:
y=x
2
-2x+m
19

Cách 1: Biến đổi tương đương.
Phương trình (1.3)

1 x 3
x -1+3- x + 2 (x -1)(3-x) 4





 



1 x 3
(x -1)(3- x) 1





 


1 x 3
(x -1)(3- x) 1



 



1 x 3
x 2
x 2



 
  

.
Cách 2: Phương trình (1.3) là phương trình vô tỷ nhưng lại có nghiệm duy
nhất, điều đó gợi cho ta có cách giải khác. Ta có thể thử đi chứng minh vế trái
của phương trình nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta có:
   
 
2
2 2
x -1+ 3-x 1 1 x -1+3-x
 

 
2
x -1+ 3- x 4 

x -1+ 3-x 2 
.
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
x -1 3- x


x 2 
.
Cách 3: Quan sát, phân tích đề bài ta thấy
   
2 2
x -1 3- x 2 
.
Vậy ta có thể làm như sau: Đặt
u = x -1
và
v = 3- x
;
Ta có hệ phương trình
2 2
u + v = 2
u + v = 2
u 0;v 0





 

u =1
x = 2
v =1






.
Thông qua bài toán này ta thấy việc nghiên cứu tính chất của các biểu
thức có mặt trong phương trình cần kết hợp với các biểu thức có mặt trong bài
toán từ đó định hướng cách giải.
Các kỹ năng suy luận, chứng minh là những kỹ năng chung, đều cần khi
giải toán nên chúng tôi không đề cập nhiều.
Ngoài ra các kỹ năng vận dụng các phần kiến thức cụ thể vào giải
phương trình vô tỷ như kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên
hàm số, kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá giá trị của các biểu
thức thành phần chúng tôi sẽ trình bày cụ thể ở phần sau.