Mô hình markov ẩn và ứng dụng trong nhận dạng tiếng nói

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
──────── * ───────


NGUYỄN DUY PHƯƠNG


M Ô H ÌNH MARKOV ẨN VÀ ỨNG DỤNG TRONG
NHẬN DẠNG TIẾNG NÓI

Ngành: Công nghệ thông tin
Mã số: 1.01.10


LUẬN VĂN THẠC SỸ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. HỒ THUẦN



Hà Nội - 2007



2

MỤC LỤC
CÁC THUẬT NGỮ VÀ TỪ VIẾT TẮT 5
DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ 6
MỞ ĐẦU 7
CHƢƠNG 1. MÔ HÌNH HMM VÀ ỨNG DỤNG TRONG NHẬN DẠNG
TIẾNG NÓI 13
1 Giới thiệu 13
2 Những khái niệm toán học liên quan tới HMM 14
2.1 Giới thiệu về nhận dạng thống kê 14
2.2 Định lý Bayes 17
3 Mô hình HMM 27
3.1 Tính chất Markov 27
3.2 Xích Markov 28
3.3 Quá trình Markov 31
3.4 Mô hình HMM 32
3.4.1 Các thành phần chính của HMM 33
3.4.2 Ví dụ về mô hình HMM 35
3.5 Hai giả thuyết cơ bản để xây dựng hệ thống nhận dạng dựa trên HMM
36
3.6 Ba vấn đề cơ bản của mô hình HMM và cách giải quyết 38
3.6.1 Giải quyết vấn đề tính toán. Thuật toán tính xuôi và tính ngƣợc 39
3.6.2 Giải quyết vấn đề ƣớc lƣợng tham số cho mô hình HMM. Thuật toán
huấn luyện Baum-Welch 41
3.6.3 Giải quyết vấn đề decoding. Thuật toán Viterbi 42
4 Nhận dạng tiếng nói và nhận dạng âm vị dựa trên HMM 44
4.1 Mô hình Nhận dạng 44
4.2 Các thành phần cơ bản của hệ thống nhận dạng tiếng nói dựa
trên HMM và mối liên hệ giữa chúng. 46

4.3 Ví dụ về nhận dạng từ đơn dựa trên HMM 49



3




5 Mô hình HMM cho âm vị đƣợc sử dụng trong luận văn 53
6 Kết luận chƣơng 1 55
CHƢƠNG 2. TIỀN XỬ LÝ TÍN HIỆU TIẾNG NÓI 56
1 Ý nghĩa 56
2 Một số thao tác tiền xử lý tín hiệu 57
2.1 Làm nổi tín hiệu (pre-emphais) 57
2.2 Lọc tiếng ồn 58
3 Trích rút đặc trƣng 60
3.1 Giới thiệu 60
3.2 Một số phƣơng pháp trích rút đặc trƣng 61
3.2.1 Phƣơng pháp Mã hoá dự báo tuyến tính (LPC) 61
3.2.2 Phƣơng pháp Mã hoá cepstral tần số Mel (MFCC) 63
3.2.3 Phƣơng pháp Mã hoá cepstral tần số Mel dựa trên LPC (MFCC) 68
3.2.4 Các hệ số delta (D) và hệ số gia tốc (A) 69
3.3 So sánh các phƣơng pháp trích đặc trƣng 70
4 Kết luận chƣơng 2 71
CHƢƠNG 3. THUẬT TOÁN HUẤN LUYỆN NHÚNG – XÂY DỰNG MÔ
HÌNH HMM TỰ ĐỘNG CHO ÂM VỊ 72
1 Tách và nhận dạng âm vị tự động dựa trên HMM 72
1.1 Thuật toán huấn luyện đối với những đơn vị độc lập - Huấn
luyện trên dữ liệu gán nhãn 72

1.2 Thuật toán huấn luyện nhúng - huấn luyện trên dữ liệu âm thanh
không gán nhãn âm vị 73
2 Các công thức ƣớc lƣợng tham số của mô hình HMM 76
2.1 Ƣớc lƣợng tham số khi huấn luyện các mô hình HMM độc lập 76
2.2 Ƣớc lƣợng tham số trong thuật toán huấn luyện nhúng 78
3 Các vấn đề về tham số HMM khi sử dụng thuật toán huấn luyện nhúng 81
3.1 Khởi tạo tham số 81
3.2 Ngƣỡng 81
3.3 Số lần lặp trong mỗi bƣớc luyện của thuật toán 81



4




3.4 Dữ liệu huấn luyện 82
4 Kết luận chƣơng 3 82
CHƢƠNG 4. CÀI ĐẶT THUẬT TOÁN – TỪ ĐIỂN TIẾNG NÓI 83
1 Giới thiệu 83
2 Một số giao diện chƣơng trình 84
KẾT LUẬN 87
TÀI LIỆU THAM KHẢO 89




5

CÁC THUẬT NGỮ VÀ TỪ VIẾT TẮT

Thuật ngữ
Từ viết tắt
Ý nghĩa
Artificial Neural Network
ANN
Mạng nơron nhân tạo
Fast Fourier Transform
FFT
Biến đổi Fourier nhanh
Dicrette Cosine
Transform
DCT
Biến đổi cosin rời rạc.
Hidden Markov Model
HMM
Mô hình Markov ẩn
Linear predictive code
LPC
Mã hoá dự báo tuyến tính
Mel-scale Frequency
Cepstral Coefficient
MFCC
Mã hoá cepstral tấn số Mel
Multi Layer Perceptron
MLP

Mạng perceptron truyền thẳng
nhiều lớp
Speech Recognition
SR,ASR
Nhận dạng tiếng nói
Bias

Ngƣỡng kích hoạt
Pattern Recognition

Nhận dạng mẫu
Likelihood

Mức độ giống, độ hợp lý
Similarity

Mức độ tƣơng tự
Feature

Đặc trƣng
Spectral, spectrum

Phổ tín hiệu




6

DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
HÌNH 1 – Mô hình HMM 5 trạng thái 34
HÌNH 2 – Sơ đồ huấn luyện mô hình HMM 44
HÌNH 3 - Sơ đồ nhận dạng từ mô hình HMM đã đƣợc huấn luyện 44
HÌNH 4 – Mô hình nhận dạng theo 3 cấp 46
HÌNH 5 - Vấn đề nhận dạng từ tách rời 50
HÌNH 6 - Tách riêng một phần của mô hình Markov 51
HÌNH 7 - Dùng HMM cho nhận dạng từ tách rời 53
HÌNH 8 – Sóng âm của chữ “hai” trƣớc khi (hình trái) và sau khi (hình phải)
đƣợc làm phẳng 58
HÌNH 9 - Sơ đồ khối của quá trình trích chọn đặc trƣng MFCC 64
HÌNH 10 - Các bộ lọc mel-scale tam giác (triangle mel-scale filters) 66
HÌNH 11 – Sơ đồ của bộ lọc MFCC dựa trên biến đổi dự báo tuyến tính và
các biến đổi Fourier 69
HÌNH 12 – Lƣu đồ huấn luyện từ đơn của công cụ HRest (HTK) 72
HÌNH 13 – Dãy sóng âm “MO6T MO6T HAI HAI BA MO6T” 74
HÌNH 14 – Mô hình huấn luyện nhúng 75




7




MỞ ĐẦU
Ngay khi máy tính ra đời con ngƣời đã mơ ƣớc máy tính có thể nói

chuyện với mình. Yêu cầu đơn giản nhất là máy có thể xác định đƣợc từ ngữ
mà chúng ta nói với máy. Đó là mục tiêu của ngành nhận dạng tiếng nói.
Nhận dạng tiếng nói đóng vai trò quan trọng trong giao tiếp giữa ngƣời
và máy. Nó giúp máy móc hiểu và thực hiện các hiệu lệnh của con ngƣời.
Hiện nay trên thế giới, lĩnh vực nhận dạng tiếng nói đã đạt đƣợc nhiều tiến bộ
vƣợt bậc. Đã có nhiều công trình nghiên cứu về lĩnh vực nhận dạng tiếng nói
(Speech recognition) trên cơ sở lý thuyết các hệ thống thông minh nhân tạo,
nhiều kết quả đã trở thành sản phẩm thƣơng mại nhƣ ViaVoice, Dragon , các
hệ thống bảo mật thông qua nhận dạng tiếng nói, các hệ quay số điện thoại
bằng giọng nói Triển khai những công trình nghiên cứu và đƣa vào thực tế
ứng dụng vấn đề này là một việc làm hết sức có ý nghĩa đặc biệt trong giai
đoạn công nghiệp hoá hiện đại hoá hiện nay của nƣớc nhà.
Nhận dạng tiếng nói là một quá trình nhận dạng mẫu, với mục đích là
phân lớp (classify) thông tin đầu vào là tín hiệu tiếng nói thành một dãy tuần
tự các mẫu đã đƣợc học trƣớc đó và lƣu trữ trong bộ nhớ. Các mẫu là các đơn
vị nhận dạng, chúng có thể là các từ, hoặc các âm vị. Nếu các mẫu này là bất
biến và không thay đổi thì công việc nhận dạng tiếng nói trở nên đơn giản
bằng cách so sánh dữ liệu tiếng nói cần nhận dạng với các mẫu đã đƣợc học
và lƣu trữ trong bộ nhớ. Khó khăn cơ bản của nhận dạng tiếng nói đó là tiếng
nói luôn biến đổi theo thời gian và có sự khác biệt lớn giữa tiếng nói của
những ngƣời nói khác nhau, tốc độ nói, ngữ cảnh và môi trƣờng âm học khác
nhau. Xác định những thông tin biến thiên nào của tiếng nói là có ích và
những thông tin nào là không có ích đối với nhận dạng tiếng nói là rất quan
trọng. Đây là một nhiệm vụ rất khó khăn mà ngay cả với các kỹ thuật xác suất



8

thống kê mạnh cũng khó khăn trong việc tổng quát hoá từ các mẫu tiếng nói
những biến thiên quan trọng cần thiết trong nhận dạng tiếng nói.
Các nghiên cứu về nhận dạng tiếng nói dựa trên ba nguyên tắc cơ bản
[1]:
 Tín hiệu tiếng nói đƣợc biểu diễn chính xác bởi các biên độ phổ trong
một khung thời gian ngắn (short-term amplitude spectrum). Nhờ vậy ta
có thể trích ra các đặc điểm tiếng nói từ những khoảng thời gian ngắn
và dùng các đặc điểm này làm dữ liệu để nhận dạng tiếng nói.
 Nội dung của tiếng nói đƣợc biểu diễn dƣới dạng chữ viết, là một dãy
các ký hiệu ngữ âm. Do đó ý nghĩa của một phát âm đƣợc bảo toàn khi
chúng ta phiên âm phát âm thành dãy các ký hiệu ngữ âm.
 Nhận dạng tiếng nói là một quá trình nhận thức. Thông tin về ngữ
nghĩa (semantics) và suy đoán (pragmatics) có giá trị trong quá trình
nhận dạng tiếng nói, nhất là khi thông tin về âm học là không rõ ràng.
Lĩnh vực nghiên cứu của nhận dạng tiếng nói là khá rộng liên quan đến
nhiều ngành khác nhau, nhƣ xử lý tín hiệu số (digital signal proccessing), vật
lý hay âm học (acoustic), nhận dạng mẫu, lý thuyết thông tin và khoa học máy
tính (information and computer science theory), ngôn ngữ học (linguistics),
sinh lý học (physiology), tâm lý học ứng dụng (applied psychology). Các hệ
thống nhận dạng tiếng nói có thể đƣợc phân chia thành hai loại khác nhau: hệ
thống nhận dạng từ rời rạc và hệ thống nhận dạng từ liên tục. Trong hệ thống
nhận dạng tiếng nói liên tục, ngƣời ta lại phân biệt hệ thống nhận dạng có
kích thƣớc từ điển nhỏ và hệ thống nhận dạng với kích thƣớc từ điển trung
bình hoặc lớn.



9

Ý tƣởng về xây dựng các hệ thống nhận dạng tiếng nói đã có từ những
năm 50 của thế kỷ 20 và đến nay đã đạt đƣợc nhiều kết quả đáng kể. Có 3
hƣớng tiếp cận chính cho nhận dạng tiếng nói [8]:
 Tiếp cận Âm học: Hƣớng tiếp cận này dựa vào các đặc điểm âm học
đƣợc rút ra từ phổ âm thanh. Tuy nhiên kết quả của hƣớng tiếp cận này
còn thấp vì trong thực tế, các đặc trƣng âm học có sự biến động rất lớn.
Hơn nữa phƣơng pháp này đòi hỏi tri thức rất đầy đủ về âm học (Vốn
tri thức âm học hiện nay chƣa thể đáp ứng).
 Tiếp cận Nhận dạng mẫu thống kê: Sử dụng các phƣơng pháp máy học
dựa trên thống kê để học và rút ra mẫu tham khảo từ lƣợng dữ liệu lớn.
Hƣớng này đang đƣợc sử dụng nhiều, chủ yếu là dựa vào Mô
hình Markov ẩn (HMM).
 Tiếp cận Trí tuệ nhân tạo: là hƣớng kết hợp của cả hai hƣớng
trên. Phƣơng pháp này kết hợp đƣợc cả tri thức của chuyên gia
và phƣơng pháp mẫu thống kê. Đây sẽ là hƣớng tiếp cận tƣơng lai
của nhận dạng tiếng nói.
Việc nhận dạng tiếng nói gặp một số khó khăn sau:
 Trong môi trƣờng sinh hoạt hàng ngày, chất lƣợng tiếng nói biến động
rất lớn do chịu ảnh hƣởng của các yếu tố ngoại cảnh, tâm và sinh lý
ngƣời nói: một câu của cùng một ngƣời nói khi thu vào máy sẽ khác
nhau nếu nói ở hai tâm trạng khác nhau (lúc vui nói khác, lúc giận
nói khác,…), sức khoẻ khác nhau (lúc khoẻ nói khác, lúc bệnh nói
khác), tốc độ nói khác nhau (nói chậm thì rõ hơn nói nhanh), môi
trƣờng xung quanh khác nhau (môi trƣờng có tiêng ồn thì âm thu vào
sẽ bị nhiễu), v.v… Và còn nhiều yếu tố khác nữa tác động lên chất

10




lƣợng của lời nói nhƣ thiết bị thu không tốt, tín hiệu bị nhiễu điện,…
Do đó, việc nhận dạng trở nên rất khó khăn.
 Trong nhận dạng tiếng nói theo hƣớng nhận dạng từng âm vị, một khó
khăn chúng ta gặp phải là: các âm vị liền nhau trong chuỗi tiếng nói
không có vách ngăn rõ ràng (2 âm vị sát nhau có một phần giao nhau,
khó xác định đƣợc phần giao nhau thuộc âm vị trƣớc hay âm vị sau).
Ngay cả đối với con ngƣời, tách âm vị từ một âm tiết (xác định vị trí
bắt đầu và vị trí kết thúc của âm vị đó trên sóng âm của âm tiết) cũng
không phải là công việc đơn giản.
Hiện nay, hầu hết các hƣớng tiếp cận để nhận dạng âm vị là nhận dạng
theo học mẫu thống kê. Thông thƣờng để học mẫu ngƣời ta cung cấp cho
chƣơng trình học một nguồn dữ liệu có nhiều mẫu đã đƣợc phân loại thành
nhiều lớp và có gán nhãn (nhãn cho biết mỗi mẫu thuộc lớp nào). Nguồn dữ
liệu này phải đƣợc phân lớp và gán nhãn chính xác hoàn toàn để máy học.
Tuy nhiên do không thể tách âm vị một cách chính xác, nguồn dữ liệu âm vị
đƣa vào khó đạt đƣợc mức độ chính xác, kết quả là việc huấn luyện giảm hiệu
suất, làm cho hiệu suất của chƣơng trình nhận dạng cũng giảm theo.
Chúng tôi xin nêu ra một hƣớng giải quyết để tránh việc gán
nhãn âm vị không chính xác: thay vì đánh nhãn âm vị, chúng ta sẽ đánh nhãn
âm tiết, đồng thời cho biết các âm vị cấu thành âm tiết đó. Nhƣ vậy, dữ liệu
mẫu cung cấp cho quá trình học là các âm tiết. Thuật toán học đƣợc sử dụng
để tách âm vị là thuật toán huấn luyện nhúng (Embedded training). Kết quả
thu đƣợc là các mô hình HMM cho từng âm vị. Do mỗi dãy âm vị đƣợc chọn

tƣơng đƣơng với một âm tiết, công việc đánh nhãn âm vị trên sóng âm thực
chất là không có (chỉ đánh nhãn trên âm tiết, vốn đƣợc thực hiện dễ dàng). Vì
vậy, có thể xem dữ liệu đƣa vào trong quá trình huấn luyện là dữ liệu không



11




gán nhãn và phƣơng pháp nhận dạng này đƣợc xem là nhận dạng âm vị tự
động.
Công việc gán nhãn âm vị bằng tay rất vất vả và mất nhiều thời gian.
Ngoài ra, hiện nay có rất ít kho dữ liệu đã đƣợc gán nhãn âm vị. Vì vậy,
hƣớng tiếp cận nhận dạng âm vị tự động, vốn hiệu quả hơn, tỏ ra là hƣớng
tiếp cận đúng đắn. Tuy nhiên, huấn luyện trên dữ liệu không gán nhãn
cũng có những khó khăn: đòi hỏi khối lƣợng dữ liệu lớn hơn nhiều so với
huấn luyện trên dữ liệu có gán nhãn, đồng thời quá trình huấn luyện cũng lâu
hơn. Với những ƣu thế vƣợt trội nhƣ trên đã nêu, hƣớng tiếp cận nhận dạng
âm vị tự động hứa hẹn tạo ra những mô hình nhận dạng tiếng nói với độ
chính xác cao. Đó cũng chính là hƣớng nghiên cứu mà tôi chọn lựa cho luận
văn thạc sĩ của mình. Trong bản luận văn này, chúng tôi muốn chứng minh
hai điều:
 Nếu có đầy đủ dữ liệu tiếng nói (không gán nhãn), có thể nhận dạng
đƣợc số lƣợng lớn các âm tiết với độ chính xác tƣơng đối cao theo
hƣớng tiếp cận nhận dạng âm vị tự động.
 Có thể nhận dạng đƣợc tiếng nói liên tục với tốc độ trung bình.
Luận văn đƣợc tổ chức nhƣ sau:
 Chƣơng 1 : Mô hình HMM và ứng dụng trong nhận dạng

Giới thiệu mô hình HMM và sự lựa chọn mô hình HMM để nhận dạng
tiếng nói.
 Chƣơng 2 : Tiền xử lý tín hiệu tiếng nói
Chƣơng này sẽ giới thiệu về tiền xử lý tiếng nói và một số phƣơng pháp
trích đặc trƣng đƣợc sử dụng trong nhận dạng tiếng nói.
 Chƣơng 3 : Thuật toán huấn luyện nhúng (Embedded training)



12




Giới thiệu thuật toán huấn luyện nhúng. Đây là quá trình xây dựng mô
hình HMM tự động cho các âm vị từ kho dữ liệu không gán nhãn âm vị.
 Chƣơng 4 : Cài đặt thuật toán - Giới thiệu phần mềm từ điển tiếng nói.
 Kết luận



13




CHƢƠNG 1.
MÔ HÌNH HMM VÀ ỨNG DỤNG TRONG NHẬN
DẠNG TIẾNG NÓI
1 Giới thiệu

Đầu thế kỷ XX, Andrei Andreyevich Markov (14/6/1856 – 20/7/1922)
– nhà Toán học và Vật lý nổi tiếng ngƣời Nga đã đƣa ra một mô hình toán
học để mô tả chuyển động của các phân tử chất lỏng trong một bình kín. Về
sau mô hình này đƣợc phát triển và sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực
khác nhau nhƣ cơ học, sinh học, y học, kinh tế … và đƣợc gọi là Quá trình
Markov [11]
Mô hình Markov ẩn (tiếng Anh là Hidden Markov Model - HMM) là
mô hình thống kê trong đó hệ thống đƣợc mô hình hóa đƣợc cho là một quá
trình Markov với các tham số không biết trƣớc và nhiệm vụ là xác định các
tham số ẩn từ các tham số quan sát đƣợc, dựa trên sự thừa nhận này. Các
tham số của mô hình đƣợc rút ra sau đó có thể sử dụng để thực hiện các phân
tích kế tiếp, ví dụ cho các ứng dụng thừa nhận mẫu.
Trong một mô hình Markov điển hình, trạng thái đƣợc quan sát trực
tiếp bởi ngƣời quan sát, và vì vậy các xác suất chuyển tiếp trạng thái là các
tham số duy nhất. Mô hình Markov ẩn thêm vào các đầu ra: mỗi trạng thái có
xác suất phân bổ trên các biểu hiện đầu ra có thể. Vì vậy, nhìn vào dãy của
các biểu hiện đƣợc sinh ra bởi HMM không trực tiếp chỉ ra dãy các trạng thái.
Trong mục này các nội dung cơ bản của mô hình HMM sẽ đƣợc giới
thiệu bao gồm: các định nghĩa, các tập hợp tham số, các vấn đề thiết yếu, các
thuật toán chính của mô hình HMM áp dụng vào nhận dạng tiếng nói. Tiếp đó



14




các thành phần chính của hệ thống nhận dạng, các công đoạn chính của nhận
dạng dựa vào mô hình HMM cũng sẽ đƣợc giới thiệu sơ qua. Cụ thể nhƣ sau:

 Mục 2 : Những khái niệm toán học liên quan tới HMM.
Những khái niệm chung về nhận dạng thống kê, định lý Bayes
 Mục 3 : Mô hình HMM.
Các định nghĩa, các tập tham số của mô hình HMM
 Mục 4 : Giới thiệu về Nhận dạng tiếng nói và nhận dạng âm
vị dựa trên HMM
 Mục 5 : Mô hình HMM cho âm vị đƣợc sử dụng trong luận văn.
2 Những khái niệm toán học liên quan tới HMM
Mô hình Markov ẩn HMM là một mô hình thống kê dựa vào mô hình
Markov. Vì vậy để hiểu đƣợc mô hình HMM, trƣớc tiên chúng ta cần phải tìm
hiểu xem xét về mô hình thống kê nói chung.
2.1 Giới thiệu về nhận dạng thống kê
Quá trình thống kê [12] là quá trình xác định xác suất của một số sự
kiện và xác suất mối quan hệ giữa các sự kiện trong một tiến trình tại các thời
điểm khác nhau.
 Biến cố ngẫu nhiên và hàm mật độ xác suất:
Gọi X là tập các biến ngẫu nhiên X={X
1
, X
2
, …, X
n
} mà tồn tại ít nhất
một sự kiện của tập X này xuất hiện. Gọi xác suất của sự kiện X
i
là P(X
i
).
Khi đó ta có xác suất của X là P(X)=1. Nếu gọi P(X
i

) là xác suất của biến cố
X
i
thì ta có:
P(X) = Σ P(X
i
) = 1



15




 Xác suất có điều kiện:
Xác suất có điều kiện (Conditional probability) là xác suất của một
biến cố A nào đó, biết rằng một biến cố B khác xảy ra. Ký hiệu P(A|B), và
đọc là "xác suất của A, biết B".
Xác suất giao (Joint probability) là xác suất của hai biến cố cùng xảy
ra. Xác suất giao của A và B đƣợc ký hiệu hoặc P(A,B).
Xác suất biên duyên (Marginal probability) là xác suất của một biến
cố mà không quan tâm đến các biến cố khác. Xác suất biên duyên đƣợc tính
bằng cách lấy tổng (hoặc tổng quát hơn là tích phân) của xác suất giao trên
biến cố không cần đến. Việc này đƣợc gọi là biên duyên hóa
(marginalization). Xác suất biên duyên của A đƣợc kí hiệu là P(A), còn xác
suất biên duyên của B đƣợc ký hiệu là P(B).
Trong các định nghĩa này, lƣu ý rằng không cần có một quan hệ nhân
quả hay thời gian giữa A và B. A có thể xảy ra trƣớc B hoặc ngƣợc lại, hoặc
chúng có thể xảy ra cùng lúc. A có thể là nguyên nhân của B hoặc ngƣợc lại,

hoặc chúng không hề có quan hệ nhân quả nào.
Việc cập nhật các xác suất này để xét đến các thông tin (có thể mới) có
thể đƣợc thực hiện qua Định lý Bayes.
Định nghĩa
Nếu A và B là các biến cố, và P(B) > 0, thì xác suất có điều kiện của A
nếu biết B là

Tƣơng đƣơng, ta có




16




Độc lập thống kê
Hai biến cố A và B là độc lập thống kê khi và chỉ khi

Do đó, nếu A và B độc lập, thì xác suất giao của chúng có thể đƣợc biểu
diễn bởi tích của các xác suất của từng biến cố.
Tƣơng đƣơng, với hai biến cố độc lập A và B,

và

Nói cách khác, nếu A và B độc lập thì xác suất có điều kiện của A nếu
biết B chỉ đơn giản là xác suất của riêng A. Cũng nhƣ vậy, xác suất có điều
kiện của B nếu biết A chỉ đơn giản là xác suất của riêng B.
Loại trừ lẫn nhau

Hai biến cố A và B loại trừ lẫn nhau khi và chỉ khi

với điều kiện

và

thì

và



17





Nói cách khác, xác suất xảy ra A nếu B xảy ra là bằng 0, do A và B
không thể cùng xảy ra trong một tình huống; cũng nhƣ vậy, xác suất xảy ra B
nếu A xảy ra cũng bằng 0.
2.2 Định lý Bayes
Định lí Bayes [12] là một kết quả của lí thuyết xác suất. Nó đề cập đến
phân bố xác suất có điều kiện của biến ngẫu nhiên A, với giả thiết là biết
đƣợc:
 Thông tin về một biến khác B: phân bố xác suất có điều kiện của B khi
biết A, và
 Phân bố xác suất của một mình A.
Phát biểu định lý
Định lý Bayes cho phép tính xác suất xảy ra của một sự kiện ngẫu

nhiên A khi biết sự kiện liên quan B đã xảy ra. Xác suất này đƣợc ký hiệu là
P(A|B), và đọc là "xác suất của A nếu có B". Đại lƣợng này đƣợc gọi xác suất
có điều kiện hay xác suất hậu nghiệm vì nó đƣợc rút ra từ giá trị đƣợc cho của
B hoặc phụ thuộc vào giá trị đó.
Theo định lí Bayes, xác suất xảy ra A khi biết B sẽ phụ thuộc vào 3 yếu
tố:
 Xác suất xảy ra A của riêng nó, không quan tâm đến B. Kí hiệu là P(A)
và đọc là xác suất của A. Đây đƣợc gọi là xác suất biên duyên hay xác
suất tiên nghiệm, nó là "tiên nghiệm" theo nghĩa rằng nó không quan
tâm đến bất kỳ thông tin nào về B.
 Xác suất xảy ra B của riêng nó, không quan tâm đến A. Kí hiệu là P(B)
và đọc là "xác suất của B". Đại lƣợng này còn gọi là hằng số chuẩn hóa



18




(normalising constant), vì nó luôn giống nhau, không phụ thuộc vào sự
kiện A đang muốn biết.
 Xác suất xảy ra B khi biết A xảy ra. Kí hiệu là P(B|A) và đọc là "xác
suất của B nếu có A". Đại lƣợng này gọi là khả năng (likelihood) xảy ra
A khi biết B đã xảy ra. Chú ý không nhầm lẫn giữa khả năng xảy ra A
khi biết B và xác suất xảy ra A khi biết B.
Khi biết ba đại lƣợng này, xác suất của A khi biết B cho bởi công thức:

Từ đó dẫn tới

Các dạng khác của định lý Bayes
Định lý Bayes thƣờng cũng thƣờng đƣợc viết dƣới dạng

hay

trong đó A
C
là biến cố bù của biến cố A (thƣờng đƣợc gọi là "không A").
Tổng quát hơn, với {A
i
} tạo thành một phân hoạch của không gian các biến
cố,

với mọi A
i
trong phân hoạch.
Công thức này còn đƣợc biết dƣới tên công thức xác suất đầy đủ.



19




Định lý Bayes với hàm mật độ xác suất
Cũng có một dạng của định lý Bayes cho các phân bố liên tục. Đối với
chúng, thay cho các xác suất trong định lý Bayes ta dùng mật độ xác suất.
Nhƣ vậy ta có các công thức tƣơng tự định nghĩa xác suất điều kiện

và công thức tƣơng tự công thức xác suất đầy đủ:

Ý nghĩa của các thành phần trong các công thức trên là f(x, y) là mật độ
phân phối của phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên X và Y, f(x|y) là
mật độ phân phối xác suất hậu nghiệm của X với điều kiện Y=y, f(y|x) = L(x|y)
là (một hàm của x) hàm khả năng của X với điều kiện Y=y, và f(x) và f(y) là
các mật độ phân phối của X và Y tách biệt nhau, với f(x) là mật độ phân phối
tiền nghiệm của X.
Điều kiện mặc định trong các công thức là hàm f khả vi và các tích
phân công thức tồn tại.
Suy luận Bayes (tiếng Anh: Bayesian inference) là một kiểu suy luận
thống kê mà trong đó các quan sát hay bằng chứng đƣợc dùng để cập nhật
hoặc suy luận ra xác suất cho việc một giả thuyết có thể là đúng. Cái tên
"Bayes" bắt nguồn từ việc sử dụng thƣờng xuyên Định lý Bayes trong quá
trình suy luận.
Suy luận Bayes sử dụng các khía cạnh của phƣơng pháp khoa học,
trong đó có việc thu thập các bằng chứng nhất quán hoặc không nhất quán với
một giả thuyết nào đó. Khi các bằng chứng tích lũy, mức độ tin tƣởng vào



20




một giả thuyết thay đổi. Khi có đủ bằng chứng, mức độ tin tƣởng này thƣờng
trở nên rất cao hoặc rất thấp. Do đó, theo lý thuyết, đây có thể đƣợc coi là một
cơ sở lôgic thích hợp cho việc phân biệt đối xử giữa các giả thuyết mâu thuẫn
nhau - các giả thuyết với mức độ tin tƣởng rất cao nên đƣợc chấp nhận là

đúng; các giả thuyết với độ tin tƣởng rất thấp nên bị coi là sai và loại bỏ.
Trong thực tiễn, tuy khung toán học tổng quát của suy luận Bayes là đúng
đắn, nó đòi hòi việc gán các xác suất tiên nghiệm cho các giả thuyết, trong khi
các xác suất này có thể là đối tƣợng của sự thiên lệch tùy ý (arbitrary bias).
Một ví dụ về suy luận Bayes:
Hàng tỉ năm nay, Mặt Trời đã mọc sau khi nó lặn. Tối nay Mặt Trời đã
lặn. Ngày mai Mặt Trời sẽ mọc với xác suất rất cao (hoặc tôi rất tin
tưởng vào điều đó hoặc điều đó là đúng). Với xác suất rất thấp (hoặc
tôi không hề tin hoặc điều sau không đúng), ngày mai Mặt Trời sẽ
không mọc.
Suy luận Bayes sử dụng một ƣớc lƣợng bằng số về mức độ tin tƣởng
vào một giả thuyết trƣớc khi quan sát đƣợc bằng chứng, và tính toán một ƣớc
lƣợng bằng số về mức độ tin tƣởng vào giả thuyết đó sau khi đã quan sát đƣợc
bằng chứng. Trong quá trình quy nạp, suy luận Bayes thƣờng dựa vào các
mức độ tin tƣởng, hay là các xác suất chủ quan, và không nhất thiết khẳng
định về việc cung cấp một phƣơng pháp quy nạp khách quan. Tuy nhiên, một
số nhà thống kê theo trƣờng phái Bayes tin rằng các xác suất có thể có một
giá trị khách quan, và do đó suy luận Bayes có thể cung cấp một phƣơng pháp
quy nạp khách quan.
Định lý Bayes điều chỉnh các xác suất khi đƣợc cho bằng chứng mới
theo cách sau đây:



21

trong đó
 H
0
đại diện cho một giả thuyết, gọi là một giả thuyết rỗng (null
hypothesis), giả thuyết này đƣợc suy luận trƣớc khi có đƣợc bằng
chứng mới E.
 P(H
0
) đƣợc gọi là xác suất tiên nghiệm của H
0
.
 P(E | H
0
) đƣợc gọi là xác suất có điều kiện của việc quan sát thấy bằng
chứng E nếu biết rằng giả thuyết H
0
là đúng. Đại lƣợng này còn đƣợc
gọi là hàm khả năng khi nó đƣợc biểu diễn dƣới dạng một hàm của H
0

khi cho trƣớc E.
 P(E) đƣợc gọi là xác suất biên duyên của E: xác suất của việc chứng
kiến bằng chứng mới E dƣới tất cả các giả thuyết loại trừ nhau đôi một.
Đại lƣợng này có thể đƣợc tính bằng tổng của tích tất cả các xác suất
của các giả thuyết loại trừ nhau đôi một và các xác suất có điều kiện
tƣơng ứng: .
 P(H
0
| E) đƣợc gọi là xác suất hậu nghiệm của H
0

nếu biết E.
Hệ số P(E | H
0
) / P(E) đại diện cho ảnh hƣởng của bằng chứng đối với
mức độ tin tƣởng vào giả thuyết. Nếu rất có khả năng quan sát đƣợc bằng
chứng khi giả thuyết đang xét là đúng, thì hệ số này sẽ có giá trị lớn. Khi nhân
xác suất tiên nghiệm của giả thuyết với hệ số này, ta đƣợc một xác suất hậu
nghiệm lớn của giả thuyết khi có bằng chứng. Nhờ đó, trong suy luận Bayes,
định lý Bayes đo đƣợc mức độ mà bằng chứng mới sẽ làm thay đổi sự tin
tƣởng vào một giả thuyết.



22




Các nhà thống kê Bayes lập luận rằng ngay cả khi ngƣời ta có các xác
suất chủ quan tiên nghiệm rất khác nhau, bằng chứng mới từ các quan sát lặp
đi lặp lại sẽ có xu hƣớng đƣa các xác suất hậu nghiệm của họ lại gần nhau
hơn. Trong khi điều này đúng đối với những ngƣời duy lý hoàn hảo với các
khuynh hƣớng tƣơng đồng trong việc suy xét mức độ tin tƣởng, các khác biệt
đủ lớn trong các khuynh hƣớng này có thể (và thƣờng) gây cản trở lớn lao đối
với quá trình hội tụ này.
Việc nhân xác suất tiên nghiệm P(H
0
) với hệ số P(E | H
0
) / P(E) sẽ không bao

giờ cho ra một xác suất lớn hơn 1. Đó là vì P(E) không nhỏ hơn ,
mà đại lƣợng này thì bằng P(E | H
0
) . P(H
0
).
P(E | H
0
), xác suất của E khi biết H
0
, có thể đƣợc biểu diễn bởi một hàm của
tham số thứ hai với tham số thứ nhất giữ một giá trị cho trƣớc. Một hàm nhƣ
vậy đƣợc gọi là hàm khả năng; đây là một hàm của H
0
khi cho trƣớc E. Một
tỷ lệ giữa hai hàm khả năng đƣợc gọi là tỉ lệ khả năng (likelihood ratio), Λ. Ví
dụ,

Xác suất biên duyên P(E) còn có thể đƣợc biểu diễn bằng tổng của tích tất cả
các xác suất đôi một loại trừ nhau với các xác suất có điều kiện tƣơng ứng:
P(E | H
0
)P(H
0
) + P(E | not H
0
)P(not H
0
).
Do đó, ta có thể viết lại định lý Bayes nhƣ sau

Với hai bằng chứng độc lập E
1
và E
2
, ta có thể áp dụng suy luận Bayes lặp đi
lặp lại. Ta có thể dùng bằng chứng thứ nhất để tính một xác suất hậu nghiệm



23




ban đầu, rồi dùng xác suất hậu nghiệm đó làm một xác suất tiên nghiệm để
tính một xác suất hậu nghiệm thứ hai theo bằng chứng thứ hai.
Tính độc lập của bằng chứng hàm ý rằng



Định lý Bayes đƣợc sử dụng lặp đi lặp lại hàm ý rằng

Sử dụng các tỉ lệ khả năng, ta thấy rằng
,
Quá trình lặp này của suy luận Bayes có thể đƣợc mở rộng khi có thêm
các bằng chứng độc lập khác.
Suy luận Bayes đƣợc dùng để tính các xác suất cho việc đƣa ra quyết
định trong tình huống không chắc chắn. Bên cạnh các xác suất, ta nên tính
một hàm mất mát (loss function) nhằm mục đích phản ánh các hậu quả của

việc phạm sai lầm. Các xác suất đại diện cho khả năng hoặc niềm tin về việc
phạm sai lầm. Một hàm mất mát đại diện cho các hậu quả của việc phạm sai
lầm.
Các ví dụ suy luận Bayes đơn giản
Bánh quy từ hộp nào?
Để minh họa, giả sử có hai hộp đựng đầy bánh quy. Hộp thứ nhất có 10 chiếc
bánh quy sô-cô-la và 30 chiếc bánh quy bơ. Hộp thứ hai đựng mỗi loại bánh



24




20 chiếc. Bé Khoai chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi nhặt đại một chiếc bánh. Ta
có thể giả thiết rằng bé Khoai còn rất nhỏ nên không phân biệt hộp này hộp
kia, và bé thích tất cả các loại bánh kẹo nên bánh loại nào với bé cũng vậy. Và
chiếc bánh mà bé Khoai chọn té ra là một chiếc bánh quy bơ. Vậy khả năng
Khoai nhặt chiếc bánh đó từ trong hộp thứ nhất là bao nhiêu?
Một cách trực quan, có vẻ rõ ràng là câu trả lời phải lớn hơn 1/2, do trong hộp
1 có nhiều bánh quy bơ hơn. Câu trả lời chính xác đƣợc tính theo định lý
Bayes. Giả sử H
1
tƣơng ứng với hộp 1, và H
2
tƣơng ứng với hộp 2. Ta biết
rằng đối với bé Khoai, hai hộp là nhƣ nhau, do đó, P(H
1
) = P(H

2
), và tổng của
chúng phải bằng 1, do đó cả hai đều bằng 0,5. Dữ liệu D là quan sát về chiếc
bánh quy bơ. Từ nội dung của hai hộp bánh, ta biết rằng P(D | H
1
) = 30/40 =
0,75 và P(D | H
2
) = 20/40 = 0,5. Khi đó, công thức Bayes cho ra kết quả:

Trƣớc khi quan sát thấy chiếc bánh mà bé Khoai nhặt, xác suất cho việc
Khoai chọn hộp 1 là xác suất tiên nghiệm, P(H
1
), có giá trị 0,5. Sau khi đã
nhìn thấy chiếc bánh, ta chỉnh lại xác suất đó thành P(H
1
|D), có giá trị 0,6.
Nên lƣu ý là việc ta tin rằng việc quan sát thấy chiếc bánh quy bơ nên có ảnh
hƣởng theo cách nào đó tới xác suất tiên nghiệm P(H
1
) đã tạo nên xác suất
hậu nghiệm P(H
1
| D), với giá trị tăng từ 0,5 lên 0,6. Điều này phản ánh trực
giác của ta rằng chiếc bánh có khả năng đƣợc lấy từ hộp 1 hơn, do hộp này có
tỉ lệ bánh quy bơ so với bánh quy sô-cô-la cao hơn hộp kia. Quyết định đƣợc
cho dƣới dạng một xác suất, điều này khác với thông kê cổ điển.
Kết quả dương tính sai trong một xét nghiệm y học

25




Ta thu đƣợc các kết quả dƣơng tính sai khi một kiểm nghiệm cho ra kết quả
dƣơng tính một cách sai lầm. Ví dụ, một xét nghiệm y học cho một bệnh có
thể trả về một kết quả dƣơng tính với hàm ý rằng bệnh nhân có mắc căn bệnh
đó ngay cả nếu bệnh nhân đó không hề mắc căn bệnh đó. Ta dùng định lý
Bayes để tính xác suất mà một kết quả dƣơng tính thực ra lại là một dƣơng
tính sai. Kết quả là nếu một căn bệnh hiếm gặp thì đa số các kết quả dƣơng
tính có thể là dƣơng tính sai, ngay cả nếu xét nghiệm có độ chính xác cao.
Giả sử rằng một xét nghiệm cho một căn bệnh cho ra các kết quả sau:
 Nếu ngƣời đƣợc xét nghiệm quả thực mắc bệnh đó, xét nghiệm trả về
kết quả dƣơng tính trong 99% các trƣờng hợp, hoặc nói cách khác là
với xác suất 0,99
 Nếu ngƣời đƣợc xét nghiệm thực ra không có bệnh, xét nghiệm trả về
kết quả âm tính trong 95% các trƣờng hợp, hoặc nói cách khác là với
xác suất 0,95
Giả sử rằng chỉ có 0,1% dân số mắc căn bệnh này, nghĩa là nếu chọn ngẫu
nhiên một ngƣời thì việc ngƣời đó mắc bệnh có xác suất tiên nghiệm là 0,001.
Ta có thể dùng định lý Bayes để tính xác suất cho việc một kết quả xét
nghiệm dƣơng tính là một dƣơng tính sai.
Giả sử A là tình huống ngƣời bệnh mắc căn bệnh đó, và B biểu diễn bằng
chứng - một kết quả xét nghiệm dƣơng tính. Khi đó, xác suất ngƣời bệnh thực
sự mắc bệnh khi biết rằng kết quả xét nghiệm là dƣơng tính là