Đề cương môn Toán lớp 9 (học kỳ I)

.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1. Hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A ± B)² = A² ± 2AB + B² (Bình phương của một tổng, hiệu)
A² – B² = (A – B)(A + B) (Hiệu hai bình phương)
(A ± B)³ = A³ ± 3A²B + 3AB² ± B³ (Lập phương của một tổng, hiệu)
A³ ± B³ = (A ± B)(A²
m
AB + B²) (Tổng, hiệu của hai lập phương)
(A + B + C)² = A² + B² + C² + 2AB + 2BC + 2AC
(A + B + C)
3
= A
3
+ B
3
+ C
3
+ 3(A + B)(B + C)(C + A)
A
3
+ B
3
+ C
3
- 3ABC = (A + B + C)(A
2
+ B
2

+ C
2
- AB - BC - CA)
A
n
- B
n
= (A - B)(A
n-1
+ A
n-2
B + … + AB
n-1
+ B
n-1
)
2. Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi:
Với A, B ≥ 0, ta có:
( ) ( )
A B A B A B− = − +
( )
2
A A. A A
= =

( ) ( ) ( )
2
A 1 A 1 A 1 A 1− = − = − +
( )
3

A A A
=
( )
(
)
3 3
2 2
3 3 3
A B A B A AB B− = − + +
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
A A B B A B A B A AB B= = ± +m m m
( ) ( ) ( )
3
3
A A 1 A 1 A 1 A A 1= = ± +m m m
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
BÀI 1: CĂN BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1. Định nghĩa: Căn bậc hai số học của một số a khơng âm là số x khơng âm.
Ta có:
2
x 0
x a
x a
≥

= ⇔


=


2. Tính chất:
Mọi số thực a > 0 ln có 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau là
a
và -
a
.
Vì:
( ) ( )
2 2
a a a= − =
3. So sánh căn bậc hai số học:
Định lý: Với a và b là số khơng âm, ta có:
a b a b< ⇔ <
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số sau:
a) 9 b)
9
16
c) 0,09 d) 3
Giải
a) Ta có: 9 = 3
2
= (-3)
2

Suy ra: Căn bậc hai của 9 là 3 và -3.

b) Căn bậc hai của
9
16
là
3
4
và
3
4
−
.
c) Căn bậc hai của 0,09 là 0,3 và -0,3.
d) Căn bậc hai của 3 là
3
và
3−
.
Bài tập 2: Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau:
a) 25 b) 1,21 c) 81 d) 100
Giải
a)
25 5=
, vì 5 ≥ 0 và 5
2
= 25.
b)
1,21 1,1=
, vì 1,1 ≥ 0 và 1,1
2
= 1,21.

c)
81 9=
, vì 9 ≥ 0 và 9
2
= 81.
d)
100 10=
, vì 10 ≥ 0 và 10
2
= 100.
Bài tập 3: Tìm căn bậc hai số học và căn bậc hai của các số sau:
a) 9 b) 16 c) 25 d) 36
Giải
a) Căn bậc hai số học của 9 là 3. Căn bậc hai của 9 là 3 và -3.
b) Căn bậc hai số học của 16 là 4. Căn bậc hai của 16 là 4 và -4.
c) Căn bậc hai số học của 25 là 5. Căn bậc hai của 25 là 5 và -5.
d) Căn bậc hai số học của 36 là 6. Căn bậc hai của 36 là 6 và -6.
Bài tập 4: So sánh:
a) 3 và
10
b)
14
và 4 c)
6
và
7
d)
2 1+
và
3 1−

Giải
a) 3 =
9
<
10
. Vậy 3 <
10
.
b)
14 16 4< =
. Vậy
14 4<
.
c) Vì 6 và 7 là hai số dương và 6 < 7
6 7⇒ <
.
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
d) Giả sử:
2 1+
<
3 1−
⇔
2 2+
<
3
Mà
2 2 2 4 3+ = + >
.

Suy ra: Mâu thuẫn với đề bài.
Vậy
2 1+
>
3 1−
.
Bài tập 5: Tìm x khơng âm, biết:
a)
x 3<
b)
x 2>
c)
2 x 10=
Giải
a) Ta có: 3 =
9
⇒
x 3 x 9 x 9< ⇔ < ⇔ <
Vì x ≥ 0 nên 0 ≤ x < 9.
b) Ta có: 2 =
4
⇒
x 2 x 4 x 4> ⇔ > ⇔ >
Vì x ≥ 0 nên
x 4 x 4> ⇔ >
Vậy x > 4.
c) Ta có:
2 x 10 x 5= ⇔ =
và 5 =
25

⇒
x 25 x 25= ⇔ =
.
Vì x ≥ 0 nên x = 25.
Bài tập tự luyện:
Bài tập 1: Tìm căn bậc hai của các số sau:
a) 16 b) 25 c) 36 d) 80
Bài tập 2: Tìm căn bậc hai số học của các số sau:
a) 9 b) 0,04 c)
16
25
d) 4
Bài tập 3: So sánh:
a) 2 và
3
b) 6 và
41
c) 7 và
47
d) 11 và
120
Bài tập 4: Tìm số x khơng âm, biết:
a)
x 4=
b)
3 x 6=
c)
x 5>
d)
2x 8<

Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
BÀI 2: CĂN BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
2
A = A
I. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1. Căn thức bậc hai:
Điều kiện để căn bậc hai có nghĩa:
A
có nghĩa
A 0⇔ ≥
(tức là A khơng âm)
2. Hằng đẳng thức
2
A = A
:
2
A khi A 0
A = A =
-A khi A < 0
≥



3. Điều kiện căn thức có nghĩa:
(1)
A
có nghĩa ⇔ A ≥ 0
(2)

A
B
có nghĩa ⇔A ≥ 0 và B > 0 hoặc A < 0 và B < 0
(3)
A
B
có nghĩa ⇔ B > 0
4. Cơng thức giải tốn:
(1)
2 2
A B
A B
A B
=

= ⇔

= −

(2)
2
B 0
A = B
A = B
≥

⇔



(3)
A 0 hay B 0
A = B
A B
≥ ≥

⇔

=

(4)
2 2
A = B
A = B A = B
A = -B

⇔ ⇔



(5)
2
B 0
A = B A = B
A = B
A = -B
≥


⇔ ⇔







(6)
A A
B
B
=
, với A ≥ 0, B > 0
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Tìm điều kiện để các căn thức sau có nghĩa:
a)
x
2
b)
3x−
c)
x 1−
d)
2x +4
e)
2x 6
3
−
f)
2
3x 9

−
−
g)
4
x 2
5x 10
− −
−
h)
1
2 4x
x 3
− −
−
Giải
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
a)
x
2
có nghĩa
x
0 x 0
2
⇔ ≥ ⇔ ≥
b)
3x−
có nghĩa
3x 0 x 0⇔ − ≥ ⇔ ≤

c)
x 1−
có nghĩa
x 1 0 x 1⇔ − ≥ ⇔ ≥
d)
2x +4
có nghĩa
4
2x 4 0 2x 4 x x 2
2
−
⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ≥ ⇔ ≥ −
e)
2x 6
3
−
có nghĩa
2x 6 6
0 2x 6 0 2x 6 x x 3
3 2
−
⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
f)
2
3x 9
−
−
có nghĩa
2 9
0 3x 9 0 3x 9 x x 3

3x 9 3
−
⇔ ≥ ⇔ − < ⇔ < ⇔ < ⇔ <
−
g)
4
x 2
5x 10
− −
−
có nghĩa
5x 10 0 5x 10 x 2
x 2
x 2 0 x 2 x 2
− ≠ ≠ ≠
  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >
  
− ≥ ≥ ≥
  
h)
1
2 4x
x 3
− −
−
có nghĩa
x 3 x 3
x 3 0 x 3
1

x
2 1
2 4x 0 4x 2
2
x x
4 2
≠ ≠
 
− ≠ ≠
 
 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤
   −
− ≥ − ≥ −
≤ ≤
 
 
− 
Bài tập 2: Tính:
a)
( )
2
0,1
b)
( )
2
0,3−
c)
( )
2

1,3− −
d)
( )
2
0,4 0,4− −
Giải
a)
( )
2
0,1 0,1 0,1= =
b)
( )
2
0,3 0,3 0,3− = − =
c)
( )
2
1,3 1,3 1,3− − = − − = −
d)
( )
2
0,4 0,4 0,4 0,4 0,4.0,4 0,16− − = − − = − = −
Bài tập 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
( )
2
3 5−
b)
( )
2

1 2−
c)
2
3 4x
với x ≥ 0 d)
( )
2
2 x 3−
với x < 3
Giải
a)
( )
2
3 5 3 5 3 5− = − = −
(vì 3 -
5
> 0)
b)
( )
2
1 2 1 2 2 1− = − = −
(vì 1 -
2
< 0 hay
2
- 1 > 0)
c)
2
3 4x 3 2x 6x= =
, (vì x ≥ 0)

d)
( ) ( )
2
2 x 3 2 x 3 2 x 3 6 2x− = − = − − = −
(vì x < 3)
Bài tập 3: Tìm x, biết:
a)
6x 12=
b)
2
3 x 18=
c)
( )
2
4 x 1 6− =
d)
2
x 2= −

e)
2
x 6x 9 4− + =
f)
2
x 10x 25 3 8− + − =
Giải
a)
2
144
6x 12 6x 12 6x 144 x x 24

6
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
b)
2 2
x 6
18
3 x 18 x x 6
x 6
3
=

= ⇔ = ⇔ = ⇔

= −

c)
( ) ( )
( )
( )
2
2 x 1 6
x 1 3 x 4
4 x 1 6 2 x 1 6
x 1 3 x 2
2 x 1 6

− =

− = =
 
− = ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇔

 
− = − = −
− = −
 


d)
2
x 2
x 2 x 2
x 2
=

= − ⇔ = ⇔

= −

e)
( )
2
2
x 3 4 x 7
x 6x 9 4 x 3 4 x 3 4
x 3 4 x 1
− = =
 

− + = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔
 
− = − = −
 
f)
( )
2
2
x 5 11 x 16
x 10x 25 3 8 x 5 11 x 5 11
x 5 11 x 6
− = =
 
− + − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔
 
− = − = −
 
Bài tập 4: Chứng minh:
a)
( )
2
2 3 7 4 3− = −
b)
6 2 5 5 1+ − =
Giải
a) Ta có:
( ) ( )
2 2
2
2 3 2 2.2. 3 3 7 4 3− = − + = −

. Vậy ta có điều phải chứng minh.
b) Ta có:
( ) ( )
2 2
2
6 2 5 5 5 2. 5.1 1 5 5 1 5 5 1 5 1+ − = + + − = + − = + − =
.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
LUYỆN TẬP
Bài tập 1: Tính:
a)
16. 25 196 : 49+
b)
2
36 : 2.3 .18 169−
c)
81
d)
2 2
3 4+
Giải
a)
16. 25 196 : 49 4.5 14: 7 20 2 22+ = + = + =
b)
2
36 : 2.3 .18 169 36 : 18.18 13 36:18 13 2 13 11− = − = − = − = −
c)

2
81 9 9 3= = =
d)
2 2
3 4 9 16 25 5+ = + = =
Bài tập 2: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa:
a)
2x 4+
b)
3x 9− +
c)
2
2 x− −
d)
2
2 x+
Giải
a)
2x 4+
có nghĩa ⇔ 2x + 4 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ - 4 ⇔ x ≥ - 2
b)
3x 9− +
có nghĩa ⇔ -3x + 9 ≥ 0 ⇔ -3x ≥ -9 ⇔ x ≤ 3
c)
2
2 x− −
có nghĩa
2
0 2 x 0 x 2 x 2
2 x

⇔ ≥ ⇔ − − > ⇔ − > ⇔ < −
− −
d)
2
2 x+
có nghĩa ⇔ 2 + x
2
≥ 0 thỏa mãn với mọi x.
Bài tập 3: Rút gọn biểu các thức sau:
a)
2
3 x 4x−
với x < 0 b)
2
9x 2x+
với x ≥ 0
c)
4 2
16x 2x+
d)
6 3
5 4x 2x−
với a < 0.
Giải
a)
2
3 x 4x 3 x 4x 3x 4x 7x− = − = − − = −
(vì x < 0)
b)
2

9x 2x 3x 2x 3x 2x 5x+ = + = + =
(vì x ≥ 0
c)
4 2 2 2 2
16x 2x 4x 2x 6x+ = + =
d)
6 3 3 3 3 3 3
5 4x 2x 5 2x 2x 10x 2x 12x− = − = − − = −
(vì x < 0).
Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 4x
2
- 5 b) x
2
- 6 c) x
2
+ 2
7
+ 7
Giải
a) 4x
2
- 5 =
( ) ( )
2x 5 2x 5− +
b) x
2
- 6 =
( ) ( )
x 6 x 6− +

c) x
2
+ 2
7
+ 7 =
( )
2
x 7+
Bài tập 5: Giải phương trình:
a) x
2
- 8 = 0 b) x
2
- 2
5
+ 5
Giải
a) x
2
- 8 = 0 ⇔
( ) ( ) ( )
2
2
x 2 2 0 x 2 2
x 2 2 0 x 2 2 x 2 2 0
x 2 2 0 x 2 2
 
− = =
− = ⇔ − + = ⇔ ⇔
 

+ = = −
 
 
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
b) x
2
- 2
5
+ 5
( )
2
x 5 0 x 5 0 x 5− = ⇔ − = ⇔ =
.
Bài tập 6: Đố: Tìm chỗ sai trong bài tốn chứng minh "1 = -1.
Ta có phép biến đổi như sau:
( ) ( ) ( )
1
1
1
1 2. 2
2
2
2
1 1 1 1 1 1 1
 
− = − = − = − = = =
 
Theo kết quả trên, suy ra: 1 = -1.

Giải
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
2
1 1
2
1 2.
2 2
1 1 1 1 1
 
− = − = − = − = −
 
 
.
Đến đây ta đã thấy được lỗi sai thứ nhất là
( )
1
2
1 1− = −
. Mà biểu thức trong dấu căn là khơng âm.
Lỗi sai thứ hai là khi bình phương một số thì số đó phải khơng âm.
Nhưng ở đây đã sai:
( ) ( )
1
1 2.
2
1 1 1− = − = −
.
Vậy khơng thể xảy ra -1 = 1.

Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
BÀI 3: LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG
I. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1. Định lý:
Với a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có:
a.b a. b=
2. Quy tắc:
- Quy tắc khai phương của một tích:
Muốn khai phương một tích của các số khơng âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các
kết quả với nhau.
Ví dụ: Hãy tính:
a)
9.0,04.25
b)
10.250
Giải
a)
9.0,04.25 9. 0,04. 25 3.0,2.5 3= = =
b)
25.100 25. 100 5.10 50= = =
- Quy tắc nhân các căn thức bậc hai:
Muốn nhân các căn thức bậc hai của các số khơng âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau
rồi khai phương kết quả đó.
Ví dụ: Hãy tính:
a)
3. 27
b)
1,2. 50. 60

Giải
a)
3. 27 3.27 81 9= = =
b)
2 2
1,2. 50. 60 1,2.50.60 1,2.5.10.5.12 12 .5 12.5 60= = = = =
Chú ý:
Với hai biểu thức A và B khơng âm, ta có:
A.B A. B=
và
( )
2
2
A A A= =
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
0,09.64
b)
0,25.1600
Giải
a)
0,09.64 0,09. 64 0,3.8 2,4= = =
b)
0,25.160.90 0,25.16.900 0,25. 16. 900 0,5.4.30 60= = = =
Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
3.640.7,2
b)
2,5. 30. 48

Giải
a)
( )
2
2,7. 640. 3 2,7.640.3 81.64 9.8 9.8 72= = = = =
b)
( )
2
2,5. 30. 48 2,5.30.48 9.16.25 3.4.5 3.4.5 60= = = = =
Bài tập 3: Rút gọn các biểu thức sau:
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
a)
2
0,25x
với x < 0 b)
( )
2
4
4x 2 x−
với x ≥ 2
Giải
a)
2
0,25x 0,5 x 0,5x= = −
. Vì x < 0.
b)
( ) ( )
2

4 2 2
4x 2 x 4x 2 x 4x x 2− = − = −
. Vì x ≥ 2.
Bài tập 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
2x 3x
.
3 8
với x ≥ 0 b)
44
11x.
x
với x > 0
Giải
a)
2
2x 3x 2x 3x x 1 1
. . x x
3 8 3 8 4 2 2
= = = =
. Vì x ≥ 0.
b)
44 44
11x. 11x. 484 22.
x x
= = =

Bài tập tự luyện:
Bài tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)

0,36.81
b)
8,1.160
Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
2,5. 360
b)
2,7. 5. 1,5
Bài tập 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
2
0,36x
với x < 0 b)
( )
2
2
9x x 1−
với x > 1
Bài tập 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
2
2
3x 5
.
5 27x
với x ≥ 0 b)
48
3x.
x
với x > 0

Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
LUYỆN TẬP
Bài tập 1: Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính:
a)
2 2
13 12−
b)
2 2
17 8−
c)
2 2
117 108−
d)
2 2
313 312−
Giải
a)
( ) ( )
2 2 2
13 12 13 12 13 12 1.25 5 5− = − + = = =
b)
( ) ( )
2 2
17 8 17 8 17 8 9.25 3.5 15− = − + = = =
c)
( ) ( )
2 2
117 108 117 108 117 108 9.225 3.15 45− = − + = = =

d)
( ) ( )
2 2
313 312 313 312 313 312 1.625 25− = − + = =
Bài tập 2: Chứng minh:
a)
( ) ( )
3 5 3 5 4− + =
b)
( )
2015 2014−
và
( )
2015 2014+
là hai số nghịch đảo của nhau.
Giải
a)
( ) ( ) ( )
2
2
3 5 3 5 3 5 9 5 4− + = − = − =
(Đpcm)
b) Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2015 2014 2015 2014 2015 2014 2015 2014 1− + = − = − =
Suy ra:
( )
( )
1

2015 2014
2015 2014
− =
+
(Đpcm)
Bài tập 3: Tìm x, biết:
a)
9x 3=
b)
2x 6=
c)
( )
2
4 x 1 2− =
Giải
a) Điều kiện: x ≥ 0.
Ta có:
( )
2
2
9x 3 9x 3 9x 9 x 1= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
b) Điều kiện: x ≥ 0.
Ta có:
( ) ( )
2 2
2x 6 2x 6 2x 6 x 3= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
c)
( )
2
x 1 1 x 2

4 x 1 2 2 x 1 2 x 1 1
x 1 1 x 0
− = =
 
− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔
 
− = − =
 
Bài tập 4: So sánh
4 36+
và
4 36+
.
Giải
Ta có:
4 36 40+ =
4 36 2 6 8 64+ = + = =
.
Mà
40 64<
.
Vậy
4 36+
<
4 36+
.
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
BÀI 4: LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG

I. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1. Định lý:
Với số a ≥ 0 và b > 0, ta có:
a a
b
b
=
2. Quy tắc:
- Quy tắc khai phương một thương:
Muốn khai phương một thương
a
b
, trong đó a khơng âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai
phương số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
Ví dụ: Hãy tính:
a)
16
169
b)
16 4
:
9 36
Giải
a)
16 16 4
169 13
169
= =
b)
16 4 16 4 16 4 4 2 4 6

: : : : . 4
9 36 9 36 3 6 3 2
9 36
= = = = =
- Quy tắc chia hai căn bậc hai:
Muốn chia căn bậc hai của số a khơng âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số a cho
số b rồi khai phương kết quả đó.
Ví dụ: Hãy tính:
a)
44
11
b)
63
28
Giải
a)
44 44
4 2
11
11
= = =
b)
63 63 7.9 9 3
28 7.4 4 2
28
= = = =
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Tính:
a)
169

144
b)
9
6
36
c)
0,04
0,36
d)
4,9
8,1
Giải
a)
169 169 13
144 12
144
= =
b)
9 225 225 15
6
36 36 6
36
= = =
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
c)
0,04 0,04 0,2 1
0,36 0,6 3
0,36

= = =
d)
4,9 49 49 7
8,1 81 9
81
= = =
Bài tập 2: Tính:
a)
3
48
b)
5
1445
Giải
a)
3 3 1 1
48 16 4
48
= = =
b)
5 5 1 1
1445 289 17
1445
= = =
Bài tập 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
4
2
x 4y
y x

với x > 0 b)
2
6
25x
5xy
y
với x < 0, y > 0
Giải
a)
4
4 2 2
2
2
4y
x 4y x x 2y x 2y
. . . 2y
y x y y x y x
x
= = = =
. Vì x > 0
b)
2 2 2
6 2
3
6
5 x
25x 25x 25x
5xy 5xy. 5xy.
y y
y

y
= = = −
. Vì x < 0, y > 0
Bài tập 3: So sánh:
36 25−
và
36 25−
.
Giải
Ta có:
36 25 11− =
36 25 6 5 1 1− = − = =
Mà
11 1>
.
Vậy
36 25−
>
36 25−
.
Bài tập tự luyện:
Bài tập 1: Tính:
a)
441
169
b)
4
28
9
c)

0,81
0,64
d)
3,24
0,49
Bài tập 2: Tính:
a)
6
216
b)
5
3 5
6
2 .3
c)
12500
500
d)
63
567
Bài tập 3: Chứng minh rằng: Với a > b > 0 thì
a b a b− < −
.
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
LUYỆN TẬP
Bài tập 1: Tính:
a)
9 4

1 .5 .0,01
16 9
b)
1,44.1,21 1,44.0,4−
c)
2 2
165 124
164
−
d)
2 2
2 2
149 76
457 384
−
−
Giải
a)
9 4 25 49 25 49 5 7 3,5 7
1 .5 .0,01 . .0,01 . . 0,01 . .0,1
16 9 16 9 16 9 4 3 12 24
= = = = =
b)
( )
144 81 12 9
1,44.1,21 1,44.0,4 1,44 1,21 0,4 1,44.0,81 . . 1,08
100 100 10 10
− = − = = = =
c)
( ) ( )

2 2
165 124 165 124
165 124 41.289 289 17
164 64 164 4 2
− +
−
= = = =
d)
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
149 76 149 76
149 76 73.225 225 15
457 384 457 384 457 384 73.841 841 29
− +
−
= = = =
− − +
Bài tập 2: Giải phương trình:
a)
3x 48=
b)
2
x
6 0
6
− =
Giải
a)

48 48
3x 48 x x x 16 x 4
3
3
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
b)
( )
2
2
2 2 2
x 6
x
6 0 x 6 0 x 6
6
x 6

=
− = ⇔ − = ⇔ = ⇔

= −


Bài tập 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
( )
2
5 x 2
125
−
với x ≥ 2 b)

2
2
9 12x 4x
y
+ +
với x ≥ 1,5 và y < 0
Giải
a)
( ) ( )
2 2
5 x 2 x 2 x 2
x 2
125 25 5 5
− − −
−
= = =
. Vì x ≥ 2
b)
( )
2
2
2 2
3 2x 3 2x
9 12x 4x 3 2x
y y y y
+ +
+ + +
= = =
−
. Vì x ≥ - 1,5 và y < 0.

Bài tập 4: Tìm x, biết:
a)
2 9x 9 4x 4 2 18+ − + + =
b)
2 16x 16 9x 9 2 32+ − + + =

c)
2
x 6x 9 2 7− + + =
d)
2
x 8x 16 3 5− + + =
x
d)
2x 1 x 3+ = −

Giải
a)
2 9x 9 4x 4 2 18+ − + + =
. Điều kiện: x ≥ -1.
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
( ) ( )
2
2 9 x 1 4 x 1 18 2
6 x 1 2 x 1 16
4 x 1 16
x 1 4
x 1 4

x 15
⇔ + − + = −
⇔ + − + =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ =
b)
2 16x 16 9x 9 2 32+ − + + =
. Điều kiện: x ≥ -1.
( ) ( )
2 16 x 1 9 x 1 32 2
8 x 1 3 x 1 30
5 x 1 30
x 1 6
x 1 36
x 35
⇔ + − + = −
⇔ + − + =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ =
c)
2
x 6x 9 2 7− + + =
( )
2
x 3 7 2
x 3 5

x 3 5
x 3 5
x 8
x 2
⇔ − = −
⇔ − =
− =

⇔

− = −

=

⇔

= −

d)
2
x 8x 16 3 5− + + =
x
( )
2
3
x 4 5x 3, x
5
 
⇔ − = − ≥
 ÷

 
x 4 5x 3
x 4 5x 3
x 4 3 5x
4x 1
6x 7
1 3
x
4 5
7
x
6
7
x
6
⇔ − = −
− = −

⇔

− = −

= −

⇔

=


= − <


⇔


=


⇔ =
e)
2x 1 x 3+ = −
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
1
x
2x 1 0
2
x 3
x 3 0 x 3
x 4
2x 1 x 3 x 4

≥ −

+ ≥

≥




⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔
  
= −

 
+ = − = −



Khơng thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình vơ nghiệm.
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
BÀI 5: BẢNG CĂN BẬC HAI
Tìm hiểu thêm về việc sử dụng "BẢNG SỐ" khi khơng có máy tính điện tử CASIO.
Bài đọc thêm.
BÀI 6: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1. Đưa thừa số ra ngồi dấu căn:
Với A bất kỳ, B ≥ 0, ta có:
2
A B A B=
Tức là
Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì
2
A B A B=
;
Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì
2

A B A B= −
;
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:
Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì
2
A B A B=
Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì
2
A B A B= −
3. Cơng thức giải tốn:
Nếu 0 < A < B và C ≥ 0 thì
A C B C<
Nếu 0 < A < B thì
A B<
Nếu a, b, c bất kì và A ≥ 0, ta có:
( )
a A b A c A a b c A+ + = + +
.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Đưa các thừa số ra ngồi dấu căn:
a)
72
b)
125
c)
0,05 28800−
d)
2
7.63.a
Giải

a)
2
72 2.36 2.6 6 2= = =
b)
2
125 5.25 5.5 5 5= = =
c)
2 2
0,05 28800 0,05 2.144.100 0,05 2.12 .10 0,05.10.12 2 6 2− = − = − = − = −
d)
2 2 2 2 2
7.63.a 7.7.9.a 7 .3 .a 7.3 a 21 a= = = =
.
Bài tập 2: Đưa các thừa số vào trong dấu căn:
a)
2 3
b)
3 5−
c)
3
xy
4
−
với xy ≥ 0 d)
3
y
y
với y > 0
Giải
a)

2
2 3 2 .3 12= =
b)
2
3 5 3 .5 45− = − = −
c)
2
2
3 3 9xy
xy xy
4 4 16
− = − = −
, với xy ≥ 0
d)
2
3 3y
y 3y
y y
= =
, với y > 0
Bài tập 3: So sánh:
a)
2 3
và
13
b) 9 và
4 5
c)
1
51

3
và
1
150
5
d)
1
6
2
và
1
6
2
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
Giải
a) Ta có:
2
2 3 2 .3 12= =
.
Mà
12 13<
.
Vậy
2 3
<
13
b) Ta có:
2

9 9 81= =

2
4 5 4 .5 80= =
Mà
81 80>
.
Vậy 9 >
4 5
c) Ta có:
2
1 1 17
51 .51
3 3 3
= =

2
1 1 18
150 .150 6
5 5 3
= = =
Mà
17 18
3 3
<
.
Vậy
1
51
3

<
1
150
5
.
d) Ta có:
2
1 1 3
6 .6
2 2 2
= =

2
1 1 36
6 6 . 18
2 2 2
= = =
Mà
3 36
2 2
<
.
Vậy
1
6
2
<
1
6
2

.
Bài tập 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
3 2x 5 8x 7 18x 28− + +
với x ≥ 0
b)
5431502965244 +−+

c)
30021123635486 −+−
d)
5001283325452 −+−
Giải
a) Với x ≥ 0, ta có:
( )
3 2x 5 8x 7 18x 28 3 2x 10 2x 21 2x 28 3 10 21 2x 28 14 2x 28− + + = − + + = − + + = +

b)
( )
4 24 5 96 2 150 3 54 8 6 20 6 10 6 9 6 8 20 10 9 6 27 6+ − + = + − + = + − + =

c)
( ) ( )
6 48 5 63 3 112 2 300
24 3 15 7 12 7 20 3
24 20 3 15 12 7
4 3 3 7
− + −
= − + −
= − + − +

= −
d)
( ) ( )
2 45 5 32 3 128 500 6 5 20 2 20 2 10 5 6 10 5 20 20 2 4 5− + − = − + − = − + − + = −
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
Bài tập 5: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
( )
2
2 2
3 x y
2
x y 2
+
−
với x ≥ 0, y ≥ 0 và x ≠ y;
b)
( )
2 2
2
5x 1 4x 4x
2x 1
− +
−
với x > 0,5
Giải
a) Với x ≥ 0, y ≥ 0 và x ≠ y, ta có:
( )

( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
3 x y x y 6x y
2 3.2 6
x y 2 x y x y 2 x y x y x y
+ ++
= = =
− + − + − −

b) Ta có:
( )
( )
2
2 2 2
2x 1 2x
2 2
5x 1 4x 4x 5x 1 2a . 5
2x 1 2x 1 2x 1
−
− + = − =
− − −
Ta có: Vì x > 0,5 nên
1 2x 2x 1− = −
.
Suy ra:
( )

2x 2x 12x 1 2x
. 5 . 5 2x 5
2x 1 2x 1
−−
= =
− −
Vậy
( )
2 2
2
5x 1 4x 4x 2x 5
2x 1
− + =
−
.
Bài tập tự luyện:
Bài tập 1: Rút gọn các biểu thức:
a)
2002216354586 −+−
b)
3003272485 −+
c)
651507542243 +−+
d)
3003272485 −+

Bài tập 2: Rút gọn các biểu thức:
a)
200722323 −+
b)

10821125634753 −+−

c)
3 54 2 150 294+ −
d)
2832161126245 ++−
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
BÀI 7: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
(Tiếp)
I. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn:
a) Cho A, B sao cho A.B ≥ 0 và B ≠ 0, ta có:
( )
2
A A A. B AB
B B
B
B
= = =
b) Cho A bất kì, B > 0, ta có:
( )
2
A A B A B
B
B
B
= =
2. Trục căn thức ở mẫu:

a) Cho A bất kỳ và B > 0, ta có:
A A B
B
B
=
b) Cho A, B, C thỏa mãn A ≥ 0, A ≠ B
2
, C bất kỳ, ta có:
( )
( )
( )
2
2
2
C A B C A B
C
A B
A B
A B
= =
−
±
−
m m
c) Cho A, B, C thỏa mãn A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B, C bất kỳ, ta có:
( )
( ) ( )
( )
2 2
C A B C A B

C
A B
A B
A B
= =
−
±
−
m m
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
63
2
1
7
4
3
7
76
35
7
1
7 −−+
b)
80
5
1
5
9

5
6
5
15
−+−
Giải
a)
1 35 7 4 1
7 63
7 3 7 2
6 7
+ − −
( )
2 2 2
2
2
7 35 7 1 7 .2 1
7.3
7 3 7 2
6 7
= + − −

5 7 2 7 3
7 7
6 3 2
= + − −
5 2 3
1 7
6 3 2
1

7
3
 
= + − −
 ÷
 
= −
b)
80
5
1
5
9
5
6
5
15
−+−
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
( )
( )
2 2
2
15 5 3 .5 5
2 4 5
9 5
5
3 5 2 5 5 4 5

3 2 1 4 5
2 5
= − + −
= − + −
= − + −
= −
Bài tập 2: Rút gọn các biểu thức:
a)
3 2 3 3
A
3 3 1 3 1
−
= − +
+ −

b)
5 4 5- 5
B = - +
5 5 +1 5 -1

c)
6 5 6 6
C
6 6 1 6 1
−
= − +
+ −
Giải
a)
3 2 3 3

A
3 3 1 3 1
−
= − +
+ −

( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
3 2 3 1 3 3 1
3 3 1
3 1
3 3 1 3
3 3 1 3
1 3
− −
= − +
−
−
= − − +
= − + +
= +
b)
5 4 5- 5
B = - +
5 5 +1 5 -1

( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
5 4 5 1 5 5 1
= - +
5 5 -1
5 -1
5 5 1 5
5 5 1 5
1 5
− −
= − − +
= − + +
= +
c)
6 5 6 6
C
6 6 1 6 1
−
= − +
+ −
( ) ( )
( )
( )
2

2
2
6 5 6 1 6 6 1
6 6 1
6 1
− −
= − +
−
−
( )
6 6 1 6 6 6 1 6 1 6= − − + = − + + = +
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
LUYỆN TẬP
Bài tập 1: Rút gọn các biểu thức sau: Với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa.
a)
( )
2
12 2 3−
b)
2 2
1
xy
x y
c)
2 4
4 2
x x
y y

+
Giải
a)
( ) ( ) ( )
2 2
2
12 2 3 2 .3 2 3 2 2 3 3 2 3 3 2 6 2 6− = − = − = − = −
b)
2 2
1 1
xy xy
x y xy
=
c)
2 4 2
2 2
4 2 2 2 2
x x x 1 x 1
x x
y y y y y y
 
+ = + = +
 ÷
 
Bài tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
3 3
1 3
+
+

b)
6 3
1 2
−
−
c)
6 2
27 3
−
−
d)
6
7 1+
Giải
a)
( )
3 3 1
3 3
3
1 3 3 1
+
+
= =
+ +
b)
( ) ( )
3 2 1 3 2 1
6 3
3
1 2 1 2 2 1

− −
−
= = − = −
− − −

Lưu ý: Khi đổi vị trí các hạng tử của mẫu thức b - a thành a - b thì phải đổi dấu của phân thức.
c)
( ) ( )
( )
2 3 1 2 3 1
6 2 2
3
27 3 3 3 3
3 3 1
− −
−
= = =
− −
−
d)
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
6 7 1 6 7 1 6 7 1
6
7 1
6

7 1
7 1 7 1
7 1
− − −
= = = = −
+
+ −
−
Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Với x, y là các số thực khơng âm.
a)
xy y x x 1+ + +
b)
3 3 2 2
x y x y xy− + −
Giải
a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
xy y x x 1 xy y x x 1 y x 1 x 1 x 1 y 1+ + + = + + + = + + + = + +
b)
3 3 2 2
x y x y xy− + −
(
)
(
)
3 3 2 2
x y x y xy= − + −
( ) ( ) ( )
x y x xy y xy x y= − + + + −

( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
x y x xy y xy
x y x xy y xy
x y x y
 
= − + + −
 
= − + + −
= − +
Bài tập 4: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:
2 3, 2 2, 3 5, 5 3
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
Giải
Ta có:
2
2
2
5
2 3 2 .3 12
2 2 2 .2 8
3 5 3 .5 45
5 3 5 .3 75
= =
= =
= =

= =
Mà
8 12 45 75< < <
Vậy
2 2, 2 3, 3 5, 5 3
.
BÀI 8: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
Cơng thức giải tốn:
- Nếu ở mẫu là
A B+
thì nhân liên hợp với
A B−
.
- Nếu ở mẫu là
A
thì nhân liên hợp với
A
.
- Nếu
2
A B C+ ≠
thì:
( )
2
B 1
2A 2 B
A B
2 2
+

+
+ = =
với
( )
2
B 1 2A+ =
- Nếu
A B+
khơng phân tích được
2
C
và cũng khơng có dạng "trên" thì phải nhân liên hợp với
A B−
nếu trục căn thức ở mẫu. Để đưa được về dạng:
( )
2
2 2
A B. A B A B A B+ − = − = −
- Nếu gặp bài tốn dạng
Q A B A B= ± ± m
mà khơng đưa được thừa số ra ngồi dấu căn thì
phải bình phương hai vế. Và rút gọn dần.
Chú ý:
( ) ( )
A B A B+ −
.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
3 5x 20x 4 45x 5x− + +

với
x 0
≥
b)
1 1
5 20 5
5 2
+ +
Giải
a) Với
x 0≥
, ta có:
( )
3 5x 20x 4 45x 5x 3 5x 2 5x 12 5x 5x 3 2 12 1 5x 14 5x− + + = − + + = − + + =
.
b)
2
1 1 5 2 5
5 20 5 5 5 5 5 3 5
5 2 5 2
+ + = + + = + + =
.
Bài tập 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
A 3 2 2 3 2 2= + − −
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
b)
6 6

B = -
7 - 2 6 +1 7 + 24 -1
Giải
a)
A 3 2 2 3 2 2= + − −
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2 2.1 1 2 2 2.1 1
3 1 3 1
3 1 3 1
3 1 3 1
2
= + + − − +
= + − −
= + − −
= + − +
=
b)
6 6
B = -
7 - 2 6 +1 7 + 24 -1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2

2 2
6 6
= -
6 - 2 6 +1 +1 6 + 2 6 +1 -1
6 6
= -
6 1 +1 6 1 -1
6 6
6 1 1 6 1 1
6 6
6 6
6 6
2 6
− +
= +
− + + −
= +
= +
=
Bài tập 4: Rút gọn các biểu thức sau:
7 3 7 7
P
7 7 2 7 1
−
= − +
+ −

Giải
7 3 7 7
P

7 7 2 7 1
−
= − +
+ −

( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
2
7 3 7 2 7 7 1
7 7 1
7 2
7 7 2 7
2 7
− −
= − +
−
−
= − − +
= +

Bài tập 5: Tìm x, biết:
a)
3 4x 4 9x 9 6− − − =
b)
8x 4 2x 1 1 2+ − + − =

Giải
a)
3 4x 4 9x 9 6− − − =
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423
.:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 9 - HỌC KỲ I ::.
( ) ( )
3 4 x 1 9 x 1 6− − − =
⇔
6 x 1 3 x 1 6⇔ − − − =
3 x 1 6⇔ − =
6
x 1
3
⇔ − =
2
x 1 2
x 1 2
x 5
⇔ − =
⇔ − =
⇔ =
b)
8x 4 2x 1 1 2+ − + − =

( )
2
4 2x 1 2x 1 3
2 2x 1 2x 1 3
2x 1 3

2x 1 3
2x 8
x 4
⇔ + − + =
⇔ + − + =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ =
⇔ =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
3 3
A
7 2 7 2
= +
− +
b)
2 2
B
1 2 1 1 2 1
= −
+ + + −
c) C =
2 2
7 3
3 4 7 2 3 4 7 2 3
2 2
   
+ + − − + − + + −

 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Bài tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
1 1
P
2 3 5 2 3 5
= +
− − + +
b)
Q (4 15)(3 15) 4 15= + − −
Bài tập 3: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
25
1
:
12
22
25
525
−









+
+
+
+
+
b)
53
2
15
2
−
−
+
c)
336
2
13
2
−
−
+
d)
75
1
:
17
77
25
525
−









+
+
+
+
+

e)
4 4
3 3
2 3 5 2 3 7 3 5 6 3 3
2 2
   
− − − + + − − − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Bài tập 4: Rút gọn các biểu thức sau:
Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213
423