Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn toán ( và bài tập áp dụng )

Đề cương ơn tập Tốn 12

HƯỚNG DẪN ƠN THI TỐT NGHIỆP
MƠN TỐN
****************************
A/ CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MƠN TỐN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu I (3 điểm):
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: biện luận số
nghiệm của phương trình theo tham số m; định giá trị của tham số m để phương trình có
nghiệm…
Câu II (3 điểm):
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit.
- Tìm ngun hàm, tính tích phân.
Câu III (1 điểm):
Hình học khơng gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình
trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn
xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu IV.(2 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng; tính khoảng cách từ một điểm đến ặt
phẳng.
Câu V.(1 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Số phức: mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm.
Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng
B/ MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG

PHẦN I: GIẢI TÍCH
Chủ đề I:
DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ:
I/ Khảo sát hàm đa thức:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức:
B1: Tập xác đònh: D= ¡ .
lim y =

B2: Tìm x →±∞
B3: Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm của phương trình y’= 0, tính giá trò của hàm số tại
các nghiệm vừa tìm được.
B4: Lập bảng biến thiên
x
f’(x)
f(x)

Ghi tập xác đònh và nghiệm của phương trình y/=0
Xét dấu y/
1
Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số


Đề cương ơn tập Tốn 12

B5: Tính đạo hàm cấp 2, tìm nghiệm của y”= 0 ⇒ điểm uốn.
B6: Tìm điểm đặc biệt thường tìm một điểm có hoành độ nhỏ hơn cực trò bên trái và
một điểm có hoành độ lớn hơn cực trò bên phải.
B7:Vẽ đồ thò

Các dạng đồ thò hàm bậc 3:

y
y

0

x

y

0

x

y

0

x

0

x

 y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

a > 0

 y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

a < 0

 y ' ≥ 0 ∀x

a > 0

Chú ý: Đồ thò hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Các dạng đồ thò hàm trùng phương:

 y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt

a > 0

 y ' = 0 có 1 nghiệm đơn

a > 0

 y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt  y ' = 0 có 1 nghiệm đơn


a < 0
a < 0

Chú ý: Đồ thò hàm trùng phương luôn nhận trục oy làm trục đối xứng.
2/ Ví dụ 1: Khảo sát các hàm số y = x3+3x2– 4
Giải:
Tập xác đònh: D = R
lim y = ±∞
x →±∞

 x = 0 ⇒ y = −4

y′ = 3x2+6x = 3x(x+2), cho y′ = 0 ⇔ 
 x = −2 ⇒ y = 0

Lập bảng biến thiên.
2

 y ' ≤ 0 ∀x

a < 0


Đề cương ơn tập Tốn 12

x

−∞

-2

0

+∞
y/
y

+

0
0

-

0
CT

+

+∞
-∞
CĐ
-4
y′′ = 6 x + 6 cho y′′ = 0 ⇔ x= –1 ⇒ y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1 ⇒ I(-1 ;-2) là điểm uốn

Điểm đặc biệt: A(1;0) B(-3;-4)
Vẽ đồ thò hàm số:

2

4

y

-2

1

x

-2

-4

Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = 2x2– x4
Giải

MXĐ : D= R
lim y = −∞
x →±∞

y′ = 4x–4x3 = 4x(1–x2)

Lập bảng biến thiên:
−∞
x
+∞
y/
+
y
-∞
-∞

 x = 0 ⇒ y=0

cho y′ = 0 ⇔ 4x(1–x2)=0 ⇔  x = ± 1 ⇒ y=1

-1
0
1
CĐ

0
-

1

0
CT
0

+

0
1
CĐ

5
y′′ = 4–12x2 cho y′′ = 0 ⇔ x = ± 3 ⇒ y=
9
3
y′′ đổi dấu qua x = ± 3 ⇒ Đồ thị hàm số có 2 điêm uốn là
3

Điểm đặc biệt: A ( 2; 0 ) B ( − 2; 0 )
Đồ thò:

2

3

y

1

x


3 5
; ÷
 ±
÷
 3 9

-


Đề cương ơn tập Tốn 12

II/ Khảo sát hàm nhất biến:
ax + b
1/ Sơ đồ khảo sát hàm y =
:
cx + d
 −d 

B1: TXĐ D = R\  c 
 
B2: Tiệm cận ngang là:

y=

a
c

a.d − b.c

−d

. Tiệm cận đứng là x = c .

B3: Tính đạo hàm y’= ( cx + d ) 2 ⇒ tính đơn điệu của hàm số
B4: Lập bảng biến thiên.
x
Ghi miền xác đònh của hàm số
f’(x)
Xét dấu y/
f(x)
Ghi khoảng tăng giảm của hàm số
B5:Tìm giao điểm của đồ thò với các trục toạ độ , có thể lấy thêm một số điểm khác
để dễ vẽ.
B6:Vẽ đồ thò
Dạng đồ thò hàm b1/b1
y’< 0 ∀x ∈ D

y’> 0 ∀x ∈ D

2x − 2

2/ Ví dụ: Khảo sát hàm số : y = x + 1 .
MXĐ: D= R\ { −1}
y′ =

4

∀x ∈ D ⇒ hàm số luôn đồng biến trên từng khỏang xác đònh của nó.
( x + 1) 2 > 0
TCĐ: x=–1 ; TCN: y = 2
Lập bảng biến thiên.

x
y/
y

-∞
2

+∞

-1
+

+∞

+
2

-∞

4

Đề cương ơn tập Tốn 12

Điểm đặc biệt: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4)
Đồ thò:
y
8
6
4
2
-8

-6

-4

-2

-2

x
2

4

6

8

-4
-6

-8

Chủ đề II: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ
I/ Bài toán : Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò
Dùng đồ thò biện luận số nghiệm của phương trình f(x)= ϕ (m) .
Phương pháp giải:
B1: Vẽ đồ thò (C) của hàm f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số )
B2: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng y=
ϕ (m) . Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm.
Ví dụ:
Cho hàm số y=x3 – 6x2 + 9x (C).
Dùng đồ thò (C) biện luận số nghiệm của phương trình x 3 – 6x2 6 y
+ 9x – m = 0
Giải:
4
3
2
Phương trình x – 6x + 9x – m = 0
⇔ x3 – 6x2 + 9x = m
2
Số nghiệm của phương trình là số giao
điểm của đồ thò (C) và đường thẳng d: y=m.
5
dựa vào đồ thò ta có:
-2
Nếu m > 4 phương trình có 1 nghiệm.
Nếu m = 4 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu 0< m <4 phương trình có 3 nghiệm.
Nếu m=0 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu m < 0 phương trình có 1 nghiệm.

Bài tập
Bài 1: a/ Khảo sát hàm số y= x4 – 4 x2 + 5.
b/ Dùng đồ thò (C) của hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm của
phương trình:
x4 – 4 x2 + 5=m.
Bài 2: Cho hàm số y= x3 - 3x – 2 có đồ thò (C)
5

x


Đề cương ơn tập Tốn 12

a/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số.
b/ Dùng đồ thò (C), đònh m để phương trình: x 3 - 3x – 2=m có 3 nghiệm phân
biệt.
Bài 3: Cho hµm sè : y = x 3 - 3x 2 + 2
a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ ( C ) cđa hµm sè.
b) BiƯn ln theo m sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh: x3 -3x2 +m + 1=0
Bài 4: Cho hµm sè y = x 4 − 2x 2 − 1 cã ®å thÞ (C)
a.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C).
b.
Dïng ®å thÞ (C), h·y biƯn ln theo m sè nghiƯm thùc cđa ph¬ng tr×nh
x 4 − 2x 2 − m = 0

(*)
1
4

Bài 5: Cho hàm số y = x 4 − x 2 có đồ thị (C)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b. Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
x 4 − 4x 2 − 4m = 0 (*)
Bài 6 : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1.
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2). Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m :
m
x3 + 3x2 + 1 = 2 .
Bài 7: Cho hàm số: y = 2 x 2 − x 4
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 4 − 2 x 2 + m = 0 .
Bài 8: Cho hàm số y =

x4
5
− 3x 2 +
2
2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dựa vào (C); biện luận theo m số nghiệm phương trình:

x 4 − 6 x 2 + 5 − 2m = 0

Bài 9: Cho hàm số y = x3 + 3x2 - 2
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b/ Bằng phương pháp đồ thị, tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm
II/ Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến.
Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C)
trong các trường hợp sau:

1/ Tại điểm có toạ độ (x0;f(x0)) :
B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0)
/
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0;f(x0)) là: y = f (x 0 ) (x–x0) + f(x0)
2/ Tại điểm trên đồ thò (C) có hoành độ x0 :
B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0), f(x0)
/
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 là:y = f (x 0 ) (x–x0) +
f(x0)
6


Đề cương ơn tập Tốn 12

3/ Tại điểm trên đồ thò (C) có tung độä y0 :
B1: Tìm f ’(x) .
B2:Do tung độ là y0 ⇔ f(x0)=y0. giải phương trình này tìm được x0 ⇒ f /(x0)
/
B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là:y = f (x 0 ) (x–x0) + y0
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm .
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :
f ′( x 0 ) =k
(*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x0 ⇒ f(x0) ⇒ phương trình tiếp tuyến.
Chú ý:
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a.
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0).a=-1.
Ví dụ 1 :
Cho đường cong (C) y = x3.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :

a.Tại điểm A(-1 ; -1)
b.Tại điểm có hoành độ bằng –2
c.Tại điểm có tung độä bằng –8
d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
Giải:
Ta có y’= 3.x2
 x 0 = −1

a/ Tiếp tuyến tại A(-1;-1) ∈ (C ) có f(x ) = −1 ⇒ f’(x0)= 3.(-1)2 = 3 ⇒ phương trình
 0
tiếp tuyến là: y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) = 3.(x+1) + (-1)
 f(x 0 ) = −8

b/ Ta có x0= -2 ⇒ f '(x ) = 12 ⇒ Ph.trình tiếp tuyến là y= 12(x+2) – 8 =12x + 16
0

3

c/ Ta có tung độä bằng y0= –8 ⇔ f(x0)= -8 ⇔ x0 =-8 ⇒ x0=-2 ⇒ f’(x0)=12 ⇒ Phương
trình tiếp tuyến là: y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16
2
d/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 ⇔ f’(x0)=3 ⇔ 3. x0 =3 ⇔ x0= ± 1
với x0=1 ⇒ f(x0)=1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 .
với x0=-1 ⇒ f(x0)= -1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2.
Bài tập
Bài 1: Cho hàm số y= x3 - 3x2 có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành.
b/ Tại điểm có hoành độ = 4.
c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3.
d/ Biết tiếp tuyến song song với đường

thẳng y= 9x + 2005.
1

e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= 3 x + 2006.
qua A(1;-2).
Bài 2: Cho hàm số y=

−x2 + x
x +1

f/Biết tiếp tuyến đi

có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)

a/ Tại các giao điểm với trục hoành.

b/ Tại điểm có hoành độ = 2.
7


Đề cương ơn tập Tốn 12

3
2

c/ Tại điểm có tung độ y=- . d/Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= - 1.
tuyến đi qua A(2;0).

e/Biết tiếp

Chủ đề III: Phương trình, bất phương trình mũ loga
1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit :
a/ Phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng ax= b ( a> 0 , a ≠ 0 )
Dạng log a x = b ( a> 0 , a ≠ 0 )
• b ≤ 0 : pt vô nghiệm
• Điều kiện : x > 0
x
b
• log a x = b ⇔ x = a
• b>0 : a = b ⇔ x = log a b
b/Bất phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng log a x > b ( a> 0 , a ≠ 0 )
Dạng ax > b ( a> 0 , a ≠ 0 )
• Điều kiện : x > 0
• b ≤ 0 : Bpt có tập nghiệm R
b
• log a x > b ⇔ x > a , khi a >1
• b>0 :
x
log a x > b ⇔ x < a b , khi 0 < x < 1
. a > b ⇔ x > log a b , khi a>1
x
. a > b ⇔ x < log a b , khi 0 < a < 1

Bài tập
Phương trình mũ:
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải các phương trình sau
5

a) 2 x−4 = 3 4

b) 2 x −6 x− 2 = 16 2

d) 2 x − x +8 = 41−3 x

e) 52x + 1 – 3. 52x -1 = 110

2

2

c) 32 x −3 = 9 x +3 x −5
2

x +5

f) 2x + 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2
Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 2 : Giải các phương trình
a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12
c) 5

2x + 4

– 110.5

x+1

g)

(

5+2 6

) (
x

+

g) (1,25)1 – x = (0, 64) 2(1+

x

)

2

+

8
=0
5

f) ( 4 − 15 ) + ( 4 + 15 ) = 2
x

x

= 10 h)32 x +1 − 9.3x + 6 = 0

i) 7 x + 2.71− x − 9 = 0 (TN – 2007)
Dạng 3. Logarit hóạ
Bài 3 Giải các phương trình
a) 2x - 2 = 3
b) 3x + 1 = 5x – 2
d) 2 x −2 = 5 x −5 x +6

x+1

5
2
d)  ÷ − 2  ÷
2
5

x

5−2 6

x)

b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0

– 75 = 0

e) 5 x − 53− x = 20

x +17

1
4

f) 32 x −7 = 128 x −3

j) 22 x + 2 − 9.2 x + 2 = 0

c) 3x – 3 = 5x −7 x +12
x −1
e) 5x.8 x = 500 f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x
2

8


Đề cương ơn tập Tốn 12

Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu
Bài 4: giải các phương trình
a) 3x + 4 x = 5x
b) 3x – 12x = 4x
c) 1 + 3x/2 = 2x
Phương trình logarit
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 5: giải các phương trình
a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
c) log4x + log2x + 2log16x = 5
d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0
e) log3x = log9(4x + 5) + ½

f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2
x–2
x–2
g) log2(9 +7) – 2 = log2( 3 + 1)
h) log 3 ( x + 2 ) + log3 ( x − 2 ) = log 3 5
Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 6: giải phương trình
1

2

a) 4 − ln x + 2 + ln x = 1
c) logx + 17 + log9x7 = 0
e) log1/3x + 5/2 = logx3

b) logx2 + log2x = 5/2
d) log2x + 10 log 2 x + 6 = 9
f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x

2
g) log 2 x + 3log 2 x + log 1 2 x = 2

h) lg x 16 + l o g 2 x 64 = 3
2

Dạng 3 mũ hóa
Bài 7: giải các phương trình
a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x)

b) log3(3x – 8) = 2 – x

Bất phương trình mũ
Bài 8: Giải các bất phương trình
a) 16

x–4

d) 4

2 x+ 5

≥8

1
b)  ÷
 3

>1

1
e) 2  ÷
2

4 x 2 −15 x + 4

x2 − x + 6

6

c) 9 x ≤ 3 x+ 2

<9

< 23 x −4 f) 52x + 2 > 3. 5x

Bài 9: Giải các bất phương trình
a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17

b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3

1

1

c) 4 x −1 > 2 x − 2 + 3

d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x
e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15
f) 4x +1 -16x ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x
Bài 10: Giải các bất phương trình
a) 3x +1 > 5 b) (1/2) 2x - 3≤ 3
c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - 3 x – 2)
Bất phương trình logarit
Bài 11: Giải các bất phương trình
a) log4(x + 7) > log4(1 – x)
b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4
2
c) log2( x – 4x – 5) < 4
d) log1/2(log3x) ≥ 0
e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3

f) log2x(x2 -5x + 6) < 1
9


Đề cương ơn tập Tốn 12

3x − 1

g) log 1 x + 2 > 1
3
Bài 12: Giải các bất phương trình
a) log22 + log2x ≤ 0

b) log1/3x > logx3 – 5/2
1

1

e) log x 2.log x 16 2 > log x − 6
2

1

d) 1 − log x + log x > 1

c) log2 x + log2x 8 ≤ 4

f) log 4 (3x − 1).log 14 (

Bài 13. Giải các bất phương trình

a) log3(x + 2) ≥ 2 – x
c) log2( 5 – x) > x + 1

3x − 1 3
)≤
16
4

b) log5(2x + 1) < 5 – 2x
d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2

Chủ đề IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I/TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ:
1/Các kiến thức cần nắm vững :
Các đònh nghóa nguyên hàm và họ nguyên hàm, các tính chất của nguyên
hàm.
Bảng nguyên hàm thường dùng.

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ
CẤP THƯỜNG GẶP

NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HP
: u = u( x )

10


Đề cương ơn tập Tốn 12

1, ∫ dx = x + C.
2, ∫ x α dx =
3, ∫

1, ∫ du = u + C.

x α +1
+ C , α ≠ −1.
α +1

2, ∫ u α du =

dx
= ln x + C , x ≠ 0.
x

3, ∫

4, ∫ e x dx = e x + C.
5, ∫ a x dx =

u α +1
+ C , α ≠ −1.
α +1

du
= ln u + C , u = u ( x ) ≠ 0.
u

4, ∫ e u du = e u + C.

ax
+ C , 0 < a ≠ 1.
ln a

5, ∫ a u du =

au
+ C , 0 < a ≠ 1.
ln a

6, ∫ cos x.dx = sin x + C

6, ∫ cos u.du = sin u + C

7, ∫ sin x.dx = − cos x + C

7, ∫ sin u.du = − cos u + C

dx
= tgx + C
cos 2 x
dx
9, ∫
= − cot gx + C
sin 2 x

8, ∫

du

= tgu + C
cos 2 u
du
9, ∫ 2 = − cot gu + C
sin u

8, ∫

2/Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng đònh nghóa và tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau đó vận
dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả.
Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
a) f(x) = x3 – 3x +

1
x

b) f(x) = 2 x + 3 x

c) f(x) = (5x + 3)5

d) f(x) = sin4x

cosx
Giải

1
1

x4 3 2
3
a/ ∫ f ( x )dx = ∫ (x - 3x + )dx = ∫ x dx − 3∫ xdx + ∫ dx = − x + ln x + c
x
x
4 2
3

2x
3x
+
+c
ln 2 ln 3
d (5x + 3) (5 x + 3)6
=
+c
c/ ∫ f ( x )dx =∫ (5x+ 3)5 dx =∫ (5x+ 3)5
5
30
sin 5 x
+c
d/ ∫ f ( x )dx =∫ sin 4 x cosxdx =∫ sin 4 x d (sin x ) =
5

b/ ∫ f ( x )dx = ∫ (2 x + 3x ) dx =∫ 2 x dx + ∫ 3x dx =

Dạng 2: Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện cho trước.
Phương pháp giải:
B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho
B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ

nguyên hàm ⇒ nguyên hàm cần tìm.
π

Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F( 6 )= 0.
Giải
11


Đề cương ơn tập Tốn 12

1
π
π
1
π
π
cos3x + C. Do F( ) = 0 ⇔
- cos + C = 0 ⇔ C = - .
3
6
6 3
2
6
1
π
Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – cos3x 3
6

Ta có F(x)= x –

Bài tập
1. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin2x.cosx, biết giá trò của nguyên
π
− 3
khi x=
3
8

hàm bằng

1

2. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e1-2x , biết F( 2 ) = 0

1
2 x 3 + 3x 2 + 3x − 1
1)
=
3. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
,
biế
t
F(
3
x2 + 2x + 1

II/ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN :
1/Các kiến thức cần nắm vững :
Bảng nguyên hàm thường dùng.
Đònh nghóa tích phân, các tính chất của tích phân.

Các phương pháp tính tích phân..
2/Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tính tích phân bằng đònh nghóa và tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng
bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả.
Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau:
3

π
4

a/ ∫ ( x + 1)dx

b/ ∫ (

3

− π4

−1

4
− 3sin x )dx
cos2 x

c/

2

∫

x − 1 dx

−2

Giải
3

∫ (x

a/

−1

3

+ 1)dx =

3

3

x

4

∫ x dx + ∫ 1dx = ( 4
3

−1

3

+ x)

−1

π
4

=(
−1

π
4

81
1
+ 3) − ( − 1) = 24
4
4

π

π
4
4
1
4 =

(
−
3sin
x
)
dx
=
4
dx
−
3
sin
xdx
=
(4
tgx
+
3
cos
x
)
b/ ∫ cos2 x
2
π
∫
∫
−
cos x
−π
−π

−π
4
4

4

4

= (4 tgπ4 +3cosπ4 )−[4 tg( − π4 )+3cos( − π4 )] =8
c/

2

∫

−2

1

2

1

2

−2

1

−2

1

x − 1 dx = ∫ x − 1 dx + ∫ x − 1 dx = ∫ (1 − x )dx + ∫ ( x − 1)dx =(x-

x2 1
x2
2
) −2 + ( − x ) 1 =5
2
2

Bài tập
Tính các tích phân sau:
π
2

1/I= ∫ (3 + cos 2 x ).dx
0

1

1

2/J= ∫ (e + 2)dx

2
3/K= ∫ (6 x + 4 x )dx

x

0

0

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1:
Phương pháp giải:
b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) ⇒ dx = u′(t). dt
12


Đề cương ơn tập Tốn 12

b2: Đổi cận:
x = a ⇒ u(t) = a ⇒ t = α
x = b ⇒ u(t) = b ⇒ t = β ( chọn α , β thoả đk đặt ở trên)
b

∫ f(x)dx

b3: Viết

a

về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân .

1

2
Ví dụ: Tính : ∫ 1 − x dx

0

π

Đặt x = sint ⇒ dx = cost.dt. Vì x ∈ [0;1] nên ta chọn t∈ [0; 2 ]
π

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0 ;
1

Vậy :

∫
0

1 − x dx =
2

π
2

x= 1 ⇒ t = 2
π
2

π
1
1
s in2t π2
=

cos
t.dt
=
(1
+
cos
2t).dt=
(
t
+
)
0
∫0
4
2 ∫0
2
2
2

Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :


a 2 − x 2 thì đặt x= a sint



a 2 + x 2 thì đặt x= a tgt



x 2 − a 2 thì đặt x=
b

a
sin t

π π
2 2
π π
t ∈ (− ; )
2 2
π π
t∈ [− ; ] \ { 0}
2 2

t∈ [− ; ]

Dạng 2: Tính tích phân ∫ f[ϕ (x)]ϕ '(x)dx bằng phương pháp đổi biến.
a

Phương pháp giải:
b1: Đặt t = ϕ (x) ⇒ dt = ϕ '( x ). dx
b2: Đổi cận:
x = a ⇒ t = ϕ (a) ; x = b ⇒ t = ϕ (b)
b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được .
Ví dụ : Tính tích phân sau :
1

a/ I = ∫
0

2x +1
dx
x2 + x + 1

1

b/ J = ∫ x 2 + 3.x.dx
0

Giải:
a/ Đặt t = x + x +1 ⇒ dt = (2x+1) dx
2

Đổi cận:

3

3

dt
x = 0 ⇒ t =1 ; x = 1 ⇒ t = 3 Vậy I= ∫ = ln t = ln 3
t
1
1

b/ Đặt t= x 2 + 3 ⇒ t2= x2+ 3 ⇒ tdt = x dx
Đổi cận:

2

t3
x = 0 ⇒ t = 3 ; x = 1 ⇒ t = 2 Vậy J = ∫ t dt =
3
3

Bài tập
Tính các tích phân sau:
13

2

2

3

1
= (8 − 3 3)
3


Đề cương ơn tập Tốn 12
π
2

1

ex
2/ ∫ e x + 1 dx
0

1/ ∫ esin x .cos x.dx
0

e

1

1 + ln x
dx
x

3/ ∫
1

2
5
4/ ∫ x( x + 3) dx
0

Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần:
b

Công thức từng phần :

∫ u.dv = u.v

b
a

a

b

− ∫ v.du
a

Phương pháp giải:
B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du. phần còn lại là
dv tìm v.
B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần.
b

B3: Tích phân

∫ vdu
a

suy ra kết quả.

Chú ý:
b

a/Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho ∫ vdu dễ tính hơn
a

hơn phải tìm cách đặt khác.

b

∫ udv

nếu khó

a

b

b/Khi gặp tích phân dạng : ∫ P( x ).Q( x ).dx
a

- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b)
thì ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx
Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên.
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
π
2

e

b/J= ∫ x.ln x.dx

a/ I= ∫ x.cos x.dx

1

0

Giải

u = x
du = dx
⇒
(chú ý: v là một nguyên hàm của cosx )
dv = cos x.dx v = sin x

a/ Đặt : 

vậy I=x cosx

π
2
0

π
2

- ∫ sin x.dx = cosx

π
2
0

= -1

0

du = 1 .dx


u = ln x
x
⇒

b/ Đặt : 
dv = x.dx v = x 2

2
e
e
x2 1
e2 1
e2 1 2 e e2 + 1
x2 e
.
dx
=
−
xdx
=
− x =
Vậy J= lnx.
∫
2 2 ∫1
2 4 1
4
2 1 1 2 x

Bài tập
Tính các tích phân sau:

14


Đề cương ơn tập Tốn 12
1

π
4

1/ ∫ x.e dx 2/ ∫
3x

0

0

x
dx
cos2 x

e

5

1

2

π
2

3/ ∫ ln x.dx 4/ ∫ 2 x.ln( x − 1).dx 5/ ∫ e x .cos x.dx
0

Dạng 4: Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp:
a/Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu:
Phương pháp giải:
Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân
số rồi tính.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
2

2

2x
1
1
1
2
a/ ò 2 x - 1 dx =ò (1 + 2 x - 1)dx = [ x + 2 ln 2 x - 1]1 = 1 + 2 ln 3
1
1
0

1

= 2 ln 3 .

0

x 3 + 3x + 1
5
x3 x2
23
2
dx
=
(
x
+
x
+
4
+
)
dx
=
[
+
+ 4 x + ln x - 1]-0 1 = - ln 2
b/ ò x - 1
ò
x- 1
3
2
6
- 1
- 1

Bài tập

Tính các tích phân sau:
2

x 3 + 2 x 2 − 3x
dx
1/I= ∫
x2
1

4

2 x 2 + 5x + 3
dx
2/J= ∫
x +1
3

b/Dạng bậc1 trên bậc 2:
Phương pháp giải:
Tách thành tổng các tích phân rồi tính.
Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt:
2

Ví dụ: Tính các tích phân :

5( x - 1) dx
ò x2 - x - 6
1

Giải

5x - 5
A
B
A( x - 3) + B( x + 2)
5( x - 1)
= ( x + 2)( x - 3) = x + 2 + x - 3 = ( x + 2)( x - 3)
2
x - x- 6
⇒ A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 ⇒ A=3. cho x=3 ⇒ B=2. vậy ta có:

Đặt
2

2

5( x - 1) dx
3
2
16
2
ò x 2 - x - 6 = ò( x + 2 + x - 3 )dx = (3ln x + 2 + 2 ln x - 3 ) 1 = ln 27
1
1

Trường hợp mẫu số có nghiệm kép:
1

Ví dụ: Tính các tích phân :

0

1

1

(2 x + 1)dx
2
- 4x + 4

òx

Giải

1

1

(2 x + 1)dx
2x - 4
5
d ( x 2 - 4 x + 4)
1
=
(
+
)
dx
=
CI: ò x 2 - 4 x + 4 ò x 2 - 4 x + 4 x 2 - 4 x + 4

ò x 2 - 4 x + 4 + 5ò ( x - 2)2 dx
0
0
0
0
5
5
1
2
)
= − ln 4
=(ln x − 4 x + 4 −
x −2 0 2
2x + 1
2x + 1
A
B
A( x - 2) + B
CII: Đặt x 2 - 4 x + 4 = ( x - 2)2 = x - 2 + ( x - 2)2 = ( x - 2)2 Û A( x - 2) + B = 2 x + 1
15


Đề cương ơn tập Tốn 12

A = 2
A = 2
⇔ Ax -2A+B= 0 ⇔ 
⇔
 −2 A + B = 1  B = 5
1

1
1
2 x + 1dx
2
5
5
5
) = − ln 4
Vậy ò x 2 - 4 x + 4 = ò[ x - 2 + ( x - 2)2 ]dx = (2ln x-2 x-2 0 2
0
0

Trường hợp mẫu số vô nghiệm:

0

(2 x - 3)dx

Ví dụ: Tính các tích phân :I= ò x 2 + 2 x + 4
- 1

0

I =ò
- 1

0

2x + 2
dx 2

x + 2x + 4

Giải:

1

5
d ( x 2 + 2 x + 4)
dx
=
ò ( x + 1)2 + 3 ò x 2 + 2 x + 4 - 5J
- 1
0

1

0
d ( x 2 + 2 x + 4)
4
2
Ta có ò x 2 + 2 x + 4 = ln/x +2x+4/ −1 = ln 4 − ln 3 = ln
3
0
0

5

ò ( x + 1)

Tính J=

- 1

2

dx
+3
−π π



Đặt x+1= 3tgt (t ∈  2 ; 2  ) ⇒ dx= 3(1 + tg2 t )dt .


π

π

2
6
6
π
Khi x= -1 thì t = 0 ; khi x=0 thì t= vậy J= ∫ 3(1 + tg2 t ) dt = 3 ∫ 1dt = 3 − π
6
(3 + 3tg t )
3 0
3 6
0

Vậy I= ln

4
3 π
− 5(
− )
3
3 6

Bài tập: Tính các tích phân sau:
1

1
1/I= ∫ x 2 − 5x + 6 dx
0

5

1− 2x
2/I= ∫ x 2 − 6 x + 9 dx
4

4

3x − 1

3/ I= ∫ x 2 − 4 x + 8 dx
2

Dạng 5: Tính tích phân hàm vô tỉ:
b

n
Dạng1: ∫ R( x, ax + b )dx
a

b

Đặt t= n ax + b

ax + b

Dạng 2: ∫ R( x, n cx + d )dx
a

Đặt t= n
1

Ví dụ: Tính tích phân I =

∫

3

ax + b
cx + d

1 − xdx

0

Giải
Đặt t = 1 − x ⇔ t3= 1-x ⇔ x= 1-t3 ⇒ dx= -3t2dt.
3

Đổi cận:
x=0 ⇒ t=1; x=1 ⇒ t=0.
Bài tập:
1

3
1/ ∫ x. 1 − xdx
0

0

1

t4
t
.(
−
3
t
)
dt
=
3
t
dt
=

3
Vậy I= ∫
∫0
4
1
2

1

3

=
0

Tính các tích phân sau:
1

2/ ∫

−2

x
dx
2− x

Dạng 6: Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp
16

3
4

Đề cương ơn tập Tốn 12
β

β

β

α

α

α

Dạng: ∫ sin ax.cos bxdx , ∫ sin ax.sin bxdx , ∫ cos ax.cos bxdx
Phương pháp giải:
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích
phân rồi giải.
β

n
Dạng: ∫ sin xdx;

α

β

∫ cos

n

xdx

α

Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công
thức đổi biến.
Ví dụ :
β

β

β

2 n +1
2n
2
n
∫ sin xdx =∫ sin x sin xdx = ∫ (1 − cos x) sin xdx Đặt t =cosx

α

α

β

α

β

n

β

 1 + cos 2 x 
∫α cos xdx = α∫ (cos x ) dx = α∫  2  dx
2n

2

n

β

Dạng: ∫ R(sin x ).cos xdx
α

β

2n
2 k +1
Đặc biệt: ∫ sin x.cos xdx

α

Phương pháp giải: Đặt t =sinx
β

β

α

α

2 n +1
2k
Dạng: ∫ R(cos x ).sin xdx Đặc biệt: ∫ sin x.cos xdx

Phương pháp giải: Đặt t =cosx
Các trường hợp còn lại đặt x=tgt
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
π
4

π
2

a/ ∫ sin 3 x.cos x.dx

π
2

b/ ∫ sin 2 xdx

0

c/ ∫ cos3 xdx

0

0

π
2

d/ ∫ cos3 x sin2 xdx
0

Giải
π
4

π
4

0

0

a/ ∫ sin 3 x.cos x.dx = ∫ 1 (sin 4 x + s in2 x )dx = − 1 ( cos 4 x + cos 2 x ) 02 = 1
π
2

π

2

2

π
2

4

2

2

b/ ∫ sin 2 xdx = ∫ 1 − cos 2 x dx = 1 ( x − sin 2 x ) 02 = π
0

π

2

0

2

2

π
2

π
2

π
2

0

0

0

4

c/I= ∫ cos3 xdx = ∫ cos2 x.cos x.dx = ∫ (1 − sin 2 x ).cos x.dx
đặt u=sinx ⇒ du = cosx dx.
π
x=0 ⇒ u=0 ; x= 2 ⇒ u=1

1

u3 1 2
vậy: I= ∫ (1 − u ).du = (u − 3 ) 0 = 3
0
2

π
2

π
2

π
2

0

0

0

d/J= ∫ cos3 x sin 2 xdx = ∫ cos2 x sin 2 x.cos x.dx = ∫ (1 − sin 2 x )sin 2 x.cos x.dx
đặt u=sinx ⇒ du = cosx dx.
17


Đề cương ơn tập Tốn 12

π
⇒ u=1
x=0 ⇒ u=0 ; x=
2

Bài tập:
π

1/ ∫ cos

4

1

1

u3 u 5 1

2
J= ∫ (1 − u )u .du = ∫ (u − u ).du = ( 3 − 5 ) 0 = 15
0
0
2

2

2

4

Tính các tích phân sau:

x.dx

0

π
2

π

π
2

2/ ∫ sin x.cos x.dx
3

3/ ∫ sin

3

2

4

x. cos x.dx
4

0

0

1

4/ ∫ sin x dx
π

6

III/ Diện tích hình phẳng:
1/ Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường
thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi
b

đường cong (C) :y=f(x) và các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là : S = ∫ f ( x) dx
a

2/ Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường
thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C) và y=g(x) có đồ thò (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi
đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a;
x=b là :

b

S =∫ f ( x ) −g ( x ) dx
a

Phương pháp giải toán:
B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)
B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:
TH1:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b). Khi đó diện tích hình
phẳng cần tìm là: S

b

=∫[ f ( x ) −g ( x )]dx
a

TH2:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x 1∈ (a;b). Khi đó diện tích hình
phẳng cần tìm là:
b

x1

b

a

a

x1

S =∫ f ( x) −g ( x) dx = ∫[ f ( x ) −g ( x )]dx + ∫[ f ( x ) −g ( x )]dx

TH3:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x 1; x2∈ (a;b). Khi đó diện
tích hình phẳng cần tìm là:
x1

x1

x2

a

x2

b

S = ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx

Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự

trường hợp 3.
* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0
Ví dụ 1ï:
18


Đề cương ơn tập Tốn 12

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 π ]
và trục hoành .
Giải :
Ta có :sinx = 0 có 1 nghiệm x= π ∈ ( 0;2π ) vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
S=

2π

∫
0

π

sin x dx = ∫ sin xdx +
0

2π

∫ sin xdx =
π

π

2π

cos x 0 + cos x π

=4

Ví dụ 2:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + 1 và các
đường thẳng x = -1 ; x =2 .
Giải
2
2
phhđgđ : x –2 x = x + 1 Û 2x +1= 0 Û x = -1/2 . Do đó :
2

- 1/ 2

2
2
S = ò ( x - 2 x ) - ( x + 1) dx =
- 1

- 1/ 2

=

2

2

2
ò [( x - 2 x ) - ( x + 1)]dx +
- 1

2

ò ( 2 x + 1) dx + ò ( 2 x + 1) dx
- 1

- 1/ 2

ò [( x

-

1

2

- 2 x ) - ( x 2 + 1)]dx

- 1/ 2
2

1

25

13

= ( x 2 + x ) - 12 + ( x 2 + x ) - 1 = 4 + 4 = 2
2

Ví dụ 3:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y2 = 4 x , và đường thẳng (d): 2x+y-4 =
0.
4−y
y2
và (d): 2x+y-4 = 0 ⇔ x= 2 .
4
y = 2
y2 4 − y
Phương trình tung độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là: = 2 ⇔  y = −4
4


Giải: Ta có (P): y = 4 x ⇔ x =
2

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S=
2

∫(

−4

2

4 −y y2
y y2

y2 y3 2
− )dy = ∫ (2 − − )dy = (2 y −
−
) =9
2
4
2
4
4 12 −4
−4

Bài tập
1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y= x2 - 2x và trục
hoành.
x +1

2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H): y = x và các đường
thẳng có phương trình x=1, x=2 và y=0
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C): y= x4 - 4x2+5 và
đường thẳng (d): y=5.
4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x3 –3 x , và y = x .
2/ Dạng toán 3: Thể tích của một vật thể tròn xoay
Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C)
có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= 0 quay một vòng xung
quanh trục ox là:

b

V =Π∫ f 2 ( x) dx
a

Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu sinh ra do quay hình tròn có tâm O bán kính R quay
xung quanh trục ox tạo ra.
19


Đề cương ơn tập Tốn 12

Giải: Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x2 + y2 = R2 ⇒ y2= R2-x2
R

R

2 R3  4 3
x3 


Thể tích khối cầu là : V= π ∫ ( R − x ) dx = π  R 2 x −  = π  2 R 3 −
= πR
3  3

3  −R

−R
2

2

(đvtt)
Ví dụ 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn

bởi các đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x
Giải: Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là :
2

2

S = π ∫ ( x − 2 x ) dx = π ∫ ( x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 )dx

=π (

2

2

−1
5

−1

18π
x
4
2
− x 4 + x 3 ) −1 =
(đvtt)
5
5
3

Bài tập:

Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox:
π
x
a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x =
b/ y = sin2x ; y = 0 ; x = 0 ; x = π c/ y = xe 2 ; y =
0;x=0;x=1

4

Chủ đề VI: SỐ PHỨC

Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…
Cho hai số phức a+bi và c+di.
1) a+bi = c+di  a = c; b = d.
2) mơđun số phức z = a + bi =
3) số phức liên hiệp z = a+bi là z = a − bi.
* z+ z = 2a; z. z = z 2 = a 2 + b2
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i
5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i.
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i
7) z =

a 2 + b2

c + di
1
=
[(ac+bd)+(ad-bc)i]
a + bi a 2 + b 2

Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. với ∆ = b2 − 4ac.
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệp kép

b
x1 = x 2 = −
2a

Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực:

x=

Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức

x=

Bài tập: Sè phøc
D¹ng 1: C¸c phÐp to¸n vỊ sè phøc
C©u 1: Thùc hiƯn c¸c phÐp to¸n sau:
1

2 5 
a. (2 - i) +  − 2i ÷
b. ( 2 − 3i ) −  − i ÷
3

3 4 
20

(nghiệm thực)

−b ± ∆
2a
−b ± i ∆
2a


cng ụn tp Toỏn 12

4
1 3
1
3 1 5 3
c. 3 i ữ+ + 2i ữ i d. + i ữ + i ữ+ 3 i ữ
5
3 2
2
4 5 4 5
Câu 2: Thực hiện các phép tính sau:
3

a. (2 - 3i)(3 + i)

b. (3 + 4i)

2

Câu 3: Thực hiện các phép tính sau:
a.

1+ i
2i

b.

2 3i
4 + 5i

c.

3
5i

1
b. 3i ữ
2


d.

2 + 3i

( 4 + i ) ( 2 2i )

Câu 4: Giải phơng trình sau (với ẩn là z) trên tập số phức
1
1
a. ( 4 5i ) z = 2 + i b. ( 3 2i ) 2 ( z + i ) = 3i c. z 3 i ữ = 3 + i
2

2
z = 0
Câu 5: Cho hai số phức z, w. chứng minh: z.w = 0
w = 0

d.

3 + 5i
z

= 2 4i

Câu 6: Chứng minh rằng mọi số phức có môđun bằng 1 đều có thể viết dới dạng
với x là số thực mà ta phải xác định
Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trớc
Câu 1: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a. z + 3 = 1
b. z + i = z 2 3i
Câu 2: Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:
a. z + 2i là số thực b. z - 2 + i là số thuần ảo

c. z.z = 9

d.

z 3i
z+i

thực
căn bậc hai của Số phức. phơng trình bậc hai

Dạng 1: tính căn bậc hai của số
Vớ d :
Tỡm cn bc hai ca s phc z = 4i
Gi x + iy l cn bc hai ca s phc z = 4i , ta cú :
2
2
x = y
x = y
(x + iy)2 = 4i x y = 0
hoc

2xy = 4
2xy = 4
2xy = 4
x = y
x = y
x = y
x = 2;y = 2
2
2

(loi) hoc 2
x = 2; y = 2
2x = 4
2x = 4
x = 2

Vy s phc cú hai cn bc hai : z1 = 2 i 2 , z2 = 2 + i 2
Câu 1: Tính căn bậc hai của các số phức sau:
a. -5

b. 2i

c. -18i

4

5

3

2

d. i

Dạng 2: Giải phơng trình bậc hai
Ví dụ: Gii phng trỡnh x2 4x + 7 = 0 trờn tp s phc
21

x+i
x i

= 1 là số


cng ụn tp Toỏn 12

Gii: ' = 3 = 3i2 nờn ' = i 3
Phng trỡnh cú hai nghim : x1 = 2 i 3 , x2 = 2 + i 3
Câu 1: Giải các phơng trình sau trên tập số phức

a. x2 + 7 = 0 b. x2 - 3x + 3 = 0 c. x2 + 2(1 + i)x + 4 + 2i = 0
d. x2 - 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0
e. ix2 + 4x + 4 - i = 0
g. x2 + (2 - 3i)x = 0
Câu 2: Giải các phơng trình sau trên tập số phức

(

)

2
a. ( z + 3i ) z 2z + 5 = 0

(

)(

)

2
2
b. z + 9 z z + 1 = 0

c. 2z3 3z 2 + 5z + 3i 3 = 0
Câu 3: Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lợt là:
a. 2 + 3i và -1 + 3i
b. 2i và -4 + 4i
Câu 4: Tìm phơng trình bậc hai với hệ số thực nhận làm nghiệm:
a. = 3 + 4i
b. = 7 i 3

Câu 5: Tìm tham số m để mỗi phơng trình sau đây có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn điều
kiện đã chỉ ra:
a. z2 - mz + m + 1 = 0
điều kiện: z12 + z 22 = z1z 2 + 1
b. z2 - 3mz + 5i = 0
điều kiện: z13 + z32 = 18
Bài tập:
Câu 1: Tính căn bậc hai của các số phức sau:
a. 7 - 24i

b. -40 + 42i c. 11 + 4 3 id.

1
4

+

2
2

i

Câu 2: Chứng minh rằng:
a. Nếu x + iy là căn bậc hai của hai số phức a + bi thì x - yi là căn bậc hai của số
phức a - bi
b. Nếu x + iy là căn bậc hai của số phức a + bi thì

x
k

+

y
k

i là căn bậc hia của số phức

a
b
+
i
2
2 (k 0)
k
k

Câu 3: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. z2 + 5 = 0 b. z2 + 2z + 2 = 0 c. z2 + 4z + 10 = 0
d. z2 - 5z + 9 = 0
-2z2 + 3z - 1 = 0
Câu 4: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. (z + i)(z2 - 2z + 2) = 0
b. (z2 + 2z) - 6(z2 + 2z) - 16 = 0
c. (z + 5i)(z - 3)(z2 + z + 3) = 0
d. z3 - (1 + i)z2 + (3 + i)z - 3i = 0
Câu 5: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
2

e.

4z + i
4z + i
a. (z + 2i) + 2(z + 2i) - 3 = 0
b.
+6=0
ữ 5
zi
zi
Câu 6: Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận làm nghiệm biết:
a) = 2 - 5i
b. = -2 - i 3
c. = 3 i 2
2
Câu 7: Chứng minh rằng nếu phơng trình az + bz + c = 0 (a, b, c R) có nghiệm phức
R thì cũng là nghiệm của phơng trình đó.
2

22


cng ụn tp Toỏn 12

Câu 8: Cho phơng trình: (z + i)(z2 - 2mz + m2 - 2m) = 0
Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phơng trình
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức
b/ Chỉ có đúng 1 nghiệm thực
C/Có ba
nghiệm phức
Câu 9: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. z2 + z + 2 = 0 b. z2 = z + 2

c. (z + z )(z - z ) = 0
d. 2z + 3 z = 2 + 3i
Câu 10: Giải phơng trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo
a. z3 - iz2 - 2iz - 2 = 0
b. z3 + (i - 3)z2 + (4 - 4i)z - 4 + 4i = 0
ễN TP HèNH HC 12
Chng I, II
A. TểM TT KIN THC:
Chỳ ý: Hai a din c gi l bng nhau nu chỳng l nh ca nhau qua mt
phộp di hỡnh
1. Khi a din u.
a) nh ngha: L khi a din li tha món hai tớnh cht sau
+ Mi mt ca nú l mt a giỏc u p cnh
+ Mi nh ca nú l nh chung ca ỳng q mt.
Khi a din u nh vy c gi l khi a din u loi { p; q}
b) Cỏc loi khi a din u:Ch cú 5 loi khi a din u l T din u loi

{ 3;3} , Khi lp phng loi { 4;3} ,
khi bỏt din u loi { 3; 4} , khi mi hai mt u { 5;3} , khi hai mi mt
u loi { 3;5}
2. Th tớch khi a din

1
Bh
3
b) Th tớch khi lng tr V = Bh
Chỳ ý: cú th s dng cụng thc sau õy khi gii toỏn
a) Th tớch khi chúp V =

VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '

=
.
.
VS . ABC
SA SB SC

23


Đề cương ôn tập Toán 12

3. Khối tròn xoay, mặt tròn xoay.
1 2
a) Thể tích khối nón tròn xoay V = π r h
3

V = π r 2 h = π r 2l

b) Thể tích khối trụ tròn xoay

4
V = π R3
3

c) Thể tích khối cầu

d) Diện tích xung quanh của mặt nón, mặt trụ, mặt cầu lần lượt là

Snãn = π rl;

Strô = 2π rl,

Sm / c = 4π R 2

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và
SA vuông góc với đáy.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
24


Đề cương ôn tập Toán 12

b) Chứng minh trung điểm I của cạnh BC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài giải:

1
1
Bh trong đó B = a2, h = SA = a ⇒ V = a 3 ( đvtt)
3
3
b) Trong tam giác vuông SAC, có AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên
a) Áp dụng công thức V =

AI = IS = IC.(1)
BC ⊥ AB và BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆ SBC vuông tại B, IB là trung tuyến
ứng với cạnh huyền SC nên IB = IS = IC (2).
Tương tự ta cũng có ID = IS = IC(3). Từ (1), (2), (3) ta có I cách đều tất cả các
đỉnh hình chóp nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Bài tập2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B,

AB = a, BC = a 3 . Tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Giải:
Trong mp( SAC), dựng SH ⊥ AC tại H ⇒ SH ⊥ (ABC).
1
V = B.h , trong đó B là diện tích ∆ABC, h = SH.
3
1
a2 3
2a 3
B = AB. BC =
=a 3.
. Trong tam giác đều SAC có AC = 2a ⇒ SH =
2
2
2

25