Khóa luận tốt nghiệp toán Phương pháp tọa độ hóa trong mặt phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

NGUYỄN THU PHƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP TỌA Độ HÓA TRONG MẶT
PHẲNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

•

•••

Chun ngành: Hình học

HÀ NỘI-2014
Lời đàu tiên cho em gửi lời cảm ơn đến tồn thể thầy cơ trong khoa toán trường
ĐH sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình truyền đạt kiến thức trong những năm học qua, đã tạo
điều kiện thuận lợi cho em học tập, nghiên cứu, tìm tịi tài liệu. Với vốn kiến thức được
tiếp thu trong q trình học khơng chỉ là nền tảng cho q t rình nghiên cứu Khóa luận
mà cịn là hành trang quý báu để em bước vào đời một cách vững chắc và tự tin.


Em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thày giáo - Thạc sĩ Nguyễn Văn Vạn
ừong suốt thời gian qua đã nhiệt t ình giúp đỡ, chỉ dạy để em thực hiện bài Khóa luận tốt
nghiệp này.
LỜI CẢM ƠN
Em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến tồn thể bạn bè và gia đ ình đã ln bên

cạnh ủng hộ em trong suốt thời gian qua.
Em xin chân thành cảm ơn

Sinh viên

Nguyễn Thu Phương

Em xin cam đoan bài Khóa luận tốt nghiệp này là q trình nghiên cứu, tìm tịi của
em dưới sự hướng dẫn từ giáo viên - Thạc sĩ Nguyễn Văn Vạn. Với sự cố gắng của bản
thân, em đã tổng hợp, trình bày nên bản Khóa luận tốt nghiệp này.
Em hồn tồn chịu ừách nhiệm trước lời cam đoan ừên.
Sinh viên

Nguyễn Thu Phương


MỤC LỤC
MỞ ĐÀU

KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học phẳng là một bộ phận khơng thể thiếu của toán học. Ở
cấp THCS các em đã được làm quen với những bài tốn hình học truyền
thống, lên lớp 10 các em được học về phương pháp tọa độ khơng chỉ để
các em giải những bài tốn cho ừong mặt phẳng tọa độ mà cịn có thể sử
dụng phương pháp tọa độ để giải những bài toán hình học truyền thống.
Với những bài tốn cho trong mặt phẳng Oxy định hướng giải
quyết bài toán khá rõ ràng: Học sinh sẽ sử dụng các kiến thức về tọa độ
để giải quyết. Tuy nhiên nếu bài toán được cho dưới dạng truyền thống
mà học sinh đã quen thuộc ở THCS thì ngồi việc giải bằng cách thơng

thường ta có thể định hướng cho học sinh giải bằng phương pháp tọa độ.
Cách tiếp cận và giải bài toán bằng phương pháp tọa độ sẽ giúp giải
quyết một số bài toán hình học phẳng khá hóc búa trở nên dễ dàng hơn,
mặt khác làm cho hoc sinh có khả năng tìm tịi, sáng tạo và khả năng tư
duy tốn tốt hơn.
Làm thế nào để chuyển một bài tốn hình học được phát biểu dưới
dạng truyền thống khơng có các đại lượng liên quan đến tọa độ về bài
toán phát biểu trong mặt phẳng tọa độ có những đại lượng tọa độ,


phương trình đường,... để giải? Sau đây tơi xin đưa ra một vài phương
pháp và ví dụ điển hình áp dụng phương pháp tọa độ hóa vào giải quyết
những bài tốn hình học phẳng.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phương pháp tọa độ trong
mặt phẳng và ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải một số lớp bài tốn
hình học .

Xây dựng các bài tập minh họa cho các lớp bài toán có sử dụng
phương pháp tọa độ hóa để giải.
3. Đổi tượng, phạm vỉ nghiên cứu
-

Đối tượng nghiên cứu: phương pháp tọa độ hóa trong mặt phẳng.
- Phạm vi nghiên cứu: một số lớp bài tốn hình học áp dụng

phương pháp tọa độ hóa để giải.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu liên quan trong sách tham khảo
và trên mạng internet.

Chưcmg 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
I. HỆ TRỤC TỌA Độ ĐỀ - CÁC VNG GĨC TRONG PHẲNG
1. Định nghĩa
Hệ trục tọa độ hay còn gọi là hệ trục tọa độ Đề - các là hệ trục Oxy
k

gồm 2 trục Ox và Oy vng góc với nhau Ox là trục hồnh có véctơ đơn
vị là 1,
Oy là trục tung có véctơ đơn vị là j .
Điểm o là gốc tọa độ ( ĩ| = J| = 1)

Mặt phẳng mà trên đó có hệ trục tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng
tọa độ Oxy hay mặt phẳng Oxy.
2. Hê toa đô thn
•

•••

Hệ tọa độ Đe - các vng góc trong phang được gọi là hệ tọa độ
đúng nếu ta chọn trục tọa độ Ox, Oy sao cho khi quay ngược chiều kim
đồng hồ từ Ox đến Oy tạo thành góc 90° .
II. TỌA Độ CỦA VECTƠ, TỌA Độ CỦA ĐIỂM
1. Toa đơ của véctơ
•

•

1.1.

Định nghĩa

Trong mặt phẳng Oxy cho u = AB ta ln có cặp số duy nhất (x px2)
sao cho u = Xj 1 + x2 j. Ta gọi cặp số (Xj, x 2) là tọa độ của véctơ u với hệ
tọa độ đã cho và viết u = ( X j , x2) hay u (xp x2).
NX: Nếu u = (Xj, x2), u'= (Xj\ x2’) thì:
u = u <SÍ>

x =x

x

l

2=x2

l


1.2.
Biếu thức tọa độ của các phép toán véctơ
a, Định lý

Trên mp tọa độ Oxy cho 2 véctơ ữ\;à. v w ă 2 ) và D^Dj, o 2 j. Ta
có: a+D = ^a1 + D1,a2+b2) a-D = ^a1-D1,a2-b2) ка =
^ка1,кЬ1)
A.D =
b, Độ dài véctơ

Cho aựd ư a 2 j. khi đó độ dài véctơ a được xác định: a| = yị at2 + a22
2. Toa đơ của điểm
•

•

2.1.

Định nghĩa

Trong mp tọa độ Oxy, với mỗi điểm M tùy ý, ta ln có cặp số duy
nhất (x, y) thỏa mãn W1V1 = XI -I- yj. Khi đó cặp số (x, y) được gọi là tọa
độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ đã cho và viết M = (x, y) hay M(x,
y). Trong đó X là hồnh độ, y là tung đọ của điểm M.
2.2.

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng - tọa độ trọng tâm tam giác

a, Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
Cho 2 điểm phân biệt А(Х ,У ), В(хв,ув). Gọi М(хм,ум) là trung điểm
А

А

của đoạn thẳng AB. Ta có cơng thức:
-L Л
X

M =

2<
(

X

A+Xb)

-ĩ,

УМ = 2 УА+УВ)


b, Tọa độ trọng tâm của tam giác

Cho tam giác ABC, A(xA,yA), B(xB,yB), C(xc,yc). Gọi
G(xG,yG) là trọng tâm của tam giác. Ta có cơng thức:

1

X

3'

1

M=^(XA+XB

+

X

c)

yM=í-(yA+yB+yc)

3'

3. Liên hê giữa toa đơ của điểm và toa đơ của véctơ
•o

I

I

•

•

Cho A(xA,yA), B(xB,yB).Tacó:
/^ = ụtB-xA,yB-yA)
- XA)2 + (yB - yA)2

AD| =

III.PHƯƠNG TRÌNH CÁC ĐƯỜNG
1. Phương trình đường thẳng
1.1 Phường trình tổng quát - phương trình tham sổ của đường thẳng:

-

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng ax + by + c = 0 (

a2 + b2# 0), trong đó ma,Dj là một véctơ pháp tuyến.
-

Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0( Xo y0 ) và có véctơ

pháp tuyến ( VTPT ) ma,O) là: a( X - Xo) + b( y - y0) = 0 ( a2 + b2 # 0)
-

Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0( Xo y0 ) và có véctơ chỉ

phương ( VTCP ) ma,D) là: ——— = ——— .( a, b# 0)
a
-

b

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0( Xo yo) và
Ỵ—Y1
0

0Ỷ

có VTCP ma,D) là: y = y +bt

( a2 + b2 # 0)

-

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(xb yi), B(x2, У2):
——— = ——— (điều kiện: x2 - Xi Ф 0, y2 - yi * 0)
X

2“ 1
X

У 2- У 1

1.2 Một vài chú ý

-

Đường thẳng d đi qua điểm А(ХА,Уа), В(хв,ув) thì có VTCP
U = /\D = VAB-XA,yB-yA)

-

Giả sử đường thẳng d có phương trình ax + by + с = 0. khi đó:

* d’ // d thì d' có VTPT nya,D)
* d" _L d thì d" có VTCP u ^-D,a) hoặc u = ^D,-a)
-

Có vơ số VTCP (VTPT) và chúng cùng phương với nhau nên ta

có thể chọn tọa độ tỉ lệ và thỏa mãn điều kiện véctơ khác véctơ и.
1.3.

-

Khoảng cách và góc

Khoảng cách từ điểm M0( Xo Уо ) đến đường thẳng А :
ax + by + с = 0 ( а2 + b2 # 0)

cho bởi cơng thức:
_|ax0+by0+c
- Vị trí của 2 điểm М(хм,ум), N(xN,yN) đối với đường thẳng А (M,
N Ể A) là:
* M, N cùng phía với А <=> (a.xM + ь.ум + c)(a.xN + b.yN + с) > о
* м, N khác phía với А <=> (а.хм + ь.ум + c)(a.xN + b.yN + с) < о
- Phương trinh 2 đường phân giác của các góc tạo bởi 2 đương
thẳng A ỉ : ajX + bjY + cx = 0 và Л2 : a2x + b2y + c2 = 0 là:
a1x + b1y + c1 ± a2x + b2y + c2 = 0

Vai2+bi2 Va22+b22


- Góc tạo bởi 2 đường thẳng Àj và A2 có VTPT lần lượt là và n 2

2

2

cho bởi cơng thức:
——

a,a„ +b,b„

2. Phương trình đường trịn
2.1.

Dạng phương trình chính tắc

Trong mp tọa độ Oxy phương trình đường trịn tâm I(a, b), bán kính
R là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2
•

Phương trình đường trịn tâm 0(0,0), bán kính R là: X + y2 = R2
2

2.2.

Dạng phương trình khai triển

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mọi phương trình có dạng:
X2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
2 2

với a + b - c > 0 là phương trình đường trịn tâm I(-a, -b), bán kính
R= Va2+b2-c.
3. Phương trình Elip
3.1.

Định nghĩa

Cho 2 điểm cố đinh Fi, F2 với FIF2 = 2c và một độ dài không đổi 2a

(a>c).
Elip là tập hợp những điểm M sao cho:
FiM + F2M = 2a
Fi, F2 là tiêu điểm, FIF2 là tiêu cự, FiM và F2M là bán kính qua tiêu.
3.2.

Phương trình chỉnh tắc

Với Fi(-C, 0), F2(C, 0). Điểm M(x,y) e (E)
(1)


4. Phương trình Hyperbol
4.1.

Định nghĩa

Cho 2 điểm cố định Fi, F2 với FIF2 = 2c và một độ dài không đổi
2a (c > a). Hyperbol là tập họp những điểm M sao cho:
= 2a
FjM - F2M
Fi, F2 là tiêu điểm, FIF2 là tiêu cự
4.2.

Phương trình chỉnh tắc Với Fi(-C,

0), F2(c, 0). Điểm M(x,y) G (H)
2 2

^L_y _! ^; U 2_„2 „2

a2 b
(2) là phương trình chính tắc của Hyperbol
5. Phương trình Parabol
5.1.

Định nghĩa

Cho điểm F và đường thẳng A khơng chứa F. Parabol là tập họp
những điểm M sao cho: MF = d( M, A)
F là tiêu điểm, A là đường chuẩn của Parabol, d( F, A) là tham số
tiêu.
5.2.

Phương trình chỉnh tắc

Với F(—, 0) và À: X = - — (p > 0). M(x, y) e (P) « y2 = 2px (3)
(3) là phương trình chính tắc của Parabol


IV.CÁC BƯỚC GIẢI MƠT BÀI TỐN HÌNH HOC THUẦN TÚY
•

•

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA Độ
1. Chọn hệ trục tọa độ
•

»

m

»

•

Gốc tọa độ, trục tọa độ thường gắn liền với điểm và đường đặc biệt
của bài tốn như: tâm đường trịn, đỉnh góc vng, trung điểm đoạn
thẳng, chân đương cao,...
- Chuẩn hóa độ dài các đoạn thẳng và đơn vị trục
- Xác định tọa độ các điểm và phương trình các đường theo hướng hạn chế
đến mức thấp nhất việc sử dụng các tham số, điều chỉnh giá trị các tham
số để nhận được những tọa độ "đẹp" giúp các phép toán trở nên đơn giản.
2. Khai thác các tính chất và các phép tốn liên quan đến véctơ và tọa đơ
- Điều kiện theo tọa độ để các véctơ vng góc.
- Điều kiện theo tọa độ để các véctơ cùng phương.
- Tính khoảng cách dựa theo tọa độ.
- Tính số đo của góc dựa theo tọa độ,...
* Việc sử dụng cơng cụ tọa độ thực chất là sử dụng đại số để nghiên cứu
hình học muốn vậy phải chọn hệ tọa độ thích họp ừên cơ sở hệ tọa độ

đúng.
3. Hình thành hệ tọa độ trong mặtphẳng như thế nào?
Bài toán có đơn giản hay khơng phàn lớn phụ thuộc vào việc hình
thành hệ trục tọa độ. Sau đây là cách chọn hệ trục tọa độ tương ứng với
những bài toán thường gặp:
a, Tam giác cân:

Giả sử tam giác ABC cân tại A, hạ đường cao từ đ inh của tam giác
cân đến cạnh đối diện AO 1 BC

- Chọn hệ trục tọa độ Đề - các
vng góc Oxy trong đó:
+ 0(0, 0) là gốc tọa độ + Đình
С e Ox, đỉnh AeOy
-

Chuẩn hóa độ dài: Đặt
I
OC=c
(a,c>0)
I OA=a
khi đó ta nhận được C(c, 0), B(-c, 0),
A(0, a), trọng tâm G(0, — )
b, Hình vng AB CD:

Cách 1:
-

Chọn hệ trục tọa độ Đề - các

vng góc Axy:
ÍBeAx [DeAy
-

Chuẩn hóa độ dài cạnh hình

vng bằng 2 ta có: A(0, 0), B(2, 0),
C(2, 2), D(0, 2), tâm hình vng

1(1,1), trung điểm cạnh AB có tọa độ
(1,0)
Cách 2:
-

Chọn hệ trục tọa độ Đe - các

vng gócIxy
(I là tâm hình vng ABCD) như hình
vẽ
-

Chuẩn hóa độ dài cạnh hình

vng bằng 2 ta có: 1(0, 0), A(-l, -1),
B(l, -1),

к


C(l, 1), D(-l, 1)
Trung điểm cạnh AB có tọa độ (0,-1)
Trung điểm cạnh BC có tọa độ (1,
0)


Trung điểm cạnh CD có tọa độ (0,
1)
Trung điểm cạnh AD có tọa độ (-1,
0)

Cách 3:
-

Chọn hệ trục tọa độ Đe - các

vng góc Ixy (I là tâm hình vng
ABCD) như hình vẽ.
-

Chuẩn hóa độ dài cạnh hình

vng bằng 2
Ta có: I(0,0),A(V2,0),B(0,>/2)
C ( - ^ 2 , 0), D(0, - y Ị Ĩ )

c, Hình chữ nhật ABCD:

Cách 1:
-

Chọn hệ trục tọa độ Đe - các

vng góc:
+ Chọn một đỉnh của hình chữ nhật
làm gốc
+ Hai cạnh liên tiếp nằm trên 2 trục
tọa độ
- Chuẩn hóa độ dài:
Khơng mất tính tổng quát, ta đặt
chiều dài, chiều rộng của hình chữ

nhật lần lượt là: 2a, 2b (a > b > 0).
Khi đó: Tâm của hình chữ nhật I(a, b).
Phương trình đương trịn ngoại
tiếp hình chữ nhật là:


(x - a)2 + (y - b)2 = a2 + b2
Cách 2:
- Chọn hệ trục tọa độ Đề - các
vuông góc Ixy (I là tâm hình chữ nhật
ABCD) như hình vẽ.


- Chuẩn hóa độ dài: Đặt chiều dài, chiều
rộng của hình chữ nhật lần lượt là 2a, 2b (a > b
> 0) ta có: 1(0,0), A(-b, -a), B(a, -b), C(a, b),
D(-a, b)

d, Hình trịn:

-

Chọn tâm đường trịn làm gốc tọa độ
- Chọn 2 đương kính vng góc với nhau

làm 2 truc tọa độ Ox, Oy
-

Chuẩn hóa độ dài bán kính R = 1

-

Ta có phương trình đường trịn:

2

X + y 2 = R2

D


Chương 2 LỚP CÁC BÀI TỐN
I. BÀI TỐN QUỸ TÍCH ĐIỂM
Bài 1: (Đề thi học sinh giỏi quốc gia 2006-2007)

Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, c cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi
H,G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích
điểm A, biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC.
Giải:
Chọn hệ trục Oxy với o trung điểm BC và trục Ox là đường thẳng
BC

Phương trình đường thẳng AB: —-— X - y =
m+1
m +1

—n

- Đường cao hạ từ đỉnh c xuống cạnh AB có VTPT là J\D (-1-m, - n)
và đi qua điểm B(-l, 0). Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh c xuống

cạnh AB là: x + — y - 1 = 0(1). m+1


- Đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC có VTPT là 15^(2, 0) và đi
qua điểm A(m, n). Phương trình đường cao kẻ từ đ ính A xuống cạnh
BClà: X = m (2).
- Tọa độ trực tâm là nghiệm của (1)

n
^2m n2 -3m2 +3^

và (2) nên H Do vậy tọa độ của điểm

(

m,

1-m

K là K
x

n2 - 3m2 + 3

3 6n

Điểm K thuộc đường thẳng BC:

y = 0 khi và chỉ khi

= 0 => —— — = 1. Vậy tập họp đỉnh A là Hypebol (H) có
6n
2 2

phương trình —— — = 1.
Bài 2 : ( Đề thi Olympic Lê Hồng Phong 2008-2009) Cho tam giác

ABC có hai đỉnh B, c cố định và đỉnh A thay đổi. Qua B dựng đường
thẳng d vng góc với BC, d cắt đường trung tuyến AI của tam giác ABC
tại K.Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm A, biết
rằng IH song song với KC.
Giải:




Chọn hệ trục Oxy với о trùng I và trục Ox là đường thẳng BC, tọa độ
điểm 1(0, 0)
Đặt BC = 2a > 0. Khi đó tọa độ B(-a, 0), C(a, 0). Giả sử tọa độ điểm
A(x0, Уо) với Уо Ф 0.
Đường cao đi qua в vng góc với AC có VTPT là /\^(a - XO, -yo)
và đi qua điểm B(-a, 0) có phương trình:
(x + a)(a - Xo) - y0y = 0 Khi

đó trực tâm H là nghiệm hệ phương trình
x=x

°
_ =>H(x0,-^ả)
[(x + a)(a-x0)-y0y = 0

y0
Đường thẳng AI có VPCP là /VL (-Xo, -yo) và đi qua điểm 1(0, 0)
có
у

phương trình : УОХ - x0y = 0 <=> у = x.
0

x

Điểm К = d n (AI) là nghiệm hệ phương trình:
X —
у

X

—ã

yn =>K(-a,-a—) với x0 0

x

0

— —

о Io

Theo giả thiêt, ta có Ш cùng phương (za’a )

0

x

_ 2 „2 „2 .2

<»a—x0-2a-—^ =
x0
y0
Vậy quỹ tích A là elip +
a 2a

a

2a

+

^=l

=1bỏ đi4điểmB, c,

Ai(0, -a-s/2), A2(0, ал/2 ) là 4 đỉnh của elip


Bài 3 : (Đường tròn Appolonius) Cho hai điểm A, B và một số

thực dương k. Tìm quỹ tích những điểm M trong mặt phẳng sao cho
MA = kMB.
Giải:

Đặt AB = 2a và đặt A, B vào hệ trục toạ độ với Ox trùng AB và Oy
trùng với trung trực của AB.
Khi đó A(-a, 0), B(a, 0).
Với điểm M(x, y) bất kỳ: ta có M thuộc quỹ tích khi và chỉ khi MA 1 =
k2MB2
o

(x + a)2 + y2 = ^((x - a)2 + y2)

o

(k2 - l)x2 - 2a(k2 + l)x + (k2 -

l)y2

+ (k2 -l)a2 = 0

Nếu k = 1 thì quỹ tích là đường thẳngX =0. Nếu k ^ 1 thì phương
trình trên được viết lại thành

Suy ra quỹ tích là một đường ừịn có tâm nằm trên đường thẳng AB
(đường tròn Appolonius).
Bài 4: Cho đường thẳng d và điểm p nằm ngồi d. Tìm quỹ tích

những điểm M cách đều p và d.
Giải:

1

2a(k2+1) 2

2

X------7 X + y + a = 0


Bài toán này là một phát triển rất tự nhiên của hai quỹ tích quen
thuộc: Quỹ tích những điểm cách đều 2 điểm đã cho là đường trung trực
của đoạn thẳng nối hai điểm này; quỹ tích những điểm cách đều hai
đường thẳng đã cho là các đường phân giác của góc tạo bởi hai
đườngthẳng này. Vậy quỹ tích những điểm cách đều một điểm đã cho và
một đường thẳng đã cho là gì?
Phân tích một số vị trí đặc biệt, có thể thấy quỹ tích khơng phải là
đường thẳng mà cũng khơng phải là đường trịn .Vậy quỹ tích có thể là
gì? Ta hãy đưa hệ trục toạ độ vào bài tốn để tìm hiểu vấn đề này .Một
cách tự nhiên, ta chọn HP là trục tung và d là trục hồnh. ( H là chân
đường vng góc hạ từ điểm p xuống đường thẳng d)

Đặt HP = p thì P(0, p).
Giả sử M(x, y) là một điểm thuộc quỹ tích thì rõ ràng y > 0 và ta có
MP = d(M, d) ^Vx2+(y-p)2=y <^> X + (y - p)2 = y2
2

«►x2-2py + p2 = 0 <^> y = —X2 + —
2p 2
Quỹ tích là một parabol!
Đây cũng chính là một thế mạnh của hình học giải tích so với hình
học thuần t. Hình học giải tích cho phép tìm ra các quỹ tích vượt ra

ngồi các hình "vẽ được" bằng thước và compa, nghiên cứu các tính chất
hình học của các đường cong đại số bất kỳ.


Bài 5: Cho đường d trên đó lấy một điểm A. Cho trước hai số dương

a, b sao cho a>b. Xét tất cả các điểm p, Q sao cho AP = a, AQ = b
và đường thẳng d là phân giác của PAQ . ứng với mỗi cặp điểm P,Q xét
điểm M sao cho: /\1VI = /\r +

.Tìm quỹ tích điểm M.

Giải:

Chọn hệ tục tọa độ Đề - các vuông góc Axy, A làm gốc tọa độ, trục
Ax chứa đường thẳng d. Gọi M(x; y)
Ta có: /\1V1 =

<^>(x,y) = (xp,yp) + (xQ,yQ)
X = Xp + XQ

y

=

(

yP+yQ

xị+yị=a. 2

Do AP = a và AQ = b nên

(

*Q+yQ=b2
Nếu phương trình (AP): y = kx thì (AQ): y = -kx
Xp + k 2 Xp = a 2

,2 2

Từ (2) suy ra
X 2 = X 2 + X 2 +2 XX

p Q

=^ a + b - )

^p-^Q

1+ ỵ

2

1 + k2

Q

X2 | y2

k2(a-b)2 (a + b)2 (a-bý

(1)«.

y2 =yỉ+yổ
Q
M là một elip.

+2

y y =

p 0
1 + k2 Vậy quỹ tích

=