Khóa luận tốt nghiệp toán học:Rèn luyện kỹ năng phân loại, hệ thống bài tập đường tròn bằng phương pháp tọa độ cho học sinh lớp 10

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành khóa luận em luôn được sự hướng dẫn, chỉ
bảo tận tình của thầy giáo - Tiến sĩ Vũ Quốc Khánh, sự ủng hộ, động viên và
góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Lý - Tin và các bạn sinh
viên lớp K50 - ĐHSP Toán, các thầy cô cùng các em học sinh trường THPT
Chu văn Thịnh - Sơn La. Đồng thời, để hoàn thành khóa luận em cũng đã nhận
được sự giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian, tài liệu
tham khảo của phòng đào tạo, phòng Quản lý khoa học, phòng Quan hệ quốc tế,
thư viện và một số phòng, ban, khoa trực thuộc trường Đại học Tây Bắc.
Nhân dịp này, cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy
cô, các bạn sinh viên và các đơn vị nói trên vì sự ủng hộ giúp đỡ quý báu đó.










MỤC LỤC

PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 3
2.1. Mục đích nghiên cứu 3
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu 3
3. Phương pháp nghiên cứu 3

4. Cấu trúc của khóa luận 3
Phần 2. NỘI DUNG 4
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN 4
1.1. Những lý luận chung về giải toán, kỹ năng giải toán. 4
1.1.1. Khái niệm giải toán 4
1.1.2. Các bước giải một bài toán 4
1.1.3. Kỹ năng trong từng bước giải của hoạt động giải toán 6
1.1.3.1. Khái niệm về kỹ năng 6
1.1.3.2. Khái niệm kỹ năng giải toán 8
1.1.3.3. Kỹ năng trong từng bước giải của hoạt động giải toán 8
1.1.3.4. Kỹ năng phân loại bài toán trong giải toán 9
1.2. Tác dụng của việc rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập trong giải toán. 13
1.3. Hệ thống bài tập 14
CHƯƠNG II: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI HỆ
THỐNG BÀI TẬP ĐƯỜNG TRÒN 18
2.1. Biện pháp phân loại dựa trên kiến thức cơ bản 18
2.1.1. Rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập dựa vào hệ thống khái niệm. 23
2.1.2. Rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập dựa vào hệ thống định lý, tính chất. 32
2.1.3. Rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập tổng hợp. 37
CHƯƠNG III : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 42
3.1. Mục đích thực nghiệm 42

3.2. Phương pháp thực nghiệm 42
3.3. Nội dung thực nghiệm 42
3.4. Đối tượng thực nghiệm 42
3.5. Tiến hành thực nghiệm 43
3.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm 43
3.6.1.Về phương pháp giảng dạy 43
3.6.2. Về khả năng lĩnh hội của học sinh 43
3.6.3. Về kết quả kiểm tra 43

3.7. Kết luận thực nghiệm: 45
Phần 3: KẾT LUẬN 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO 47
PHỤ LỤC
1
PHẦN 1. MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Dạy học giải bài tập toán học đóng vai trò quan trọng trong quá trình dạy
học. Bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập
học sinh thực hiện những hoạt động bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định
nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động trí tuệ chung và những
hoạt động ngôn ngữ.
Hệ thống bài tập phản ánh sự đa dạng cuả kiến thức dưới nhiều hình thức
khác nhau. Ví dụ như các bài tập về viết phương trình đường tròn đi qua ba
điểm, viết phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính, tìm tâm và bán
kính của đường tròn khi cho phương trình của nó tất cả các dạng bài tập như trên
đều thể hiện định nghĩa phương trình của đường tròn.
Hệ thống bài tập liên quan chặt chẽ với hệ thống kiến thức, hệ thống kỹ
năng, hệ thống phương pháp.
Hệ thống bài tập có quan hệ chặt chẽ với hệ thống kiến thức, bài tập cũng
là một dạng của kiến thức, bài tập là sự phản ánh của kiến thức, bài tập dựa trên
một hệ thống kiến thức.
Hệ thống bài tập có quan hệ với hệ thống kỹ năng: Bài tập ẩn chứa những
kỹ năng cụ thể, hệ thống bài tập được giải quyết bằng hệ thống kỹ năng, hệ
thống bài tập có tác dụng nhằm rèn luyện kỹ năng.
Hệ thống bài tập liên quan chặt chẽ với hệ thống phương pháp giải toán.
Tác dụng của việc phân loại hệ thống bài tập. Khi học sinh đã hình thành
được kỹ năng phân loại bài tập các em có thể nhìn nhận bài toán dưới góc độ
tổng quát và tìm được mối liên hệ giữa các bài tập.

Phân loại hệ thống bài tập giúp học sinh khắc sâu tri thức, mở rộng, bổ
sung đưa ra những lý giải, cách nhìn độc lập của mình về một số vấn đề của bài
tập và kiến thức liên quan.
Qua phân loại hệ thống bài tập rèn luyện cho học sinh các kỹ năng, kỹ xảo
nhằm đảm bảo tính độc lập, sáng tạo, góp phần phát triển cho học sinh tư duy
sáng tạo.
Qua phân loại hệ thống bài tập rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy
như phân tích tổng hợp, suy diễn đặc biệt hóa, tương tự hóa, khái quát hóa.

2

Một câu hỏi đặt ra là học sinh đã biết cách phân loại bài tập chưa? Cái yếu
của học sinh là từ đâu trong phân loại bài tập. Thực tế học sinh nắm phân loại hệ
thống bài tập còn yếu các em mới chỉ dừng lại ở mức độ biết bài tập khi thầy cô
giao cho bài tập nào thì mới thực hiện. Khi giải bài tập không sử dụng kết quả
phân loại bài tập.
Khi học sinh nắm được cách phân loại hệ thống bài tập sẽ giúp cho học
sinh nhìn được kiến thức ở dạng tổng thể và hệ thống, giúp cho việc giải bài tập
có định hướng tốt .
Như vậy việc phân loại hệ thống bài tập giúp cho học sinh:
+ Xác định phạm vi kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những góc độ khác nhau
của quá trình dạy học cả kỹ năng ứng dụng vào thực tiễn.
+ Phát triển năng lực trí tuệ chung rèn luyện những thao tác, tư duy, hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của những người lao động mới.
Khai thác tốt những tác dụng của phân loại hệ thống bài tập sẽ góp phần
tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực
và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc giao lưu.
Trong chương trình Trung học cơ sở học sinh được làm quen với đường

tròn là hình ảnh trực quan và khi tới lớp 10 học sinh sẽ có một cách nhìn nhận
mới về đường tròn qua những chỉ số tâm và bán kính được thể hiện từ phương
trình của nó mà không cần hình vẽ.
Hệ thống các bài tập về phần đường tròn mang tính tổng hợp đòi hỏi học
sinh phải nắm vững về kiến thức về tính chất hình học phẳng ở lớp 9 và cách
viết phương trình đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
khoảng cách giữa hai đường thẳng… giải quyết các bài tập về phần này giúp học
sinh có những kỹ năng làm bài tập tổng hợp. Những định hướng vừa khái quát
vừa cụ thể, hiểu sâu hơn về sự kết hợp giữa hình học phẳng và phương pháp tọa
độ để giải quyết bài toán.
Vì những lý do trên mà tôi quyết định chọn đề tài: Rèn luyện kỹ năng
phân loại, hệ thống bài tập đường tròn bằng phương pháp tọa độ cho học
sinh lớp 10.

3

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
+ Nghiên cứu biện pháp rèn luyện kỹ năng phân loại hệ thống bài tâp của
học sinh.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Nghiên cứu lý luận: Hệ thống hoá làm rõ một số yếu tố và đặc điểm của
kỹ năng phân loại bài tập. Hệ thống hóa một số quan điểm về kỹ năng phân loại,
xác định kỹ năng trong phân loại hệ thống bài tập.
+ Đề xuất biện pháp rèn luyện kỹ năng phân loại hệ thống bài tâp cho học
sinh thông qua các bài tập nội dung đường tròn của hình học lớp 10.
+ Thử nghiệm Sư Phạm về tính khả thi và tính hiệu quả của biện pháp đưa ra.
3. Phương pháp nghiên cứu
+ Nghiên cứu lý luận: Quan điểm, xu hướng về rèn luyện kỹ năng phân
loại bài tập.

+ Nghiên cứu thực tiễn, khảo sát thực tế.
+ Thực nghiệm Sư Phạm: Thực nghiệm những biện pháp đưa ra, bước
đầu kiểm tra đánh giá tính khả thi, hiệu quả của lý thuyết đề ra.
4. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục khóa luận
gồm 3 chương.
Chương I. Cơ sở lý luận
Chương II. Biện pháp rèn luyện kỹ năng phân loại hệ thống bài tập đường tròn
Chương III. Thực nghiệm Sư Phạm







4

Phần 2. NỘI DUNG
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1. Những lý luận chung về giải toán, kỹ năng giải toán.
1.1.1. Khái niệm giải toán
Giải toán là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái
đã cho và cái phải tìm. Là vận dụng tri thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải quyết các
vấn đề bài toán đặt ra. Thông thường để giải một bài toán chúng ta phải lập được
một sơ đồ xác định và mạch lạc những thao tác lôgic toán học hay thực tiễn. Bắt
đầu từ giả thiết và kết thúc bằng kết luận.
- Dẫn dắt từ các đối tượng đến ẩn: Phân tích các đối tượng của đề bài cho
dưới nhiều khía cạnh, góc độ. Vận dụng chúng linh hoạt vào việc tính toán hay

chứng minh để có cái cần tìm.
- Từ các đối tượng mà ta có trong tay đến các đối tượng mà ta muốn đạt
tới. Nhiều khi trong việc tìm lời giải đòi hỏi người giải toán phải sử dụng các công
cụ toán học đã biết, đã chứng minh để giải mà không phải dựa hoàn toàn vào dữ
kiện đề bài cho. Nó có thể là những công thức, những định lý, các bất đẳng
thức…Mà chúng ta được quyền áp dụng để chứng minh hay giải toán. [5,tr.15]
Giải toán phải được xây dựng theo một quan điểm nhất quán, theo phân
loại, định hướng rõ rệt để học sinh có thể vận dụng kiến thức, kinh nghiệm có
sẵn vào hoàn cảnh mới liên kết các kinh nghiệm cũ đã được tích lũy vào việc
giải quyết những yêu cầu mới trong tình huống mới.
Trong giải toán yêu cầu người giải toán phải xác định được nội dung tri
thức nào là cần thiết và có thể áp dụng để giải toán. Điều này đòi hỏi cần có một
tư duy lôgic biết cách kết nối các yếu tố của bài toán và một trí nhớ tốt.
Ngoài việc nắm các đường lối chung. Thì người giải toán cũng cần phải
phát hiện ra những cái riêng, cái độc đáo của từng bài toán cụ thể để lựa chọn
phương án thích hợp nhất và tối ưu nhất.
1.1.2. Các bước giải một bài toán
Cách thức dạy phương pháp chung để giải bài toán.
Thông thường giải một bài toán gồm 4 bước
* Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
5
Phát biểu để bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán;
phân biệt cái đã cho cái phải tìm, phải chứng minh;
Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
* Bước 2: Tìm cách giải
Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh. Liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết. Liên hệ bài toán cần giải với
một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán nào đó có liên
quan. Sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng bài toán như chứng

minh, phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích.
Kiểm tra lời giải bằng cách xem xét kỹ từng bước thực hiện. Hoặc đặc
biệt hóa kết quả tìm được. Đối chiếu một số trí thức liên quan.
Tìm tòi những cách giải khác. So sánh chúng để chọn được cách giải hợp
lý nhất.
* Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
* Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn để.
[1,tr.264]
Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được và vận dụng
được phương pháp chung để giải toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà
họ gặp trong chương trình. Học phương pháp chung để giải toán không phải
là học một thuật giải mà là học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất
tìm tòi, phát hiện.
Như vậy, quá trình học sinh học phương pháp chung giải toán là một quá
trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán
của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể. Từ phương
pháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng
đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố
sáng tạo. “Tìm được cách giải một bài toán là một phát minh” (theo Pôlia).

6
1.1.3. Kỹ năng trong từng bước giải của hoạt động giải toán
1.1.3.1. Khái niệm về kỹ năng
Vấn đề kỹ năng của con người là vấn đề có nhiều ý kiến khác nhau. Qua
một số công trình nghiên cứu tâm lý học, giáo dục học, toán học đã có những
quan niệm khác nhau như:

Quan niệm chú trọng đến mặt kỹ thuật của hành động: Các nhà nghiên
cứu theo quan niệm này khi xem xét kỹ năng luôn nghiêng về kỹ thuật của hành
động, coi kỹ năng như là một phương tiện thực hiện hành động, chỉ cần nắm
được cách thức hành động tức là có kỹ năng mà không cần tính đến kết quả của
hành động. Các tác giả theo quan điểm này là A.G.Coovaliôv, A.V.Petrovxki,
V.A Krutetxki, Trần Trọng Thủy,
Quan niệm chú trọng đến mặt kết quả của hành động. Coi kỹ năng là năng
lực thực hiện một công việc sáng tạo ra kết quả với chất lượng cần thiết trong
thời gian nhất định, trong điều kiện mới. Với quan niệm này, các nhà nghiên cứu
khi xem xét kỹ năng luôn coi kỹ năng là một biểu hiện năng lực con người chứ
không phải đơn thuần là mặt kỹ thuật của hành động trong mối quan hệ với mục
đích thực hiện và cách thức tiến hành hành động. Một số tác giả tiêu biểu cho
quan điểm này là N. Lêvitôv, K.K Platonov, Nguyễn Quang Uẩn, Nguyễn Ánh
Tuyết, Ngô Công Hoàn,
Quan niệm khác lại cho rằng: Kỹ năng là việc vận dụng những tri thức và
các kỹ xảo đã có vào việc lựa chọn và thực hiện những phương thức hành động
đặt ra. Đó cũng là quan niệm của A.V Petrovxki và N.G Kazaxki, T.S Nazarov
cũng như L.B –Itelxon với quan điểm trên, trong “Từ điển tâm lý học ” do A.V
Petrovxki và M.G Jarosevxki chủ biên năm 1990 cho rằng: “Kỹ năng là phương
thức hành động dựa trên cơ sở tổ hợp những tri thức và kỹ xảo. Kỹ năng được
hình thành bằng con đường luyện tập. Tạo khả năng cho con người thực hiện
hành động không chỉ trong những điều kiện quen thuộc mà cả trong những điều
kiện thay đổi”. Ở quan niệm này thì kỹ năng được hình thành trên cơ sở kiến
thức và kỹ xảo đã được luyện tập trước. Ngoài ra các tác giả còn nhấn mạnh:
Người có kỹ năng phải nắm vững cách thức hành động đúng trong các điều kiện
quen thuộc và các điều kiện mới, có ý nghĩa là phải có mức độ ổn định vững
chắc mang tính khái quát và tính linh hoạt cơ động. [16,tr.18]
“Kỹ năng là khả năng vận dụng những tri thức khoa học vào thực tiễn
trong đó khả năng được hiểu là “sức đã có” (về mặt nào đó) để có thể làm tốt
một việc gì.

7
* Theo tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành
động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định. Nếu ta tạm
thời tách tri thức và kỹ năng để xem xét từng cái thì tri thức thuộc phạm vi nhận
thức, thuộc về khả năng “biết”, còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc
khả năng “biết làm”.
* Trong toán học, kỹ năng là “khả năng” giải các bài toán, thực hiện các
chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải vào chứng minh nhận
được.” [18,tr.7]
Như vậy, vấn đề kỹ năng vẫn còn là vấn đề có nhiều ý kiến, song cơ bản
các ý kiến cũng không có gì mâu thuẫn nhau. Các tác giả tùy theo cách nhìn chủ
quan của mình mà nhấn mạnh khía cạnh này hay khía cạnh khác. Tuy nhiên, từ
những ý kiến trên chúng ta có thể hiểu kỹ năng một cách tổng quát như sau: Kỹ
năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động hay một hoạt động nào đó
bằng cách lựa chọn và vận dụng những tri thức, những kinh nghiệm đã có để
hành động phù hợp với những điều kiện thực tiễn cho phép. Kỹ năng thể hiện
các thao tác tư duy, năng lực hành động và mặt kỹ thuật của hành động.
Để trở thành một người có kỹ năng về hành động nào đó phải:
+ Có tri thức về hành động bao gồm mục đích của hành động, các điều
kiện phương tiện để đạt mục đích, các cách thức thực hiện hành động.
+ Tiến hành hành động đúng với yêu cầu của nó.
+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra.
+ Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.
Tuy nhiên muốn có kỹ năng thì phải tính đến một quá trình hình thành kỹ
năng và để đạt được kết quả hành động cũng cần phải có sự rèn luyện, tập dượt
nhất định để đạt được mục đích đề ra.”
Đặc điểm của kỹ năng
Khái niệm kỹ năng được định nghĩa ở trên chứa đựng các đặc điểm sau:
* Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức
bởi vì cấu trúc của kỹ năng bao gồm: Hiểu mục đích, biết cách thức đi đến.

* Kiến thức là cơ sở của kỹ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại
trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động. Cùng với vai trò cơ sở của tri
thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹ năng. Bởi vì môn Toán là môn học công
cụ có đặc điểm, vị trí đặc biệt trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân
8
cách trong nhà trường phổ thông vì vậy cần hướng mạnh vào việc vận dụng tri
thức và rèn luyện kỹ năng giải toán bởi vì kỹ năng này chỉ có thể được hình
thành và phát triển trong hoạt động.
* Qua đặc điểm và vị trí của kỹ năng trên, ta thấy kỹ năng giải toán cũng
phải dựa trên cơ sở tri thức toán học (bao gồm kiến thức, kỹ năng, phương
pháp), do đó nói kỹ năng giải toán không thể tách rời với phương pháp toán học
nhằm hình thành và rèn luyện những kỹ năng đó. [18,tr.7;8]
1.1.3.2. Khái niệm kỹ năng giải toán
* Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng tri thức toán học để giải quyết
các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh,…)
* Để thực hiện nhiệm vụ môn Toán trong trường học phổ thông một trong
những yêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức phương
pháp, đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kỹ năng
tương ứng, chẳng hạn tri thức và kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình,
tri thức và kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạt động tư duy hàm…
Cần chú ý là tùy nội dung kiến thức toán học mà có những yêu cầu rèn
luyện kỹ năng khác nhau.
1.1.3.3. Kỹ năng trong từng bước giải của hoạt động giải toán
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Kỹ năng phân tích bài toán: Kỹ năng phân tích các ngôn ngữ, dấu hiệu
của các kiến thức tàng ẩn trong bài toán, điều kiện, dữ kiện của bài toán; kỹ
năng xác định giả thiết, kết luận.
Bước 2: Tìm cách giải
Kỹ năng tương tự hóa: Bạn đã gặp bài toán này bao giờ chưa? Hay đã gặp

bài toán này ở dạng hơi khác?
Kỹ năng sử dụng các dữ kiện của bài toán: Đã sử dụng hết những cái đã
cho, điều kiện hay chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
Kỹ năng xây dựng lời giải.
Bước 3: Trình bày lời giải
Kỹ năng tổng hợp, phân tích: Nắm lại toàn bộ những phân tích ở các bước
1 và 2, lọc bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện, lệch lạc nhất thời.
Kỹ năng xác định phạm vi kiến thức: Kiến thức nào cần cho lời giải của
bài toán.
9
Kỹ năng trình bày lời giải: Sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Kỹ năng giải những bài toán tương tự, kỹ năng phân loại, những bài toán
như thế nào thì sẽ có cùng một cách giải, kỹ năng mở rộng hay lật ngược vấn đề.
1.1.3.4. Kỹ năng phân loại bài toán trong giải toán
Loại là tập hợp sự vật, hiện tượng có cùng một đặc điểm.
Dạng là hình thể, là kích cỡ bên ngoài, dựa vào đó để phân biệt sự khác
nhau giữa các sự vật, hiện tượng.
Các đặc điểm về dạng, loại của bài toán chính là phần hình thức của bài
toán đó. Do sự thống nhất giữa nội dung và hình thức nên việc nghiên cứu phần
hình thức của bài toán thực chất là việc khám phá các đặc điểm trong nội dung
của bài toán. Chính vì thế, nhiều bài toán có được lời giải hay là nhờ vào việc
khai thác đúng đắn các đặc điểm về dạng bài toán đó.
Chúng ta phải khoanh vùng bài toán và vùng được khoanh càng hẹp càng
tốt, giúp ta nhận dạng được bài toán thuộc dạng nào? Khi đã nhận dạng được bài
toán thì trong đầu phải nhớ lại để chuẩn bị vận dụng một loạt các yếu tố cần
thiết để giải bài toán này. [19,tr.18]
Phân loại (phân dạng) là phân chia sự vật, hiện tượng ra thành từng loại
hay nói cách khác là phân chia sự vật hiện tượng có cùng một đặc điểm nào đó

ra thành một nhóm.
Phân loại bài tập là sắp xếp các bài tập theo một trật tự hoặc theo một loại
nào đó, hoặc theo một dấu hiệu chung nào đó. Dấu hiệu chung đó có thể dựa
trên kiến thức, phương pháp hoặc kỹ năng. Học sinh phải phát hiện ra những đặc
điểm giống nhau và khác nhau, qua đó phân chia hệ thống các bài tập thành các
dạng bài tập theo một dấu hiệu nhất định. Học sinh cần nắm vững phương pháp
chung để giải từng dạng bài tập điển hình.
Phân loại hệ thống bài tập bước đầu giúp cho học sinh xác định phạm vi
kiến thức, hệ thống kiến thức có thể sử dụng trong bài toán. Phân loại hệ thống
bài tập là một bộ phận trong phân tích bài toán. Phân loại hệ thống bài tập có các
kỹ năng:
* Kỹ năng xác định kiến thức chính trong bài tập, kỹ năng xác định những
kiến thức cơ bản sinh ra bài tập, hệ thống những kiến thức sinh ra bài tập, kiến
thức đã biết hay kiến thức cần tìm tòi.
10
[2,tr.115] “Ta không nên mất thì giờ vào những chi tiết không cần thiết và
phải để dành thời gian vào điều căn bản. Cái khó ở đây là chưa thể nói trước chi
tiết nào là có ích, chi tiết nào là phù phiếm. Do đó, trước hết phải hiểu bài toán
một cách tổng thể. Khi đã hiểu rõ thì ta dễ có điều kiện hơn để xét xem những
điểm chi tiết nào là căn bản. Khi đã nghiên cứu các điểm này (có lẽ cũng chỉ là
một số ít) thì ta lại có điều kiện hơn để xác định xem trong số những chi tiết còn
lại, cái nào cần khảo sát chặt chẽ. Ta phải nghiên cứu thật sát và phân chia bài
toán từng bước và chú ý không đi quá xa khi không cần thiết”
* Kỹ năng phân tích các ngôn ngữ, dấu hiệu của các kiến thức tàng ẩn
trong bài tập, điều kiện, dữ kiện của bài toán, dấu hiệu nó gắn với định nghĩa
nào hoặc các hệ quả các kiến thức tổng hợp đúng là kiến thức đã biết.
Kỹ năng phân loại bài tập dựa trên phân loại hệ thống kiến thức cơ bản,
phân loại kỹ năng, phân loại phương pháp giải.
1. Dựa trên phân loại hệ thống kiến thức cơ bản: Yêu cầu trang bị đầy
đủ kiến thức chính xác về môn Toán, các kiến thức cơ bản gồm có:

Kiến thức 1 là vận dụng định nghĩa, khái niệm. Yêu cầu:
* Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
* Biết nhận dạng và thể hiện khái niệm.
* Biết phát biểu chính xác định nghĩa một số khái niệm.
* Biết vận dụng các khái niệm trong những tình huống cụ thể.
* Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm
với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
Kiến thức 2 là vận dụng định lý, tính chất. Yêu cầu:
* Học sinh nắm được hệ thống định lý và những mối liên hệ giữa chúng
từ đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán.
* Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lý.
* Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ
hiểu được chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết
cách suy diễn để tìm ra chứng minh.
Chúng ta có thể vận dụng định lý, tính chất trong giải toán vào việc nhận
dạng, thể hiện khái niệm, nhận dạng, thể hiện định lý, chứng minh toán học.
Kiến thức 3 là vận dụng hệ quả, mệnh đề.
11
Kiến thức 4 là vận dụng các kết quả tổng hợp.
Các kiến thức này đều phải dựa trên điều kiện, dữ kiện của bài toán.
2. Dựa trên phân loại kỹ năng có trong bài toán:
Kỹ năng liên kết, phân tích các dữ liệu mà bài toán đã cho với cái phải tìm.
Kỹ năng tính toán: Là một trong những kỹ năng cơ bản của việc học toán
ở trường, trong thực tế đời sống, trong sản xuất, trong kỹ thuật… đâu đâu cũng
đòi hỏi kỹ năng tính toán, tính nhanh, tính hợp lí Đối với học sinh Trung học
phổ thông, kỹ năng tính toán đã được rèn luyện nhiều ở cấp Trung học cơ sở nên
giáo viên yêu cầu các em cao hơn là luôn phải có ý thức tìm tòi các phương
pháp tính toán khác nhau, biết tính toán hợp lý nhất (đơn giản nhất, phù hợp với
điều kiện cụ thể…).
Kỹ năng sử dụng hình vẽ, việc sử dụng hình vẽ sẽ giúp học sinh dễ hình

dung hơn khi nói về các đặc điểm của điểm thuộc đường tròn, xét vị trí tương
đối của điểm, đường thẳng đối với đường tròn.
Kỹ năng chứng minh
Để có kỹ năng chứng minh toán học, học sinh cần được:
* Hình thành động cơ chứng minh: Sự cần thiết phải chứng minh dù đó là
những bài toán đơn giản nhất.
* Rèn luyện những hoạt động thành phần trong chứng minh như phân
tích, tổng hợp, so sánh, khái quát…
* Tri thức phương pháp về chứng minh: Trước hết là những tri thức về
các quy tắc kết luận lôgic mà ở trong trường chỉ được truyền thụ theo con đường
không tường minh.
Kỹ năng vận dụng các quy tắc, phương trình đường tròn, phương trình tiếp
tuyến của đường tròn, vị trí của điểm, đường thẳng với đường tròn…. Về mặt kĩ
năng này thì yêu cầu học sinh vận dụng một cách linh hoạt, tránh máy móc.
Kỹ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch là một điều quan
trọng để nắm và vận dụng kiến thức, một thành phần của tư duy toán học, giúp
cho học sinh hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình
thành các liên tưởng [19,tr.16].
Kỹ năng Toán học hóa các tình huống thực tiễn: Kỹ năng Toán học hóa
các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời
sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiến thức Toán
12
học trong nhà trường gây hứng thú trong học tập, giúp học sinh nắm được thực
chất nội dung, vấn đề và tránh hiểu các sự kiện Toán học một cách hình thức.
Kỹ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên
quan đén sự tương ứng, những mối liên hệ, phụ thuộc giữa các phần tử của một
hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng. Tư duy hàm đóng vai trò quan
trọng và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông. Những hoạt động tư duy
hàm là: Hoạt động phát triển và thiết lập sự tương ứng, hoạt động nghiên cứu
tương ứng.

Kỹ năng trình bày lời giải.
Kỹ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải thích và tránh sai lầm
khi giải toán: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của
mình” (Pôlia). Trong học tập giải toán việc phát hiện sai lầm và sửa sai lầm đó
của lời giải là một thành công của người học toán.
3. Dựa trên phân loại phương pháp giải
Mỗi bài tập chứa đựng những nội dung kiến thức khác nhau và từ những
đặc điểm khác nhau của nội dung kiến thức ta lại có một phương pháp giải toán
khác. Ví dụ như một đường tròn xác định khi biết: 1, tâm và bán kính của đường
tròn; 2, ba điểm thuộc đường tròn; 3, đường tròn có tâm thuộc đường thẳng


cho trước và đi qua hai điểm …như vậy nếu bài toán cho ta một trong các giữ
kiện 1, 2, 3 và yêu cầu viết phương trình đường tròn thì từ đây ta có ba phương
pháp giải toán khác nhau mặc dù mục đích cuối cùng của giải toán vẫn là viết
phương trình đường tròn.
Muốn áp dụng phương pháp giải toán nào cho một bài toán trước hết cần
nghiên cứu các điều kiện đặt ra trong bài toán. Các đại lượng có mặt trong bài
toán trước hết phải kể đến các đối số, số học và lượng giác, các yếu tố tạo nên
hình và khối trong các bài toán hình học. Đặc biệt là các yếu tố trong mỗi nội
dung có sự khác nhau. Các điều kiện đặt ra trong mỗi đại lượng đó không phải là
ngẫu nhiên, tùy tiện, mà chính là sự biểu hiện các mối liên hệ nào đó giữa các
yếu tố tạo nên bài toán.
Khi gặp các bài toán có kèm theo một số điều kiện chúng ta khai thác triệt
để và đúng đắn các điều kiện đó chắc chắn sẽ dẫn tới việc xác định đúng phương
pháp để giải bài toán đó.
Ta có thể phân loại phương pháp giải toán thành những nhóm nhỏ như sau:
Nhóm 1: Áp dụng phương pháp giải toán nhận dạng, thể hiện khái niệm.
13
Nhóm 2: Áp dụng phương pháp giải toán nhận dạng, thể hiện định lý, tính chất.

Nhóm 3: Áp dụng phương pháp giải toán chứng minh.
Nhóm 4: Áp dụng phương pháp giải toán quỹ tích, dựng hình.
Nhóm 5: Áp dụng phương pháp giải phương trình, hệ phương trình.
Ta có thể chỉ ra được nhiều cách phân loại bài toán dựa trên phân loại
phương pháp giải trên đây chỉ là một cách phân loại.
1.2. Tác dụng của việc rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập trong giải toán.
Khi gặp một bài toán bất kỳ để giải được bài toán đó chúng ta phải đi thực
hiện yêu cầu của bài toán. Trước hết học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng loại bài
toán, căn cứ vào các dữ liệu và yêu cầu của bài toán. Từ đó xác định được dạng,
loại của bài toán. Sau khi xác định được dạng của bài toán thì học sinh mới có
thể vận dụng các tri thức, kỹ năng vào giải bài toán. Như vậy việc rèn luyện kỹ
năng phân loại bài tập là rất cần thiết đối với học sinh vì chỉ có xác định đúng
dạng bài tập chúng ta mới có hướng giải đúng đắn.
Khi học sinh đã hình thành được kỹ năng phân loại bài tập các em có thể
nhìn nhận bài toán dưới góc độ tổng quát và tìm được mối liên hệ giữa các bài tập.
Học sinh khắc sâu tri thức, mở rộng, bổ sung đưa ra những lý giải, cách
nhìn độc lập của mình về một số vấn đề của bài tập.
Giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho
học sinh các tư duy trừu tượng, tư duy suy luận, hợp lôgic, phương pháp khoa
học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong học tập.
Phát triển ở học sinh những phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biến những
tri thức thu nhận được thành của bản thân mình, thành công cụ để nhận thức và
hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như trong việc học tập
hiện nay và về sau.
Giúp cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ
thống những kiến thức và kỹ năng toán học, có những năng lực vận dụng những
tri thức đó vào những tình huống cụ thể khác nhau của bài toán.
Giúp học sinh củng cố những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những giai đoạn
khác nhau của quá trình dạy học, làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề lý
thuyết. Thu gọn và mở rộng, bổ sung cho lý thuyết trên cơ sở thường xuyên hệ

thống hóa kiến thức mà nhấn mạnh phần trọng tâm của lý thuyết.
14
Đặc biệt rèn luyện kỹ năng phân loại bài tập còn mang tác dụng giáo dục kỹ
thuật tổng hợp, phân tích thể hiện qua việc giúp học sinh rèn luyện thói quen đặt vấn
đề một cách hợp lý, ngắn gọn, tiết kiệm thời gian và phương pháp tư duy.
Qua đó rèn luyện cho học sinh các kỹ năng, kỹ xảo nhằm đảm bảo tính
độc lập, sáng tạo, góp phần phát triển cho học sinh tư duy sáng tạo.
Giúp học sinh ngày càng nâng cao khả năng tư duy độc lập, biết suy nghĩ,
biết tự rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp suy diễn, quy nạp,
tương tự,…thông thạo một số phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và
giải quyết vấn đề một cách thông minh sáng tạo.
1.3. Hệ thống bài tập
Bài 1 [8,bài 42.tr.107]
Tìm tọa độ tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a;
22
( 4) ( 2) 7xy   

b;
22
( 5) ( 7) 15xy   

c;
22
6 4 36x y x y   

d;
22
10 10 55x y x y   

e;
22
8 6 8 0x y x y    

f;
22
4 10 15 0x y x y    

Bài 2 [9,vd1.tr.91] Trong các phương trình sau đây phương trình nào là phương
trình của đường tròn, chỉ rõ tâm và bán kính của nó
;a

22
2 2 2 0x y x y    

;b

22
2 4 9 0x y x y    

;c

22
2 2 7 0x y x y     

;d

22
2 2 2 2 0x y x y    

Bài 3 [8,bài 44.tr.107]
Viết phương trình đường tròn đường kính
AB
trong các trường hợp sau:

, (7; 3); (1;7)a A B  


, ( 3;2); (7; 4)b A B   

15
Bài 4 [8,bài 44.tr.108]
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
biết
(1;3); (5;6); (7;0)A B C  

Bài 5[8,bài 45.tr.108]
Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
biết phương trình
các cạnh :
:3 4 6 0AB x y  

:4 3 1 0AC x y  

:0BC y 

Bài 6 [8,bài 47.tr.107]
Choba điểm

( 1;0); (2;4); (4;1)A B C   

CMR tập hợp các điểm
M
thỏa mãn
2 2 2
32MA MB MC
là một đường
()C
. Tìm tọa độ tâm và bán kính của
()C
.
Bài 7 [8,bài 48.tr.108]
Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và
a, Đi qua
(2;1)A

b, Có tâm thuộc đường thẳng
3 5 8 0xy  

Bài 8 [8,bài 49.tr.108]
Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm
(6;0)A
và
đi qua
(9;9)B
.
Bài 9 [8,bài 50.tr.108]
Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm
( 1;0); (1;2)AB

và tiếp
xúc với đường thẳng
10xy  
.
Bài 10 [8,bài 51.tr.108]
Viết phương trình đường thẳng

tiếp xúc với đường tròn
()C
tại điểm
A
()C
trong các trường hợp sau:
a,
22
( ): 25; (3;4)C x y A

b,
22
( ): 100; ( 8;6)C x y A  

16
c,
22
( ): 25; (3;4)C x y A

d,
22
( ): 25; (3;4)C x y A

e,
22
( ): 25; (3;4)C x y A

f,
22
( ): 25; (3;4)C x y A

Bài 11 [8,bài 53.tr.108]
Cho đường tròn (C):
22
2 6 5 0x y x y    
và đường thẳng d:
2 1 0xy  
. Viết phương trình tiếp tuyến (Δ) của
()C
biết Δ song song với d.
Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 12 [8,bài 54.tr.108]
Cho đường tròn
()C
:
22
6 2 6 0x y x y    
và
(1;3)A
. Viết phương
trình tiếp tuyến của
()C
kẻ từ

A
.
Bài 13 [8,bài 55.tr.108]
Cho đường tròn
()C
có phương trình
22
4 4 17 0x y x y    
. Viết
phương trình tiếp tuyến Δ của
()C
trong mỗi trường hợp sau:
a, Δ tiếp xúc với
()C
tại
(2;1)M

b, Δ vuông góc với đường thẳng d:
3 4 1 0xy  

c, Δ đi qua
(2;6)A

Bài 14 [8,bài 56.tr.109]
Cho hai đường tròn
1
()C
:
22
4 8 11 0x y x y    

và
2
()C
:
22
2 2 2 0x y x y    

a, Xét vị trí tương đối của
1
()C
và
2
()C

b, Viết phương trình tiếp tuyến chung của
1
()C
và
2
()C

Bài 15 [8,bài 57.tr.108]
Cho đường tròn
()C
có phương trình:
22
6 2 6 0x y x y    
và điểm
(1;3)A

. CMR
A
ở ngoài đường tròn.
Bài 16 [8,bài 58.tr.109] Cho đường cong
()
m
C
có phương trình
22
( 2) ( 4) 1 0x y m x m y m       

17
a, CMR
()
m
C
luôn là đường tròn với mọi giá trị của
m
.
b, Tìm tập hợp tâm các đường tròn
()
m
C
khi
m
thay đổi.
c, CMR khi
m
thay đổi, họ các đường tròn
()

m
C
luôn đi qua hai điểm cố định.
d, Tìm những điểm trong mặt phẳng tọa độ mà họ
()
m
C
luôn không đi
qua dù
m
lấy bất cứ giá trị nào.
Bài 17 [7,bài 28.tr.96]
Xét vị trí tương đối của đường thẳng Δ và đường tròn
()C
sau đây
Δ:
30x y m  

()C
:
22
4 2 1 0x y x y    

18
CHƯƠNG II: BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI
HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐƯỜNG TRÒN

Từ kết quả nghiên cứu của chương 1 nội dung chương 2 của khoá luận
nghiên cứu đề xuất một số một số biện pháp cụ thể nhằm rèn luyện kỹ năng
phân loại hệ thống bài tập đường tròn cho học sinh lớp 10.

2.1. Biện pháp phân loại dựa trên kiến thức cơ bản
* Phân loại hệ thống bài tập dựa vào hệ thống khái niệm.
Kỹ năng phân loại bài tập dựa vào hệ thống khái niệm cụ thể là kỹ năng
nhận dạng và thể hiện khái niệm, kỹ năng chứng minh bài toán dựa vào khái
niệm. Như vậy để làm tốt được việc phân loại này học sinh cần biến vốn tri thức
của loài người thành vốn tri thức riêng của bản thân. Do đó cần nắm vững bản
chất các khái niệm, định nghĩa biết diễn đạt chúng bằng ngôn ngữ riêng của
mình, biết tự tìm ra các ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa vào các
tình huống khác nhau. Qua nghiên cứu thực tế cho thấy học sinh chưa có ý thức
và kinh nghiệm nhận dạng và thể hiện khái niệm.
“Nhận dạng và thể hiện là hai hoạt động theo chiều hướng trái ngược
nhau liên hệ với một định nghĩa, một định lý hay một phương pháp.
Nhận dạng một khái niệm (nhờ một định nghĩa tường minh hoặc ẩn tàng)
là phát hiện xem một đối tượng cho trước có thỏa mãn định nghĩa, khái niệm đó
hay không. Thể hiện một khái niệm (nhờ một định nghĩa tường minh hoặc ẩn
tàng) là tạo một đối tượng thỏa mãn định nghĩa (có thể đòi hỏi một số yêu cầu
khác).”[19,tr.76]
* Phân loại hệ thống bài tập dựa vào hệ thống định lý, tính chất.
Kỹ năng phân loại bài tập dựa vào hệ thống định lý, tính chất là kỹ năng
nhận dạng và thể hiện định lý, tính chất; kỹ năng chứng minh bài toán bằng cách
sử dụng hệ thống định lý, tính chất; kỹ năng nhận dạng, thể hiện một định nghĩa,
khái niệm dựa vào định lý, tính chất.
Học sinh nắm vững định lý, tính chất và phát biểu được phần giả thiết,
phần kết luận, hiểu được mối liên hệ lôgic giữa các định lý, tính chất.
Biết diễn đạt chúng bằng ngôn ngữ riêng của mình, biết tự tìm ra các ví
dụ minh họa cho các định lý, tính chất.
19
Nhận dạng một định lý, tính chất là xét xem tình huống cho trước có ăn
khớp với định lý, tính chất đó hay không. Thể hiện là tạo ra một tình huống phù

hợp với định lý, tính chất đã cho.
* Phân loại hệ thống bài tập dựa vào dấu hiệu tổng hợp.
Bài tập tổng hợp chứa đựng những nội dung kiến thức của nhiều phần
khác nhau. Các dấu hiệu của bài toán không chỉ rõ các kiến thức cơ bản đã biết
mà qua suy luận suy diễn mới đưa đến các bài toán cơ bản đã biết. Kỹ năng phân
loại hệ thống bài tập tổng hợp là kỹ năng tương đối phức tạp thoạt nhìn các em
có thể xếp bài tập này vào các dạng bài tập khác vì khi phân tích đề bài các em
đã bỏ qua một vài dữ kiện của giả thiết dẫn tới hiểu nhầm trong việc phân loại.
Các kiến thức cơ bản:
Khái niệm 1: Đường tròn là tập hợp những điểm cách đều một điểm cho trước.
Khái niệm 2: Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn mà sao cho các đỉnh
của tam giác nằm trên đường tròn đó.
Khái niệm 3: Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn có tâm cách đều các
cạnh của tam giác.
Khái niệm 4: Cho điểm
0 0 0
( ; )M x y
nằm trên đường tròn
()C
tâm
( ; )I a b
và
bán kính
R
. Gọi

là tiếp tuyến của
()C
tại
0

M
. Ta có
0
M 
và vectơ
0 0 0
( ; )IM x a y b  
là vectơ pháp tuyến của

. Do đó

có phương trình là:
0 0 0 0
( )( ) ( )( ) 0x a x x y b y y     
[6,tr.83]
Khái niệm 5: Khoảng cách của điểm
M
tới đường thẳng

là khoảng cách từ
điểm
M
tới hình chiếu của
M
trên

.
Định nghĩa 1: Phương trình của đường tròn
Trên mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C) có tâm
00

( , )I x y
và bán kính R,
điểm
( , ) ( )M x y C
. Phương trình đường tròn có hai dạng:
Dạng 1: Phương trình chính tắc của đường tròn (C) là
2 2 2
00
( ) ( )x x y y R   
(1)
Dạng 2: phương trình tổng quát của đường tròn (C) là
22
2 2 0x y ax by c    
(2)
trong đó
2 2 2
0 0 0 0
;;a x b y c x y R      
[7,tr.91]

20
Định nghĩa 2: Công thức khoảng cách của một điểm tới một đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng

có phương trình tổng quát
0ax by c  
. Khoảng cách từ điểm
( ; )
MM
M x y

tới

được cho bởi công
thức:
22
( ; )
MM
ax by c
dM
ab



.
Định nghĩa 3: Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hai điểm
( ; )
MM
M x y
,
( ; )
NN
N x y
. Gọi
( ; )
PP
P x y
là trung điểm của đoạn thẳng

MN
thì
;
22
M N M N
PP
x x y y
xy


.
Định nghĩa 4: Tọa độ trọng tâm tam giác
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho ba điểm
( ; )
AA
A x y
,
( ; )
BB
B x y
,
( ; )
CC
C x y

không thẳng hàng. Nếu
( ; )
GG

G x y
là trọng tâm tam giác
ABC
thì
;
33
A B C A B C
GG
x x x y y y
xy
   

. [6,tr.29, 30]
Tính chất 1: Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng cho trước
Cho đường thẳng

có phương trình tổng quát
0ax by c  
và hai điểm
( ; )
MM
M x y
,
( ; )
NN
N x y
không nằm trên

. Khi đó:
Hai điểm

;MN
nằm cùng phía đối với

khi và chỉ khi
( )( ) 0
M M N N
ax by c ax by c    

Hai điểm
;MN
nằm khác phía đối với

khi và chỉ khi
( )( ) 0
M M N N
ax by c ax by c    
. [6,tr.86]
Tính chất 2: Đường phân giác của góc
Cho hai đường thẳng cắt nhau có phương trình
1 1 1 1
:0a x b y c   
và
2 2 2 2
:0a x b y c   
khi đó phương trình hai đường phân giác của các góc tạo
bởi hai đường thẳng đó có dạng
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
0

a x b y c a x b y c
a b a b
   


. [6,tr87]
Tính chất 3: Điểm thuộc đường tròn
Đường tròn
()C
có đường kính
AB
khi đó mọi điểm
()MC
ta có
.0AM BM AM BM  
.
Tính chất 4: Đường tròn ngoại tiếp tam giác
21
Đường tròn
()C
ngoại tiếp tam giác
ABC
là đường tròn có tâm
I
cách đều các
đỉnh
,,A B C
.
Tính chất 5: Vị trí tương đối của điểm với đường tròn
Cho đường tròn

()C
có tâm
I
và bán kính
R
. Điểm
A
cho trước khi đó xảy ra
các trường hợp sau:
1,
IA R
thì
I
nằm ngoài đường tròn
()C
.
2,
IA R
thì
I
nằm trên đường tròn
()C
.
3,
IA R
thì
I
nằm trong đường tròn
()C
.

Tính chất 6: Vị trí tương đối của hai đường tròn
Cho đường tròn
1
()C
có tâm
1
I
và bán kính
1
R
và đường tròn
2
()C
có tâm
2
I

và bán kính
2
R
khi đó ta có:
1,
1 2 1 2
()I I R R
thì
1
()C
và
2
()C

không cắt nhau, nằm ngoài nhau.
2,
1 2 1 2
()I I R R
thì
1
()C
và
2
()C
tiếp xúc ngoài.
3,
1 2 1 2
I I R R
thì
1
()C
và
2
()C
tiếp xúc trong với nhau.
4,
1 2 1 2 1 2
R R I I R R   
thì
1
()C
và
2
()C

cắt nhau.
5,
1 2 1 2
I I R R
thì
1
()C
và
2
()C
không cắt nhau và nồng nhau.
Tính chất 7: Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn
Cho đường tròn
()C
có tâm
I
và bán kính
R
, đường thẳng
d
cho trước, ta có:
1,
( ; )d I d R
thì
d
cắt
()C
tại hai điểm phân biệt.
2,
( ; )d I d R

thì
d
tiếp xúc với
()C
.
3,
( ; )d I d R
thì
d
và
()C
không cắt nhau và không tiếp xúc.
a, Cơ sở lý luận của biện pháp
Hệ thống kiến thức cơ bản hình thành lên hệ thống bài tập, đối với một
khái niệm sẽ hình thành lên bài tập nhận dạng, thể hiện khái niệm, chứng minh
bài toán bằng cách sử dụng khái niệm, tính chất hình thành lên bài tập chứng
minh, định lý hình thành lên bài tập chứng minh, bài tập nhận dạng thể hiện định
lý và cả bài tập tìm tòi. Những bài toán phải sử dụng kết hợp khái niệm, tính
chất hoặc định lý giải quyết.
22
Nắm vững hệ thống kiến thức cơ bản giúp học sinh xác định nhanh dạng,
loại bài toán.
Dạy học giải hệ thống bài tập toán tổng hợp đóng vai trò quan trọng trong
quá trình dạy học. Thông qua giải dạng loại bài tập này học sinh thực hiện nhiều
hoạt động bao gồm cả nhận dạng và thể hiện khái niệm, định lý, quy tắc, phương
pháp, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Phân loại
bài tập dạng này đáp ứng toàn diện yêu cầu mục tiêu dạy học giải bài tập: Nắm
vững củng cố kiến thức, kỹ năng, phương pháp, phát triển tư duy cho học sinh:
Thứ nhất là rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, thứ hai là phát triển
khả năng suy đoán và tưởng tượng, thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ

cơ bản; thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ. [1,tr.45]
b, Mục đích, ý nghĩa của biện pháp
Biện pháp có ý nghĩa quan trọng trong rèn luyện kỹ năng phân loại bài
toán vì nó giúp học sinh nhìn bài toán bằng kiến thức cơ bản bản thân đã được
học, quá trình rèn luyện giúp học sinh hiểu sâu thêm các biểu hiện khác nhau
của kiến thức dưới dạng các loại bài tập. Như vậy biện pháp giúp cho quá trình
cho quá trình giải toán đạt được hướng giải có tính khả thi và thấy được phương
pháp giải theo nhiều hướng khác nhau.
Mục đích giúp cho học sinh phát hiện được ngay kiến thức cơ bản trực
tiếp sinh ra bài toán, kiến thức liên quan tới bài toán từ các dữ kiện của bài toán.
Củng cố nâng cao khả năng nhận thức về kiến thức cơ bản dưới dạng bài tập.
c, Tổ chức thực hiện rèn luyện
B1: Xác định kiến thức cơ bản từ dấu hiệu có trong bài toán.
B2: Xác định loại và cách giải của bài toán cơ bản .
B3: Định hướng xây dựng chương trình giải.
Trong phạm vi của khóa luận do giới hạn về phạm vi nghiên cứu và số
trang của khóa luận nên tôi chỉ phân tích cụ thể biện pháp phân loại hệ thống
bài tập dựa trên kiến thức cơ bản còn biện pháp sau không đi sâu phân tích:
phân loại bài tập dựa vào phân loại kỹ năng có trong bài toán, phân loại bài tập
dựa trên phân loại phương pháp giải.
d, Ví dụ minh họa
Bài 3 [8,bài 44.tr.107]
Viết phương trình đường tròn đường kính
AB
trong các trường hợp sau: