Giải số phương trình vi phân đại số bằng phương pháp đa bước

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời nói đầu iii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1 Giới thiệu 1
1.1 Phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 . . . . . . . 1
1.1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số cao . . . . . . 2
1.2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân . . . . . 5
1.2.1 Điều kiện ổn định của phương pháp đa bước . . 5
1.2.2 Một số phương pháp đa bước cụ thể . . . . . . . 6
2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số
chỉ số 1 19
2.1 Sự hội tụ của phương pháp đa bước . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Một số phương pháp đa bước giải phương trình vi phân
đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Phương pháp Euler ẩn . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Phương pháp BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số
chỉ số 2 30
3.1 Sự tồn tại duy nhất của lời giải số . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Ảnh hưởng của nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Sai số địa phương. Sự hội tụ của phương pháp BDF . . 35
i
MỤC LỤC
3.3.1 Sai số địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.2 Sự hội tụ của BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Phương pháp đa bước tổng quát . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phép lặp Newton . 42
3.6 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
ii
Lời nói đầu
Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ lâu, trong
khi đó lý thuyết phương trình vi phân ẩn, trong đó có phương trình vi
phân đại số, chỉ mới được quan tâm mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở
lại đây. Phương trình vi phân đại số là bài toán đặt không chỉnh, vì vậy
có rất nhiều điểm đặc biệt mà ta không thể tìm thấy ở phương trình vi
phân thường. Ví dụ như ma trận hệ số là ma trận suy biến, sự tồn tại và
duy nhất nghiệm phụ thuộc vào vế phải, , khiến việc nghiên cứu những
vấn đề định tính cũng như giải số phương trình vi phân đại số trở nên
phức tạp hơn nhiều so với phương trình vi phân thường.
Phương trình vi phân đại số có nhiều ứng dụng rộng rãi, chúng
mô phỏng các hệ động lực có ràng buộc, chẳng hạn như hệ cơ học, hệ
mạch điện, hệ kỹ thuật hóa học, lý thuyết điều khiển, động lực học chất
lỏng và nhiều lĩnh vực khác. Động thái chuyển động của một đối tượng
vật lý thường được mô hình hóa qua hệ phương trình vi phân. Nhưng
nếu các trạng thái của hệ thống vật lý chịu một số ràng buộc (về vị trí,
năng lượng, ) thì các hạn chế đó được mô tả bởi các phương trình (ràng
buộc) đại số. Những hệ như vậy bao gồm các phương trình vi phân và
phương trình đại số, được gọi là hệ phương trình vi phân đại số.
Khái niệm chỉ số được sử dụng trong lý thuyết phương trình vi
phân đại số để đo độ phức tạp của một phương trình vi phân đại số đối
với phương trình vi phân thường. Chỉ số là một số nguyên không âm,
cung cấp thông tin hữu ích về cấu trúc toán học và sự phức tạp trong
việc phân tích hệ phương trình vi phân đại số.
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số phương pháp đa
bước để giải phương trình vi phân chỉ số 1 và phương trình vi phân chỉ số

2, cụ thể là phương pháp Euler ẩn và phương pháp BDF k bước. Ngoài
phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành
ba chương:
iii
MỤC LỤC
Chương 1: Giới thiệu
Trình bày phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương trình vi phân
đại số chỉ số cao. Trình bày một số phương pháp đa bước cụ thể giải
phương trình vi phân và điều kiện ổn định của phương pháp đa bước.
Chương 2: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân
đại số chỉ số 1
Trình bày dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số chỉ số 1,
phương pháp đa bước áp dụng cho bài toán, sự hội tụ của bài toán
nhiễu suy biến. Lấy ví dụ minh họa và thử nghiệm số.
Chương 3: Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân
đại số chỉ số 2
Trình bày dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số chỉ số 2,
phương pháp đa bước áp dụng cho bài toán, ảnh hưởng của nhiễu, sự
hội tụ của phương pháp BDF và phương pháp đa bước nói chung. Lấy
ví dụ minh họa và thử nghiệm số.
iv
Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin cảm ơn Ban
chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học cùng toàn thể các thầy giáo, cô
giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, trường Đại học
Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đã giảng dạy tận tình
và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt luận văn.
Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo PGS.TS
Vũ Hoàng Linh, người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tôi
trong suốt quá trình tôi học tập và thực hiện luận văn.

Nhân dịp này, tôi cũng xin cảm ơn gia đình đã luôn ủng hộ và động
viên trong suốt thời gian tôi học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tất cả các bạn, các anh, các chị, em trong
lớp cao học Toán khóa 2010 - 2012 và khóa 2011 - 2013 đã tận tình giúp
đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2014
Học viên
Nguyễn Thị Hải Dung
Chương 1
Giới thiệu
1.1 Phương trình vi phân đại số
1.1.1 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1
Xét phương trình
εz

+ (z
2
− 1)z

+ z = 0. (1.1)
Ta thay đồng nhất thức
εz

+ (z
2
− 1)z

=
d

dx

εz

+ (
z
3
3
− z)


 
:=y
vào (1.1), ta có
y

= −z =: f(y, z),
εz

= y − (
z
3
3
− z) =: g(y, z).
(1.2)
Đặt ε = 0 trong (1.2) ta được một bài toán đơn giản
y

= −z =: f(y, z),
0 = y − (

z
3
3
− z) =: g(y, z).
(1.3)
Trong khi việc giải (1.2) không đơn giản thì (1.3) dễ dàng giải được
y

= −z = (z
2
− 1)z

,
1
Chương 1. Giới thiệu
từ đó suy ra ln |z| −
z
2
2
= x + C.
Phương trình (1.3) được gọi là phương trình vi phân đại số. Ta có
thể thấy, phương trình vi phân đại số là sự kết hợp giữa phương trình
vi phân và phương trình đại số.
1.1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số cao
Dạng tổng quát của phương trình vi phân đại số là phương trình vi
phân ẩn
F (x, u, u

) = 0, (1.4)
trong đó u : R → R

m
là lời giải, F : R × R
m
× R
m
→ R
m
là hàm số,
∂F
∂u

suy biến.
Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân đại số (1.4) có chỉ số vi phân
d = m nếu m là số nhỏ nhất của các vi phân
F (u

, u) = 0,
dF (u

, u)
dx
= 0, . . . ,
d
m
F (u

, u)
dx
m
= 0, (1.5)

sao cho từ phương trình (1.5) chúng ta rút ra được hệ phương trình vi
phân thường u

= ϕ(u).
Hệ chỉ số 1. Xét phương trình vi phân đại số
y

= f(y, z), (1.6)
0 = g(y, z). (1.7)
(không có z

). Ta lấy đạo hàm (1.7), thu được
g
y
(y, z)f(y, z) + g
z
(y, z)z

= 0,
suy ra
z

= −g
−1
z
(y, z).g
y
(y, z)f(y, z),
2
Chương 1. Giới thiệu

nếu g
z
là khả nghịch trong lân cận của lời giải.
Vì vậy bài toán (1.6), (1.7) có chỉ số vi phân là 1 nếu g
z
khả nghịch.
Hệ chỉ số 2. Xét phương trình vi phân đại số
y

= f(y, z), (1.8)
0 = g(y). (1.9)
Trong đó z không có mặt trong ràng buộc đại số. Lấy đạo hàm (1.9)
ta thu được "ràng buộc ẩn"
0 = g
y
(y)f(y, z). (1.10)
Nếu g
y
(y)f
z
(y, z) khả nghịch trong lân cận của lời giải thì phương
trình (1.8), (1.10) là phương trình chỉ số 1. Lấy vi phân phương trình
(1.10) cho ta phương trình vi phân của z, vì thế phương trình (1.8), (1.9)
là phương trình vi phân chỉ số 2. Nếu giá trị ban đầu thỏa mãn 0 = g(y
0
)
và 0 = g
y
(y
0

)f(y
0
, z
0
) thì ta gọi chúng là "tương thích". Chỉ trong trường
hợp này, phương trình (1.8) và (1.9) có lời giải duy nhất địa phương.
Chỉ số nhiễu
Quan niệm thứ hai về chỉ số, giải thích chỉ số như là tiêu chuẩn (đơn
vị đo) về độ nhạy cảm của lời giải đối với nhiễu của bài toán cho trước.
Định nghĩa 1.2. Phương trình (1.4) có chỉ số nhiễu p = m dọc theo lời
giải u(x) trên [0, x), nếu m là số nguyên nhỏ nhất sao cho mọi lời giải
u(x) của phương trình có nhiễu
F (x, u, u

) = δ(x), (1.11)
tồn tại trên [0, x) và có đánh giá
u(x) − u(x) ≤ C

u(0) − u(0) + max
0≤ξ≤x
δ(ξ) + . . . + max
0≤ξ≤x


δ
(m−1)
(ξ)




,
(1.12)
với biểu thức vế phải là đủ nhỏ, C là hằng số.
3
Chương 1. Giới thiệu
Hệ chỉ số 1. Để tính toán chỉ số nhiễu của phương trình (1.6), (1.7), ta
xét hệ bị nhiễu
y

= f(y, z) + δ
1
(x), (1.13)
0 = g(y, z) + δ
2
(x). (1.14)
Ta thấy hiệu z −z có thể được đánh giá nhờ định lý hàm ẩn mà không
cần bất kỳ đạo hàm nào của lời giải. Vì g
z
là khả nghịch, từ phương trình
(1.14), (1.7), ta có
z(x) −z(x) ≤ C
1
(y(x) − y(x) + δ
2
(x)) , (1.15)
với vế phải của (1.15) là đủ nhỏ.
Trừ (1.13) cho (1.6), lấy tích phân từ 0 → x, sử dụng điều kiện Lips-
chitz cho f và ước lượng trên cho z(x)−z(x) cho ta e(x) = y(x) − y(x)
thỏa mãn
e(x) ≤ e(0) + C

2
x

0
e(t)dt + C
3
x

0
δ
2
(t)dt +






x

0
δ
1
(t)dt







.
Trong ước lượng này, lấy chuẩn phần trong tích phân cho δ
2
, phần
ngoài tích phân cho δ
1
. Điều này là đúng trong trường hợp nhiễu của
phương trình đại số (1.7) quan trọng hơn nhiễu của phương trình vi
phân (1.6). Cuối cùng ta áp dụng Bổ đề Gronwall
y(x) − y(x) ≤ C
4
(y(0) − y(0) +
x

0
δ
2
(t)dt + max
0≤ξ≤x





ξ

0
δ
1
(t)dt






)
≤ C
5
(y(0) − y(0) + max
0≤ξ≤x
δ
2
(ξ) + max
0≤ξ≤x
δ
1
(ξ)).
Bất đẳng thức này cùng với bất đẳng thức (1.15) chỉ ra chỉ số nhiễu
của bài toán là 1.
Hệ chỉ số 2. Xét nhiễu của phương trình (1.8), (1.9) như sau:
y

= f(y, z) + δ(x), (1.16)
4
Chương 1. Giới thiệu
0 = g(y) + θ(x). (1.17)
Đạo hàm (1.17) ta được
0 = g
y
(y)f(y, z) + g

y
(y)δ(x) + θ

(x). (1.18)
Nếu g
y
(y)f
z
(y, z) là khả nghịch ta có thể sử dụng ước lượng cho trường
hợp chỉ số 1 (với δ
2
(x) thay bởi g
y
((x))δ(x) + θ

(x)) thu được
y(x) − y(x) ≤ C

y(0) − y(0) +
x

0
(δ(x) + θ

(x)) dξ

,
z(x) −z(x) ≤ C

y(0) − y(0) + max

0≤ξ≤x
δ(ξ) + max
0≤ξ≤x
θ

(ξ)

.
(1.19)
Do ước lượng này phụ thuộc vào đạo hàm bậc nhất của θ nên chỉ số
nhiễu của bài toán là 2.
1.2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân
1.2.1 Điều kiện ổn định của phương pháp đa bước
Phương pháp đa bước tổng quát áp dụng cho bài toán giá trị ban đầu
y

= f (x, y) ,
y (x
0
) = y
0
,
có dạng
α
k
y
m+k
+ α
k−1
y

m+k−1
+ . . . + α
0
y
m
= h(β
k
f
m+k
+ . . . + β
0
f
m
), (1.20)
trong đó f
i
= f (x
i
, y
i
) , i = 0, 1, . .
Áp dụng cho phương trình thử
y

= Jy, (1.21)
ta được
α
k
y
m+k

+ α
k−1
y
m+k−1
+ . . . + α
0
y
m
= hJ(β
k
y
m+k
+ . . . + β
0
y
m
).(1.22)
5
Chương 1. Giới thiệu
Đưa vào một cơ sở mới các vectơ y
m+i
là các vectơ riêng của J tương
ứng với giá trị riêng λ ta có
(α
k
− µβ
k
)y
m+k
+ . . . + (α

0
− µβ
0
)y
m
= 0, µ = hλ. (1.23)
Miền ổn định
Giải (1.23) ta sử dụng phương pháp Lagrange.
Đặt y
j
= ζ
j
, chia 2 vế cho ζ
m
và xét phương trình đặc trưng
(α
k
− µβ
k
)ζ
k
+ . . . + (α
0
− µβ
0
) = (ζ) −µσ(ζ) = 0, (1.24)
với (ζ) =
k

j=0

α
j
ζ
k−j
, σ(ζ) =
k

j=0
β
j
ζ
k−j
.
Phương trình (1.23) có lời giải ổn định nếu tất cả các nghiệm của
(1.24) nhỏ hơn hoặc bằng 1, ( cụ thể | ζ
i
|≤ 1 và | ζ
j
|< 1 nếu ζ
j
là
nghiệm bội.
Định nghĩa 1.3. Tập hợp S = {µ ∈ C, mọi nghiệm ζ
j
(µ) của (1.24) thỏa
mãn | ζ
j
(µ) |≤ 1, nghiệm bội thỏa mãn | ζ
j
(µ) |< 1} được gọi là miền

ổn định của phương pháp (1.20).
S được gọi là miền ổn định A nếu S ⊃
¯
C (
¯
C là nửa trái đóng của mặt
phẳng phức).
- Nếu S ⊃
¯
C, µ −→ ∞ thì từ nghiệm của phương trình (1.24) suy ra
σ(ζ) = 0.
- Nếu µ = 0, từ phương trình (1.24) suy ra (ζ) = 0. Do đó 0 ∈ S.
1.2.2 Một số phương pháp đa bước cụ thể
Phương pháp Adams
Kí hiệu x
i
= x
0
+ ih là các điểm lưới, y
n
, y
n−1
, . . . , y
n−k+1
là các xấp
xỉ của các nghiệm chính xác y (x
n
) , y (x
n−1
) , . . . , y (x

n−k+1
) của phương
trình vi phân
y

= f (x, y) , (1.25)
y (x
0
) = y
0
.
Lấy tích phân (1.25) trong khoảng từ x
n
đến x
n+1
ta được
y (x
n+1
) = y (x
n
) +
x
n+1

x
n
f (t, y (t)) dt. (1.26)
6
Chương 1. Giới thiệu
Vế phải của phương trình (1.26) xuất hiện lời giải chưa biết y (x),

nhưng từ các xấp xỉ y
n
, y
n−1
, . . . , y
n−k+1
đã biết, giá trị
f
i
= f (x
i
, y
i
) , i = n −k + 1, . . . n
có thể tìm được và nó thay hàm f (t, y (t)) trong phương trình (1.26) bởi
đa thức nội suy tại các điểm {(x
i
, y
i
) , i = n −k + 1, . . . n}.
Đa thức này có thể được biểu diễn bằng sai phân lùi
∇
0
f
n
= f
n
, ∇
j+1
f

n
= ∇
j
f
n
− ∇
j
f
n−1
như sau
p (t) = p (x
n
+ sh) =
k−1

j=0
(−1)
j

−s
j

∇
j
f
n
. (1.27)
Khi đó phương trình (1.26) dẫn đến
y
n+1

= y
n
+
x
n+1

x
n
p (t) dt
hoặc được đưa về dạng (sau khi thay phương trình (1.27) vào)
y
n+1
= y
n
+ h
k−1

j=0
γ
j
∇
j
f
n
(1.28)
trong đó γ
j
thỏa mãn
γ
j

= (−1)
j
1

0

−s
j

ds.
Với k = 1, 2, 3, 4 ta thu được các công thức sau:
k = 1 : y
n+1
= y
n
+ hf
n
(Phương pháp Euler hiển)
k = 2 : y
n+1
= y
n
+ h

3
2
f
n
−
1

2
f
n−1

k = 3 : y
n+1
= y
n
+ h

23
12
f
n
−
16
12
f
n−1
+
5
12
f
n−2

k = 3 : y
n+1
= y
n
+ h


55
24
f
n
−
59
24
f
n−1
+
37
24
f
n−2
−
9
24
f
n−3

.
Phương pháp Adams hiển áp dụng cho công thức y

= λy có dạng
y
n+1
= y
n
+ µ

k−1

j=0
γ
j
∇
j
f
n
7
Chương 1. Giới thiệu
hoặc đặt y
n
= ζ
n
và chia cho ζ
n
ta có
ζ −1 = µ

γ
0
+ γ
1

1 −
1
ζ

+ γ

2

1 −
2
ζ
+
1
ζ
2

+ . . .

.
Khi đó đường cong quỹ tích nghiệm trở thành
µ =
ζ −1
k−1

j=0
γ
j
(1 −
1
ζ
)
j
, ζ = e
iθ
.
Với k = 1 ta thu được đường tròn của phương pháp Euler, tâm là −1.

Các đường cong trong hình 1.1 là đồ thị với k = 2, 3, . . . , 6 và ta thấy
miền ổn định có kích thước giảm. Do đó phương pháp này không thích
hợp giải bài toán cương.
Hình 1.1: Miền ổn định của phương pháp Adams hiển
Hình 1.2: Miền ổn định của phương pháp Adams ẩn
Phương pháp Adams ẩn
Công thức (1.28) thu được bằng cách lấy tích phân các đa thức nội suy
(1.27) từ x
n
đến x
n+1
, tức là bên ngoài khoảng nội suy (x
n−k+1
, x
n
).
8
Chương 1. Giới thiệu
Điều đó cho thấy, một đa thức nội suy thường là xấp xỉ yếu bên ngoài
khoảng này. Do đó, Adams nghiên cứu phương pháp trong đó phương
trình (1.27) được thay thế bằng các đa thức nội suy mà sử dụng thêm
điểm (x
n+1
, f
n+1
), tức là
p
∗
(t) = p
∗

(x
n
+ sh) =
k

j=0
(−1)
j

−s + 1
j

∇
j
f
n+1
.
Thay vào phương trình (1.26) ta được phương pháp ẩn sau
y
n+1
= y
n
+ h
k

j=0
γ
∗
j
∇

j
f
n+1
,
trong đó γ
∗
j
thỏa mãn
γ
∗
j
= (−1)
j
1

0

−s + 1
j

ds.
Do đó, các công thức thu được thường có dạng
y
n+1
= y
n
+ h (β
k
f
n+1

+ . . . + β
0
f
n−k+1
) .
Với k = 0, 1, 2, 3 ta có các công thức
k = 0 : y
n+1
= y
n
+ hf
n+1
= y
n
+ hf

x
n+1
, y
n+1

k = 1 : y
n+1
= y
n
+ h

1
2
f

n+1
+
1
2
f
n

k = 2 : y
n+1
= y
n
+ h

5
12
f
n+1
−
8
12
f
n
−
1
12
f
n−1

k = 3 : y
n+1

= y
n
+ h

9
24
f
n+1
−
19
24
f
n
−
5
24
f
n−1
+
1
24
f
n−2

.
Phương pháp Adam ẩn áp dụng cho phương trình thử y

= λy có
dạng
y

n+1
= y
n
+ µ
k

j=0
γ
∗
j
∇
j
f
n+1
.
Đặt y
n
= ζ
n
và chia hai vế cho ζ
n+1
ta được
1 =
1
ζ
+ µ

γ
∗
0

+ γ
∗
1

1 −
1
ζ

+ γ
∗
2

1 −
2
ζ
+
1
ζ
2

+ . . .

.
9
Chương 1. Giới thiệu
Khi đó đường cong quỹ tích nghiệm trở thành
µ =
1 −
1
ζ

k

j=0
γ
∗
j

1 −
1
ζ

j
, ζ = e
iθ
.
Với k = 1, đây là quy tắc hình thang ẩn và có ổn định - A. Với
k = 2, 3, . . . , 6 miền ổn định mặc dù rộng hơn so với phương pháp hiển
nhưng không chứa
¯
C (Hình 1.2). Do đó phương pháp này không ổn định
- A.
Công thức dự báo hiệu chỉnh
Thông thường để tính y
n+1
trong phương trình ẩn ta sử dụng kết
quả y
∗
n+1
của phương pháp Adams hiển như một biến độc lập trong
β

k
f(x
n+1
, y
n+1
). Nó phá hủy tính ổn định của phương pháp. Điều kiện
ổn định thay đổi như sau: Công thức
y
∗
n+1
= y
n
+ µ(γ
0
y
n
+ γ
1
(y
n
− y
n−1
) + γ
2
(y
n
− 2y
n−1
+ y
n−2

) + . . .).
(1.29)
Thay vào trong công thức hiệu chỉnh
y
n+1
= y
n
+ µ(γ
∗
0
y
∗
n+1
+
γ
∗
1
(y
∗
n+1
− y
n
)+
γ
∗
2
(y
∗
n+1
− 2y

n
+ y
n−1
)+
γ
∗
3
(y
∗
n+1
− 3y
n
+ 3y
n−1
− y
n−2
) + . . .).
(1.30)
Đó chính là µ trong (1.25) và (1.26). Đặt y
n
= ζ
n
và chia cho ζ
n
, ta
được phương trình bậc hai cho µ
Aµ
2
+ Bµ + C = 0, (1.31)
với

A =

k

j=0
γ
∗
j

k−1

j=0
γ
j

1 −
1
ζ

j

,
B = (1 − ζ)
k

j=0
γ
∗
j
+ ζ

k

j=0
γ
∗
j

1 −
1
ζ

j
,
C = 1 − ζ.
10
Chương 1. Giới thiệu
Với ζ = e
i
θ, phương trình (1.27) có hai nghiệm. Điều này cho thấy
2 đường cong quỹ tích nghiệm xác định miền ổn định. Đường cong này
được mô tả ở Hình 1.3 và so sánh nó với phương pháp ẩn ta thấy chúng
không ổn định. Đặc biệt, với k = 1, quy tắc hình thang trở thành phương
pháp Runge - Kutta hiển bậc hai và miền ổn định-A bị phá hủy.
Hình 1.3: Miền ổn định của công thức hiệu chỉnh so với phương pháp ẩn
Phương pháp Nystrom
Thay phương trình (1.26) bởi phương trình
y (x
n+1
) = y (x
n−1

) +
x
n+1

x
n−1
f (t, y (t)) dt (1.32)
và thay thế hàm chưa biết f (t, y (t)) bởi đa thức nội suy p (t) ta thu
được công thức
y
n+1
= y
n−1
+ h
k−1

j=0
κ
j
∇
j
f
n
với hệ số
κ
j
= (−1)
j
1


−1

−s
j

ds.
Phương pháp Nystrom hiển với k = 1, 2 là công thức trung điểm hiển
y
n+1
= y
n−1
+ 2hf
n
,
và cho ta đường cong quỹ tích nghiệm
µ =
e
iθ
− e
−iθ
2
= i sin θ.
11
Chương 1. Giới thiệu
Đường cong này di chuyển lên xuống theo trục ảo giữa ±i và cho phép
miền ổn định trong khoảng (−i, +i). Tất cả các giá trị riêng ở bên trong
nửa trái của mặt phẳng phức cho ta tính không ổn định. Đây chính là
lí do nghiệm thứ hai −1 của (ζ) di chuyển ra ngoài vòng tròn đơn vị
khi µ di chuyển về âm vô cực. Hiện tượng đặc biệt này được gọi là "tính
không ổn định yếu" của quy tắc trung điểm và là "điểm đi vào" của điều

kiện ổn định nhanh Dahlquist.
Với k = 3 ta có công thức
y
n+1
= y
n−1
+ µ

7
3
f
n
−
2
3
f
n−1
+
1
3
f
n−2

.
Phương pháp Milne- Simpson
Ta lại xét các phương trình tích phân (1.32) nhưng ta thay tích phân
bởi các đa thức p
∗
(t), trong đó ngoài f
n

, . . . , f
n−k+1
ta cũng nội suy f
n+1
.
Như thường lệ, ta thu được công thức
y
n+1
= y
n−1
+ h
k

j=0
κ
∗
j
∇
j
f
n+1
với hệ số κ
∗
j
được xác định
κ
∗
j
= (−1)
j

1

−1

−s + 1
j

ds.
Phương pháp Milne - Simpson với k = 0, 1, 2, 4 là
k = 0 : y
n+1
= y
n−1
+ 2hf
n+1
k = 1 : y
n+1
= y
n−1
+ 2hf
n
k = 2 : y
n+1
= y
n−1
+ h

1
3
f

n+1
+
4
3
f
n
+
1
3
f
n−1

k = 4 : y
n+1
= y
n−1
+ h

29
90
f
n+1
+
124
90
f
n
+
24
90

f
n−1
+
4
90
f
n−2
−
1
90
f
n−3

.
Phương pháp Milne- Simpson ẩn với k = 2, 3 có đường cong quỹ tích
nghiệm
µ =
e
iθ
− e
−iθ
1
3
e
iθ
+
4
3
+
1

3
e
−iθ
= 3i
sinθ
cosθ + 2
,
di chuyển lên xuống theo trục ảo giữa ±i
√
3 . Vì vậy nó có dáng điệu
gần giống phương pháp Nystrom hiển với các khoảng ổn định to nhỏ
12
Chương 1. Giới thiệu
lồng vào nhau.
Phương pháp Nystrom và Milne- Simpson bậc cao có đường cong quỹ
tích nghiệm được định hướng xoay vòng (Hình 1.4). Vì thế miền ổn định
này có thể thu gọn thành miền ổn định ban đầu.
Phương pháp BDF
Hình 1.4: Đường cong quỹ tích nghiệm của phương pháp Nystrom và Milne
Giả sử xấp xỉ y
n−k+1
, . . . , y
n
của lời giải chính xác của phương trình
(1.25) là đã biết. Để xác định công thức của y
n+1
ta xét các đa thức q (x)
nội suy các giá trị {(x
i
, y

i
) , i = n − k + 1, ··· , n + 1}. Đa thức này có
thể biểu diễn bằng sai phân lùi, cụ thể
q (x) = p (x
n
+ sh) =
k

j=0
(−1)
j

−s + 1
j

∇
j
y
n+1
.
Giá trị y
n+1
sẽ được xác định bằng cách cho đa thức q(x) thỏa mãn
phương trình vi phân tại ít nhất một điểm lưới, tức là
q

(x
n+1−r
) = f (x
n+1−r

, y
n+1−r
) .
Với r = 1 ta thu được công thức hiển. Với k = 1 và k = 2 nó tương
đương với phương pháp Euler hiển và công thức trung điểm hiển. Với
k = 3 ta có
1
3
y
n+1
+
1
2
y
n
− y
n−1
+
1
6
y
n−2
= hf
n
.
Tuy nhiên công thức này, cũng như đối với k > 3 là không ổn định
và do đó không có ý nghĩa.
13
Chương 1. Giới thiệu
Với r = 0 ta có công thức ẩn

k

j=0
δ
∗
j
∇
j
y
n+1
= hf
n+1
với hệ số
δ
∗
j
= (−1)
j
d
ds

−s + 1
j





s=1
.

Theo định nghĩa hệ số nhị thức
(−1)
j

−s + 1
j

=
1
j!
(s − 1) s (s + 1) . . . (s + j − 2)
hệ số δ
∗
j
thu được bằng cách sai phân trực tiếp
δ
∗
0
= 0, δ
∗
j
=
1
j
, j ≥ 1.
Do đó, công thức ẩn trở thành
k

j=1
1

j
∇
j
y
n+1
= hf
n+1
.
Với k = 1, , 6 ta có công thức
k = 1 : y
n+1
− y
n
= hf
n+1
k = 2 :
3
2
y
n+1
− 2y
n
+
1
2
y
n−1
= hf
n+1
k = 3 :

11
6
y
n+1
− 3y
n
+
3
2
y
n−1
−
1
3
y
n−2
= hf
n+1
k = 4 :
25
12
y
n+1
− 4y
n
+ 3y
n−1
−
4
3

y
n−2
+
1
4
y
n−3
= hf
n+1
k = 5 :
137
60
y
n+1
− 5y
n
+ 5y
n−1
−
10
3
y
n−2
+
5
4
y
n−3
−
1

5
y
n−4
= hf
n+1
k = 6 :
147
60
y
n+1
− 6y
n
+
15
2
y
n−1
−
20
3
y
n−2
+
15
4
y
n−3
−
6
5

y
n−4
+
1
6
y
n−5
= hf
n+1
.
Với k > 6 phương pháp BDF là không ổn định.
Áp dụng công thức sai phân lùi
k

j=1
1
j
∇
j
y
n+1
= hf
n+1
cho phương trình
thử y

= Jy ta có
k

j=1

1
j
∇
j
y
n+1
= hJy
n+1
.
14
Chương 1. Giới thiệu
Thay y
n+i
là các vectơ riêng của J, λ là giá trị riêng tương ứng, ta
được
k

j=1
1
j
∇
j
y
n+1
= µy
n+1
, µ = hλ,
suy ra µ =
k


j=1
1
j
∇
j
y
n+1
y
n+1
=
y
n+1
−y
n
y
n+1
+
1
2
y
n+1
−2y
n
+y
n−1
y
n+1
+ . .
Đặt y
n

= ζ
n
. Ta có
µ =

1 −
1
ζ

+
1
2

1 −
2
ζ
+
1
ζ
2

+ . . .
=
k

j=1
1
j

1 −

1
ζ

j
=
k

j=1
1
j

1 − e
−iθ

j
.
Với k = 1 ta được công thức Euler ẩn với miền ổn định S = {µ : |µ −1| ≥ 1}.
Với k = 2 đường cong quỹ tích nghiệm có (Hình 1.5)
µ =

1 −
1
ζ

+
1
2

1 −
2

ζ
+
1
ζ
2

=
3
2
−
2
ζ
+
1
2ζ
2
⇒ Re(µ) =
3
2
− 2 cos θ + cos 2θ ≥ 0, ∀θ.
Do đó phương pháp là ổn định A và có cấp chính xác là 2. Tuy nhiên
với k = 3, 4, 5, 6 miền ổn định của phương pháp càng ngày càng không
ổn định ở một nửa trục ảo. Với k = 7 công thức không ổn định.
Hình 1.5: Đường cong quỹ tích nghiệm và miền ổn định của phương pháp BDF
15
Chương 1. Giới thiệu
Định lý 1.1. Nếu phương pháp đa bước (1.20):
α
k
y

m+k
+ α
k−1
y
m+k−1
+ . . . + α
0
y
m
= h(β
k
f
m+k
+ . . . + β
0
f
m
)
là ổn định - A thì
Re

(ζ)
σ(ζ)

> 0 , |ζ| > 1. (1.33)
Ngược lại, công thức vẫn đúng: từ (1.33) suy ra (1.20) ổn định - A.
Chứng minh.
Nếu phương pháp là ổn định - A thì tất cả các nghiệm của phương
trình
α

k
y
m+k
+ α
k−1
y
m+k−1
+ . . . + α
0
y
m
= h(β
k
f
m+k
+ . . . + β
0
f
m
)
phải thỏa mãn |ζ| > 1 với ∀Re (µ) ≤ 0. Do đó, Re (µ) ≥ 0, ∀|ς| > 1.
Ngược lại, đặt µ =
(ζ)
σ(ζ)
. Giả sử có công thức (1.33) và công thức là
tối giản. Ta cố định µ
0
, Re(µ
0
) ≤ 0 và gọi µ

0
là 1 nghiệm của phương
trình
α
k
y
m+k
+ α
k−1
y
m+k−1
+ . . . + α
0
y
m
= h(β
k
f
m+k
+ . . . + β
0
f
m
)
Khi đó ta có σ(ζ
0
) = 0, suy ra µ
0
=
(ζ

0
)
σ(ζ
0
)
. Và từ (1.33) ta suy ra |ζ
0
| ≤ 1.
Ta có thể chỉ ra rằng ζ
0
là nghiệm đơn nếu |ζ
0
| = 1. Vì ζ
0
là đối số
liên tục nên từ (1.33) suy ra |ζ
0
| = 1 và Re(µ
0
) < 0 (mâu thuẫn). Vì
vậy chứng tỏ rằng Re(µ
0
) = 0, nghiệm thỏa mãn |ζ
0
| = 1 là nghiệm đơn.
Trong lân cận nghiệm ta có
(ζ)
σ(ζ)
− µ
0

= C
1
(ζ −ζ
0
) + C
2
(ζ −ζ
0
)
2
+ . . .
và từ (1.33) suy ra C
1
= 0. Tuy nhiên, điều này chỉ có thể xảy ra nếu ζ
0
là nghiệm đơn của (1.20).
Ta thấy phương pháp đa bước với bậc p ≥ 3 không ổn định - A. Định
lý sau sẽ giải thích điều này.
Định lý 1.2. Phương pháp đa bước ổn định - A phải có bậc p ≤ 2. Nếu
bậc bằng 2 thì hằng số sai số thỏa mãn C ≤
−1
12
. Quy tắc hình thang là
phương pháp ổn định - A bậc 2 với C =
−1
12
.
16
Chương 1. Giới thiệu
Nhắc lại: Định lý III.2.4. trong [2]

Phương pháp đa bước (1.20) có bậc p nếu và chỉ nếu một trong các
điều kiện tương đương sau thỏa mãn:
i)
k

i=0
α
i
= 0 và
k

i=0
α
i
i
q
= q
k

i=0
β
i
i
q−1
với q = 1, . . . p;
ii) 

e
h


− hσ

e
h

= O

h
p+1

, h → 0;
iii)
ρ(ς)
log ς
− σ (ς) = O ((ς − 1)
p
) , ς → 1.
Chứng minh.
Theo định lý III.2.4 ta có: vì phương pháp đa bước có bậc p nên


e
h

− hσ

e
h

= O


h
p+1

, h → 0
và vì
L(y, x, h) = C
p+1
h
p+1
y
(p+1)
(x) + O

h
p+2

,
với toán tử vi phân tuyến tính L được xác định bởi
L (y, x, h) =
k

i=0
(α
i
y (x + ih) − hβ
i
y

(x + ih))

nên
(e
h
) − hσ(e
h
) = C
p+1
h
p+1
+ . . . , h → 0. (1.34)
Mặt khác, do
 (1) = 0, 

(1) = σ (1)
nên ta có
(e
h
) = (1 + h + . . .) = (1) + 

(1)h + . . . = σ(1)h + . . . .
Chia (1.34) cho h(e
h
) ta được
1
h
−
σ(e
h
)
(e

h
)
= Ch
p−1
+ . . . , h → 0, (1.35)
trong đó C là hằng số sai số.
Với ζ = e
h
ta có công thức mới tương đương
1
log ζ
−
σ(ζ)
(ζ)
= C(ζ −1)
p−1
+ . . . , ζ → 1. (1.36)
17
Chương 1. Giới thiệu
Trong công thức này, lấy p = 2. Phương pháp bất kỳ bậc cao đều có
C = 0. Khi phương pháp có bậc 1, ta không thể chứng minh.
Công thức giống công thức hình thang với 
T
(ζ) = ζ − 1, σ
T
(ζ) =
1
2
(ζ + 1) trở thành chuỗi
1

log ζ
−
σ
T
(ζ)

T
(ζ)
= −
1
12
(ζ −1) + . . . , ζ → 1. (1.37)
Lấy (1.37) trừ (1.36) ta được
d(ζ) :=
σ(ζ)
(ζ)
−
σ
T
(ζ)

T
(ζ)
=

−C −
1
12

(ζ −1) + . . . , ζ → 1. (1.38)

Từ (1.33) ta có
Re

(ζ)
σ(ζ)

> 0 ⇔ Re

σ(ζ)
(ζ)

> 0, |ζ| > 1. (1.39)
Đây là đặc điểm của công thức hình thang: Re(. . .) = 0 với |ζ| = 1.
Do đó,
¯
C chính là miền ổn định. Vậy, từ (1.38) ta có
lim
ζ→ζ
0
|ζ|>1
Red(ζ) ≥ 0, |ζ
0
| = 1. (1.40)
Giới hạn của d (ζ) là nghiệm của (ζ) với miền ổn định không nằm
ngoài vòng tròn đơn vị. Vì vậy theo nguyên lý cực trị, (1.35) vẫn đúng
với mọi vị trí nằm ngoài đường tròn đơn vị. Cho ζ = 1 + ε, Reε > 0, |ε|
nhỏ ta có (1.38) suy ra −C −
1
12
> 0 hoặc d(ζ) ≡ 0.

18
Chương 2
Phương pháp đa bước giải phương
trình vi phân đại số chỉ số 1
2.1 Sự hội tụ của phương pháp đa bước
Bài toán nhiễu suy biến có dạng
y

= f(y, z), (2.1)
z

= g(y, z),
trong đó y, z là các vectơ. Giả sử f, g là hàm vectơ đủ trơn có số chiều
giống như y, z. Đặt ε = 0 ta được phương trình vi phân đại số
y

= f(y, z), (2.2)
0 = g(y, z), (2.3)
với giá trị ban đầu thỏa mãn 0 = g(y
0
, z
0
). Giả sử
g
z
(y, z) (2.4)
là khả nghịch trong lân cận của lời giải. Khi đó phương trình (2.3) có
nghiệm duy nhất địa phương z = G(y). Thay vào phương trình (2.2) ta
được
y


= f(y, G(y)). (2.5)
Do đó phương trình vi phân đại số (2.2), (2.3) thỏa mãn điều kiện
(2.4) là phương trình vi phân đại số chỉ số 1. Phương pháp đa bước áp
dụng cho bài toán (2.1) là:
k

i=0
α
i
y
n+i
= h.
k

i=0
β
i
f(y
n+i
, z
n+i
), (2.6)
19
Chương 2. Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1

k

i=0
α

i
z
n+i
=
k

i=0
β
i
g(y
n+i
, z
n+i
). (2.7)
Cho  = 0 ta có
k

i=0
α
i
y
n+i
= h.
k

i=0
β
i
f(y
n+i

, z
n+i
), (2.8)
0 =
k

i=0
β
i
g(y
n+i
, z
n+i
). (2.9)
Định lý 2.1. Giả sử phương trình vi phân đại số (2.2), (2.3) thỏa mãn
điều kiện (2.4). Xét phương pháp đa bước cấp chính xác p, ổn định tại
0 và ∞ (0 và ∞ nằm trong miền ổn định) và giả sử sai số của giá trị
ban đầu y
j
, z
j
, j = 0, 1, . . . , k − 1 là O(h
p
). Khi đó sai số toàn cục của
phương pháp (2.6), (2.7) thỏa mãn
y
n
− y(x
n
) = O(h

p
),
z
n
− z(x
n
) = O(h
p
).
với x
n
− x
0
= nh ≤ const.
Chứng minh.
Công thức (2.9) là ổn định truy hồi với δ
n
= g(y
n
, z
n
) vì ∞ nằm trong
miền ổn định của phương pháp. Cùng với giả thiết giá trị ban đầu ta
suy ra δ
n
= O(h
p
) với mọi n ≥ 0. Theo định lý hàm ẩn g(y
n
, z

n
) = δ
n
có
thể giải z
n
và cho ta
z
n
= G(y
n
) + O(h
p
), (2.10)
với G(y) xác định từ công thức y

= f(y, G(y)). Thay (2.10) vào (2.8)
ta được công thức đa bước cho phương trình vi phân (2.5) với nhiễu
O(h
p+1
). Khi đó phát biểu trên được suy ra từ chứng minh hội tụ của
phương pháp đa bước.
Sự hội tụ của bài toán nhiễu suy biến
Ma trận Jacobian của
y

= f(y, z),
z

= g(y, z),

20