Một số phương pháp hiệu chỉnh giải bài toán ngược

Mục lục
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Một số kết qủa cơ bản của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Toán tử bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Một số định lí quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Nghịch đảo suy rộng Moore - Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Toán tử tuyến tính Compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Định lí phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Bài toán ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Toán tử hiệu chỉnh 23
2.1 Định nghĩa và các kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Cấp tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Các phương pháp hiệu chỉnh liên tục 40
3.1 Toán tử hiệu chỉnh liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Qui tắc chọn tham số tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Sự bão hòa và kết quả ngược lại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Nguyên lý độ lệch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Qui tắc chọn tham số hậu nghiệm cải tiến . . . . . . . . . . . . . . 61
i
Kết luận 88
Tài liệu tham khảo 89
ii
BẢNG KÍ HIỆU
B(X, Y) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y.
C[a, b] Không gian các hàm số thực liên tục trên [a, b].
D(T ) Miền xác định của T.
dim Số chiều của không gian.
I Toán tử đơn vị.
inf Cận dưới đúng.

L
2
[a, b] Không gian các hàm số bình phương khả tích trên [a, b].
N (T ) Tập không điểm của T.
R(T ) Miền giá trị của T.
R
α
Toán tử hiệu chỉnh.
(R
α
, α) Phương pháp hiệu chỉnh
sup Cận trên đúng.
T
†
Toán tử nghịch đảo suy rộng của T.
T
∗
Toán tử liên hợp của T.
x
†
Nghiệm suy rộng.
α Tham số hiệu chỉnh.
iii
Mở đầu
Trong các ứng dụng thực tế thường nảy sinh các bài toán ngược, khi biết
các dữ liệu đầu ra cần khôi phục lại dữ liệu đầu vào, hoặc khi biết dữ liệu vào-ra
phải nhận dạng các tham số của hệ thống. Các bài toán trong chụp ảnh cắt
lớp, khôi phục ảnh, dự báo đường huyết trong điều trị bệnh tiểu đường, vv là
những bài toán ngược thường gặp.
Bài toán ngược nói chung là bài toán đặt không chỉnh, tức là, nghiệm của

nó không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán. Các phương pháp giải số
ổn định bài toán đặt không chỉnh bằng cách đưa về những bài toán đặt chỉnh
được gọi là các phương pháp hiệu chỉnh. Trong luận văn này em xin trình bày
về một số phương pháp hiệu chỉnh giải bài toán ngược tuyến tính.
Luận văn gồm 3 chương:
• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, em nhắc lại một số khái niệm cơ bản của giải tích hàm,
bài toán ngược và bài toán đặt không chỉnh.
• Chương 2: Toán tử hiệu chỉnh
Trong chương này, em trình bày các khái niệm về toán tử hiệu chỉnh, cấp
tối ưu và các định lí liên quan.
• Chương 3: Các phương pháp hiệu chỉnh liên tục
Chương này trình bày về toán tử hiệu chỉnh liên tục, qui tắc chọn tham số
tiên nghiệm, nguyên lý độ lệch,qui tắc chọn tham số hậu nghiệm cải tiến.
1
Lời cảm ơn
Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Phạm Kỳ
Anh, người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình
em học tập và thực hiện luận văn.
Em cũng xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học cùng toàn
thể các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học,
trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã giúp đỡ em
trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các đồng nghiệp,
gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá
trình tôi học tập và làm luận văn.
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên
khi làm luận văn em không tránh khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được
sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 11 năm 2014
Học viên
Phạm Thị Gấm
2
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tôi sẽ nhắc lại một số kết quả cơ bản của giải tích hàm
cũng như trình bày một số khái niệm về bài toán ngược và bài toán đặt không
chỉnh.
1.1 Một số kết qủa cơ bản của giải tích hàm
1.1.1 Không gian
Cho X là một không gian tuyến tính trên trường số thực hoặc phức K.
Các phần tử của X gọi là các véc tơ, các phần tử của K là các vô hướng.
Một chuẩn trên không gian tuyến tính X là một hàm giá trị thực không âm
x −→ x, x ∈ X,
thỏa mãn:
(i) ∀x ∈ X, x = 0 ⇔ x = 0,
(ii) αx = |α|x, ∀x ∈ X, ∀α ∈ K,
(iii) x + y ≤ x + y, ∀x, y ∈ X.
Một không gian tuyến tính với một chuẩn được gọi là không gian tuyến
tính định chuẩn. Dễ thấy ánh xạ
(x, y) −→ x −y, (x, y) ∈ X × X,
xác định một mêtric trên X.
Một không gian tuyến tính định chuẩn và đầy đủ được gọi là không gian
3
Bannach.
Xét không gian tuyến tính X với tích vô hướng ., . và ánh xạ
(x, y) −→ x, y
trên X × X thỏa mãn các tính chất:
(i) x, x ≥ 0, ∀x ∈ X,

(ii) ∀x ∈ X, x, x = 0 ⇔ x = 0,
(iii) αx, y = αx, y, ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ X,
(iv) x + y, u = x, u + y, u, ∀x, y, u ∈ X,
(v) x, y = y, x, ∀x, y ∈ X.
Một không gian tuyến tính cùng với tích vô hướng trên nó gọi là không
gian có tích vô hướng. Một trong những bất đẳng thức quan trọng trên không
gian có tích vô hướng là Bất đẳng thức Schwarz hay còn gọi là Bất đẳng thức
Cauchy - Schwarz.
Bất đẳng thức Schwarz: với mọi x, y trong không gian tích vô hướng
|x, y|
2
≤ x, xy, y.
Sử dụng bất đẳng thức Schwarz suy ra ánh xạ
x −→ x = x, x
1
2
, x ∈ X,
xác định một chuẩn trên X. Nếu X là đầy đủ với metric xác định bởi chuẩn này
thì X được gọi là không gian Hilbert.
Bất đẳng thức Holder : với x = (α
1
, α
2
, , α
n
), y = (β
1
, β
2
, , β

n
) trong K
n
và
1 < p < ∞, ta có
n

j=1
|α
j
β
j
| ≤

n

j=1
|α
j
|
p

1
p

n

j=1
|β
j

|
q

1
q
,
trong đó q > 0 sao cho p + q = pq. Các phần tử x, y trong không gian có tích vô
hướng được gọi là trực giao với nhau nếu x, y = 0. Ta ký hiệu là x ⊥ y.
4
Định lí Pytago: Cho X là một không gian có tích vô hướng và x, y ∈ X. Khi
đó,
x + y
2
= x
2
+ y
2
, nếu x ⊥ y.
Với một tập con S của X, ta viết
S
⊥
= {x ∈ X|x, u = 0 với mọi u ∈ S}.
Nếu S
1
, S
2
là các tập con của không gian có tích vô hướng sao cho x ⊥ y với mọi
x ∈ S
1
và y ∈ S

2
thì ta viết S
1
⊥ S
2
.
1.1.2 Toán tử bị chặn
Ánh xạ T : X −→ Y giữa hai không gian tuyến tính X và Y được gọi là
toán tử tuyến tính nếu
T (x + y) = T (x) + T (y), ∀x, y ∈ X,
và T(αx) = αT (x), ∀α ∈ K, ∀x ∈ X.
Nếu T : X −→ Y là toán tử tuyến tính thì ta thường viết T x thay cho T(x) với
mọi x ∈ X. Ta kí hiệu
N(T ) = {x ∈ X|T x = 0}
là một không gian con của X, được gọi là không gian không điểm của T, và
R(T ) = {T x|x ∈ X}
là không gian con của Y, được gọi là miền giá trị của T .
Cho T : X −→ Y là toán tử tuyến tính giữa các không gian tuyến tính định
chuẩn X và Y. Có thể thấy rằng T là liên tục nếu và chỉ nếu tồn tại c > 0 sao
cho
T x ≤ cx, ∀x ∈ X,
trong trường hợp này
inf{c > 0 : T x ≤ cx, ∀x ∈ X} = sup{T x|x ∈ X, x ≤ 1}.
5
Do đó, toán tử tuyến tính liên tục còn được gọi là toán tử tuyến tính giới
nội hay toán tử bị chặn. Ta ký hiệu tập tất cả các toán tử bị chặn từ X vào
Y là B(X, Y).
Toán tử tuyến tính P : X −→ X trên không gian tuyến tính X được gọi là
toán tử chiếu hay phép chiếu nếu
P x = x, ∀x ∈ R(P )

Do đó, một toán tử tuyến tính P : X −→ X là toán tử chiếu nếu và chỉ nếu
P
2
= P. Nếu P là phép chiếu thì I −P cũng là phép chiếu và
R(P ) = N(I − P), R(I − P) = N(P ).
Cho X là không gian có tích vô hướng. Khi đó, phép chiếu P : X −→ X được gọi
là phép chiếu trực giao nếu R(P ) ⊥ N(P), tức là
x, y = 0, ∀x ∈ R(P ), ∀y ∈ N(P ).
1.1.3 Một số định lí quan trọng
Cho X và Y là các không gian tuyến tính định chuẩn và {T
n
} là dãy các
toán tử trong B(X, Y). Ta nói dãy {T
n
} hội tụ từng điểm trên X, nếu với mỗi
x ∈ X, {T
n
x} hội tụ. Dễ thấy T : X −→ Y xác định bởi
T x = lim
n−→∞
T
n
x, x ∈ X
là toán tử tuyến tính. Tuy nhiên T không nhất thiết phải thuộc B(X, Y).
Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, Λ ⊆ R, α
0
là điểm tụ của
Λ và x
α
∈ X, ∀α ∈ Λ. Ta nói rằng x

α
hội tụ tới x ∈ X khi α −→ α
0
và viết
x
α
−→ x khi α −→ α
0
hay lim
α−→α
0
x
α
= x,
nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho
x −x
α
 ≤ ε khi α ∈ Λ, |α −α
0
| < δ.
6
Một họ {T
α
}
α∈Λ
của các toán tử trong B(X, Y) được gọi là bị chặn đều nếu
tập {T
α
}
α∈Λ

bị chặn trong R và {T
α
} được gọi là hội tụ từng điểm trên X
khi α −→ α
0
nếu {T
α
x} hội tụ với mọi x ∈ X khi α −→ α
0
.
Mệnh đề 1.1. ([10] tr 31) Cho X và Y là các không gian tuyến tính định chuẩn,
{T
α
}
α∈Λ
là họ bị chặn đều của các toán tử trong B(X, Y), với Λ là một tập con
của R có điểm tụ α
0
. Nếu {T
α
} hội tụ từng điểm trên X thì toán tử T : X −→ Y
xác định bởi T x = lim
α−→α
0
T
α
x, x ∈ X thuộc B(X, Y).
Định lí 1.1. (Nguyên lý bị chặn đều) ([10] tr 32) Cho X là không gian
Bannach, Y là không gian tuyến tính định chuẩn và {T
α

}
α∈Λ
là một tập con của
B(X, Y). Nếu {T
α
x}
α∈Λ
bị chặn với ∀x ∈ X thì {T
α
}
α∈Λ
bị chặn đều.
Định lí 1.2. (Định lí Banach - Steinhaus) ([10] tr 32) Cho X là không
gian Banach và Y là không gian tuyến tính định chuẩn và {T
α
}
α∈Λ
là một tập
con của B(X, Y), với Λ là một tập con của R có điểm tụ α
0
. Nếu {T
α
x} hội tụ
khi α −→ α
0
với mọi x ∈ X thì {T
α
}
α∈Λ
bị chặn đều và toán tử T : X −→ Y xác

định bởi Tx = lim
α−→α
0
T
α
x, x ∈ X thuộc vào B(X, Y).
Định lí 1.3. (Định lí Đồ thị đóng)([10] tr 35) Cho X và Y là các không gian
Bannach, X
0
là không gian con của X. Khi đó, toán tử tuyến tính T : X
0
−→ Y
đóng nếu và chỉ nếu X
0
là đóng trong X.
1.2 Nghịch đảo suy rộng Moore - Penrose
Cho X, Y là các không gian Hilbert, y ∈ Y và T : X −→ Y là toán tử tuyến
tính. Xét phương trình
T x = y (1.1)
Định nghĩa 1.1. ([8] tr 32) x ∈ X được gọi là tựa nghiệm của phương trình
(1.1) nếu
T x −y = inf{Tx − y|x ∈ X}. (1.2)
7
Định lí 1.4. ([10] tr 142) Cho X là không gian tuyến tính, Y là không gian
Hilbert và T : X −→ Y là toán tử tuyến tính, P : Y −→ Y là phép chiếu trực giao
lên R(T ). Với mọi y ∈ Y, các mệnh đề sau là tương đương:
(i)Phương trình (1.1) có một tựa nghiệm.
(ii) y ∈ R(T ) + R(T )
⊥
.

(iii) Phương trình Tx = P y với x ∈ X có nghiệm.
Chứng minh. (i) ⇔ (iii)
Vì inf{Tv −y|v ∈ R (T )} = Py −y nên
inf{Tz −y|z ∈ X} = inf{v − y|v ∈ R(T )}
= inf{v − y|v ∈ R(T )} = Py −y.
Mặt khác, với mọi x ∈ X ta có
T x −y = (Tx − Py) + (P y − y)
với (T x −P y) ∈ R(T ) và (P y − y) ∈ R(T )
⊥
. Do đó
T x −y
2
= T x −P y
2
+ P y − y
2
nên suy ra x ∈ X là tựa nghiệm của phương trình (1.1) nếu và chỉ nếu Tx = P y.
(ii) ⇔ (iii)
y ∈ R(T ) + R(T )
⊥
⇔ y = y
1
+ y
2
với y
1
∈ R(T ) , y
2
∈ R(T )
⊥

⇔ Py = Py
1
+ P y
2
=
P y
1
= y
1
∈ R (T ), hay phương trình T x = Py có nghiệm với mọi x ∈ X.
Cho X, Y và T như trong Định lí 1.4, với y ∈ Y, ta ký hiệu S
y
= {x ∈ X :
T x −y = inf Tz − y|z ∈ X}. Khi đó, theo Định lí 1.4, S
y
= ∅ nếu và chỉ nếu
y ∈ R(T ) + R(T )
⊥
.
Hệ quả 1.1. ([10] tr 143) Cho X, Y và T như trong Định lí 1.4, y ∈ Y sao cho
S
y
= ∅. Nếu x
0
∈ S
y
thì
S
y
= {x

0
+ z|z ∈ N (T )}.
8
Đặc biệt, nếu T đơn ánh và y ∈ R(T ) + R(T )
⊥
thì phương trình (1.1) có tựa
nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Dễ thấy x
0
là một tựa nghiệm của phương trình nên với mọi z ∈
N (T ) thì x
0
+ z cũng là một tựa nghiệm. Do đó, x
0
+ N(T ) ⊆ S
y
. Mặt khác, với
P : Y −→ Y là phép chiếu trực giao lên R(T ) và x
0
∈ S
y
thì theo Định lí 1.4, với
mọi x ∈ S
y
có Tx = P y = T x
0
. Vì vậy x = x
0
+ z với z = x − x
0

∈ N(T ). Suy ra
S
y
⊆ {x
0
+ z|z ∈ N(T )}. Vậy S
y
= x
0
+ N(T). Đặc biệt, khi N(T ) = {0} thì T là
đơn ánh.
Định lí 1.5. ([10] tr 144) Cho X, Y là các không gian Hilbert, X
0
là một không
gian con của X và T : X
0
−→ Y là một toán tử tuyến tính với N(T ) đóng trong
X. Cho y ∈ R(T ) + R(T )
⊥
. Khi đó, tồn tại duy nhất x
†
∈ S
y
sao cho
x
†
 = inf{x|x ∈ S
y
}.
Hơn nữa, x

†
∈ N(T )
⊥
và x
†
= Qx
0
, với Q : X −→ X là phép chiếu trực giao lên
N(T )
⊥
và x
0
là phần tử nào đó trong S
y
.
Chứng minh. Cho y ∈ R(T )+R(T )
⊥
thì theo Định lí 1.4 có S
y
= ∅. Lấy x
0
∈ S
y
.
Theo Hệ quả 1.1 ta có S
y
= {x
0
+ z|z ∈ N (T )}. Lấy x
†

= Qx
0
với Q : X −→ X
là phép chiếu trực giao lên N(T )
⊥
. Khi đó, ta có x
0
= x
†
+ z với z ∈ N(T ). Điều
này suy ra rằng x
†
= x
0
− z ∈ X
0
. Do đó, theo Định lí 1.4
T x
†
= T x
0
= P y
với P : Y −→ Y là phép chiếu trực giao lên R(T). Vậy x
†
∈ S
y
.
Theo Hệ quả 1.1, với mọi x ∈ S
y
có x −x

†
∈ N(T ). Áp dụng Định lí Pytago ta
được
x
2
= x
†

2
+ x −x
†

2
.
Do vậy, x
†
 ≤ x với mọi x ∈ S
y
.
Giả sử tồn tại x
1
∈ S
y
sao cho x
1
  x với mọi x ∈ S
y
. Khi đó,
x
1

  x
†
  x
1

9
nên x
1
 = x
†
. Lại áp dụng Hệ quả 1.1 và Định lí Pytago ta được x
1
−x
†
∈ N(T )
và x
1

2
= x
†

2
+ x
1
− x
†

2
. Từ đó suy ra x

1
= x
†
. Vậy x
†
là duy nhất.
Định nghĩa 1.2. ([10] tr 145) Cho X, Y là các không gian Hilbert, X
0
là một
tập con của X và T : X
0
→ Y là một toán tử tuyến tính với N(T ) đóng trong X.
Từ Định lí 1.5, với mọi y ∈ R(T ) + R(T )
⊥
tập
S
y
= {x ∈ X
0
|T x −y = inf{Tz −y|z ∈ X
0
}.
không rỗng và tồn tại duy nhất x
†
∈ S
y
sao cho x
†
 = inf{x|x ∈ S
y

}. Thực tế,
theo Định lí 1.4 và 1.5, x
†
là phần tử duy nhất của N(T )
⊥
sao cho
T x
†
= Qy,
trong đó Q : Y → Y là phép chiếu trực giao lên R(T ).
Ta định nghĩa toán tử nghịch đảo suy rộng theo nghĩa Moore-Penrose T
†
là
một quy tắc mà mỗi phần tử y ∈ R(T ) + R(T )
⊥
tương ứng với duy nhất một
tựa nghiệm có chuẩn nhỏ nhất
T
†
: R(T ) + R(T )
⊥
→ X
là toán tử tuyến tính với tập xác định là D(T
†
) = R(T ) + R(T )
⊥
. Toán tử T
†
được gọi là nghịch đảo suy rộng hay nghịch đảo Moore - Penrose của
toán tử T và x

†
= T
†
y được gọi là nghiệm suy rộng của (1.1).Từ đây suy ra
T
†
y =

T |
N (T )∩X
0

−1
Qy, y ∈ D(T
†
).
Ta có hai mệnh đề sau về nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose:
Mệnh đề 1.2. ([8] tr 33) Cho P, Q lần lượt là các phép chiếu trực giao lên N(T )
và R(T ). Khi đó, R(T
†
) = N(T )
⊥
và bốn phương trình Moore - Penrose
sau thỏa mãn:
T T
†
T = T, (1.3)
T
†
T T

†
= T
†
, (1.4)
10
T
†
T = I − P, (1.5)
T T
†
= Q|
D(T
†
)
(1.6)
Có thể định nghĩa nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose như là nghiệm duy
nhất của hệ phương trình (1.3) −(1.6).
Mệnh đề 1.3. ([8] tr 34) Nghịch đảo suy rộng Moore - Penrose T
†
có đồ thị
đóng gr(T
†
). Hơn nữa, T
†
bị chặn (liên tục) nếu và chỉ nếu R(T ) đóng.
Định lí 1.6. ([10] tr 148) Cho y ∈ D(T
†
). Khi đó, x ∈ X là tựa nghiệm của
phương trình (1.1) nếu và chỉ nếu phương trình chuẩn sau đây có nghiệm
T

∗
T x = T
∗
y (1.7)
Chứng minh. Cho Q : Y → Y là phép chiếu trực giao lên R(T). Theo Định lí 1.4
phương trình (1.1) có tựa nghiệm x ∈ X nếu và chỉ nếu y ∈ D(T
†
), cũng như nếu
và chỉ nếu Tx = Qy. Mà ta có
T x = Qy ⇔ Q(Tx − y) = 0 ⇔ T x −y ∈ R(T )
⊥
= N(T
∗
) ⇔ T
∗
T x = T
∗
y.
1.3 Toán tử tuyến tính Compact
Một lớp toán tử quan trọng thường xuất hiện trong các bài toán ứng dụng
là toán tử compact.
Định nghĩa 1.3. ([10] tr 22) Cho X và Y là các không gian Hilbert và T : X −→
Y là toán tử tuyến tính. T được gọi là bị chặn nếu với mọi tập con bị chặn E
của X, tập T (E) bị chặn trong Y. Từ đây suy ra bao đóng T (E) là tập đóng và
bị chặn. Nếu T (E) là compact với mọi tập con bị chặn E của X thì T được gọi
là toán tử compact.
11
Một trong những ví dụ quan trọng của toán tử compact là toán tử tích
phân Fredholm được xác định bởi
(Kx)(s) =


b
a
k(s, t)x(t)dt, a ≤ s ≤ b. (1.8)
với k(., .) là hàm liên tục trên [a, b] ×[a, b].
Định nghĩa 1.4. ([10] tr 45) Cho X
0
là một không gian con của không gian
tuyến tính định chuẩn X và T : X
0
−→ X là một toán tử tuyến tính. Khi đó,
nếu tồn tại x = 0, x ∈ X và λ ∈ C sao cho Tx = λx thì λ được gọi là giá trị riêng
của T và x được gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ của T . Tập
ρ(T ) = {λ ∈ C : (T −λI)
−1
giới nội}
được gọi là giải thức của T và σ(T ) = C\ρ(T ) được gọi là phổ của T .
Với một toán tử tuyến tính compact tự liên hợp K : X −→ Y, hệ kì dị
(σ
n
, v
n
, u
n
) được định nghĩa như sau:
Nếu K
∗
: Y −→ X là toán tử liên hợp của K (thỏa mãn với mọi x ∈ X và y ∈
Y : Kx, y = x, K
∗

y) thì {σ
2
n
}
n∈N
là các giá trị riêng khác 0 của toán tử compact
tự liên hợp K
∗
K (cũng như KK
∗
), σ
n
> 0 và {v
n
}
n∈N
là hệ trực chuẩn đầy đủ
tương ứng của các véc tơ riêng của K
∗
K. Dãy {u
n
}
n∈N
được xác định qua
u
n
=
Kv
n
σ

n
{u
n
}
n∈N
là một hệ trực chuẩn đầy đủ tương ứng của các véc tơ riêng của KK
∗
và các công thức sau thỏa mãn:
Kv
n
= σ
n
u
n
, (1.9)
K
∗
u
n
= σ
n
v
n
, (1.10)
Kx =
∞

n=1
σ
n

x, v
n
u
n
, x ∈ X, (1.11)
K
∗
y =
∞

n=1
σ
n
y, u
n
v
n
, y ∈ Y, (1.12)
Công thức (1.11)và(1.12) được gọi là khai triển kì dị của các toán tử K và K
∗
.
12
Mệnh đề 1.4. ([8] tr 38) Cho K : X −→ Y là toán tử compact, dimR(K) = ∞.
Khi đó, nghịch đảo suy rộng K
†
là toán tử tuyến tính không bị chặn với đồ thị
đóng.
Định lí 1.7. ([8] tr 38) Cho (σ
n
; v

n
; u
n
) là hệ kì dị của toán tử tuyến tính compact
K, y ∈ Y. Khi đó, ta có
(i) y ∈ D(K
†
) ⇐⇒

∞
n=1
|y, u
n
|
2
σ
2
n
< ∞,
(ii) với mọi y ∈ D(K
†
),
K
†
y =
∞

n=1
y, u
n


σ
n
v
n
. (1.13)
1.4 Định lí phổ
Cho (σ
n
; v
n
; u
n
) là hệ kì dị của toán tử tuyến tính compact K. Khi đó,
(σ
2
n
; v
n
) là hệ riêng của toán tử compact tự liên hợp K
∗
K:
K
∗
Kx =
∞

n=1
σ
2

n
x, v
n
v
n
. (1.14)
Công thức (1.14) cũng được viết dưới dạng
K
∗
Kx =

λdE
λ
x. (1.15)
Với λ ∈ R và x ∈ X, ta có
E
λ
x =
∞

n=1
σ
2
n
≤λ
x, v
n
v
n
(+P ). (1.16)

với P là phép chiếu trực giao lên N(K
∗
K) và chỉ có nghĩa trong (1.16) với λ > 0.
Với mọi λ, E
λ
là phép chiếu trực giao và chiếu lên
X
λ
= span{v
n
|n ∈ N, σ
2
n
< λ} (+N(K
∗
K), nếu λ > 0).
Với λ ≤ 0, E
λ
= 0. Vì X
λ
= R(K
∗
K) + N(K
∗
K) = X với λ > σ
2
1
, vì vậy E
λ
= I với

λ > σ
2
1
. Với mọi λ ≤ µ và x ∈ X,
E
λ
x, x =
∞

n=1
σ
2
n
≤λ
|x, v
n
|
2
(+P x
2
) ≤
∞

n=1
σ
2
n
≤µ
|x, v
n

|
2
(+P x
2
) = E
µ
x, x.
13
Với f là hàm liên tục từng khúc và x, y ∈ X, ta có

∞
−∞
f(λ)dE
λ
x =
∞

n=1
f(σ
2
n
)x, v
n
v
n
, (1.17)

∞
−∞
f(λ)dE

λ
x, y =
∞

n=1
f(σ
2
n
)x, v
n
u, v
n
, (1.18)

∞
−∞
f(λ)dE
λ
x
2
=
∞

n=1
f(σ
2
n
)|x, v
n
|

2
. (1.19)
Chú ý rằng giới hạn của tích phân có thể bằng 0 và σ
2
1
+ ε = K
2
+ ε với ε > 0
nào đó và chỉ tại đó f xác định và liên tục từng khúc. Với f = id, trong đó
id là ánh xạ đơn vị, (1.17) trở thành

∞
−∞
λdE
λ
x =
∞

n=1
σ
2
n
x, v
n
v
n
.
Do đó, từ (1.14) suy ra

λdE

λ
= K
∗
K.
Công thức này cũng được viết thành

id(λ)dE
λ
= id(K
∗
K).
Từ đây, với f là hàm liên tục (từng khúc)và K
∗
K là toán tử compact tự liên
hợp, ta có
f(K
∗
K) =

f(λ)dE
λ
=
∞

n=1
f(σ
2
n
)., v
n

v
n
, (1.20)
f(K
∗
K) cũng là toán tử tuyến tính, tự liên hợp, bị chặn trong X. Định nghĩa
này cũng tương thích với định nghĩa sử dụng đa thức đại số. Giả sử đa thức
p
n
(λ) =

n
k=0
a
k
λ
k
hội tụ đều tới hàm liên tục (từng khúc) f. Khi đó với mọi
x ∈ X, p
n
(K
∗
K)x =

n
k=0
a
k
(K
∗

K)
k
x hội tụ tới f (K
∗
K)x. Từ đây, có thể thấy
rằng với mọi hàm f liên tục (từng khúc)
f(K
∗
K)K
∗
= K
∗
f(KK
∗
), (1.21)
14
trong đó f(KK
∗
) được định nghĩa tương tự như f(K
∗
K) bằng cách sử dụng họ
phổ {F
λ
} xác định bởi
F
λ
y =
∞

n=1

σ
2
n
≤λ
y, u
n
u
n
(+I − Q), (1.22)
ở đây, I −Q là phép chiếu trực giao lên N(KK
∗
) = R(KK
∗
)
⊥
. Nếu f(K
∗
K) được
xác định thông qua(1.20) thì với x, y ∈ X
F (K
∗
K)x, y =

f(λ)dE
λ
x, y. (1.23)
và
F (K
∗
K)x

2
=

f
2
(λ)dE
λ
x
2
. (1.24)
Định nghĩa 1.5. ([8] tr 45) Họ {E
λ
}
λ∈R
các phép chiếu trực giao trong X được
gọi là họ phổ nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) E
λ
E
µ
= E
min{λ,µ}
, λ, µ ∈ R,
(ii) E
−∞
= 0, E
+∞
= I, với E
±∞
x = lim

λ→±∞
E
λ
x với mọi x ∈ X,
(iii) E
λ−0
= E
λ
, với E
λ−0
x = lim
ε→0
+
E
λ−ε
x với mọi x ∈ X.
Mệnh đề 1.5. ([8] tr 45) Cho f : R −→ R là hàm liên tục. Khi đó, giới hạn
của tổng Riemann
n

i=1
f(ξ
i
)(E
λ
i
− E
λ
i−1
)x,

tồn tại trong X khi max|λ
i
−λ
i−1
| −→ 0, trong đó −∞ < a = λ
0
< λ
1
< < λ
n
=
b < ∞, ξ
i
∈ (λ
i−1
, λ
i
] và được ký hiệu bởi

b
a
f(λ)dE
λ
x.
Định nghĩa 1.6. ([8] tr 45) Cho x ∈ X bất kỳ và hàm f liên tục trên R.
Tích phân

+∞
−∞
f(λ)dE

λ
x được định nghĩa như là giới hạn của

b
a
f(λ)dE
λ
x khi
a −→ −∞ và b −→ +∞ nếu nó tồn tại.
Khi đó, điều kiện (i) trong Định nghĩa 1.5 tương đương với
E
λ
x, x ≤ E
µ
x, x với x ∈ X, λ ≤ µ,
15
hàm λ −→ E
λ
x, x = E
λ
x
2
là hàm đơn điệu tăng và do đó, theo điều kiện (iii)
trong Định nghĩa 1.5, nó cũng liên tục trái.
Mệnh đề 1.6. ([8] tr 46) Với x ∈ X và hàm f : R −→ R liên tục, các điều kiện
sau là tương đương:

+∞
−∞
f(λ)dE

λ
x tồn tại,

+∞
−∞
f
2
(λ)dE
λ
x
2
< ∞.
Mệnh đề 1.7. ([8] tr 46) Cho A là toán tử tự liên hợp trong X. Khi đó, tồn tại
duy nhất một họ phổ {E
λ
}
λ∈R
sao cho
D(A) =

x ∈ X





+∞
−∞
λ
2

dE
λ
x
2
< ∞

và
Ax =

+∞
−∞
λdE
λ
x, x ∈ D.
Ta viết
A =

+∞
−∞
λdE
λ
.
Họ phổ trong Mệnh đề 1.7 được gọi là họ phổ của A.
Định nghĩa 1.7. ([8] tr 46) Cho A là một toán tử tự liên hợp trong X với họ
phổ {E
λ
}
λ∈R
. Ngoài ra, cho M
0

là tập các hàm đo được đối với độ đo dE
λ
x
2
với mọi x ∈ X. Khi đó, f(A) được xác định như sau
f(A)x =

+∞
−∞
f(λ)dE
λ
x, x ∈ D(f(A))
với D(f(A)) =

x ∈ X





+∞
−∞
f
2
(λ)dE
λ
x
2
< ∞


.
Chú ý rằng M
0
chứa tất cả các hàm liên tục từng khúc.
Mệnh đề 1.8. ([8] tr 46) Cho A là toán tử tự liên hợp trong X với họ phổ
{E
λ
}
λ∈R
và cho f, g ∈ M
0
.
(i) Nếu x ∈ D(f(A)) và y ∈ D(g(A)), khi đó
f(A)x, g(A)y =

+∞
−∞
f(λ)g(λ)dE
λ
x, y,
16
(ii) Nếu x ∈ D(f(A)) thì f(A)x ∈ D((g(A)) nếu và chỉ nếu x ∈ D(gf)(A)).
Ngoài ra
g(A)f(A)x = (gf)(A)x,
(iii) Nếu D(f(A)) trù mật trong X thì f(A) là tự liên hợp,
(iv) f(A) giao hoán với E
λ
với mọi λ ∈ R.
Mệnh đề 1.9. ([8] tr 47) Cho A là toán tử tự liên hợp trong X với họ phổ
{E

λ
}
λ∈R
.
(i) λ
0
∈ σ(A) nếu và chỉ nếu E
λ
0
= E
λ
0
+ε
với mọi ε > 0
(ii) λ
0
là một giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu E
λ
0
= E
λ
0
+0
= lim
ε−→0
E
λ
0
+ε
;

tương ứng không gian riêng cho bởi (E
λ
0
+0
− E
λ
0
)(X).
Bây giờ ta xét hai trường hợp đặc biệt. Nếu A là toán tử tự liên hợp, xác
định dương, thỏa mãn với γ > 0
Ax ≥ γx, ∀x ∈ D(A).
Khi đó, với ∀f ∈ M
0
,

+∞
−∞
f(λ)dE
λ
x =

+∞
γ
f(λ)dE
λ
x
Do đó, hàm f có thể thu hẹp trên [γ, ∞).
Nếu T : X −→ Y là toán tử tuyến tính bị chặn và A = T
∗
T thì với mọi

f ∈ M
0
,

+∞
−∞
f(λ)dE
λ
x =

T 
2
+
0
f(λ)dE
λ
x = lim
ε−→0

T 
2
+ε
0
f(λ)dE
λ
x.
Do đó, hàm f có thể thu hẹp trên [0, T 
2
+ ε] với ε > 0 nào đó.
Hơn nữa, từ (1.8)(i) và bất đẳng thức Holder ta có bất đẳng thức nội suy

(T
∗
T )
r
x ≤ (T
∗
T )
q
x
r
q
x
1−
r
q
, với mọi q > r ≥ 0. (1.25)
Mệnh đề 1.10. ([8] tr 48) Cho T : X −→ Y là toán tử tuyến tính bị chặn. Khi
đó
R(T
∗
) = R((T
∗
T )
1
2
).
17
1.5 Bài toán ngược
Trong phần này, sau khi trình bày về ”bài toán đặt chỉnh”, tôi sẽ nêu
một số ví dụ về các bài toán ngược nảy sinh trong các ứng dụng thực tế. Chúng

ta thấy rằng các bài toán ngược tuyến tính thường dẫn tới các phương trình tích
phân loại một, đó là lý do tại sao các phương trình đó đóng một vai trò quan
trọng trong việc nghiên cứu bài toán ngược. Mặt khác, nhiều bài toán ngược là
phi tuyến ngay cả khi bài toán thuận tương ứng là tuyến tính.
Hai bài toán được gọi là ngược nhau nếu việc đặt bài toán này kéo theo bài
toán kia. Bài toán đơn giản hơn hoặc bài toán đã được nghiên cứu trước đó
thường được gọi là bài toán thuận, bài toán còn lại là bài toán ngược. Bài toán
ngược thường liên quan đến việc xác định những nguyên nhân cho một kết quả
mong muốn hoặc được quan sát.
Trong thực tế, bài toán ngược thường không thỏa mãn hết các điều kiện
của định đề Hadamard về tính tồn tại duy nhất nghiệm và tính phụ thuộc
liên tục vào dữ liệu đầu vào. Bài toán có những đặc tính như trên gọi là
bài toán đặt không chỉnh và nó thường gây ra nhiều khó khăn cho việc giải
số bài toán.
Định nghĩa 1.8. ([8] tr 31) Xét phương trình
T x = y (1.26)
với T : X −→ Y là toán tử không nhất thiết tuyến tính giữa không gian tuyến
tính X và Y và y ∈ Y.
Bài toán (1.26) được gọi là đặt chỉnh nếu
(i) Với mỗi y ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X,
(ii) Nghiệm x được xác định duy nhất,
(iii) x phụ thuộc liên tục vào T và y.
Bài toán (1.26) đặt không chỉnh nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên
không thỏa mãn.
18
Như trên đã nói, bài toán ngược thường là bài toán đặt không chỉnh. Để
rõ hơn về khái niệm này, ta xét một số ví dụ sau đây.
Ví dụ 1.1. Phép tính Đạo hàm
Xét phương trình tích phân Volterra loại 1
(T x)(s) =


s
0
x(t)dt = f(s) − f(0), (1.27)
với các hàm x, f ∈ C[0, 1]. Ta thấy rằng f

chính là nghiệm của phương trình
(1.27) và bài toán trên là bài toán ngược của bài toán tính tích phân. Trong khi
tích phân được tính toán ổn định trên C[0, 1] thì phương trình (1.27) chỉ giải
được trong C[0, 1] với f ∈ C
1
[0, 1]. Do đó, nếu chọn f ∈ C[0, 1]\C
1
[0, 1] thì phương
trình vô nghiệm, tức là bài toán không thỏa mãn điều kiện (i) của Định nghĩa
1.8.
Tiếp theo, nếu lấy f ∈ C
1
[0, 1], δ ∈ (0, 1), n ∈ N(n = 2) tùy ý và
f
δ
n
(x) = f(x) + δsin
nx
δ
, x ∈ [0, 1]. (1.28)
thì
(f
δ
n

)

(x) = f

(x) + ncos
nx
δ
, x ∈ [0, 1]. (1.29)
Ta có
f −f
δ
n

∞
= δ,
nhưng
f

− (f
δ
n
)


∞
= n
Vì vậy, nếu ta xét f và f
δ
n
tương ứng như là dữ liệu đúng và dữ liệu có nhiễu

thì với một sai số dữ liệu δ nhỏ tùy ý sẽ dẫn tới sai số n trong đạo hàm có thể
lớn tùy ý. Do đó, đạo hàm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đối với chuẩn
đều, tức là bài toán không thỏa mãn điều kiện (iii) của Định nghĩa 1.8. Do đó,
bài toán tính đạo hàm là bài toán đặt không chỉnh.
Để tính toán đạo hàm f

một cách ổn định, ngoài cách coi f

như là nghiệm
19
của phương trình tích phân Volterra rồi áp dụng các phương pháp hiệu chỉnh ta
còn có thể sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn nếu biết trước các ràng buộc
đối với f

và f
”
. Giả sử f là hàm cần tính đạo hàm và f
δ
là dữ liệu có nhiễu
tương ứng của nó thỏa mãn điều kiện f − f
δ

∞
≤ δ. Ta sử dụng công thức sai
phân trung tâm với bước h. Nếu f ∈ C
2
[0, 1] thì ta có
f(x + h) −f(x − h)
2h
= f


(x) + O(h),
trong khi nếu f ∈ C
3
[0, 1] thì ta có
f(x + h −f(x − h)
2h
= f

(x) + O(h
2
).
Như vậy, sai số của công thức sai phân trung tâm phụ thuộc vào tính trơn của
dữ liệu đúng. Thay vì tính f

, ta tính
f
δ
(x + h) −f
δ
(x − h)
2h
≈
f(x + h) −f(x − h)
2h
+
δ
h
.
Do đó, tổng sai số là

O(h
ν
) +
δ
h
,
với ν = 1 nếu f ∈ C
2
[0, 1] và ν = 2 nếu f ∈ C
3
[0, 1].
Nếu h quá nhỏ, tổng sai số tăng theo sai số dữ liệu δ/h và ngược lại nếu h
quá lớn thì sai số xấp xỉ cũng rất lớn. Ta cần tìm một tham số rời rạc h
0
sao
cho tổng sai số đạt giá trị bé nhất có thể. Tham số h
0
tồn tại nhưng không tính
toán được một cách chính xác vì nó phụ thuộc vào tính trơn của dữ liệu đúng.
Tuy nhiên, nếu chọn h là lũy thừa của δ, tức là chọn h ∼ δ
µ
thì ít nhất ta cũng
có thể ước lượng được dáng điệu tiệm cận của h
0
. Khi đó, với f ∈ C
2
[0, 1], tổng
sai số là O(
√
δ) tại µ = 1/2 và với f ∈ C

3
[0, 1], tổng sai số là (δ
2
3
) tại µ = 1/3.
Ví dụ 1.2. Phép biến đổi Radon
Cho D ⊆ R
2
là tập compact với hàm mật độ f. Trong chụp ảnh y học
(computer tomography), D mô phỏng mặt cắt ngang cơ thể người. Trong các
thí nghiệm cơ học không phá hủy, D là mặt cắt ngang của vật thể được kiểm
20
tra. Mục đích của chúng ta là khôi phục hàm mật độ f từ phép đo tia X trong
mặt phẳng chứa D. Những tia X này chạy dọc theo các đường được tham số
hóa bởi véc tơ pháp tuyến của chúng w ∈ R
2
(w = 1) và khoảng cách s > 0 tới
gốc tọa độ.
Nếu giả thiết rằng sự suy giảm cường độ −  I của một tia X theo  t tỷ lệ
với cường độ I, mật độ f và  t, ta nhận được
 I(sw + tw
⊥
) = −I(sw + tw
⊥
)f(sw + tw
⊥
)  t, (1.30)
với w
⊥
là véc tơ đơn vị trực giao với w. Cho t trong (1.30) dần tới 0, ta được

d
dt
I(sw + tw
⊥
) = −I(sw + tw
⊥
)f(sw + tw
⊥
). (1.31)
Ta ký hiệu I
L
(s, w) và I
0
(s, w) lần lượt là cường độ của tia X tại điểm thu và
điểm phát. Điểm thu và điểm phát được kết nối bởi một đường được tham số
hóa bởi s và w và điểm thu, điểm phát đặt bên ngoài D (có thể giả thiết điểm
thu và điểm phát dần tới +∞). Khi đó, từ (1.31), ta có
logI
L
(s, w) − logI
0
(s, w) = −

R
f(sw + tw
⊥
)dt.
Do đó
(Rf)(s, w) =


R
f(sw + tw
⊥
)dt = −log
I
L
(s, w)
I
0
(s, w)
, w ∈ R
2
, w = 1, s > 0. (1.32)
Vậy, để xác định hàm phân phối mật độ f từ phép đo tia X cần giải phương
trình tích phân loại 1 (1.32). Đây là bài toán ngược của bài toán tính tích phân.
Xét trường hợp đặc biệt khi D là hình tròn bán kính ρ, các tia sáng song
song với trục Ox, phương trình (1.32) được xét với w
0
= (0, ±1) và giả thiết
f(s, w) = F (s), 0 < s ≤ ρ, w = 1.
Với 0 < s ≤ ρ, ta có
(Rf)(s, w
0
) = 2

ρ
s
rF (r)
√
r

2
− s
2
dr.
21
Nếu ký hiệu
g(s) = −log
I
L
(s, w
0
)
I
0
(s, w
0
)
thì từ (1.32), ta nhận được phương trình tích phân Abel

ρ
s
rF (r)
√
r
2
− s
2
dr =
g(s)
2

, 0 < s ≤ ρ. (1.33)
Chú ý rằng nhân tích phân trong (1.33) có một điểm kỳ dị. Nếu g(ρ) = 0, ta
được
F (r) = −
1
π

ρ
r
g

(s)
√
s
2
− r
2
ds.
Từ đây suy ra hàm g phải khả vi và theo Ví dụ 1.1, bài toán khôi phục F từ g
là bài toán đặt không chỉnh.
Ví dụ 1.3. Dự báo đường huyết
Giả sử tại thời điểm hiện tại t = t
N
, ta có n chỉ số đường huyết (blood glucose,
viết tắt là BG) của một bệnh nhân y
N
, y
N−1
, , y
N−n+1

được lấy mẫu tại các thời
điểm tương ứng t
N
> t
N−1
> > t
N−n+1
trong miền lấy mẫu SH = t
N
−t
N−n+1
.
Ta cần dự đoán nồng độ BG y
j
= y(t
j
) cho m thời điểm tiếp theo trong tương lai
{t
j
}
N+m
j=N +1
trong miền dự đoán P H = t
N+m
− t
N
sao cho t
N
< t
N+1

< < t
N+m
.
Trong điều trị bệnh tiểu đường, dự đoán như vậy ước tính tốc độ thay đổi
nồng độ BG tại thời điểm dự đoán t = t
N
từ các phép đo quá khứ và hiện tại.
Do đó, ta cần tính giá trị của đạo hàm y

(t
N
) của hàm y(t). Theo Ví dụ 1.1,
bài toán dự báo đường huyết đặt không chỉnh. Tuy nhiên, trường hợp đang xét
khác với ví dụ 1.1 ở hai điểm sau:
• Ta chỉ có số đo đường huyết của bệnh nhân tại một số thời điểm nhất định.
• Vấn đề dự báo đường huyết liên quan đến bài toán tính gần đúng đạo hàm
ở đầu mút (điểm cuối) của một đoạn.
22