Một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN



NGUYỄN ĐÌNH DŨNG


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU
CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TOÁN TỬ ĐẶT KHÔNG CHỈNH



LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC




Hà Nội – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ
CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

NGUYỄN ĐÌNH DŨNG


MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU
CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TOÁN TỬ ĐẶT KHÔNG CHỈNH






Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số: 62.46.30.01


LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC


Tập thể hướng dẫn khoa học:
1. GS.TS. Nguyễn Bường
2. TS. Nguyễn Công Điều

Hà Nội – 2014
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh 15
1.1. Không gian Hilbert và không gian Banach . . . . . . . . 15
1.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1. Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và không chỉnh 21
1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương
trình với toán tử liên tục và đóng yếu . . . . . . 22
1.2.3. Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho
phương trình toán tử U− đơn điệu . . . . . . . 27
1.3. Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương
pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1. Bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt
không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với
toán tử liên tục và đóng yếu . . . . . . . . . . . 35
Chương 2. Hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử liên
tục và đóng yếu 42
2.1. Phương pháp hiệu chỉnh với nhiễu vế phải . . . . . . . . 42
2.2. Phương pháp hiệu chỉnh trong trường hợp nhiễu vế phải
và nhiễu toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1
2.3. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán
tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4. Một số kết quả tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4.1. Quy tắc dừng lặp và kết quả tính toán cho hệ
phương trình toán tử tuyến tính . . . . . . . . . 65
2.4.2. Kết quả tính toán cho hệ phương trình toán tử
phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Chương 3. Hiệu chỉnh tìm nghiệm cho hệ phương trình phi
tuyến với toán tử U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên
không gian Banach 81
3.1. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử
U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach 81
3.2. Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh . . . . . 89
3.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . 97
3.4. Một số kết quả tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Bường và TS. Nguyễn Công Điều.
Các kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa
từng được công bố trong các công trình của người khác.
Nghiên cứu sinh
Nguyễn Đình Dũng
3
LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành tại Viện Công nghệ Thông tin thuộc
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn của
GS.TS. Nguyễn Bường và TS. Nguyễn Công Điều. Tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn tới các thầy cô giáo thuộc Viện Công nghệ Thông tin đã
tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận án
tại Viện, đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. Nguyễn
Bường và TS. Nguyễn Công Điều, những người thầy đã tận tình hướng
dẫn và cung cấp nhiều tài liệu cần thiết để tác giả có thể hoàn thành
luận án đúng thời hạn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo thuộc Đại học Thái

Nguyên và Ban Đào tạo - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện tốt
nhất cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh.
Xin chân thành cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh và bạn bè đồng
nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học
tập, nghiên cứu và làm luận án tại Viện Công nghệ Thông tin.
Nghiên cứu sinh
Nguyễn Đình Dũng
4
MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
R
n
Không gian Ơcơlit n-chiều.
X
∗
Không gian liên hợp của không gian Banach X.
A
∗
: Y
∗
→ X
∗
Toán tử đối ngẫu của toán tử A : X → Y .
H Không gian Hilbert.
I Toán tử đơn vị.
D(A) Miền xác định của toán tử A.
R(A) Miền ảnh của toán tử A.
A
−1
Toán tử ngược của toán tử A.
A


(x) Đạo hàm Fréchet của toán tử A tại điểm x.
x, y Tích vô hướng của x và y trong không gian Hilbert.
x
X
Chuẩn của x trong không gian X.
ρ
X
(x, y) Metric của x và y trong không gian X.
a ∼ b a tương đương với b.
C[a, b] Không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b].
∅ Tập rỗng.
x
n
 x Dãy x
n
hội tụ yếu tới x.
x
n
→ x Dãy x
n
hội mạnh tới x.
θ Phần tử không trong không gian Banach.
S(x
∗
, r) Hình cầu mở tâm x
∗
bán kính r trong không gian Banach .
N(A) Không gian không điểm của toán tử A.
5

Mở đầu
Trong những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài
toán mà nghiệm không ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu
đầu vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra (nghiệm của
bài toán), thậm chí còn làm cho bài toán trở lên vô nghiệm. Lớp các
bài toán trên được gọi là lớp bài toán không chính qui hay bài toán đặt
không chỉnh.
Khái niệm bài toán đặt chỉnh được Hadamard,J. [45] đưa ra khi nghiên
cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình
elliptic cũng như parabolic. Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình
A(x) = f, (1)
ở đây, A là toán tử từ không gian metric X vào không gian metric Y .
Theo Hadamard bài toán (1) được gọi là đặt chỉnh (chính qui) nếu các
điều kiện sau được thỏa mãn:
1. Phương trình (1) có nghiệm x
0
với mọi f ∈ Y ;
2. Nghiệm x
0
được xác định một cách duy nhất;
3. Nghiệm x
0
phụ thuộc liên tục vào f.
Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa
mãn cả ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm.
6
Nhất là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực
tế bằng máy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn
đó dẫn đến những sai lệch đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì

bài toán (1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Do lớp bài toán đặt
không chỉnh có tầm quan trọng trong ứng dụng thực tế, nên nó đã thu
hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới như
V. K. Ivanov, M. M. Lavrentiev, A. N. Tikhonov Một số nhà toán học
Việt Nam cũng đi sâu nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết
các bài toán đặt không chỉnh như: P. K. Anh, Ng. Bường, Đ. N. Hào,
Đ. Đ. Trọng
Để giải số bài toán đặt không chỉnh, bước đầu tiên Tikhonov đưa về
bài toán đặt chỉnh bằng cách giả thiết là nghiệm cần tìm nằm vào trong
một tập compact lồi M và ảnh A(M) = N, sao cho khi f xấp xỉ bởi
f
δ
∈ N ta vẫn có nghiệm x
δ
thỏa mãn Ax
δ
∈ N. Do số liệu xấp xỉ là số
liệu không chính xác, nên có thể xấp xỉ f
δ
lại không nằm vào tập A(M).
Khi đó, phương trình A(x) = f
δ
không có nghiệm theo nghĩa thông
thường. Để khắc phục tình trạng này, Ivanov,V.K. (xem [51], [52]) đã
đưa ra khái niệm tựa nghiệm cho phương trình (1). Theo Ivanov phần tử
˜x ∈ M làm cực tiểu phiếm hàm inf
x∈M
ρ
Y
(A(x), f) được gọi là tựa nghiệm

của (1) trên tập M, trong trường hợp M là tập compact của X, thì với
mọi f ∈ Y bao giờ cũng tồn tại tựa nghiệm. Nếu f ∈ A(M) thì tựa
nghiệm chính là nghiệm thông thường. Tựa nghiệm cũng như nghiệm
thông thường có thể không duy nhất.
Trường hợp vế phải phương trình (1) thay đổi không nằm trong A(M)
7
cũng được Lavrentiev, M.M. [60] nghiên cứu. Tư tưởng phương pháp mà
Lavrentiev đề xuất là thay phương trình (1) bằng phương trình xấp xỉ
giải được với mọi vế phải và nghiệm của phương trình xấp xỉ phụ thuộc
liên tục vào vế phải.
Năm 1963, Tikhonov, A. N. (xem [75], [76], [77]) đưa ra một hướng
mới giải quyết bài toán (1), đó là việc cực tiểu hóa phiếm hàm phụ thuộc
tham số
M
α
[x, f
δ
] = ρ
2
(A(x), f
δ
) + αψ(x), (2)
ở đây ψ là phiếm hàm ổn định trên không gian metric X, α là tham số
hiệu chỉnh phụ thuộc δ, α = α(δ) được chọn sao cho khi δ → 0, ta có
α(δ) → 0 và điểm cực tiểu x
δ
α
của phiếm hàm (2) hội tụ đến nghiệm của
bài toán (1).
Đối với bài toán (1), khi A : H → H là một toán tử liên tục và đóng

yếu, Engl, H.W. [42] đã xét dạng cụ thể của (2) là
M
α
[x, f
δ
] = Ax − f
δ

2
+ αx
2
(3)
và chứng minh được bài toán (3) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào f
δ
và hội tụ về nghiệm của (1) khi f
δ
→ f.
Trong trường hợp A là toán tử đơn điệu và hemi liên tục từ không
gian Bannach X vào X
∗
, Alber,Ya.I.[5] đã xây dựng phương pháp hiệu
chỉnh Tikhonov dựa vào việc giải phương trình
A(x) + αU
s
(x) = f
δ
, (4)
ở đây, U
s
là toán tử đối ngẫu tổng quát của X, tức là U

s
: X → X
∗
,
thỏa mãn điều kiện
U
s
(x), x = xU
s
(x), U
s
(x) = x
s−1
, s ≥ 2.
8
Trong vài năm gần đây, do nhu cầu thực tế người ta đã xét mở rộng
bài toán (1) cho một họ hữu hạn phương trình đặt không chỉnh (xem
[22], [39], [46]), tức là tìm nghiệm x
0
, sao cho
A
j
(x
0
) = f
j
, j = 1, 2, , N, (5)
ở đây, A
j
: X → Y

j
, X và Y
j
là các không gian Hilbert. Hệ phương trình
(5) có thể đưa về một phương trình
A(x) = f, (6)
ở đây, A : X → Y xác định bởi A(x) = (A
1
(x), A
2
(x), , A
N
(x)),
Y := Y
1
× Y
2
× × Y
N
và f = (f
1
, f
2
, , f
N
). Có thể coi (6) như là
trường hợp riêng của (5) khi N = 1. Tuy nhiên, (5) có lợi hơn (6) ở chỗ
(5) đề cập riêng rẽ từng tính chất của (A
j
, f

j
), còn (6) cho ta tính chất
chung của (A
j
, f
j
) và nghiệm của (6) phải thỏa mãn các tọa độ giống
nhau.
Năm 2007, Haltmeier,M. [46] đã đưa ra phương pháp lặp cải tiến
Landweber - Kaczmarz tìm nghiệm hiệu chỉnh lặp cho hệ (5) khi f
j
được xấp xỉ bởi f
δ
j
j
, f
δ
j
j
− f
j
 ≤ δ
j
, j = 1, 2, , N, bao gồm phương
pháp lặp xoay vòng Landweber - Kaczmarz (lLK) và phương pháp lặp
nhúng Landweber - Kaczmarz (eLK) đồng thời được ứng dụng để hiệu
chỉnh cho một số bài toán như bài toán ngược đối với thiết bị bán dẫn,
bài toán chụp cắt lớp bằng nhiệt
Năm 2008, Hein,T. [48] đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh cho hệ
phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu dựa trên bài toán cực tiểu

phiếm hàm ổn định không âm và nửa liên tục dưới yếu
min
x∈D
{J(x) : A
j
(x) −f
δ
j
j
 ≤ δ
j
, j = 1, , N}. (7)
9
Dựa trên khoảng cách Bregman D(x
δ
, x
0
) := J(x
δ
)−J(x
0
)−J

(x
0
), x
δ
−
x
0

, Hein đã đưa ra các kết quả về tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
x
δ
về nghiệm x
0
của hệ khi bổ sung điều kiện nguồn lên tất cả các toán
tử A
j
, j = 1, 2, , N.
Năm 2011, Cezaro,A.D. [38] đã đưa ra phương pháp lặp cải tiến
Tikhonov với các toán tử A
j
liên tục, khả vi Fréchet trên miền đóng yếu
D
j
, bao gồm phương pháp lặp Tikhonov - Kaczmarz (iTK) và phương
pháp lặp xoay vòng Tikhonov - Kaczmarz (L - iTK). Phương pháp
này được xây dựng dựa trên cơ sở của phương pháp lặp Levenberg-
Marquardt-Kaczmarz [15] và phương pháp lặp cải tiến Landweber -
Kaczmarz [46].
Cách tiếp cận theo phương pháp lặp xoay vòng và phương pháp đưa
về không gian tích thực hiện rất phức tạp khi N lớn. Cụ thể, khi xét sự
hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ cũng như đánh giá tốc
độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh theo các cách tiếp cận này đòi hỏi phải
thỏa mãn ba điều kiện đặt lên từng toán tử A
j
, bao gồm điều kiện khả
vi Fréchet với các đạo hàm Fréchet giới nội đều trong lân cận nghiệm
của (5), điều kiện nón tiếp tuyến cục bộ và điều kiện nguồn trên nghiệm
của (5) (xem [38]). Vì vậy, việc nới lỏng các điều kiện lên các toán tử là

một trong các mục tiêu của luận án. Cụ thể, liệu có thể xây dựng được
phương pháp hiệu chỉnh khác mà sự hội tụ cũng như đánh giá tốc độ
hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh chỉ cần dựa vào điều kiện của một toán tử
hay không?
Trong trường hợp A
j
là các dưới vi phân của các phiếm hàm lồi trên
không gian Banach X, Buong,Ng. [22] đã xây dựng phương pháp hiệu
10
chỉnh dựa vào việc giải phương trình
N

j=1
α
µ
j
A
h
j
(x) + αU(x) = θ, (8)
µ
1
= 0 < µ
j
< µ
j+1
< 1, j = 2, , N − 1,
ở đây, U(x) là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc từ X vào X
∗
, tức là U(x) =

U
2
(x).
Khi A
j
: H → H là các toán tử đơn điệu và h-liên tục, Buong,Ng.,
Thuy,Ng.T.T. [34] đã đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không
tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán
A
j
(x) = θ, j = 1, 2, , N, (9)
bằng sơ đồ lặp
x
(k+1)
= x
(k)
− β
k

N

j=1
α
j
k
A
j
(x
(k)
) + α

N+1
k
(x
(k)
− x
∗
)

, (10)
ở đây, xấp xỉ đầu x
(0)
và x
∗
là phần tử trong không gian H và α
k
, β
k
là
các dãy số dương.
Hệ (9) cũng được Anh,Ph.K., Chung,C.V. [7] xét đến khi A
j
: H → H
có tính chất ngược đơn điệu mạnh bằng phương pháp hiệu chỉnh lặp song
song. Các kết quả đạt được của phương pháp cho nghiệm hiệu chỉnh hội
tụ về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất.
Một câu hỏi đặt ra là, khi A
j
là các toán tử U− đơn điệu liệu có thể
xây dựng được các phương pháp hiệu chỉnh giống như (8) hay không?
Trong luận án này, chúng tôi đề cập đến hai vấn đề nêu trên. Cụ thể,

đối với vấn đề thứ nhất, chúng tôi đưa ra phương pháp hiệu chỉnh
N

j=1
A
j
(x) −f
δ
j

2
+ αx −x
∗

2
→ min
X
, (11)
11
mà tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được đánh giá chỉ dựa trên điều
kiện của một toán tử A
1
. Trong trường hợp các toán tử A
j
: X → X
là U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach phản xạ
và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, chúng tôi đưa ra phương pháp
hiệu chỉnh hệ phương trình (5) dựa vào việc giải phương trình
A
1

(x) + α
˜µ
N

j=2
(A
j
(x) −f
δ
j
) + α(x − x
∗
) = f
δ
1
(12)
và đưa ra cách chọn tham số α = α(δ), ở đây, ˜µ ∈ (0, 1) là hằng số cố
định. Theo phương pháp này, tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được
đánh giá mà chỉ cần dựa vào điều kiện đặt lên một toán tử A
1
.
Các kết quả đạt được trong luận án này là kết quả trong quá trình
học tập và nghiên cứu tại Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Ngoài phần mở đầu, kết luận và
tài liệu tham khảo, các kết quả nghiên cứu được trình bày thành ba
chương. Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gian Hilbert
và không gian Banach, về bài toán đặt không chỉnh, từ đó giới thiệu
phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục
và đóng yếu và phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương
trình với toán tử U− đơn điệu. Trên cơ sở hiệu chỉnh cho phương trình,

chương này còn giới thiệu bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt
không chỉnh và các phương pháp hiệu chỉnh. Chương 2 giới thiệu các kết
quả đạt được khi xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình
với các toán tử có tính chất liên tục và đóng yếu, đồng thời các kết quả
số được thực hiện nhằm khẳng định tính đúng đắn của phương pháp.
Cuối cùng, chương 3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương
trình phi tuyến đối với toán tử U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên
12
không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
Các công trình đã công bố có liên quan đến luận án:
[1] Buong,Ng., Dung,N.D. (2009), Regularization for a Common Solu-
tion of a System of Nonlinear Ill-Posed Equations, Int. Journal of Math.
Analysis, 3(34), 1693 - 1699.
[2] Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common solution
of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings, Ap-
plied Mathematical Sciences, 5(76), 3781 - 3788.
[3] Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common solution
of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings with
perturbative data, Thainguyen University Journal of Science and Tech-
nology, 83(7), 73 - 79.
[4] Buong,Ng., Dung,N.D. (2012), Convergence Rates in Regularization
for Nonlinear Ill-Posed Equations with Perturbative Data, Applied Math-
ematical Sciences, 6(127), 6301 - 6310.
[5] Buong,Ng., Dung,N.D. (2013), Regularization for a common solution
of a finite system of nonlinear ill-posed equations involving Lipschitz
continuous and accretive mappings on Banach spaces, Kỷ yếu Hội thảo
Quốc gia lần thứ XV về một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ Thông
tin và Truyền thông, Hà Nội, 3-4/12/2012.
[6] Buong,Ng., Dung,N.D. (2014), A regularized parameter choice in reg-
ularization for a common solution of a finite system of ill-posed equations

involving Lipschitz continuous and accretive mappings, Zh. Vychisl. Mat.
i Mat. Fiziki, 54(3), 397 - 406.
13
Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:
- Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ VIII, Ba vì, 20-
22/4/2010.
- Hội thảo Quốc gia lần thứ XIII về một số vấn đề chọn lọc của Công
nghệ Thông tin và Truyền thông, "Các công nghệ tính toán hiện đại",
Hưng Yên, 19-20/8/2010.
- Hội nghị khoa học kỷ niệm 35 năm ngày thành lập Viện Công nghệ
Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Hà Nội,
26/12/2011.
- Hội thảo Quốc gia lần thứ XV về một số vấn đề chọn lọc của Công
nghệ Thông tin và Truyền thông, Hà Nội, 3-4/12/2012.
- Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ XI, Ba vì, 24-
27/4/2013.
- Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ VIII, Nha Trang, 10-14/08/2013.
- Các buổi Seminar khoa học của Phòng Thống kê - Tính toán và ứng
dụng, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công
nghệ Việt Nam.
14
Chương 1
Hệ phương trình toán tử đặt không
chỉnh
Chương này gồm ba mục. Mục 1.1 trình bày các khái niệm cơ bản
trong không gian Hilbert và không gian Banach. Mục 1.2 giới thiệu khái
niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
cho phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu cùng với phương
pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình với toán tử U−
đơn điệu. Trong mục 1.3, chúng tôi giới thiệu hệ phương trình đặt không

chỉnh, các bài toán dẫn về hệ phương trình đặt không chỉnh và một số
phương pháp hiệu chỉnh cho hệ bài toán này.
1.1. Không gian Hilbert và không gian Banach
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm được sử dụng
trong các chương sau (xem [3], [6], [18], [21], [44], [49], [53], [64]).
Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính X được gọi là không gian tiền
Hilbert hay còn gọi là không gian có tích vô hướng, nếu trên X xác định
một hàm thực hai biến, ký hiệu là x, y và được gọi là tích vô hướng
của x và y nếu thỏa mãn điều kiện sau:
• Với mọi x, y ∈ X, x, y = y, x;
• Với mọi x, y, z ∈ X, x + y, z = x, z + y, z;
15
• Với mọi x, y ∈ X và số thực β bất kỳ βx, y = β x, y;
• Với mọi x ∈ X, x, x ≥ 0 và x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Với hàm x = x, x
1/2
thì X trở thành một không gian định chuẩn.
Không gian với tích vô hướng đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.
Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu nó là
không gian đủ.
Cho x và y thuộc không gian tích vô hướng X, khi đó ta có các quy
tắc sau:
• Bất đẳng thức tam giác: x + y ≤ x + y;
• Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: |x, y| ≤ xy;
• Quy tắc hình bình hành: x + y
2
+ x −y
2
= 2x
2

+ 2y
2
.
Định nghĩa 1.2 Trong không gian Banach X, toán tử đa trị U : X →
2
X
∗
được gọi là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc nếu
U(x) = {u(x) ∈ X
∗
: x, u(x) = xu(x), u(x) = x}.
Định nghĩa 1.3 Toán tử A : X → X được gọi là
• U− đơn điệu trên X, nếu tồn tại u(x − y) ∈ U(x − y) sao cho
A(x) −A(y), u(x − y) ≥ 0 với ∀x, y ∈ X.
• U− đơn điệu mạnh trên X với hằng số α, nếu tồn tại một hằng số
α > 0 sao cho
A(x) −A(y), u(x − y) ≥ αx − y
2
, ∀x, y ∈ X.
16
• Ngược U− đơn điệu mạnh với hằng số λ trên X, nếu tồn tại một
hằng số dương λ sao cho
A(x) −A(y), u(x − y) ≥ λA(x) − A(y)
2
, ∀x, y ∈ X,
• m− U− đơn điệu trong X, nếu A là U− đơn điệu và R(A+λI) = X,
∀λ > 0.
• Liên tục Lipschitz trên X, nếu
A(x) −A(y) ≤ Lx − y, ∀x, y ∈ X,
ở đây, L là hằng số dương. Khi L = 1 thì A được gọi là toán tử không

giãn. Dễ thấy, nếu A là toán tử ngược U− đơn điệu mạnh với hằng số λ
thì A là liên tục Lipschitz với hằng số 1/λ.
Định nghĩa 1.4 (xem [18]) Toán tử T được gọi là giả co chặt trên không
gian Banach X, nếu tồn tại λ ∈ [0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
T x − T y, u(x − y) ≤ x −y
2
− λx −y − (Tx −Ty)
2
,
hay có thể viết dưới dạng
(I − T )x − (I − T)y, u(x −y) ≥ λ(I −T)x − (I − T )y
2
.
Do đó, I −T là ngược U− đơn điệu mạnh với hằng số λ. Nếu λ = 0, thì
T được gọi là giả co. Nếu T là giả co, thì A := I − T là U− đơn điệu,
và ngược lại, nếu A là U− đơn điệu thì T = I − A là giả co.
Định nghĩa 1.5 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn và
S(0, 1) := {x ∈ X : x = 1}.
17
Không gian X được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux, nếu giới hạn
lim
t→0
x + ty − x
t
tồn tại với mọi x, y ∈ S(0, 1). Không gian X có chuẩn khả vi Gâteaux
đều nếu giới hạn trên hội tụ đều với mọi x ∈ S(0, 1). Không gian X
được gọi là lồi chặt nếu ∀x, y ∈ S(0, 1) với x = y, ta có
(1 −λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.6 Tập S trong không gian Banach X được gọi là một
tập lồi, nếu với mọi x, y ∈ S thì {λx + (1 −λ)y : λ ∈ [0, 1]} ⊆ S. Nếu

S là tập lồi đóng và S = ∅ thì ∀x ∈ X tồn tại duy nhất một phần tử
x
∗
∈ S sao cho
x −x
∗
 = inf
y∈S
x −y.
Định nghĩa 1.7 Phiếm hàm ϕ(x) với x ∈ X được gọi là lồi, nếu
ϕ(αx + (1 − α)y) ≤ αϕ(x) + (1 − α)ϕ(y), ∀α ∈ [0, 1], x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.8 (xem [3]) Cho không gian Banach 
∞
với (a
1
, a
2
, ) ∈

∞
và chuẩn a
∞
= sup
i∈N
|a
i
| và µ là phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên 
∞
. Ký hiệu µ

k
(a
k
) := µ((a
1
, a
2
, )), khi đó µ được gọi là giới hạn
Banach nếu µ thỏa mãn µ = µ
k
(1) = 1 và µ
k
(a
k+1
) = µ
k
(a
k
) với
(a
1
, a
2
, ) ∈ 
∞
.
Với giới hạn Banach µ, ta có
lim inf
k→∞
a

k
≤ µ
k
(a
k
) ≤ lim sup
k→∞
a
k
với mọi (a
1
, a
2
, ) ∈ 
∞
. Nếu a = (a
1
, a
2
, ) ∈ 
∞
, b = (b
1
, b
2
, ) ∈ 
∞
và a
k
→ c (a

k
−b
k
→ 0, khi k → ∞), ta có µ
k
(a
k
) = µ(a) = c (µ
k
(a
k
) =
µ
k
(b
k
)).
18
Định nghĩa 1.9 Cho X là không gian Banach, toán tử A với miền xác
định D(A) ⊆ X và miền ảnh R(A) nằm trong X
∗
.
• Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu A(x) −A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈
D(A). A được gọi là đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ đạt được khi
x = y.
• Toán tử A được gọi là d-đơn điệu, nếu tồn tại một hàm không
âm d(t), không giảm với t ≥ 0, d(0) = 0 và thỏa mãn tính chất
∀x, y ∈ D(A)
A(x) −A(y), x − y ≥ (d (x) −d (y)) (x −y) .
• Toán tử A được gọi là đơn điệu đều, nếu tồn tại một hàm không

âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và
A(x) −A(y), x − y ≥ δ (x −y) , ∀x, y ∈ D(A).
Nếu δ(t) = c
A
t
2
, c
A
> 0 thì toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu
mạnh.
• Toán tử A được gọi là có tính chất bức, nếu
lim
x→+∞
A(x), x
x
= +∞.
Định nghĩa 1.10 Cho X, Y là hai không gian Banach. Toán tử A :
X → Y được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X, nếu tồn tại toán tử
tuyến tính liên tục T : X → Y sao cho
lim
h→0
A(x + h) −A(x) −T (h)
h
= 0,
T được gọi là đạo hàm Fréchet của A tại x và ký hiệu A

(x).
19
Định nghĩa 1.11 Cho X là không gian Banach bất kỳ, ∂ϕ được gọi là
dưới vi phân của hàm ϕ và được xác định bởi

∂ϕ(x) = {x
∗
∈ X
∗
: ϕ(y) −ϕ(x) ≥ x
∗
, y −x, ∀y ∈ X}.
Ta có mối liên hệ giữa tính lồi đều của một phiếm hàm và tính đơn
điệu đều của dưới vi phân của nó như sau:
Nếu ϕ là một phiếm hàm lồi đều xác định trên không gian Banach
phản xạ X thì ∂ϕ là một toán tử đơn điệu đều. Nếu D(ϕ) ≡ X thì ∂ϕ
còn là một toán tử h-liên tục tại mọi điểm x ∈ X , tức là:
lim
t→0
∂ϕ(x + ty) = ∂ϕ(x), ∀x, y ∈ X.
Đây cũng là khái niệm về tính h-liên tục cho một toán tử A bất kỳ.
Định nghĩa 1.12 Trong không gian Banach X, dãy {x
n
} được gọi là
một dãy cực tiểu hóa cho bài toán: Tìm x
0
∈ X sao cho f(x
0
) = inf
x∈X
f(x),
nếu lim
n→∞
f(x
n

) = f(x
0
). Điều này tương đương với
∀ε > 0 ∃N(ε) : ∀n > N(ε), f(x
0
) −ε ≤ f(x
n
) ≤ f(x
0
) + ε.
Định nghĩa 1.13 Trong không gian Banach X, dãy {x
n
} ⊂ X được gọi
là hội tụ yếu tới x ∈ X, nếu với mọi x
∗
∈ X
∗
ta có
lim
n→∞
x
n
, x
∗
 = x, x
∗
.
Dãy hội tụ yếu được ký hiệu: x
n
 x khi n → ∞. {x

n
} ⊂ X được gọi là
hội tụ mạnh tới x ∈ X nếu nó hội tụ theo chuẩn, tức là x
n
− x → 0
khi n → ∞.
Định nghĩa 1.14 Phiếm hàm ϕ(x) xác định trên không gian Banach
X được gọi là nửa liên tục dưới yếu tại điểm x
0
, nếu ∀{x
n
} : x
n
 x
0
⇒
20
ϕ(x
0
) ≤ lim inf ϕ(x
n
). Phiếm hàm ϕ(x) được gọi là nửa liên tục dưới
yếu, nếu nó nửa liên tục dưới yếu tại mọi điểm trong miền xác định của
nó.
Trên đây là các khái niệm, định nghĩa được sử dụng trong các mục
và các chương sau. Mục tiếp theo, chúng tôi trình bày các phương pháp
hiệu chỉnh cho phương trình với toán tử có tính chất liên tục và đóng
yếu, toán tử có tính chất U− đơn điệu.
1.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
1.2.1. Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và không chỉnh

Khái niệm Bài toán đặt chỉnh được Hadamard,J. (xem [45], [65]) đưa
ra khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của
các phương trình eliptic cũng như parabolic.
Xét bài toán Cauchy đối với phương trình Laplace
∂
2
u
n
∂x
2
+
∂
2
u
n
∂y
2
= 0, −∞ < x < ∞, 0 < y,
u
n
(x, 0) = n
−2
sin nx, −∞ < x < ∞,
∂u
n
∂y
(x, 0) = n
−1
sin nx, −∞ < x < ∞.
Bài toán này có nghiệm duy nhất là u

n
(x, y) = n
−2
e
ny
sin nx, ở bài
toán này ta dễ thấy u
n
(x, 0),
∂u
n
∂y
(x, 0) → 0 khi n → ∞, trong khi đó
u
n
(x, y) → ∞ khi n → ∞ với mọi y > 0.
Việc tìm nghiệm của phương trình toán tử
Ax = f, f ∈ Y (1.1)
21
cũng phải dựa vào dữ kiện ban đầu f, có nghĩa là x = R(f). Ta sẽ coi
nghiệm cũng như các dữ kiện đó là những phần tử thuộc không gian
X và Y với các độ đo tương ứng là ρ
X
(x
1
, x
2
) và ρ
Y
(f

1
, f
2
), x
1
, x
2
∈
X, f
1
, f
2
∈ Y .
Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán. Khi
đó, bài toán tìm nghiệm x = R(f) được gọi là ổn định trên cặp không
gian (X, Y ), nếu với mỗi số ε > 0 có thể tìm được một số δ(ε) > 0, sao
cho từ ρ
Y
(f
1
, f
2
) ≤ δ(ε) cho ta ρ
X
(x
1
, x
2
) ≤ ε, ở đây
x

1
= R(f
1
), x
2
= R(f
2
); x
1
, x
2
∈ X; f
1
, f
2
∈ Y.
Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán đặt
chỉnh trên cặp không gian metric (X, Y ), nếu có:
1. Với mọi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X;
2. Nghiệm x được xác định một cách duy nhất;
3. Bài toán tìm nghiệm ổn định trên cặp không gian (X, Y ).
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán
được gọi là bài toán đặt không chỉnh, đôi khi còn gọi là bài toán không
chính quy, hay bài toán thiết lập không đúng đắn.
1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình
với toán tử liên tục và đóng yếu
• Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử
tuyến tính liên tục (xem [1])
22
Xét bài toán tìm nghiệm x

0
của phương trình (1.1), ở đây, A là toán
tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert
Y và được xấp xỉ bởi toán tử tuyến tính liên tục A
h
A −A
h
 ≤ h, h > 0, h → 0, (1.2)
vế phải f được xấp xỉ bởi f
δ
f − f
δ
 ≤ δ. (1.3)
Việc xấp xỉ nghiệm cho bài toán (1.1) được thay bởi bài toán cực tiểu
phiếm hàm
M
α
[x] = A
h
x −f
δ

2
+ αx
2
, (1.4)
ở đây, α > 0 là tham số hiệu chỉnh. Dễ thấy phiếm hàm M
α
[x] hai lần
khả vi theo Fréchet và

(M
α
[x])

= 2(A
∗
h
A
h
x −A
∗
h
f
δ
+ αx),
(M
α
[x])

x, x ≥ 2αx
2
.
Vì vậy, phiếm hàm M
α
[x] lồi mạnh, cho nên nó đạt cực tiểu trên một
tập đóng D bất kỳ tại một điểm duy nhất x
η(h,δ)
α
(xem [80]).
Phần tử cực tiểu x

η(h,δ)
α
có thể tìm bằng phương pháp đường dốc nhất,
phương pháp Gradient liên hợp giải bài toán cực tiểu phiếm hàm có ràng
buộc nếu D = X hoặc không ràng buộc nếu D = X (xem [43], [55], [67],
[80]). Vì M
α
[x] là phiếm hàm lồi, nên điều kiện cần và đủ để x
η(h,δ)
α
làm
điểm cực tiểu của phiếm hàm lồi là (xem [14], [41])
(M
α
[x
η(h,δ)
α
])

, x −x
η(h,δ)
α
 ≥ 0, ∀x ∈ D.
Nếu x
η(h,δ)
α
là điểm trong của D thì điều kiện này là
(M
α
[x

η(h,δ)
α
])

= 0,
23