bài tập thể tích khối đa diẹn

Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Quảng Nam
Trường THPT Lê Quý Đôn


BÀI TẬP THỂ TÍCH
KHỐI ĐA DIỆN
GIÁO VIÊN : TRƯƠNG QUANG THÀNH
Tổ : Toán - Tin
Trường THPT Lê Quý Đôn
Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học sinh yêu thích và say mê,
nhưng nói đến phân môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh,
thậm trí ta có thể dùng tứ ” SỢ” học.Đặc biệt là hình học không gian tổng hợp. Đây là phần có
trong cấu trúc thi cao đẳng và đại học và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển chọn học
sinh giỏi vì kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải tư duy cao,khả năng phân tích tổng hợp và
tưởng tượng mà một chủ điểm của quan trọng của hình học không gian tổng hợp đó là tính thể tích
khối đa diện. Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại đó và ngày càng yêu thích và học
toán hơn yêu cầu các thầy cô chúng ta phải có nhiều tâm huyết giảng dạy và nghiên cứu .Qua thực
tế giảng dạy tôi có chút kinh nghiệm giảng dạy phần này mong được chia sẻ cùng các thầy cô
đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán.
I )TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO CÔNG THỨC
Việc áp dụng công thức thông thường yêu cầu
a) xác định đường cao
b) tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy
Để xác định đường cao ta lưu ý

•
Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.

•

Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp
mặt đáy.
•
Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao chính là
tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy.
•
Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt
phẳng đó và đáy.
•
Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giao tuyến của hai
mp đó
Để tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý
•
Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông.
•
Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định.
Sau đây là các bài tập
Bài1
Chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một
góc 60
0
.Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Bài giải
Gọi D là trung điểm của BC và E là tâm đáy
Khi đó
A
B
C
S
D

E
AE=
3
2
AD=
3
3a
Ta có
∠
SAD=60
0
nên SE=AE.tan60
0
=a
S
ABC
=
4
3
2
a
Do đó V
SABC
=
3
1
SE.S
ABC
=
12

3
3
a
BÀI 2: Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a,BC=6a,CA=7a. Các mặt bên SAB,SBC,SCA
cùng tạo với đáy một góc 60
0
.Tính thể tích của khối chóp
Bài giải
Ta có hình chiếu của đỉnh S trùng tâm D đường tròn nội tiếp đáy
Ta có p=
2
CABCAB ++
=9a Nên S
ABC
=
))()(( cpbpapp −−−
=6a
2
.
6
mặt khác S
ABC
=pr
⇒
r=
p
S
=
6
3

2
a
trong
∆
SDK có SD=KDtan60
0
= r.tan60
0
= 2a.
2
Do đó V
SABC
=
3
1
SD.S
ABC
=8a
3
.
3

A
B
C
S
D
k
Bài 3
Cho hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau cùng hợp với đáy góc 60

0
, đáy là tam giác cân
AB=AC=a và
∠
BAC=120
0
.Tính thể tích khối chóp đó.
Bài giải

O
A
C
B
S
O
Gọi D là trung BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Có SO chính là đường cao
S
ABC
=1/2.AB.AC.sin120
0
=
4
3
2
a
và BC=2BD=2.ABsin60
0
=a.
3

OA=R=
s
cba
4

=a
⇒
SO=OA.tan60
0
=a.
3
Do vậy V
SABC
=
3
1
SO.S
ABC
=1/4a
3
.
Bài 4
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA=a, SB=a
3
và mpSAB vuông
góc với mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC. Hãy tính thể tích khối chóp
SBMDN.
Bài giải

B

A
D
C
S
H
M
N

Hạ SH
⊥
AB tại H thì SH chính là đường cao
S
ADM
=1/2AD.AM=a
2

S
CDN
=1/2.CD.CN=.a
2
Nên S
BMDN
=S
ABCD
-S
ADM
-S
CDN
=4a
2

-2a
2
=2a
2
.
mặt khác
222
111
SBSASH
+=
⇒
SH=
22
22
.
SBSA
SBSA
+
=
2
3a
do đó V
SBMDN
=
3
1
.SH.S
BMDN
=
3

3
3
a
Bài 5
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a,CD=a. Góc giữa
hai mpSBC và ABCD bằng 60
0
. Gọi I là trung điểm của AD, Biết hai mp SBI,SCI cùng vuông
góc với mpABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài giải

A
B
D
C
S
I
H
J
Gọi H trung điểm là của I lên BC, J là trung điểm AB.
Ta có SI
⊥
mpABCD
IC=
22
DCID +
=a
2
IB=
22

ABIA +
=a
5
và BC=
22
JBCJ +
=a
5
S
ABCD
=1/2AD(AB+CD)=3a
2
S
IBA
=1/2.IA.AB=a
2
và S
CDI
=
1/2.DC.DI=1/2
⇒
S
IBC
=S
ABCD
-S
IAB
-S
DIC
=

2
3
2
a

mặt khác S
IBC
=
2
1
.IH.BC nên IH =
a
BC
S
IBC
5
33
2
=
SI=IH.tan60
0
=
a
5
3.9
.
Do đó V
ABCD
=
3

1
SI.S
ABCD
=
5
153
a
3

Bài 6
Cho chóp SABC có SA=SB=SC=a,
∠
ASB= 60
0
,
∠
CSB=90
0
,
∠
CSA=120
0
CMR tam giác ABC vuông rồi tính thể tích chóp.
Bài giải
Gọi E,D lần lượt là AC,BC
A
C
B
S
E

D


∆
SAB đều AB=a,
∆
SBC Vuông BC=a.
2

∆
SAC có AE=SA.sin60
0
=
2
3a

⇒
AC=a
3
và SE=SAcos60
0
=
2
1
a.

⇒
∆
ABC có AC
2

=BA
2
+BC
2
=3a
2
vậy
∆
ABC vuông tại B
Có S
ABC
=
2
1
.BA.BC=
2
2
2
a


∆
SBE có BE=
2
1
AC=
2
3a

SB

2
=BE
2
+SE
2
=a
2
nên BE
⊥
SE
AC
⊥
SE
Do đó SE chính là đường cao
V
SABC
=
3
1
SE.S
ABC
=
3
12
2
a
Bài 7
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
1
B

1
C
1
có đáy là tam giác vuông tại A,AC=a,
∠
ACB=60
0
Đường thẳng BC
1
tạo với mp(A
1
ACC
1
)một góc 30
0
.Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài giải


A
B
C
A1
B1
C1
Trong tam giác ABC có AB=AC.tan60
0
=a
3
AB

⊥
AC và AB
⊥
A
1
A
Nên AB
⊥
mp(ACC
1
A) do đó
∠
AC
1
B=30
0
và AC
1
=AB.cot30
0
=3a.
Á.D pitago cho tam giác ACC
1
: CC
1
=
2
2
1
ACAC −

=2a
2
Do vậy V
LT
=CC
1
.S
ABC
= 2a
2
.
2
1
.a.a
3
=a
3
.
6
Bài 8
Cho khối trụ tam giác ABCA
1
B
1
C
1
có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A
1
cách đều ba
điểm A,B.C,cạnh bên A

1
A tạo với mp đáy một góc 60
0
.Hãy tính thể tích khối trụ đó.
Bài giải

G
A1
B1
C1
A
B
C
H
I

Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên S
ABC
=
4
3
2
a
mặt khác A
1
A=

A
1
B=

A
1
C
⇒
A
1
ABC là tứ diện đều
gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A
1
G là đường cao
Trong tam giác A
1
AG có AG=2/3AH=
3
3a
và
∠
A
1
AG=60
0
A
1
G=AG.tan60
0
=a. vậy V
LT
=A
1

G.S
ABC
=
4
3.
3
a
Bài 9
Cho khối trụ tam giác ABCA
1
B
1
C
1
có đáy là ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền
AB=
2
.Cho biết mpABB
1
vuông góc với đáy,A
1
A=
3
,Góc A
1
AB nhọn, góc giữa mpA
1
AC và
đáy bằng 60
0

. hãy tính thể tích trụ.
Bài giải
Tam giác ABC có cạnh huyền AB=
2
và cân nên CA=CB=1;
S
ABC=
1/2.CA.CA=1/2.
. MpABB
1
vuông góc với ABC từ A
1
hạ A
1
G
⊥
AB tại G.
A
1
G chính là đường cao
Từ G hạ GH
⊥
AC tại H
Gt
⇒
góc A
1
HG=60
0

Đặt AH=x(x>0)
Do
∆
AHG vuông cân tại H nên HG=x và AG=x
2


∆
HGA
1
có A
1
G=HG.tan60
0
=x.
3

∆
A
1
AG có A
1
A
2
=AG
2
+A
1
G
2

⇔
3=2x
2
+3x
2
hay x=
5
15
Do đó A
1
G=
5
53
vậy V
LT
=A
1
G.S
ABC
=
10
53

A1
B1
C1
A
C
B

G
H
Bài 10
Cho khối hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có đáy là hcn với AB=
3
và AD=
7
. Các mặt bên ABB
1
A
1
và
A
1
D
1
DA lần lượt tạo với đáy những góc 45
0
và 60
0
. Hãy tính thể tích khối hộp đó biết cạnh bên
bằng 1.

giải

A1
D1
C1
A
D
B
C
F
B1
N
H
M
Gọi H là hình chiếu của A
1
lên mpABCD
Từ H hạ HM
⊥
AD tại M và HN
⊥
AB tại N
Theo gt
∠⇒
A
1
MH=60
0
và
∠

A
1
NH=45
0

Đặt A
1
H=x(x>0) ta có A
1
M=
0
60sin
x
=
3
2x
tứ giác AMHN là hcn( góc A,M,N vuông)
Nên HN=AM mà AM=
2
1
2
1
MAAA
−
=
3
43
2
x−
Mặt khác trong tam giác A

1
HN có HN=x.cot45
0

Suy ra x =
3
43
2
x−
hay x=
7
3
vậy V
HH
=AB.AD.x= 3.
II ) TÍNH GIÁN TIẾP
Nghĩa là ta sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về bài toán áp dụng tính thể tích
theo công thức hoặc dùng bài toán tính tỉ lệ hai khối tứ diện(chóp tam giác)
Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần lượt ba điểm A
1,
B
1
,C
1
khác với
S thì
SC
SC
SB
SB

SA
SA
V
V
ABC
CBA
1111
111
=

Chứng minh bài toán Tỉ số thể tích hai khối tứ diện(chóp tam giác)

S
A
B
C
E
H
A1
B1
C1
Gọi H,E lần lượt là hình chiếu của A,A
1
trên mpSBC

⇒
AH / / A
1
E nên
∆

SAH và
∆
SA
1
E đồng dạng

11
SA
SA
EA
AH
=
Khi đó V
SABC=
3
1
AH.S
SBC
=
3
1
AH.SB.SC.sinBSC.

V
SA
1
B
1
C
1

=

3
1
A
1
E.S
SB
1
C
1

=

3
1
A
1
E.SB
1.
SC
1
.sinBSC.
Do vậy
111
111

sin
3

1
sin
3
1
111
SC
SC
SB
SB
EA
AH
BSCSCSBEA
BSCSCSBAH
V
V
CBSA
SABC
==
Nên
SC
SC
SB
SB
SA
SA
V
V
ABC
CBA
1111

111
=

Bài 1
Cho hình chóp SABC có SA=a,SB=2a,SC=3a và
∠
BSA=60
0
,
∠
ASC=120
0
,
∠
CSB=90
0
. Hãy
tính thể tích chóp
Bài giải
Nhận xét các mặt ở đây không có các lưu ý nên việc xác định đường cao là khó nhưng ta thấy
các góc ở đỉnh S là rất quen thuộc. Ta liên tưởng đến bài 6 phần I
Vây ta có lời giải sau

S
C
B
A
C1
B1
Trên SB lấy B

1
Sao cho SB
1
=a,
Trên SC lấy C
1
sao cho SC
1
=a,
Ta có
12
2.
3
11
a
V
CSAB
=
(theo bài 6)
Mà

11
11
CSABSABC
V
SC
SC
SB
SB
SA

SA
V =
=
2
2.
3
a
Bài 2 : Cho khối trụ tam giác ABCA
1
B
1
C
1
có đáy là tam giác đều cạnh a. A
1
A =2a và A
1
A tạo
với mpABC một góc 60
0
. Tính thể tích khối tứ diện A
1
B
1
CA.
giải

A1
C1
B1

A
B
C
H
K
Gọi H là hình chiếu của A
1
trên mpABC
Khi đó A
1
H=A
1
A.sinA
1
AH=2a.sin60
0
=a.
3

Mà V
LT
=A
1
H.S
ABC
=
4
3
4
3.

.3.
32
aa
a =
nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp
khối chóp CA
1
B
1
C
1
có
111
CBCA
V
=
3
1
V
LT

khối chóp B
1
ABC có
ABCB
V
1
=
3
1

V
LT

Khối chóp A
1
B
1
CA do đó
ACBA
V
11
=
3
1
V
LT
=
4
3
a
Bài 3 :Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có AB=a,A
1

A=c,BC=b. Gọi E,F lần lượt là trung
điểm của B
1
C
1
và C
1
D
1
. Mặt phẳng FEA chia khối hộp thành hai phần. hãy tính tỉ số thể tích hai
khối đa diện đó
Bài giải
DDF
Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A
1
D
1
,A
1
B
1
,B
1
B,D
1
D lần lượt tại J,I,H,K(hv)
Gọi V
1
,V
2

lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp
Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc nhưng khi ghép
thêm hai phần chóp HIEB
1
và chóp KFJD
1
thì phần dưới là hình chóp AIJA
1
Ba tam giác IEB
1
,EFC
1
,FJD
1
bằng nhau “ c.g.c”
Theo TA-LET
3
1
1
1
1
1
==
IA
IB
AA
HB
Và
3
1

11
1 1
==
JA
JD
AA
KD

11
723
.
2
.
2
.
2
1
.
3
1

3
1
111 KFJDHIEB
V
abccba
IBEBHBV ====

8
3

.
2
3
.
2
3
.
2
1
.
3
1

2
1

3
1
1
abc
c
ba
JAAIAAV
JIAA
J
===

V
1
=

JIAA
J
V
-2.
1
HIEB
V
=
72
25
72
.2
8
3 abcabcabc
=−
V
2
= V
hh
-V
1
=
72
47abc
do vậy
47
25
2
1
=

V
V
III) BÀI TOÁN ÔN TẬP
H
K
A
D
B C
B1 C1
D1
A1
I
E
F
J
Sau khi đã trang bị phần phương pháp như vậy ta cũng giúp học sinh đưa ra cách giải một
bài toán linh hoạt bằng cả hai phương pháp để học sinh so sánh đối chiếu lựa chọn và đưa ra bài
tập ở mức độ tổng hợp
Bài 1
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) hãy tính thể tích khối tứ diện A
1
BB
1

C.
b) Mp đi qua A
1
B
1
và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F. Hãy tính thể tích chóp
C.A
1
B
1
FE.
Giải
a) Cách 1 tính trực tiếp
gọi H là trung điểm B
1
C
1
suy ra V
td
=
12
3.
2
.
2
3.
.
3
1

3
1
32
1
1
aaa
SHA
BCB
==

A
C
B
A1
B1
C1
K
H
Tương tự gọi K là trung điểm AB
Cách 2
LTABCACBCA
VVV .
3
1
1111
==
Nên
12
3.
4

3.

3
1
.
3
1
32
1
1
aa
aVV
LTBBCA
===
b) cách 1 Tính trực tiếp
gọi Q là trung điểm của A
1
B
1
,G là trọng tâm tam giác ABC
Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E=AC
∩
d và F=BC
∩
d
MpCKQ chính là mp trung trực của AB,FE
Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến mpA
1
B
1

FE
Ta có
12
13
.
126
3
,
2
3
2
222
a
a
aKGKQQG
a
GK
a
CK =+=+=⇒==
6
3.
2
3.

3
1

2
1
.

3
2
3
2
2
aa
aQKCKSS
CQKCQG
====
Mặt khác
54
3.5
12
13
.).
2
3
.(
2
1
.
13
132
.
3
1
).,(.
3
1
13

132
12
13
.
6
32
.2
),(),(
2
1
3
.
2
1111
a
a
a
a
a
SQGCdV
a
a
a
QG
S
QGCdQGCdQGS
BFEABFEAC
CQG
CQG
=+==⇒

===⇒=
Cách 2 dùng gián tiếp (sử dụng bài toán tỉ lệ thể tích )


G
A
C
B
A1
B1
C1
K
E
F
C
2
Q

54
3.
2
.
2
3.
2
1
.
3
1
.

3
2
.
3
2
.2 22
32
1111
aaa
V
CB
CF
CK
CG
VV
BCKQBCGQBBCFEA
====

Bài 2 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn,AB=a,AD=a
3
,SA=2a và SA
⊥

ABCD,
Một mp đi qua A và vuông góc với SC,cắt SB,SC,SD lần lượt tại H,I,K. Hãy tính thể tích khối
chóp S.AHIK theo a
Bài giải
Cách 1 tính trực tiếp
Ta có

aACaaaCDADAC 243
222222
=⇒=+=+=
Nên
⊥∆SAC
cân tại A mà AI
⊥
SC nên I là trung điểm SC
AI=SI=
2.
2
22
2
1
a
a
SC ==

SABBC
ABCDSASABCABBC
⊥⇒
⊥⊥⊥ )(,
Mà
SCAH
⊥
cho nên
ABC


5

2.111
22
222
a
ABSA
BASA
AH
ASABAH
=
+
=⇒+=

Trong tam giác vuông HAI có
5
6
5
4
2
2
222
aa
aAHAIHI =−=−=

Tương tự ta có
A
D
B
C
S
I

K
H
AK=
7
14a

35
3.8
)
7
14
.
7
32
5
6
.
5
2
(2.
6
1
) (
6
1
.
2
1

3

1

2
1

3
1
3
aaaaa
aV
KIAKHIAHSIKIAKSIHIAHSIVVV
SAHIK
SIKASIHASAHIK
=+=⇒
+=+=+=
Cách 2 tính gián tiếp
Tương tự như các 1 ta chỉ lập luận AH
⊥
SB, AK
⊥
SD

35
3.4
3 2.
3
1

5
4

.
2
1

2
1
.

.
3
2
2
2
2
a
aa
a
a
V
SB
SA
V
SCSB
SISH
V
SABCSABCSAHI
====
Tương tự
35
3.4

3
a
V
SAIK
=

Do đó V
SAHIK
=
35
3.8
3
a
Bài 3
Cho hai đường thẳng chéo nhau x và y. lấy đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên x,
đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên y. CMR V
ABCD
không đổi
giải
nhận xét các yếu tố không đổi a,b,góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng x và y
đặt (x,y)=
α
và d(x,y)=d
Ta dựng hình lăng trụ ABF.CED như (hv)
Khi đó d=d(x,y)=d(AB,CD)=d(AB,CDE)=d(B,CDE) hay d chính là chiều cao lăng trụ
V
LT
= d.S
CDE
=d.

2
1
CD .CE.sin
α
=
2
1
d.b.a.sin
α
mặt khác Khối lăng trụ được ghép từ 3 khối tứ diện gồm
Tứ diện BCDE có V
BCDE
=
3
1
.d(B,CDE).S
CDE
=
3
1
.V
LT
Tứ diện BACD và BAFD có thể tích bằng nhau
Do vậy V
ABCD
=
3
1
.V
LT

=
6
1
.d.a.b.sin
α
= hằng số
l
E
F
A
C
D
B
Cách 2 Dựng hình hộp, cách 3 dựng hbh “ Như hai hv sau”
H
A
G
B
E
C
C
E
A
B
D
D
F
Bài 4 Bài toán thể tích liên quan đến cực trị
Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với SA=a,AB=b, AD=c. Trong mpSDB
lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS tại M, cắt cạnh SD tại

N,mpAMN cắt SC tại K . Xác định M thuộc SB sao cho V
SAMKN
đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất,
Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó
Bài giải

G
O
D
B
S
A
C
K
M
N
Gọi O Là tâm hcn ABCD
Ta có SG=
3
2
.SO và K=A G
∩
SC và K là trung điểm SC
cba
SB
SM
V
SB
SM
V

SB
SM
V
SC
SK
SA
SA
SB
SM
V
V
SABCDSBACSMAK
SBAC
SMAK

12
1

4
1

2
1
===⇒=
Tương tự
cba
SC
SN
V
SNAK

12
1
=
Do đó
cba
SC
SN
SB
SM
V
SAMKN
) (
12
1
+
Trong mpSBD
B
S
D
O
G
H
M
N

)(
3
1
.

.
2
.
2
.
222
.
SC
SN
SB
SM
SCSB
SNSM
SCSO
SNSG
SBSO
SMSG
S
S
S
S
S
SS
SC
SN
SB
SM
S
S
SOD

SGN
SBO
SGM
SBO
SGNSMG
SBD
SMN
+=⇒
+=+=
+
==
Do M,N lần lượt nằm trên cạnh SB,SD nên
1
2
1
2
≤≤⇔≤≤
SB
SM
SBSM
SB
Đặt t=
SN
SM
(
1
2
1
≤≤ t
) thì

13
)(
3
1
.
−
=⇔+=
t
t
SC
SN
SC
SN
t
SC
SN
t
Nhận thấy V
SAMKN
đạt GTLN,GTNN nếu f(t)=
13 −
+=+
t
t
t
SC
SN
SB
SM
với

1
2
1
≤≤ t
Ta có
2
2
2
)13(
69
)13(
1
1)(
−
−
=
−
−=
′
t
tt
t
tf
Nên
0,
3
2
0)( ==⇔=
′
tttf

(loại)
f(1/2)=3/2 , f(1)=3/2 f(2/3)=4/3
do vậy V
SAMKN
=
8
abc
là GTLN khi M là trung điểm SB hoặc M trùng với B
V
SAMKN
=
9
abc
là GTNN khi MB chiếm 1 phần SB
III. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=a. Trên đường thẳngqua C và vuông góc với
mp(ABC) lấy điểm D sao cho CD=a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD
tại E. tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Bài 2 cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại C,AC=a,AB=2a,SA vuông góc với
đáy.Góc giữa mpSAB và mpSBC bằng 60
0
. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SC.
Chứng minh rằng SA vuông KH và tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 3
Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC biết
a) MpSBA vuông góc với mpSCA
b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SC và mpBMN vuông góc mpSAC
Bài 4 Cho khối lăng trụ ABC.A
1
B

1
C
1
có BB
1
=a. Góc giữa đường thẳng BB
1
và mpABC bằng
60
0
. Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC bằng 60
0
. Hình chiếu vuông góc của điểm B
1
lên
mpABC trùng với trọng tâm tam giác ABC, tính thể tích khối tứ diện A
1
ABC theo a
Bài 5 Cho khối lăng trụ đều ABC.A
1
B
1
C
1
có cạnh đáy bằng a,khoảng cách từ tâm O của tam
giác ABC đến mpA
1
BC bằng
6
a

.hãy tính thể tích khối trụ đó
Bài 6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác cân tại A,góc giữa A
1
A và
BC
1
bằng 30
0
, khoảng cách giữa chúng bằng a. Góc giữa hai mặt bên qua A
1
A bằng 60
0
. hãy tính
thể tích khối trụ
Bài 7 Cho lăng trụ xiên ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a,BC=2a. Mặt
bênABB
1
A

1
là hình thoi nằm trong mp vuông góc với đáy và hợp với mặt bên một góc
α
. hãy
tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 8 cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bầng a, cạnh bên hợp với đáy góc 60
0
, gọi
M là điểm đối xứng với C qua D. N là trung điểm SC.mpBMN chia khối S.ABCD thành hai phần.
Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó
Bài 9 cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có AB=a,BC=2a,A
1
A=a,M thuộc đoạn AD sao
cho AM=3MD.Hãy tính thể tích khối tứ diện MAB
1
C
1
,
Bài 10 Cho hlp ABCD.A
1
B
1

C
1
D
1
có cạnh a, điểm K thuộc CC
1
sao cho CK=2/3.a.Mặt phẳng (P)
qua A,K và song song với BD chia khối lập phương thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại Avà D. Tam giác SAD là tam
giác đều cạnh 2a, cạnh BC =3a. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Hãy tính thể tích khối
chóp.
Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh AB=BC=CD=1/2.AD
Tam giác SBD vuông nằm trong mp vuông góc với đáy và có các cạnh góc vuông là
SB=8a,SD=15a. hãy tính thể tích khối chóp
Bài 13 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC,ABD là hai tam giác đều cạnh a,mpADC vuông góc
mpBCD. Tính V
ABCD
.
Bài 14
Cho tứ diện ABCD, các điểm M,N,P lần lượt BC,BD,AC sao cho BC=4BM,
BD=2BN,AC=3AP. MpMNP chia tứ diện làm hai phần tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 15 Cho khối lăng trụ ABC.A
1
B
1
C
1
có các mặt bên (A
1
AB),(A

1
BC),(A
1
CA) hợp với đáy
(ABC) góc 60
0
,gócACB=60
0
,AB=a
7
,AC=2a. tính V
LT
.
Bài 16 Cho hlp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có cạnh a.Gọi M,N,P lần lượt thuộc các đoạn A
1
A,BC,CD sao
cho A
1
A=3A
1
M,BC=3BN,CD=3DP.MpMNP chia khối lập phương làm hai phần. tính thể tích
từng phần.

Bài 17 Cho tứ diện ABCD.Gọi M là trung điểm DA.Các điểm N,P thuộc BD sao cho
BN=NP=PD.Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần tứ diện cắt bởi
a) mp
α
qua MN và song song với trung tuyến AI của tam giác ABC
b) mp
β
qua MP và song song với AI
c) mp
γ
qua MN song song với trung tuyến CE của tam giác ABC
Bài 18 Cho tứ diện ABCD có AB=BD=AC=CD=
3
, Cạnh BC=x, khoảng cách giữa BC và AD
bằng y.Tính V
ABCD
theo x và y,tìm x,y để V
ABCD
đạt giá trị Max,min.
Baì 19 Trong mp(P) cho hình vuông ABCD có cạnh AB=a, tia A
x
và tia C
y
cùng vuông góc với
mp(P) và cùng thuộc nửa mp bờ AC. Lấy điểm M bất kỳ thuộc tia A
x
và chọn điểm N thuộc tia C
y

sao cho mpBDM vuông góc với mpBDN

a) Tính AM.CN theo a.
b) Xác định vị trí của điểm M để thể tích khối tứ diện BDMN đạt min.
Bài 20 Hai nửa đường thẳng Am,Bn vuông góc với nhau và nhận AB=a làm đoạn vuông góc
chung. Các điểm M,N lần lượt chuyển động trên A
m,
Bn sao cho MN=AM+BN.
a) CMR V
ABMN
không đổi, tính giá trị đó
b) Goi O là trung điểm AB,H là hình chiếu của O trên MN. CMR
NH
MH
V
V
HOBN
HOAM
=
.
HẾT