Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 tham khảo (11)

Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Ths.Phạm Huy Tân - Trờng THPT Lơng Tài
I/ Phơng pháp biến đổi tơng đơng
Ví dụ 1. Cho ab 1. Chứng minh:
Giải: Đpcm (đúng)
Bài tập áp dụng:
1.Cho a, b, c 1. Chứng minh
2. Cho a, b, c, d, e 1. Chứng minh
3.Cho Chứng minh
Ví dụ 2. Cho a, b > 0, m và n là hai số nguyên dơng. Chứng minh:
1. (a
m
+ b
m
)(a
n
+ b
n
) 2(a
m+n
+ b
m+n
)
2. a
m
b
n
+ a
n
b

m
a
m+n
+ b
m+n
Giải: Cả hai BĐT trên cùng tơng đơng với BĐT : (a
n
-b
n
)(a
m
-b
m
) 0 (đúng)
Bài tập áp dụng: Cho a, b, c dơng. Chứng minh:
1) (a + b)(a
2
+ b
2
)(a
3
+ b
3
) 4(a
6
+ b
6
)
2) với mọi n nguyên dơng
3)

4) với abc =1
Ví dụ 3. Với mọi số thực a, b, c. Chứng minh: a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca
Giải: Đpcm tơng đơng với (a - b)
2
+(b - c)
2
+ (c - a)
2
0 (đúng).
Bài tập áp dụng: Với mọi số thực a,b,c dơng chứng minh:
1) a
4
+ b
4
+ c
4
abc(a + b + c)
2) (ab + bc + ca)
2
3abc(a + b + c)
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
1
ab
ba

+

+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
0)1()(
2

abba
abc
cba
+

+
+
+
+
+
1
3
1
1
1

1
1
1
333
abcde
edcba
+

+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
55555

5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
dcba
abcd
dcba
121
4
251
1
161
1
91
1
41
1
2222
+

+
+
+

+
+
+
+
22
nn
n
baba
+









+
abc
abcacabccbabcba
1111
333

++
+
++
+
++
1

555555

++
+
++
+
++ acca
ac
bccb
bc
abba
ab
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Bài tập tự luyện
1) Cho ab>0, c . Chứng minh:
2) Cho a, b, c dơng. Chứng minh:
a)
b)
II. Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi
Ví dụ 1. CMR: với mọi x
1
,x
2
, ,x
n
dơng
Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có
và Nhân vế với vế 2 bất đẳng thức trên ta đợc
Đpcm. Đẳng thức xảy ra khi x
1

= x
2
= = x
n
.
Bài tập áp dụng:
1) Với mọi a,b,c dơng, chứng minh:
2) Với mọi tam giác ABC, chứng minh:
Chú ý : Ta xem ví dụ 1 nh một kết quả đợc áp dụng cho các ví dụ ở phần sau.
Ví dụ 2: Cho a, b, c dơng. Chứng minh:
1)
2)
Giải:
1)
Chú ý : Có thể sử dụng BĐT Bunhia để chứng minh BĐT trên.
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
2
3
22
3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba

a
++

++
+
++
+
++
2
21
21
)
1

11
)( ( n
xxx
xxx
n
n
++++++
n
nn
xxxnxxx
2121
+++
n
nn
xxx
n

xxx
11

11
2121
+++
cbacbacbacba 4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
++
++
+
++
+
++
cbacpbpap
222111
++

+

+

2
3

+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a
++

+
+
+
+

+
( )
[ ]
2
3
2
9111
)()(
2
1
)1()1()1(3







+
+
+
+
+
+++++=
+
+
++
+
+++
+

=+
VT
accbba
cacbba
ba
c
ac
b
cb
a
VT
ab
2222
bc
bc
ac
ac
+
+

+
+
3
2
22
3
ba
baba
a

++
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
2) áp dụng BĐT Côsi ta có Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh
thế. Cộng vế với vế các BĐT đó lại ta đợc Đpcm.
Chú ý : BĐT trên có thể chứng minh bằng cách sử dụng BĐT Bunhia hoặc có thể
sử dụng kết quả của BĐT 1).
Bài tập áp dụng :
1) Với mọi a, b, c dơng chứng minh:
2) Cho a, b, c dơng và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
3) Với mọi tam giác ABC chứng minh
Ví dụ 3:
1) Với mọi a, b, x, y dơng chứng minh
2) Với mọi a, b, c, x, y, z dơng chứng minh
Giải:
1)
2)
Bài tập áp dụng:
1) Cho x, y,z dơng và xyz =8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2) Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 4 : Cho x, y, z dơng và Chứng minh
Giải: Từ giả thiết và áp dụng BĐT Côsi ta có:
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
3
.
4
2
a
cb

cb
a

+
+
+
cba
bcac
ab
cbab
ac
caba
bc
2
1
2
1
2
1
222222
++
+
+
+
+
+
bcac
ab
cbab
ac

caba
bc
222222
+
+
+
+
+
2
3
33
3
33
3
33
3

+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
2
)())(( xyabybxa
+++

3
3
3
)())()(( xyzabczcybxa ++++
VPxyabxyaybxabxyb xayabVT
=+=+++++=
2
)(2)(
VPxyzabc
xyzxyzabcxyzabcabcxyzcxybzxayzacybcxabzabcVT
=+=
++++++++++=
3
3
3
3
2
3
2
)(
)(3)(3)()(
)1)(1)(1( zyxM
+++=

+












+

+=
2
sin
1
1
2
sin
1
1
2
sin
1
1
CBA
P
2
1
1
1
1
1
1

+
+
+
+
+ zyx
8

1
xyz
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Ta cũng có thêm 2BĐT tơng tự nh thế. Nhân vế với vế các BĐT đó và thu
gọn ta đợc Đpcm.
Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dơng và
Chứng minh
Ví dụ 5 : Cho x, y dơng, . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải : áp dụng Côsi ta có :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy minS = 5.
Ví dụ 6 : Cho x, y, z dơng và x+y+z = 1. Tìm min của
Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có :

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy
Bài tập áp dụng : Cho x,y, z dơng và x+y+z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
Ví dụ 7 : Cho x,y,z dơng và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có : . Ta cũng có 2 BĐT tơng tự
nh vậy. Công các BĐT đó lại ta đợc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z = 2. Vậy minA = 6.
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
4
)1)(1(
2
111
1
1
1
1
1
1

1
zy
yz
z
z
y
y
zyx ++

+
+
+
=








+
+

+

+
3
1
1
1
1
1
1
1
1

+
+
+
+
+
+
+ tzyx
81
1
xyzt
4
5
=+ yx
yx
S
4

14
+=
( ) ( )
525
4
14
425
4
11111
4








++








++++++++ S
yx
yx

yxxxx
yxxxx





=
=
4
1
1
y
x
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
=
zyx
P
( ) ( ) ( )
[ ]

4
9
3
9
9
1
1
1
1
1
1
111 =
+++







+
+
+
+
+
+++++
zyx
P
zyx
zyx

3
1
=== zyx
4
9
min =P
111 +
+
+
+
+
=
z
z
y
y
x
x
Q
yx
z
xz
y
zy
x
A
+
+
+
+

+
=
333
x
zy
zy
x
32
2
3
+
+
+
+
6A
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Bài tập áp dụng :
1) Cho x, y, z dơng và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Cho x, y, z dơng và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Ví dụ 8 : Cho x, y, z dơng. Chứng minh:
Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có: . Ta cũng có 2BĐT
tơng tự nh thế. Cộng vế với vế các đẳng thức ta đợc Đpcm
Bài tập áp dụng :
1) Cho x, y, z dơng và xyz = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Cho x, y, z dơng và xy + yz + zx = xyz. Chứng minh :
Ví dụ 9 : Cho x, y, z dơng và 4x + 4y + 4z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của
Giải : áp dụng Côsi ta có :
Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh thế. Cộng các phân thức đó lại ta đợc A3. Đẳng
thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy maxA = 3.
Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dơng và 5x+5y+5z +5t= 4. Tìm giá trị lớn

nhất của
Ví dụ 10 : Cho x, y dơng và Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2. Vậy
Bài tập áp dụng : Cho x, y dơng và x + y 4. Chứng minh:
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
5
yx
z
xz
y
zy
x
B
+
+
+
+
+
=
444
yx
z
xz
y
zy
x
C
+
+

+
+
+
=
222
4))(())(())((
333
zyx
yzxz
z
xyzy
y
zxyx
x
++

++
+
++
+
++
4
3
88))((
3
xzx
yx
zxyx
x

+
+
+
+
++
))(())(())((
333
yzxz
z
xyzy
y
zxyx
x
P
++
+
++
+
++
=
4
222
zyx
xyz
z
zxy
y
yzx
x
++

+
+
+
+
+
3
33
333 xzzyyxA +++++=
3
113
1.1).3(3
33
+++
+=+
yx
yxyx
4
1
z y x ===
4
44
444 xzzyyxB +++++=
4
+
yx
2
32
2
4

43
y
y
x
x
M
+
+
+
=
2
9
2
4
4
.
4
.
2
.3
1
.
4
2
244
21
4
3
22
=++

+
+








+++








+=
yy
y
x
x
yxyy
y
x
x
A
2

9
min =A
18
106
32 +++
yx
yx
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Ví dụ 11 : Cho x, y, z dơng và . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải :
Cách 1 :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy
Cách 2:

Chú ý: Học sinh dễ bị sai lầm tìm ra minP = 6 ?!
Bài tập áp dụng:
1) Cho x, y dơng và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Xác định các góc của tam giác ABC để biểu thức sau nhỏ nhất
Ví dụ 12 : Cho x, y, z dơng và x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2. Vậy minB = 24
Bài tập áp dụng
1) Cho x, y , z dơng và x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của
Ví dụ 13 : Cho a, b, c, d dơng. Chứng minh:
Giải:
Ta có . Ta cũng có 3 BĐT tơng tự nh
vậy. Cộng các BĐT đó lại ta đợc Đpcm.
Bài tập áp dụng : Cho a, b, c, d dơng. Chứng minh
1)

Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
6
2
3
++ zyx
zyx
zyxP
111
+++++=
( )
2
15
2
9
4443
1
4
1
4
1
4 =++++








++

++








+= zyx
z
z
y
y
x
xP
2
1
z y x ===
2
15
minP =

2
15
2
3
.36.2)(3
9
)(4
9111
P =++
++
+++=
++
++++++++= zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
xy
xyQ
1
+=
CBA
CBAM
sin
1
sin
1
sin

1
sinsinsin +++++=
333
zyxA ++=
24
72)(12.83.83.83)88()88()88(48
3
32
3
32
3
32333

=++=++++++++++=+
B
zyxzyxzyxB
666
zyxB ++=
2
sin
2
sin
2
sin
666
CBA
M ++=
33335
2
5

2
5
2
5
2
1111
dcbaa
d
d
c
c
b
b
a
++++++
335
2
3335
2
5
2
5
2
253511
abb
a
baab
a
b
a

b
a
++++
44447
3
7
3
7
3
7
3
1111
dcbaa
d
d
c
c
b
b
a
++++++
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
2)
Ví dụ 14 : Cho x, y , z dơng tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải :
Mặt khác : .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Vậy
Lời bình: Còn có thể tìm đợc 5 cách giải khác sử dụng BĐT Côsi. Mời bạn thử
sức!
Ví dụ 15 : Cho a, b,c là các số thực dơng thoả mãn điều kiện a

2
+b
2
+c
2
+abc = 4.
Chứng minh rằng a+ b + c 3.
Giải:
Cách 1: Đây là một BĐT có điều kiện. Một trong những phơng pháp xử lí những
bài toán này là khử điều kiện ngay từ đầu. Coi điều kiện a
2
+b
2
+c
2
+abc = 4 nh ph-
ơng trình bậc hai theo a, ta đợc
Một cách tự nhiên, áp dụng BĐT Côsi cho căn thức trong biểu thức trên, ta
có đánh giá
Từ đó
Cách 2: Đặt , ta có
4 = a
2
+ b
2
+ c
2
+ abc
= a
2

+ 2t
2
+ at
2
+(b
2
+ c
2
- 2t
2
) + a(bc - t
2
)
=
Từ đây suy ra sẽ có đánh giá
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
7
aa ++=++ 222t a c b a








++

++








+=
xy
z
z
zx
y
y
yz
x
xP
1
2
1
2
1
2

++








++








+=
++
+
++

++
+
++
=
z
z
y
y
x
x
xyz
zxyzxyzyx
xyz
zyxzyx
P
1
2
1
2
1
222
222222222222
2
9
2
3
2
1
2

1
2
1
2
22
++=+ P
xx
x
x
x
2
9
min =P
2
)4)(4(
22
cbbc
a
+
=
.
4
)(8
2
2
44
2
22
cb
cb

bc
a
+
=
+
+

3
4
12
4
)2(12
4
)(4)(8
22
=
+
=
+++
++
cbcbcb
cba
2
cb
t
+
=
22
2
22

)2(
4
))(2(
2 taa
cba
atta ++

+++
at 2
2
321)2.(1.2 =+++= aaaa
2222
3
5
3
5
3
5
3
5
dcba
a
d
d
c
c
b
b
a
++++++

Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Cách 3 : Từ điều kiện a
2
+b
2
+c
2
+abc = 4 ta suy ra . Từ đó áp dụng
BĐT Côsi cho các số 2 a, 2 b, 2 c ta có
Từ đó suy ra
Cách 4 : Cũng do điều kiện đã gợi chúng ta đi đến phép thế lợng
giác. Rõ ràng có thể đặt a= 2cosA và b =2 cosB, c = 2 cosC, với A, B là các góc
nhọn. Khi đó, tính c theo a, b, ta đợc
Vậy c = 2cos C với . Nh thế điều kiện a
2
+ b
2
+ c
2
+abc = 4 đã đợc
tham số hoá thành a = 2 cosA, b= 2cosB, c= 2cosC với , A, B, C> 0.
Yêu cầu của bài toán trở thành bất đẳng thức quen thuộc trong tam giác:
Đó là một lời giải ngắn gọn cho bất đẳng thức
Bài tập áp dụng: Cho x, y, z dơng và x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xyz = 1. Chứng minh

Bài tập tự luyện
1) Cho x, y dơng. Chứng minh:
2) Cho x > y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của
3) Cho x, y, z dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của
4) Cho x, y không âm và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
8
(0;2) c b, a,
(0;2) c b, a,

=++ C B A
( )
256
9
111
2









+

++
y
x
y
x
)(
1
yxxy
xA

+=








++++++++=
222
3
33
3
33
3

33
2)(4)(4)(4
x
z
z
y
y
x
xzzyyxA
11 +
+
+
=
x
y
y
x
A
.0)3612)(3(
)6()44(27
)6()4)(2)(48(27
)6())(2)(48(27
)222()2)(2)(2(27
2
32
3222
3
3
++
+

++++++++
+++++
++
sss
sss
cbacbacabcabcba
cbaabccabcabcba
cbacba
.3s
).cos(2)cos(2
2
sinsin4coscos4
2
)4)(4(
22
BABA
BABA
baab
c =+=
+
=
+
=


=++ C B A
.
2
3
coscoscos ++= CBAP

.2
3
2
1
2
sin2
2
3
2
sin21
2
sin2
2
sin21
2
cos
2
cos2
2
22









=++

=+
=
CCCCBABA
P
2
3
++ zyx
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
5) Cho x, y dơng và x + y < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
6) Cho Chứng minh
7) Cho x, y dơng và x + y = 5. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức
a) A= x
2
y
b) B = x
4
y
3
8) Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng
9) Cho a, b là các số dơng. Chứng minh rằng
III. Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia
Nội dung:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1: Cho x + y+ z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
a) A= x
2
+ y
2
+ z
2

b) B= x
4
+ y
4
+ z
4

c) C = x
8
+ y
8
+ z
8
Giải :
a) 3A = 3(x
2
+ y
2
+ z
2
) (x + y+z)
2
= 1 . Đẳng thức xảy ra khi
Vậy
b)
c)
Ví dụ 2 : Cho x, y dơng và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải : Ta có
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài

9
yx
yx
y
y
x
x
A
+
+++

+

=
1
11
22
10

xy
4
1
xyyx
2
22
3
22
3
22
3

cba
ac
c
cb
b
ba
a ++

+
+
+
+
+
)(28)(7
22
22
baba
a
b
b
a
++++
) )( () (
22
1
22
1
2
11 nnnn
bbaababa

++++++
n
n
a
b
a
b
==
1
1
3
1
A
3
1
z y x ===
3
1
minA =
9
1
minB =
27
1
minC =
2
2
11

++








+=
y
y
x
xM
2
254
1
2
111
1
2
111
2
1

2
22
=






+
+
















++=

++








+
yxyxy
y
x
xM
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy

Chú ý : Có thể chỉ sử dụng BĐT Cô si để chứng minh BĐT trên.
Bài tập áp dụng : Cho x, y, z dơng và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Ví dụ 3 : Cho a, b, c dơng và ab + bc + ca = abc. Chứng minh:
Giải: Ta có . Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh thế.
Cộng các BĐT đó và sử dụng giả thiết ta đợc Đpcm.
Bài tập áp dụng : Cho a, b, c dơng và ab + bc + ca = abc. Tìm giá trị nhỏ nhất
của
Ví dụ 4 : Cho a, b, c dơng. Chứng minh:
Giải: Ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài tập áp dụng:
1) Cho a, b, c, p, q dơng. Chứng minh:
2) Cho x, y, z dơng và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài tập tự luyện
1) Cho a, b, c dơng và a + b + c = 1. Chứng minh
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
10
2
1
== yx
2
25
min =M
222
222
111
zyx
zyxM +++++=
3
222

222222

+
+
+
+
+
ca
ac
bc
cb
ab
ba
ab
ba
ab
baa
ab
ba
3
22
22222
+

++
=
+
ac
ac
bc

cb
ab
ba
P
222222
434343 +
+
+
+
+
=
1
222

+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
.1
)(3
)(3
)(3
)(
).(3 ) 2.( )2(

2
)(
2
2
2
=
++
++

++
++

++=+++








+++
+
=++
acbcab
cabcab
acbcab
cba
VT
cabcabVTacabVTcba

cb
a
cba
qpqbpa
c
qapc
b
qcpb
a
+

+
+
+
+
+
3
yyxx
yxz
xxzz
xzy
zzyy
zyx
P
2
)(
2
)(
2
)(

222
+
+
+
+
+
+
+
+
=
6
+++++
accbba
pcpbpapp 3
++<
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
2) Với mọi tam giác ABC chứng minh
3) Cho x, y dơng và . Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x+ y
4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S = x+ y biết 2x(x 1) + 2y(y-1) 3
5) Cho x, y, z dơng. Chứng minh
6) Cho a > c > 0, b > c. Chứng minh:
7) Gọi x
0
là nghiệm của phơng trình x
2
+ ax + b = 0. Chứng minh
8) Cho . Chứng minh 3x + 4y 5.
9) Giải phơng trình
10) Với mọi tam giác ABC. Chứng minh
a)

b)
IV. Phơng pháp hàm số và các phơng pháp khác
Ví dụ 1: Cho x, y, z dơng và x + y + z = 1. Chứng minh
Giải :
Cách 1 :
Giả sử . Khi đó ta có

Lập bảng biến thiên của f(x) trên nửa khoảng ta đợc
Cách 2 :
Do (1-2x)+(1-2y)+(1-2z)=1> 0 nên trong ba số 1-2x, 1-2y, 1-2z phải có ít nhất
một số dơng. Nếu cả ba số đó đều dơng, áp dụng BĐT Côsi ta có :
Bất đẳng thức trên vẫn đúng trong các trờng hợp còn lại !?.
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
11
( )
)(
4
12
)21(
2
)()21()()2(
23
2
xf
xx
x
zy
zyxxyzzyxxyzyzxzxyVT =
++
=

+
++++=++=
1
12
=+
yx
2
2
2
2
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
++

+
+
+

+
+
abcbccac + )()(
222
0
1 bax ++<
2222
11 xyyxyx +=+
11642
2
+=+
xxxx
34
222
Scba
++
2444
16Scba
++
27
7
2 ++ xyzzxyzxy
3
1
0 < xzyx

3
1
;0
27
7
f(x)
27
7
2
27
1
8)(4)(21
27
1
)21)(21)(21(
++
+++++
xyzzxyzxy
xyzzxyzxyzyxzyx
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Bài tập áp dụng :
1) Cho x, y, z không âm và x + y + z = 1. Chứng minh
2) Cho x, y, z không âm và x + y + z =3. Chứng minh x
2
+ y
2
+ z
2

+xyz 4.
Ví dụ 2 : Cho x,y khác không và . Tìm giá trị lớn nhất của
1)
2)
Giải :
1) Đặt x=ty, từ giả thiết suy ra Do đó
. Lập bảng biến thiên của f(t) ta đợc
Vậy maxA = 4.
. Vậy maxB =16.
Bài tập áp dụng : Cho .Tìm giá trị lớn nhất của
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải: Trên mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét các điểm M(-1+x;-y) và N(1+x;y). Ta
có OM + ON MN
Lập bảng biến thiên của f(y) ta đợc
Ví dụ 4: Cho a, b, c thuộc đoạn [1;2]. Chứng minh rằng
Giải: BĐT tơng đơng với
Giả sử a b c
Đặt
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
12
4
1
30 ++ xy zzxyzxy
22
)( yxxyyx
+=+
yx
A
11
+=

33
11
yx
B +=
).1(
1
1
,
)1(
1
22

+
+
=
+
+
= t
t
tt
x
tt
tt
y
)(
1
1211
2
2
tf

tt
tt
yx
A =
+
++
=+=
4)1()(0
=<
ftf
16
)(
)(
)(
)((
11
2
3
2
3
)22
33
=
+
=
++
=+= A
xy
xyyx
xy

yxyxyx
yx
B
xyyxxyyx
+=+
2222
yx
A
12
+=
2)1()1(
2222
+++++= yyxyxB
)(2121244)1()1(
2222222
yfyyByyyxyx =+++=+++++
)
3
1
,0();(32min =+= yxB
10)
111
)(( ++++
cba
cba
7+++++
a
c
c
a

b
c
c
b
a
b
b
a
2)(22)()(
1
1
0))((
2
+++++++







++
++
++
a
c
c
a
VT
a

c
c
a
b
c
a
b
b
a
c
b
b
c
a
b
a
c
b
a
c
b
c
a
acbbcabcbba
2)
1
(2)(21, ++==
x
xxfVTx
c

a
x
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Lập bảng biến thiên của f(x) trên [1;2] ta đợc VT 7 => Đpcm.
Bài tập áp dụng: Cho a, b, c dơng và . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Ví dụ 5 : Cho . Chứng minh rằng
Giải: Đpcm .
Giả sử
Đặt
Lập bảng biến thiên của f(t) trên đoạn [1;3] ta đợc Đpcm.
Ví dụ 6: Cho x
2
+ y
2
dơng. Chứng minh rằng
Giải :
Đpcm tơng đơng với (y 0).

Đặt Đpcm tơng đơng với . Lập bảng
biến thiên của f(t) ta đợc Đpcm (Khi y = 0 thì BĐT vẫn đúng).
Ví dụ 7: Cho và a + b + c = 2. Chứng minh rằng:
Nhận xét: Ta thấy đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2 và BĐT cần chứng minh có
dạng
Trong đó f(x) = x
4
2x
3
. Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có
hoành độ x = 2 là y=8x 16. Ta hy vọng có sự đánh giá: f(x)8x 16 với
Ta có . . Vậy ta có

lời giải nh sau:
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
13
R c b, a,
2
3
++ cba
cba
cbaS
111
+++++=






3;
3
1
,, cba
5
7

+
+
+
+
+ ac
c

cb
b
ba
a
5
7
1
1
1
1
1
1

+
+
+
+
+

c
a
b
c
a
b
?!
1
1
1
2

1.
b
c
c
b
VT
c
b
c
a
a
b
cba
+
+
+
=
11
2
)(31,
2
2
+
+
+
==
t
t
t
tfVTt

c
b
t
222
4
)4(
222
22
22

+


yx
yxx
222
1
2
2
22
222
2
2
2

+

y
x
y
x
y
x
=
y

x
t
2
222
1
44
)(222
2

+

=
t
t
tf
)(2
333444
cbacba
++++
0)()()(0)2()2()2(
343434
++++
cfbfafccbbaa
Rx

xxxxxxxxxf
+=+=
0)42()2(1682)168()(
2234
Raaaa

Rxaaaaaa

+=
1682
0)42()2()168(2
34
2234
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Lời giải : Ta có :
Tơng tự ta cũng có . Cộng 3 BĐT này lại với
nhau ta có (Đpcm).
Chú ý : Vì y = 8x - 16 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x
4
2x
3
tại điểm có
hoành độ x = 2 nên ta có sự phân tích f(x) (8x - 16) = (x - 2)
k
g(x) với k 2 và
g(2)0.
Nhận xét : Nếu y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm
A(x
0

;y
0
) (A không phải là điểm uốn), khi đó tồn tại một khoảng chứa
điểm x
0
sao cho hoặc . Đẳng

thức xảy ra khi x = x
0
. Từ đây ta có : f(x
1
) + f(x
2
)+ .+ f(x
n
)a(x
1
+ x
2
+ + x
n
)
+nb ( hoặc f(x
1
) + f(x
2
)+ .+ f(x
n
) a(x
1
+ x
2
+ + x
n
) +3n, với mọi
và đẳng thức xảy ra khi . .
Nếu các biến x

i
có tổng (k không đổi) thì đợc viết lại dới dạng sau
f(x
1
) + f(x
2
)+ .+ f(x
n
) ak + nb hoặc f(x
1
) + f(x
2
)+ .+ f(x
n
) ak + nb.
Ví dụ 8 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
Nhận xét: BĐT cần chứng minh là thuần nhất nên ta có thể giả sử a+b+c = 1 mà
không làm mất tính tổng quát của bài toán.
Khi đó BĐT đã cho trở thành:
, ở đó
Bất đẳng thức đã cho xảy ra dấu = khi . Tiếp tuyến của đồ thị hàm
số y = f(x) tại điểm có hoành độ x là: y= 18x -3. Phải chăng ta có đánh giá:
(1)?!.
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
14
);(

);( x.,, x,x
n21

3
1
=
1682;1682
3434

cccbbb
048)(8)(2
333444
=++++++
cbacbacba
);( x bax f(x)

+
);( x bax f(x)

+
021
xxxx
n
====

=
=
n
i
i
kx
1

+
+
+
+
+

++
+++
accbbacbacba
111
4
1111
9
1
1
41
1
41
1
4

+










+

ccbbaa
2
1
15
)(
x
x
xf


=
9)()()(
++
cfbfaf
3
1
=== cba
0
)12()13(
3) -(18x - f(x)
2
2



=
xx
xx
<
2

1
a









2
1
;0,, cba
Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn điều kiện a+b+c = 1, giả sử a =
max{a,b,c}, khi đó 1=a+b+c>2a . . Do đó (1) đúng
Lời giải: Không làm mất tính tổng quát ta giả sử a+b+c = 1, khi đó BĐT trở
thành Vì a, b,c là độ dài ba cạnh tam giác và a+b+c = 1
suy ra . Ta có:
Ta cũng có BĐT tơng tự. Cộng các BĐT này lại với nhau ta có :
(Đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi .
Bài tập tự luyện
1) Cho .Chứng minh rằng .
2) Cho .Chứng minh rằng .
3) Cho .Chứng minh rằng
4) Cho . Chứng minh rằng
5) Cho . Chứng minh rằng
6) Cho a,b,c dơng. Chứng minh rằng

7) Cho x,y,z khác 0. Chứng minh rằng
8) Cho . Tìm giá trị lớn nhất của
Xin chân thành cảm ơn !
Thứa-Lơng Tài, ngày 05 tháng 02 năm 2009
Ths.Phạm Huy Tân - THPT Lơng Tài - ĐT: 0126.234.6595
Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài
15
3;0,,
222
=++> cbacba
99)(18
151515
222
=++


+


+


cba
cc
c
bb
b
aa
a
318

15
2
1
2
1)12()13(
)318(
15
22
2
2



<


=


a
aa
a
a
aa
aa
a
aa
a
.9
151515

222



+


+


cc
c
bb
b
aa
a
3
1
=== cba
2
1
,,0 << cba
1;0,,
222
=++>
cbacba
( )
32
111
++

++ cba
cba
( )
7
3
4111
+++++ cba
cba
1;
4
3
,, =++

cbacba
10
9
111
222

+
+
+

+
+ c
c
b
b
a
a
3;0,, =++> cbacba
cabcabcba
++++
1;0,, =++> cbacba
10
9
111

+
+
+
+
+ ab
c
ca
b
bc
a
( )
( )
( )
( )
( )

( )
5
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2

++
+
+
++
+
+
++
+
cba
cba
bac
bac
acb
acb
1
)(2
2

)(2
2
)(2
2
22
2
22
2
22
2

++
+
++
+
++ yxz
z
xzy
y
zyx
x
15
22
=+ yx
22
2 yxyxS ++=
BÊt ®¼ng thøc vµ cùc trÞ cña hµm ®a biÕn
Ths. Ph¹m Huy T©n – Trêng THPT L¬ng Tµi
16