Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8

Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o quÕ s¬n
Tµi liÖu båi dìng
m«n h×nh häc 8
( Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái )
Lu hµnh néi bé
1
Kính Thầy giáo, Cô giáo giảng dạy bộ môn Toán cấp THCS trong toàn huyện !
Nhằm giúp qúy Thầy giáo, cô giáo có một tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi,
học sinh năng khiếu bộ môn toán của cấp Trung học cơ sở phù hợp, bộ phận
chuyên môn Phòng GD&ĐT Quế Sơn trên cơ sở tham khảo ý kiến của các thầy
cô giáo có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy bộ môn, biên soạn bộ tài liệu “ Tài
liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ môn Toán - Cấp THCS”. “Tài liệu bồi dưỡng học
sinh giỏi môn Hình Học 8 “ là tập tài liệu trong bộ tài liệu nói trãn.
Để có thể sử dụng bồi dưỡng ở cấp trường, tài liệu không chia thành các
chuyên đề mà được phân bố theo chương trình của sách giáo khoa . Tuy vậy, để
khỏi manh mún, các nội dung được trình bày theo chủ đề kiến thức chứ không
theo từng bài . Nội dung hình học 8 được tài liệu phân thành sáu chủ đề sau :
I. Tứ giác, hình thang.
II. Hình bình hành .
III. Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông .
IV. Đối xứng trục, đối xứng tâm .
V. Định lý Thalet và tam giác đồng dạng .
VI. Hệ thức lượng trong tam giác - Định lý Pitago.
Với mỗi chủ đề kiến thức bài tập được phân thành sáu loại cơ bản :
1. Bài tập về vị trí tương đối của điểm, đường thẳng .
- Chứng minh thẳng hàng .
- Chứng minh song song, vuông góc . . .
- Chứng minh đồng quy.
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
- Chứng minh sự bằng nhau của góc, đoạn thẳng .
- Chứng minh một tam giác là cân, đều. Một tứ giác là hình thang cân

,hình bình hành, hình thoi, hình vuông . . . .
3. Bài tập tính toán .
- Tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng, các bài toán về diện tích .
4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .
5. Bài toán cực trị hình học .
- Bài toán về bất đẳng thức, Xác định hình hình học để một đại lượng nào
đó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất .
6. Các bài toán tổng hợp .
Có lẽ tập tài liệu chưa đáp ứng một cách đầy đủ những yêu cầu của quí
thầy giáo, cô giáo. Bộ phận chuyên môn Phòng GD&ĐT Quế Sơn rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp chân thành để có thể sửa chữa bổ sung những gì còn
thiếu sót.
Hy vọng tập tài liệu giúp ích phần nào đó trong công tác bồi dưỡng học
sinh giỏi bộ môn Toán của quý thầy cô.
Bộ phận chuyên môn THCS.
I. Tø gi¸c, h×nh thang :
2
1. Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng .
Bài toán 1a :
Cho hình thang ABCD (AB//CD) trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bên
BC và AD . Hai đờng phân giác của hai góc A ,B cắt nhau tại K. Chứng minh
C,D,K thẳng hàng .
HD :
Gọi K là giao điểm của phân giác góc A với DC .Dễ dàng chứng minh đợc
DAK cân tại D.
Từ AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA
BK là phân giác của góc B .
Đpcm.
TIP : Bài này có thể c/m theo hớng : - Gọi K là giao điểm của hai phân giác các
góc A và B . C/m KC + KD = DC => K thuộc DC => đpcm .

Bài toán 1b :
Cho tứ giác ABCD. Gọi ABCD theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác
BCD, ACD, ABD, ABC . Chứng minh rằng các đờng thẳng AA, BB, CC,DD
đồng quy .
HD : Gọi E,F lần lợt là trung điểm của AC, BD ; I là trung điểm của EF ; J là
trung điểm của AC .
- Tam giác CAA có EJ là đờng trung bình nên EJ//AA.
- Tam giác FEJ có AA qua trung điểm A của FJ và // với EJ nên AA qua trung
điểm I của FE.
- Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc BB, CC,DD qua I
- Các đờng thẳng trên đồng quy tại I .
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2a :
3
A
B
KD C
D
C
A
B
F
A
J
E
I
Cho tam giác ABC trong đó AB < AC. Gọi H là chân đờng cao kẻ từ đỉnh
A. M,N,P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC . Chứng minh rằng tứ giác
NMPH là hình thang cân .
HD : - MNHP là hình thang

- MP = AC/2 ( Đờng TB )
- HN = AC/2 ( Đờng TT )
đpcm
Bài toán 2b :
Cho tứ giác ABCD có AD=BC. M,N lần lợt là trung điểm của AB và DC. Đ-
ờng thẳng AD cắt đờng thẳng MN tại E. Đờng thẳng BC cắt đờng thẳng MN tại F.
Chứng minh AEM = BFM .
HD :
- Gọi I là trung điểm của BD.
- Chứng minh tam giác IMN cân tại I ( IM = IN = AD/2=BC/2).
- IM // DE và IN //CF
đpcm .
3. Bài tập tính toán .
Bài toán 3a :
Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau tại E. Hai cạnh
AB và DC kéo dài cắt nhau tại M. Hai phân giác của hai góc CED và BMC cắt
nhau tại K . Tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác .
HD :
Trong tam giác MKE đợc MKE = 180
0
- (KMD +KED+DME+DEM)
4
D
N C
A
B
E
F
M
I

M
K
A
EB C
D
B C
A
H P
M
N
DME+DEM = 180
0
- D .
KMD = (180
0
- C - B)/2
KED = (180
0
-A-B)/2
Thay vào ta đợc : MKE = 180
0
-((180
0
-C-B +180
0
-A-B )/2 +180
0
-D)
= (360
0

-360
0
+A+C+2B - 360
0
+2D)/2
= (A+B+C+D+B+D-360
0
)/2= (B+D)/2
Bài toán 3b :
Cho hình thang ABCD. M,N lần lợt là trung điểm của hai đáy AD và BC.
O là điểm thuộc MN. Qua O kẻ đờng thẳng song song với đáy hình thang . Đờng
thẳng này cắt AB,CD lần lợt tại E,F. Chứng minh rằng OE=OF .
HD : Chứng minh S
BNMA
= S
NCDM
(Do có tổng hai đáy và chiều cao bằng nhau ).
Chứng minh S
BEN
=S
NFC
và S
EAM
= S
FMD
để đợc S
EMN
=S
FMN

Từ đó có EH = FI ( với EH, FI lần lợt là hai đờng cao của hai tam giác
OE =OF
4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .
Bài toán 4a :
Cho tứ giác lồi ABCD . Hãy dựng đờng thẳng qua đỉnh A chia tứ giác thành
hai phần có diện tích bằng nhau .
Phân tích :
Giả sử AM là đờng thẳng cần dựng . Lấy điểm E đối xứng với D qua M.
AE cắt BC tại I .
Có : S
ADM
= S
ABCM
= S
AME
=> S
ABI
= S
CEI
S
ABC
= S
EBC
=> BE// AC.
Cách dựng :
- Dựng đờng chéo AC.
5
A
B
C

D
M
E
I
B
C
A
D
E
F
N
M
O
H
I
- Từ B dựng đờng thẳng song song với AC cắt AC tại E.
- Lấy M là trung điểm của DE.
- AM là đờng thẳng cần dựng .
TIP : Thực chất của phép dựng trên là biến đổi hình thang về một tam giác tơng đ-
ơng ( có diện tích bằng diện tích hình thang ). Để chuyển bài toán về bài tập dựng
trung tuyến của tam giác . Sau đây là bài tập áp dụng việc biến đổi trên .
Bài toán 4b : Cho tứ giác ABCD . I là điểm bất kỳ của AB . Qua I hãy dựng đờng
thẳng chia tứ giác làm hai phần có diện tích bằng nhau .
Phân tích :
Giả sử đã dựng đợc IJ . Sử dụng phơng pháp biến đổi về tam giác tơng đ-
ơng .Ta có các bớc phân tích :
Xác định điểm F trên tia DC sao cho S
IJCB
= S
IJF

. Lúc đó S
BIC
= S
FIC
.Suy ra
BF//IC .
Xác định điểm E trên tia CD sao cho S
IJAD
= S
IJE
. Lúc đó S
AID
= S
EID
.Suy ra
AE//ID .
Rõ ràng J là trung điểm của đoạn thẳng EF .
Cách dựng :
- Qua A dựng đờng thẳng song song với ID cắt DC tại E. Qua B dựng đờng
thẳng song song với IC cắt DC tại F.
- Dựng J là trung điểm của EF . IJ là đờng thẳng cần dựng .
5. Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5a :
Cho tứ giác lồi ABCD . Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho MA + MB +
MC +MD đạt giá trị nhỏ nhất .
Giải :
Cách 1: Gọi O là giao điểm hai đờng chéo . M O thì MA +MB +MC+MD đạt
giá trị nhỏ nhất .
Thật vậy, M O ta có :
MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD .

Với M bất kỳ trong tứ giác ta có :
MA +MC AC
6
A
D
E
B
C
F
I
J
MB + MD BD
MA +MB +MC +MD AC + BD.
MA +MB +MC +MD nhỏ nhất lúc M O D
Cách 2 : Với ba điểm M; A; C ta có : MA +MC AC . C
Dấu = xảy ra lúc M[AC] M O
Với ba điểm M; B; D có MB + MD BD .
Dấu = xảy ra lúc M [BD]
MA + MB +MC +MD AC + BD A B
Dấu = xảy ra lúc M[AC] và M[BD]
M O ( Với O là giao điểm hai đờng chéo ) .
Bài toán 5b :
Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ
giác lồi không lớn hơn nửa tổng hai cạnh còn lại .
Giải :
Gọi I là trung điểm của AC ta có : C
MI = BC / 2 B
IN = AD / 2 I
MI + IN = ( BC +AD)/ 2 M N
Lại có với ba điểm M,I,N thì MI + IN MN

MN (BC + AD) / 2 =>đpcm . A
D
II. Hình bình hành :
1. Các bài toán về vị trí tơng đối :
Bài toán 1a :
Cho tam giác ABC . O là một điểm thuộc miền trong của tam giác . Gọi
D,E,F lần lợt là trung điểm các cạnh AB,BC,CA và L,M,N lần lợc là trung điểm
của OA,OB,OC .
Chứng minh EL, FM, DN đồng quy .
Giải :
Dựa vào tính chất của đờng trung
bình chứng minh các tứ giác LFEM ,
NEDL là hình bình hành .
đpcm
Bài toán 1b :
7
A
B C
D
E
F
L
N
O
M
Chứng minh rằng : trong một tam giác ba đờng cao đồng quy .
HD : - Dễ dàng chứng minh ba đờng trung trực trong một tam giác đồng quy
bằng cách dựa vào tính chất đờng trung trực của đoạn thẳng .
- Từ ba đỉnh của tam giác ABC đựng các đờng thẳng song song với cạnh
đối diện . Các đờng thẳng này đôi một cắt nhau tại MNP .

- Các tứ giác BCNA và BCAM là các hình bình hành nên HA là đờng trung
trực của MN .
- Tam giác MNP nhận các đờng cao của tam giác ABC làm các đờng trung
trực .
- Các đờng trung trực của tam giác MNP đồng quy hay các đờng cao của
tam giác ABC đồng quy .
2. Các bài toán chứng minh sự bằng nhau :
Bài toán 2a:
Cho tứ giác ABCD. E,F lần lợt là trung điểm của AB, CD. M,N,P,Q lần lợt
là trung điểm của AF, CE, BF, DE. Chứng minh rằng MN = PQ .
HD :
Chứng minh tứ giác MNPQ có hai đờng chéo giao nhau tại trung điểm của
mỗi đờng ( Chính là trung điểm của EF ).
8
A
B
C
D
E
F
M
N
P
Q
A
B
C
M
N
P

H
Bài toán 2b :
Cho tứ giác ABCD .Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC ;
G là đỉnh thứ t của hình bình hành CADG ; H là đỉnh thứ t của hình bình hành
CABH .
a. Chứng minh BD // GH .
b. Chứng minh HD = 2EF .
HD :
a. BDGH là hình bình hành do BH và DG cùng song song và bằng AC =>đpcm .
b. Gọi I,J lần lợt là trung điểm của CD và CH . Chứng minh EIJF là hình bình
hành => đpcm.
3. Các bài tập tính toán :
Bài toán 3a :
Cho hình bình hành ABCD có ADC = 75
0
và O là giao đIểm hai đờng
chéo . Từ D hạ DE và DF lần lợt vuông góc với AB và BC . (E thuộc AB, F thuộc
BC ) . Tính góc EOF .
Có O là trung điểm của DB .
Từ đó có đợc OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền ).
EOD = 2EBO ( Vì EOB cân tại O ).
DOF = 2FBO ( Vì FOB cân tại O )
Cộng hai đẳng thức trên để đợc : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF .
Do EBF = ADC nên EOF = 2ADC = 2.75
0
= 150
0
.
9
A

B
C
D
E
F
O
D
A
E
F
C
H
G
B
J
I
Bài toán 3b :
Cho tam giác đều ABC. Một đờng thẳng song song với BC cắt AB,AC lần l-
ợt tại D và E . Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE, I là trung điểm của CD. Tính
số đo các góc của tam giác GIB .
HD : Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng này cắt DE tại K.
- Tứ giác DBCK là hình bình hành nên BK cắt DC tại trung điểm I của DC .
- Chứng minh hai tam giác DBG và EKG bằng nhau .
- Từ đó có đợc GIB =90
0
và BGI = BGK/2 = DGE/2
- Có DGE = 120
0
( Do ADE đều ) nên BGI = 60
0

và GBI = 30
0
.
4. Các bài toán quỹ tích, dựng hình
Bài toán 4a :
Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC
lấy điểm E sao cho DA=CE. Tìm quỹ tích trung điểm I của DE khi D di động trên
cạnh AB .
Bài toán 4b :
Cho góc nhọn xAy và O là điểm thuộc miền trong của góc . Dựng trên Ax
điểm M và trên Ay điểm N để :
a. O là trung điểm của MN .
b. OM =2ON.
Giải :
10
B C
A
K
I
G
D
A
E
O
O
A
B
C
E
D

I
x
a. C
1
:( Dựa vào kiến thức về hình bình hành )
Phân tích :
Gọi O là điểm đối xứng của A qua O . Khi O là trung điểm của MN thì tứ
giác AMON là hình bình hành .
Cách dựng :
- Dựng O đối xứng với A qua O.
- Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax tại M
- Dựng đờng thẳng qua O song song với Ax cắt Ay tại N
C
2
:( Dựa vào kiến thức về đờng trung bình )
Phân tích :
Khi O là trung điểm của MN thì đờng thẳng qua O song song với Ay sẽ cắt
Ax tại trung điểm của AN .
Cách dựng :
- Dựng đờng thẳng qua O song song với Ay cắt Ax tại O
1
. Trên tia Ax dựng
M sao cho O
1
là trung điểm của AM.
- Tơng tự trong cách dựng N .
b.
(x)
N
1

(y)
HD : Xem O là trọng tâm của tam giác => xác định đợc D là chân đờng trung
tuyến xuất phát từ A => Quy về bài toán 3a để giải .
5. Các bài toán cực trị :
Bài toán 5a :
Cho tam giác ABC có AM là đờng trung tuyến . Chứng minh rằng :
AB + AC 2AM .
Giải : Lấy A
1
là điểm đối xứng của A qua M ta có : A
ABA
1
C là hình bình hành .
BA
1
= AC và AA
1
= 2AM
AB +AC = AB + BA
1
. B C
Lại có : AB + BA
1
> AA
1
M
11
A
O
M

N
M
N
y
D
AB + AC > AA
1
=2AM => đpcm A
1
Bài toán 5b :
Chứng minh rằng, trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ hơn thì
lớn hơn .
A
M N
B I H C D
Kẻ ND //MC (DBC) ; NI //AB (IBC)
Dễ dàng chứng minh đợc : MC = ND.
MN = BI =CD .
Giả sử AB <AC => NI <NC => HI <HC ( Quan hệ hình chiếu đờng xiên )
HI + IB < HC + CD => HB < HD
NB < ND => NB < MC .
Bài toán 5c :
Một con kênh có hai bờ song song. P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía
con kênh. Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng đi từ P đến Q nhỏ
nhất .
HD : Dựng hình bình hành NMPP ta đợc :
PM + MN + NQ = PP + PN + NQ
Do PP = const . Để PM + MN + NQ nhỏ nhất thì PN +NQ nhỏ nhất .
P,N,Q thẳng hàng .
Dễ dàng suy ra cách dựng .

12
P
Q
N
M
P
II . Hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông :
1. Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng .
Bài toán 1a :
Cho hình chữ nhật ABCD . Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm
của AH, K là trung điểm của CD. Chứng minh BM vuông góc với MK .
HD : - Kẻ MI // AB ( I thuộc BH )
- Chứng minh ICKM là hình bình hành => IC//MK
- Chứng minh I là trực tâm của tam giác CBM => CI vuông góc với BM
MK vuông góc với BM.
Bài toán 1b :
Cho tam giác ABC có AD là đờng cao . Về phía ngoài của tam giác dựng
các hình vuông ABEF và ACGH . Chứng minh rằng AD,BG,CE đồng quy .
HD: Dựng hình bình hành FAHI .Chứng minh hai tam giác ABC và HIA bằng
nhau để đợc :
IAH = BCA .
IA = BC
Từ IAH = BCA chứng minh IAD thẳng hàng .Hay ID là đờng cao của tam
giác IBC .
13
A D
CB
H
M
K

I
A
B D C
G
E
F
I
H
Từ IA = BC cùng với IAH = BCA chứng minh hai tam giác IAC và BCG
bằng nhau . Đợc CBG = AIC cùng với IA vuông góc với BC đợc BG vuông góc với
IC
Tơng tự chứng minh đợc CE vuông góc với IB .
đpcm ( Tính chất ba đờng cao trong tam giác )
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2a :
Cho hình vuông ABCD . Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,AD . BN,
CM cắt nhau tại P. Chứng minh rằng DP =AB .
HD : Gọi I là giao điểm của hai đờng thẳng BN và CD . Dễ dàng chứng minh đ-
ợc IC = 2AB.
Hai tam giác MCB và NBA bằng nhau đồng thời AB vuông góc với BC nên
CM vuông góc với NB .
Tam giác vuông PIC có PD là trung tuyến nên PD = IC/2 = AB ( đpcm )
Bài toán 2b:
Cho hình vuông ABCD . Về phía trong của hình vuông dựng tam giác cân
FAB (FA=FB) sao cho FAB = 15
0
. Chứng minh tam giác FDC là tam giác đều .
HD :
C
1

:
Dựng về phía ngoài của tam giác
tam giác đều ABF. Các tam giác FAF và
FBF bằng nhau từ đó chứng minh đợc
tam giác FAF cân tại F (Hai góc đáy
bằng 75
0
) => FF = FA = AB.
Tứ giác ADFF có DA song song
và bằng FF nên nó là hình bình hành .
DF = FA = AB
Tơng tự cũng có CF = FB = AB
Tam giác FDC đều
C
2
: Dựng I phía trong tam giác sao cho IBC =ICB =15
0
. CI cắt FB tại J.
Có : BI = BF (Do cách dựng ) và FBI = 90
0
-(15
0
+15
0
) = 60
0
. nên tam giác
FBI đều .
IJB = 15
0

+ 15
0
= 30
0
nên CJ là trung trực của FB => CF = CB.
Tơng tự ta cũng có DF = DA =>đpcm .
14
A
B
D
C
P
M
N
I
A B
CD
F
F
I
J
3. Bài tập tính toán .
Bài toán 3a :
Cho hình vuông ABCD . E là điểm bất kỳ trên AB. Phân giác của góc CDE
cắt BC tại K . Chứng minh rằng CK + EA = DE
Giải :
HD : Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = AE .
Chứng minh đợc hai tam giác ADE và CDE bằng nhau để đợc :
- DE = DE (1)
- EDA = EDC (2)

Có DK là phân giác góc EDC và (2) . Chứng minh đợc KDE = KDA
Lại có : KDA = EKD
Tam giác EDK cân tại E
ED = EK
DE = EK = AE + KC đpcm )
Bài toán 3b :
Cho hình vuông ABCD . Lấy các điểm E,F thứ tự thuộc các cạnh AD,AB
sao cho AE=AF . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BE . Tính góc CHF

HD : Gọi K là giao điểm của AH với DC . O là giao điểm của BK và FC .
- Chứng minh đợc FBCK là hình chữ nhật .
- Tam giác vuông BHK có HO là trung tuyến nên HO = BK/2 = FC/2
- Tam giác FHC có trung tuyến HO bằng nửa FC nên nó vuông tại H. Hay góc
FHC = 90
0
.
15
A
B
C
D
E
K
E
A
D
E
K C
H
O

F B

4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .
Bài tập 4a :
Dựng hình vuông ABCD biết tâm O của hình vuông, điểm M thuộc cạnh
AD và điểm N thuộc cạnh BC .
HD :
Phân tích : Giả sử hình đã dựng đợc ta có :
- Điểm đối xứng của M qua O thuộc cạnh BC (M) .
- Điểm đối xứng của N qua O thuộc cạnh AD (N).
- Đờng thẳng qua O vuông góc với MM cắt AB ở E và DC ở F. Dễ dàng
chứng minh đợc OE =OF =OM
Cách dựng :
- Dựng M đối xứng với M qua O .
- Dựng N đối xứng với N qua O .
- Dựng đờng thẳng d vuông góc với MM . Trên d lấy E,F sao cho OE=OF=
OM .
- Dựng các đờng thẳng MN, NM
- Qua E dựng đờng thẳng vuông góc với MN cắt MN tại A và NM tại B
- Qua F dựng đờng thẳng vuông góc với MN cắt MN tại D, và NM tại C
- ABCD là hình vuông cần dựng .
. . . . . . .
TIP : Thay đổi việc cho các điểm M,N ta có nhiều bài tập xung quanh bài tập này .
Bài toán 4b :
Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên đoạn thẳng đó .Trên cùng một nửa
mặt phẳng bờ AB dựng các hình vuông ACDE và CBGH . Các hình vuông này có
tâm lần lợt là O
1
,O
2

. Tìm quỹ tích trung điểm I của O
1
O
2
khi C chạy trên AB .
HD :
Hạ O
1
M,IJ,O
2
N vuông
góc với AB
O
1
MNO
2
là hình thang có IJ là đờng
16
A
-
B
D
C
M
O
N
N
M
F
-

E
-
C
DE
G
H
O
1
O
2
I
trung bình nên IJ = (O
1
M +O
2
N)/2
= (AC + CB)/ 4 =const
I di chuyển trên phần đờng
thẳng song song với AB cách AB một đoạn bằng AB/4.
Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5a :
Cho hình vuông ABCD Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông (có bốn đỉnh
nằm trên bốn cạnh của hình vuông). Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để nó có
chu vi nhỏ nhất .
Giải : B N C
Gọi E,F,G lần lợt là trung điểm của
MN; NQ; PQ ta có :
MN = 2BE. E F
NP = 2GF. G P
QM = 2EF M

QP = 2GD
A Q D
MN + NP +PQ+QM = 2(BE +EF+FG+GD) 2BD
Dấu = xảy ra lúc E,F,G BD .
E BD => MN//AC => MBN vuông cân tại B
G BD => PQ//AC => PDQ vuông cân tại D
Từ (1) và F BD => NM =PQ
Tứ giác MNPQ thoả ba điều kiện trên thì có chu vi nhỏ nhất .
Bài toán 5b :
Cho tam giác vuông tại A. M là điểm bất kỳ thuộc BC . D,E lần lợt là hình
chiếu vuông góc của M lên AB, AC . Xác định M để DE nhỏ nhất, lớn nhất .
A
Giải :
Tứ giác ADME là hình chữ nhật .
DE = AM . D E

B M C
a. Để DE nhỏ nhất thì AM vuông góc với BC .
b. Để DE lớn nhất
Nếu AB >AC thì M B
Nếu AC >AB thì M C
Nếu AB =AC thì M B hoặc M C .
Bài toán 5c :
17
A BJM N
Cho hình vuông ABCD ; M là điểm bất kỳ trên cạnh AB . Đờng vuông góc
với CM tại C cắt đờng thẳng AB tại K . Tìm ví trí của M để đoạn MK có giá trị
nhỏ nhất .
Giải : Gọi I là trung điểm của MK A M B I K
MK = 2CI

(quan hệ trung tuyến cạnh huyền )

Để MK nhỏ nhất => CI nhỏ nhất => I B . Lúc đó CI vừa là trung tuyến
vừa là đờng cao => MCK vuông cân .
MCB = 45
0
=> M A .
Bài toán 5d :
Cho đoạn thẳng AB = a. C là điểm bất kỳ trên AB . Vẽ các hình vuông
ACDE; CBFG . Xác định vị trí của điểm C để tổng diện tích hai hình vuông trên
đạt giá trị nhỏ nhất .
G F
Giải :
Đặt AC = x => CB = a-x .
S
ACDE
+ S
CBFG
= x
2
+ (a-x)
2
E D
= 2(x -a/2)
2
+ a
2
/2 a
2
/2

Dấu = xảy ra lúc x =a/2 .
A C B
C là trung điểm của AB
6. Các bài toán tổng hợp
Bài toán 1b :
Cho tam giác ABC . Về phía ngoài của tam giác dựng các hình vuông
ABGH , ACEF và BCIJ. Gọi O
1
,O
2
, O
3
lần lợt là tâm các hình vuông . M là trung
điểm của BC, D là trung điểm của HF.
a. Chứng minh O
1
MO
2
là tam giác vuông cân .
b. Tứ giác DO
1
MO
2
là hình vuông .
c. Chứng minh HF = 2AM .
d. Chứng minh AD vuông góc với BC và AM vuông góc với HF
e. Chứng minh O
1
O
2

= AO
3
.
18
D
C
A
B
C
O
2
O
1
M
G
H
E
F
D
I
J
O
3
A
P
Q
N
K
(1)
HD :

a. Chứng minh hai tam giác HAC và BAC bằng nhau để đợc :
- HC = BF
-AHC = ABF cùng với AH vuông góc với AB đợc HC vuông góc với BF .
O
1
M và O
2
M lần lợt là hai đờng trung bình của hai tam giác BHC và BCF
nên : - O
1
M song song và bằng nửa HC; O
2
M song song và bằng nửa BF
Kết hợp các kết luận trên để đợc điều cần chứng minh .
b. Tứ giác DO
1
MO
2
là hình vuông .
Tơng tự ta chứng minh đợc O
1
DO
2
là tam giác vuông cân tại D từ đó suy ra
đpcm.
c. Gọi A là điểm đối xứng của A qua M .Ta chứng minh đợc BA song song và
bằng AC => BA vuông góc và bằng AF .
Lại có BA vuông góc và bằng AH nên hai tam giác HAF và ABA bằng
nhau => HF = AA = 2AM.
d. Hạ HP và FQ vuông góc với đờng cao từ AN của tam giác ABC.

-Chứng minh hai tam giác HQA và ANB bằng nhau => HQ=AN
-Chứng minh hai tam giác FPA và ANC bằng nhau => FP=AN
HQ = FP
Từ đó chứng minh HQFP là hình bình hành => AN qua trung điểm D của
HF.
Với tam giác AHF ta có điều ngợc lại AM vuông góc với HF .
e. Gọi K là trung điểm của AC ta có :
KA = O
2
K
O
1
K = O
3
K
O
1
KO
2
= AKO
3
Hai tam giác O
1
KO
3
, O
3
KA bằng nhau
Đpcm
III . Đối xứng trục và đối xứng tâm :

1. Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng .
Bài toán 1a :
Cho tam giác nhọn ABC có AH là đờng cao . Gọi E,F lần lợt là điểm đối
xứng của H qua các cạnh AB,AC . Gọi M,N lần lợt là giao điểm của EF với
AB,AC. Chứng minh rằng MC AB và NB AC .
19
Giải :
Tam giác MNH có AM,AN là phân giác
ngoài của hai góc M,N nên AH là
phân giác của góc MNH
Do CH AH nên CH là phân giác
ngoài của góc MNH.
Tam giác MNH có CN,CH là phân giác
ngoài của hai góc N,H nên CM là phân giác trong của góc HMN .
CM MB ( Vì MB là phân giác ngoài của HMN ) .Hay CM AB .
Tơng tự chứng minh đợc NB AC
Bài toán 1b :
Cho tam giác ABC và P là điểm bất kỳ . Gọi M,N,Q lần lợt là trung điểm
của AB,AC,BC . Gọi A,B,C lần lợt là điểm đối xứng của P qua Q,N,M . Chứng
minh AA,BB,CC đồng quy .
Giải :
Chứng minh ABAB là hình bình hành :
Các đoạn thẳng AB và BA cùng song song và bằng PC .
Tơng tự chứng minh đợc CACA là hình bình hành
đpcm
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2a :
Cho góc nhọn xOy có Ot là tia phân giác . M là điểm thuộc miền trong của
góc . M
1

, M
2
lần lợt là điểm đối xứng của M qua Ox và Oy .
a. Chứng minh O thuộc đờng trung trực của M
1
M
2
.
b. Gọi Oz là tia thuộc đờng trung trực M
1
,M
2
.Chứng minh rằng MOx nhận Ot
làm phân giác .
Giải :
a. M
1
O = MO
M
2
O =MO
M
1
O = M
2
O
O thuộc đờng trung trực của đoạn
thẳng M
1
M

2
20
A
O
B
M
1
C
M
M
x
H
t
N
y
E
z
F
A
B
C
A
C B
P
b. Có zOM
2
= zOM
1
= xOy
zoy + yOM

2
= zOy + yOM = xOy
zOy + zOy + xOM = xOy
zOy = Mox
MOt = tOz ( Do xOt = tOy )
Ot là tia phân giác của góc MOz .
4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình .
Bài toán 4a :
Một con kênh có hai bờ song song. P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía
con kênh. Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng đi từ P đến N bằng
đoạn đờng từ Q đến M (N nằm bờ kênh phía P và M nằm bờ kênh phía Q) .
HD :
PT : - Giả sử dựng đợc P . Gọi P là đỉnh thứ t của hình bình hành PNMP .Lúc
đó PN = PM => PM=MQ => M thuộc trung trực của PQ .
CD : -Dựng P sao cho PP vuông góc với bờ kênh và chiều dài của PP bằng
chiều rộng của bờ kênh .
- Dựng trung trực (d) của PQ . d cắt bờ kênh phía Q tại M . Từ đó dựng N .
Bài toán 4b :
Dựng tứ giác ABCD biết DA=AB=BC và biết ba trung điểm E,F,G của
DA,AB, BC. (d
1
) (d
2
)
HD :
A nằm trên đờng trung trực của EF .B nằm trên đờng trung trực của FG .
Cần xác định AB lần lợt trên hai đờng này để AB nhận F làm trung điểm . Bài
toán đợc quy về bài toán 3a .
Bài toán 4c :
Cho tam giác ABC , P là điểm nằm trong tam giác . Dựng M trên AB, N

trên AC để tam giác MPN cân tại P và MN // BC .
HD : Giả sử hình dựng đợc , lúc đó
21
M
2
E
F
G
D
A
C
B
P
P
Q
N
M
d
M đối xứng với N qua trục là đờng
thẳng (d) qua P vuông góc với MN .
Do MN//BC nên (d) vuông góc
với BC .
Đờng thẳng đối xứng với đờng
thẳng AB qua trục (d) cắt đờng
thẳng AC tại N .
Nên có cách dựng :
- Dựng (d) qua P và vuông góc với BC .
- Dựng đờng thẳng đối xứng với đờng thẳng AB qua trục (d) ,đờng thẳng này cát
đờng thẳng AC tại N .
- Dựng M đối xứng với N qua (d)

- Tam giác PMN là tam giác cần dựng .
5. Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5a : ( Bài toán con chim )
Trong mặt phẳng P cho đờng thẳng d hai điểm A,B nằm cùng một nửa mặt
phẳng bờ . Xác định trên d điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất .
Giải :
a. Trờng hợp A,B nằm ở một nửa mặt phẳng : B
Gọi A
1
là điểm đối xứng của A qua trục (d) A
MA +MB = MA
1
+ MB A
1
B .
Dấu = xảy ra lúc M[A
1
B]. (d)
M là giao điểm của A
1
B và d . M
TIP : Thay đổi vị trí tơng đối của A,B so với d
ta đợc một số bài toán khác cần giải quyết
Bài toán 5b :
Cho hai điểm cố định A,B cùng nằm trên mặt phẳng bờ d. Tìm trên d hai
điểm M,N sao cho :
- MN = l cho trớc .
- Tứ giác BNMA có chu vi nhỏ nhất .
Bài toán 5c :
Cho góc nhọn xOy và một điểm M thuộc miền trong của góc. Xác định

trên Ox điểm A và trên Oy điểm B sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất .
Giải : M
1
Gọi M
1
, M
2
lần lợt là hình chiếu
22
A
M N
B C
B
A
B
NM
A
d
P
A
1
của M qua trục Ox; Oy . A M
MA + AB +BM = M
1
A +AB +BM
2
M
1
M
2

Dấu = xãy ra khi A,B M
1
M
2
. O
A là giao điểm của M
1
M
2
với Ox. B
B là giao điểm của M
1
M
2
với Oy
M
2
TIP: Bằng cách ràng buộc thêm các điều kiện của điểm M : M chạy trên một
đoạn thẳng; chạy trên một đờng tròn nằm trong góc xOy ;Tổng OA + OB không
đổi; Thay đổi góc xOy; Thay đổi đại lợng cần tính cực trị . . . . chúng ta sẽ đợc
hàng loạt các bài toán khác .
Bài toán 5d :
Cho góc nhọn xOy và hai điểm AB thuộc miền trong của góc đó . Tìm các
điểm C,D lần lợc thuộc Ox và Oy sao cho đờng gấp khúc ACDBA có độ dài nhỏ
nhất .
Giải :
Lấy A
1
đối xứng với A qua Ox; B
1

đối xứng với B qua Oy. Do AB cố định
nên đờng gấp khúc ACBD có độ dài nhỏ nhất lúc AC + CD + DB nhỏ nhất .
Có AC +CD +DB = A
1
C + CD +DB
1
A
1
A
2
.
Dấu = xảy ra lúc C,D [A
1
B
1
].
C là giao điểm của A
1
B
1
với Ox và D là giao điểm của A
1
B
1
với Oy
B
1
D B

O A

C
A
1
Bài toán 5e :
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. M là điểm thuộc cạnh BC. I,J lần lợt là
hình chiếu của M xuống hai cạnh AB, AC .M
1
, M
2
lần lợt là điểm đối xứng của M
qua AB,AC . E,F lần lợt là giao điểm của M
1
M
2
với AB,AC . Xác định M
a. Để IJ nhỏ nhất; lớn nhất .
b. Để tam giác MEF có chu vi nhỏ nhất .
A M
2
Giải :
M
1
J
I
B M C
23
F
a. 2IJ = M
1
M

2
.
AM
1
=AM=AM
2
.
M
1
AM
2
=2BAC = CONST.
IJ min (max) <=> M
1
M
2
min (max)
<=> AM
1
min (max) <=> AM min (max) .
AM nhỏ nhất khi AM BC .
AM lớn nhất khi AM = Max(AB,AC )
b. Chu vi tam giác MEF = MF + ME +EF = M
1
M
2
.
Để chu vi tam giác MEF nhỏ nhất thì M là chân đờng cao từ A xuống BC.
theo bài toán 1a thì E,F cũng là chân của hai đờng cao còn lại
V. Định lý Thalet

1. Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng .
Bài toán 1a :
Cho tứ giác lồi ABCD . Kẻ hai đờng thẳng song song với AC . Đờng thẳng
thứ nhất cắt các cạnh BA,BC lần lợt tại G và H. Đờng thẳng thứ hai lần lợt cắt các
cạnh DA,DC lần lợt tại E và F .Chứng minh rằng GE,HF,BD đồng quy .
Giải :
Gọi O là giao điểm của AC và BD .
M,N lần lợt là giao điểm của GH và EF
với BD .
Ta có : = ( Do EF// AC )
=
Tơng tự ta cũng có :
=
=
Đpcm ( Do EF // GH ) theo định lý đảo
Bài toán 1b : ( Tổng quát bài toán 1a/ II)
Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi H là chân đờng vuông góc từ A xuống BD .
M,N theo thứ tự là các điểm BH và CD sao cho :
Chứng minh rằng AM vuông góc với MN .

HD : - Chứng minh hai tam giác vuông
ABH và ACD đồng dạng .
-Sử dụng gt :
24
EN
AO
FN
OC
EN
FN

OA
OC
GM
GH
OA
OC
EN
FN
BM
BH
GM
HM
CN
CD
=
BM
BH
CN
CD
=
I
D
E
FA
C
G
H
B
O
M

A D
CB
N
M
H
N
E
để chứng minh hai tam giác ABM và ACN đồng dạng để đợc :
Và BAM = CAN => MAN = BAC .
Hai tam giác MAN và BAC đồng dạng
AMN = ABC = 90
0
( đpcm )
2. Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2a :
Cho hình thang ABCD (AB // CD ). Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại
I . Qua I kẻ đờng thẳng song song với hai đáy cắt AD tại E và cắt BC tại F .
a. Chứng minh :
b. Chứng minh I là trung điểm của EF.
Giải :
Có :
Cộng hai đẳng thức trên ta đợc :
Đpcm .
b. Hoàn toàn tơng tự ta cũng có :
IF = EF
Đpcm .
Bài toán 2b :
Cho hình thang cân ABCD (AD//BC ) . Gọi M,N là trung điểm của BC và
AD . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kỳ . PN cắt BD tại Q. Chứng minh MN
là tia phân giác của góc PMQ .

HD :
25
1
IF
1
AB
=
1
CD
+
AM
AB
IF
AB
IF
CD
IF
AB
AN
AC
FC
BC
BF
BC
BF + FC
BC
IF
CD
=
=

=
= 1
+
=
A B
C
D
I
E
F
1
IE
1
AB
=
1
CD
+
P
A D
CB M
Q
N
K
I
P